বাড়ি প্রতিরোধ ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশন সিস্টেম প্রসারিত করুন। পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার সিরিজ উপস্থাপনা

প্রতিরোধ

ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশন সিস্টেম প্রসারিত করুন। পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার সিরিজ উপস্থাপনা

এই বিভাগটি ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করে পর্যায়ক্রমিক সংকেতের উপস্থাপনা পরীক্ষা করবে। ফুরিয়ার সিরিজ হল বর্ণালী বিশ্লেষণের তত্ত্বের ভিত্তি কারণ, আমরা পরে দেখব, ফুরিয়ার সিরিজকে অসীম পুনরাবৃত্তির সময়সীমার সীমাতে নিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে একটি অ-পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তর পাওয়া যেতে পারে। ফলস্বরূপ, ফুরিয়ার সিরিজের বৈশিষ্ট্যগুলি অ-পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ফুরিয়ার রূপান্তরের জন্যও বৈধ।

আমরা ত্রিকোণমিতিক এবং জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজের অভিব্যক্তিগুলি বিবেচনা করব এবং ফুরিয়ার সিরিজের একত্রিত হওয়ার জন্য ডিরিচলেট অবস্থার দিকেও মনোযোগ দেব। উপরন্তু, আমরা সংকেত বর্ণালীর নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে এই ধরনের ধারণার ব্যাখ্যা সম্পর্কে বিস্তারিতভাবে চিন্তা করব, যা বর্ণালী বিশ্লেষণের তত্ত্বের সাথে পরিচিত হওয়ার সময় প্রায়ই অসুবিধা সৃষ্টি করে।

পর্যায়ক্রমিক সংকেত। ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ

ক্রমাগত সময়ের একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেত থাকতে দিন যা c পিরিয়ডের সাথে পুনরাবৃত্তি হয়, অর্থাৎ , যেখানে একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা।

উদাহরণ হিসাবে, চিত্র 1 সি সময়কালের আয়তক্ষেত্রাকার ডালের একটি ক্রম দেখায়, c এর সময়কালের সাথে পুনরাবৃত্তি হয়।

চিত্র 1. পর্যায়ক্রমিক ক্রম
আয়তক্ষেত্রাকার ডাল

গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স থেকে জানা যায় যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সিস্টেম

একাধিক ফ্রিকোয়েন্সি সহ, যেখানে rad/s একটি পূর্ণসংখ্যা, এটি ডিরিচলেট শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করার সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলির পচনের জন্য একটি অর্থনর্মাল ভিত্তি তৈরি করে। ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্সের জন্য ডিরিচলেট শর্তগুলির প্রয়োজন যে সেগমেন্টে একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেত নির্দিষ্ট করা এবং নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করতে হবে:

উদাহরণস্বরূপ, পর্যায়ক্রমিক ফাংশন ডিরিচলেট শর্ত পূরণ করে না কারণ ফাংশন দ্বিতীয় ধরণের বিচ্ছিন্নতা রয়েছে এবং অসীম মান নেয় যেখানে একটি নির্বিচারে পূর্ণসংখ্যা। তাই ফাংশন প্রতিনিধিত্ব করা যাবে না ফুরিয়ার কাছাকাছি. আপনি ফাংশনের একটি উদাহরণও দিতে পারেন , যা সীমিত, কিন্তু ডিরিচলেট শর্তগুলিকেও সন্তুষ্ট করে না, যেহেতু এটি শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায় এতে অসীম সংখ্যক চরম বিন্দু রয়েছে। একটি ফাংশনের গ্রাফ চিত্র 2 এ দেখানো হয়েছে।

চিত্র 2. ফাংশন গ্রাফ :
একটি - দুটি পুনরাবৃত্তি সময়কাল; b - আশেপাশে

চিত্র 2a ফাংশনের দুটি পুনরাবৃত্তি সময়কাল দেখায় , এবং চিত্র 2b - এর আশেপাশের এলাকা। এটি দেখা যায় যে এটি শূন্যের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে দোলন ফ্রিকোয়েন্সি অসীমভাবে বৃদ্ধি পায় এবং এই ধরনের ফাংশনটি ফুরিয়ার সিরিজ দ্বারা উপস্থাপন করা যায় না, কারণ এটি টুকরো টুকরো একঘেয়ে নয়।

এটা উল্লেখ করা উচিত যে বাস্তবে অসীম বর্তমান বা ভোল্টেজ মান সহ কোন সংকেত নেই। অসীম সংখ্যক টাইপের এক্সট্রিমা সহ ফাংশন এছাড়াও প্রয়োগ সমস্যা ঘটবে না. সমস্ত বাস্তব পর্যায়ক্রমিক সংকেত ডিরিচলেট শর্ত পূরণ করে এবং ফর্মের একটি অসীম ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে:

অভিব্যক্তিতে (2), সহগ পর্যায়ক্রমিক সংকেতের ধ্রুবক উপাদান নির্দিষ্ট করে।

যে সমস্ত পয়েন্টে সিগন্যাল একটানা থাকে, সেখানে ফুরিয়ার সিরিজ (2) প্রদত্ত সিগন্যালের মানগুলিতে রূপান্তরিত হয় এবং প্রথম ধরণের বিচ্ছিন্নতার পয়েন্টগুলিতে - গড় মানের সাথে , যেখানে এবং বাম দিকের সীমা এবং বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর ডানদিকে, যথাক্রমে।

গাণিতিক বিশ্লেষণের কোর্স থেকে এটিও জানা যায় যে একটি ছেঁটে যাওয়া ফুরিয়ার সিরিজের ব্যবহার, যেখানে একটি অসীম যোগফলের পরিবর্তে শুধুমাত্র প্রথম পদ রয়েছে, সংকেতের একটি আনুমানিক উপস্থাপনার দিকে নিয়ে যায়:

যেটিতে ন্যূনতম গড় বর্গাকার ত্রুটি নিশ্চিত করা হয়। চিত্র 3 একটি পর্যায়ক্রমিক স্কয়ার ওয়েভ ট্রেন এবং একটি পর্যায়ক্রমিক র‌্যাম্প ওয়েভের আনুমানিক চিত্র তুলে ধরে যখন ফুরিয়ার সিরিজের পদগুলির বিভিন্ন সংখ্যা ব্যবহার করে।

চিত্র 3. একটি কাটা ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করে সংকেতগুলির আনুমানিকতা:
একটি - আয়তক্ষেত্রাকার ডাল; b - sawtooth সংকেত

জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ

পূর্ববর্তী বিভাগে, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ পরীক্ষা করেছিলাম ডিরিচলেট শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে একটি নির্বিচারে পর্যায়ক্রমিক সংকেতের প্রসারণের জন্য। অয়লারের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা দেখাতে পারি:

তারপর ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ (2) বিবেচনায় নিয়ে (4):

এইভাবে, একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেত ধনাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির জন্য সহগ সহ ফ্রিকোয়েন্সিতে আবর্তিত একটি ধ্রুবক উপাদান এবং জটিল সূচকগুলির যোগফল দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এবং ঋণাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিতে আবর্তিত জটিল সূচকগুলির জন্য।

আসুন ধনাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে ঘূর্ণায়মান জটিল সূচকগুলির জন্য সহগগুলি বিবেচনা করি:

একইভাবে, নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সাথে ঘূর্ণায়মান জটিল সূচকগুলির সহগগুলি হল:

অভিব্যক্তি (6) এবং (7) মিলে যায়; উপরন্তু, ধ্রুবক উপাদানটি শূন্য ফ্রিকোয়েন্সিতে একটি জটিল সূচকের মাধ্যমেও লেখা যেতে পারে:

সুতরাং, (5) বিবেচনায় নিয়ে (6)-(8) একটি একক যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যখন বিয়োগ অসীম থেকে অসীম পর্যন্ত সূচক করা হয়:

এক্সপ্রেশন (9) জটিল আকারে একটি ফুরিয়ার সিরিজ। জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি ত্রিকোণমিতিক আকারে সিরিজের সহগগুলির সাথে সম্পর্কিত এবং ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় ফ্রিকোয়েন্সির জন্য নির্ধারিত হয়। ফ্রিকোয়েন্সি উপাধিতে থাকা সাবস্ক্রিপ্টটি নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত নেতিবাচক সাবস্ক্রিপ্টগুলির সাথে বিচ্ছিন্ন হারমোনিকের সংখ্যা নির্দেশ করে।

অভিব্যক্তি (2) থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি বাস্তব সংকেতের জন্য সিরিজ (2) এর সহগগুলিও বাস্তব। যাইহোক, (9) ইতিবাচক এবং নেতিবাচক উভয় ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত জটিল সংযোজিত সহগগুলির একটি সেটের সাথে একটি বাস্তব সংকেত যুক্ত করে।

জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজের কিছু ব্যাখ্যা

পূর্ববর্তী বিভাগে, আমরা ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ (2) থেকে জটিল আকারে (9) ফুরিয়ার সিরিজে রূপান্তর করেছি। ফলস্বরূপ, বাস্তব ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির ভিত্তিতে পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলিকে পচানোর পরিবর্তে, আমরা জটিল সূচকের ভিত্তিতে একটি সম্প্রসারণ পেয়েছি, জটিল সহগ সহ, এমনকি বিস্তৃতিতে নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিও উপস্থিত হয়েছিল! যেহেতু এই সমস্যাটি প্রায়শই ভুল বোঝাবুঝি হয়, তাই কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন।

প্রথমত, জটিল সূচকগুলির সাথে কাজ করা বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির সাথে কাজ করার চেয়ে সহজ। উদাহরণস্বরূপ, জটিল সূচকগুলিকে গুণ ও ভাগ করার সময়, শুধুমাত্র সূচকগুলি যোগ করা (বিয়োগ করা) যথেষ্ট, যখন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিকে গুণ ও ভাগ করার সূত্রগুলি আরও জটিল।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির তুলনায় সূচকগুলিকে আলাদা করা এবং একত্রিত করাও সহজ, যেগুলি বিভেদ এবং একীভূত হলে ক্রমাগত পরিবর্তিত হয় (সাইন কোসাইনে পরিণত হয় এবং এর বিপরীতে)।

যদি সংকেতটি পর্যায়ক্রমিক এবং বাস্তব হয়, তাহলে ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ (2) আরও স্পষ্ট বলে মনে হয়, কারণ সমস্ত প্রসারণ সহগ , এবং বাস্তব থাকে। যাইহোক, একজনকে প্রায়শই জটিল পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলির সাথে মোকাবিলা করতে হয় (উদাহরণস্বরূপ, মডুলেশন এবং ডিমডুলেট করার সময়, জটিল খামের একটি চতুর্ভুজ উপস্থাপনা ব্যবহার করা হয়)। এই ক্ষেত্রে, ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করার সময়, সমস্ত সহগ , এবং সম্প্রসারণ (2) জটিল হয়ে উঠবে, যখন জটিল আকারে (9) ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করার সময়, একই সম্প্রসারণ সহগ বাস্তব এবং জটিল ইনপুট উভয় সংকেতের জন্য ব্যবহার করা হবে .

এবং অবশেষে, (9) এ উপস্থিত নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির ব্যাখ্যার উপর চিন্তা করা প্রয়োজন। এই প্রশ্ন প্রায়ই ভুল বোঝাবুঝি কারণ. ভিতরে প্রাত্যহিক জীবনআমরা নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি সম্মুখীন না. উদাহরণস্বরূপ, আমরা কখনই আমাদের রেডিওকে নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিতে সুর করি না। আসুন মেকানিক্স থেকে নিম্নলিখিত উপমা বিবেচনা করা যাক। একটি যান্ত্রিক স্প্রিং পেন্ডুলাম থাকতে দিন যা একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি সহ অবাধে দোলা দেয়। একটি পেন্ডুলাম একটি নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি সঙ্গে oscillate করতে পারেন? অবশ্যই না. নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিতে যেমন কোনো রেডিও স্টেশন সম্প্রচার হয় না, তেমনি একটি পেন্ডুলামের দোলনের ফ্রিকোয়েন্সি ঋণাত্মক হতে পারে না। কিন্তু একটি স্প্রিং পেন্ডুলাম একটি এক-মাত্রিক বস্তু (পেন্ডুলাম একটি সরল রেখা বরাবর দোলা দেয়)।

আমরা মেকানিক্স থেকে আরেকটি উপমাও দিতে পারি: একটি চাকা কম্পাঙ্কের সাথে ঘুরছে। চাকা, পেন্ডুলামের বিপরীতে, ঘোরে, i.e. চাকার পৃষ্ঠের একটি বিন্দু একটি সমতলে চলে এবং একটি সরল রেখা বরাবর দোদুল্যমান হয় না। অতএব, চাকার ঘূর্ণন অনন্যভাবে নির্দিষ্ট করার জন্য, ঘূর্ণনের গতি নির্ধারণ করা যথেষ্ট নয়, কারণ এটি ঘূর্ণনের দিক নির্ধারণ করাও প্রয়োজনীয়। এই কারণেই আমরা ফ্রিকোয়েন্সি সাইন ব্যবহার করতে পারি।

সুতরাং, যদি চাকাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে একটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি rad/s দিয়ে ঘোরে, তাহলে আমরা বিবেচনা করি যে চাকাটি একটি ধনাত্মক কম্পাঙ্কের সাথে ঘোরে, এবং যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে, তাহলে ঘূর্ণনের ফ্রিকোয়েন্সি ঋণাত্মক হবে। এইভাবে, একটি ঘূর্ণন কমান্ডের জন্য, একটি নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি অর্থহীন হয়ে যায় এবং ঘূর্ণনের দিক নির্দেশ করে।

এবং এখন সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস যা আমাদের বুঝতে হবে। একটি এক-মাত্রিক বস্তুর দোলন (উদাহরণস্বরূপ, একটি স্প্রিং পেন্ডুলাম) চিত্র 4 এ দেখানো দুটি ভেক্টরের ঘূর্ণনের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

চিত্র 4. একটি স্প্রিং পেন্ডুলামের দোলন
দুটি ভেক্টরের ঘূর্ণনের সমষ্টি হিসাবে
জটিল সমতলে

পেন্ডুলামটি হারমোনিক আইন অনুসারে একটি ফ্রিকোয়েন্সি সহ জটিল সমতলের বাস্তব অক্ষ বরাবর দোলা দেয়। পেন্ডুলামের গতিবিধি একটি অনুভূমিক ভেক্টর হিসাবে দেখানো হয়। উপরের ভেক্টরটি জটিল সমতলে ইতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সি (ঘড়ির কাঁটার বিপরীত) সাথে ঘোরে এবং নীচের ভেক্টরটি ঋণাত্মক কম্পাঙ্কে (ঘড়ির কাঁটার দিকে) ঘোরে। চিত্র 4 স্পষ্টভাবে ত্রিকোণমিতি কোর্স থেকে সুপরিচিত সম্পর্ক চিত্রিত করে:

সুতরাং, জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ (9) ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ফ্রিকোয়েন্সি নিয়ে ঘূর্ণায়মান জটিল সমতলে ভেক্টরের সমষ্টি হিসাবে পর্যায়ক্রমিক এক-মাত্রিক সংকেতকে উপস্থাপন করে। একই সময়ে, আমাদের লক্ষ্য করা যাক যে একটি বাস্তব সংকেতের ক্ষেত্রে, (9) অনুসারে, নেতিবাচক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির সম্প্রসারণ সহগগুলি ধনাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিগুলির জন্য সংশ্লিষ্ট সহগগুলির সাথে জটিল সংযুক্ত। একটি জটিল সংকেতের ক্ষেত্রে, সহগগুলির এই বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করে না এবং এটি জটিল হওয়ার কারণে।

পর্যায়ক্রমিক সংকেতের বর্ণালী

জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ হল একটি পর্যায়ক্রমিক সংকেতের পচন যা জটিল সূচকের সমষ্টিতে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে rad/c এর গুণিতকগুলিতে ঘূর্ণায়মান জটিল সহগ যা সংকেতের বর্ণালী নির্ধারণ করে। জটিল সহগগুলিকে অয়লারের সূত্র ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যেখানে প্রশস্ততা বর্ণালী, a হল ফেজ বর্ণালী।

যেহেতু পর্যায়ক্রমিক সংকেতগুলি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সি গ্রিডে একটি সারিতে রাখা হয়, তাই পর্যায়ক্রমিক সংকেতের বর্ণালী হল লাইন (বিযুক্ত)।

চিত্র 5. একটি পর্যায়ক্রমিক অনুক্রমের বর্ণালী
আয়তক্ষেত্রাকার ডাল:
একটি - প্রশস্ততা বর্ণালী; b - ফেজ বর্ণালী

চিত্র 5 আয়তক্ষেত্রাকার ডালের একটি পর্যায়ক্রমিক ক্রম (চিত্র 1 দেখুন) c, নাড়ির সময়কাল c এবং নাড়ির প্রশস্ততা B এর প্রশস্ততা এবং পর্যায় বর্ণালীর একটি উদাহরণ দেখায়।

পিরিয়ড 2π সহ পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

ফুরিয়ার সিরিজ আমাদের পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে উপাদানগুলিতে পচিয়ে অধ্যয়ন করতে দেয়। বিকল্প স্রোত এবং ভোল্টেজ, স্থানচ্যুতি, ক্র্যাঙ্ক প্রক্রিয়ার গতি এবং ত্বরণ এবং শাব্দ তরঙ্গগুলি সাধারণ ব্যবহারিক উদাহরণইঞ্জিনিয়ারিং গণনায় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন প্রয়োগ।

ফুরিয়ার সিরিজের সম্প্রসারণ এই ধারণার উপর ভিত্তি করে যে ব্যবধানে ব্যবহারিক তাত্পর্যের সমস্ত ফাংশন -π ≤x≤ π অভিসারী ত্রিকোণমিতিক সিরিজ আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে (একটি ধারা অভিসারী বলে বিবেচিত হয় যদি আংশিক সমষ্টির ক্রম তার পদগুলির সমন্বয়ে গঠিত হয়। একত্রিত হয়):

sinx এবং cosx এর যোগফলের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড (=সাধারণ) স্বরলিপি

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

যেখানে a o, a 1, a 2,...,b 1, b 2,.. বাস্তব ধ্রুবক, যেমন

যেখানে, -π থেকে π পর্যন্ত পরিসরের জন্য, ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

a o, a n এবং b n সহগগুলিকে বলা হয় ফুরিয়ার সহগ, এবং যদি সেগুলি পাওয়া যায়, তাহলে সিরিজ (1) বলা হয় ফুরিয়ারের পাশে,ফাংশন f(x) এর সাথে সম্পর্কিত। সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটিকে (a 1 cosx+b 1 sinx) বলা হয় প্রথম বা মৌলিক সুরেলা,

একটি সিরিজ লেখার আরেকটি উপায় হল সম্পর্ক ব্যবহার করা acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...c n sin(nx+α n)

যেখানে a o একটি ধ্রুবক, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 হল বিভিন্ন উপাদানের প্রশস্ততা, এবং a n = arctg a n এর সমান /b n.

সিরিজ (1) এর জন্য, শব্দটি (a 1 cosx+b 1 sinx) বা c 1 sin(x+α 1) বলা হয় প্রথম বা মৌলিক সুরেলা,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) বা c 2 sin(2x+α 2) বলা হয় দ্বিতীয় সুরেলাএবং তাই

একটি জটিল সংকেতকে সঠিকভাবে উপস্থাপন করার জন্য সাধারণত অসীম সংখ্যক পদের প্রয়োজন হয়। যাইহোক, অনেক ব্যবহারিক সমস্যায় শুধুমাত্র প্রথম কয়েকটি পদ বিবেচনা করাই যথেষ্ট।

পিরিয়ড 2π সহ অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সম্প্রসারণ.

যদি ফাংশন f(x) অ-পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে এর অর্থ হল x এর সমস্ত মানের জন্য এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যাবে না। যাইহোক, 2π প্রস্থের যেকোনো পরিসরের উপর একটি ফাংশনের প্রতিনিধিত্ব করে একটি ফুরিয়ার সিরিজ সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব।

একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন দেওয়া হলে, একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে f(x) এর মান নির্বাচন করে এবং 2π ব্যবধানে সেই সীমার বাইরে তাদের পুনরাবৃত্তি করে একটি নতুন ফাংশন তৈরি করা যেতে পারে। যেহেতু নতুন ফাংশনটি পিরিয়ড 2π সহ পর্যায়ক্রমিক, তাই x এর সমস্ত মানের জন্য এটি একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন f(x)=x পর্যায়ক্রমিক নয়। যাইহোক, যদি এটিকে o থেকে 2π পর্যন্ত ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করার প্রয়োজন হয়, তবে এই ব্যবধানের বাইরে 2π এর একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা হয় (নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে)।

অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য যেমন f(x)=x, ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল একটি প্রদত্ত ব্যাপ্তির সমস্ত বিন্দুতে f(x) এর মানের সমান, কিন্তু বিন্দুর জন্য এটি f(x) এর সমান নয় সীমার বাইরে। 2π পরিসরে একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, ফুরিয়ার সহগগুলির একই সূত্র ব্যবহার করা হয়।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন।

তারা বলে ফাংশন y=f(x) এমন কি, যদি f(-x)=f(x) x এর সকল মানের জন্য। জোড় ফাংশনের গ্রাফ সবসময় y-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম হয় (অর্থাৎ, তারা মিরর ইমেজ)। জোড় ফাংশনের দুটি উদাহরণ: y=x2 এবং y=cosx।

তারা বলে যে ফাংশন y=f(x) অস্বাভাবিক, x এর সকল মানের জন্য f(-x)=-f(x) হলে। বিজোড় ফাংশনের গ্রাফ সর্বদা উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম।

অনেক ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়।

কোসাইনে ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তার।

পিরিয়ড 2π সহ একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র কোসাইন পদ থাকে (অর্থাৎ কোন সাইন পদ নেই) এবং একটি ধ্রুবক পদ অন্তর্ভুক্ত হতে পারে। তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

পিরিয়ড 2π সহ একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) এর ফুরিয়ার সিরিজে শুধুমাত্র সাইন সহ পদ রয়েছে (অর্থাৎ, এতে কোসাইন সহ পদ নেই)।

তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ।

যদি একটি ফাংশন একটি পরিসরের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়, বলুন 0 থেকে π পর্যন্ত, এবং শুধুমাত্র 0 থেকে 2π পর্যন্ত নয়, এটি একটি সিরিজে শুধুমাত্র সাইনে বা শুধুমাত্র কোসাইনে প্রসারিত করা যেতে পারে। ফলে ফুরিয়ার সিরিজ বলা হয় হাফ সাইকেলে ফুরিয়ারের কাছে।

আপনি যদি পচন পেতে চান কোসাইন দ্বারা অর্ধ-চক্র ফুরিয়ারফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা প্রয়োজন। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। কারন এমনকি ফাংশন f(x) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, AB রেখা আঁকুন, যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিচে. যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে প্রাপ্ত ত্রিভুজাকার আকৃতি 2π সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তারপর চূড়ান্ত গ্রাফটি দেখায়, দেখায়। চিত্রে নিচে. যেহেতু আমাদের কোসাইনগুলিতে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ a o এবং a n গণনা করি

যদি পেতে হয় ফুরিয়ার অর্ধ-চক্র সাইন সম্প্রসারণফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা প্রয়োজন। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু বিজোড় ফাংশন উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা লাইন সিডি তৈরি করি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলস্বরূপ করাত টুথ সংকেতটি 2π এর সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটিতে চিত্রে দেখানো ফর্মটি রয়েছে। যেহেতু আমাদের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে অর্ধ-চক্রের ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ গণনা করি। খ

একটি নির্বিচারে বিরতির জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

পিরিয়ড এল সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের প্রসারণ।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) পুনরাবৃত্ত হয় যখন x L দ্বারা বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ f(x+L)=f(x)। পূর্বে বিবেচিত ফাংশন থেকে 2π এর একটি পিরিয়ডের সাথে ফাংশনে রূপান্তর করা বেশ সহজ, কারণ এটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

-L/2≤x≤L/2 রেঞ্জে ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ খুঁজে পেতে, আমরা একটি নতুন চলক u চালু করি যাতে f(x) ফাংশনের সময়কাল u-এর তুলনায় 2π থাকে। যদি u=2πx/L, তাহলে u=-π এর জন্য x=-L/2 এবং u=π এর জন্য x=L/2। এছাড়াও f(x)=f(Lu/2π)=F(u) দিন। ফুরিয়ার সিরিজ F(u) এর ফর্ম আছে

(একীকরণের সীমা L দৈর্ঘ্যের যেকোনো ব্যবধান দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, 0 থেকে L পর্যন্ত)

ব্যবধান L≠2π-এ নির্দিষ্ট ফাংশনের জন্য অর্ধ-চক্রে ফুরিয়ার সিরিজ।

u=πх/L প্রতিস্থাপনের জন্য, x=0 থেকে x=L পর্যন্ত ব্যবধানটি u=0 থেকে u=π পর্যন্ত ব্যবধানের সাথে মিলে যায়। ফলস্বরূপ, ফাংশনটি শুধুমাত্র কোসাইন বা শুধুমাত্র সাইনে একটি সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, যেমন ভি হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ.

0 থেকে L পর্যন্ত পরিসরে কোসাইন সম্প্রসারণের ফর্ম আছে

ফুরিয়ারের কাছেব্যবধানে (-π ; π) ফাংশন f(x) ফর্মের একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ বলা হয়:
, কোথায়
.

ব্যবধানে f(x) ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ (-l;l) ফর্মটির একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ:
, কোথায়
.

উদ্দেশ্য। অনলাইন ক্যালকুলেটরফাংশন f(x) একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।

মডিউল ফাংশনগুলির জন্য (যেমন |x|), ব্যবহার করুন কোসাইন সম্প্রসারণ.

ফাংশন প্রবেশের নিয়ম:

মডিউল ফাংশনের জন্য, কোসাইন সম্প্রসারণ ব্যবহার করুন। উদাহরণস্বরূপ, |x| এর জন্য একটি মডিউল ছাড়া একটি ফাংশন প্রবেশ করা প্রয়োজন, যেমন এক্স.

ফুরিয়ার সিরিজ টুকরো টুকরো একটানা, টুকরাওয়াইজ একঘেয়ে এবং ব্যবধানে আবদ্ধ (- l;lফাংশনের ) সম্পূর্ণ সংখ্যা রেখায় একত্রিত হয়।

ফুরিয়ার সিরিজ S(x) এর যোগফল :

পিরিয়ড 2 সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন l. একটি ফাংশন u(x) কে পর্যায়ক্রমিক বলা হয় পিরিয়ড T (বা T-পর্যায়ক্রমিক) যদি R অঞ্চলের সমস্ত x, u(x+T)=u(x) এর জন্য।
ব্যবধানে (- l;l) ফাংশনের সাথে মিলে যায় চ(এক্স), ব্রেকপয়েন্ট ছাড়া
ফাংশনের বিচ্ছিন্নতার পয়েন্টে (প্রথম ধরনের, যেহেতু ফাংশনটি আবদ্ধ) চ(এক্স) এবং ব্যবধানের শেষে গড় মান নেয়:

.
তারা বলে যে ফাংশনটি ব্যবধানে একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয় (- l;l):

যদি চ(এক্স) একটি জোড় ফাংশন, তারপর শুধুমাত্র জোড় ফাংশন এর প্রসারণে অংশগ্রহণ করে, অর্থাৎ খ n=0.
যদি চ(এক্স) একটি বিজোড় ফাংশন, তারপর শুধুমাত্র বিজোড় ফাংশন এর প্রসারণে অংশগ্রহণ করে, অর্থাৎ এবং n=0

ফুরিয়ারের কাছে ফাংশন চ(এক্স) ব্যবধানে (0; l) একাধিক আর্কের কোসাইন দ্বারা সারি বলা হয়:
, কোথায়
.
ফুরিয়ারের কাছে ফাংশন চ(এক্স) ব্যবধানে (0; l) একাধিক আর্কের সাইন বরাবর সারি বলা হয়:
, কোথায় .
একাধিক আর্কের কোসাইনের উপর ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল হল 2 পিরিয়ড সহ একটি সমান পর্যায়ক্রমিক ফাংশন l, সঙ্গে মিলিত চ(এক্স) ব্যবধানে (0; l) ধারাবাহিকতার পয়েন্টে।
একাধিক আর্কের সাইনের উপর ফুরিয়ার সিরিজের যোগফল হল 2 পিরিয়ড সহ একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন l, সঙ্গে মিলিত চ(এক্স) ব্যবধানে (0; l) ধারাবাহিকতার পয়েন্টে।
প্রদত্ত ব্যবধানে একটি প্রদত্ত ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজের স্বতন্ত্রতার বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাৎ, যদি সূত্রগুলি ব্যবহার না করে অন্য কোনও উপায়ে প্রসারণ পাওয়া যায়, উদাহরণস্বরূপ, সহগ নির্বাচন করে, তাহলে এই সহগগুলি সূত্রগুলি থেকে গণনা করাগুলির সাথে মিলে যায়। .

উদাহরণ নং 1। প্রসারিত ফাংশন চ(এক্স)=1:
ক) ব্যবধানে একটি সম্পূর্ণ ফুরিয়ার সিরিজে(-π ;π);
b) ব্যবধানে একাধিক আর্কের সাইন বরাবর একটি সিরিজে(0;π); ফলে ফুরিয়ার সিরিজ প্লট করুন
সমাধান:
ক) ব্যবধানে (-π;π) ফুরিয়ার সিরিজ সম্প্রসারণের ফর্ম রয়েছে:
,
এবং সমস্ত সহগ খ n=0, কারণ এই ফাংশন সমান; এইভাবে,

স্পষ্টতই, আমরা মেনে নিলে সমতা সন্তুষ্ট হবে
ক 0 =2, ক 1 =ক 2 =ক 3 =…=0
স্বতন্ত্রতার বৈশিষ্ট্যের কারণে, এগুলি প্রয়োজনীয় সহগ। সুতরাং, প্রয়োজনীয় পচন: অথবা মাত্র 1=1।
এই ক্ষেত্রে, যখন একটি সিরিজ একইভাবে তার ফাংশনের সাথে মিলে যায়, তখন ফুরিয়ার সিরিজের গ্রাফটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখার ফাংশনের গ্রাফের সাথে মিলে যায়।
খ) একাধিক আর্কের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে ব্যবধানে (0;π) সম্প্রসারণের ফর্ম রয়েছে:
সহগ নির্বাচন করা স্পষ্টতই অসম্ভব যাতে সমতা অভিন্নভাবে ধরে থাকে। আসুন সহগ গণনা করতে সূত্রটি ব্যবহার করি:

এইভাবে, এমনকি জন্য n (n=2k) আমাদের আছে খ n=0, বিজোড়ের জন্য ( n=2k-1) -
অবশেষে, .
এর বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে ফলস্বরূপ ফুরিয়ার সিরিজটি প্লট করা যাক (উপরে দেখুন)।
প্রথমত, আমরা একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে এই ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি। এরপর, সিরিজের যোগফলের অদ্ভুততার সুবিধা নিয়ে, আমরা গ্রাফটিকে মূলের সাথে প্রতিসমভাবে চালিয়ে যাই:

আমরা সম্পূর্ণ সংখ্যা রেখা বরাবর পর্যায়ক্রমিকভাবে চালিয়ে যাই:

এবং অবশেষে, বিরতি পয়েন্টগুলিতে আমরা গড় (ডান এবং বাম সীমার মধ্যে) মান পূরণ করি:

উদাহরণ নং 2। একটি ফাংশন প্রসারিত করুন ব্যবধানে (0;6) একাধিক আর্কের সাইন বরাবর।
সমাধান: প্রয়োজনীয় সম্প্রসারণের ফর্ম আছে:

যেহেতু সমতার বাম এবং ডান উভয় পক্ষই কেবল ধারণ করে ফাংশন পাপবিভিন্ন আর্গুমেন্ট থেকে, আপনার চেক করা উচিত, n (প্রাকৃতিক!) মানের জন্য, বাম দিকের সাইনের আর্গুমেন্ট এবং ডান অংশসমতা:
বা , যা থেকে n =18। এর মানে হল যে এই জাতীয় শব্দটি ডানদিকে রয়েছে এবং এর সহগটি অবশ্যই বাম দিকের সহগের সাথে মিলে যাবে: খ 18 =1;
বা, যা থেকে n = 4। মানে, খ 4 =-5.
এইভাবে, সহগ নির্বাচন করে কাঙ্ক্ষিত সম্প্রসারণ পাওয়া সম্ভব ছিল:

ফেডারেল রাজ্য বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান উচ্চ শিক্ষা

"ভোলগা স্টেট ইউনিভার্সিটি

টেলিযোগাযোগ এবং তথ্য"

উচ্চতর গণিত বিভাগ

O.V.STAROZHILOVA

গণিতের বিশেষ অধ্যায়

প্রটোকল নং 45, তারিখ 10 মার্চ, 2017

Starozhilova, O.V.

গ গণিতের বিশেষ অধ্যায়: পাঠ্যপুস্তক //Starozhilova O.V. – সামারা: PGUTI, 2017. –221 p.

টিউটোরিয়ালগণিতের বিশেষ শাখাগুলিকে স্পর্শ করে: গাণিতিক যুক্তিবিদ্যা এবং স্বয়ংক্রিয় তত্ত্ব, প্রস্তাবিত বীজগণিত, প্রস্তাবিত ক্যালকুলাস, অ্যালগরিদম তত্ত্বের উপাদান, রিগ্রেশন বিশ্লেষণ, অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি।

বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্র এবং মাস্টার্স 03/09/02 দিকে অধ্যয়নরতদের জন্য " তথ্য সিস্টেম এবং প্রযুক্তি", যারা নিজেরাই গণিতের বিশেষ অধ্যায় অধ্যয়ন করতে চান।

প্রতিটি বিভাগ নিয়ন্ত্রণ প্রশ্নগুলির সাথে শেষ হয় যা কোর্সের তাত্ত্বিক নিপুণতা পরীক্ষা করতে সাহায্য করবে, এর জন্য প্রচুর সংখ্যক কাজ রয়েছে স্বাধীন সিদ্ধান্তএবং চেক করার উত্তর।

ম্যানুয়ালটিতে একটি ল্যাবরেটরি কমপ্লেক্স এবং কম্পিউটেশনাল গণিত পদ্ধতির সফ্টওয়্যার বাস্তবায়নের উপর জোর দিয়ে অনেক প্রকৌশল সমস্যা রয়েছে।

Starozhilova O.V., 2017

অধ্যায় 1 হারমোনিক বিশ্লেষণ 6

1.1 সাউন্ডিং স্ট্রিং সমস্যা 7

1.2 ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেম 8

1.3 ফাংশন 10 এর ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ

1.4 পর্যাপ্ত শর্তফুরিয়ার সিরিজ 13-এ একটি ফাংশনের বিস্তার

1.5 একটি অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ 17

1.6 জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ 18

1.7 যেকোনো সময়ের ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ 21

1.8 ফুরিয়ার অখণ্ড 27

1.9 জোড় এবং বিজোড় ফাংশনের জন্য ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল 29

1.10 জটিল ফর্মফুরিয়ার অখণ্ড 30

1.11 ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম 32

অধ্যায় 2 গাণিতিক যুক্তি এবং IV 33

2.1 যুক্তি বিকাশের পর্যায় 34

2.2 প্রস্তাবমূলক যুক্তি 38

2.3 যৌক্তিক সংযোগ 40

2.4 লজিক্যাল অপারেশন 41

প্রস্তাবিত ক্যালকুলাস 42 এর 2.5 বর্ণমালা

2.6 সূত্র। টাউটোলজি 42

2.7 প্রস্তাবিত যুক্তির আইন 44

2.8 আনুষ্ঠানিক তত্ত্ব। হ্যাচেবিলিটি। ব্যাখ্যা 46

2.9 স্বতঃসিদ্ধ পদ্ধতি 47

2.10 প্রোপোজিশনাল ক্যালকুলাসের স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম (PS) 52

2.11 উপসংহার নিয়ম 53

2.12 প্রাপ্ত অনুমান নিয়ম 56

2.13 প্রস্তাবিত যুক্তিতে একটি উপসংহার নির্মাণ 62

2.14 বীজগণিত এবং প্রস্তাবিত ক্যালকুলাসের মধ্যে সম্পর্ক 66

প্রশ্ন নিয়ন্ত্রণ করুন 69

অধ্যায় 3 রিগ্রেশন বিশ্লেষণ সমস্যা 70

3.1 পদ্ধতি সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র 74

3.2 লিনিয়ার রিগ্রেশন বিশ্লেষণ 76

3.3 রিগ্রেশন মডেলের অনুমান 79

3.4 লিনিয়ার রিগ্রেশন পদ্ধতি প্রয়োগে সমস্যা 83

3.5 পরিসংখ্যানগত মডেল LR 85 এর পূর্বশর্ত

3.6 রিগ্রেশন বিশ্লেষণের সমস্যা 86

3.7 মাল্টিভেরিয়েট স্বাভাবিক রিগ্রেশন মডেল 90

3.8 নির্ভরশীল চলকের পরিবর্তন 92

পরীক্ষার প্রশ্ন 94

অধ্যায় 4 সাধারণ প্রণয়ন এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্যার ধরন 95

4.1 অপ্টিমাইজেশান সমস্যার গাণিতিক সূত্র 97

4.2 স্থানীয় এবং বিশ্বব্যাপী সর্বনিম্ন TF 99

4.3 পদ্ধতি শর্তহীন অপ্টিমাইজেশান 102

4.4 স্থানাঙ্ক ডিসেন্ট পদ্ধতি 102

4.5 রোজেনব্রক পদ্ধতি 105

4.6 কনফিগারেশন পদ্ধতি 105

4.7 এলোমেলো অনুসন্ধান পদ্ধতি 108

4.8 নিউটনের পদ্ধতি 112

অধ্যায় 5 ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম 114

5.1 ফুরিয়ার ফাংশন আনুমানিক 114

5.2 ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম 117

5.3 ফাস্ট ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম 120

ল্যাবরেটরি কমপ্লেক্স 123

হারমোনিক এবং বর্ণালী বিশ্লেষণ 123

বিষয় 1. "প্রস্তাবিত যুক্তি" 131

LP 133 বিষয়ের জন্য পৃথক অ্যাসাইনমেন্টের রূপ

বিষয় 2. লিনিয়ার পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন 140

পরীক্ষাগারের কাজ № 1 141

LR সমীকরণ 141 এর সহগ গণনা

পরীক্ষাগার কাজ নং 2 144

নমুনা পারস্পরিক সম্পর্ক সহগ গণনা 144

পরীক্ষাগার কাজ নং 3 145

পেয়ার করা LR 145 এর বৈচিত্র্যের অনুমানের গণনা

পরীক্ষাগার কাজ নং 4 147

পেয়ার করা এলআর সহগ 147 এর জন্য এক্সেল ফাংশন

পরীক্ষাগার কাজ নং 5 149

পেয়ার করা LR ফাংশনের জন্য একটি ব্যবধান অনুমান নির্মাণ 149

পরীক্ষাগার কাজ নং 6 151

ফিশার মানদণ্ড 151 ব্যবহার করে LR সমীকরণের তাৎপর্য পরীক্ষা করা হচ্ছে

বিষয় 3 ননলাইনার পেয়ারওয়াইজ রিগ্রেশন 153

পরীক্ষাগার কাজ নং 7 153

153 ব্যবহার করে একটি ননলিনিয়ার রিগ্রেশন তৈরি করা

ট্রেন্ডলাইন কমান্ড যোগ করুন 153

পরীক্ষাগার কাজ নং 8 158

সেরা ননলাইনার রিগ্রেশন নির্বাচন করা 158

বিষয় 4. লিনিয়ার একাধিক সংশ্লেষণ 161

পরীক্ষাগার কাজ নং 9 162

এলএমআর সহগ গণনা 162

পরীক্ষাগার কাজ নং 10 166

রিগ্রেশন মোডে তাৎপর্য পরীক্ষা 166

বিষয় 5. অরৈখিক একাধিক রিগ্রেশন 175

পরীক্ষাগার কাজ নং 11 175

Cobb-Douglas ফাংশনের জন্য গণনা 175

পরীক্ষা № 1 179

পেয়ারড রিগ্রেশন 179

টেস্ট নং 2 181

বহুবচন লিনিয়ার রিগ্রেশন 181

শর্তহীন এক্সট্রিম অনুসন্ধানের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি 185

ফাংশন 185 এর গ্রাফিক্যাল বিশ্লেষণ

এক-মাত্রিক অনুসন্ধান সমস্যা 187

সোভেনের অ্যালগরিদম 190

পাশবিক বল পদ্ধতি 193

Bitwise অনুসন্ধান পদ্ধতি 195

ডিকোটমি পদ্ধতি। 198

ফিবোনাচি পদ্ধতি 201

গোল্ডেন রেশিও পদ্ধতি 205

মিডপয়েন্ট পদ্ধতি 210

নিউটনের পদ্ধতি 214

সাহিত্য 218

অধ্যায় 1 হারমোনিক বিশ্লেষণ

সংজ্ঞাহারমোনিক বিশ্লেষণ-গণিতের শাখা সুরেলা কম্পনে কম্পনের পচনের সাথে যুক্ত।

পর্যায়ক্রমিক (অর্থাৎ সময়ের পুনরাবৃত্তি) ঘটনা অধ্যয়ন করার সময়, আমরা বিবেচনা করি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন.

উদাহরণস্বরূপ, একটি সুরেলা দোলন সময়ের একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন দ্বারা বর্ণিত হয় t:

Ø সংজ্ঞাপর্যায়ক্রমিক ফাংশন- একটি ফাংশন যার মান পরিবর্তন হয় না যখন একটি নির্দিষ্ট অ-শূন্য নম্বর কল করা হয় সময়কালফাংশন

যেহেতু দুটি পিরিয়ডের যোগফল এবং পার্থক্য আবার একটি পর্যায় এবং তাই, একটি পিরিয়ডের যেকোনো গুণিতকও একটি পিরিয়ড, তাই প্রতিটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি অসীম সংখ্যক পর্যায় রয়েছে।

যদি একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের একটি বাস্তব পিরিয়ড থাকে, ক্রমাগত হয় এবং একটি ধ্রুবক থেকে আলাদা হয়, তাহলে এটির ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক সময়কাল থাকে টি; একই ফাংশনের অন্য কোনো বাস্তব সময়ের ফর্ম থাকবে ক ট, কোথায় k =±1, ±2,...

একই সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের যোগফল, গুণফল এবং ভাগফল একই সময়ের সাথে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলি দোলনের তত্ত্বে এবং সাধারণভাবে গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। গাণিতিক বিশ্লেষণের সময়, আমরা একটি কার্যকরী সিরিজের ধারণার সাথে পরিচিত হয়েছি, এর গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে কাজ করেছি - শক্তি ধারা. আসুন আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিবেচনা করা যাক (শারীরিক অ্যাপ্লিকেশন সহ) বিশেষ মামলাকার্যকরী সিরিজ - ত্রিকোণমিতিক সিরিজ।

Ø সংজ্ঞা কার্যকরী পরিসীমা -ফর্মের সিরিজ

যেখানে ফাংশনগুলি একটি ভেরিয়েবল বা একাধিক ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে।

প্রতিটি নির্দিষ্ট মানের জন্য, কার্যকরী সিরিজ একটি সংখ্যাসূচক সিরিজে পরিণত হয়

যা একত্রিত হতে পারে বা ভিন্ন হতে পারে।

Ø সংজ্ঞা কার্যকরী সিরিজ কনভারজেন্স পয়েন্ট- যে বিন্দুতে কার্যকরী সিরিজ একত্রিত হয়।

Ø সংজ্ঞাঅভিসারী সমস্ত বিন্দুর সেট বলা হয় সিরিজের অভিসারী অঞ্চল.

এটা কি সম্ভব এই ফাংশনএকটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজের আকারে প্রতিনিধিত্ব করে, যেমন এটা সহগ খুঁজে পাওয়া সম্ভব? একটিএবং খ nযাতে সবার জন্য সমতা থাকে

সিরিজের যোগফল স্পষ্টতই একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন। এর মানে হল যে শুধুমাত্র পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলিকে একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে চ.

উপরন্তু, এটা স্পষ্ট যে দুটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন যদি একটি ব্যবধানে মিলে যায় যার দৈর্ঘ্য সময়ের সমান, তাহলে তারা সর্বত্র মিলে যায়। অতএব, দৈর্ঘ্যের একটি নির্দিষ্ট ব্যবধান পরীক্ষা করা যথেষ্ট, উদাহরণস্বরূপ, .

1.1 সাউন্ডিং স্ট্রিং সমস্যা

ত্রিকোণমিতিক সিরিজের অধ্যয়নটি 18 শতকে উত্থাপিত সাউন্ডিং স্ট্রিং সমস্যা দ্বারা পরিচালিত হয়েছিল।

একটি ফাংশন দেওয়া, একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ খুঁজে পাওয়া সম্ভব যেটি একত্রিত হয় এবং এর যোগফল ফাংশন হিসাবে থাকে। এটির উপর বিধিনিষেধ আরোপ করা প্রয়োজন যাতে কেউ এটিতে রূপান্তরিত একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ অনুসন্ধান করতে পারে।

একটি অনুরূপ টাস্ক জন্য ছিল শক্তি ধারা, যদি এটি সমাধানযোগ্য হয়, তাহলে এই ধরনের একটি সিরিজ একটি টেলর সিরিজ।

1.2 ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেম

গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণের সীমানা মান সমস্যা সমাধানের জন্য ফুরিয়ার পদ্ধতির সাথে ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেমগুলির পদ্ধতিগত অধ্যয়ন শুরু হয়েছিল। ফাংশনের অর্থোগোনাল সিস্টেমের তত্ত্বের প্রধান সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হল একটি ফাংশন পচানোর সমস্যা চ(এক্স) ফর্মের একটি সিরিজে, যেখানে ফাংশনগুলির একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম রয়েছে।

Ø সংজ্ঞাফাংশন বলা হয় অর্থোগোনালঅন, যদি পূরণ হয়:

q উদাহরণ , - ফাংশন অর্থোগোনাল থেকে, কারণ

q উদাহরণ on সংজ্ঞায়িত যেকোনো ফাংশনের জন্য অর্থোগোনাল।

Ø সংজ্ঞাফাংশন একটি অসীম সিস্টেম বলা হয় অর্থোগোনালযদি উপর

q উদাহরণফাংশনের একটি অসীম সিস্টেম ফাংশনের একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম গঠন করে না

q উদাহরণ -ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সিস্টেমএটির অর্থোগোনাল ফাংশনগুলির একটি সিস্টেম গঠন করে।

, , .

Ø সংজ্ঞাফাংশনের একটি নির্বিচারে সিস্টেমকে অর্থোগোনাল করতে দিন। সারি

যেখানে নির্বিচারে সংখ্যাসূচক সহগ বলা হয় ফাংশনের একটি অর্থোগোনাল সিস্টেম অনুসারে একে অপরের পাশে।

Ø সংজ্ঞাফাংশনের ত্রিকোণমিতিক সিস্টেম অনুযায়ী সিরিজ

ডাকা ত্রিকোণমিতিক সিরিজ।

ü মন্তব্য করুনযদি প্রতিটি বিন্দুতে একত্রিত হওয়া ত্রিকোণমিতিক সিরিজের যোগফল হয়, তাহলে এটি পর্যায়ক্রমিক, যেহেতু , পর্যায়ক্রমিক ফাংশন, তাহলে সমতা কিছুই পরিবর্তন হবে না, তাই পর্যায়ক্রমিক।

ü মন্তব্য করুনযদি সেগমেন্টে দেওয়া হয়, কিন্তু না হয়, তাহলে স্থানাঙ্কের মূল স্থানান্তর করে এটিকে অধ্যয়নকৃত ক্ষেত্রে হ্রাস করা যেতে পারে।

ü মন্তব্য করুনযদি পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন না হয়, তবে এটি একটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজে প্রসারিত হয়

q উপপাদ্যযদি একটি সংখ্যা সিরিজ একত্রিত হয়, তাহলে ত্রিকোণমিতিক সিরিজ

সম্পূর্ণ অক্ষ বরাবর একেবারে এবং অভিন্নভাবে একত্রিত হয়।

প্রমাণ

তাই,

সিরিজ - একটি প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সিরিজকে বড় করে, এবং উইয়েরস্ট্রাসের পরীক্ষা অনুসারে, অভিন্নভাবে একত্রিত হয়।

পরম মিলন সুস্পষ্ট।

1.3 ফাংশনের ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ

জিন ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ার 1768 - 1830 - ফরাসি গণিতবিদ।

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ গণনা করতে, আমরা অখণ্ডগুলি গণনা করি

, ,

q উপপাদ্যযদি সবার জন্য সমতা থাকে

এবং ত্রিকোণমিতিক সিরিজ সমগ্র অক্ষে অভিন্নভাবে একত্রিত হয়, তারপর এই সিরিজের সহগ নির্ধারণ করা হয়

, ,

প্রমাণ

সিরিজটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় অভিন্নভাবে একত্রিত হয়, এর পদগুলি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন, তারপরে এর যোগফলও অবিচ্ছিন্ন এবং ধারাবাহিকের মধ্যে টার্ম-বাই-টার্ম ইন্টিগ্রেশন সম্ভব।

প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য শূন্যের সমান, কারণ ফাংশনগুলির ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমটি , এবং তারপরে অর্থোগোনাল

এটি প্রমাণ করতে, উভয় পক্ষকে দ্বারা গুণ করুন

এটি সিরিজের ইউনিফর্ম কনভারজেন্সকে ব্যাহত করবে না।

সিরিজের অভিন্ন অভিন্নতার কারণে

এবং এর মানে হল সিরিজের অভিন্ন অভিসরণ।

উপর একীভূত, আমরা আছে

অন ফাংশনের ত্রিকোণমিতিক সিস্টেমের অর্থোগোনালিটির কারণে

, , এবং থেকে অবিচ্ছেদ্য এ,

, যে, ইত্যাদি

আসুন এটি মনে রাখা যাক

এই সমতাগুলির বৈধতা ত্রিকোণমিতিক সূত্রের প্রয়োগ থেকে ইন্টিগ্র্যান্ডে অনুসরণ করে।

জন্য সূত্র একই ভাবে প্রমাণিত হয়.

ü মন্তব্য করুনযে কোনো ব্যবধানে উপপাদ্যটি বৈধ থাকে এবং একীকরণের সীমা যথাক্রমে দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

Ø সংজ্ঞাত্রিকোণমিতিক সিরিজ

যার সহগ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

, ,

ডাকা ফুরিয়ার কাছাকাছিফাংশনের জন্য, এবং সহগ বলা হয় ফুরিয়ার সহগ.

যদি ফুরিয়ার সিরিজ ফাংশন f(x)তার ধারাবাহিকতার সমস্ত পয়েন্টে একত্রিত হয়, তারপর আমরা বলি যে ফাংশন f(x) একটি ফুরিয়ার সিরিজে প্রসারিত হয়েছে।

ü মন্তব্য করুনপ্রতিটি ত্রিকোণমিতিক সিরিজ একটি ফুরিয়ার সিরিজ নয়, এমনকি যদি এটি সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় একত্রিত হয়।

একটি অ-সমভাবে অভিসারী সিরিজের যোগফল বিচ্ছিন্ন হতে পারে এবং একত্রিত হতে পারে না, তাই ফুরিয়ার সহগ নির্ধারণ করা অসম্ভব।

ü মন্তব্য করুনফুরিয়ার সিরিজ কার্যকরী সিরিজের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

1.4 ফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশন সম্প্রসারণের জন্য যথেষ্ট শর্ত

Ø সংজ্ঞাফাংশন বলা হয় সেগমেন্টে টুকরো টুকরো একঘেয়ে,যদি এই অংশটিকে একটি সীমিত সংখ্যক বিন্দু দ্বারা ভাগ করা যায় x 1, x 2, ..., x n-1বিরতিতে ( ক,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,খ) যাতে প্রতিটি ব্যবধানে ফাংশনটি একঘেয়ে হয়, অর্থাৎ এটি হয় বাড়ে না বা কমে না।

ü মন্তব্য করুনসংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি একটি ফাংশন টুকরো টুকরো একঘেয়ে এবং আবদ্ধ হয় [ ক,খ], তারপর এটি শুধুমাত্র প্রথম ধরনের discontinuities আছে.

Ø সংজ্ঞাফাংশন বলা হয় টুকরো টুকরো মসৃণ, যদি প্রতিটি সসীম ব্যবধানে এটি এবং এর ডেরিভেটিভের সর্বাধিক 1ম ধরণের বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর একটি সীমিত সংখ্যা থাকে।

q উপপাদ্য (ডিরিচলেট শর্তফুরিয়ার সিরিজে একটি ফাংশনের পচনশীলতার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত): যদি একটি পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন শর্তগুলির একটিকে সন্তুষ্ট করে:

তারপর এই ফাংশনের জন্য নির্মিত ফুরিয়ার সিরিজটি সমস্ত পয়েন্টে একত্রিত হয়

এবং সংখ্যায় একত্রিত হয় তার বিচ্ছিন্নতার প্রতিটি বিন্দুতে।

ফলস্বরূপ সিরিজের যোগফল ফাংশনের ধারাবাহিকতার বিন্দুতে ফাংশনের মানের সমান

ফাংশন, উপাদান মধ্যে তাদের পচন. বিকল্প স্রোত এবং ভোল্টেজ, স্থানচ্যুতি, ক্র্যাঙ্ক মেকানিজমের গতি এবং ত্বরণ এবং শাব্দ তরঙ্গগুলি ইঞ্জিনিয়ারিং গণনায় পর্যায়ক্রমিক ফাংশনগুলির ব্যবহারের সাধারণ বাস্তব উদাহরণ।

sinx এবং cosx এর যোগফলের মাধ্যমে স্ট্যান্ডার্ড (=সাধারণ) স্বরলিপি

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

যেখানে a o, a 1, a 2,...,b 1, b 2,.. বাস্তব ধ্রুবক, যেমন

যেখানে, -π থেকে π পর্যন্ত পরিসরের জন্য, ফুরিয়ার সিরিজের সহগগুলি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

একটি সিরিজ লেখার আরেকটি উপায় হল সম্পর্ক ব্যবহার করা acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...c n sin(nx+α n)

পিরিয়ড 2π সহ অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ফুরিয়ার সিরিজ।

ফুরিয়ার সিরিজে অ-পর্যায়ক্রমিক ফাংশন সম্প্রসারণ।

জোড় এবং বিজোড় ফাংশন।

অনেক ফাংশন জোড় বা বিজোড় নয়।

কোসাইনে ফুরিয়ার সিরিজের বিস্তার।

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

তাই,

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

হাফ সাইকেলে ফুরিয়ার সিরিজ।

আপনি যদি পচন পেতে চান কোসাইন দ্বারা অর্ধ-চক্র ফুরিয়ারফাংশন f(x) 0 থেকে π পর্যন্ত পরিসরে, তারপর একটি জোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করা প্রয়োজন। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু জোড় ফাংশনটি f(x) অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা AB রেখা আঁকি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। নিচে. যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলস্বরূপ ত্রিভুজাকার আকৃতিটি পর্যায়ক্রমিক 2π এর সাথে, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটি এরকম দেখায়: চিত্রে নিচে. যেহেতু আমাদের কোসাইনগুলিতে ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ a o এবং a n গণনা করি

আপনি যদি 0 থেকে π পর্যন্ত ফাংশন f(x) পেতে চান, তাহলে আপনাকে একটি বিজোড় পর্যায়ক্রমিক ফাংশন তৈরি করতে হবে। চিত্রে। নীচের ফাংশন f(x)=x, x=0 থেকে x=π পর্যন্ত ব্যবধানে নির্মিত। যেহেতু বিজোড় ফাংশন উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম, তাই আমরা লাইন সিডি তৈরি করি, যেমনটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। যদি আমরা ধরে নিই যে বিবেচিত ব্যবধানের বাইরে ফলস্বরূপ করাত টুথ সংকেতটি 2π এর সময়কালের সাথে পর্যায়ক্রমিক হয়, তাহলে চূড়ান্ত গ্রাফটিতে চিত্রে দেখানো ফর্মটি রয়েছে। যেহেতু আমাদের সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে অর্ধ-চক্রের ফুরিয়ার সম্প্রসারণ পেতে হবে, আগের মতো, আমরা ফুরিয়ার সহগ গণনা করি। খ

একটি নির্বিচারে বিরতির জন্য ফুরিয়ার সিরিজ।

পিরিয়ড এল সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের প্রসারণ।

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন f(x) পুনরাবৃত্তি হয় যখন x L দ্বারা বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ f(x+L)=f(x)। পূর্বে বিবেচিত ফাংশন থেকে 2π এর একটি পিরিয়ডের সাথে ফাংশনে রূপান্তর করা বেশ সহজ, কারণ এটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

ফুরিয়ার সিরিজের সহগ কোথায়,

যাইহোক, আরো প্রায়ই উপরোক্ত সূত্র x এর উপর নির্ভরশীলতার ফলে। যেহেতু u=2πx/L, এর অর্থ হল du=(2π/L)dx, এবং একীকরণের সীমা - π থেকে π-এর পরিবর্তে -L/2 থেকে L/2। ফলস্বরূপ, x এর উপর নির্ভরতার জন্য ফুরিয়ার সিরিজের ফর্ম রয়েছে

যেখানে -L/2 থেকে L/2 পর্যন্ত ফুরিয়ার সিরিজের সহগ,