সমীকরণ সমাধান করার সময় বহিরাগত শিকড়ের উপস্থিতির কারণ। সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতি

ফৌজদারি কার্যবিধির রায়, সেইসাথে দেওয়ানী কার্যধারার সিদ্ধান্তগুলি এর পক্ষে করা হয়

1) রাষ্ট্রপতি রাশিয়ান ফেডারেশন

2) রাশিয়ান ফেডারেশন

3) রাশিয়ান ফেডারেশন সরকার

4) রাশিয়ান ফেডারেশনের ফেডারেল অ্যাসেম্বলি

ব্যাখ্যা.

শিল্প অনুচ্ছেদ 28 অনুযায়ী. ফৌজদারি কার্যবিধির 5, একটি রায় হল আসামীর নির্দোষতা বা অপরাধের উপর একটি সিদ্ধান্ত এবং শাস্তি আরোপ বা শাস্তি থেকে মুক্তি, প্রথম দৃষ্টান্ত বা আপিলের আদালত দ্বারা প্রণীত। রায়ে উল্লিখিত বিষয়গুলি ছাড়াও, রাশিয়ান ফেডারেশনের ফৌজদারি কার্যবিধির দ্বারা প্রদত্ত অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করা যেতে পারে। একটি রায় ন্যায়বিচারের একটি কাজ, বিচার বিভাগের কর্তৃত্বের মূর্ত প্রতীক। রাশিয়ান ফেডারেশনের সমস্ত আদালত রাশিয়ান ফেডারেশনের নামে রায় দেয়।

উত্তর: 2

অপরাধের দ্বারা ক্ষতিগ্রস্ত ব্যক্তি কে?

1) সন্দেহ

2) আসামীরা

3) শিকার

ব্যাখ্যা.

সন্দেহভাজন - একটি অপরাধ সংঘটনের সন্দেহে আটক ব্যক্তি, বা এমন ব্যক্তি যার বিরুদ্ধে অভিযোগ দায়ের করার আগে একটি প্রতিরোধমূলক ব্যবস্থা প্রয়োগ করা হয়েছে।

আসামী হল সেই আসামী যার বিরুদ্ধে মামলাটি আদালতে কার্যধারার জন্য গৃহীত হয়েছে। যে ব্যক্তিকে সাজা দেওয়া হয়েছে তাকে দোষী বলা হয় - যদি রায় দোষী হয়, বা খালাস - যদি রায় দোষী না হয় (ফৌজদারি কার্যবিধির ধারা 46, পার্ট 2)।

বাদী হল দেওয়ানী কার্যধারায় একজন অংশগ্রহণকারী, যার বিষয়গত অধিকার এবং (বা) সুরক্ষিত স্বার্থের জন্য একটি দেওয়ানী মামলা শুরু করা হয়েছে।

সঠিক উত্তরটি 3 নম্বরে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

উত্তরঃ 3

বিষয় এলাকা: আইন. অপরাধমূলক প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য

ফৌজদারি মামলা আদালতে আনার পর আসামি হয়ে যায়

1) সন্দেহ

2) আসামীরা

3) একজন অপরাধী

4) দোষী সাব্যস্ত

ব্যাখ্যা.

সন্দেহভাজন- এখনও তদন্তাধীন

অপরাধী - যখন অপরাধ সম্পূর্ণরূপে প্রমাণিত হয়

সাজাপ্রাপ্ত- আদালতের রায়ের পর

সঠিক উত্তরটি 2 নম্বরে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: 2

বিষয় এলাকা: আইন. অপরাধমূলক প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য

কোন পরিস্থিতি ফৌজদারি আইন দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়?

1) অগ্নি নিরাপত্তা নিয়ম লঙ্ঘন করা হয়েছে

2) অবৈধ বরখাস্তের জন্য একটি দাবি দায়ের করা হয়েছিল

3) নাগরিক ডি এর উপর অভিভাবকত্ব প্রতিষ্ঠার জন্য একটি আবেদন জমা দেওয়া হয়েছে, যাকে আদালত অযোগ্য ঘোষণা করেছে

4) ইচ্ছাকৃতভাবে স্বাস্থ্যের গুরুতর ক্ষতি করেছে

ব্যাখ্যা.

ফৌজদারি আইন হল আইনের একটি শাখা যা অপরাধমূলক ক্রিয়াকলাপ, শাস্তি আরোপ এবং ফৌজদারি আইনি প্রকৃতির অন্যান্য পদক্ষেপের প্রয়োগের সাথে সম্পর্কিত সামাজিক সম্পর্কগুলিকে নিয়ন্ত্রণ করে, ফৌজদারি বিচার বা ফৌজদারি দায় এবং শাস্তি থেকে অব্যাহতি দেওয়ার ভিত্তি স্থাপন করে।

উত্তর: 4

বিষয় এলাকা: আইন. অপরাধমূলক প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য

রাশিয়ান ফেডারেশনে বিচারিক কার্যক্রমে বিচারকদের অংশগ্রহণ প্রক্রিয়াধীন মামলা বিবেচনা করার জন্য প্রদান করা হয়

1) প্রশাসনিক

2) সালিশ

3) সিভিল

4) অপরাধী

ব্যাখ্যা.

একটি জুরি হল বিচার ব্যবস্থার একটি প্রতিষ্ঠান যা শুধুমাত্র একটি প্রদত্ত মামলার জন্য এলোমেলো নমুনা দ্বারা নির্বাচিত বিচারকদের একটি প্যানেল নিয়ে গঠিত এবং প্রকৃত প্রশ্নগুলির সিদ্ধান্ত নেয় এবং একজন পেশাদার বিচারক আইনের প্রশ্নগুলির সিদ্ধান্ত নেয়। একটি জুরি প্রথম উদাহরণে সাধারণত গুরুতর অপরাধের অভিযোগ জড়িত ফৌজদারি মামলার বিচার করে। রাশিয়া সহ কিছু দেশে, জুরি বিচার শুধুমাত্র ফৌজদারি কার্যক্রমে সম্ভব। কিছু মার্কিন রাজ্য এবং কিছু দেশে, জুরিরা শুধুমাত্র সর্বসম্মতভাবে সিদ্ধান্ত নিতে পারে। অন্যদের মধ্যে - একটি সাধারণ বা যোগ্য সংখ্যাগরিষ্ঠ দ্বারা। (রাশিয়ান ফেডারেশনে, জুরি সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোটের মাধ্যমে একটি সিদ্ধান্ত নেয়।) এছাড়াও কিছু দেশে, জুরি মৃত্যুদণ্ডের ব্যবহার বা প্রশমিত পরিস্থিতির উপস্থিতির বিষয়ে একটি সুপারিশ করে। যাইহোক, শাস্তি বেছে নেওয়ার বিষয়টি সবসময় বিচারক দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়। (ব্যতিক্রম মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র, মৃত্যুদণ্ডের সম্ভাবনা জড়িত একটি মামলার ক্ষেত্রে, মৃত্যুদণ্ড প্রয়োগ না করার জন্য জুরির সিদ্ধান্ত চূড়ান্ত এবং আপিল করা যাবে না।)

সঠিক উত্তরটি 4 নম্বরে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে।

উত্তর: 4

বিষয় এলাকা: আইন. অপরাধমূলক প্রক্রিয়ার বৈশিষ্ট্য

আইনগত ভিত্তি ছাড়াই চিঠিপত্র, টেলিফোন কথোপকথন এবং টেলিগ্রাফ বার্তাগুলির গোপনীয়তা লঙ্ঘন আইন দ্বারা শাস্তিযোগ্য

1) অপরাধী

2) প্রশাসনিক

3) সিভিল

4) শ্রম

ব্যাখ্যা.

ফৌজদারি আইন হল আইনের একটি শাখা যা আইনি নিয়মগুলি নিয়ে গঠিত যা নির্ধারণ করে যে কোন সামাজিকভাবে বিপজ্জনক কাজগুলিকে অপরাধ হিসাবে গণ্য করা হবে এবং তাদের জন্য কী শাস্তি দেওয়া যেতে পারে। আইনি ভিত্তি ছাড়াই চিঠিপত্র, টেলিফোন কথোপকথন এবং টেলিগ্রাফ বার্তার গোপনীয়তা লঙ্ঘন ফৌজদারি আইনের অধীনে শাস্তিযোগ্য।

সঠিক উত্তরটি নম্বরের নিচে নির্দেশ করা হয়েছে: 1।

নাম: সামাজিক অধ্যয়ন - ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য এক্সপ্রেস টিউটর - আইন।

এই বইটি টিউটোরিয়ালদ্রুত এবং জন্য কার্যকর প্রস্তুতিস্কুলছাত্রী এবং সামাজিক অধ্যয়নে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার (ইউএসই) জন্য আবেদনকারী, যা এর বিষয়বস্তুতে মিল রয়েছে রাষ্ট্রীয় মানসামাজিক বিজ্ঞান শিক্ষা। ম্যানুয়ালটি সামাজিক অধ্যয়ন কোর্সের বিষয়বস্তু ব্লক "আইন"-এ জ্ঞানকে পদ্ধতিগত, গভীরকরণ এবং সাধারণীকরণে সহায়তা করার উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছে।

এই নির্দেশিকা জন্য উদ্দেশ্যে করা হয় আত্ম প্রশিক্ষণস্কুলছাত্র এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য আবেদনকারী।
এটি সামাজিক অধ্যয়ন কোর্সের বিষয়বস্তু ব্লক "আইন" এর জন্য অ্যাসাইনমেন্ট অন্তর্ভুক্ত করে। প্রতিটি বিভাগ তাত্ত্বিক উপাদান দ্বারা পূর্বে, একটি সংক্ষিপ্ত এবং অ্যাক্সেসযোগ্য আকারে দেওয়া হয়, উদাহরণস্বরূপ, ডায়াগ্রাম এবং টেবিলের আকারে।
প্রশিক্ষণের কাজগুলি ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার ফর্ম্যাটের সাথে মিলে যায় এবং দ্রুত এবং দক্ষতার সাথে পরীক্ষাগুলি সমাধান করার দক্ষতা বিকাশের লক্ষ্যে। বইয়ের শেষে, সমস্ত প্রস্তাবিত কাজের উত্তর উপস্থাপন করা হয়েছে, যা আপনাকে পরীক্ষার প্রস্তুতির স্তরকে উদ্দেশ্যমূলকভাবে মূল্যায়ন করতে দেবে।

মুখবন্ধ. 4
ডান
তাত্ত্বিক উপাদান (এক্সপ্রেস কোর্স)। এগারো
বিষয় 1. সিস্টেমে আইন সামাজিক নিয়ম. 11
বিষয় 2. আইনি ব্যবস্থা: প্রধান শাখা, প্রতিষ্ঠান, সম্পর্ক। 22
বিষয় 3. আইনের উৎস। 26
বিষয় 4। আইনি কাজ. 28
বিষয় 5. আইনি সম্পর্ক। 32
বিষয় 6. অপরাধ। 36
বিষয় 7. রাশিয়ান ফেডারেশনের সংবিধান। 39
বিষয় 8. সরকারী এবং বেসরকারী আইন। 50
বিষয় 9. আইনি দায়িত্ব এবং এর প্রকারগুলি। 51
বিষয় 10. রাশিয়ান ফেডারেশনে রাষ্ট্র, প্রশাসনিক, নাগরিক, শ্রম এবং ফৌজদারি আইনের মৌলিক ধারণা এবং নিয়ম। 57
বিষয় 11। আইনগত ভিত্তিবিবাহ এবং পরিবার। 96
বিষয় 12. মানবাধিকার সম্পর্কিত আন্তর্জাতিক নথি। 106
বিষয় 13. মানবাধিকারের বিচার বিভাগীয় সুরক্ষা ব্যবস্থা। 109
বিষয় 14. রাশিয়ান ফেডারেশনের সাংবিধানিক ব্যবস্থার মৌলিক বিষয়গুলি। 112
বিষয় 15. ফেডারেশন, এর বিষয়। 116
বিষয় 16. রাশিয়ান ফেডারেশনের আইনী, নির্বাহী এবং বিচার বিভাগীয় কর্তৃপক্ষ। 122
বিষয় 17. প্রেসিডেন্সি ইনস্টিটিউট। 135
বিষয় 18. আইন প্রয়োগকারী সংস্থা। 140
বিষয় 19. শান্তিকালীন এবং যুদ্ধকালীন মানবাধিকারের আন্তর্জাতিক সুরক্ষা। 144
বিষয় 20. আইনি সংস্কৃতি। 150
প্রশিক্ষণ কর্ম. 157
পার্ট 1(A)। 157
পার্ট 2(B)। 169
পার্ট 3(C)। 178
এর উত্তর প্রশিক্ষণের কাজ. 181
পার্ট 1(A)। 181
পার্ট 1(B)। 183
পার্ট 3(C)। 184
সাহিত্য। 190

বিনামুল্যে ডাউনলোড ই-বুকএকটি সুবিধাজনক বিন্যাসে, দেখুন এবং পড়ুন:
ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য সোশ্যাল স্টাডিজ - এক্সপ্রেস টিউটর বইটি ডাউনলোড করুন - আইন - বারানভ পি.এ., ভোরন্টসভ এ.ভি. - fileskachat.com, দ্রুত এবং বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন।

পিডিএফ ডাউনলোড করুন
আপনি নীচের এই বই কিনতে পারেন ভালো দামরাশিয়া জুড়ে ডেলিভারি সহ ডিসকাউন্টে।

§ 1. সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় হারিয়ে যাওয়া এবং বহিষ্কৃত মূল (উদাহরণ দ্বারা)

আমার মুখোমুখি

1. VII অধ্যায়ের § 3-এ দুটি উপপাদ্য সমীকরণের কোন ক্রিয়াগুলি তাদের সমতা লঙ্ঘন করে না সে সম্পর্কে কথা বলেছে।

2. আসুন এখন সমীকরণের উপর এমন ক্রিয়াকলাপ বিবেচনা করি যা একটি নতুন সমীকরণের দিকে নিয়ে যেতে পারে যা মূল সমীকরণের সাথে অসম। সাধারণ বিবেচনার পরিবর্তে, আমরা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনায় নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ রাখব।

3. উদাহরণ 1. একটি সমীকরণ দেওয়া হয়েছে। এই সমীকরণের বন্ধনীগুলি খুলুন এবং সমস্ত পদ এখানে স্থানান্তর করুন বাম পাশেএবং দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করুন। এর শিকড়

যদি আপনি একটি সাধারণ গুণক দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে হ্রাস করেন তবে আপনি একটি সমীকরণ পাবেন যা মূলটির সাথে অসম, কারণ এটির একটি মাত্র মূল রয়েছে

এইভাবে, অজানা ধারণকারী একটি ফ্যাক্টর দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে হ্রাস করার ফলে সমীকরণের শিকড় হারিয়ে যেতে পারে।

4. উদাহরণ 2. একটি সমীকরণ দেওয়া হয়েছে। এই সমীকরণটির একটি একক মূল রয়েছে। আসুন এই সমীকরণের উভয় দিকে বর্গ করি এবং আমরা পাই। এই সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা দুটি মূল খুঁজে পাই:

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে নতুন সমীকরণটি মূল সমীকরণের সমতুল্য নয়। মূল হল সমীকরণের মূল যা উভয় দিকে বর্গ করার পর সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়।

5. বহিরাগত শিকড়গুলিও দেখা দিতে পারে যখন সমীকরণের উভয় দিক একটি অজানা ধারণকারী গুণিতক দ্বারা গুণ করা হয়, যদি x এর বাস্তব মানের জন্য এই ফ্যাক্টরটি অদৃশ্য হয়ে যায়।

উদাহরণ 3. যদি আমরা সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করি তাহলে আমরা একটি নতুন সমীকরণ পাব যা ডান দিক থেকে বাম দিকে পদটি স্থানান্তরিত করার পরে এবং এটিকে গুণিতক করার পরে, দুটি থেকে একটি সমীকরণ দেয়

মূল একটি সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে না যার শুধুমাত্র একটি মূল রয়েছে

তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি: সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ করার সময় (সাধারণভাবে, এমনকি ডিগ্রি), সেইসাথে যখন একটি অজানা এবং অজানা প্রকৃত মানগুলির জন্য অদৃশ্য হয়ে যাওয়া একটি ফ্যাক্টর দ্বারা গুণ করা হয়, বহিরাগত শিকড় উপস্থিত হতে পারে।

একটি সমীকরণের বহিরাগত শিকড়ের ক্ষতি এবং উপস্থিতির বিষয়ে এখানে প্রকাশিত সমস্ত বিবেচনা যে কোনও সমীকরণের (বীজগণিত, ত্রিকোণমিতিক, ইত্যাদি) জন্য সমানভাবে প্রযোজ্য।

6. একটি সমীকরণকে বীজগণিত বলা হয় যদি শুধুমাত্র বীজগণিতীয় ক্রিয়াকলাপগুলি অজানা - যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, সূচক এবং একটি প্রাকৃতিক সূচকের সাথে মূল নিষ্কাশন করা হয় (এবং এই ধরনের ক্রিয়াকলাপের সংখ্যা সসীম)।

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ

বীজগণিত, এবং সমীকরণ

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের বিষয় একটি স্কুল বক্তৃতা দিয়ে শুরু হয়, যা একটি হিউরিস্টিক কথোপকথনের আকারে গঠন করা হয়। বক্তৃতাটি তাত্ত্বিক উপাদান এবং পরিকল্পনা অনুসারে সমস্ত সাধারণ সমস্যা সমাধানের উদাহরণ নিয়ে আলোচনা করে:

• সহজতম ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতি।
• সমজাতীয় সমীকরণ।

নিম্নলিখিত পাঠে, শিক্ষক এবং ছাত্রের মধ্যে যৌথ কার্যকলাপের নীতির প্রয়োগের ভিত্তিতে স্বাধীন দক্ষতা বিকাশ শুরু হয়। প্রথমত, শিক্ষার্থীদের জন্য লক্ষ্য নির্ধারণ করা হয়, যেমন এটি নির্ধারিত হয় যে কে রাষ্ট্রীয় মানদণ্ডের প্রয়োজনের চেয়ে বেশি কিছু জানতে চায় না এবং কে আরও কিছু করতে প্রস্তুত।

চূড়ান্ত নির্ণয়টি অ্যাকাউন্ট স্তরের পার্থক্য বিবেচনা করে তৈরি করা হয়, যা শিক্ষার্থীদের সচেতনভাবে ন্যূনতম জ্ঞান নির্ধারণ করতে দেয় যা "3" গ্রেড পাওয়ার জন্য প্রয়োজনীয়। এর উপর ভিত্তি করে, শিক্ষার্থীদের জ্ঞান নির্ণয়ের জন্য বহু-স্তরের উপকরণ নির্বাচন করা হয়। এই ধরনের কাজ ছাত্রদের জন্য একটি স্বতন্ত্র পদ্ধতির অনুমতি দেয়, যার মধ্যে প্রত্যেকের সচেতন শিক্ষা কার্যক্রম, স্ব-সংগঠন এবং স্ব-শিক্ষার দক্ষতার বিকাশ, এবং সক্রিয়, স্বাধীন চিন্তাভাবনার পরিবর্তন নিশ্চিত করা।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক দক্ষতা অনুশীলনের পর সেমিনারটি পরিচালিত হয়। সেমিনারের আগে বেশ কয়েকটি পাঠ, শিক্ষার্থীদের প্রশ্ন দেওয়া হয় যা সেমিনারের সময় আলোচনা করা হবে।

সেমিনারটি তিনটি অংশ নিয়ে গঠিত।

1. সূচনা অংশটি জটিল সমীকরণ সমাধান করার সময় উদ্ভূত সমস্যাগুলির একটি ভূমিকা সহ সমস্ত তাত্ত্বিক উপাদানকে কভার করে।

2. দ্বিতীয় অংশে ফর্মের সমীকরণের সমাধান নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে:

• এবং cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0।
• ডিগ্রী হ্রাস করে সমাধানযোগ্য সমীকরণ।

এই সমীকরণগুলি সর্বজনীন প্রতিস্থাপন, ডিগ্রি হ্রাস সূত্র এবং সহায়ক যুক্তি পদ্ধতি ব্যবহার করে।

3. তৃতীয় অংশটি মূলের ক্ষতি এবং বহিরাগত শিকড় অধিগ্রহণের সমস্যা নিয়ে আলোচনা করে। শিকড় নির্বাচন কিভাবে দেখায়.

ছাত্ররা দলবদ্ধভাবে কাজ করে। উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য, ভাল প্রশিক্ষিত ছেলেদের ডাকা হয় যারা উপাদানটি দেখাতে এবং ব্যাখ্যা করতে পারে।

সেমিনারটি একজন ভালোভাবে প্রস্তুত শিক্ষার্থীর জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, কারণ... এটি প্রোগ্রাম উপাদানের সুযোগের বাইরে কিছু সমস্যা সমাধান করে। এটি একটি আরও জটিল ফর্মের সমীকরণগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে এবং বিশেষত জটিল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার ক্ষেত্রে সমস্যাগুলির সমাধান করে৷

সেমিনারটি 10-11 গ্রেডের শিক্ষার্থীদের জন্য অনুষ্ঠিত হয়েছিল। প্রতিটি শিক্ষার্থীর এই বিষয়ে তাদের জ্ঞানকে প্রসারিত ও গভীর করার সুযোগ ছিল, তাদের জ্ঞানের স্তরকে শুধুমাত্র একজন স্কুল স্নাতকের প্রয়োজনীয়তার সাথেই নয়, V.U.Z-এ প্রবেশকারীদের জন্য প্রয়োজনীয়তার সাথেও তুলনা করার সুযোগ ছিল।

সেমিনার

বিষয়:"ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান"

লক্ষ্য:

• সব ধরনের ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের জ্ঞান সাধারণীকরণ করুন।
• সমস্যার উপর ফোকাস করুন: শিকড় ক্ষতি; বহিরাগত শিকড়; রুট নির্বাচন।

ক্লাস চলাকালীন।

I. পরিচিতিমূলক অংশ

1. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতি

• ফ্যাক্টরাইজেশন।
• একটি নতুন পরিবর্তনশীল ভূমিকা.
• কার্যকরী-গ্রাফিক পদ্ধতি।

2. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের কিছু প্রকার।

• সমীকরণ যা কমিয়ে দেয় দ্বিঘাত সমীকরণ, cos x = t আপেক্ষিক, sin x = t।

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0।

তারা একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন দ্বারা সমাধান করা হয়.

• প্রথম এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির সমজাতীয় সমীকরণ

প্রথম ডিগ্রি সমীকরণ: Asinx + Bcosx = 0 cos x দ্বারা ভাগ করলে আমরা Atg x + B = 0 পাই

দ্বিতীয় ডিগ্রি সমীকরণ: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 cos 2 x দ্বারা ভাগ করলে আমরা Atg 2 x + Btgx + C = 0 পাই

তারা ফ্যাক্টরাইজেশন এবং একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তন দ্বারা সমাধান করা হয়.

সমস্ত পদ্ধতি প্রযোজ্য।

• ডাউনগ্রেড:

1)। Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হয়।

2)। Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• ফর্মের সমীকরণ: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0।

t = sinx + cosx সাপেক্ষে বর্গক্ষেত্রে হ্রাস করা; sin2x = t 2 – 1।

3. সূত্র।

x + 2n; চেক করা প্রয়োজন!

• ক্রমহ্রাসমান ডিগ্রি: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• সহায়ক যুক্তি পদ্ধতি।

Acosx + Bsinx কে Csin (x + ) দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন, যেখানে sin = a/C; cos=v/c;

- সহায়ক যুক্তি।

4. নিয়ম।

• আপনি যদি একটি বর্গক্ষেত্র দেখতে পান তবে ডিগ্রী কম করুন।
• আপনি যদি একটি টুকরা দেখতে, একটি অঙ্ক করুন.
• পরিমান দেখলে কাজ করে ফেলুন।

5. শিকড়ের ক্ষতি, অতিরিক্ত শিকড়।

• শিকড়ের ক্ষতি: g(x) দিয়ে ভাগ করুন; বিপজ্জনক সূত্র (সর্বজনীন প্রতিস্থাপন)। এই অপারেশনগুলির সাথে আমরা সংজ্ঞার সুযোগকে সংকুচিত করি।

• অতিরিক্ত শিকড়: একটি সমান শক্তি উত্থাপিত; g(x) দ্বারা গুণ করুন (হর থেকে মুক্তি পান)। এই অপারেশনগুলির সাথে আমরা সংজ্ঞার সুযোগ প্রসারিত করি।

২. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের উদাহরণ

1. Asinx + Bcosx = C ফর্মের সমীকরণ

1) সর্বজনীন প্রতিস্থাপন.O.D.Z. x - যে কোনো।

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0।

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3।

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

পরীক্ষা: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0।

x = /2 + n, n e Z. সমীকরণের মূল।

উত্তর: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z।

2) কার্যকরী-গ্রাফিক পদ্ধতি। O.D.Z. x - যে কোনো।

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

ফাংশন প্লট করা যাক: y = sinx, y = cosx + 1।

উত্তর: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) একটি সহায়ক যুক্তির ভূমিকা। O.D.Z.: x – যেকোনো।

8cosx + 15 sinx = 17।

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, কারণ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, তাহলে এমন আছে যে পাপ = 8/17,

cos = 15/17, যার অর্থ sin cosx + sinx cos = 1; = আর্কসিন 8/17।

উত্তর: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z।

2. অর্ডার কমানো: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C।

1)। sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – যেকোনো।

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0।

উত্তর: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

এ

k = 1 এবং m = 0 k = 4 এবং m = 1।

সিরিজ একই.

3. একজাতীয়তা হ্রাস. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C।

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – যেকোনো।
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) cos 2 x দ্বারা ভাগ করা যায় না, যেহেতু আমরা মূল হারিয়ে ফেলি।
cos 2 x = 0 সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে।
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0।
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z।

উত্তর: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. ফর্মের সমীকরণ: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0।

1)। 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – যেকোনো।
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1।
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S।
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

উত্তর: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z।

5. ফ্যাক্টরাইজেশন।

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0।

1) cosx = 2, কোন শিকড় নেই।
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

উত্তর: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করার সময় উদ্ভূত সমস্যা

1. শিকড়ের ক্ষতি: g(x) দিয়ে ভাগ করুন; আমরা বিপজ্জনক সূত্র ব্যবহার করি।

1) ত্রুটি খুঁজুন.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 সূত্র।
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 ভাগ করে 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z।
হারিয়ে যাওয়া শিকড় sinx/2 = 0, x = 2k, k Z।

সঠিক সমাধান: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0।

sin 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z।

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z।

2. বহিরাগত শিকড়: আমরা হর থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি; একটি সমান শক্তি বাড়াতে.

1)। (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2।

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1)। сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2)। 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z।

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 পাপ ২/৩ = ৩/২ সন্তুষ্ট না O.D.Z. 2. n = 1 পাপ 2 = 0 O.D.Z সন্তুষ্ট করুন 3. n = 2 পাপ 2/ 3 = –3 / 2 O.D.Z সন্তুষ্ট করুন

২. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 পাপ 2/6 = 3/2 O.D.Z সন্তুষ্ট না 2. k = 1 পাপ 2*5/6 = –3 / 2 O.D.Z সন্তুষ্ট করুন

উত্তর: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

সমীকরণ সমাধান করার সময় নিম্নলিখিত রূপান্তরগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়:

অন্যান্য রূপান্তর

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে উপস্থাপিত তালিকায়, আমরা ইচ্ছাকৃতভাবে সমীকরণের উভয় দিককে একই প্রাকৃতিক শক্তিতে উত্থাপন, লগারিদম, সমীকরণের উভয় দিকের সম্ভাব্যতা, উভয় দিক থেকে একই ডিগ্রির মূল বের করার মতো রূপান্তরগুলি অন্তর্ভুক্ত করিনি। সমীকরণ, মুক্ত করা বাহ্যিক ফাংশনএবং অন্যদের. আসল বিষয়টি হ'ল এই রূপান্তরগুলি এত সাধারণ নয়: উপরের তালিকা থেকে রূপান্তরগুলি সমস্ত ধরণের সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় এবং কেবলমাত্র উল্লেখিত রূপান্তরগুলি নির্দিষ্ট ধরণের সমীকরণগুলি (অযৌক্তিক, সূচকীয়, লগারিদমিক, ইত্যাদি) সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এগুলি সংশ্লিষ্ট ধরণের সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য সংশ্লিষ্ট পদ্ধতিগুলির কাঠামোর মধ্যে বিশদভাবে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে তাদের বিস্তারিত বিবরণের লিঙ্ক রয়েছে:

• একটি সমীকরণের উভয় দিককে একই প্রাকৃতিক শক্তিতে উত্থাপন করা।
• সমীকরণের উভয় পক্ষের লগারিদম নেওয়া.
• সমীকরণের উভয় পক্ষের সম্ভাব্যতা.
• একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই শক্তির মূল বের করা.
• মূল সমীকরণের একটি অংশের সাথে সম্পর্কিত একটি অভিব্যক্তিকে মূল সমীকরণের অন্য অংশের একটি অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা.

প্রদত্ত লিঙ্কগুলি তালিকাভুক্ত রূপান্তরের উপর ব্যাপক তথ্য ধারণ করে। অতএব, আমরা আর এই নিবন্ধে তাদের উপর বাস করব না। সমস্ত পরবর্তী তথ্য মৌলিক রূপান্তরের তালিকা থেকে রূপান্তরের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।

সমীকরণ পরিবর্তনের ফলে কী ঘটে?

উপরের সমস্ত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করা হয় এমন একটি সমীকরণ দিতে পারে যার মূল সমীকরণের মতো একই শিকড় রয়েছে, বা একটি সমীকরণ যার মূলে মূল সমীকরণের সমস্ত শিকড় রয়েছে, তবে যার অন্যান্য শিকড়ও থাকতে পারে, বা একটি সমীকরণ যার শিকড় থাকবে না। রূপান্তরিত সমীকরণের সমস্ত মূল অন্তর্ভুক্ত করুন। নিম্নলিখিত অনুচ্ছেদে আমরা বিশ্লেষণ করব যে এই রূপান্তরগুলির মধ্যে কোনটি, কোন পরিস্থিতিতে, কোন সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। সফলভাবে সমীকরণ সমাধানের জন্য এটি জানা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

সমীকরণের সমতুল্য রূপান্তর

বিশেষ আগ্রহের বিষয় হল সমীকরণের রূপান্তর যা সমতুল্য সমীকরণে পরিণত হয়, অর্থাৎ যে সমীকরণগুলির মূল সমীকরণের মতো একই সেট রয়েছে। এই ধরনের রূপান্তর বলা হয় সমতুল্য রূপান্তর. স্কুলের পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, সংশ্লিষ্ট সংজ্ঞাটি স্পষ্টভাবে দেওয়া হয় না, তবে প্রসঙ্গ থেকে এটি পড়া সহজ:

সংজ্ঞা

সমীকরণের সমতুল্য রূপান্তররূপান্তর যা সমতুল্য সমীকরণ দেয়।

তাহলে কেন সমতুল্য রূপান্তরগুলি আকর্ষণীয়? আসল বিষয়টি হল যে তাদের সাহায্যে যদি সমাধান করা সমীকরণ থেকে মোটামুটি সহজ সমীকরণে আসা সম্ভব হয়, তাহলে এই সমীকরণটি সমাধান করলে মূল সমীকরণের কাঙ্ক্ষিত সমাধান পাওয়া যাবে।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে তালিকাভুক্ত রূপান্তরগুলির মধ্যে, সবগুলি সর্বদা সমতুল্য নয়৷ কিছু রূপান্তর শুধুমাত্র নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে সমতুল্য। আসুন বিবৃতিগুলির একটি তালিকা তৈরি করি যা নির্ধারণ করে কোন রূপান্তর এবং কোন অবস্থার অধীনে সমীকরণের সমতুল্য রূপান্তর। এটি করার জন্য, আমরা উপরোক্ত তালিকাটিকে একটি ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করব, এবং যে রূপান্তরগুলি সর্বদা সমতুল্য নয়, আমরা সেই শর্তগুলি যুক্ত করব যা তাদের সমতা দেয়। এখানে তালিকা আছে:

• একটি সমীকরণের বাম বা ডান দিকে একটি অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করে এমন একটি অভিব্যক্তি যা সমীকরণের চলক পরিবর্তন করে না তা হল সমীকরণের একটি সমতুল্য রূপান্তর।

কেন এটি তাই ব্যাখ্যা করা যাক. এটি করার জন্য, আমরা A(x)=B(x) ফর্মের একটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি সমীকরণ নিই (অনেকগুলি ভেরিয়েবলের সাথে সমীকরণের জন্য একই রকম যুক্তি চালানো যেতে পারে), আমরা এর বাম এবং ডান দিকের অভিব্যক্তিগুলিকে A( হিসাবে চিহ্নিত করেছি। x) এবং B(x), যথাক্রমে। অভিব্যক্তি C(x) অভিব্যক্তিটি A(x) অভিব্যক্তির সমানভাবে সমান হোক এবং C(x)=B(x) সমীকরণের চলক x এর ODZ মূল সমীকরণের জন্য চলক x এর ODZ এর সাথে মিলে যায়। আসুন প্রমাণ করি যে A(x)=B(x) সমীকরণ C(x)=B(x) সমীকরণে রূপান্তর একটি সমতুল্য রূপান্তর, অর্থাৎ, আমরা প্রমাণ করব যে সমীকরণ A(x)=B (x) এবং C(x) =B(x) সমতুল্য।

এটি করার জন্য, এটি দেখানোই যথেষ্ট যে মূল সমীকরণের যেকোন রুট হল C(x)=B(x) সমীকরণের একটি মূল এবং C(x)=B(x) সমীকরণের যেকোনও একটি মূল মূল সমীকরণের।

প্রথম অংশ দিয়ে শুরু করা যাক। q হল সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল, তারপর যখন আমরা এটিকে x-এর প্রতিস্থাপন করব তখন আমরা সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা A(q)=B(q) পাব। যেহেতু অভিব্যক্তি A(x) এবং C(x) অভিন্নভাবে সমান এবং C(q) অভিব্যক্তিটি বোঝায় (এটি এই শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে C(x)=B(x) সমীকরণের জন্য OD এর OD এর সাথে মিলে যায় মূল সমীকরণ) , তাহলে সংখ্যাগত সমতা A(q)=C(q) সত্য। পরবর্তীতে আমরা সংখ্যাসূচক সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি। প্রতিসাম্য বৈশিষ্ট্যের কারণে, সমতা A(q)=C(q) আবার C(q)=A(q) হিসেবে লেখা যেতে পারে। তারপর, ট্রানজিটিভিটি বৈশিষ্ট্যের কারণে, সমতা C(q)=A(q) এবং A(q)=B(q) সমতা C(q)=B(q) বোঝায়। এটি প্রমাণ করে যে q হল C(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

দ্বিতীয় অংশ, এবং এটির সাথে সামগ্রিকভাবে পুরো বিবৃতিটি একটি সম্পূর্ণ সাদৃশ্যপূর্ণ উপায়ে প্রমাণিত হয়েছে।

বিশ্লেষণকৃত সমতুল্য রূপান্তরের সারমর্মটি নিম্নরূপ: এটি আপনাকে সমীকরণের বাম এবং ডান দিকের অভিব্যক্তিগুলির সাথে আলাদাভাবে কাজ করতে দেয়, ভেরিয়েবলের মূল ODZ-এ অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করে।

সবচেয়ে সাধারণ উদাহরণ: আমরা x=2+1 সমীকরণের ডান পাশের সংখ্যার যোগফলকে এর মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি, যার ফলে x=3 ফর্মের একটি সমতুল্য সমীকরণ হবে। প্রকৃতপক্ষে, আমরা অভিব্যক্তি 2+1কে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি 3 দিয়ে প্রতিস্থাপন করেছি এবং সমীকরণের ODZ পরিবর্তন হয়নি। আরেকটি উদাহরণ: সমীকরণ 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 এর বাম দিকে আমরা পারি, এবং ডানদিকে – , যা আমাদেরকে সমীকরণ 3·x+-এ নিয়ে যাবে ৬=৫·x+ ৩। ফলস্বরূপ সমীকরণটি প্রকৃতপক্ষে সমতুল্য, যেহেতু আমরা অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করেছি এবং একই সাথে একটি সমীকরণ পেয়েছি যার একটি OD রয়েছে যা মূল সমীকরণের জন্য OD-এর সাথে মিলে যায়৷

• একটি সমীকরণের উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ করা বা একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করা সমীকরণের একটি সমতুল্য রূপান্তর।

আসুন প্রমাণ করি যে A(x)=B(x) সমীকরণের উভয় পাশে একই সংখ্যা c যোগ করলে সমীকরণ A(x)+c=B(x)+c পাওয়া যায় এবং সমীকরণের উভয় দিক থেকে বিয়োগ করা হয়। একই সংখ্যা c এর A(x) =B(x) সমতুল্য সমীকরণ A(x)−c=B(x)−c দেয়।

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল, তাহলে সমতা A(q)=B(q) সত্য। সাংখ্যিক সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদেরকে একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতার উভয় পাশে যোগ করতে বা এর অংশগুলি থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করতে দেয়। এই সংখ্যাটিকে c হিসাবে চিহ্নিত করা যাক, তাহলে সমতা A(q)+c=B(q)+c এবং A(q)−c=B(q)−c বৈধ। এই সমতাগুলি থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)+c=B(x)+c সমীকরণের মূল এবং A(x)−c=B(x)−c সমীকরণ।

এখন ফিরে. q হল A(x)+c=B(x)+c সমীকরণের মূল এবং A(x)−c=B(x)−c, তারপর A(q)+c=B(q) +c এবং A (q)−c=B(q)−c। আমরা জানি যে একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতার উভয় দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে একটি প্রকৃত সংখ্যাসূচক সমতা তৈরি হয়। আমরা আরও জানি যে উভয় পক্ষের সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা যোগ করলে সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাওয়া যায়। সঠিক সাংখ্যিক সমতা A(q)+c=B(q)+c-এর উভয় দিক থেকে c সংখ্যাটি বিয়োগ করা যাক এবং সমতা A(x)−c=B(x) এর উভয় পাশে সংখ্যা c যোগ করি। −c এটি আমাদের সঠিক সংখ্যাগত সমতা দেবে A(q)+c−c=B(q)+c−c এবং A(q)−c+c=B(q)+c−c, যেখান থেকে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে A (q) =B(q)। শেষ সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

এটি সামগ্রিকভাবে মূল বক্তব্যকে প্রমাণ করে।

সমীকরণের এমন একটি রূপান্তরের উদাহরণ দেওয়া যাক। আসুন x−3=1 সমীকরণটি ধরি এবং উভয় পাশে 3 নম্বর যোগ করে এটিকে রূপান্তর করি, তারপরে আমরা x−3+3=1+3 সমীকরণ পাব, যা আসলটির সমতুল্য। এটা স্পষ্ট যে ফলাফলের সমীকরণে আপনি সংখ্যার সাহায্যে ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন, যেমনটি আমরা তালিকার পূর্ববর্তী আইটেমে আলোচনা করেছি, ফলস্বরূপ আমাদের সমীকরণটি x=4 আছে। সুতরাং, সমতুল্য রূপান্তর সম্পাদন করে, আমরা দুর্ঘটনাক্রমে x−3=1 সমীকরণটি সমাধান করেছি, এর মূল হল সংখ্যা 4। বিবেচিত সমতুল্য রূপান্তরটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় অভিন্ন সংখ্যাসূচক পদ থেকে পরিত্রাণ পেতে বিভিন্ন অংশসমীকরণ উদাহরণস্বরূপ, বাম এবং মধ্যে উভয় ডান অংশসমীকরণ x 2 +1=x+1 একই পদ 1 আছে, সমীকরণের উভয় দিক থেকে সংখ্যা 1 বিয়োগ করলে আপনি সমতুল্য সমীকরণ x 2 +1−1=x+1−1 এবং তারপরে যেতে পারবেন সমতুল্য সমীকরণ x 2 =x, এবং তাই এই অভিন্ন পদগুলি থেকে পরিত্রাণ পান।

• সমীকরণের উভয় পাশে যোগ করা বা সমীকরণের উভয় দিক থেকে বিয়োগ করা একটি অভিব্যক্তি যার জন্য ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ নয় একটি সমতুল্য রূপান্তর।

আসুন এই বক্তব্যটি প্রমাণ করি। অর্থাৎ, আমরা প্রমাণ করি যে সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x)+C(x)=B(x)+C(x) সমতুল্য, শর্ত থাকে যে C(x) অভিব্যক্তিটির জন্য ODZ A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ এর চেয়ে ) ইতিমধ্যেই নয়।

প্রথমে আমরা একটি সহায়ক পয়েন্ট প্রমাণ করি। আসুন প্রমাণ করি যে, নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে, রূপান্তরের আগে এবং পরে OD সমীকরণগুলি একই। প্রকৃতপক্ষে, সমীকরণ A(x)+C(x)=B(x)+C(x) সমীকরণের জন্য ODZ কে A(x)=B(x) এবং ODZ সমীকরণের জন্য ODZ এর ছেদ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে C(x) অভিব্যক্তির জন্য। এটি থেকে এবং এই সত্য থেকে যে C(x) অভিব্যক্তিটির জন্য ODZ শর্ত অনুসারে A(x)=B(x) সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ নয়, এটি অনুসরণ করে যে A(x)= সমীকরণের জন্য ODZ B(x) এবং A(x)+C(x)=B(x)+C(x) একই।

এখন আমরা A(x)=B(x) এবং A(x)+C(x)=B(x)+C(x) সমীকরণের সমতা প্রমাণ করব, শর্ত থাকে যে এগুলোর জন্য গ্রহণযোগ্য মানের রেঞ্জ সমীকরণ একই। আমরা নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে A(x)=B(x) এবং A(x)−C(x)=B(x)−C(x) সমীকরণের সমতার প্রমাণ দেব না, কারণ এটি একই রকম .

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল, তাহলে সংখ্যাগত সমতা A(q)=B(q) সত্য। যেহেতু সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x)+C(x)=B(x)+C(x) এর ODZ একই, তাহলে C(x) রাশিটি x-এ অর্থবহ =q, যার মানে C(q) হল কিছু সংখ্যা। যদি আমরা সঠিক সাংখ্যিক সমতা A(q)=B(q) এর উভয় পাশে C(q) যোগ করি, তাহলে এটি সঠিক সংখ্যাগত অসমতা A(q)+C(q)=B(q)+C(q) দেবে। ) , যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)+C(x)=B(x)+C(x) সমীকরণের মূল।

পেছনে. ধরা যাক q সমীকরণ A(x)+C(x)=B(x)+C(x), তারপর A(q)+C(q)=B(q)+C(q) হল a প্রকৃত সংখ্যাগত সমতা। আমরা জানি যে একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতার উভয় দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করলে একটি প্রকৃত সংখ্যাসূচক সমতা তৈরি হয়। সমতার উভয় দিক থেকে C(q) বিয়োগ করুন A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , এটি দেয় A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)এবং আরও A(q)=B(q)। অতএব, q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

সুতরাং, বিবৃতিটি সম্পূর্ণরূপে প্রমাণিত।

এই রূপান্তরের একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। 2 x+1=5 x+2 সমীকরণটি ধরা যাক। আমরা উভয় পক্ষের সাথে যোগ করতে পারি, উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি −x−1। এই অভিব্যক্তিটি যোগ করলে ODZ পরিবর্তন হবে না, যার অর্থ এই ধরনের রূপান্তর সমতুল্য। এর ফলস্বরূপ, আমরা সমতুল্য সমীকরণ পাই 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). এই সমীকরণটি আরও রূপান্তরিত করা যেতে পারে: বন্ধনী খুলুন এবং এর বাম এবং ডান দিকে অনুরূপ পদগুলি হ্রাস করুন (তালিকার প্রথম আইটেমটি দেখুন)। এই ক্রিয়াগুলি সম্পাদন করার পরে, আমরা সমতুল্য সমীকরণ x=4·x+1 পাই। বিবেচনাধীন সমীকরণের রূপান্তরটি প্রায়শই সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে একই সাথে থাকা অভিন্ন পদগুলি থেকে মুক্তি পেতে ব্যবহৃত হয়।

• আপনি যদি একটি সমীকরণের একটি শব্দকে এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তর করেন, এই শব্দটির চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করেন, আপনি প্রদত্ত একটির সমতুল্য একটি সমীকরণ পাবেন।

এই বিবৃতিটি পূর্ববর্তীগুলির একটি ফলাফল।

আসুন দেখাই কিভাবে সমীকরণের এই সমতুল্য রূপান্তরটি সঞ্চালিত হয়। 3·x−1=2·x+3 সমীকরণটি ধরা যাক। আসুন শব্দটি সরানো যাক, উদাহরণস্বরূপ, 2 x ডান দিক থেকে বাম দিকে, এর চিহ্ন পরিবর্তন করে। এই ক্ষেত্রে, আমরা 3·x−1−2·x=3 সমতুল্য সমীকরণ পাই। এছাড়াও আপনি সমীকরণের বাম দিক থেকে বিয়োগ এককে ডানদিকে নিয়ে যেতে পারেন, চিহ্নটিকে প্লাসে পরিবর্তন করতে পারেন: 3 x−2 x=3+1। পরিশেষে, অনুরূপ পদ আনা আমাদেরকে সমতুল্য সমীকরণ x=4-এ নিয়ে যায়।

• একই অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা একটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ বা ভাগ করা একটি সমতুল্য রূপান্তর।

একটা প্রমাণ দেওয়া যাক।

ধরা যাক A(x)=B(x) কিছু সমীকরণ এবং c কিছু সংখ্যা শূন্য থেকে আলাদা। আসুন প্রমাণ করি যে সমীকরণ A(x)=B(x) এর উভয় দিককে c সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা সমীকরণের একটি সমতুল্য রূপান্তর। এটি করার জন্য, আমরা প্রমাণ করি যে সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x) c=B(x) c, সেইসাথে সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x) :c=B(x):c - সমতুল্য। এটি এইভাবে করা যেতে পারে: প্রমাণ করুন যে A(x)=B(x) সমীকরণের যেকোন মূল হল A(x) c=B(x) c সমীকরণের একটি মূল এবং A(x) সমীকরণের একটি মূল :c=B(x) :c , এবং তারপর প্রমাণ করুন যে সমীকরণ A(x) c=B(x) c, সমীকরণ A(x):c=B(x):c এর যেকোনো মূলের মতো , হল A(x) =B(x) সমীকরণের একটি মূল। চল এটা করি.

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল। তাহলে সাংখ্যিক সমতা A(q)=B(q) সত্য। সাংখ্যিক সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরে, আমরা শিখেছি যে একটি প্রকৃত সংখ্যাগত সমতার উভয় দিককে শূন্য ব্যতীত একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে একটি প্রকৃত সংখ্যাগত সমতা পাওয়া যায়। সমতা A(q)=B(q) এর উভয় বাহুকে c দ্বারা গুণ করলে আমরা সঠিক সংখ্যাগত সমতা A(q) c=B(q) c পাই, যেখান থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A( ​​সমীকরণের মূল x) c= B(x)·c। এবং সমতা A(q)=B(q) এর উভয় পক্ষকে c ​​দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সঠিক সংখ্যাগত সমতা A(q):c=B(q):c পাই, যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল এর মূল সমীকরণ A(x):c =B(x):c।

এখন অন্য দিকে। ধরা যাক q সমীকরণ A(x) c=B(x) c এর মূল। তাহলে A(q)·c=B(q)·c হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। এর উভয় অংশকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা c দ্বারা ভাগ করলে, আমরা সঠিক সংখ্যাগত সমতা A(q)·c:c=B(q)·c:c এবং আরও A(q)=B(q) পাই। এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল। যদি q সমীকরণ A(x):c=B(x):c এর মূল হয়। তারপর A(q):c=B(q):c হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। এর উভয় অংশকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা c দ্বারা গুণ করলে, আমরা সঠিক সংখ্যাগত সমতা A(q):c·c=B(q):c·c এবং আরও A(q)=B(q) পাই। এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

বক্তব্য প্রমাণিত হয়েছে।

এই রূপান্তরের একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। এর সাহায্যে, আপনি, উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণের ভগ্নাংশগুলি থেকে পরিত্রাণ পেতে পারেন। এটি করার জন্য, আপনি সমীকরণের উভয় দিককে 12 দ্বারা গুণ করতে পারেন। ফলাফলটি ফর্মের একটি সমতুল্য সমীকরণ , যা তখন সমতুল্য সমীকরণ 7 x−3=10-এ রূপান্তরিত হতে পারে, যার স্বরলিপিতে ভগ্নাংশ নেই।

• একটি সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি দ্বারা গুণ বা ভাগ করা, যে OD মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ নয় এবং মূল সমীকরণের জন্য OD দ্বারা অদৃশ্য হয়ে যায় না, এটি একটি সমতুল্য রূপান্তর।

আসুন এই বক্তব্যটি প্রমাণ করি। এটি করার জন্য, আমরা প্রমাণ করি যে যদি C(x) অভিব্যক্তিটির জন্য ODZ সমীকরণ A(x)=B(x) এর ODZ থেকে সংকীর্ণ না হয় এবং C(x) সমীকরণের জন্য ODZ-এ অদৃশ্য না হয় A(x)=B(x) , তারপর সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x) C(x)=B(x) C(x), সেইসাথে সমীকরণ A(x) =B(x) এবং A(x):C(x)=B(x):C(x) - সমতুল্য।

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল। তাহলে A(q)=B(q) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। C(x) এক্সপ্রেশনের ODZ এবং A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য একই ODZ নয়, এটি অনুসরণ করে যে এক্সপ্রেশন C(x) বোঝায় যখন x=q হয়। এর মানে হল C(q) কিছু সংখ্যা। অধিকন্তু, C(q) অশূন্য, যা এই শর্ত থেকে অনুসরণ করে যে C(x) অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয় না। যদি আমরা সমতার উভয় পক্ষকে A(q)=B(q) একটি অ-শূন্য সংখ্যা C(q) দ্বারা গুণ করি, তাহলে এটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা A(q)·C(q)=B(q)· দেবে। C(q) , যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)·C(x)=B(x)·C(x) সমীকরণের মূল। যদি আমরা সমতার উভয় দিককে A(q)=B(q) একটি অ-শূন্য সংখ্যা C(q) দ্বারা ভাগ করি, তাহলে এটি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা A(q):C(q)=B(q): C(q) , যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x):C(x)=B(x):C(x) সমীকরণের মূল।

পেছনে. ধরুন q হল A(x)·C(x)=B(x)·C(x) সমীকরণের মূল। তাহলে A(q)·C(q)=B(q)·C(q) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। মনে রাখবেন যে সমীকরণ A(x) C(x)=B(x) C(x) সমীকরণের জন্য ODZ হল A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ সমান (আমরা এটির একটিতে এটিকে সমর্থন করেছি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ বর্তমান তালিকা)। যেহেতু A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ-এ শর্ত অনুসারে C(x) অদৃশ্য হয়ে যায় না, তাই C(q) একটি অশূন্য সংখ্যা। সমতার উভয় পক্ষকে A(q) C(q)=B(q) C(q) একটি অ-শূন্য সংখ্যা C(q) দ্বারা ভাগ করলে আমরা সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাই A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)এবং আরও A(q)=B(q)। এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল। যদি q সমীকরণ A(x):C(x)=B(x):C(x) এর মূল হয়। তারপর A(q):C(q)=B(q):C(q) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। সমতার উভয় দিককে A(q):C(q)=B(q):C(q) একটি অ-শূন্য সংখ্যা C(q) দ্বারা গুণ করলে আমরা সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা পাই A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)এবং আরও A(q)=B(q)। এটি অনুসরণ করে যে q হল A(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

বক্তব্য প্রমাণিত হয়েছে।

স্পষ্টতার জন্য, আমরা একটি বিচ্ছিন্ন রূপান্তর বহন করার একটি উদাহরণ দিই। x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) সমীকরণের উভয় পক্ষকে x 2 +1 রাশি দ্বারা ভাগ করা যাক। এই রূপান্তরটি সমতুল্য, যেহেতু x 2 +1 অভিব্যক্তিটি মূল সমীকরণের জন্য OD-তে অদৃশ্য হয়ে যায় না এবং এই অভিব্যক্তিটির OD মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ নয়। এই রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমরা সমতুল্য সমীকরণ পাই x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), যা আরও রুপান্তরিত হতে পারে সমতুল্য সমীকরণ x 3 =8।

ট্রান্সফরমেশনের ফলে ফলপ্রসূ সমীকরণ

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা মৌলিক রূপান্তরের তালিকা থেকে কোন রূপান্তরগুলি পরীক্ষা করেছি এবং কোন অবস্থার অধীনে সমতুল্য। এখন দেখা যাক এই রূপান্তরগুলির মধ্যে কোনটি এবং কোন পরিস্থিতিতে কোরোলারী সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে, অর্থাৎ, এমন সমীকরণের দিকে যা রূপান্তরিত সমীকরণের সমস্ত মূল ধারণ করে, তবে সেগুলি ছাড়াও অন্যান্য মূলও থাকতে পারে - মূল সমীকরণের জন্য বহিরাগত মূল।

সমীকরণ সমীকরণের দিকে পরিচালিত রূপান্তরগুলির চাহিদা সমতুল্য রূপান্তরের চেয়ে কম নয়। যদি তাদের সাহায্যে একটি সমীকরণ পাওয়া সম্ভব হয় যা সমাধানের দিক থেকে বেশ সহজ, তবে এর সমাধান এবং পরবর্তীতে বহিরাগত শিকড়গুলি নির্মূল করা মূল সমীকরণের একটি সমাধান দেবে।

মনে রাখবেন যে সমস্ত সমতুল্য রূপান্তরগুলিকে রূপান্তরের বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যেতে পারে যা সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে। এটি বোধগম্য, কারণ একটি সমতুল্য সমীকরণ রয়েছে বিশেষ মামলাপরিণতি সমীকরণ। কিন্তু একটি ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি জেনে রাখা আরও কার্যকর যে বিবেচনাধীন রূপান্তরটি অবিকল সমতুল্য, এবং একটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যাচ্ছে না। কেন এটি তাই ব্যাখ্যা করা যাক. যদি আমরা জানি যে রূপান্তরটি সমতুল্য, তাহলে ফলস্বরূপ সমীকরণের অবশ্যই মূল সমীকরণের বাইরের শিকড় থাকবে না। এবং কোরোলারি সমীকরণের দিকে পরিচালিত রূপান্তর বহিরাগত শিকড়গুলির উপস্থিতির কারণ হতে পারে, যা ভবিষ্যতে আমাদের একটি অতিরিক্ত ক্রিয়া সম্পাদন করতে বাধ্য করে - বহিরাগত শিকড়গুলি বের করা। অতএব, নিবন্ধের এই বিভাগে আমরা রূপান্তরের উপর ফোকাস করব, যার ফলস্বরূপ মূল সমীকরণের জন্য বহিরাগত শিকড় উপস্থিত হতে পারে। এবং কখন বহিরাগত শিকড়গুলি ফিল্টার করা প্রয়োজন এবং কখন এটি প্রয়োজনীয় নয় তা স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য এই জাতীয় রূপান্তরগুলিকে সমতুল্য রূপান্তর থেকে আলাদা করতে সক্ষম হওয়া সত্যিই গুরুত্বপূর্ণ।

আসুন রূপান্তরগুলি অনুসন্ধান করার জন্য এই নিবন্ধের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে প্রদত্ত সমীকরণের মৌলিক রূপান্তরগুলির সম্পূর্ণ তালিকাটি বিশ্লেষণ করি, যার ফলস্বরূপ বহিরাগত শিকড়গুলি উপস্থিত হতে পারে।

• সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা।

আমরা প্রমাণ করেছি যে এই রূপান্তরটি সমতুল্য যদি এর বাস্তবায়ন ওডি পরিবর্তন না করে। আর ডিএল পরিবর্তন হলে কি হবে? ODZ সংকুচিত হলে শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে, এই সম্পর্কে আরও আমরা কথা বলতে পারবেনপরবর্তী অনুচ্ছেদে। এবং ODZ সম্প্রসারণের সাথে, বহিরাগত শিকড় প্রদর্শিত হতে পারে। এটিকে সমর্থন করা কঠিন নয়। আমাদের সংশ্লিষ্ট যুক্তি উপস্থাপন করা যাক.

অভিব্যক্তি C(x) এমন হতে দিন যে এটি অভিব্যক্তি A(x) এর সমান এবং C(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODটি A(x)=B সমীকরণের OD এর চেয়ে প্রশস্ত। (এক্স). আসুন প্রমাণ করি যে C(x)=B(x) সমীকরণটি A(x)=B(x) সমীকরণের একটি ফলাফল এবং C(x)=B(x) সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে থাকতে পারে A(x)=B(x) সমীকরণের বিদেশী মূল হতে হবে।

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল। তাহলে A(q)=B(q) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। যেহেতু C(x)=B(x) সমীকরণের ODZ A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ এর চেয়ে চওড়া, তাহলে C(x) রাশিটি x=q এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। তারপর, C(x) এবং A(x) অভিব্যক্তিগুলির অভিন্ন সমতা বিবেচনায় নিয়ে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে C(q)=A(q)। সমতা C(q)=A(q) এবং A(q)=B(q), ট্রানজিটিভিটি বৈশিষ্ট্যের কারণে, সমতা C(q)=B(q) অনুসরণ করে। এই সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে q হল C(x)=B(x) সমীকরণের মূল। এটি প্রমাণ করে যে নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে সমীকরণ C(x)=B(x) হল A(x)=B(x) সমীকরণের একটি ফলাফল।

এটা প্রমাণ করা বাকি আছে যে C(x)=B(x) সমীকরণ A(x)=B(x) সমীকরণের মূল থেকে ভিন্ন মূল থাকতে পারে। আসুন প্রমাণ করি যে A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ থেকে C(x)=B(x) সমীকরণের যেকোন মূল হল A(x)=B(x) সমীকরণের একটি মূল। পাথ p হল C(x)=B(x) সমীকরণের মূল, যা A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ-এর অন্তর্গত। তাহলে C(p)=B(p) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। যেহেতু p সমীকরণ A(x)=B(x) এর জন্য ODZ এর অন্তর্গত, তাই x=p এর জন্য A(x) অভিব্যক্তিটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এটি থেকে এবং A(x) এবং C(x) অভিব্যক্তির অভিন্ন সমতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে A(p)=C(p)। সমতা A(p)=C(p) এবং C(p)=B(p), ট্রানজিটিভিটি বৈশিষ্ট্যের কারণে, এটি অনুসরণ করে যে A(p)=B(p), যার মানে p হল মূল সমীকরণ A(x) = B(x)। এটি প্রমাণ করে যে সমীকরণ A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ থেকে C(x)=B(x) সমীকরণের যে কোনো মূল হল A(x)=B(x) সমীকরণের একটি মূল। অন্য কথায়, A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ-এ C(x)=B(x) সমীকরণের মূল থাকতে পারে না, যা A(x)=B( সমীকরণের বহিরাগত মূল। এক্স). কিন্তু শর্ত অনুযায়ী, C(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ হল ODZ-এর চেয়ে চওড়া সমীকরণ A(x)=B(x)। এবং এটি একটি সংখ্যা r এর অস্তিত্বের অনুমতি দেয় যা C(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ এর অন্তর্গত এবং A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ এর অন্তর্গত নয়, যা মূল C(x)=B(x) সমীকরণের। অর্থাৎ, C(x)=B(x) সমীকরণের মূল থাকতে পারে যেগুলি A(x)=B(x) সমীকরণের বিদেশী, এবং সেগুলি সবই সেই সেটের অন্তর্গত হবে যেখানে A সমীকরণের জন্য ODZ (x)=B বর্ধিত হয় (x) যখন অভিব্যক্তি A(x) প্রতিস্থাপিত হয় একইভাবে সমান রাশি C(x) দিয়ে।

সুতরাং, সমীকরণের বাম এবং ডান দিকের অভিব্যক্তিগুলিকে তাদের সমানভাবে অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা, যার ফলস্বরূপ ODZ প্রসারিত হয় সাধারণ ক্ষেত্রেএকটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যায় (অর্থাৎ, এটি বহিরাগত শিকড়ের উপস্থিতির দিকে নিয়ে যেতে পারে) এবং শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে একটি সমতুল্য সমীকরণের দিকে নিয়ে যায় (যদি ফলস্বরূপ সমীকরণের মূল সমীকরণের বহিরাগত মূল না থাকে)।

পার্স করা রূপান্তর করার একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। সমীকরণের বাম দিকে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন অভিব্যক্তি x·(x−1) দ্বারা অভিন্নভাবে সমান হলে x·(x−1)=0 সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়, এই ক্ষেত্রে ODZ-এর সম্প্রসারণ ঘটে - সংখ্যাটি 0 যোগ করা হয়। ফলস্বরূপ সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে 0 এবং 1, এবং এই মূলগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে দেখায় যে 0 হল মূল সমীকরণের জন্য একটি বহিরাগত মূল এবং 1 হল মূল সমীকরণের মূল। প্রকৃতপক্ষে, মূল সমীকরণে শূন্য প্রতিস্থাপন করা অর্থহীন অভিব্যক্তি দেয় , যেহেতু এটি শূন্য দ্বারা বিভাজন ধারণ করে, এবং একটি প্রতিস্থাপন সঠিক সংখ্যাগত সমতা দেয় , যা 0=0 এর সমান।

লক্ষ্য করুন যে একটি অনুরূপ সমীকরণের একটি অনুরূপ রূপান্তর সমীকরণে (x−1)·(x−2)=0, যার ফলস্বরূপ ODZও প্রসারিত হয়, বহিরাগত শিকড়ের আবির্ভাব ঘটায় না। প্রকৃতপক্ষে, ফলস্বরূপ সমীকরণের উভয় মূল (x−1)·(x−2)=0 - সংখ্যা 1 এবং 2, মূল সমীকরণের মূল, যা প্রতিস্থাপন দ্বারা যাচাই করে যাচাই করা সহজ। এই উদাহরণগুলির সাহায্যে, আমরা আবারও জোর দিতে চেয়েছিলাম যে সমীকরণের বাম বা ডান দিকের একটি অভিব্যক্তিকে একটি অভিন্ন সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা, যা ODZ প্রসারিত করে, অগত্যা বহিরাগত শিকড়ের উপস্থিতি ঘটায় না। কিন্তু এটি তাদের চেহারা হতে পারে। সুতরাং, যদি সমীকরণটি সমাধানের প্রক্রিয়াতে এই জাতীয় রূপান্তর ঘটে থাকে, তবে বহিরাগত শিকড়গুলি সনাক্ত এবং ফিল্টার করার জন্য একটি পরীক্ষা করা প্রয়োজন।

প্রায়শই, ODZ সমীকরণটি প্রসারিত হতে পারে এবং অভিন্ন অভিব্যক্তির পার্থক্য বা অভিব্যক্তির যোগফলের শূন্য দ্বারা প্রতিস্থাপনের কারণে বহিরাগত শিকড় উপস্থিত হতে পারে বিপরীত লক্ষণ, এক বা একাধিক শূন্য কারণের সাথে পণ্যের শূন্য দ্বারা প্রতিস্থাপনের কারণে, ভগ্নাংশের হ্রাসের কারণে এবং মূল, শক্তি, লগারিদম ইত্যাদির বৈশিষ্ট্য ব্যবহারের কারণে।

• একটি সমীকরণের উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ করা বা একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করা।

আমরা উপরে দেখিয়েছি যে এই রূপান্তরটি সর্বদা সমতুল্য, অর্থাৎ, একটি সমতুল্য সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়। এগিয়ে যান.

• একটি সমীকরণের উভয় পাশে একই রাশি যোগ করা বা একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই অভিব্যক্তি বিয়োগ করা।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা একটি শর্ত যোগ করেছি যে যোগ বা বিয়োগ করা অভিব্যক্তির জন্য ODZ রূপান্তরিত সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ হওয়া উচিত নয়। এই শর্তটি প্রশ্নে রূপান্তরকে সমতুল্য করে তুলেছে। এখানে নিবন্ধের এই অনুচ্ছেদের শুরুতে দেওয়া যুক্তিগুলির মতোই যুক্তি রয়েছে যে একটি সমতুল্য সমীকরণ একটি সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে এবং একটি রূপান্তরের সমতা সম্পর্কে জ্ঞান একই বিষয়ে জ্ঞানের চেয়ে কার্যত বেশি কার্যকর। রূপান্তর, কিন্তু বাস্তবতার দৃষ্টিকোণ থেকে যে এটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়।

একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই রাশি যোগ করার বা একই রাশি বিয়োগ করার ফলে, মূল সমীকরণের সমস্ত শিকড় ছাড়াও, অন্য কিছু শিকড় থাকবে এমন একটি সমীকরণ পাওয়া কি সম্ভব? না সে পারেনা. যদি যোগ বা বিয়োগ করা অভিব্যক্তিটির ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ না হয়, তাহলে যোগ বা বিয়োগের ফলে একটি সমতুল্য সমীকরণ প্রাপ্ত হবে। যদি যোগ করা বা বিয়োগ করা অভিব্যক্তির ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ-এর চেয়ে সংকীর্ণ হয়, তাহলে এর ফলে মূলের ক্ষতি হতে পারে, বহিরাগত শিকড়ের চেহারা নয়। আমরা পরবর্তী অনুচ্ছেদে এই সম্পর্কে আরও কথা বলব।

• একটি শব্দকে সমীকরণের এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তর করা চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়েছে।

সমীকরণের এই রূপান্তর সর্বদা সমতুল্য। অতএব, উপরে উল্লিখিত কারণগুলির জন্য এটিকে একটি সমীকরণ-পরিণামের দিকে পরিচালিত একটি রূপান্তর হিসাবে বিবেচনা করার কোন অর্থ নেই।

• একটি সমীকরণের উভয় দিককে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা প্রমাণ করেছি যে সমীকরণের উভয় বাহুর গুণ বা ভাগ যদি একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা সঞ্চালিত হয়, তবে এটি সমীকরণের একটি সমতুল্য রূপান্তর। অতএব, আবার, এটিকে একটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যাওয়া রূপান্তর হিসাবে কথা বলার কোন মানে নেই।

কিন্তু এখানে সমীকরণের উভয় দিক গুণ বা ভাগ করা সংখ্যার শূন্য থেকে পার্থক্য সম্পর্কে সংরক্ষণের দিকে মনোযোগ দেওয়া মূল্যবান। বিভাজনের জন্য এই ধারাটি স্পষ্ট - সহ প্রাথমিক ক্লাসআমরা বুঝতে পেরেছি আপনি শূন্য দিয়ে ভাগ করতে পারবেন না. গুণের জন্য এই ধারা কেন? সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য দিয়ে গুণ করলে কী পাওয়া যায় তা নিয়ে চিন্তা করা যাক। স্পষ্টতার জন্য, আসুন একটি নির্দিষ্ট সমীকরণ নেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ, 2 x+1=x+5। এটি একটি রৈখিক সমীকরণ যার একটি একক মূল রয়েছে, যা 4 নম্বর। এই সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য দিয়ে গুণ করলে যে সমীকরণটি পাওয়া যাবে তা লিখি: (2 x+1) 0=(x+5) 0। স্পষ্টতই, এই সমীকরণের মূল যেকোন সংখ্যা, কারণ আপনি যখন এই সমীকরণে পরিবর্তনশীল x এর পরিবর্তে যেকোনো সংখ্যা প্রতিস্থাপন করেন, আপনি সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা 0=0 পাবেন। অর্থাৎ, আমাদের উদাহরণে, সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য দিয়ে গুণ করার ফলে একটি করলারী সমীকরণ তৈরি হয়, যা মূল সমীকরণের জন্য অসীম সংখ্যক বহিরাগত শিকড়ের আবির্ভাব ঘটায়। তদুপরি, এটি লক্ষণীয় যে এই ক্ষেত্রে বহিরাগত শিকড়গুলি স্ক্রীন করার সাধারণ পদ্ধতিগুলি তাদের কাজের সাথে মানিয়ে নিতে পারে না। এর মানে হল যে সঞ্চালিত রূপান্তরটি মূল সমীকরণ সমাধানের জন্য অকেজো। এবং এটি বিবেচনাধীন রূপান্তরের জন্য একটি সাধারণ পরিস্থিতি। এই কারণেই একটি রূপান্তর যেমন একটি সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য দ্বারা গুণ করার মতো সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় না। আমাদের এখনও এই রূপান্তর এবং অন্যান্য রূপান্তরগুলি দেখতে হবে যা শেষ অনুচ্ছেদে সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা উচিত নয়।

• একই রাশি দ্বারা একটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ বা ভাগ করা।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা প্রমাণ করেছি যে দুটি শর্ত পূরণ হলে এই রূপান্তরটি সমতুল্য। আসুন তাদের মনে করিয়ে দেই। প্রথম শর্ত: এই অভিব্যক্তির জন্য OD মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ হওয়া উচিত নয়। দ্বিতীয় শর্ত: যে অভিব্যক্তির দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় তা অবশ্যই মূল সমীকরণের জন্য ODZ-এ অদৃশ্য হয়ে যাবে না।

চলুন প্রথম শর্তটি পরিবর্তন করা যাক, অর্থাৎ, আমরা ধরে নেব যে, যে রাশির দ্বারা আমরা সমীকরণের উভয় দিককে গুণ বা ভাগ করার পরিকল্পনা করছি তার জন্য ODটি মূল সমীকরণের OD থেকে সংকীর্ণ। এই ধরনের একটি রূপান্তরের ফলে, একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হবে যার জন্য ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ হবে। এই ধরনের রূপান্তরগুলি শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে; আমরা পরবর্তী অনুচ্ছেদে সেগুলি সম্পর্কে কথা বলব।

মূল সমীকরণের জন্য সমীকরণের উভয় পক্ষই ODZ দ্বারা গুণিত বা ভাগ করা অভিব্যক্তিটির অ-শূন্য মান সম্পর্কে দ্বিতীয় শর্তটি সরিয়ে ফেললে কী হবে?

সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি দ্বারা ভাগ করলে, যা মূল সমীকরণের জন্য OD দ্বারা অদৃশ্য হয়ে যায়, ফলে একটি সমীকরণ তৈরি হবে যার OD মূল সমীকরণের জন্য OD-এর চেয়ে সরু। প্রকৃতপক্ষে, সংখ্যাগুলি এটি থেকে পড়ে যাবে, অভিব্যক্তিটিকে পরিণত করবে যার দ্বারা বিভাগটি শূন্যে বাহিত হয়েছিল। এর ফলে মূলের ক্ষতি হতে পারে।

মূল সমীকরণের জন্য ODZ-এ অদৃশ্য হয়ে যাওয়া একই রাশি দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করলে কী হবে? এটি দেখানো যেতে পারে যে যখন A(x)=B(x) সমীকরণের উভয় দিককে C(x) অভিব্যক্তি দ্বারা গুণ করা হয়, যার জন্য ODZ মূল সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ নয় এবং যা অদৃশ্য হয়ে যায় মূল সমীকরণের জন্য ODZ, সমীকরণটি পাওয়া যায় একটি ফলাফল যে, সমীকরণ A(x)=B(x) এর সমস্ত মূল ছাড়াও, এটির অন্যান্য মূলও থাকতে পারে। আসুন এটি করা যাক, বিশেষ করে যেহেতু নিবন্ধের এই অনুচ্ছেদটি সঠিকভাবে রুপান্তরের জন্য নিবেদিত যা ফলাফল সমীকরণের দিকে পরিচালিত করে।

C(x) অভিব্যক্তিটি এমন হতে দিন যে এটির জন্য ODZ সমীকরণ A(x)=B(x) এর ODZ থেকে সংকীর্ণ না হয় এবং এটি A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ-এ অদৃশ্য হয়ে যায় ) আসুন প্রমাণ করি যে এই ক্ষেত্রে A(x)·C(x)=B(x)·C(x) সমীকরণ A(x)=B(x) সমীকরণের একটি ফলাফল।

ধরা যাক q সমীকরণ A(x)=B(x) এর মূল। তাহলে A(q)=B(q) হল একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত সমতা। যেহেতু C(x) অভিব্যক্তিটির ODZ A(x)=B(x) সমীকরণের জন্য ODZ এর চেয়ে সংকীর্ণ নয়, তাই C(x) অভিব্যক্তিটি x=q এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যার অর্থ হল C(q) একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা। একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতার উভয় দিককে যেকোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতা পাওয়া যায়, তাই, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) হল একটি সত্যিকারের সাংখ্যিক সমতা। এর মানে হল q হল A(x)·C(x)=B(x)·C(x) সমীকরণের মূল। এটি প্রমাণ করে যে A(x)=B(x) সমীকরণের যেকোন মূল হল A(x) C(x)=B(x) C(x) সমীকরণের একটি মূল, যার অর্থ হল সমীকরণ A(x) C (x)=B(x)·C(x) হল A(x)=B(x) সমীকরণের একটি ফলাফল।

উল্লেখ্য যে, নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে, সমীকরণ A(x)·C(x)=B(x)·C(x) এর মূল সমীকরণ A(x)=B(x) এর বিদেশী মূল থাকতে পারে। এগুলি মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে আসা সমস্ত সংখ্যা যা C(x) অভিব্যক্তিকে শূন্যে পরিণত করে (যে সমস্ত সংখ্যা C(x) অভিব্যক্তিকে শূন্যে পরিণত করে সেগুলি A(x) C(x)=B সমীকরণের মূল (x) C(x) , যেহেতু নির্দেশিত সমীকরণে তাদের প্রতিস্থাপন সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা দেয় 0=0 ), কিন্তু যেগুলি A(x)=B(x) সমীকরণের মূল নয়। সমীকরণ A(x)=B(x) এবং A(x)·C(x)=B(x)·C(x) সমীকরণ হবে যখন A(x) সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সমস্ত সংখ্যা )=B (x) , যা C(x) অভিব্যক্তিটিকে অদৃশ্য করে দেয়, A(x)=B(x) সমীকরণের মূল।

সুতরাং, সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি দ্বারা গুণ করলে, ODZ যার জন্য মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ নয়, এবং যা মূল সমীকরণের জন্য ODZ দ্বারা অদৃশ্য হয়ে যায়, সাধারণ ক্ষেত্রে একটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়, যে হয়, এটা বিদেশী শিকড় চেহারা হতে পারে.

বোঝানোর জন্য একটা উদাহরণ দেওয়া যাক। x+3=4 সমীকরণটি ধরা যাক। এর একমাত্র মূল সংখ্যা 1। আসুন এই সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি দ্বারা গুণ করি, যা মূল সমীকরণের জন্য ODZ দ্বারা অদৃশ্য হয়ে যায়, উদাহরণস্বরূপ, x·(x−1) দ্বারা। এই এক্সপ্রেশনটি x=0 এবং x=1 এ অদৃশ্য হয়ে যায়। এই রাশি দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ করলে আমাদের সমীকরণ পাওয়া যায় (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). ফলস্বরূপ সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে: 1 এবং 0। 0 সংখ্যাটি মূল সমীকরণের জন্য একটি বহিরাগত মূল যা রূপান্তরের ফলে উপস্থিত হয়েছিল।

রূপান্তর যা শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে

কিছু নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনে থেকে কিছু রূপান্তর শিকড় ক্ষতি হতে পারে. উদাহরণস্বরূপ, x·(x−2)=x−2 সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি x−2 দ্বারা ভাগ করলে মূলটি হারিয়ে যায়। প্রকৃতপক্ষে, এই ধরনের রূপান্তরের ফলে, সমীকরণ x=1 একটি একক মূলের সাথে প্রাপ্ত হয়, যা হল সংখ্যা 1, এবং মূল সমীকরণটির দুটি মূল 1 এবং 2 রয়েছে।

রূপান্তরের ফলে শিকড়গুলি কখন হারিয়ে যায় তা স্পষ্টভাবে বোঝা দরকার, যাতে সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় শিকড়গুলি হারাতে না পারে। আসুন এটি বের করা যাক।

এই রূপান্তরের ফলস্বরূপ, শিকড়ের ক্ষতি ঘটতে পারে যদি এবং শুধুমাত্র যদি রূপান্তরিত সমীকরণের জন্য ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ হয়।

এই বিবৃতি প্রমাণ করার জন্য, দুটি পয়েন্ট প্রমাণ করা প্রয়োজন. প্রথমত, এটি প্রমাণ করা প্রয়োজন যে, যদি সমীকরণের নির্দেশিত রূপান্তরের ফলস্বরূপ, ODZ সংকীর্ণ হয়, তাহলে শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে। এবং, দ্বিতীয়ত, এটি ন্যায্যতা প্রমাণ করা প্রয়োজন যে, যদি এই রূপান্তরের ফলে, শিকড়গুলি হারিয়ে যায়, তাহলে ফলস্বরূপ সমীকরণের জন্য ODZ মূল সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ।

যদি রূপান্তরের ফলে প্রাপ্ত সমীকরণের জন্য ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ হয়, তাহলে স্বাভাবিকভাবেই, ODZ-এর বাইরে অবস্থিত মূল সমীকরণের একটিও মূল সমীকরণের মূল হতে পারে না। রূপান্তরের ফলে প্রাপ্ত। এর মানে হল যে মূল সমীকরণ থেকে একটি সমীকরণে যাওয়ার সময় এই সমস্ত শিকড় হারিয়ে যাবে যার জন্য ODZ মূল সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ।

এখন ফিরে. আসুন প্রমাণ করি যে, যদি এই রূপান্তরের ফলে, শিকড়গুলি হারিয়ে যায়, তাহলে ফলস্বরূপ সমীকরণের জন্য ODZ মূল সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ। এটি বিপরীত পদ্ধতি দ্বারা করা যেতে পারে। অনুমান যে এই রূপান্তরের ফলে, শিকড়গুলি হারিয়ে যায়, কিন্তু ODZ সংকীর্ণ হয় না, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রমাণিত বিবৃতিগুলির সাথে বিরোধিতা করে। প্রকৃতপক্ষে, এই বিবৃতিগুলি থেকে এটি অনুসরণ করে যে, নির্দেশিত রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার সময়, যদি ODZ সংকীর্ণ না হয়, তাহলে হয় সমতুল্য সমীকরণ বা সমীকরণ প্রাপ্ত হয়, যার অর্থ শিকড়ের ক্ষতি ঘটতে পারে না।

সুতরাং, সমীকরণের মৌলিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করার সময় শিকড়ের সম্ভাব্য ক্ষতির কারণ হল ODZ এর সংকীর্ণতা। এটা স্পষ্ট যে সমীকরণ সমাধান করার সময়, আমাদের শিকড় হারানো উচিত নয়। এখানে, স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন ওঠে: "সমীকরণ পরিবর্তন করার সময় শিকড় হারানো এড়াতে আমাদের কী করা উচিত?" আমরা পরবর্তী অনুচ্ছেদে এর উত্তর দেব। এখন আসুন আরও বিস্তারিতভাবে দেখতে সমীকরণের মৌলিক রূপান্তরগুলির তালিকার মধ্য দিয়ে যাওয়া যাক কোন রূপান্তরগুলি শিকড়ের ক্ষতির কারণ হতে পারে।

• সমীকরণের বাম এবং ডান দিকে অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করা।

যদি আপনি সমীকরণের বাম বা ডান দিকের অভিব্যক্তিটিকে একটি অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করেন, যে ODটি মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ, তাহলে এটি OD-কে সংকুচিত করবে এবং এর কারণে, শিকড় হারিয়ে যেতে পারে। প্রায়শই, শিকড়, ক্ষমতা, লগারিদম এবং কিছু বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে সম্পাদিত সমীকরণের বাম বা ডান দিকে অভিব্যক্তির প্রতিস্থাপন একইভাবে সমান অভিব্যক্তির সাথে ত্রিকোণমিতিক সূত্র. উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণের বাম দিকের অভিব্যক্তিটিকে একটি অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে ODZ সংকুচিত হয় এবং মূল −16 হারিয়ে যায়। একইভাবে, সমীকরণের বাম দিকের অভিব্যক্তিটিকে একটি অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তির সাথে প্রতিস্থাপন করা একটি সমীকরণের দিকে নিয়ে যায় যার জন্য ODZ মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সংকীর্ণ হয়, যা মূল −3 হারাতে বাধ্য হয়।

• একটি সমীকরণের উভয় পাশে একই সংখ্যা যোগ করা বা একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করা।

এই রূপান্তরটি সমতুল্য, অতএব, এটি বাস্তবায়নের সময় শিকড়গুলি হারিয়ে যাবে না।

• একটি সমীকরণের উভয় পাশে একই রাশি যোগ করা বা একটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একই অভিব্যক্তি বিয়োগ করা।

যদি আপনি একটি অভিব্যক্তি যোগ বা বিয়োগ করেন যার OD মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ, তাহলে এটি OD-কে সংকুচিত করবে এবং ফলস্বরূপ, শিকড়ের সম্ভাব্য ক্ষতির দিকে নিয়ে যাবে। এটা মনে রাখা মূল্য. তবে এখানে এটি লক্ষণীয় যে অনুশীলনে সাধারণত মূল সমীকরণের রেকর্ডিংয়ে উপস্থিত অভিব্যক্তিগুলিকে যোগ বা বিয়োগ করার অবলম্বন করা প্রয়োজন, যা ODZ-তে কোনও পরিবর্তন ঘটায় না এবং শিকড়ের ক্ষতি করে না।

• একটি শব্দকে সমীকরণের এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তর করা চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তিত হয়েছে।

সমীকরণের এই রূপান্তরটি সমতুল্য, অতএব, এর বাস্তবায়নের ফলস্বরূপ, শিকড়গুলি হারিয়ে যায় না।

• একটি সমীকরণের উভয় দিককে শূন্য ছাড়া একই সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা।

এই রূপান্তরটিও সমতুল্য, এবং এর কারণে শিকড়ের ক্ষতি হয় না।

• একই রাশি দ্বারা একটি সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ বা ভাগ করা।

এই রূপান্তরটি দুটি ক্ষেত্রে OD-এর সংকীর্ণতার দিকে পরিচালিত করতে পারে: যখন যে রাশির দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় তার জন্য ODটি মূল সমীকরণের জন্য OD থেকে সংকীর্ণ হয় এবং যখন একটি অভিব্যক্তি দ্বারা ভাগ করা হয় যা পরিণত হয় মূল সমীকরণের জন্য OD-তে শূন্য। মনে রাখবেন যে অনুশীলনে সাধারণত একটি সংকীর্ণ VA সহ একটি অভিব্যক্তি দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষকে গুণ এবং ভাগ করার অবলম্বন করার প্রয়োজন হয় না। কিন্তু আপনাকে একটি অভিব্যক্তি দ্বারা বিভাজনের সাথে মোকাবিলা করতে হবে যা মূল সমীকরণের জন্য শূন্যে পরিণত হয়। এমন একটি পদ্ধতি রয়েছে যা আপনাকে এই জাতীয় বিভাজনের সময় শিকড়ের ক্ষতি মোকাবেলা করতে দেয়, আমরা এই নিবন্ধের পরবর্তী অনুচ্ছেদে এটি সম্পর্কে কথা বলব।

কিভাবে শিকড় ক্ষতি এড়াতে?

যদি আপনি শুধুমাত্র রূপান্তর থেকে রূপান্তর সমীকরণ ব্যবহার করেন এবং একই সাথে ODZ সংকীর্ণ করার অনুমতি না দেন, তাহলে শিকড়ের ক্ষতি ঘটবে না।

এর মানে কি সমীকরণের অন্য কোনো রূপান্তর করা যাবে না? না, এর মানে এই নয়। আপনি যদি সমীকরণের অন্য কিছু রূপান্তর নিয়ে আসেন এবং এটিকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করেন, অর্থাৎ, এটি কখন বাড়ে তা নির্দেশ করুন সমতুল্য সমীকরণ, কখন - সমীকরণ-পরিণাম, এবং যখন এটি শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে, তখন এটি ভালভাবে গ্রহণ করা যেতে পারে।

আমাদের কি এমন সংস্কার পরিত্যাগ করা উচিত যা ডিপিডিকে সংকুচিত করবে? এটা করা উচিত নয়। এটি আপনার অস্ত্রাগারের রূপান্তরগুলি বজায় রাখতে ক্ষতি করবে না যেখানে মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে সীমিত সংখ্যক সংখ্যা বাদ পড়ে। কেন এই ধরনের রূপান্তর পরিত্যাগ করা উচিত নয়? কারণ এই ধরনের ক্ষেত্রে শিকড়ের ক্ষতি এড়াতে একটি পদ্ধতি রয়েছে। এটিতে ODZ থেকে আসা সংখ্যাগুলির একটি পৃথক চেক রয়েছে যা দেখতে তাদের মধ্যে মূল সমীকরণের মূল রয়েছে কিনা। আপনি এই সংখ্যাগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে এটি পরীক্ষা করতে পারেন। তাদের মধ্যে যারা, প্রতিস্থাপিত হলে, সঠিক সংখ্যাসূচক সমতা দেয়, তারাই মূল সমীকরণের মূল। তাদের উত্তর অন্তর্ভুক্ত করা প্রয়োজন. এই জাতীয় চেকের পরে, আপনি আপনার শিকড় হারানোর ভয় ছাড়াই নিরাপদে পরিকল্পিত রূপান্তরটি সম্পাদন করতে পারেন।

একটি সাধারণ রূপান্তর যেখানে একটি সমীকরণের জন্য ODZ কে কয়েকটি সংখ্যায় সংকুচিত করা হয় তা হল সমীকরণের উভয় দিককে একই রাশি দ্বারা ভাগ করা, যা মূল সমীকরণের জন্য ODZ থেকে বেশ কয়েকটি বিন্দুতে শূন্য হয়ে যায়। এই রূপান্তর সমাধান পদ্ধতির ভিত্তি পারস্পরিক সমীকরণ. তবে এটি অন্যান্য ধরণের সমীকরণ সমাধান করতেও ব্যবহৃত হয়। একটা উদাহরণ দেওয়া যাক।

একটি নতুন পরিবর্তনশীল প্রবর্তনের মাধ্যমে সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে। একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করতে, আপনাকে সমীকরণের উভয় দিককে 1+x দ্বারা ভাগ করতে হবে। কিন্তু এই ধরনের বিভাজনের সাথে, মূলের ক্ষতি হতে পারে, যেহেতু 1+x রাশিটির ODZ মূল সমীকরণের ODZ থেকে সংকীর্ণ না হলেও, 1+x এক্সপ্রেশনটি x=−1 এ শূন্য হয়ে যায় এবং এই সংখ্যাটি মূল সমীকরণের জন্য ODZ এর অন্তর্গত। এর মানে হল রুট −1 হারিয়ে যেতে পারে। একটি মূলের ক্ষতি দূর করতে, আপনাকে আলাদাভাবে পরীক্ষা করা উচিত যে −1 মূল সমীকরণের একটি মূল কিনা। এটি করার জন্য, আপনি মূল সমীকরণে −1 প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং আপনি কী সমতা পান তা দেখতে পারেন। আমাদের ক্ষেত্রে, প্রতিস্থাপনটি সমতা দেয়, যা 4=0 এর সমান। এই সমতা মিথ্যা, যার মানে −1 মূল সমীকরণের মূল নয়। এই ধরনের চেক করার পরে, আপনি শিকড়ের ক্ষতি হতে পারে এমন ভয় ছাড়াই 1 + x দ্বারা সমীকরণের উভয় পক্ষের অভিপ্রেত বিভাজন করতে পারেন।

এই অনুচ্ছেদের শেষে, আসুন আমরা আবার আগের অনুচ্ছেদের সমীকরণের দিকে ফিরে যাই এবং। পরিচয়ের উপর ভিত্তি করে এই সমীকরণের রূপান্তর এবং এটি ODZ এর সংকীর্ণতার দিকে পরিচালিত করে এবং এর ফলে শিকড় নষ্ট হয়ে যায়। এই মুহুর্তে, আমরা বলেছিলাম যে আমাদের শিকড় না হারানোর জন্য, আমাদের এমন সংস্কার ত্যাগ করতে হবে যা ডিজেডকে সংকীর্ণ করে। এর মানে হল এই রূপান্তরগুলি অবশ্যই পরিত্যাগ করা উচিত। কিন্তু আমাদের কি করা উচিত? পরিচয়ের উপর ভিত্তি করে নয় এবং রূপান্তর করা সম্ভব , যার কারণে ODZ সংকুচিত হয়, এবং পরিচয়ের ভিত্তিতে এবং . মূল সমীকরণ এবং সমীকরণ থেকে উত্তরণের ফলে এবং ODZ এর কোন সংকীর্ণতা নেই, যার অর্থ শিকড়গুলি হারিয়ে যাবে না।

এখানে আমরা বিশেষভাবে লক্ষ্য করি যে অভিব্যক্তিগুলিকে অভিন্নভাবে সমান অভিব্যক্তি দিয়ে প্রতিস্থাপন করার সময়, আপনাকে অবশ্যই সাবধানে নিশ্চিত করতে হবে যে অভিব্যক্তিগুলি ঠিক অভিন্নভাবে সমান। উদাহরণস্বরূপ, Eq. বাম দিকের চেহারা সরলীকরণ করার জন্য এক্সপ্রেশন x+3 কে এক্সপ্রেশন দিয়ে প্রতিস্থাপন করা অসম্ভব , যেহেতু এক্সপ্রেশন x+3 এবং অভিন্নভাবে সমান নয়, কারণ তাদের মান x+3 এর সাথে মিলে না<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

সমীকরণের রূপান্তর যা ব্যবহার করা উচিত নয়

এই নিবন্ধে উল্লিখিত রূপান্তরগুলি সাধারণত ব্যবহারিক প্রয়োজনের জন্য যথেষ্ট। অর্থাৎ, অন্য কোনো রূপান্তর নিয়ে আসার বিষয়ে আপনার খুব বেশি মাথা ঘামানো উচিত নয়; ইতিমধ্যে প্রমাণিতগুলির সঠিক ব্যবহারে ফোকাস করা ভাল।

সাহিত্য

1. মর্ডকোভিচ এ.জি.বীজগণিত এবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। গ্রেড 11. 2 ঘন্টার মধ্যে। অংশ 1. সাধারণ শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক (প্রোফাইল স্তর) / এ. জি. মর্ডকোভিচ, পি. ভি. সেমেনভ। - ২য় সংস্করণ, মুছে ফেলা হয়েছে। - এম.: মেমোসিন, 2008। - 287 পি।: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-01027-2।
2. বীজগণিতএবং গাণিতিক বিশ্লেষণের শুরু। দশম শ্রেণী: পাঠ্যপুস্তক। সাধারণ শিক্ষার জন্য প্রতিষ্ঠান: মৌলিক এবং প্রোফাইল। স্তর / [ইউ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; দ্বারা সম্পাদিত এ বি ঝিজচেঙ্কো। - 3য় সংস্করণ। - এম.: শিক্ষা, 2010.- 368 পি.: অসুস্থ।-ISBN 978-5-09-022771-1।