দশমিক লগারিদমের গুণফল। লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

সম্পর্কিত

প্রদত্ত অন্য দুটি থেকে তিনটি সংখ্যার যেকোনো একটি খুঁজে বের করার কাজটি নির্ধারণ করা যেতে পারে। যদি a এবং তারপর N দেওয়া হয়, তারা সূচক দ্বারা পাওয়া যায়। যদি N এবং তারপর a দেওয়া হয় ডিগ্রী x এর মূল নিয়ে (অথবা এটিকে শক্তিতে বাড়িয়ে)। এখন বিবেচনা করুন যখন, a এবং N দেওয়া হলে, আমাদের x খুঁজে বের করতে হবে।

N সংখ্যাটিকে ধনাত্মক হতে দিন: সংখ্যাটি ধনাত্মক এবং একের সমান নয়: .

সংজ্ঞা। সংখ্যা N-এর লগারিদম বেস a-এর সূচক হল যে সূচকটি N সংখ্যা পেতে হলে aকে উঠাতে হবে; লগারিদম দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

এইভাবে, সমতায় (26.1) সূচকটিকে N-এর লগারিদম হিসাবে a বেস হিসাবে পাওয়া যায়। পোস্ট

একই অর্থ আছে সমতা (26.1) কখনও কখনও লগারিদম তত্ত্বের প্রধান পরিচয় বলা হয়; বাস্তবে এটি লগারিদমের ধারণার সংজ্ঞা প্রকাশ করে। দ্বারা এই সংজ্ঞালগারিদম a এর ভিত্তি সর্বদা ধনাত্মক এবং ঐক্য থেকে ভিন্ন; লগারিদমিক সংখ্যা N ধনাত্মক। ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্যের কোনো লগারিদম নেই। এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে প্রদত্ত বেস সহ যে কোনও সংখ্যার একটি সুনির্দিষ্ট লগারিদম রয়েছে। তাই সমতা আবশ্যক। উল্লেখ্য যে শর্তটি এখানে অপরিহার্য; অন্যথায়, উপসংহারটি ন্যায়সঙ্গত হবে না, যেহেতু সমতা x এবং y-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য।

উদাহরণ 1. খুঁজুন

সমাধান। একটি সংখ্যা প্রাপ্ত করার জন্য, আপনাকে অবশ্যই বেস 2 কে শক্তিতে বাড়াতে হবে।

নিম্নলিখিত ফর্মে এই ধরনের উদাহরণগুলি সমাধান করার সময় আপনি নোট তৈরি করতে পারেন:

উদাহরণ 2. খুঁজুন।

সমাধান। আমাদের আছে

উদাহরণ 1 এবং 2-এ, আমরা সহজেই লগারিদম সংখ্যাটিকে মূলদ সূচক সহ বেসের শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করে কাঙ্ক্ষিত লগারিদম খুঁজে পেয়েছি। ভিতরে সাধারণ ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, জন্য, ইত্যাদি, এটি করা যাবে না, যেহেতু লগারিদমের একটি অযৌক্তিক মান রয়েছে। আমাদের এই বিবৃতি সম্পর্কিত একটি বিষয় মনোযোগ দেওয়া যাক. অনুচ্ছেদ 12-এ, আমরা একটি প্রদত্ত ধনাত্মক সংখ্যার কোনো বাস্তব শক্তি নির্ধারণের সম্ভাবনার ধারণা দিয়েছি। লগারিদমগুলির প্রবর্তনের জন্য এটি প্রয়োজনীয় ছিল, যা সাধারণত বলতে গেলে, অমূলদ সংখ্যা হতে পারে।

আসুন লগারিদমের কিছু বৈশিষ্ট্য দেখি।

বৈশিষ্ট্য 1. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান হয়, তাহলে লগারিদম একের সমান, এবং বিপরীতভাবে, লগারিদম যদি একের সমান হয়, তাহলে সংখ্যা এবং ভিত্তি সমান।

প্রমাণ। একটি লগারিদম সংজ্ঞা দ্বারা আমরা এবং কোথা থেকে আছে

বিপরীতভাবে, তারপর সংজ্ঞা দ্বারা যাক

বৈশিষ্ট্য 2. যেকোন ভিত্তির সাথে একের লগারিদম শূন্যের সমান।

প্রমাণ। লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে (যে কোনো ধনাত্মক ভিত্তির শূন্য শক্তি একের সমান, দেখুন (10.1))। এখান থেকে

Q.E.D.

কথোপকথন বিবৃতিটিও সত্য: যদি , তাহলে N = 1। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের আছে।

লগারিদমের পরবর্তী বৈশিষ্ট্য প্রণয়ন করার আগে, আসুন আমরা বলতে রাজি যে দুটি সংখ্যা a এবং b তৃতীয় সংখ্যা c এর একই পাশে অবস্থিত যদি তারা উভয়ই c এর চেয়ে বড় বা c এর চেয়ে কম হয়। এই সংখ্যাগুলির একটি যদি c-এর চেয়ে বড় হয় এবং অন্যটি c-এর চেয়ে কম হয়, তাহলে আমরা বলব যে তারা c-এর বিপরীত দিকে রয়েছে।

বৈশিষ্ট্য 3. যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির একই পাশে থাকে, তাহলে লগারিদমটি ধনাত্মক হয়; যদি সংখ্যা এবং ভিত্তি একটির বিপরীত দিকে থাকে, তাহলে লগারিদম নেতিবাচক।

সম্পত্তি 3 এর প্রমাণটি এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে a এর শক্তি একের চেয়ে বেশি হয় যদি ভিত্তিটি একের বেশি হয় এবং সূচকটি ধনাত্মক হয় বা ভিত্তিটি একের চেয়ে কম হয় এবং সূচকটি ঋণাত্মক হয়। বেস একের বেশি হলে এবং সূচকটি ঋণাত্মক বা ভিত্তি একের কম হলে এবং সূচকটি ধনাত্মক হলে একটি শক্তি একের চেয়ে কম হয়।

বিবেচনা করার জন্য চারটি ক্ষেত্রে রয়েছে:

আমরা তাদের প্রথম বিশ্লেষণের মধ্যে নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব; পাঠক নিজেরাই বিবেচনা করবেন।

তাহলে সমতায় ধরা যাক সূচকটি ঋণাত্মক বা শূন্যের সমানও হতে পারে না, তাই, এটি ধনাত্মক, অর্থাত্‍ প্রমাণ করা প্রয়োজন।

উদাহরণ 3. নীচের লগারিদমগুলির মধ্যে কোনটি ধনাত্মক এবং কোনটি ঋণাত্মক তা সন্ধান করুন:

সমাধান, ক) যেহেতু 15 নম্বর এবং ভিত্তি 12 একটির একই পাশে অবস্থিত;

খ) যেহেতু 1000 এবং 2 ইউনিটের একপাশে অবস্থিত; এই ক্ষেত্রে, এটা গুরুত্বপূর্ণ নয় যে বেসটি লগারিদমিক সংখ্যার চেয়ে বড়;

গ) যেহেতু 3.1 এবং 0.8 ঐক্যের বিপরীত দিকে রয়েছে;

ছ); কেন?

ঘ) ; কেন?

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য 4-6 কে প্রায়ই লগারিদমেশনের নিয়ম বলা হয়: তারা কিছু সংখ্যার লগারিদম জেনে তাদের প্রতিটির গুণফল, ভাগফল এবং ডিগ্রির লগারিদম খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়।

প্রপার্টি 4 (পণ্য লগারিদম নিয়ম)। দ্বারা বেশ কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফলের লগারিদম এই ভিত্তি যোগফলের সমানএই সংখ্যার লগারিদম একই বেসে।

প্রমাণ। প্রদত্ত সংখ্যাগুলি ইতিবাচক হতে দিন।

তাদের পণ্যের লগারিদমের জন্য, আমরা সমতা (26.1) লিখি যা লগারিদমকে সংজ্ঞায়িত করে:

এখান থেকে আমরা খুঁজে পাব

প্রথম এবং শেষ রাশির সূচকগুলির তুলনা করে, আমরা প্রয়োজনীয় সমতা পাই:

উল্লেখ্য যে শর্ত অপরিহার্য; দুইটির গুণফলের লগারিদম নেতিবাচক সংখ্যাঅর্থপূর্ণ, কিন্তু এই ক্ষেত্রে আমরা পেতে

সাধারণভাবে, যদি বেশ কয়েকটি ফ্যাক্টরের গুণফল ধনাত্মক হয়, তাহলে এর লগারিদম এই ফ্যাক্টরগুলির পরম মানের লগারিদমের যোগফলের সমান।

সম্পত্তি 5 (ভাগফলের লগারিদম নেওয়ার নিয়ম)। ধনাত্মক সংখ্যার ভাগফলের লগারিদম লভ্যাংশ এবং ভাজকের লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান, একই বেসে নেওয়া হয়। প্রমাণ। আমরা ধারাবাহিকভাবে খুঁজে

Q.E.D.

সম্পত্তি 6 (পাওয়ার লগারিদম নিয়ম)। যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার ঘাতের লগারিদম সূচক দ্বারা গুণিত সেই সংখ্যাটির লগারিদমের সমান।

প্রমাণ। আসুন আমরা আবার সংখ্যার জন্য মূল পরিচয় (26.1) লিখি:

Q.E.D.

পরিণতি। একটি ধনাত্মক সংখ্যার মূলের লগারিদম মূলের সূচক দ্বারা বিভক্ত র্যাডিকেলের লগারিদমের সমান:

সম্পত্তি 6 কিভাবে এবং ব্যবহার করে কল্পনা করে এই ফলাফলের বৈধতা প্রমাণ করা যেতে পারে।

উদাহরণ 4. লগারিদমকে বেস a-এ নিন:

ক) (ধারণা করা হয় যে সমস্ত মান b, c, d, e ধনাত্মক);

খ) (ধারণা করা হয় যে)।

সমাধান, ক) এই অভিব্যক্তিতে ভগ্নাংশের শক্তিতে যাওয়া সুবিধাজনক:

সমতার উপর ভিত্তি করে (26.5)-(26.7), আমরা এখন লিখতে পারি:

আমরা লক্ষ্য করি যে সংখ্যার লগারিদমগুলিতে সংখ্যার তুলনায় সহজ ক্রিয়াকলাপগুলি সঞ্চালিত হয়: সংখ্যাগুলিকে গুণ করার সময়, তাদের লগারিদমগুলি যোগ করা হয়, ভাগ করার সময়, বিয়োগ করা হয় ইত্যাদি।

এই কারণেই লগারিদমগুলি কম্পিউটিং অনুশীলনে ব্যবহৃত হয় (অনুচ্ছেদ 29 দেখুন)।

লগারিদমের বিপরীত ক্রিয়াকে পটেনশিয়ান বলা হয়, যথা: পটেনশিয়ান এমন একটি ক্রিয়া যার দ্বারা সংখ্যাটি একটি সংখ্যার প্রদত্ত লগারিদম থেকে পাওয়া যায়। অগত্যা, সম্ভাব্যতা নয় বিশেষ কর্ম: এটি বেসকে একটি পাওয়ারে উন্নীত করতে নেমে আসে (সংখ্যার লগারিদমের সমান)। "সম্ভাব্যতা" শব্দটিকে "সম্পত্তি" শব্দটির সমার্থক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

সম্ভাব্যতা করার সময়, আপনাকে লগারিদমেশনের নিয়মগুলির বিপরীতে নিয়মগুলি ব্যবহার করতে হবে: লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করুন, ভাগফলের লগারিদমের সাথে লগারিদমের পার্থক্য ইত্যাদি। বিশেষ করে, যদি সামনে একটি ফ্যাক্টর থাকে লগারিদমের চিহ্নের, তারপর সম্ভাবনার সময় এটি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে সূচক ডিগ্রীতে স্থানান্তর করতে হবে।

উদাহরণ 5. N সন্ধান করুন যদি এটি জানা যায় যে

সমাধান। সম্ভাব্যতার ঠিক উল্লেখিত নিয়মের সাথে, আমরা এই সমতার ডানদিকে লগারিদমগুলির চিহ্নগুলির সামনে দাঁড়িয়ে থাকা 2/3 এবং 1/3 গুণনীয়কগুলিকে এই লগারিদমের লক্ষণগুলির অধীনে সূচকগুলিতে স্থানান্তর করব; আমরা পেতে

এখন আমরা লগারিদমের পার্থক্যটিকে ভাগফলের লগারিদমের সাথে প্রতিস্থাপন করি:

সমতার এই শৃঙ্খলে শেষ ভগ্নাংশটি পেতে, আমরা পূর্ববর্তী ভগ্নাংশটিকে হর-এর অযৌক্তিকতা থেকে মুক্ত করেছি (ধারা 25)।

সম্পত্তি 7. যদি ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে বড় সংখ্যাএকটি বৃহত্তর লগারিদম আছে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি ছোট আছে), যদি ভিত্তিটি একের কম হয়, তাহলে একটি বড় সংখ্যার একটি ছোট লগারিদম থাকে (এবং একটি ছোট সংখ্যার একটি বড় থাকে)।

এই সম্পত্তিটি অসমতার লগারিদম নেওয়ার জন্য একটি নিয়ম হিসাবেও প্রণয়ন করা হয়েছে, যার উভয় দিকই ইতিবাচক:

লগারিদমিং যখন একের বেশি বেসে অসমতা, অসমতার চিহ্ন সংরক্ষিত হয়, এবং যখন একের চেয়ে কম বেসে লগারিদমিং করা হয়, তখন অসমতার চিহ্ন বিপরীতে পরিবর্তিত হয় (এছাড়াও অনুচ্ছেদ 80 দেখুন)।

প্রমাণটি 5 এবং 3 বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে। কেসটি বিবেচনা করুন যখন If , তারপর এবং লগারিদম গ্রহণ করলে আমরা পাই

(a এবং N/M ঐক্যের একই পাশে থাকে)। এখান থেকে

কেস একটি অনুসরণ করে, পাঠক নিজেই এটি বের করবে।

যেমন আপনি জানেন, রাশিগুলিকে শক্তি দিয়ে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি সর্বদা যোগ হয় (a b *a c = a b+c)। এই গাণিতিক সূত্রটি আর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং পরবর্তীতে, 8ম শতাব্দীতে, গণিতবিদ বীরসেন পূর্ণসংখ্যার সূচকগুলির একটি সারণী তৈরি করেছিলেন। তারাই লগারিদমের আরও আবিষ্কারের জন্য কাজ করেছিল। এই ফাংশনটি ব্যবহার করার উদাহরণগুলি প্রায় সর্বত্র পাওয়া যাবে যেখানে আপনাকে সহজ যোগ করে কষ্টকর গুণকে সহজ করতে হবে। আপনি যদি এই নিবন্ধটি পড়তে 10 মিনিট সময় ব্যয় করেন, আমরা আপনাকে লগারিদমগুলি কী এবং কীভাবে সেগুলির সাথে কাজ করতে হবে তা ব্যাখ্যা করব৷ সহজ এবং সহজলভ্য ভাষায়।

গণিতে সংজ্ঞা

লগারিদম হল নিম্নোক্ত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: লগ a b=c, অর্থাৎ যেকোন নন-নেগেটিভ সংখ্যার লগারিদম (অর্থাৎ যেকোন ধনাত্মক) "b" এর বেস "a" কে পাওয়ার "c" বলে মনে করা হয় " যার জন্য ভিত্তি "a" অবশ্যই বাড়াতে হবে যাতে শেষ পর্যন্ত "b" মান পাওয়া যায়। উদাহরণ ব্যবহার করে লগারিদম বিশ্লেষণ করা যাক, ধরা যাক একটি এক্সপ্রেশন লগ আছে 2 8। উত্তরটি কীভাবে খুঁজে পাবেন? এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি পাওয়ার খুঁজে বের করতে হবে যাতে 2 থেকে প্রয়োজনীয় পাওয়ার পর্যন্ত আপনি 8 পেতে পারেন। আপনার মাথায় কিছু গণনা করার পরে, আমরা 3 নম্বর পাই! এবং এটি সত্য, কারণ 2 থেকে 3 এর শক্তি উত্তর দেয় 8।

লগারিদমের প্রকারভেদ

অনেক ছাত্র এবং ছাত্রদের জন্য, এই বিষয়টি জটিল এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু আসলে লগারিদমগুলি এতটা ভীতিকর নয়, মূল জিনিসটি তাদের সাধারণ অর্থ বোঝা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য এবং কিছু নিয়ম মনে রাখা। এখনে তিনটি স্বতন্ত্র প্রজাতিলগারিদমিক এক্সপ্রেশন:

1. প্রাকৃতিক লগারিদম ln a, যেখানে ভিত্তিটি অয়লার সংখ্যা (e = 2.7)।
2. দশমিক a, যেখানে ভিত্তি 10।
3. যে কোন সংখ্যার লগারিদম b থেকে বেস a>1।

লগারিদমিক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি একক লগারিদমে সরলীকরণ, হ্রাস এবং পরবর্তী হ্রাস সহ তাদের প্রত্যেকটি একটি আদর্শ উপায়ে সমাধান করা হয়। লগারিদমগুলির সঠিক মানগুলি পেতে, আপনাকে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেগুলি সমাধান করার সময় কর্মের ক্রমটি মনে রাখতে হবে।

নিয়ম এবং কিছু বিধিনিষেধ

গণিতে, বেশ কয়েকটি নিয়ম-সীমাবদ্ধতা রয়েছে যা একটি স্বতঃসিদ্ধ হিসাবে গৃহীত হয়, অর্থাৎ, তারা আলোচনার বিষয় নয় এবং সত্য। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগুলিকে শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং মূলটি বের করাও অসম্ভব এমনকি ডিগ্রিনেতিবাচক সংখ্যা থেকে। লগারিদমেরও তাদের নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, যেগুলি অনুসরণ করে আপনি সহজেই এমনকি দীর্ঘ এবং ধারণীয় লগারিদমিক অভিব্যক্তির সাথে কাজ করতে শিখতে পারেন:

• ভিত্তি "a" সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে, এবং 1 এর সমান হবে না, অন্যথায় অভিব্যক্তিটি তার অর্থ হারাবে, কারণ "1" এবং "0" যে কোনও ডিগ্রিতে সর্বদা তাদের মানগুলির সমান;
• যদি a > 0, তারপর a b > 0, তাহলে দেখা যাচ্ছে যে "c" অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে।

লগারিদম কিভাবে সমাধান করবেন?

উদাহরণস্বরূপ, 10 x = 100 সমীকরণের উত্তর খুঁজে বের করার জন্য কাজটি দেওয়া হয়েছে। এটি খুবই সহজ, আপনাকে দশ নম্বরটি বাড়িয়ে একটি ঘাত বাছাই করতে হবে যাতে আমরা 100 পাই। এটি অবশ্যই 10 2 = 100।

এখন এই রাশিটিকে লগারিদমিক আকারে উপস্থাপন করা যাক। আমরা লগ 10 100 = 2 পাই। লগারিদম সমাধান করার সময়, একটি প্রদত্ত সংখ্যা পাওয়ার জন্য লগারিদমের ভিত্তিতে প্রবেশ করার জন্য প্রয়োজনীয় শক্তি খুঁজে পেতে সমস্ত ক্রিয়া কার্যত একত্রিত হয়।

একটি অজানা ডিগ্রির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে ডিগ্রীর টেবিলের সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা শিখতে হবে। এটি এই মত দেখায়:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছু সূচককে স্বজ্ঞাতভাবে অনুমান করা যেতে পারে যদি আপনার কাছে একটি প্রযুক্তিগত মন এবং গুণন সারণী সম্পর্কে জ্ঞান থাকে। যাইহোক, বড় মানের জন্য আপনার একটি পাওয়ার টেবিলের প্রয়োজন হবে। এটি এমনকি যারা জটিল গাণিতিক বিষয় সম্পর্কে কিছুই জানেন না তাদের দ্বারা ব্যবহার করা যেতে পারে। বাম কলামে সংখ্যা রয়েছে (বেস a), সংখ্যার উপরের সারি হল পাওয়ার c এর মান যেখানে a সংখ্যাটি উত্থাপিত হয়েছে। সংযোগস্থলে, কক্ষগুলিতে সংখ্যার মান থাকে যা উত্তর (a c =b)। উদাহরণস্বরূপ, 10 নম্বর সহ প্রথম ঘরটি ধরা যাক এবং এটিকে বর্গ করুন, আমরা 100 মান পাই, যা আমাদের দুটি কোষের সংযোগস্থলে নির্দেশিত। সবকিছু এত সহজ এবং সহজ যে এমনকি সবচেয়ে সত্যিকারের মানবতাবাদীও বুঝতে পারবে!

সমীকরণ এবং অসমতা

দেখা যাচ্ছে যে নির্দিষ্ট শর্তে সূচকটি লগারিদম। অতএব, কোনো গাণিতিক সংখ্যাসূচক রাশিকে লগারিদমিক সমতা হিসেবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3 4 =81 কে বেস 3 লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে 81 সমান চারের (লগ 3 81 = 4)। ঋণাত্মক শক্তির জন্য নিয়মগুলি একই: 2 -5 = 1/32 আমরা এটিকে লগারিদম হিসাবে লিখি, আমরা লগ 2 (1/32) = -5 পাই। গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল "লগারিদম" বিষয়। আমরা নীচের সমীকরণগুলির উদাহরণ এবং সমাধানগুলি দেখব, তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরপরই। এখন দেখা যাক বৈষম্যগুলো কেমন দেখায় এবং কীভাবে সেগুলোকে সমীকরণ থেকে আলাদা করা যায়।

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি দেওয়া হয়েছে: লগ 2 (x-1) > 3 - এটি একটি লগারিদমিক অসমতা, যেহেতু অজানা মান "x" লগারিদমিক চিহ্নের অধীনে রয়েছে। এবং এছাড়াও অভিব্যক্তিতে দুটি পরিমাণের তুলনা করা হয়েছে: বেস দুই থেকে পছন্দসই সংখ্যার লগারিদম সংখ্যা তিনের চেয়ে বড়।

লগারিদম সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল লগারিদমের সমীকরণ (উদাহরণস্বরূপ, লগারিদম 2 x = √9) এক বা একাধিক নির্দিষ্ট উত্তর নির্দেশ করে। সংখ্যাসূচক মান, অসমতা সমাধান করার সময়, অনুমোদিত মানগুলির পরিসর এবং এই ফাংশনের বিরতি পয়েন্ট উভয়ই নির্ধারিত হয়। ফলস্বরূপ, উত্তরটি একটি সমীকরণের উত্তরের মতো পৃথক সংখ্যার একটি সাধারণ সেট নয়, বরং একটানা সিরিজবা সংখ্যার একটি সেট।

লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য

লগারিদমের মান খুঁজে বের করার আদিম কাজগুলি সমাধান করার সময়, এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানা নাও হতে পারে। যাইহোক, যখন লগারিদমিক সমীকরণ বা অসমতার কথা আসে, প্রথমত, লগারিদমের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি পরিষ্কারভাবে বোঝা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা প্রয়োজন। আমরা পরে সমীকরণের উদাহরণগুলি দেখব; আসুন প্রথমে প্রতিটি সম্পত্তি আরও বিশদে দেখি।

1. প্রধান পরিচয়টি এইরকম দেখায়: a logaB =B। এটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য যখন a 0-এর চেয়ে বড়, একের সমান নয় এবং B শূন্যের চেয়ে বড়।
2. পণ্যের লগারিদম নিম্নলিখিত সূত্রে উপস্থাপন করা যেতে পারে: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2। এই ক্ষেত্রে পূর্বশর্তহল: d, s 1 এবং s 2 > 0; a≠1. আপনি উদাহরণ এবং সমাধান সহ এই লগারিদমিক সূত্রের জন্য একটি প্রমাণ দিতে পারেন। a s 1 = f 1 লগ করি এবং a s 2 = f 2 লগ করি, তারপর a f1 = s 1, a f2 = s 2। আমরা পাই যে s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (এর বৈশিষ্ট্য ডিগ্রি ), এবং তারপর সংজ্ঞা অনুসারে: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, যা প্রমাণ করা দরকার।
3. ভাগফলের লগারিদম এইরকম দেখায়: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2।
4. একটি সূত্র আকারে উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়: লগ a q b n = n/q লগ a b।

এই সূত্রটিকে "লগারিদমের ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য" বলা হয়। এটি সাধারণ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সমস্ত গণিত প্রাকৃতিক অনুমানের উপর ভিত্তি করে। আসুন প্রমাণ দেখি।

একটি b = t লগ করা যাক, এটি একটি t = b পরিণত হয়। যদি আমরা উভয় অংশকে শক্তিতে বাড়াই m: a tn = b n;

কিন্তু যেহেতু a tn = (a q) nt/q = b n, তাই লগ a q b n = (n*t)/t, তারপর a q b n = n/q লগ a b লগ করুন। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

সমস্যা এবং অসমতার উদাহরণ

লগারিদমের সবচেয়ে সাধারণ ধরনের সমস্যা হল সমীকরণ এবং অসমতার উদাহরণ। এগুলি প্রায় সমস্ত সমস্যা বইতে পাওয়া যায় এবং এটি গণিত পরীক্ষার একটি প্রয়োজনীয় অংশ। একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করতে বা গণিতে প্রবেশিকা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার জন্য, আপনাকে এই জাতীয় কাজগুলি কীভাবে সঠিকভাবে সমাধান করতে হবে তা জানতে হবে।

দুর্ভাগ্যবশত, সমাধান এবং নির্ধারণের জন্য কোন একক পরিকল্পনা বা স্কিম নেই অজানা মানলগারিদম বলে কিছু নেই, তবে প্রতিটি গাণিতিক অসমতা বা লগারিদমিক সমীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথমত, আপনার অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত বা নেতৃত্ব দেওয়া যায় কিনা তা খুঁজে বের করা উচিত সাধারণ উপস্থিতি. আপনি যদি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করেন তবে আপনি দীর্ঘ লগারিদমিক অভিব্যক্তিকে সরল করতে পারেন। আসুন তাদের দ্রুত জেনে নেওয়া যাক।

লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমাদের অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে যে আমাদের কী ধরনের লগারিদম আছে: একটি উদাহরণ এক্সপ্রেশনে একটি প্রাকৃতিক লগারিদম বা দশমিক একটি থাকতে পারে।

এখানে ln100, ln1026 উদাহরণ রয়েছে। তাদের সমাধানটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে তাদের শক্তি নির্ধারণ করতে হবে যার ভিত্তি 10 যথাক্রমে 100 এবং 1026 এর সমান হবে। সমাধানের জন্য প্রাকৃতিক লগারিদমআপনাকে লগারিদমিক পরিচয় বা তাদের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করতে হবে। আসুন বিভিন্ন ধরনের লগারিদমিক সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।

লগারিদম সূত্র কিভাবে ব্যবহার করবেন: উদাহরণ এবং সমাধান সহ

সুতরাং, আসুন লগারিদম সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য ব্যবহার করার উদাহরণ দেখি।

1. একটি পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এমন কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে এটি প্রসারিত করা প্রয়োজন তাত্পর্যপূর্ণসংখ্যা b সরল ফ্যাক্টর. উদাহরণস্বরূপ, লগ 2 4 + লগ 2 128 = লগ 2 (4*128) = লগ 2 512। উত্তর হল 9।
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদম পাওয়ারের চতুর্থ বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা একটি আপাতদৃষ্টিতে জটিল এবং অমীমাংসিত অভিব্যক্তি সমাধান করতে পেরেছি। আপনাকে কেবল ভিত্তিটি ফ্যাক্টর করতে হবে এবং তারপর লগারিদমের চিহ্ন থেকে সূচকের মানগুলিকে বের করতে হবে।

ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার অ্যাসাইনমেন্ট

লগারিদমগুলি প্রায়ই প্রবেশিকা পরীক্ষায় পাওয়া যায়, বিশেষ করে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (সমস্ত স্কুল স্নাতকদের জন্য রাজ্য পরীক্ষা) অনেক লগারিদমিক সমস্যা। সাধারণত, এই কাজগুলি শুধুমাত্র A অংশে (পরীক্ষার সবচেয়ে সহজ পরীক্ষা অংশ) নয়, অংশ C (সবচেয়ে জটিল এবং বিশাল কাজ) তেও উপস্থিত থাকে। পরীক্ষার জন্য "প্রাকৃতিক লগারিদম" বিষয়ের সঠিক এবং নিখুঁত জ্ঞান প্রয়োজন।

উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান অফিসিয়াল থেকে নেওয়া হয় ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার বিকল্প. আসুন দেখি কিভাবে এই ধরনের কাজগুলি সমাধান করা হয়।

প্রদত্ত লগ 2 (2x-1) = 4. সমাধান:
আসুন এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি, এটিকে একটু সরল করে log 2 (2x-1) = 2 2, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই যে 2x-1 = 2 4, তাই 2x = 17; x = 8.5।

• সমস্ত লগারিদমকে একই বেসে কমিয়ে আনা ভাল যাতে সমাধানটি কষ্টকর এবং বিভ্রান্তিকর না হয়।
• লগারিদম চিহ্নের অধীনে সমস্ত রাশি ধনাত্মক হিসাবে নির্দেশিত হয়, তাই, লগারিদম চিহ্নের অধীনে থাকা একটি রাশির সূচক এবং তার ভিত্তিটি গুণক হিসাবে বের করা হলে, লগারিদমের অধীনে অবশিষ্ট রাশিটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে।

আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। আমাদের গোপনীয়তা অনুশীলন পর্যালোচনা করুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা ব্যক্তিগত কোন তথ্য সংগ্রহ করব:

• আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, টেলিফোন নম্বর, ঠিকানা সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি ইমেইলইত্যাদি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

• আমাদের দ্বারা সংগৃহীত ব্যক্তিগত তথ্যআমাদের আপনার সাথে যোগাযোগ করতে এবং অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্ট সম্পর্কে আপনাকে অবহিত করার অনুমতি দেয়।
• সময়ে সময়ে, আমরা গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
• আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে যেমন অডিটিং, ডেটা বিশ্লেষণ এবং ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি বিভিন্ন গবেষণাআমরা যে পরিষেবাগুলি প্রদান করি তা উন্নত করার জন্য এবং আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে আপনাকে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷
• আপনি যদি একটি পুরস্কার ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রচারে অংশগ্রহণ করেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে তথ্য প্রকাশ

আমরা আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

• প্রয়োজনে - আইন অনুযায়ী, বিচারিক পদ্ধতি, আইনি প্রক্রিয়া এবং/অথবা জনসাধারণের অনুরোধ বা অনুরোধের ভিত্তিতে সরকারী সংস্থারাশিয়ান ফেডারেশনের অঞ্চলে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনস্বাস্থ্যের উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত। গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে.
• পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা প্রযোজ্য উত্তরসূরি তৃতীয় পক্ষের কাছে হস্তান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা সম্মান

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত আছে তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং সুরক্ষা মানগুলি যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

সমাজের বিকাশ এবং উত্পাদন আরও জটিল হওয়ার সাথে সাথে গণিতেরও বিকাশ ঘটে। সরল থেকে জটিল পর্যন্ত আন্দোলন। যোগ এবং বিয়োগের পদ্ধতি ব্যবহার করে সাধারণ হিসাব থেকে, তাদের বারবার পুনরাবৃত্তির সাথে, আমরা গুণ এবং ভাগের ধারণায় এসেছি। গুণের বারবার ক্রিয়াকলাপ হ্রাস করা সূচকের ধারণা হয়ে উঠেছে। ভিত্তির উপর সংখ্যার নির্ভরতা এবং সূচকের সংখ্যার প্রথম সারণীগুলি 8 ম শতাব্দীতে ভারতীয় গণিতবিদ ভারসেনা দ্বারা সংকলিত হয়েছিল। এগুলি থেকে আপনি লগারিদমগুলির সংঘটনের সময় গণনা করতে পারেন।

ঐতিহাসিক স্কেচ

16 শতকে ইউরোপের পুনরুজ্জীবনও যান্ত্রিকতার বিকাশকে উদ্দীপিত করেছিল। টি প্রচুর পরিমাণে গণনার প্রয়োজনবহু-সংখ্যার সংখ্যার গুণ ও ভাগের সাথে সম্পর্কিত। প্রাচীন সারণীগুলো ছিল দারুণ সেবার। তারা জটিল ক্রিয়াকলাপগুলিকে সহজতর দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব করেছে - যোগ এবং বিয়োগ। 1544 সালে প্রকাশিত গণিতবিদ মাইকেল স্টিফেলের কাজটি একটি বড় পদক্ষেপ ছিল, যেখানে তিনি অনেক গণিতবিদদের ধারণা উপলব্ধি করেছিলেন। এটি কেবলমাত্র মৌলিক সংখ্যার আকারের শক্তির জন্যই নয়, যথেচ্ছ যুক্তিযুক্তগুলির জন্যও টেবিলগুলি ব্যবহার করা সম্ভব করেছিল।

1614 সালে, স্কটসম্যান জন নেপিয়ার, এই ধারণাগুলি বিকাশ করে, প্রথম "একটি সংখ্যার লগারিদম" নতুন শব্দটি চালু করেছিলেন। নতুন জটিল টেবিলসাইন এবং কোসাইন, সেইসাথে স্পর্শকগুলির লগারিদম গণনার জন্য। এটি জ্যোতির্বিজ্ঞানীদের কাজকে ব্যাপকভাবে হ্রাস করে।

নতুন টেবিলগুলি উপস্থিত হতে শুরু করে, যা সফলভাবে বিজ্ঞানীরা তিন শতাব্দী ধরে ব্যবহার করেছিলেন। অনেক সময় কেটে গেছে আগে নতুন অপারেশনবীজগণিতে এটি তার সমাপ্ত রূপ অর্জন করে। লগারিদমের সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছিল এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করা হয়েছিল।

শুধুমাত্র 20 শতকে, ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, মানবতা সেই প্রাচীন টেবিলগুলিকে পরিত্যাগ করেছিল যা 13 শতক জুড়ে সফলভাবে কাজ করেছিল।

আজকে আমরা b-এর লগারিদমকে বলি a সংখ্যা x এর ভিত্তি যা b তৈরি করতে a এর শক্তি। এটি একটি সূত্র হিসাবে লেখা হয়: x = log a(b)।

উদাহরণস্বরূপ, লগ 3(9) 2 এর সমান হবে। আপনি যদি সংজ্ঞাটি অনুসরণ করেন তবে এটি স্পষ্ট। যদি আমরা 3 কে 2 এর শক্তিতে বাড়াই, আমরা 9 ​​পাব।

সুতরাং, প্রণীত সংজ্ঞা শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধতা সেট করে: সংখ্যা a এবং b অবশ্যই বাস্তব হতে হবে।

লগারিদমের প্রকারভেদ

ক্লাসিক সংজ্ঞাটিকে প্রকৃত লগারিদম বলা হয় এবং এটি আসলে একটি x = b সমীকরণের সমাধান। বিকল্প a = 1 হল সীমারেখা এবং আগ্রহের নয়। মনোযোগ: 1 যেকোন শক্তির সমান 1।

লগারিদমের প্রকৃত মানশুধুমাত্র তখনই সংজ্ঞায়িত করা হয় যখন বেস এবং আর্গুমেন্ট 0 এর বেশি হয় এবং বেস অবশ্যই 1 এর সমান হবে না।

গণিতের ক্ষেত্রে বিশেষ স্থানলগারিদম খেলুন, যেগুলি তাদের বেসের আকারের উপর নির্ভর করে নাম দেওয়া হবে:

নিয়ম এবং বিধিনিষেধ

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল নিয়ম: একটি পণ্যের লগারিদম লগারিদমিক যোগফলের সমান। log abp = log a(b) + log a(p)।

এই স্টেটমেন্টের বৈকল্পিক হিসেবে থাকবে: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), ভাগফল ফাংশন ফাংশনের পার্থক্যের সমান।

পূর্ববর্তী দুটি নিয়ম থেকে এটি দেখতে সহজ যে: log a(b p) = p * log a(b)।

অন্যান্য বৈশিষ্ট্য অন্তর্ভুক্ত:

মন্তব্য করুন। একটি সাধারণ ভুল করার দরকার নেই - একটি যোগফলের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান নয়।

বহু শতাব্দী ধরে, লগারিদম খুঁজে বের করা একটি বরং সময়সাপেক্ষ কাজ ছিল। গণিতবিদ ব্যবহার করেছেন সুপরিচিত সূত্রবহুপদী সম্প্রসারণের লগারিদমিক তত্ত্ব:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), যেখানে n - স্বাভাবিক সংখ্যা 1 এর বেশি, যা গণনার নির্ভুলতা নির্ধারণ করে।

অন্যান্য বেস সহ লগারিদমগুলি একটি বেস থেকে অন্য বেসে রূপান্তর এবং পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে উপপাদ্য ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল।

যেহেতু এই পদ্ধতিটি খুব শ্রম-নিবিড় এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধান করার সময়বাস্তবায়ন করা কঠিন, আমরা লগারিদমের প্রাক-সংকলিত সারণী ব্যবহার করেছি, যা উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত কাজের গতি বাড়িয়েছে।

কিছু ক্ষেত্রে, বিশেষভাবে ডিজাইন করা লগারিদম গ্রাফ ব্যবহার করা হয়েছিল, যা কম নির্ভুলতা দেয়, কিন্তু উল্লেখযোগ্যভাবে অনুসন্ধানের গতি বাড়িয়ে দেয়। পছন্দসই মান. ফাংশনের বক্ররেখা y = log a(x), বেশ কয়েকটি বিন্দুতে নির্মিত, আপনাকে অন্য যেকোনো বিন্দুতে ফাংশনের মান খুঁজে পেতে একটি নিয়মিত রুলার ব্যবহার করতে দেয়। ইঞ্জিনিয়ারদের অনেকক্ষণএই উদ্দেশ্যে, তথাকথিত গ্রাফ পেপার ব্যবহার করা হয়েছিল।

17 শতকে, প্রথম অক্জিলিয়ারী এনালগ কম্পিউটিং শর্তাদি উপস্থিত হয়েছিল, যা 19 তম শতকএকটি সমাপ্ত চেহারা অর্জন. সবচেয়ে সফল ডিভাইসটিকে স্লাইড নিয়ম বলা হয়। ডিভাইসের সরলতা সত্ত্বেও, এর উপস্থিতি উল্লেখযোগ্যভাবে সমস্ত ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার প্রক্রিয়াকে ত্বরান্বিত করেছে এবং এটিকে অতিরিক্ত মূল্যায়ন করা কঠিন। বর্তমানে, খুব কম লোকই এই ডিভাইসটির সাথে পরিচিত।

ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারের আবির্ভাব অন্য কোনো ডিভাইসের ব্যবহারকে অর্থহীন করে তুলেছে।

সমীকরণ এবং অসমতা

লগারিদম ব্যবহার করে বিভিন্ন সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করা হয়:

• এক বেস থেকে অন্য বেসে যাওয়া: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• পূর্ববর্তী বিকল্পের ফলস্বরূপ: লগ a(b) = 1 / লগ b(a)।

অসমতা সমাধানের জন্য এটি জানা দরকারী:

• লগারিদমের মান তখনই ধনাত্মক হবে যখন ভিত্তি এবং যুক্তি উভয়ই একের চেয়ে বড় বা কম হয়; যদি অন্তত একটি শর্ত লঙ্ঘন করা হয়, লগারিদম মান ঋণাত্মক হবে।
• যদি লগারিদম ফাংশন একটি অসমতার ডান এবং বাম দিকে প্রয়োগ করা হয়, এবং লগারিদমের ভিত্তি একের বেশি হয়, তাহলে অসমতার চিহ্ন সংরক্ষণ করা হয়; অন্যথায় এটি পরিবর্তিত হয়।

নমুনা সমস্যা

লগারিদম এবং তাদের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করার জন্য বিভিন্ন বিকল্প বিবেচনা করা যাক। সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ:

একটি শক্তিতে লগারিদম স্থাপনের বিকল্পটি বিবেচনা করুন:

• সমস্যা 3. গণনা করুন 25^লগ 5(3)। সমাধান: সমস্যার শর্তে, এন্ট্রিটি নিম্নলিখিত (5^2)^log5(3) বা 5^(2 * লগ 5(3)) এর মতো। একে অন্যভাবে লিখি: 5^log 5(3*2), অথবা ফাংশন আর্গুমেন্ট হিসেবে একটি সংখ্যার বর্গকে ফাংশনের বর্গ হিসেবে লেখা যেতে পারে (5^log 5(3))^2। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, এই রাশিটি 3^2 এর সমান। উত্তর: গণনার ফলস্বরূপ আমরা 9 ​​পাই।

বাস্তবিক ব্যবহার

একটি সম্পূর্ণরূপে গাণিতিক হাতিয়ার হচ্ছে, এটা অনেক দূরে মনে হয় বাস্তব জীবনযে লগারিদম হঠাৎ করে বাস্তব জগতে বস্তুর বর্ণনার জন্য অনেক গুরুত্ব পেয়েছে। যেখানে এটি ব্যবহার করা হয় না এমন একটি বিজ্ঞান খুঁজে পাওয়া কঠিন। এটি কেবল প্রাকৃতিক নয়, মানবিক জ্ঞানের ক্ষেত্রেও পুরোপুরি প্রযোজ্য।

লগারিদমিক নির্ভরতা

এখানে সংখ্যাসূচক নির্ভরতার কিছু উদাহরণ রয়েছে:

মেকানিক্স এবং পদার্থবিদ্যা

ঐতিহাসিকভাবে, বলবিদ্যা এবং পদার্থবিদ্যা সবসময় ব্যবহার করে বিকশিত হয়েছে গাণিতিক পদ্ধতিগবেষণা এবং একই সময়ে লগারিদম সহ গণিতের বিকাশের জন্য একটি উদ্দীপক হিসাবে কাজ করে। পদার্থবিজ্ঞানের অধিকাংশ সূত্রের তত্ত্ব গণিতের ভাষায় লেখা। বর্ণনার মাত্র দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক শারীরিক আইনলগারিদম ব্যবহার করে।

একটি রকেটের গতির মতো জটিল পরিমাণ গণনা করার সমস্যাটি সিওলকোভস্কি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে, যা মহাকাশ অনুসন্ধানের তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপন করেছিল:

V = I * ln (M1/M2), যেখানে

• V হল বিমানের চূড়ান্ত গতি।
• আমি - ইঞ্জিনের নির্দিষ্ট আবেগ।
• এম 1 - রকেটের প্রাথমিক ভর।
• M 2 - চূড়ান্ত ভর।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ- এটি অন্য একজন মহান বিজ্ঞানী ম্যাক্স প্ল্যাঙ্কের সূত্রে ব্যবহৃত হয়, যা তাপগতিবিদ্যায় ভারসাম্যের অবস্থা মূল্যায়ন করে।

S = k * ln (Ω), যেখানে

• এস - থার্মোডাইনামিক সম্পত্তি।
• k – বোল্টজম্যান ধ্রুবক।
• Ω হল বিভিন্ন রাজ্যের পরিসংখ্যানগত ওজন।

রসায়ন

লগারিদমের অনুপাত ধারণকারী রসায়নে সূত্রের ব্যবহার কম স্পষ্ট। শুধু দুটি উদাহরণ দেওয়া যাক:

• Nernst সমীকরণ, পদার্থের কার্যকলাপ এবং ভারসাম্য ধ্রুবকের সাথে সম্পর্কযুক্ত মাধ্যমের রেডক্স সম্ভাবনার অবস্থা।
• অটোলাইসিস সূচক এবং দ্রবণের অম্লতার মতো ধ্রুবকগুলির গণনাও আমাদের ফাংশন ছাড়া করা যায় না।

মনোবিজ্ঞান এবং জীববিজ্ঞান

এবং এটির সাথে মনোবিজ্ঞানের কী সম্পর্ক তা মোটেও পরিষ্কার নয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে সংবেদনের শক্তি এই ফাংশন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়েছে উদ্দীপকের তীব্রতা মান থেকে নিম্ন তীব্রতার মানের বিপরীত অনুপাত হিসাবে।

উপরের উদাহরণগুলির পরে, এটি আর অবাক হওয়ার কিছু নেই যে লগারিদমের বিষয়টি জীববিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। লগারিদমিক সর্পিলগুলির সাথে সম্পর্কিত জৈবিক ফর্মগুলি সম্পর্কে সম্পূর্ণ ভলিউম লেখা যেতে পারে।

অন্য এলাকা সমূহ

এটা মনে হয় যে এই ফাংশনের সাথে সংযোগ ছাড়া বিশ্বের অস্তিত্ব অসম্ভব, এবং এটি সমস্ত আইন শাসন করে। বিশেষ করে যখন প্রকৃতির নিয়মের সাথে সম্পর্কিত জ্যামিতিক অগ্রগতি. এটি MatProfi ওয়েবসাইটের দিকে ফিরে যাওয়া মূল্যবান এবং নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপের ক্ষেত্রে এরকম অনেক উদাহরণ রয়েছে:

তালিকা অন্তহীন হতে পারে. এই ফাংশনের মৌলিক নীতিগুলি আয়ত্ত করার পরে, আপনি অসীম জ্ঞানের জগতে ডুবে যেতে পারেন।

লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতোই, যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তরিত হতে পারে। কিন্তু লগারিদমগুলো যেহেতু ঠিক সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এখানে নিয়ম আছে, যেগুলোকে বলা হয় প্রধান বৈশিষ্ট্য.

আপনাকে অবশ্যই এই নিয়মগুলি জানতে হবে - এগুলি ছাড়া, একটি গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যাবে না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - আপনি একদিনে সবকিছু শিখতে পারেন। চল শুরু করা যাক.

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ

একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: লগ ক এক্সএবং লগ ক y. তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:

1. লগ ক এক্স+ লগ ক y= লগ ক (এক্স · y);
2. লগ ক এক্স- লগ ক y= লগ ক (এক্স : y).

সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান এবং পার্থক্যটি ভাগফলের লগারিদমের সমান। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: এখানে মূল পয়েন্ট হল অভিন্ন ভিত্তি. কারণ ভিন্ন হলে এই নিয়মগুলো কাজ করে না!

এই সূত্রগুলি আপনাকে লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠ দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:

লগ 6 4 + লগ 6 9।

যেহেতু লগারিদমের একই ভিত্তি রয়েছে, তাই আমরা যোগফল সূত্রটি ব্যবহার করি:
লগ 6 4 + লগ 6 9 = লগ 6 (4 9) = লগ 6 36 = 2।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 2 48 − log 2 3।

ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
লগ 2 48 − লগ 2 3 = লগ 2 (48: 3) = লগ 2 16 = 4।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 3 135 − log 3 5।

আবার ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
লগ 3 135 − লগ 3 5 = লগ 3 (135: 5) = লগ 3 27 = 3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে গণনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পরে, সম্পূর্ণ স্বাভাবিক সংখ্যা প্রাপ্ত হয়। অনেকেই এই সত্যের উপর নির্মিত পরীক্ষার কাগজপত্র. হ্যাঁ, ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় পরীক্ষার মতো অভিব্যক্তিগুলি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে (কখনও কখনও কার্যত কোনও পরিবর্তন ছাড়াই) দেওয়া হয়।

লগারিদম থেকে সূচক বের করা হচ্ছে

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তি একটি শক্তি হলে কি হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচককে বের করা যেতে পারে:

এটা লক্ষ্য করা সহজ শেষ নিয়মপ্রথম দুটি অনুসরণ করে। তবে যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।

অবশ্যই, লগারিদমের ODZ পরিলক্ষিত হলে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: ক > 0, ক ≠ 1, এক্স> 0. এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধুমাত্র বাম থেকে ডানে নয়, বরং উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন, যেমন লগারিদমে লগারিদম সাইন করার আগে আপনি সংখ্যাগুলি লিখতে পারেন। এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 7 49 6।

আসুন প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করে আর্গুমেন্টের ডিগ্রি থেকে পরিত্রাণ পাই:
লগ 7 49 6 = 6 লগ 7 49 = 6 2 = 12

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

লক্ষ্য করুন যে হরটিতে একটি লগারিদম রয়েছে, যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2। আমাদের আছে:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

আমি মনে করি শেষ উদাহরণ কিছু স্পষ্টীকরণ প্রয়োজন. লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। আমরা শক্তির আকারে সেখানে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছি এবং সূচকগুলি বের করেছি - আমরা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছি।

এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা ধারণ করে: লগ 2 7। যেহেতু লগ 2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর-এ থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি লবটিতে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল উত্তর ছিল: 2.

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। কারণ ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক ক্ষমতা না হয়?

একটি নতুন ফাউন্ডেশনে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আসুন একটি উপপাদ্য আকারে তাদের গঠন করা যাক:

লগারিদম লগ দেওয়া যাক ক এক্স. তারপর যেকোনো নম্বরের জন্য গযেমন যে গ> 0 এবং গ≠ 1, সমতা সত্য:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

বিশেষ করে, যদি আমরা করা গ = এক্স, আমরা পেতে:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

দ্বিতীয় সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি অদলবদল করা যেতে পারে, তবে এই ক্ষেত্রে সম্পূর্ণ অভিব্যক্তিটি "টার্ন ওভার" হয়, যেমন লগারিদম হর প্রদর্শিত হয়.

এই সূত্রগুলি খুব কমই সাধারণ সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তিতে পাওয়া যায়। লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব।

যাইহোক, এমন কিছু সমস্যা রয়েছে যা একটি নতুন ভিত্তির দিকে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। আসুন এর মধ্যে কয়েকটি দেখি:

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 5 16 log 2 25।

মনে রাখবেন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টে সঠিক ক্ষমতা রয়েছে। আসুন সূচকগুলি বের করা যাক: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

এখন দ্বিতীয় লগারিদমটিকে "বিপরীত" করা যাক:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

যেহেতু উপাদানগুলিকে পুনর্বিন্যাস করার সময় পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমের সাথে কাজ করেছি।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 9 100 lg 3।

প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক ক্ষমতা। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

প্রায়শই সমাধান প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করা প্রয়োজন। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:

প্রথম ক্ষেত্রে, সংখ্যা nআর্গুমেন্টে দাঁড়িয়ে থাকা ডিগ্রির একটি সূচক হয়ে ওঠে। সংখ্যা nএকেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি লগারিদম মান।

দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। এটাকে বলে: মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়।

আসলে সংখ্যা হলে কি হবে খএমন একটি শক্তি বাড়াতে যে সংখ্যা খএই শক্তি নম্বর দেয় ক? এটা ঠিক: আপনি এই একই নম্বর পাবেন ক. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেকে এতে আটকে যায়।

একটি নতুন বেসে যাওয়ার সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।

টাস্ক। অভিব্যক্তির অর্থ খুঁজুন:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

লক্ষ্য করুন যে লগ 25 64 = লগ 5 8 - সহজভাবে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি থেকে বর্গক্ষেত্রটি নিয়েছে। একই বেসের সাথে শক্তি গুণ করার নিয়মগুলি বিবেচনায় নিয়ে আমরা পাই:

[ছবির জন্য ক্যাপশন]

যদি কেউ না জানে, এটি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার একটি বাস্তব কাজ ছিল :)

লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে খুব কমই বৈশিষ্ট্য বলা যেতে পারে - বরং, তারা লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে উপস্থিত হয় এবং আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্যও সমস্যা তৈরি করে।

1. লগ ক ক= 1 একটি লগারিদমিক একক। একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যে কোনো বেস লগারিদম কএই খুব বেস থেকে এক সমান.
2. লগ ক 1 = 0 হল লগারিদমিক শূন্য। বেস কযেকোনো কিছু হতে পারে, কিন্তু যুক্তিতে যদি একটি থাকে, লগারিদম শূন্যের সমান! কারণ ক 0 = 1 হল সংজ্ঞার প্রত্যক্ষ ফলাফল।

যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট আউট করুন এবং সমস্যার সমাধান করুন।