تغییر در یک تابع در یک نقطه خاص به عنوان حد افزایش تابع به افزایش آرگومان تعریف می شود که به سمت صفر میل می کند. برای پیدا کردن آن، از جدول مشتقات استفاده کنید. به عنوان مثال، مشتق تابع y = x3 برابر با y = x2 خواهد بود.

این مشتق را برابر با صفر (در در این مورد x2=0).

مقدار متغیر داده شده را پیدا کنید. اینها مقادیری هستند که در آنها مشتق داده شده برابر با 0 خواهد بود. برای این کار، اعداد دلخواه را به جای x در عبارت جایگزین کنید، که در آن کل عبارت صفر می شود. مثلا:

2-2x2 = 0
(1-x)(1+x) = 0
x1 = 1، x2 = -1

مقادیر به دست آمده را روی خط مختصات رسم کرده و علامت مشتق را برای هر یک از مقادیر به دست آمده محاسبه کنید. نقاط روی خط مختصات مشخص می شوند که به عنوان مبدا در نظر گرفته می شوند. برای محاسبه مقدار در فواصل، مقادیر دلخواه را که با معیارها مطابقت دارند جایگزین کنید. به عنوان مثال، برای تابع قبلی قبل از بازه -1، می توانید مقدار -2 را انتخاب کنید. برای مقادیر 1- تا 1 می توانید 0 و برای مقادیر بزرگتر از 1 2 را انتخاب کنید. این اعداد را جایگزین مشتق کنید و علامت مشتق را پیدا کنید. در این حالت، مشتق با x = -2 برابر با -0.24 خواهد بود، یعنی. منفی است و علامت منفی در این فاصله وجود خواهد داشت. اگر x=0 باشد، مقدار برابر با 2 می شود و علامتی روی این بازه قرار می گیرد. اگر x=1 باشد، مشتق نیز برابر با 0.24- خواهد بود و منهای قرار داده می شود.

اگر هنگام عبور از نقطه ای در خط مختصات، مشتق علامت خود را از منهای به مثبت تغییر دهد، این یک نقطه حداقل است و اگر از مثبت به منفی، آنگاه این یک نقطه حداکثر است.

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

برای یافتن مشتق، خدمات آنلاینی وجود دارد که محاسبه می کنند مقادیر مورد نیازو نتیجه را نمایش دهید. در چنین سایت هایی می توانید مشتقات تا مرتبه 5 را پیدا کنید.

منابع:

• یکی از خدمات محاسبه مشتقات
• حداکثر نقطه تابع

نقاط ماکزیمم یک تابع به همراه حداقل نقاط را نقاط اکسترموم می نامند. در این نقاط تابع رفتار خود را تغییر می دهد. Extrema در فواصل عددی محدود تعیین می شود و همیشه محلی است.

دستورالعمل ها

فرآیند یافتن منتهی الیه موضعی تابع نامیده می شود و با تجزیه و تحلیل مشتقات اول و دوم تابع انجام می شود. قبل از شروع مطالعه، مطمئن شوید که محدوده مشخص شده از مقادیر آرگومان به مقادیر معتبر تعلق دارد. برای مثال، برای تابع F=1/x آرگومان x=0 معتبر نیست. یا برای تابع Y=tg(x) آرگومان نمی تواند مقدار x=90 درجه داشته باشد.

اطمینان حاصل کنید که تابع Y در کل بازه داده شده قابل تمایز است. اولین مشتق Y را پیدا کنید." بدیهی است که قبل از رسیدن به نقطه حداکثر محلی تابع افزایش می یابد و هنگام عبور از حداکثر تابع کاهشی می شود. اولین مشتق در خود معنای فیزیکیسرعت تغییر یک تابع را مشخص می کند. در حالی که تابع در حال افزایش است، نرخ این فرآیند مثبت است. هنگام عبور از حداکثر محلی، تابع شروع به کاهش می کند و نرخ تغییر تابع منفی می شود. انتقال نرخ تغییر تابع از طریق صفر در نقطه حداکثر محلی اتفاق می افتد.

گفته می شود که تابع در نقطه داخلی است
منطقه D حداکثر محلی(کمترین)، اگر چنین همسایگی نقطه وجود داشته باشد
، برای هر نقطه
که نابرابری را نگه می دارد

اگر تابعی در یک نقطه باشد
حداکثر محلی یا حداقل محلی، سپس می گوییم که در این نقطه دارد افراطی موضعی (یا فقط یک افراطی).

قضیه (شرط لازم برای وجود افراط). اگر تابع متمایز در نقطه به یک اکسترموم برسد
، سپس هر مشتق جزئی مرتبه اول تابع در این مرحله صفر می شود.

نقاطی که در آن تمام مشتقات جزئی مرتبه اول ناپدید می شوند نامیده می شوند نقاط ثابت تابع
. مختصات این نقاط را می توان با حل سیستم پیدا کرد معادلات

.

شرط لازم برای وجود یک اکستروم در مورد یک تابع متمایز را می توان به طور خلاصه به صورت زیر فرموله کرد:

مواردی وجود دارد که در نقاط جداگانه برخی از مشتقات جزئی دارای مقادیر بی نهایت هستند یا وجود ندارند (در حالی که بقیه برابر با صفر هستند). چنین نقاطی نامیده می شود نقاط بحرانی تابعاین نقاط نیز باید برای یک افراطی «مشکوک» در نظر گرفته شوند، درست مانند نقاط ثابت.

در مورد تابعی از دو متغیر شرط لازماکستریم، یعنی برابری صفر مشتقات جزئی (دیفرانسیل) در نقطه منتهی، تفسیر هندسی دارد: صفحه مماس به سطح
در نقطه انتهایی باید موازی با هواپیما باشد
.

20. شرایط کافی برای وجود افراط

تحقق شرط لازم برای وجود افراط در مقطعی اصلاً وجود افراط در آنجا را تضمین نمی کند. به عنوان مثال، می‌توانیم تابع همه‌جا متفاوت را در نظر بگیریم
. هم مشتقات جزئی آن و هم خود تابع در نقطه ناپدید می شوند
. با این حال، در هر محله از این نقطه هر دو مثبت (بزرگ
، و منفی (کوچکتر
) مقادیر این تابع. بنابراین، در این مرحله، طبق تعریف، هیچ افراطی مشاهده نمی شود. بنابراین، شناخت شرایط کافی ضروری است که در آن نقطه مشکوک به اکستریم بودن، نقطه منتهی تابع مورد مطالعه باشد.

بیایید حالت تابعی از دو متغیر را در نظر بگیریم. بیایید فرض کنیم که تابع
تعریف شده، پیوسته و دارای مشتقات جزئی پیوسته تا مرتبه دوم شامل در همسایگی یک نقطه
، که نقطه ثابت تابع است
، یعنی شرایط را برآورده می کند

,
.

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم:

قضیه (شرایط کافی برای وجود یک افراط). اجازه دهید تابع
شرایط فوق را برآورده می کند، یعنی: در برخی از همسایگی های یک نقطه ثابت قابل تمایز است
و در خود نقطه دو برابر قابل تمایز است
. سپس اگر

اگر
سپس تابع
در نقطه
می رسد

حداکثر محلیدر
و

حداقل محلیدر
.

به طور کلی، برای عملکرد
شرط کافی برای وجود در نقطه
محلیکمترین(بیشترین) است مثبت(منفی) قطعیت دیفرانسیل دوم.

به عبارت دیگر، عبارت زیر درست است.

قضیه . اگر در نقطه
برای عملکرد

برای هر عددی که همزمان برابر با صفر نباشد
، سپس در این مرحله تابع است کمترین(شبیه به بیشترین، اگر
).

مثال 18.نقاط انتهایی محلی یک تابع را پیدا کنید

راه حل. بیایید مشتقات جزئی تابع را پیدا کرده و آنها را با صفر برابر کنیم:

با حل این سیستم، دو نقطه افراطی ممکن را پیدا می کنیم:

بیایید مشتقات جزئی مرتبه دوم را برای این تابع پیدا کنیم:

بنابراین در اولین نقطه ثابت و
بنابراین تحقیقات تکمیلی در این مرحله مورد نیاز است. مقدار تابع
در این نقطه صفر است:
به علاوه،

در

آ

در

بنابراین، در هر محله از نقطه
تابع
مقادیر را بزرگ می گیرد
، و کوچکتر
، و بنابراین، در نقطه
تابع
طبق تعریف، اکستریم موضعی ندارد.

در نقطه ثابت دوم



بنابراین، بنابراین، از آنجا که
سپس در نقطه
تابع دارای حداکثر محلی است.

>> افراطی

افراطی از عملکرد

تعریف افراط

تابع y = f(x) فراخوانی می شود افزایش می یابد (در حال کاهش) در یک بازه زمانی مشخص، اگر برای x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f (x 2)).

اگر تابع متمایز y = f (x) در یک بازه افزایش (کاهش) کند، مشتق آن در این بازه f " (ایکس)> 0

(f"(ایکس)< 0).

نقطه ایکس O تماس گرفت نقطه حداکثر محلی (کمترین) تابع f (x) اگر همسایگی نقطه وجود داشته باشد x o، برای تمام نقاطی که نابرابری f (x) درست است≤ f (x o ) (f (x)≥ f (x o )).

حداکثر و حداقل امتیاز نامیده می شود نقاط افراطی، و مقادیر تابع در این نقاط آن است افراط.

نقاط افراطی

شرایط لازم برای افراط . اگر نکته ایکس O نقطه منتهی تابع f (x)، سپس یکی از f است " (x o ) = 0 یا f(x o ) وجود ندارد. چنین نقاطی نامیده می شود بحرانی،و خود تابع در نقطه بحرانی تعریف می شود. حداکثر یک تابع را باید در میان نقاط بحرانی آن جستجو کرد.

اولین شرایط کافی. اجازه دهید ایکس O - نقطه بحرانی. اگر f" (x) هنگام عبور از یک نقطه ایکس O علامت مثبت را به منهای و سپس در نقطه تغییر می دهد x oتابع دارای حداکثر است، در غیر این صورت دارای حداقل است. اگر هنگام عبور از نقطه بحرانی، مشتق علامت تغییر نکند، در نقطه ایکس O افراطی وجود ندارد

شرط کافی دوم اجازه دهید تابع f(x) داشته باشد
f" (x) در مجاورت نقطه ایکس O و مشتق دوم در خود نقطه x o. اگر f"(x o) = 0, >0 ( <0), то точка x oنقطه حداقل (حداکثر) محلی تابع f (x) است. اگر = 0، باید یا از اولین شرط کافی استفاده کنید یا شرایط بالاتر را در نظر بگیرید.

در یک قطعه، تابع y = f (x) می تواند به حداقل یا حداکثر مقدار خود در نقاط بحرانی یا در انتهای قطعه برسد.

مثال 3.22.

راه حل.زیرا f " (

مشکلات یافتن حد فاصل یک تابع

مثال 3.23. آ

راه حل. ایکسو y y
0 ≤ ایکس≤
> 0 و چه زمانی x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение کارکرد kv. واحدها).

مثال 3.24. p ≈

راه حل.ص ص
اس"
R = 2، H = 16/4 = 4.

مثال 3.22.حداکثر تابع f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 را بیابید.

راه حل.زیرا f " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3)، سپس نقاط بحرانی تابع x 1 = 2 و x 2 = 3. Extrema فقط می تواند در این نقاط باشد. از آنجایی که مشتق هنگام عبور از نقطه x 1 = 2 علامت مثبت را به منفی تغییر می دهد، در این نقطه تابع دارای حداکثر است. هنگام عبور از نقطه x 2 = 3، مشتق علامت خود را از منفی به مثبت تغییر می دهد، بنابراین در نقطه x 2 = 3 تابع دارای حداقل است. با محاسبه مقادیر تابع در نقاط
x 1 = 2 و x 2 = 3، مازاد تابع را پیدا می کنیم: حداکثر f (2) = 14 و حداقل f (3) = 13.

مثال 3.23.لازم است در نزدیکی دیوار سنگی محوطه ای مستطیل شکل به گونه ای ساخته شود که از سه طرف با شبکه سیمی حصار کشیده شود و ضلع چهارم مجاور دیوار باشد. برای این وجود دارد آمتر خطی مش. سایت با چه نسبتی بیشترین مساحت را خواهد داشت؟

راه حل.اجازه دهید کناره های سکو را با علامت گذاری کنیم ایکسو y. مساحت سایت S = xy است. اجازه دهید y- این طول ضلع مجاور دیوار است. سپس، طبق شرط، برابری 2x + y = a باید برآورده شود. بنابراین y = a - 2x و S = x (a - 2x)، که در آن
0 ≤ ایکس≤ a /2 (طول و عرض منطقه نمی تواند منفی باشد). S" = a - 4x، a - 4x = 0 در x = a/4، از اینجاست
y = a - 2 × a/4 =a/2. زیرا x = a /4 تنها نقطه بحرانی است، بیایید بررسی کنیم که آیا علامت مشتق هنگام عبور از این نقطه تغییر می کند. در x a / 4 S "> 0 و چه زمانی x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение کارکرد S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2/8 (kv. واحدها). از آنجایی که S پیوسته است و مقادیر آن در انتهای S(0) و S(a /2) برابر با صفر است، پس مقدار پیدا شده خواهد بود. بالاترین ارزشکارکرد. بنابراین، مطلوب ترین نسبت ابعاد سایت در شرایط داده شده مسئله، y = 2x است.

مثال 3.24.ساخت مخزن استوانه ای بسته با ظرفیت V=16 الزامی است p ≈ 50 متر 3. ابعاد مخزن (شعاع R و ارتفاع H) چقدر باید باشد تا کمترین مواد برای ساخت آن مصرف شود؟

راه حل.سطح کل سیلندر S = 2 استپ R(R+H). حجم سیلندر را می دانیم V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 = 16 p / p R2 = 16/R2. بنابراین S(R) = 2پ (R 2 +16/R). مشتق این تابع را پیدا می کنیم:
اس"(R) = 2 p (2R- 16/R 2) = 4 p (R- 8/R 2). اس" (R) = 0 در R3 = 8، بنابراین،
R = 2، H = 16/4 = 4.

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. می گویند $f$ دارد حداکثر محلیدر نقطه $x_(0) \در E$، اگر یک همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\right ) \leqslant f راضی است \left(x_(0)\right)$.

حداکثر محلی نامیده می شود سخت گیرانه ، اگر همسایگی $U$ را بتوان طوری انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$ $f\left(x\right) باشد.< f\left(x_{0}\right)$.

تعریف
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. می گویند $f$ دارد حداقل محلیدر نقطه $x_(0) \در E$، اگر یک همسایگی $U$ از نقطه $x_(0)$ وجود داشته باشد به طوری که برای همه $x \in U$ نابرابری $f\left(x\right ) \geqslant f راضی است \left(x_(0)\right)$.

اگر بتوان یک محله $U$ را طوری انتخاب کرد که برای همه $x \in U$ متفاوت از $x_(0)$، $f\left(x\right) > f\left(x_) حداقل محلی سخت نامیده می‌شود. (0)\راست)$.

Local Extremum مفاهیم حداقل محلی و حداکثر محلی را ترکیب می کند.

قضیه (شرط لازم برای حداکثر یک تابع قابل تفکیک)
اجازه دهید $f$ یک تابع واقعی در مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ باشد. اگر در نقطه $x_(0) \در E$ تابع $f$ در این نقطه یک اکسترموم محلی داشته باشد، آنگاه $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ دیفرانسیل برابر با صفر معادل این واقعیت است که همه برابر با صفر هستند، یعنی. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

در حالت تک بعدی این - . اجازه دهید $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$ را نشان دهیم که $h$ یک بردار دلخواه است. تابع $\phi$ برای مقادیر $t$ که از نظر مقدار مطلق به اندازه کافی کوچک هستند تعریف شده است. علاوه بر این، با توجه به , و $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$ قابل تمایز است.
اجازه دهید $f$ یک حداکثر محلی در نقطه x $0$ داشته باشد. این بدان معنی است که تابع $\phi$ در $t = 0$ دارای حداکثر محلی است و طبق قضیه فرما، $(\phi)\left(0\right)=0$ است.
بنابراین، ما دریافت کردیم که $df \left(x_(0)\right) = 0$، یعنی. تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر در هر بردار $h$ است.

تعریف
نقاطی که دیفرانسیل در آنها صفر است، یعنی. آنهایی که در آنها تمام مشتقات جزئی برابر با صفر است، ثابت نامیده می شوند. نقاط بحرانیتوابع $f$ آن نقاطی هستند که در آنها $f$ قابل تمایز نیست یا برابر با صفر است. اگر نقطه ثابت باشد، از این نتیجه نمی‌شود که تابع در این نقطه یک اکسترموم دارد.

مثال 1.
اجازه دهید $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. سپس $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$، بنابراین $\left(0,0\right)$ یک نقطه ثابت است، اما تابع در این نقطه اکسترموم ندارد. در واقع، $f \left(0,0\right) = 0$، اما به راحتی می توان دید که در هر همسایگی نقطه $\left(0,0\right)$ تابع هم مقادیر مثبت و هم ارزش منفی را می گیرد.

مثال 2.
تابع $f \left(x,y\right) = x^(2) - y^(2)$ در مبدأ خود یک نقطه ثابت دارد، اما واضح است که در این نقطه اکسترومومی وجود ندارد.

قضیه (شرط کافی برای افراط).
اجازه دهید تابع $f$ دو بار به طور پیوسته در مجموعه باز $E \subset \mathbb(R)^(n)$ قابل تفکیک باشد. اجازه دهید $x_(0) \در E$ یک نقطه ثابت باشد و $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\جزئی^(2) f)(\x_(i) \جزئی x_(j)) \left(x_(0)\راست)h^(i)h^(j).$ $ سپس

1. اگر $Q_(x_(0))$ – , تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ دارای یک اکسترمم محلی است، یعنی حداقل اگر شکل مثبت قطعی باشد و حداکثر اگر فرم باشد قطعی منفی؛
2. اگر شکل درجه دوم $Q_(x_(0))$ تعریف نشده باشد، تابع $f$ در نقطه $x_(0)$ هیچ اکستریمومی ندارد.

بیایید از بسط مطابق فرمول تیلور استفاده کنیم (12.7 ص 292). با توجه به اینکه مشتقات جزئی مرتبه اول در نقطه $x_(0)$ برابر با صفر هستند، $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ را بدست می آوریم. راست) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\ x_(i) \جزئی x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ جایی که $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$، و $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ برای $h \rightarrow 0$، سپس قسمت راستبرای هر بردار $h$ با طول به اندازه کافی کوچک مثبت خواهد بود.
بنابراین، به این نتیجه رسیده‌ایم که در یک همسایگی مشخص از نقطه $x_(0)$ نابرابری $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ وجود دارد اگر فقط $ x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\راست قرار می دهیم). این بدان معنی است که در نقطه $x_(0)$ تابع دارای یک حداقل محلی دقیق است و بنابراین اولین قسمت قضیه ما ثابت می شود.
حالا فرض کنید $Q_(x_(0))$ - شکل نامعین. سپس بردارهای $h_(1)$، $h_(2)$ وجود دارند که $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. سپس $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) دریافت می کنیم \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ برای $t>0$ به اندازه کافی کوچک، سمت راست طرف مثبت است این بدان معنی است که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$ تابع $f$ مقادیر $f \left(x\right)$ بزرگتر از $f \left(x_(0)\right)$ می گیرد.
به طور مشابه، متوجه می‌شویم که در هر همسایگی نقطه $x_(0)$، تابع $f$ مقادیر کمتر از $f \left(x_(0)\right)$ می‌گیرد. این، همراه با مورد قبلی، به این معنی است که در نقطه $x_(0)$ تابع $f$ یک اکسترموم ندارد.

در نظر بگیریم مورد خاصاز این قضیه برای یک تابع $f \left(x,y\right)$ از دو متغیر تعریف شده در یک همسایگی مشخص از نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ و دارای جزئی پیوسته مشتقات اولی در این محله و مرتبه دوم. فرض کنید $\left(x_(0),y_(0)\right)$ یک نقطه ثابت است و نشان دهنده $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0 ), y_(0)\right), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ سپس قضیه قبلی به شکل زیر در می آید.

قضیه
اجازه دهید $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) - a_(12)^2$. سپس:

1. اگر $\Delta>0$، تابع $f$ دارای یک اکسترموم محلی در نقطه $\left(x_(0),y_(0)\right)$ است، یعنی حداقل اگر $a_(11)> باشد. 0$ و حداکثر اگر $a_(11)<0$;
2. اگر $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

نمونه هایی از حل مسئله

الگوریتمی برای یافتن حداکثر یک تابع متشکل از متغیرها:

1. پیدا کردن نقاط ثابت؛
2. دیفرانسیل مرتبه 2 را در تمام نقاط ثابت پیدا کنید
3. با استفاده از شرط کافی برای حداکثر یک تابع از بسیاری از متغیرها، دیفرانسیل مرتبه 2 را در هر نقطه ثابت در نظر می گیریم.

1. تابع extremum $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ را بررسی کنید.
   راه حل

   بیایید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنیم: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\جزئی f)(\جزئی y)= 0\پایان(موارد) \Rightarrow \begin(موارد)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(موارد) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ از معادله 2 $x=4 \cdot y^(2)$ را بیان می کنیم - آن را در معادله 1 جایگزین می کنیم: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ در نتیجه 2 نقطه ثابت به دست می آید:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   بیایید بررسی کنیم که آیا شرط کافی برای یک اکستریم برآورده شده است یا خیر:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\جزئی x \جزئی y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) برای نقطه $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) برای نقطه $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی x \جزئی y) \left(1,\frac(1)(2)\راست)=-6; C_(2)=\frac(\جزئی^(2) f)(\جزئی y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$، به این معنی که در نقطه $M_(2)$ یک اکسترموم وجود دارد، و از $A_(2)> 0 دلار، سپس این حداقل است.
   پاسخ: نقطه $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ حداقل نقطه تابع $f$ است.
   

2. تابع extremum $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ را بررسی کنید.
   راه حل

   بیایید نقاط ثابت را پیدا کنیم: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   بیایید سیستم را بسازیم و حل کنیم: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(cases)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases) y = 2\\y + x = 1\end(موارد) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ یک نقطه ثابت است.
   بیایید بررسی کنیم که آیا شرط کافی برای extremum برآورده شده است: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   پاسخ: هیچ افراطی وجود ندارد.
   

محدودیت زمانی: 0

ناوبری (فقط شماره های شغلی)

0 از 4 کار تکمیل شد

اطلاعات

این آزمون را انجام دهید تا دانش خود را در مورد موضوعی که اخیراً خوانده‌اید آزمایش کنید: حد فاصل محلی توابع متغیرهای چندگانه.

قبلاً در آزمون شرکت کرده اید. شما نمی توانید آن را دوباره شروع کنید.

بارگذاری آزمایشی...

برای شروع آزمون باید وارد شوید یا ثبت نام کنید.

برای شروع این تست باید تست های زیر را تکمیل کنید:

نتایج

پاسخ های صحیح: 0 از 4

زمان خود را:

زمان به پایان رسیده است

شما 0 امتیاز از 0 کسب کردید (0)

نتیجه شما در تابلوی امتیازات ثبت شده است

1. با پاسخ
2. با علامت مشاهده

وظیفه 1 از 4

1 .

تعداد امتیاز: 1

تابع $f$ را برای اکسترنال بررسی کنید: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

درست


اشتباه


1. وظیفه 2 از 4

   2 .

   تعداد امتیاز: 1

   آیا تابع $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ یک اکسترموم دارد؟

تعریف:نقطه x0 نقطه حداکثر (یا حداقل) محلی یک تابع نامیده می شود اگر در نزدیکی نقطه x0 تابع بیشترین (یا کوچکترین) مقدار را بگیرد، یعنی. برای تمام x از یک همسایگی نقطه x0، شرط f(x) f(x0) (یا f(x) f(x0)) برقرار است.

نقاط حداکثر یا مینیمم محلی با یک نام مشترک متحد می شوند - نقاط انتهایی محلی یک تابع.

توجه داشته باشید که در نقاط انتهایی محلی، تابع تنها در یک منطقه محلی خاص به حداکثر یا حداقل مقدار خود می رسد. ممکن است مواردی وجود داشته باشد که با توجه به مقدار уmaxуmin.

نشانه ضروری وجود اکسترمم موضعی یک تابع

قضیه . اگر یک تابع پیوسته y = f(x) در نقطه x0 یک انتها محلی داشته باشد، در این نقطه اولین مشتق یا صفر است یا وجود ندارد، یعنی. یک افراط موضعی در نقاط بحرانی نوع اول رخ می دهد.

در نقاط انتهایی محلی، یا مماس موازی با محور 0x است یا دو مماس وجود دارد (شکل را ببینید). توجه داشته باشید که نقاط بحرانی شرط لازم اما کافی برای یک اکستروم موضعی نیستند. یک اکستروم موضعی فقط در نقاط بحرانی نوع اول رخ می دهد، اما در تمام نقاط بحرانی یک اکستروم موضعی رخ نمی دهد.

به عنوان مثال: یک سهمی مکعبی y = x3 دارای یک نقطه بحرانی x0 = 0 است که در آن مشتق y/(0)=0، اما نقطه بحرانی x0=0 یک نقطه افراطی نیست، بلکه یک نقطه عطف در آن است (به زیر مراجعه کنید).

نشانه کافی از وجود یک اکسترمم موضعی یک تابع

قضیه . اگر وقتی آرگومان از یک نقطه بحرانی نوع اول از چپ به راست عبور کند، اولین مشتق y / (x)

علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) در این نقطه بحرانی دارای حداکثر محلی است.

علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، سپس تابع پیوسته y(x) در این نقطه بحرانی حداقل محلی دارد.

علامت تغییر نمی کند، پس در این نقطه بحرانی اکستروم محلی وجود ندارد، در اینجا یک نقطه عطف وجود دارد.

برای حداکثر محلی، ناحیه تابع افزایشی (y/0) با ناحیه تابع کاهشی (y/0) جایگزین می‌شود. برای حداقل محلی، ناحیه تابع کاهشی (y/0) با ناحیه تابع افزایشی (y/0) جایگزین می‌شود.

مثال: تابع y = x3 + 9x2 + 15x - 9 را از نظر یکنواختی، اکسترموم بررسی کنید و نموداری از تابع بسازید.

بیایید با تعریف مشتق (y/) و برابر کردن آن با صفر، نقاط بحرانی نوع اول را پیدا کنیم: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

بیایید مثلث درجه دوم را با استفاده از ممیز حل کنیم:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1، b=6، c=5) D=، x1k = -5، x2k = -1.

2) محور اعداد را به 3 ناحیه با نقاط بحرانی تقسیم می کنیم و نشانه های مشتق (y/) را در آنها مشخص می کنیم. با استفاده از این علائم، نواحی یکنواختی (افزایش و کاهش) توابع را پیدا می کنیم و با تغییر علائم، نقاط اکسترمم موضعی (حداکثر و حداقل) را مشخص می کنیم.

ما نتایج تحقیق را در قالب یک جدول ارائه می کنیم که از آن می توان نتایج زیر را استخراج کرد:

• 1. در بازه y /(-10) 0 تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y با استفاده از نقطه کنترل x = -10 در این بازه تخمین زده شد).
• 2. در بازه (-5; -1) y /(-2) 0 تابع به طور یکنواخت کاهش می یابد (علامت مشتق y با استفاده از نقطه کنترل x = -2، در این بازه تخمین زده شد).
• 3. در بازه y /(0) 0، تابع به طور یکنواخت افزایش می یابد (علامت مشتق y با استفاده از نقطه کنترل x = 0، گرفته شده در این بازه تخمین زده شد).
• 4. هنگام عبور از نقطه بحرانی x1k = -5، مشتق علامت "+" را به "-" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه یک نقطه حداکثر محلی است.
• (ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
• 5. هنگام عبور از نقطه بحرانی x2k = -1، مشتق علامت "-" را به "+" تغییر می دهد، بنابراین این نقطه یک نقطه حداقل محلی است.
• (ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) ما یک نمودار بر اساس نتایج مطالعه با استفاده از محاسبات اضافی مقادیر تابع در نقاط کنترل می سازیم:

ایجاد یک سیستم مختصات مستطیلی Oxy;

ما با مختصات نقاط حداکثر (-5; 16) و حداقل (-1;-16) را نشان می دهیم.

برای روشن شدن نمودار، مقدار تابع را در نقاط کنترل محاسبه می کنیم، آنها را در سمت چپ و راست نقاط حداکثر و حداقل و در داخل بازه میانگین انتخاب می کنیم، به عنوان مثال: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) و (0;-9) - نقاط کنترلی محاسبه شده که برای ساختن نمودار رسم می کنیم.

نمودار را به صورت یک منحنی محدب به سمت بالا در نقطه حداکثر و محدب رو به پایین در نقطه حداقل و عبور از نقاط کنترل محاسبه شده نشان می دهیم.