লগারিদম কি মান নিতে পারে? পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

সম্পর্কিত

প্রদত্ত অন্য দুটি থেকে তিনটি সংখ্যার যেকোনো একটি খুঁজে বের করার কাজটি নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি a এবং তারপর N দেওয়া হয়, তারা সূচক দ্বারা পাওয়া যায়। যদি N এবং তারপর a দেওয়া হয় ডিগ্রী x এর মূল নিয়ে (অথবা এটিকে শক্তিতে বাড়িয়ে)। এখন বিবেচনা করুন যখন, a এবং N দেওয়া হলে, আমাদের x খুঁজে বের করতে হবে।

N সংখ্যাটিকে ধনাত্মক হতে দিন: সংখ্যাটি ধনাত্মক এবং একের সমান নয়: .

সংজ্ঞা। সংখ্যা N-এর লগারিদম বেস a-এর সূচক হল যে সূচকটি N সংখ্যা পেতে হলে aকে উঠাতে হবে; লগারিদম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

এইভাবে, সমতায় (26.1) সূচকটিকে N-এর লগারিদম হিসাবে a বেস হিসাবে পাওয়া যায়। পোস্ট

একই অর্থ আছে সমতা (26.1) কখনও কখনও লগারিদম তত্ত্বের প্রধান পরিচয় বলা হয়; বাস্তবে এটি লগারিদমের ধারণার সংজ্ঞা প্রকাশ করে। দ্বারা এই সংজ্ঞালগারিদম a এর ভিত্তি সর্বদা ধনাত্মক এবং ঐক্য থেকে ভিন্ন; লগারিদমিক সংখ্যা N ধনাত্মক। ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যের কোনো লগারিদম নেই। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রদত্ত বেস সহ যে কোনও সংখ্যার একটি সুনির্দিষ্ট লগারিদম রয়েছে। তাই সমতা আবশ্যক। উল্লেখ্য যে শর্তটি এখানে অপরিহার্য; অন্যথায়, উপসংহারটি ন্যায়সঙ্গত হবে না, যেহেতু সমতা x এবং y-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য।

উদাহরণ 1. খুঁজুন

সমাধান। একটি সংখ্যা প্রাপ্ত করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বেস 2 কে শক্তিতে বাড়াতে হবে।

নিম্নলিখিত ফর্মে এই ধরনের উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় আপনি নোট তৈরি করতে পারেন:

উদাহরণ 2. খুঁজুন।

সমাধান। আমাদের আছে

উদাহরণ 1 এবং 2-এ, আমরা সহজেই লগারিদম সংখ্যাটিকে মূলদ সূচক সহ বেসের শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে কাঙ্ক্ষিত লগারিদম খুঁজে পেয়েছি। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, জন্য, ইত্যাদি, এটি করা যাবে না, যেহেতু লগারিদমের একটি অযৌক্তিক মান রয়েছে। আমাদের এই বিবৃতি সম্পর্কিত একটি বিষয় মনোযোগ দেওয়া যাক. অনুচ্ছেদ 12-এ, আমরা একটি প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যার কোনো বাস্তব শক্তি নির্ধারণের সম্ভাবনার ধারণা দিয়েছি। লগারিদমগুলির প্রবর্তনের জন্য এটি প্রয়োজনীয় ছিল, যা সাধারণত বলতে গেলে, অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

আসুন লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য দেখি।

বৈশিষ্ট্য 1. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান হয়, তাহলে লগারিদম একের সমান, এবং বিপরীতভাবে, লগারিদম যদি একের সমান হয়, তাহলে সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান।

প্রমাণ। একটি লগারিদম সংজ্ঞা দ্বারা আমরা এবং কোথা থেকে আছে

বিপরীতভাবে, তারপর সংজ্ঞা দ্বারা যাক

বৈশিষ্ট্য 2. যেকোন ভিত্তির সাথে একের লগারিদম শূন্যের সমান।

প্রমাণ। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে (যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তির শূন্য শক্তি একের সমান, দেখুন (10.1))। এখান থেকে

Q.E.D.

কথোপকথন বিবৃতিটিও সত্য: যদি , তাহলে N = 1। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের আছে।

লগারিদমের পরবর্তী বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন করার আগে, আসুন আমরা বলতে রাজি যে দুটি সংখ্যা a এবং b তৃতীয় সংখ্যা c এর একই পাশে অবস্থিত যদি তারা উভয়ই c এর চেয়ে বড় বা c এর চেয়ে কম হয়। এই সংখ্যাগুলির একটি যদি c-এর চেয়ে বড় হয় এবং অন্যটি c-এর চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা বলব যে তারা c-এর বিপরীত দিকে রয়েছে।

বৈশিষ্ট্য 3. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির একই পাশে থাকে, তাহলে লগারিদমটি ধনাত্মক হয়; যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির বিপরীত দিকে থাকে, তাহলে লগারিদম নেতিবাচক।

সম্পত্তি 3 এর প্রমাণটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে a এর শক্তি একের চেয়ে বেশি হয় যদি ভিত্তিটি একের বেশি হয় এবং সূচকটি ধনাত্মক হয় বা ভিত্তিটি একের চেয়ে কম হয় এবং সূচকটি ঋণাত্মক হয়। বেস একের বেশি হলে এবং সূচকটি ঋণাত্মক বা ভিত্তি একের কম হলে এবং সূচকটি ধনাত্মক হলে একটি শক্তি একের চেয়ে কম হয়।

বিবেচনা করার জন্য চারটি ক্ষেত্রে রয়েছে:

আমরা তাদের প্রথম বিশ্লেষণের মধ্যে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব; পাঠক নিজেরাই বিবেচনা করবেন।

তাহলে সমতায় ধরা যাক সূচকটি ঋণাত্মক বা শূন্যের সমানও হতে পারে না, তাই, এটি ধনাত্মক, অর্থাত্‍ প্রমাণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 3. নীচের লগারিদমগুলির মধ্যে কোনটি ধনাত্মক এবং কোনটি ঋণাত্মক তা সন্ধান করুন:

সমাধান, ক) যেহেতু 15 নম্বর এবং ভিত্তি 12 একটির একই পাশে অবস্থিত;

খ) যেহেতু 1000 এবং 2 ইউনিটের একপাশে অবস্থিত; এই ক্ষেত্রে, এটা গুরুত্বপূর্ণ নয় যে বেসটি লগারিদমিক সংখ্যার চেয়ে বড়;

গ) যেহেতু 3.1 এবং 0.8 ঐক্যের বিপরীত দিকে রয়েছে;

ছ); কেন?

ঘ) ; কেন?

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য 4-6 কে প্রায়ই লগারিদমেশনের নিয়ম বলা হয়: তারা কিছু সংখ্যার লগারিদম জেনে তাদের প্রতিটির গুণফল, ভাগফল এবং ডিগ্রির লগারিদম খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়।

প্রপার্টি 4 (পণ্য লগারিদম নিয়ম)। দ্বারা বেশ কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম এই ভিত্তি যোগফলের সমানএই সংখ্যার লগারিদম একই বেসে।

প্রমাণ। প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ইতিবাচক হতে দিন।

তাদের পণ্যের লগারিদমের জন্য, আমরা সমতা (26.1) লিখি যা লগারিদমকে সংজ্ঞায়িত করে:

এখান থেকে আমরা খুঁজে পাব

প্রথম এবং শেষ রাশির সূচকগুলির তুলনা করে, আমরা প্রয়োজনীয় সমতা পাই:

উল্লেখ্য যে শর্ত অপরিহার্য; দুটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম বোঝা যায়, কিন্তু এই ক্ষেত্রে আমরা পাই

সাধারণভাবে, যদি বেশ কয়েকটি ফ্যাক্টরের গুণফল ধনাত্মক হয়, তাহলে এর লগারিদম এই ফ্যাক্টরগুলির পরম মানের লগারিদমের যোগফলের সমান।

সম্পত্তি 5 (ভাগফলের লগারিদম নেওয়ার নিয়ম)। ধনাত্মক সংখ্যার ভাগফলের লগারিদম লভ্যাংশ এবং ভাজকের লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান, একই বেসে নেওয়া হয়। প্রমাণ। আমরা ধারাবাহিকভাবে খুঁজে

Q.E.D.

সম্পত্তি 6 (পাওয়ার লগারিদম নিয়ম)। যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার ঘাতের লগারিদম সূচক দ্বারা গুণিত সেই সংখ্যাটির লগারিদমের সমান।

প্রমাণ। আসুন আমরা আবার সংখ্যার জন্য মূল পরিচয় (26.1) লিখি:

Q.E.D.

পরিণতি। একটি ধনাত্মক সংখ্যার মূলের লগারিদম মূলের সূচক দ্বারা বিভক্ত র্যাডিকেলের লগারিদমের সমান:

সম্পত্তি 6 কিভাবে এবং ব্যবহার করে কল্পনা করে এই ফলাফলের বৈধতা প্রমাণ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 4. লগারিদমকে বেস a-এ নিন:

ক) (ধারণা করা হয় যে সমস্ত মান b, c, d, e ধনাত্মক);

খ) (ধারণা করা হয় যে)।

সমাধান, ক) এই অভিব্যক্তিতে ভগ্নাংশের শক্তিতে যাওয়া সুবিধাজনক:

সমতার উপর ভিত্তি করে (26.5)-(26.7), আমরা এখন লিখতে পারি:

আমরা লক্ষ্য করি যে সংখ্যার লগারিদমগুলিতে সংখ্যার তুলনায় সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি সঞ্চালিত হয়: সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের লগারিদমগুলি যোগ করা হয়, ভাগ করার সময়, বিয়োগ করা হয় ইত্যাদি।

এই কারণেই লগারিদমগুলি কম্পিউটিং অনুশীলনে ব্যবহৃত হয় (অনুচ্ছেদ 29 দেখুন)।

লগারিদমের বিপরীত ক্রিয়াকে পটেনশিয়ান বলা হয়, যথা: পটেনশিয়ান এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা সংখ্যাটি একটি সংখ্যার প্রদত্ত লগারিদম থেকে পাওয়া যায়। অগত্যা, সম্ভাব্যতা নয় বিশেষ কর্ম: এটি বেসকে একটি পাওয়ারে উন্নীত করতে নেমে আসে (সংখ্যার লগারিদমের সমান)। "সম্ভাব্যতা" শব্দটিকে "সম্পত্তি" শব্দটির সমার্থক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সম্ভাব্যতা করার সময়, আপনাকে লগারিদমেশনের নিয়মগুলির বিপরীতে নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে: লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করুন, ভাগফলের লগারিদমের সাথে লগারিদমের পার্থক্য ইত্যাদি। বিশেষ করে, যদি সামনে একটি ফ্যাক্টর থাকে লগারিদমের চিহ্নের, তারপর সম্ভাবনার সময় এটি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সূচক ডিগ্রীতে স্থানান্তর করতে হবে।

উদাহরণ 5. N সন্ধান করুন যদি এটি জানা যায় যে

সমাধান। সম্ভাব্যতার ঠিক উল্লেখিত নিয়মের সাথে, আমরা এই সমতার ডানদিকে লগারিদমগুলির চিহ্নগুলির সামনে দাঁড়িয়ে থাকা 2/3 এবং 1/3 গুণনীয়কগুলিকে এই লগারিদমের লক্ষণগুলির অধীনে সূচকগুলিতে স্থানান্তর করব; আমরা পেতে

এখন আমরা লগারিদমের পার্থক্যটিকে ভাগফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করি:

সমতার এই শৃঙ্খলে শেষ ভগ্নাংশটি পেতে, আমরা পূর্ববর্তী ভগ্নাংশটিকে হর-এর অযৌক্তিকতা থেকে মুক্ত করেছি (ধারা 25)।

সম্পত্তি 7. যদি ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে বড় সংখ্যাএকটি বৃহত্তর লগারিদম আছে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি ছোট আছে), যদি ভিত্তিটি একের কম হয়, তাহলে একটি বড় সংখ্যার একটি ছোট লগারিদম থাকে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি বড় থাকে)।

এই সম্পত্তিটি অসমতার লগারিদম নেওয়ার জন্য একটি নিয়ম হিসাবেও প্রণয়ন করা হয়েছে, যার উভয় দিকই ইতিবাচক:

লগারিদমিং যখন একের বেশি বেসে অসমতা, অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত হয়, এবং যখন একের চেয়ে কম বেসে লগারিদমিং করা হয়, তখন অসমতার চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হয় (এছাড়াও অনুচ্ছেদ 80 দেখুন)।

প্রমাণটি 5 এবং 3 বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। কেসটি বিবেচনা করুন যখন If , তারপর এবং লগারিদম গ্রহণ করলে আমরা পাই

(a এবং N/M ঐক্যের একই পাশে থাকে)। এখান থেকে

কেস একটি অনুসরণ করে, পাঠক নিজেই এটি বের করবে।

নির্দেশনা

প্রদত্ত লগারিদমিক রাশিটি লিখ। যদি অভিব্যক্তিটি 10 ​​এর লগারিদম ব্যবহার করে, তবে এর স্বরলিপি সংক্ষিপ্ত করা হয় এবং এইরকম দেখায়: lg b হল দশমিক লগারিদম. লগারিদমের বেস হিসাবে যদি e সংখ্যা থাকে, তাহলে অভিব্যক্তিটি লিখুন: ln b – প্রাকৃতিক লগারিদম। এটি বোঝা যায় যে যে কোনোটির ফলাফল হল সেই শক্তি যার দিকে ভিত্তি নম্বরটি বাড়াতে হবে b নম্বর পেতে।

দুটি ফাংশনের যোগফল খুঁজে বের করার সময়, আপনাকে কেবল তাদের একে একে আলাদা করতে হবে এবং ফলাফল যোগ করতে হবে: (u+v)" = u"+v";

দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার সময়, প্রথম ফাংশনের ডেরিভেটিভকে দ্বিতীয় দ্বারা গুণ করতে হবে এবং প্রথম ফাংশন দ্বারা গুণিত দ্বিতীয় ফাংশনের ডেরিভেটিভ যোগ করতে হবে: (u*v)" = u"*v +v"*u;

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ বের করার জন্য, ভাজকের ফাংশন দ্বারা গুণিত লভ্যাংশের ডেরিভেটিভের গুনফল থেকে বিয়োগ করতে হবে এবং লভ্যাংশের ফাংশন দ্বারা গুণিত ভাজকের ডেরিভেটিভের গুণফলকে বিয়োগ করতে হবে। এই সব ভাজক ফাংশন বর্গ দ্বারা. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

যদি দেওয়া হয় জটিল ফাংশন, তাহলে এর ডেরিভেটিভকে গুণ করতে হবে অভ্যন্তরীণ ফাংশনএবং বাহ্যিকটির ডেরিভেটিভ। ধরুন y=u(v(x)), তারপর y"(x)=y"(u)*v"(x)।

উপরে প্রাপ্ত ফলাফল ব্যবহার করে, আপনি প্রায় কোন ফাংশন পার্থক্য করতে পারেন. তাহলে আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *এক্স));
একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভ গণনা করার ক্ষেত্রেও সমস্যা রয়েছে। ফাংশনটি y=e^(x^2+6x+5) দেওয়া যাক, আপনাকে x=1 বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে বের করতে হবে।
1) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) মধ্যে ফাংশনের মান গণনা করুন প্রদত্ত বিন্দু y"(1)=8*e^0=8

বিষয়ের উপর ভিডিও

সহায়ক পরামর্শ

প্রাথমিক ডেরিভেটিভের সারণী শিখুন। এটি উল্লেখযোগ্যভাবে সময় বাঁচাবে।

সূত্র:

• একটি ধ্রুবকের ডেরিভেটিভ

সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এবং একটি যুক্তিযুক্ত সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য কী? যদি অজানা চলকটি বর্গমূল চিহ্নের অধীনে থাকে, তাহলে সমীকরণটি অযৌক্তিক বলে বিবেচিত হবে।

নির্দেশনা

এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের প্রধান পদ্ধতি হল উভয় পক্ষের গঠন পদ্ধতি সমীকরণএকটি বর্গক্ষেত্রে যাহোক. এটি স্বাভাবিক, আপনাকে প্রথমে যা করতে হবে তা হল চিহ্নটি থেকে মুক্তি। এই পদ্ধতিটি প্রযুক্তিগতভাবে কঠিন নয়, তবে কখনও কখনও এটি সমস্যা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি v(2x-5)=v(4x-7)। উভয় পক্ষকে বর্গ করে আপনি 2x-5=4x-7 পাবেন। এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করা কঠিন নয়; x=1। কিন্তু ১ নম্বর দেওয়া হবে না সমীকরণ. কেন? x এর মানের পরিবর্তে একটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন। এবং ডান এবং বাম দিকে এমন অভিব্যক্তি থাকবে যা অর্থহীন, অর্থাৎ। এই মানটি বর্গমূলের জন্য বৈধ নয়। অতএব, 1 একটি বহিরাগত মূল, এবং সেইজন্য এই সমীকরণটির কোন শিকড় নেই।

সুতরাং, একটি অযৌক্তিক সমীকরণ এর উভয় বাহুর বর্গ করার পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। এবং সমীকরণটি সমাধান করার পরে, এটি কেটে ফেলা প্রয়োজন বহিরাগত শিকড়. এটি করার জন্য, মূল সমীকরণে পাওয়া শিকড়গুলি প্রতিস্থাপন করুন।

আরেকটি বিবেচনা করুন।
2х+vх-3=0
অবশ্যই, এই সমীকরণটি আগের সমীকরণটির মতো একই সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। যৌগ সরান সমীকরণ, যার বর্গমূল নেই, in ডান পাশএবং তারপর স্কোয়ারিং পদ্ধতি ব্যবহার করুন। ফলস্বরূপ যৌক্তিক সমীকরণ এবং শিকড় সমাধান করুন। কিন্তু আরেকটি, আরো মার্জিত এক. একটি নতুন পরিবর্তনশীল লিখুন; vх=y সেই অনুযায়ী, আপনি 2y2+y-3=0 ফর্মের একটি সমীকরণ পাবেন। অর্থাৎ স্বাভাবিক দ্বিঘাত সমীকরণ. এর শিকড় সন্ধান করুন; y1=1 এবং y2=-3/2। পরবর্তী, দুটি সমাধান করুন সমীকরণ vх=1; vх=-3/2। দ্বিতীয় সমীকরণের কোনো শিকড় নেই; প্রথম থেকে আমরা খুঁজে পাই যে x=1। শিকড় পরীক্ষা করতে ভুলবেন না।

পরিচয় সমাধান করা বেশ সহজ। এটি করার জন্য, নির্ধারিত লক্ষ্য অর্জন না হওয়া পর্যন্ত অভিন্ন রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা প্রয়োজন। এইভাবে, সহজতম সাহায্যে গাণিতিক অপারেশনহাতের কাজটি সমাধান করা হবে।

আপনার প্রয়োজন হবে

• - কাগজ;
• - কলম।

নির্দেশনা

এই ধরনের রূপান্তরগুলির মধ্যে সবচেয়ে সহজ হল বীজগণিতের সংক্ষিপ্ত গুণ (যেমন যোগফলের বর্গ (পার্থক্য), বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য, যোগফল (পার্থক্য), যোগফলের ঘনক (পার্থক্য))। উপরন্তু, অনেক আছে এবং ত্রিকোণমিতিক সূত্র, যা মূলত একই পরিচয়।

প্রকৃতপক্ষে, দুটি পদের যোগফলের বর্গটি প্রথমটির বর্গের সমান এবং দ্বিতীয়টির দ্বারা প্রথমটির গুণফলের দ্বিগুণ এবং দ্বিতীয়টির বর্গের যোগফল, অর্থাৎ (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2।

উভয় সরলীকরণ

সমাধানের সাধারণ নীতি

পাঠ্যপুস্তক অনুযায়ী পুনরাবৃত্তি করুন গাণিতিক বিশ্লেষণবা উচ্চতর গণিত, একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য কি। হিসাবে পরিচিত, সমাধান নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্যএকটি ফাংশন আছে যার ডেরিভেটিভ একটি ইন্টিগ্র্যান্ড দেয়। এই ফাংশনএকটি antiderivative বলা হয়। এই নীতির উপর ভিত্তি করে, প্রধান অবিচ্ছেদ্যগুলি নির্মিত হয়।
ইন্টিগ্র্যান্ডের ফর্ম দ্বারা নির্ণয় করুন যে টেবিলের অখণ্ডগুলি কোনটিতে খাপ খায় এক্ষেত্রে. অবিলম্বে এটি নির্ধারণ করা সবসময় সম্ভব নয়। প্রায়শই, ইন্টিগ্র্যান্ডকে সরল করার জন্য বেশ কয়েকটি রূপান্তরের পরেই ট্যাবুলার ফর্মটি লক্ষণীয় হয়ে ওঠে।

পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি

যদি integrand ফাংশন হয় ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, যার যুক্তিতে কিছু বহুপদ রয়েছে, তারপর পরিবর্তনশীল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করার চেষ্টা করুন। এটি করার জন্য, integrand এর আর্গুমেন্টে বহুপদকে কিছু নতুন পরিবর্তনশীল দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। নতুন এবং পুরানো ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে, একীকরণের নতুন সীমা নির্ধারণ করুন। এই অভিব্যক্তিটিকে আলাদা করে, নতুন ডিফারেনশিয়ালটি সন্ধান করুন। এইভাবে, আপনি পূর্ববর্তী অবিচ্ছেদ্যটির একটি নতুন ফর্ম পাবেন, কিছু ট্যাবুলারের সাথে কাছাকাছি বা এমনকি সংশ্লিষ্ট।

দ্বিতীয় প্রকারের অবিচ্ছেদ্য সমাধান

যদি অখণ্ডটি দ্বিতীয় প্রকারের একটি অখণ্ড, ইন্টিগ্র্যান্ডের একটি ভেক্টর ফর্ম হয়, তাহলে আপনাকে এই অখণ্ডগুলি থেকে স্কেলারে রূপান্তরের নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে। এরকম একটি নিয়ম হল অস্ট্রোগ্রাডস্কি-গাউস সম্পর্ক। এই আইনটি আমাদেরকে একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর ফাংশনের রটার ফ্লাক্স থেকে একটি প্রদত্ত ভেক্টর ক্ষেত্রের বিচ্যুতির উপর ট্রিপল ইন্টিগ্র্যালে যেতে দেয়।

ইন্টিগ্রেশন সীমা প্রতিস্থাপন

অ্যান্টিডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়ার পরে, একীকরণের সীমা প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন। প্রথমত, অ্যান্টিডেরিভেটিভের অভিব্যক্তিতে উপরের সীমার মান প্রতিস্থাপন করুন। আপনি কিছু নম্বর পাবেন। এর পরে, নিম্ন সীমা থেকে প্রাপ্ত অন্য সংখ্যাটি অ্যান্টিডেরিভেটিভ-এ প্রাপ্ত সংখ্যা থেকে বিয়োগ করুন। যদি একীকরণের সীমাগুলির মধ্যে একটি অসীম হয়, তবে এটিকে অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশনে প্রতিস্থাপন করার সময়, সীমাতে যেতে হবে এবং অভিব্যক্তিটি কী প্রবণতা রয়েছে তা খুঁজে বের করতে হবে।
যদি অখণ্ডটি দ্বি-মাত্রিক বা ত্রি-মাত্রিক হয়, তাহলে কীভাবে অখণ্ডকে মূল্যায়ন করতে হয় তা বোঝার জন্য আপনাকে জ্যামিতিকভাবে একীকরণের সীমা উপস্থাপন করতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, একটি ত্রিমাত্রিক অখণ্ডের ক্ষেত্রে, একীকরণের সীমা সম্পূর্ণ সমতল হতে পারে যা একত্রিত হওয়া আয়তনকে সীমাবদ্ধ করে।

প্রাকৃতিক লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য, গ্রাফ, সংজ্ঞার ডোমেইন, মানের সেট, মৌলিক সূত্র, ডেরিভেটিভ, অখণ্ড, সম্প্রসারণ শক্তি ধারাএবং জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে ln x ফাংশনের উপস্থাপনা।

সংজ্ঞা

প্রাকৃতিক লগারিদম ফাংশন y = ln x, সূচকের বিপরীত, x = e y, এবং e সংখ্যাটির ভিত্তির লগারিদম: ln x = লগ ই x.

প্রাকৃতিক লগারিদম গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় কারণ এর ডেরিভেটিভের সহজতম রূপ রয়েছে: (ln x)′ = 1/ x.

ভিত্তিক সংজ্ঞা, প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি হল সংখ্যা e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

ফাংশনের গ্রাফ y = ln x.

প্রাকৃতিক লগারিদমের গ্রাফ (ফাংশন y = ln x) সরলরেখা y = x এর সাপেক্ষে আয়না প্রতিফলন দ্বারা সূচকীয় গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত হয়।

প্রাকৃতিক লগারিদম পরিবর্তনশীল x এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এটি সংজ্ঞার ডোমেনে একঘেয়েভাবে বৃদ্ধি পায়।

x → এ 0 প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা হল বিয়োগ অসীম (-∞)।

x → + ∞ হিসাবে, প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা প্লাস ইনফিনিটি (+ ∞)। বড় x এর জন্য, লগারিদম বেশ ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়। যে কোন পাওয়ার ফাংশন x a একটি ধনাত্মক সূচক সহ a লগারিদমের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়।

প্রাকৃতিক লগারিদমের বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞার ডোমেন, মান সেট, চরম, বৃদ্ধি, হ্রাস

প্রাকৃতিক লগারিদম একটি একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, তাই এটির কোন চরমতা নেই। প্রাকৃতিক লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।

ln x মান

ln 1 = 0

প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য মৌলিক সূত্র

বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে সূত্র অনুসরণ করে:

লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং এর ফলাফল

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র ব্যবহার করে যেকোনো লগারিদম প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

এই সূত্রগুলির প্রমাণগুলি "লগারিদম" বিভাগে উপস্থাপন করা হয়েছে।

বিপরীত ফাংশন

প্রাকৃতিক লগারিদমের বিপরীত হল সূচক।

যদি, তাহলে

যদি, তাহলে।

ডেরিভেটিভ ln x

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
মডুলাস x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
nম অর্ডারের ডেরিভেটিভ:
.
সূত্র প্রাপ্ত করা >>>

অখণ্ড

অখণ্ডটি অংশ দ্বারা একীকরণ দ্বারা গণনা করা হয়:
.
তাই,

জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে অভিব্যক্তি

জটিল ভেরিয়েবল z এর ফাংশন বিবেচনা করুন:
.
জটিল চলকটি প্রকাশ করা যাক zমডিউল মাধ্যমে rএবং যুক্তি φ :
.
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে:
.
বা
.
যুক্তি φ স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। রাখলে
, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা,
এটি বিভিন্ন n এর জন্য একই সংখ্যা হবে।

অতএব, প্রাকৃতিক লগারিদম, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন হিসাবে, একটি একক-মূল্যবান ফাংশন নয়।

পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

যখন সম্প্রসারণ ঘটে:

তথ্যসূত্র:
ভিতরে. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেনদিয়াভ, ইঞ্জিনিয়ার এবং কলেজ ছাত্রদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, "ল্যান", 2009।

লগারিদম কি?

মনোযোগ!
অতিরিক্ত আছে
বিশেষ ধারা 555 এর উপকরণ।
যারা খুব "খুব নয়..." তাদের জন্য
এবং যারা "খুব বেশি ..." তাদের জন্য)

লগারিদম কি? লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন? এই প্রশ্নগুলি অনেক স্নাতককে বিভ্রান্ত করে। ঐতিহ্যগতভাবে, লগারিদমের বিষয়টিকে জটিল, বোধগম্য এবং ভীতিকর বলে মনে করা হয়। বিশেষ করে লগারিদমের সমীকরণ।

এটা একেবারে সত্য নয়। একেবারেই! বিশ্বাস করবেন না? ফাইন। এখন, মাত্র 10-20 মিনিটের মধ্যে আপনি:

1. আপনি বুঝতে পারবেন লগারিদম কি.

2. সূচকীয় সমীকরণের পুরো ক্লাস সমাধান করতে শিখুন। এমনকি যদি আপনি তাদের সম্পর্কে কিছু না শুনে থাকেন।

3. সহজ লগারিদম গণনা করতে শিখুন।

তদুপরি, এর জন্য আপনাকে কেবল গুণের সারণী এবং কীভাবে একটি সংখ্যাকে শক্তিতে বাড়াতে হবে তা জানতে হবে...

আমার মনে হয় আপনার সন্দেহ আছে... আচ্ছা, ঠিক আছে, সময় চিহ্নিত করুন! যাওয়া!

প্রথমে, আপনার মাথায় এই সমীকরণটি সমাধান করুন:

আপনি যদি এই সাইটটি পছন্দ করেন ...

যাইহোক, আমার কাছে আপনার জন্য আরও কয়েকটি আকর্ষণীয় সাইট রয়েছে।)

আপনি উদাহরণগুলি সমাধান করার অনুশীলন করতে পারেন এবং আপনার স্তরটি খুঁজে বের করতে পারেন। তাত্ক্ষণিক যাচাইকরণের সাথে পরীক্ষা করা হচ্ছে। আসুন শিখি - আগ্রহ সহ!)

আপনি ফাংশন এবং ডেরিভেটিভের সাথে পরিচিত হতে পারেন।

এই নিবন্ধের ফোকাস হয় লগারিদম. এখানে আমরা লগারিদমের একটি সংজ্ঞা দেব, গৃহীত স্বরলিপি দেখাব, লগারিদমের উদাহরণ দেব এবং প্রাকৃতিক এবং দশমিক লগারিদম সম্পর্কে কথা বলব। এর পরে আমরা মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় বিবেচনা করব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

লগারিদমের সংজ্ঞা

একটি সমস্যা সমাধান করার সময় লগারিদমের ধারণাটি উদ্ভূত হয় একটি নির্দিষ্ট অর্থেবিপরীত, যখন আপনাকে এর সূচকটি খুঁজে বের করতে হবে পরিচিত মানডিগ্রি এবং পরিচিত ভিত্তি।

কিন্তু যথেষ্ট ভূমিকা আছে, "লগারিদম কী" প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সময় এসেছে? আসুন সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞা দেওয়া যাক।

সংজ্ঞা।

b-এর লগারিদম থেকে ভিত্তি a, যেখানে a>0, a≠1 এবং b>0 হল সূচক যার ফলস্বরূপ b পেতে আপনাকে a সংখ্যা বাড়াতে হবে।

এই পর্যায়ে, আমরা লক্ষ্য করি যে কথ্য শব্দ "লগারিদম" অবিলম্বে দুটি ফলো-আপ প্রশ্ন উত্থাপন করবে: "কি সংখ্যা" এবং "কিসের ভিত্তিতে।" অন্য কথায়, কেবলমাত্র কোন লগারিদম নেই, তবে কিছু বেসের সাথে একটি সংখ্যার লগারিদম।

এক্ষুনি প্রবেশ করি লগারিদম স্বরলিপি: একটি সংখ্যা b-এর লগারিদমকে ভিত্তি a থেকে সাধারণত লগ a b হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। একটি সংখ্যা b-এর লগারিদম থেকে বেস e এবং লগারিদম থেকে বেস 10-এর নিজস্ব বিশেষ উপাধি রয়েছে যথাক্রমে lnb এবং logb, অর্থাৎ, তারা log e b নয়, lnb লেখে, এবং লগ 10 b নয়, কিন্তু lgb লেখে।

এখন আমরা দিতে পারি: .
এবং রেকর্ড অর্থবোধ করবেন না, যেহেতু লগারিদমের চিহ্নের অধীনে তাদের প্রথমটিতে রয়েছে একটি নেতিবাচক সংখ্যা, দ্বিতীয়টিতে ভিত্তিটিতে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা রয়েছে এবং তৃতীয়টিতে লগারিদম চিহ্নের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা এবং বেসে একটি ইউনিট রয়েছে।

এখন এর সম্পর্কে কথা বলা যাক লগারিদম পড়ার নিয়ম. লগ a b "b এর লগারিদম to base a" হিসাবে পড়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 3 হল 3 থেকে বেস 2-এর লগারিদম এবং বেস 2 থেকে দুই বিন্দু দুই তৃতীয়াংশের লগারিদম বর্গমূলপাঁচটির মধ্যে বেস ই এর লগারিদম বলা হয় প্রাকৃতিক লগারিদম, এবং স্বরলিপি lnb পড়ে "b এর প্রাকৃতিক লগারিদম"। উদাহরণস্বরূপ, ln7 হল সাতটির প্রাকৃতিক লগারিদম এবং আমরা এটিকে পাই-এর প্রাকৃতিক লগারিদম হিসাবে পড়ব। বেস 10 লগারিদমের একটি বিশেষ নাম রয়েছে - দশমিক লগারিদম, এবং lgb কে "b এর দশমিক লগারিদম" হিসাবে পড়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, lg1 হল একের দশমিক লগারিদম এবং lg2.75 হল দুই পয়েন্ট সাত পাঁচ শতকের দশমিক লগারিদম।

এটি a>0, a≠1 এবং b>0 শর্তগুলিতে আলাদাভাবে থাকার মূল্য, যার অধীনে লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে। এই নিষেধাজ্ঞাগুলি কোথা থেকে এসেছে তা ব্যাখ্যা করা যাক। ফর্মের একটি সমতা, যা উপরে দেওয়া লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে, আমাদের এটি করতে সাহায্য করবে।

চলুন শুরু করা যাক a≠1 দিয়ে। যেহেতু এক থেকে যেকোনো শক্তি একের সমান, সমতা তখনই সত্য হতে পারে যখন b=1, কিন্তু লগ 1 1 যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। এই অস্পষ্টতা এড়াতে, a≠1 ধরে নেওয়া হয়।

আমাদের শর্ত a>0 এর expediency ন্যায্যতা করা যাক। a=0 দিয়ে, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে, আমাদের সমতা থাকবে, যা শুধুমাত্র b=0 দিয়েই সম্ভব। কিন্তু তারপর লগ 0 0 যেকোন অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেহেতু শূন্য থেকে যেকোন অ-শূন্য শক্তি শূন্য। শর্ত a≠0 আমাদের এই অস্পষ্টতা এড়াতে অনুমতি দেয়। এবং যখন ক<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

অবশেষে, শর্ত b>0 অসমতা a>0 থেকে অনুসরণ করে, যেহেতু , এবং একটি ধনাত্মক ভিত্তি a সহ একটি শক্তির মান সর্বদা ধনাত্মক।

এই পয়েন্টটি উপসংহারে, আসুন বলি যে লগারিদমের বিবৃত সংজ্ঞা আপনাকে লগারিদমের মানটি অবিলম্বে নির্দেশ করতে দেয় যখন লগারিদম চিহ্নের অধীনে সংখ্যাটি বেসের একটি নির্দিষ্ট শক্তি। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদমের সংজ্ঞা আমাদেরকে বলতে দেয় যে যদি b=a p হয়, তাহলে b সংখ্যার লগারিদম বেস a থেকে p এর সমান। অর্থাৎ, সমতা লগ a a p =p সত্য। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে 2 3 =8, তারপর লগ 2 8=3। আমরা নিবন্ধে এই সম্পর্কে আরও কথা বলতে হবে।