স্পর্শক দিয়ে সরল ত্রিকোণমিতিক অসমতা সমাধান করা। সরল এবং জটিল ত্রিকোণমিতিক অসমতা

অসমতা হল a › b ফর্মের সম্পর্ক, যেখানে a এবং b হল অন্তত একটি চলক সম্বলিত অভিব্যক্তি। অসমতা কঠোর হতে পারে - ‹, › এবং অ-কঠোর - ≥, ≤।

ত্রিকোণমিতিক অসমতা হল ফর্মের অভিব্যক্তি: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, যেখানে F(x) এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় .

সহজতম ত্রিকোণমিতিক অসমতার একটি উদাহরণ হল: sin x ‹ 1/2। এই জাতীয় সমস্যাগুলি গ্রাফিকভাবে সমাধান করা প্রথাগত; এর জন্য দুটি পদ্ধতি তৈরি করা হয়েছে।

পদ্ধতি 1 - একটি ফাংশন গ্রাফ করে অসমতা সমাধান করা

অসমতা sin x ‹ 1/2 শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি ব্যবধান খুঁজে পেতে, আপনাকে অবশ্যই নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি সম্পাদন করতে হবে:

1. স্থানাঙ্ক অক্ষে, একটি সাইনুসয়েড y = sin x তৈরি করুন।
2. একই অক্ষে, অসমতার সাংখ্যিক যুক্তির একটি গ্রাফ আঁকুন, অর্থাৎ, অর্ডিনেট OY-এর ½ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা।
3. দুটি গ্রাফের ছেদ বিন্দু চিহ্নিত করুন।
4. সেগমেন্টটি শেড করুন যা উদাহরণের সমাধান।

যখন একটি অভিব্যক্তিতে কঠোর লক্ষণ উপস্থিত থাকে, তখন ছেদ বিন্দুগুলি সমাধান হয় না। যেহেতু সাইনোসয়েডের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কাল 2π, আমরা উত্তরটি নিম্নরূপ লিখি:

যদি অভিব্যক্তির লক্ষণগুলি কঠোর না হয়, তবে সমাধানের ব্যবধানটি অবশ্যই বর্গাকার বন্ধনীতে আবদ্ধ করা উচিত -। সমস্যার উত্তরটি নিম্নোক্ত অসমতা হিসাবেও লেখা যেতে পারে:

পদ্ধতি 2 - একক বৃত্ত ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক অসমতা সমাধান করা

একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করে অনুরূপ সমস্যাগুলি সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। উত্তর খোঁজার জন্য অ্যালগরিদম খুবই সহজ:

1. প্রথমে আপনাকে একটি ইউনিট বৃত্ত আঁকতে হবে।
2. তারপর আপনাকে বৃত্তের চাপে অসমতার ডান পাশের আর্গুমেন্টের আর্ক ফাংশনের মান নোট করতে হবে।
3. অ্যাবসিসা অক্ষ (OX) এর সমান্তরাল আর্ক ফাংশনের মানের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা আঁকতে হবে।
4. এর পরে, যা অবশিষ্ট থাকে তা হল একটি বৃত্তের চাপ নির্বাচন করা, যা ত্রিকোণমিতিক অসমতার সমাধানের সেট।
5. প্রয়োজনীয় ফর্মে উত্তর লিখুন।

আসুন আমরা অসমতা sin x › 1/2 এর উদাহরণ ব্যবহার করে সমাধানের পর্যায়গুলি বিশ্লেষণ করি। বিন্দু α এবং β বৃত্তে চিহ্নিত - মান

α এবং β এর উপরে অবস্থিত চাপের বিন্দুগুলি প্রদত্ত অসমতা সমাধানের ব্যবধান।

আপনি যদি cos-এর জন্য একটি উদাহরণ সমাধান করতে চান, তাহলে উত্তর চাপটি OX অক্ষের সাথে প্রতিসমভাবে অবস্থিত হবে, OY নয়। আপনি পাঠ্যের নীচের চিত্রে sin এবং cos-এর সমাধানের ব্যবধানের মধ্যে পার্থক্য বিবেচনা করতে পারেন।

স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্ট অসমতার জন্য গ্রাফিকাল সমাধান সাইন এবং কোসাইন উভয় থেকে আলাদা হবে। এটি ফাংশনের বৈশিষ্ট্যের কারণে।

Arctangent এবং arccotangent হল একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের স্পর্শক, এবং উভয় ফাংশনের জন্য সর্বনিম্ন ধনাত্মক সময়কাল হল π। দ্বিতীয় পদ্ধতিটি দ্রুত এবং সঠিকভাবে ব্যবহার করতে, আপনাকে মনে রাখতে হবে কোন অক্ষে sin, cos, tg এবং ctg এর মানগুলি প্লট করা হয়েছে।

স্পর্শক স্পর্শক OY অক্ষের সমান্তরালে চলে। যদি আমরা একক বৃত্তে আর্কটান a-এর মান প্লট করি, তাহলে দ্বিতীয় প্রয়োজনীয় বিন্দুটি তির্যক ত্রৈমাসিকে অবস্থিত হবে। কোণ

তারা ফাংশনের জন্য বিরতি পয়েন্ট, যেহেতু গ্রাফটি তাদের দিকে ঝুঁকছে, কিন্তু কখনই তাদের কাছে পৌঁছায় না।

কোট্যাঞ্জেন্টের ক্ষেত্রে, স্পর্শকটি OX অক্ষের সমান্তরালে চলে এবং π এবং 2π বিন্দুতে ফাংশনটি বাধাপ্রাপ্ত হয়।

জটিল ত্রিকোণমিতিক অসমতা

যদি অসমতা ফাংশনের যুক্তিটি শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল দ্বারা নয়, একটি অজানা সম্বলিত একটি সম্পূর্ণ অভিব্যক্তি দ্বারা উপস্থাপিত হয়, তাহলে আমরা ইতিমধ্যেই কথা বলছি জটিল অসমতা. এটি সমাধানের প্রক্রিয়া এবং পদ্ধতি উপরে বর্ণিত পদ্ধতি থেকে কিছুটা ভিন্ন। ধরুন আমাদের নিম্নলিখিত অসমতার সমাধান খুঁজতে হবে:

গ্রাফিকাল সমাধানে x এর নির্বিচারে নির্বাচিত মান ব্যবহার করে একটি সাধারণ সাইনুসয়েড y = sin x তৈরি করা জড়িত। গ্রাফের কন্ট্রোল পয়েন্টগুলির জন্য স্থানাঙ্ক সহ একটি টেবিল গণনা করা যাক:

ফলাফল একটি সুন্দর বক্ররেখা হওয়া উচিত।

একটি সমাধান খুঁজে বের করা সহজ করতে, আসুন জটিল ফাংশন যুক্তি প্রতিস্থাপন করা যাক

একক বৃত্ত ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতিক অসমতা সমাধান করা

ফর্মের ত্রিকোণমিতিক অসমতাগুলি সমাধান করার সময়, যেখানে --- ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে একটি, অসমতার সমাধানগুলি সবচেয়ে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করতে এবং উত্তর লিখতে ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ব্যবহার করা সুবিধাজনক। ত্রিকোণমিতিক অসমতা সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল তাদের সহজতম টাইপ অসমতায় কমানো। আসুন এই ধরনের বৈষম্যগুলি কীভাবে সমাধান করা যায় তার একটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ অসমতা সমাধান.

সমাধান। আসুন একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত আঁকুন এবং এটিতে বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি যার জন্য অর্ডিনেটটি উচ্চতর।

এই বৈষম্য দূর করতে হবে। এটাও স্পষ্ট যে যদি নির্দিষ্ট ব্যবধান থেকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যেকোন সংখ্যা থেকে পৃথক হয়, তবে তাও কম হবে না। অতএব, আপনাকে কেবল পাওয়া অংশের প্রান্তে সমাধান যোগ করতে হবে। অবশেষে, আমরা দেখতে পাই যে মূল অসমতার সমস্ত সমাধান হবে।

স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের সাথে অসমতা সমাধান করতে, স্পর্শক এবং কোট্যাঞ্জেন্টের একটি রেখার ধারণাটি কার্যকর। এগুলি হল সরলরেখা এবং যথাক্রমে (চিত্রে (1) এবং (2)), ত্রিকোণমিতিক বৃত্তের স্পর্শক।

এটা সহজেই দেখা যায় যে আমরা যদি স্থানাঙ্কের উৎপত্তিস্থলে একটি রশ্মি তৈরি করি, অ্যাবসিসা অক্ষের ধনাত্মক দিক দিয়ে একটি কোণ তৈরি করি, তাহলে বিন্দু থেকে এই রশ্মির ছেদ বিন্দু পর্যন্ত রেখাংশের দৈর্ঘ্য কত হবে। স্পর্শক রেখাটি অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে এই রশ্মি যে কোণের স্পর্শক তৈরি করে তার ঠিক সমান। একটি অনুরূপ পর্যবেক্ষণ cotangent জন্য ঘটে.

উদাহরণ অসমতা সমাধান.

সমাধান। আসুন বোঝাই, তাহলে অসমতা সহজতম রূপ নেবে: . আসুন স্পর্শকের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কালের (LPP) সমান দৈর্ঘ্যের একটি ব্যবধান বিবেচনা করি। এই অংশে, স্পর্শক রেখা ব্যবহার করে, আমরা এটি স্থাপন করি। আসুন এখন মনে রাখবেন NPP ফাংশন থেকে কি যোগ করা দরকার। তাই, . পরিবর্তনশীল ফিরে, আমরা যে পেতে

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের গ্রাফ ব্যবহার করে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সাথে অসমতা সমাধান করা সুবিধাজনক। আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি কীভাবে করা হয় তা দেখাই।

ত্রিকোণমিতিক অসমতা গ্রাফিকভাবে সমাধান করা

উল্লেখ্য যে যদি--- পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, তারপর অসমতা সমাধান করার জন্য এটির সমাধানগুলি একটি অংশে খুঁজে বের করা প্রয়োজন যার দৈর্ঘ্য ফাংশনের সময়কালের সমান। মূল অসমতার সমস্ত সমাধান প্রাপ্ত মানগুলি নিয়ে গঠিত হবে, সেইসাথে ফাংশনের সময়কালের যেকোন পূর্ণসংখ্যা দ্বারা প্রাপ্ত যেগুলির থেকে আলাদা

আসুন অসমতার সমাধান বিবেচনা করি ()।

তারপর থেকে বৈষম্যের কোনো সমাধান নেই। যদি, তাহলে বৈষম্যের সমাধানের সেট --- একগুচ্ছসমস্ত বাস্তব সংখ্যা।

হতে দিন. সাইন ফাংশনের ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কাল থাকে, তাই অসমতা প্রথমে দৈর্ঘ্যের একটি অংশে সমাধান করা যেতে পারে, যেমন আমরা ফাংশন এবং () এর গ্রাফ তৈরি করি।

সেগমেন্টে, সাইন ফাংশন বৃদ্ধি পায়, এবং সমীকরণ, যেখানে, একটি রুট আছে। সেগমেন্টে, সাইন ফাংশন হ্রাস পায় এবং সমীকরণটির একটি মূল রয়েছে। একটি সংখ্যাগত ব্যবধানে, একটি ফাংশনের গ্রাফটি ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত। অতএব, ব্যবধান থেকে সকলের জন্য) অসমতা যদি থাকে। সাইন ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতার কারণে, অসমতার সমস্ত সমাধান ফর্মের অসমতা দ্বারা দেওয়া হয়:।

আমরা একক বৃত্ত ব্যবহার করে স্পর্শক দিয়ে অসমতা সমাধান করব।

স্পর্শক দিয়ে অসমতা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম:

1. উপরের চিত্রে দেখানো ক্লিচটি পুনরায় আঁকুন;
2. স্পর্শক রেখায় আমরা $a$ চিহ্নিত করি এবং উৎপত্তিস্থল থেকে এই বিন্দু পর্যন্ত একটি সরল রেখা আঁকি;
3. অর্ধবৃত্তের সাথে এই রেখাটির ছেদ বিন্দুটি ছায়াযুক্ত হবে যদি অসমতা কঠোর না হয় এবং যদি এটি কঠোর হয় তবে ছায়াযুক্ত নয়;
4. ক্ষেত্রটি লাইনের নীচে এবং বৃত্ত পর্যন্ত অবস্থিত হবে যদি অসমতায় "$>$" চিহ্ন থাকে, এবং লাইনের নীচে এবং বৃত্তের উপরে যদি অসমতা "$" চিহ্ন থাকে<$”;
5. ছেদ বিন্দু খুঁজে পেতে, এটি arctangent $a$ খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট, যেমন $x_(1)=(\rm arctg) a$;
6. উত্তরে, শেষ পর্যন্ত $+ \pi n$ যোগ করে ফলাফলের ব্যবধান লেখা হয়।

একটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করে অসমতা সমাধানের উদাহরণ।

উদাহরণ 1:বৈষম্য সমাধান:

$(\rm tg)(x) \leq 1.$

সুতরাং, সমাধানটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:

$x \in \left(-\frac(\pi)(2) + \pi n; \frac(\pi)(4) + \pi n\right], \ n \in Z.$

গুরুত্বপূর্ণ !$-\frac(\pi)(2)$ এবং $\frac(\pi)(2)$ ট্যানজেন্টে পয়েন্ট করে সর্বদা (বৈষম্য চিহ্ন নির্বিশেষে)অতিরিক্ত ভার!

উদাহরণ 2:বৈষম্য সমাধান:

$(\rm tg)(x) > – \sqrt(3).$

আমরা স্পর্শক রেখায় $- \sqrt(3)$ বিন্দুটিকে চিহ্নিত করি এবং উৎপত্তি থেকে এটিতে একটি সরল রেখা আঁকি। অর্ধবৃত্তের সাথে এই রেখাটির ছেদ বিন্দুটি ছায়াযুক্ত হবে না, যেহেতু অসমতা কঠোর। এলাকাটি সরলরেখার উপরে এবং বৃত্ত পর্যন্ত অবস্থিত হবে, যেহেতু অসমতার চিহ্ন হল $>$। ছেদ বিন্দু খুঁজে বের করা যাক:

$x_(1) = (\rm arctg)(\left(-\sqrt(3)\right)) = -\frac(\pi)(3)।$

$t \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right)।$

মূল ভেরিয়েবলে ফিরে আসা যাক:

$\left(2x-\frac(\pi)(3)\right) \in \left(-\frac(\pi)(3) + \pi n; \frac(\pi)(2) + \pi n\right)।$

পরেরটি বৈষম্যের ব্যবস্থার সমতুল্য

$\left\(\begin(array)(c) 2x-\frac(\pi)(3) > -\frac(\pi)(3) + \pi n, \\ 2x-\frac(\pi) (৩)< \frac{\pi}{2}+\pi n, \end{array} \right.$

সমাধান করে যা আমরা উত্তর পাব। সত্যিই,

$\left\(\begin(array)(c) 2x > \pi n, \\ 2x< \frac{5 \pi}{6} + \pi n, \end{array} \right.$

$\left\(\begin(array)(c) x > \frac(\pi n)(2), \\ x< \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \end{array} \right. $

এবং অবশেষে আমরা পাই:

$x \in \left(\frac(\pi n)(2); \frac(5\pi)(12) + \frac(\pi n)(2)\right), \n \in Z.$

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমন্বিত অসমতাগুলি সমাধান করার সময়, এগুলিকে cos(t)>a, sint(t)=a এবং অনুরূপ ফর্মের সহজতম অসমতায় হ্রাস করা হয়। এবং ইতিমধ্যে সহজ অসমতা সমাধান করা হয়. আসুন সহজ ত্রিকোণমিতিক অসমতা সমাধানের উপায়গুলির বিভিন্ন উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 1. অসমতা sin(t) > = -1/2 সমাধান করুন।

একটি ইউনিট বৃত্ত আঁকুন। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে sin(t) হল y স্থানাঙ্ক, তাই আমরা Oy অক্ষের বিন্দু y = -1/2 চিহ্নিত করি। আমরা অক্স অক্ষের সমান্তরাল এর মধ্য দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকি। একক বৃত্তের গ্রাফের সাথে সরলরেখার সংযোগস্থলে, Pt1 এবং Pt2 বিন্দুগুলি চিহ্নিত করুন। আমরা স্থানাঙ্কের উৎপত্তিকে Pt1 এবং Pt2 বিন্দুর সাথে দুটি অংশ দ্বারা সংযুক্ত করি।

এই অসমতার সমাধান হবে এই বিন্দুর উপরে অবস্থিত ইউনিট বৃত্তের সমস্ত বিন্দু। অন্য কথায়, সমাধানটি হবে চাপ l। এখন এটি নির্দেশ করা প্রয়োজন যে শর্তগুলির অধীনে একটি নির্বিচারী বিন্দু চাপ l-এর অন্তর্গত হবে।

Pt1 ডান অর্ধবৃত্তে অবস্থিত, এর অর্ডিনেট হল -1/2, তারপর t1=আর্কসিন(-1/2) = - pi/6। পয়েন্ট Pt1 বর্ণনা করতে, আপনি নিম্নলিখিত সূত্র লিখতে পারেন:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. ফলস্বরূপ, আমরা t এর জন্য নিম্নলিখিত অসমতা পাই:

আমরা অসমতা রক্ষা করি। এবং যেহেতু সাইন ফাংশনটি পর্যায়ক্রমিক, এর মানে হল সমাধানগুলি প্রতি 2*pi এ পুনরাবৃত্তি করা হবে। আমরা এই শর্তটি t-এর ফলে অসমতার সাথে যোগ করি এবং উত্তরটি লিখি।

উত্তর: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

উদাহরণ 2। cos(t) অসমতা সমাধান করুন<1/2.

আসুন একটি ইউনিট বৃত্ত আঁকুন। যেহেতু, সংজ্ঞা অনুসারে, cos(t) হল x স্থানাঙ্ক, তাই আমরা Ox অক্ষের গ্রাফে x = 1/2 বিন্দুটিকে চিহ্নিত করি।
আমরা ওয় অক্ষের সমান্তরাল এই বিন্দু দিয়ে একটি সরল রেখা আঁকি। একক বৃত্তের গ্রাফের সাথে সরলরেখার সংযোগস্থলে, Pt1 এবং Pt2 বিন্দুগুলি চিহ্নিত করুন। আমরা স্থানাঙ্কের উৎপত্তিকে Pt1 এবং Pt2 বিন্দুর সাথে দুটি অংশ দ্বারা সংযুক্ত করি।

সমাধানগুলি হবে ইউনিট বৃত্তের সমস্ত বিন্দু যা চাপ l-এর অন্তর্গত। আসুন t1 এবং t2 বিন্দুগুলি বের করি।

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6।

আমরা t: pi/3 এর জন্য অসমতা পেয়েছি

যেহেতু কোসাইন একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, তাই সমাধানগুলি প্রতি 2*pi এ পুনরাবৃত্তি করা হবে। আমরা এই শর্তটি t-এর ফলে অসমতার সাথে যোগ করি এবং উত্তরটি লিখি।

উত্তর: pi/3+2*pi*n

উদাহরণ 3.অসমতা সমাধান করুন tg(t)< = 1.

ট্যানজেন্ট পিরিয়ড পাই এর সমান। ইন্টারভ্যাল (-pi/2;pi/2) ডান অর্ধবৃত্তের সাথে সম্পর্কিত সমাধানগুলি খুঁজে বের করা যাক। এরপরে, স্পর্শকের পর্যায়ক্রমিকতা ব্যবহার করে, আমরা এই অসমতার সমস্ত সমাধান লিখি। আসুন একটি একক বৃত্ত আঁকুন এবং এটিতে স্পর্শকগুলির একটি রেখা চিহ্নিত করুন।

যদি t অসমতার সমাধান হয়, তাহলে বিন্দু T = tg(t) এর অর্ডিনেট অবশ্যই 1 এর কম বা সমান হতে হবে। এই ধরনের বিন্দুর সেটটি রশ্মি AT তৈরি করবে। Pt বিন্দুর সেট যা এই রশ্মির বিন্দুর সাথে মিলে যাবে তা হল চাপ l। তাছাড়া, বিন্দু P(-pi/2) এই চাপের অন্তর্গত নয়।