راه حل پرلمن برای حدس پوانکاره. یک میلیون دلار برای یک سوراخ دونات

جوهر قضیه پوانکاره چیست؟

1. E توسط سوفیا با موهای قرمز ثابت شد، اما او نیز مو قرمز است ...
2. نکته اصلی این است که جهان مانند یک کره نیست، بلکه مانند یک دونات است.
3. معنای حدس پوانکاره در فرمول اولیه آن این است که برای هر جسم سه بعدی بدون سوراخ، تبدیلی وجود دارد که به آن اجازه می دهد بدون برش و چسباندن به یک توپ تبدیل شود. اگر این امر بدیهی به نظر می رسد، پس چه می شود اگر فضا سه بعدی نباشد، بلکه شامل ده یا یازده بعد باشد (یعنی ما در مورد یک فرمول کلی از حدس پوانکاره صحبت می کنیم که پرلمن آن را ثابت کرد)
4. شما نمی توانید آن را در 2 کلمه بگویید
5. در سال 1900 پوانکاره پیشنهاد کرد که یک منیفولد سه بعدی با تمام گروه های همسانی یک کره، همومورفیک کره است. در سال 1904، او همچنین یک نمونه متقابل پیدا کرد که اکنون کره پوانکاره نامیده می شود و نسخه نهایی فرضیه خود را تدوین کرد. تلاش برای اثبات حدس پوانکاره منجر به پیشرفت های متعددی در توپولوژی منیفولدها شده است.

   اثبات حدس تعمیم یافته پوانکاره برای n #10878; 5 در اوایل دهه 1960 و 1970 تقریباً به طور همزمان توسط اسمال، مستقل و با روش های دیگر توسط استالینگز (انگلیسی) به دست آمد (برای n #10878؛ 7، اثبات او به موارد n = 5 و 6 توسط زیمن (انگلیسی) گسترش یافت. . اثبات مورد بسیار دشوارتر n = 4 تنها در سال 1982 توسط فریدمن به دست آمد. از قضیه نوویکوف در مورد تغییر ناپذیری توپولوژیکی طبقات مشخصه پونتریاگین چنین برمی‌آید که منیفولدهای معادل هموتوپی، اما نه هومومورفیک، در ابعاد بالا وجود دارند.

   اثبات حدس اولیه پوانکاره (و حدس عمومی تر ترستون) تنها در سال 2002 توسط گریگوری پرلمن یافت شد. متعاقباً، اثبات پرلمن توسط حداقل سه گروه از دانشمندان تأیید و به شکل گسترده ارائه شد. 1 این اثبات از جریان ریچی با جراحی استفاده می کند و تا حد زیادی از طرحی پیروی می کند که توسط همیلتون ترسیم شده بود، که همچنین اولین کسی بود که از جریان ریچی استفاده کرد.

6. این چه کسی است
7. قضیه پوانکر:
   قضیه پوانکاره در زمینه های برداری
   قضیه پوانکاره بندیکسسون
   قضیه پوانکاره در طبقه بندی همومورفیسم های دایره ای
   حدس پوانکاره در مورد کره هموتوپی
   قضیه بازگشت پوانکاره

   در مورد کدام یک می پرسی؟

8. در تئوری سیستم‌های دینامیکی، قضیه پوانکاره در مورد طبقه‌بندی همومورفیسم‌های دایره، انواع احتمالی دینامیک معکوس‌پذیر را بر روی دایره، بسته به عدد چرخش p(f) نگاشت تکرار شده f توصیف می‌کند. به طور کلی، معلوم می شود که دینامیک تکرارهای نگاشت تا حدی شبیه دینامیک چرخش با زاویه مربوطه است.
   یعنی یک همومورفیسم دایره ای f داده شود. سپس:
   1) عدد چرخش گویا است اگر و فقط اگر f دارای نقاط تناوبی باشد. در این حالت، مخرج عدد چرخش دوره هر نقطه تناوبی است و ترتیب چرخه ای روی دایره نقاط هر مدار تناوبی با نقاط مدار چرخش در p(f) یکسان است. علاوه بر این، هر مسیری هم در زمان رو به جلو و هم در زمان معکوس به دوره‌ای متمایل است (مسیرهای حد a-و-w ممکن است متفاوت باشند).
   2) اگر عدد چرخش f غیر منطقی باشد، دو گزینه ممکن است:
   i) هر کدام f مداری متراکم دارد، در این صورت همومورفیسم f با یک چرخش p(f) مزدوج است. در این مورد، تمام مدارهای f متراکم هستند (زیرا این برای چرخش غیرمنطقی صادق است).
   ii) هر یک از f دارای یک مجموعه ثابت Cantor C است که تنها مجموعه حداقل سیستم است. در این حالت، همه مسیرها هم در زمان رو به جلو و هم در زمان عقب به سمت C تمایل دارند. بعلاوه، نگاشت f با چرخش p(f) نیمه مزدوج است: برای برخی از نقشه برداری h درجه 1، p o f =R p (f) o h

   علاوه بر این، مجموعه C دقیقاً مجموعه نقاط رشد h است؛ به عبارت دیگر، از نقطه نظر توپولوژیکی، h فواصل مکمل C را جمع می کند.

9. اصل ماجرا یک میلیون دلار است
10. این واقعیت که هیچکس او را به جز 1 نفر درک نمی کند
11. در سیاست خارجی فرانسه ...
12. در اینجا Lka بهترین از همه پاسخ داد http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. هانری پوانکاره، ریاضیدان برجسته، پروفسور پاریسی، در زمینه های مختلفی از این علم کار می کرد. او به طور مستقل و مستقل از آثار اینشتین در سال 1905، اصول اصلی نظریه نسبیت خاص را مطرح کرد. و او فرضیه معروف خود را در سال 1904 تنظیم کرد، بنابراین حل آن حدود یک قرن طول کشید.

    پوانکاره یکی از پایه گذاران توپولوژی بود، علم خواص اشکال هندسی که تحت تغییر شکل هایی که بدون شکستگی رخ می دهند تغییر نمی کنند. به عنوان مثال، یک بادکنک را می توان به راحتی به اشکال مختلف تغییر شکل داد، همانطور که برای کودکان در پارک انجام می دهند. اما برای اینکه آن را به شکل یک دونات (یا به زبان هندسی، یک چنبره) بچرخانید، باید توپ را برش دهید؛ راه دیگری وجود ندارد. و برعکس: یک دونات لاستیکی بردارید و سعی کنید آن را به یک کره تبدیل کنید. با این حال، هنوز هم کار نخواهد کرد. با توجه به خواص توپولوژیکی آنها، سطوح یک کره و یک چنبره ناسازگار یا غیر همومورف هستند. اما هر سطح بدون سوراخ (سطوح بسته)، برعکس، همومورف است و قابلیت تغییر شکل و تبدیل شدن به یک کره را دارد.

    اگر همه چیز در مورد سطوح دو بعدی کره و چنبره در قرن نوزدهم تصمیم گیری می شد، برای موارد چند بعدی بیشتر زمان بیشتری می برد. این، در واقع، جوهر حدس پوانکاره است که الگو را به موارد چند بعدی گسترش می دهد. حدس پوانکاره با کمی ساده‌تر کردن، بیان می‌کند: هر چند منیفولد n بعدی بسته که به سادگی متصل است، به یک کره n بعدی همومورف است. خنده دار است که گزینه با سطوح سه بعدی دشوارترین است. در سال 1960، این فرضیه برای ابعاد 5 و بالاتر، در سال 1981 برای n=4 اثبات شد. سنگ مانع دقیقاً سه بعدی بود.

    گریگوری پرلمن با توسعه ایده های ویلیام ترستن و ریچارد همیلتون که در دهه 1980 توسط آنها ارائه شد، معادله خاصی از تکامل صاف را برای سطوح سه بعدی به کار برد. و او توانست نشان دهد که سطح سه بعدی اصلی (اگر هیچ ناپیوستگی در آن وجود نداشته باشد) لزوماً به یک کره سه بعدی تبدیل می شود (این سطح یک توپ چهار بعدی است و به صورت 4 بعدی وجود دارد. فضا). به گفته تعدادی از کارشناسان، این ایده نسل جدیدی بود که راه حل آن افق های جدیدی را برای علوم ریاضی باز می کند.

    جالب است که خود پرلمن بنا به دلایلی به خود زحمت نداد تا تصمیم خود را به درخشش نهایی برساند. پس از تشریح راه حل به عنوان یک کل در پیش چاپ فرمول آنتروپی برای جریان ریچی و کاربردهای هندسی آن در نوامبر 2002، او در مارس 2003 این اثبات را تکمیل کرد و آن را در جریان پیش چاپ ریچی با جراحی روی سه منیفولد ارائه کرد و همچنین گزارش داد. در مورد روش در سلسله سخنرانی ها که در سال 2003 به دعوت تعدادی از دانشگاه ها ارائه شد. هیچ یک از داوران نتوانستند خطاهایی را در نسخه پیشنهادی خود بیابند، اما پرلمن انتشاری را در یک نشریه علمی با داوری همتا منتشر نکرد (که به ویژه شرط لازم برای دریافت جایزه موسسه ریاضی Clay بود). اما در سال 2006، بر اساس روش او، مجموعه ای کامل از اثبات ها منتشر شد که در آن ریاضی دانان آمریکایی و چینی مسئله را به طور دقیق و کامل بررسی کردند، نکات حذف شده توسط پرلمن را تکمیل کردند و برهان نهایی حدس پوانکاره را ارائه کردند.

14. حدس تعمیم یافته پوانکاره بیان می کند که:
    برای هر n، هر منیفولد بعد n هموتوپی با کره ای از بعد n است اگر و فقط اگر با آن همومورف باشد.
    حدس اولیه پوانکاره یک مورد خاص از حدس تعمیم یافته برای n = 3 است.
    برای روشن شدن، برای چیدن قارچ به جنگل بروید، گریگوری پرلمن به آنجا می رود)
15. قضیه بازگشت پوانکاره یکی از قضایای اساسی نظریه ارگودیک است. ماهیت آن این است که با یک نقشه برداری از فضا بر روی خودش، تقریباً هر نقطه به همسایگی اولیه خود باز خواهد گشت. فرمول کامل قضیه به شرح زیر است: 1:
    اجازه دهید تبدیلی برای حفظ اندازه گیری از یک فضا با اندازه محدود باشد و اجازه دهید مجموعه ای قابل اندازه گیری باشد. سپس برای هر طبیعی
    .
    این قضیه یک نتیجه غیرمنتظره دارد: معلوم می شود که اگر در ظرفی که توسط یک پارتیشن به دو محفظه تقسیم می شود، یکی از آنها پر از گاز و دیگری خالی است، پارتیشن برداشته می شود، پس از مدتی تمام مولکول های گاز از بین می روند. دوباره در قسمت اصلی ظرف جمع شوید. راه حل این پارادوکس این است که مدتی در حدود میلیاردها سال است.
16. او قضایایی مانند سگ سلاخی شده در کره دارد...

    جهان کروی است ... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincaré, _Henri

    دیروز دانشمندان اعلام کردند که جهان یک ماده منجمد است ... و برای اثبات این موضوع پول زیادی خواستند ... دوباره مریکوها ماشین چاپ را روشن می کنند ... برای سرگرمی تخم مرغ ...

17. سعی کنید ثابت کنید که کجا در گرانش صفر بالا و پایین است.
18. دیروز یک فیلم فوق العاده در مورد CULTURE وجود داشت که در آن این مشکل به طور مفصل توضیح داده شد. شاید هنوز دارند؟

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР SR R РРРРР ССРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    وارد Yandex شوید و Film about Perelman را بنویسید و به فیلم بروید

گریگوری پرلمن. refnik

واسیلی ماکسیموف

در آگوست 2006، اسامی بهترین ریاضیدانان این سیاره اعلام شد که مدال معتبر فیلدز را دریافت کردند - نوعی شبیه به جایزه نوبل، که ریاضیدانان، به هوس آلفرد نوبل، از آن محروم شدند. مدال فیلدز - علاوه بر نشان افتخار، به برندگان یک چک به مبلغ پانزده هزار دلار کانادا اعطا می شود - توسط کنگره بین المللی ریاضیدانان هر چهار سال یکبار اهدا می شود. این توسط دانشمند کانادایی جان چارلز فیلدز تأسیس شد و اولین بار در سال 1936 اعطا شد. از سال 1950، مدال فیلدز به طور مرتب توسط پادشاه اسپانیا به دلیل مشارکت او در توسعه علوم ریاضی اعطا می شود. برندگان جایزه می توانند از یک تا چهار دانشمند زیر چهل سال باشند. چهل و چهار ریاضی دان، از جمله هشت روسی، قبلا این جایزه را دریافت کرده اند.

گریگوری پرلمن. هانری پوانکاره

در سال 2006، وندلین ورنر فرانسوی، ترنس تائو استرالیایی و دو روس - آندری اوکونکوف شاغل در ایالات متحده و گریگوری پرلمن، دانشمند سن پترزبورگ، برندگان این جایزه بودند. با این حال، در آخرین لحظه مشخص شد که پرلمن از این جایزه معتبر خودداری کرد - همانطور که برگزار کنندگان اعلام کردند "به دلایل اصولی".

چنین اقدام گزافی از سوی ریاضیدان روسی برای افرادی که او را می شناختند تعجب آور نبود. این اولین بار نیست که او جوایز ریاضی را رد می کند و تصمیم خود را با این توضیح می دهد که رویدادهای تشریفاتی و هیاهوهای غیرضروری پیرامون نام خود را دوست ندارد. ده سال پیش، در سال 1996، پرلمن جایزه کنگره ریاضی اروپا را رد کرد و دلیل آن این بود که کار روی مسئله علمی نامزد شده برای این جایزه را کامل نکرده بود و این آخرین مورد نبود. به نظر می رسید این ریاضیدان روسی هدف زندگی خود را غافلگیر کردن مردم، مخالفت با افکار عمومی و جامعه علمی قرار داده است.

گریگوری یاکولوویچ پرلمن در 13 ژوئن 1966 در لنینگراد به دنیا آمد. او از سنین جوانی به علوم دقیق علاقه داشت، به طرز درخشانی از دبیرستان معروف 239 با مطالعه عمیق ریاضیات فارغ التحصیل شد، المپیادهای ریاضی متعددی برنده شد: به عنوان مثال، در سال 1982، به عنوان بخشی از تیمی از دانش آموزان شوروی، شرکت کرد. در المپیاد بین المللی ریاضی که در بوداپست برگزار شد. پرلمن بدون امتحان در دانشکده مکانیک و ریاضیات دانشگاه لنینگراد ثبت نام کرد و در آنجا با نمرات عالی تحصیل کرد و به برنده شدن در مسابقات ریاضی در تمام سطوح ادامه داد. پس از فارغ التحصیلی از دانشگاه با ممتاز، او وارد مقطع کارشناسی ارشد در شعبه سنت پترزبورگ از موسسه ریاضی Steklov شد. ناظر علمی او ریاضیدان معروف آکادمیسین الکساندروف بود. گریگوری پرلمن پس از دفاع از پایان نامه دکترای خود، در این موسسه، در آزمایشگاه هندسه و توپولوژی باقی ماند. کار او در مورد نظریه فضاهای الکساندروف شناخته شده است؛ او توانست شواهدی برای تعدادی حدس مهم بیابد. با وجود پیشنهادات متعدد از سوی دانشگاه های برجسته غربی، پرلمن ترجیح می دهد در روسیه کار کند.

برجسته ترین موفقیت او راه حل حدس معروف پوانکاره در سال 2002 بود که در سال 1904 منتشر شد و از آن زمان تاکنون ثابت نشده است. پرلمن هشت سال روی آن کار کرد. حدس پوانکاره یکی از بزرگترین اسرار ریاضی تلقی می شد و حل آن مهمترین دستاورد در علوم ریاضی تلقی می شد: این حدس فوراً باعث پیشرفت تحقیقات در مورد مسائل پایه های فیزیکی و ریاضی جهان می شد. برجسته ترین ذهن های روی کره زمین راه حل آن را تنها در چند دهه پیش بینی کردند و مؤسسه ریاضیات Clay در کمبریج، ماساچوست، مسئله پوانکاره را در میان هفت مسئله جالب ریاضی حل نشده هزاره گنجاند که برای حل هر یک از آنها. جایزه یک میلیون دلاری وعده داده شد (مشکلات جایزه هزاره).

حدس (گاهی اوقات مشکل نامیده می شود) ریاضیدان فرانسوی هنری پوانکاره (1854-1912) به صورت زیر فرموله شده است: هر فضای سه بعدی بسته به سادگی به یک کره سه بعدی همومورف است. برای روشن شدن، از یک مثال واضح استفاده کنید: اگر یک سیب را با یک نوار لاستیکی بپیچید، در اصل، با سفت کردن نوار، می توانید سیب را به یک نقطه فشرده کنید. اگر یک دونات را با همان نوار بپیچید، نمی توانید آن را تا جایی فشرده کنید بدون اینکه دونات یا لاستیک پاره شود. در این زمینه، یک سیب یک شکل "به سادگی متصل" نامیده می شود، اما یک دونات به سادگی متصل نیست. تقریبا صد سال پیش، پوانکاره ثابت کرد که یک کره دو بعدی به سادگی به هم متصل است، و پیشنهاد کرد که یک کره سه بعدی نیز به سادگی متصل است. بهترین ریاضیدانان جهان نتوانستند این فرضیه را ثابت کنند.

برای واجد شرایط شدن برای جایزه موسسه Clay، پرلمن تنها باید راه حل خود را در یکی از مجلات علمی منتشر می کرد و اگر ظرف دو سال هیچ کس نتواند خطایی در محاسبات او پیدا کند، آنگاه راه حل صحیح تلقی می شد. با این حال، پرلمن از همان ابتدا از قوانین منحرف شد و تصمیم خود را در وب سایت پیش چاپ آزمایشگاه علمی لوس آلاموس منتشر کرد. شاید می ترسید که اشتباهی در محاسباتش رخنه کرده باشد - داستان مشابهی قبلاً در ریاضیات اتفاق افتاده بود. در سال 1994، اندرو وایلز، ریاضیدان انگلیسی، راه‌حلی برای قضیه معروف فرما پیشنهاد کرد و چند ماه بعد مشخص شد که اشتباهی در محاسبات او رخنه کرده است (اگرچه بعداً تصحیح شد و این احساس همچنان وجود داشت). هنوز هیچ انتشار رسمی از اثبات حدس پوانکاره وجود ندارد، اما نظر معتبری از بهترین ریاضیدانان روی این سیاره وجود دارد که صحت محاسبات پرلمن را تأیید می کند.

مدال فیلدز دقیقا به خاطر حل مشکل پوانکاره به گریگوری پرلمن اعطا شد. اما دانشمند روسی این جایزه را که بدون شک سزاوار آن است، رد کرد. جان بال انگلیسی، رئیس اتحادیه جهانی ریاضیدانان (WUM) در یک کنفرانس مطبوعاتی گفت: "گرگوری به من گفت که احساس می کند از جامعه بین المللی ریاضی خارج از این جامعه جدا شده است و بنابراین نمی خواهد جایزه را دریافت کند." مادرید.

شایعاتی وجود دارد مبنی بر اینکه گریگوری پرلمن به طور کلی علم را ترک می کند: شش ماه پیش او از موسسه ریاضی زادگاه خود استکلوف استعفا داد و آنها می گویند که او دیگر ریاضیات نخواهد خواند. شاید دانشمند روسی معتقد است که با اثبات فرضیه معروف، هر کاری که توانسته برای علم انجام داده است. اما چه کسی در مورد رشته فکری چنین دانشمند باهوش و شخص خارق العاده ای بحث خواهد کرد؟ پرلمن از هرگونه اظهار نظری خودداری کرد و به روزنامه دیلی تلگراف گفت: "هیچ یک از آنچه می توانم بگویم کوچکترین منافع عمومی را ندارد." با این حال، نشریات علمی پیشرو در ارزیابی خود به اتفاق آرا گزارش دادند که «گریگوری پرلمن، با حل قضیه پوانکاره، در همتراز با بزرگترین نوابغ گذشته و حال ایستاده است».

ماهنامه و نشریه ادبی و روزنامه نگاری.

دانشمندان بر این باورند که گریگوری پرلمن، ریاضیدان 38 ساله روسی، راه حل صحیحی برای مسئله پوانکاره ارائه کرده است. کیت دولین، استاد ریاضیات در دانشگاه استنفورد، این را در جشنواره علمی در اکستر (بریتانیا) گفت.

مسئله (که به آن مسئله یا فرضیه نیز می گویند) پوانکاره یکی از هفت مسئله مهم ریاضی است که برای حل هر یک از آنها یک میلیون دلار جایزه اعطا کرد. این همان چیزی است که توجه گسترده ای را به نتایج به دست آمده توسط گریگوری پرلمن، کارمند آزمایشگاه فیزیک ریاضی جلب کرد.

دانشمندان در سراسر جهان در مورد دستاوردهای پرلمن از دو پیش چاپ (مقالات قبل از یک انتشار علمی کامل)، که توسط نویسنده در نوامبر 2002 و مارس 2003 در وب سایت آرشیو کارهای اولیه آزمایشگاه علمی لس آلاموس ارسال شد، مطلع شدند.

طبق قوانین اتخاذ شده توسط هیئت مشاوره علمی موسسه Clay، یک فرضیه جدید باید در یک مجله تخصصی "شهرت بین المللی" منتشر شود. علاوه بر این، طبق قوانین مؤسسه، تصمیم برای پرداخت جایزه در نهایت توسط «جامعه ریاضی» گرفته می‌شود: این مدرک نباید ظرف دو سال پس از انتشار رد شود. هر مدرکی توسط ریاضیدانان کشورهای مختلف جهان بررسی می شود.

مشکل پوانکاره

در 13 ژوئن 1966 در لنینگراد در خانواده ای کارمند متولد شد. او از دبیرستان معروف شماره 239 با مطالعه عمیق ریاضی فارغ التحصیل شد. در سال 1982، به عنوان بخشی از تیمی از دانش آموزان شوروی، در المپیاد بین المللی ریاضی که در بوداپست برگزار شد، شرکت کرد. او بدون آزمون در رشته ریاضیات و مکانیک در دانشگاه دولتی لنینگراد ثبت نام کرد. او برنده المپیادهای ریاضی دانش‌آموزی، شهری و سراسری شد. بورسیه لنین دریافت کرد. پرلمن پس از فارغ التحصیلی از دانشگاه، وارد مقطع کارشناسی ارشد در شعبه سنت پترزبورگ در موسسه ریاضی استکلوف شد. کاندیدای علوم فیزیک و ریاضی. در آزمایشگاه فیزیک ریاضی کار می کند.

مشکل پوانکاره مربوط به حوزه به اصطلاح توپولوژی منیفولدها است - فضاهایی که به روش خاصی چیده شده اند که ابعاد مختلفی دارند. منیفولدهای دو بعدی را می توان به عنوان مثال با استفاده از مثال سطح اجسام سه بعدی - یک کره (سطح یک توپ) یا یک چنبره (سطح یک دونات) تجسم کرد.

به راحتی می توان تصور کرد که در صورت تغییر شکل (خم شدن، پیچاندن، کشیده شدن، فشرده شدن، گیرکردن، تخلیه یا باد کردن) بالن چه اتفاقی برای آن می افتد. واضح است که با تمام تغییر شکل های فوق، توپ در محدوده وسیعی شکل خود را تغییر می دهد. با این حال، هرگز نمی‌توانیم یک توپ را بدون شکستن پیوستگی سطح آن، یعنی بدون پاره کردن آن، به دونات تبدیل کنیم (یا برعکس). در این مورد، توپولوژیست ها می گویند که کره (توپ) غیر همومورف با چنبره (دونات) است. این بدان معناست که این سطوح را نمی توان با یکدیگر نگاشت کرد. به عبارت ساده، یک کره و یک چنبره از نظر خواص توپولوژیکی متفاوت هستند. و سطح یک بالن، تحت تمام تغییر شکل های احتمالی آن، به یک کره همومورف است، همانطور که سطح یک شناور نجات به یک چنبره است. به عبارت دیگر، هر سطح دو بعدی بسته ای که سوراخ های عبوری نداشته باشد، همان خواص توپولوژیکی یک کره دو بعدی را دارد.

TOPOLOGY، شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه خواص شکل ها (یا فضاهایی) می پردازد که تحت تغییر شکل های مداوم، مانند کشش، فشرده سازی یا خمش حفظ می شوند. تغییر شکل پیوسته تغییر شکل یک شکل است که در آن هیچ شکستگی (یعنی نقض یکپارچگی شکل) یا چسبندگی (یعنی شناسایی نقاط آن) وجود ندارد.
تبدیل توپولوژیکی یک شکل هندسی به شکل دیگر، نگاشت یک نقطه دلخواه P از شکل اول به نقطه P' یک شکل دیگر است که شرایط زیر را برآورده می کند: 1) هر نقطه P از شکل اول باید با یک و تنها یک مطابقت داشته باشد. نقطه P از شکل دوم و بالعکس. 2) نقشه برداری باید متقابلاً پیوسته باشد. به عنوان مثال، دو نقطه P و N متعلق به یک شکل وجود دارد. اگر وقتی نقطه P به نقطه N حرکت می کند، فاصله بین آنها به صفر می رسد، فاصله بین نقاط P' و N' یک شکل دیگر نیز باید به سمت صفر متمایل شود و بالعکس.
هومئومورفیسم. اشکال هندسی که در طی تبدیل توپولوژیکی به یکدیگر تبدیل می شوند، هومومورفیک نامیده می شوند. دایره و مرز یک مربع همومورف هستند، زیرا می توانند با یک تبدیل توپولوژیکی به یکدیگر تبدیل شوند (یعنی خم شدن و کشش بدون شکستن یا چسباندن، به عنوان مثال، کشش مرز مربع به دایره ای که در اطراف آن قرار دارد) . ناحیه‌ای که در آن هر منحنی ساده بسته (یعنی همومورف به یک دایره) می‌تواند به نقطه‌ای منقبض شود در حالی که همیشه در این ناحیه باقی بماند، به سادگی متصل نامیده می‌شود، و ویژگی مربوط به ناحیه به سادگی متصل است. اگر مقداری از منحنی ساده بسته این ناحیه را نتوان به یک نقطه منقبض کرد و همیشه در این ناحیه باقی ماند، آن ناحیه را multiplyconnected و خاصیت مربوط به منطقه را multiply connection می نامند.

مسئله پوانکاره همین موضوع را برای منیفولدهای سه بعدی بیان می کند (برای منیفولدهای دو بعدی، مانند کره، این نکته در قرن نوزدهم ثابت شد). همانطور که این ریاضیدان فرانسوی خاطرنشان کرد، یکی از مهم ترین ویژگی های یک کره دو بعدی این است که هر حلقه بسته (مثلاً یک کمند) که روی آن قرار دارد می تواند بدون خروج از سطح به یک نقطه کشیده شود. برای یک چنبره، این همیشه درست نیست: حلقه ای که از سوراخ آن می گذرد به نقطه ای کشیده می شود یا وقتی چنبره شکسته شود یا زمانی که خود حلقه شکسته شود. در سال 1904 پوانکاره پیشنهاد کرد که اگر یک حلقه بتواند به نقطه ای روی یک سطح سه بعدی بسته منقبض شود، آنگاه چنین سطحی نسبت به یک کره سه بعدی همومورف است. اثبات این فرضیه کار بسیار دشواری بود.

بیایید بلافاصله توضیح دهیم: فرمول مسئله پوانکاره که ذکر کردیم اصلاً در مورد یک توپ سه بعدی صحبت نمی کند که می توانیم بدون مشکل زیاد آن را تصور کنیم، بلکه در مورد یک کره سه بعدی است، یعنی در مورد سطح یک چهار بعدی. توپ بعدی که تصور آن بسیار دشوارتر است. اما در اواخر دهه 1950، ناگهان مشخص شد که کار با منیفولدهای با ابعاد بالا بسیار آسان تر از منیفولدهای سه و چهار بعدی است. بدیهی است که فقدان وضوح با مشکل اصلی که ریاضیدانان در تحقیقات خود با آن روبرو هستند فاصله زیادی دارد.

مشکلی مشابه پوانکاره برای ابعاد 5 و بالاتر در سال 1960 توسط استفان اسمیل، جان استالینگز و اندرو والاس حل شد. با این حال، رویکردهای مورد استفاده این دانشمندان برای منیفولدهای چهار بعدی غیرقابل اجرا بود. برای آنها، مشکل پوانکاره تنها در سال 1981 توسط مایکل فریدمن ثابت شد. مورد سه بعدی دشوارترین است. گریگوری پرلمن راه حل خود را پیشنهاد می کند.

لازم به ذکر است که پرلمن یک رقیب دارد. در آوریل 2002، مارتین دانوودی، استاد ریاضیات در دانشگاه بریتانیایی ساوتهمپتون، روش خود را برای حل مسئله پوانکره پیشنهاد کرد و اکنون در انتظار حکم موسسه Clay است.

کارشناسان بر این باورند که حل مسئله پوانکاره امکان برداشتن گامی جدی در توصیف ریاضی فرآیندهای فیزیکی در اجسام پیچیده سه بعدی را فراهم می کند و انگیزه جدیدی به توسعه توپولوژی کامپیوتر خواهد داد. روش پیشنهادی گریگوری پرلمن منجر به گشودن مسیر جدیدی در هندسه و توپولوژی خواهد شد. ریاضیدان سن پترزبورگ ممکن است واجد شرایط دریافت جایزه فیلدز باشد (مشابه جایزه نوبل که در ریاضیات اعطا نمی شود).

در این میان برخی رفتار گریگوری پرلمن را عجیب می دانند. در اینجا روزنامه بریتانیایی گاردین می نویسد: "به احتمال زیاد، رویکرد پرلمن برای حل مشکل پوانکاره درست است. اما همه چیز به این سادگی نیست. پرلمن مدرکی ارائه نمی دهد که کار به عنوان یک نشریه علمی کامل منتشر شده است (پیش چاپ ها و اگر کسی بخواهد از مؤسسه Clay جایزه بگیرد، لازم است.

ظاهراً برای گریگوری پرلمن، همانطور که برای یک دانشمند واقعی، پول چیز اصلی نیست. برای حل هر یک از به اصطلاح "مسائل هزاره"، یک ریاضیدان واقعی روح خود را به شیطان می فروشد.

فهرست هزاره

در 8 آگوست 1900، در کنگره بین المللی ریاضیات در پاریس، ریاضیدان دیوید هیلبرت فهرستی از مسائلی را که معتقد بود باید در قرن بیستم حل شوند، ارائه کرد. 23 مورد در لیست وجود داشت. بیست و یک مورد از آنها تاکنون حل شده است. آخرین مشکلی که در فهرست هیلبرت حل شد قضیه معروف فرما بود که دانشمندان به مدت 358 سال قادر به حل آن نبودند. در سال 1994، اندرو وایلز بریتانیایی راه حل خود را پیشنهاد کرد. معلوم شد که درست است.

به تبعیت از گیلبرت، در پایان قرن گذشته، بسیاری از ریاضیدانان تلاش کردند تا وظایف استراتژیک مشابهی را برای قرن بیست و یکم تدوین کنند. یکی از این لیست ها به لطف میلیاردر بوستون لندون تی کلی شناخته شد. در سال 1998، با سرمایه او، جوایزی در کمبریج (ماساچوست، ایالات متحده آمریکا) برای حل تعدادی از مهمترین مسائل ریاضیات مدرن تأسیس و تأسیس شد. در 24 مه 2000، کارشناسان موسسه هفت مشکل را انتخاب کردند - با توجه به تعداد میلیون ها دلار اختصاص داده شده برای جایزه. این لیست مشکلات جایزه هزاره نام دارد:

1. مشکل کوک (در سال 1971 فرمول بندی شد)

فرض کنید که شما که در یک شرکت بزرگ هستید، می خواهید مطمئن شوید که دوستتان نیز آنجاست. اگر به شما بگویند که او در گوشه ای نشسته است، یک کسری از ثانیه کافی است تا نگاهی بیندازید و از صحت اطلاعات متقاعد شوید. بدون این اطلاعات، مجبور خواهید شد در کل اتاق قدم بزنید و به مهمانان نگاه کنید. این نشان می دهد که حل یک مشکل اغلب بیشتر از بررسی درستی راه حل طول می کشد.

استفان کوک این مسئله را فرموله کرد: آیا بررسی درستی راه حل یک مسئله، صرف نظر از الگوریتم تأیید، بیشتر از به دست آوردن خود راه حل طول می کشد. این مشکل نیز یکی از مشکلات حل نشده در حوزه منطق و علوم کامپیوتر است. راه حل آن می تواند مبانی رمزنگاری مورد استفاده در انتقال و ذخیره سازی داده ها را متحول کند.

2. فرضیه ریمان (تدوین شده در 1859)

برخی از اعداد صحیح را نمی توان به صورت حاصل ضرب دو عدد صحیح کوچکتر مانند 2، 3، 5، 7 و غیره بیان کرد. چنین اعدادی را اعداد اول می نامند و نقش مهمی در ریاضیات محض و کاربردهای آن دارند. توزیع اعداد اول در میان سری تمام اعداد طبیعی از هیچ الگوی پیروی نمی کند. با این حال، ریمان ریاضیدان آلمانی در مورد خواص دنباله ای از اعداد اول حدس زد. اگر فرضیه ریمان ثابت شود، منجر به تغییر انقلابی در دانش ما درباره رمزگذاری و پیشرفت بی‌سابقه‌ای در امنیت اینترنت خواهد شد.

3. فرضیه برچ و سوینرتون-دایر (تدوین شده در سال 1960)

همراه با توصیف مجموعه راه حل های برخی معادلات جبری در چندین متغیر با ضرایب صحیح. مثالی از چنین معادله ای عبارت x 2 + y 2 = z 2 است. اقلیدس توضیح کاملی از راه حل های این معادله ارائه کرد، اما برای معادلات پیچیده تر، یافتن راه حل بسیار دشوار می شود.

4. فرضیه هاج (تدوین شده در 1941)

در قرن بیستم، ریاضیدانان روشی قدرتمند برای مطالعه شکل اجسام پیچیده کشف کردند. ایده اصلی استفاده از "آجر" ساده به جای خود شی است که به هم چسبیده و شبیه آن را تشکیل می دهند. فرضیه هاج با برخی مفروضات در رابطه با خواص این گونه "بلوک های ساختمانی" و اشیاء همراه است.

5. معادلات ناویر - استوکس (تدوین شده در سال 1822)

اگر با قایق روی دریاچه حرکت کنید، امواج به وجود می‌آیند و اگر با هواپیما پرواز کنید، جریان‌های متلاطم در هوا به وجود می‌آیند. فرض بر این است که این پدیده‌ها و سایر پدیده‌ها با معادلات معروف به معادلات ناویر-استوکس توصیف می‌شوند. راه حل های این معادلات ناشناخته هستند و حتی نحوه حل آنها نیز معلوم نیست. لازم است نشان داده شود که یک راه حل وجود دارد و یک تابع به اندازه کافی صاف است. حل این مشکل به طور قابل توجهی روش های انجام محاسبات هیدرودینامیکی و آیرودینامیکی را تغییر می دهد.

6. مسئله پوانکاره (تدوین شده در 1904)

اگر نوار لاستیکی را روی سیب بکشید، می توانید با حرکت آهسته نوار بدون بلند کردن آن از سطح، آن را تا یک نقطه فشرده کنید. از طرف دیگر، اگر همان نوار لاستیکی به درستی در اطراف دونات کشیده شود، هیچ راهی برای فشرده کردن باند بدون پاره شدن نوار یا شکستن دونات وجود ندارد. آنها می گویند که سطح یک سیب به سادگی به هم متصل است، اما سطح یک دونات اینطور نیست. معلوم شد که اثبات اینکه فقط کره به سادگی به هم متصل است آنقدر دشوار است که ریاضیدانان هنوز به دنبال پاسخ صحیح هستند.

7. معادلات یانگ میلز (در سال 1954 فرموله شد)

معادلات فیزیک کوانتومی جهان ذرات بنیادی را توصیف می کند. فیزیکدانان یانگ و میلز، با کشف ارتباط بین هندسه و فیزیک ذرات، معادلات خود را نوشتند. بنابراین، آنها راهی برای یکسان سازی تئوری های برهمکنش های الکترومغناطیسی، ضعیف و قوی پیدا کردند. معادلات یانگ میلز دلالت بر وجود ذراتی داشت که در آزمایشگاه‌های سراسر جهان مشاهده می‌شدند، بنابراین نظریه یانگ میلز توسط اکثر فیزیکدانان پذیرفته شده است، علیرغم اینکه در چارچوب این نظریه هنوز امکان پیش‌بینی وجود ندارد. توده های ذرات بنیادی

میخائیل ویتبسکی

"مشکلی که حل شد پرلمن،شرط لازم برای اثبات فرضیه ای است که در سال 1904 توسط ریاضیدان بزرگ فرانسوی مطرح شد هانری پوانکاره(1854-1912) و با نام او. در مورد نقش پوانکاره در ریاضیات نمی توان بهتر از آنچه در دایره المعارف بیان شده است گفت: «آثار پوانکاره در زمینه ریاضیات از یک سو مسیر کلاسیک را تکمیل می کند و از سوی دیگر راه را برای توسعه باز می کند. از ریاضیات جدید، که در آن، همراه با روابط کمی، حقایقی که ویژگی کیفی دارند، ایجاد می‌شوند» (TSB، ویرایش سوم، جلد 2). حدس پوانکاره دقیقاً ماهیت کیفی دارد - مانند کل حوزه ریاضیات (یعنی توپولوژی) که به آن مربوط می شود و پوانکاره در ایجاد آن نقش تعیین کننده ای داشته است.

در زبان مدرن، حدس پوانکاره به این صورت است: هر منیفولد سه بعدی فشرده و بدون مرزی که به سادگی متصل می شود، به یک کره سه بعدی همومورف است.

در پاراگراف های بعدی سعی خواهیم کرد حداقل به طور جزئی و بسیار تقریبی معنای این فرمول کلامی وحشتناک را توضیح دهیم. برای شروع، توجه می کنیم که یک کره معمولی، که سطح یک توپ معمولی است، دو بعدی است (و خود توپ نیز سه بعدی است). یک کره دوبعدی شامل تمام نقاط فضای سه بعدی است که از نقطه ای انتخاب شده به نام مرکز که به کره تعلق ندارد به یک اندازه فاصله دارند. یک کره سه بعدی شامل تمام نقاط فضای چهار بعدی است که از مرکز آن (که به کره تعلق ندارد) فاصله دارند. بر خلاف کره های دو بعدی، کره های سه بعدی در دسترس نیستمشاهده مستقیم ما، و تصور آنها برای ما به همان اندازه دشوار است که برای واسیلی ایوانوویچ تصور مثلث مربع از جوک معروف. اما ممکن است که همه ما در کره سه بعدی باشیم، یعنی جهان ما یک کره سه بعدی باشد.

این معنای نتیجه است پرلمنبرای فیزیک و نجوم اصطلاح "منیفولد سه بعدی فشرده بدون لبه به سادگی متصل" حاوی نشانه هایی از ویژگی های فرضی جهان ما است. اصطلاح "هومومورفیک" به معنای درجه بالایی از شباهت، به معنای خاص، غیر قابل تشخیص است. بنابراین، این فرمول به عنوان یک کل به این معنی است که اگر جهان ما تمام خصوصیات یک منیفولد سه بعدی فشرده به سادگی متصل بدون لبه را داشته باشد، آنگاه - به همان "معنای شناخته شده" - یک کره سه بعدی است.

مفهوم اتصال ساده مفهومی نسبتاً ساده است. بیایید یک نوار لاستیکی (یعنی یک نخ لاستیکی با انتهای چسب) آنقدر الاستیک تصور کنیم که اگر آن را نگه ندارید تا یک نقطه جمع شود. ما همچنین از نوار الاستیک خود می خواهیم که وقتی به نقطه ای کشیده می شود، از سطحی که روی آن قرار داده ایم فراتر نرود. اگر چنین نوار الاستیکی را روی هواپیما بکشیم و رها کنیم، بلافاصله تا یک نقطه منقبض می شود. اگر یک نوار الاستیک را روی سطح یک کره، یعنی روی یک کره قرار دهیم، همین اتفاق می افتد. برای سطح یک شناور نجات، وضعیت کاملاً متفاوت خواهد بود: خواننده مهربان به راحتی چنین ترتیباتی از الاستیک را روی این سطح پیدا می کند که در آن کشیدن الاستیک به نقطه ای بدون فراتر رفتن از سطح مورد نظر غیرممکن است. یک شکل هندسی به سادگی متصل نامیده می شود اگر هر یک از خطوط بسته واقع در محدوده این شکل را بتوان به یک نقطه منقبض کرد بدون اینکه از حدود نامگذاری شده خارج شود. ما به تازگی دیدیم که صفحه و کره به سادگی به هم متصل هستند، اما سطح شناور نجات به سادگی به هم متصل نیست. هواپیمای با سوراخ بریده شده در آن نیز به سادگی متصل نیست. مفهوم اتصال ساده در مورد فیگورهای سه بعدی نیز صدق می کند. بنابراین، یک مکعب و یک توپ به سادگی به هم متصل می شوند: هر کانتور بسته ای که در ضخامت آنها قرار دارد می تواند به یک نقطه منقبض شود و در طول فرآیند انقباض، کانتور همیشه در این ضخامت باقی می ماند. اما نان شیرینی به سادگی متصل نیست: در آن می توانید یک کانتور پیدا کنید که نمی تواند به نقطه ای منقبض شود به طوری که در طول فرآیند انقباض کانتور همیشه در خمیر شیرینی قرار دارد. چوب شور هم تک متصل نیست. می توان ثابت کرد که کره سه بعدی به سادگی متصل است.

امیدواریم خواننده تفاوت بین یک بخش و یک بازه را که در مدرسه تدریس می شود فراموش نکرده باشد. یک قطعه دارای دو انتها است که شامل این انتهای و تمام نقاطی است که بین آنها قرار دارد. یک بازه فقط شامل تمام نقاطی است که بین انتهای آن قرار دارند، خود انتهای آن در بازه گنجانده نمی شود: می توان گفت که یک بازه، قسمتی است که انتهای آن از آن جدا شده است، و یک قطعه، فاصله ای است که انتهای آن اضافه شده است. آی تی. بازه و پاره ساده‌ترین نمونه‌های منیفولدهای یک‌بعدی هستند که در آن بازه یک منیفولد بدون لبه و یک قطعه یک منیفولد با یک یال است. یک یال در مورد یک قطعه از دو انتها تشکیل شده است. خاصیت اصلی منیفولدها، که زیربنای تعریف آنهاست، این است که در منیفولد، همسایگی همه نقاط، به استثنای نقاط لبه (که ممکن است وجود نداشته باشند)، دقیقاً به یک شکل مرتب شده اند.

در این حالت، همسایگی یک نقطه A مجموعه ای از تمام نقاط واقع در نزدیکی این نقطه A است. موجودی میکروسکوپی که در یک منیفولد بدون لبه زندگی می کند و قادر به دیدن تنها نزدیک ترین نقاط این منیفولد به خود نیست، قادر به دیدن نیست. تعیین کنید که در کدام نقطه است، بودن، است: در اطراف خود همیشه یک چیز را می بیند. نمونه های بیشتری از منیفولدهای یک بعدی بدون لبه: کل خط مستقیم، یک دایره. نمونه ای از یک شکل یک بعدی که منیفولد نیست یک خط به شکل حرف T است: یک نقطه خاص وجود دارد که همسایگی آن شبیه همسایگی نقاط دیگر نیست - این نقطه ای است که سه بخش ها ملاقات می کنند مثال دیگری از منیفولد یک بعدی، خط هشت شکل است. چهار خط در یک نقطه خاص در اینجا همگرا می شوند. یک صفحه، یک کره و سطح یک شناور نجات نمونه هایی از منیفولدهای دو بعدی بدون لبه هستند. هواپیمای با سوراخ بریده شده در آن نیز منیفولد خواهد بود - اما با یا بدون لبه، بستگی به این دارد که طرح کلی سوراخ را کجا قرار دهیم. اگر آن را به یک سوراخ ارجاع دهیم، منیفولد بدون لبه به دست می آید. اگر کانتور را روی هواپیما رها کنیم، یک منیفولد با لبه به دست می‌آوریم، که این کانتور همان چیزی است که عمل می‌کند. البته، ما در اینجا یک برش ریاضی ایده آل را در نظر داشتیم و در برش فیزیکی واقعی با قیچی، این سوال که کانتور به کجا تعلق دارد، معنی ندارد.

چند کلمه در مورد منیفولدهای سه بعدی. کره، همراه با کره ای که به عنوان سطح آن عمل می کند، یک منیفولد با لبه است. کره نشان داده شده دقیقا این لبه است. اگر این توپ را از فضای اطراف خارج کنیم، منیفولد بدون لبه به دست می آید. اگر سطح یک توپ را جدا کنیم، چیزی به دست می‌آید که در اصطلاح ریاضی «توپ سنباده‌شده» و در زبان علمی‌تر توپ باز نامیده می‌شود. اگر یک توپ باز را از فضای اطراف جدا کنیم، یک منیفولد لبه به دست می آوریم و لبه همان کره ای است که از توپ جدا کرده ایم. نان شیرینی همراه با پوسته اش یک منیفولد سه بعدی با لبه است و اگر پوسته را جدا کنید (که ما آن را بی نهایت نازک یعنی به عنوان یک سطح در نظر می گیریم) یک منیفولد بدون لبه در آن می گیریم. شکل "نان شیرینی ماسه ای". تمام فضا به عنوان یک کل، اگر آن را همانطور که در دبیرستان درک می شود درک کنیم، یک منیفولد سه بعدی بدون لبه است.

مفهوم ریاضی فشردگی تا حدی منعکس کننده معنای کلمه "فشرده" در روسی روزمره است: "نزدیک"، "فشرده". یک شکل هندسی فشرده نامیده می شود که برای هر ترتیبی از تعداد نامتناهی از نقاط آن، آنها در یکی از نقاط یا در بسیاری از نقاط همان شکل جمع شوند. یک قطعه فشرده است: برای هر مجموعه نامتناهی از نقاط آن در قطعه حداقل یک به اصطلاح نقطه حد وجود دارد که هر همسایگی آن شامل بی نهایت عناصر مجموعه مورد بررسی است. یک بازه فشرده نیست: می توانید مجموعه ای از نقاط آن را مشخص کنید که به سمت انتهای آن و فقط به سمت آن جمع می شوند - اما انتهای آن به بازه تعلق ندارد!

به دلیل کمبود جا به این تفسیر بسنده می کنیم. فقط بگوییم که از نمونه هایی که در نظر گرفتیم، نمونه های فشرده عبارتند از یک قطعه، یک دایره، یک کره، سطوح نان شیرینی و چوب شور، یک توپ (همراه با کره آن)، یک نان شیرینی و یک چوب شور (همراه با). پوسته های آن). در مقابل، فاصله، هواپیما، توپ سمباده، شیرینی و چوب شور فشرده نیستند. در میان اشکال هندسی فشرده سه بعدی بدون لبه، ساده ترین آنها کره سه بعدی است، اما چنین اشکالی در فضای معمول "مدرسه" ما نمی گنجد. شاید عمیق ترین مفاهیمی باشد که با فرضیه به هم مرتبط هستند پوانکر، مفهوم هومیومورفی است. هومیومورفی بالاترین سطح همسانی هندسی است . حال سعی خواهیم کرد با نزدیک شدن تدریجی به این مفهوم، توضیحی تقریبی از آن ارائه دهیم.

قبلاً در هندسه مدرسه با دو نوع همسانی روبرو هستیم - همخوانی اشکال و شباهت آنها. به یاد بیاورید که اگر ارقام هنگام روی هم قرار گرفتن با یکدیگر منطبق باشند، همخوان نامیده می شوند. در مدرسه به نظر نمی‌رسد که چهره‌های متجانس از هم متمایز شوند و بنابراین همخوانی را برابری می‌گویند. ارقام متجانس در تمام جزئیات دارای ابعاد یکسانی هستند. تشابه، بدون نیاز به اندازه یکسان، به معنای همان نسبت این اندازه ها است. بنابراین، شباهت نشان دهنده شباهت اساسی تری از ارقام است تا همخوانی.هندسه به طور کلی سطح بالاتری از انتزاع نسبت به فیزیک و فیزیک بالاتر از علم مواد است.

برای مثال بلبرینگ، توپ بیلیارد، توپ کروکت و توپ را در نظر بگیرید. فیزیک به جزئیاتی مانند ماده ای که از آن ساخته شده است نمی پردازد، بلکه فقط به خواصی مانند حجم، وزن، رسانایی الکتریکی و غیره علاقه دارد. برای ریاضیات، همه آنها توپ هستند و فقط از نظر اندازه متفاوت هستند. اگر توپ ها اندازه های متفاوتی داشته باشند، برای هندسه متریک متفاوت هستند، اما برای هندسه شباهت همه آنها یکسان هستند. از نظر هندسه، همه توپ ها و همه مکعب ها شبیه هم هستند، اما یک توپ و یک مکعب یکسان نیستند.

حالا بیایید به چنبره نگاه کنیم. بالا شکل هندسی است که شکل آن مانند فرمان و شناور نجات است. دایره المعارف چنبره را به عنوان شکلی تعریف می کند که با چرخش دایره ای حول محوری که خارج از دایره قرار دارد به دست می آید. ما از خواننده مهربان می‌خواهیم متوجه شود که توپ و مکعب با یکدیگر «شبیه‌تر» هستند تا هر یک از آنها با چنبره. آزمایش فکری زیر به ما امکان می دهد این آگاهی شهودی را با معنای دقیق پر کنیم. بیایید توپی را تصور کنیم که از ماده ای به قدری انعطاف پذیر است که بتوان آن را خم کرد، کشید، فشرده کرد و به طور کلی تغییر شکل داد - فقط نمی توان آن را پاره کرد یا به هم چسباند. بدیهی است که توپ را می توان به مکعب تبدیل کرد، اما تبدیل آن به یک چنبره غیرممکن است. فرهنگ لغت توضیحی اوشاکوف چوب شور را به شکل یک شیرینی (به معنای واقعی کلمه: مانند یک نان کره ای تابیده) به شکل حرف B تعریف می کند. دقیق؛ اما از دیدگاهی که در مفهوم هومیومورفی بیان شده است، پخت به شکل عدد 8، پخت به شکل حرف B و پخت به شکل فیتا به همین شکل است. حتی اگر فرض کنیم نانواها توانسته‌اند خمیری را به دست آورند که خاصیت انعطاف‌پذیری فوق‌الذکر را داشته باشد، نان غیرممکن است - بدون اشک و چسب! - نه به شیرینی و نه چوب شور تبدیل شود، درست مانند دو پخته شده آخر به یکدیگر. اما می توانید یک نان کروی را به مکعب یا هرم تبدیل کنید. خواننده مهربان بدون شک می تواند شکل ممکن پختی را بیابد که نه نان، نه چوب شور و نه شیرینی را نمی توان به آن تبدیل کرد.

بدون نام بردن از این مفهوم، قبلاً با هومیومورفی آشنا شده ایم. اگر بتوان یکی از آنها را با تغییر شکل پیوسته (یعنی بدون شکستن یا چسباندن) به دیگری تبدیل کرد، دو شکل همومورف نامیده می شوند. به خود چنین تغییر شکل هایی همومورفیسم می گویند.ما به تازگی متوجه شدیم که توپ با مکعب و هرم همومورف است، اما نه برای چنبره و نه چوب شور، و دو جسم آخر با یکدیگر همومورف نیستند. از خواننده می‌خواهیم بفهمد که ما فقط یک توصیف تقریبی از مفهوم هومیومورفی ارائه کرده‌ایم که از نظر تبدیل مکانیکی ارائه شده است.

اجازه دهید به جنبه فلسفی مفهوم هومیومورفی بپردازیم. بیایید یک موجود متفکر را تصور کنیم که درون یک شکل هندسی زندگی می کند و نهداشتن فرصتی برای نگاه کردن به این چهره از بیرون، "از بیرون". برای او، شکلی که در آن زندگی می کند، جهان را تشکیل می دهد. اجازه دهید همچنین تصور کنیم که وقتی شکل محصور در معرض تغییر شکل مداوم قرار می گیرد، موجود نیز همراه با آن تغییر شکل می دهد. اگر شکل مورد نظر یک توپ باشد، پس موجود به هیچ وجه نمی تواند تشخیص دهد که در یک توپ، یک مکعب یا یک هرم است. با این حال، ممکن است او متقاعد شود که کیهان او مانند یک چنبره یا چوب شور نیست. به طور کلی، موجودی می تواند شکل فضای اطراف خود را فقط تا همومورفی ایجاد کند، یعنی تا زمانی که این اشکال همومورف هستند، قادر به تشخیص شکلی از شکل دیگر نیست.

برای ریاضیات، معنای یک فرضیه پوانکرکه اکنون از یک فرضیه به قضیه پوانکاره-پرلمن تبدیل شده است، بسیار زیاد است (بیهوده نیست که یک میلیون دلار برای حل مشکل ارائه شده است)، همانطور که اهمیت روشی که پرلمن برای اثبات آن یافت، بسیار زیاد است. اما توضیح این اهمیت در اینجا از توانایی ما خارج است. در مورد جنبه کیهانی موضوع، شاید اهمیت این جنبه توسط روزنامه نگاران تا حدودی اغراق آمیز بود.

با این حال، برخی از کارشناسان معتبر می گویند که پیشرفت علمی پرلمن می تواند در مطالعه فرآیندهای تشکیل سیاهچاله ها کمک کند. به هر حال، سیاهچاله ها به عنوان رد مستقیم تز در مورد شناخت پذیری جهان عمل می کنند - یکی از مفاد اصلی آن آموزش پیشرفته ترین، تنها واقعی و قادر مطلق، که به مدت 70 سال به زور در سرهای بیچاره ما ریخته شد. از این گذشته، همانطور که فیزیک می آموزد، هیچ سیگنالی از این سوراخ ها نمی تواند به ما برسد، بنابراین نمی توان فهمید که در آنجا چه اتفاقی می افتد. ما معمولاً در مورد نحوه عملکرد کیهان خود به عنوان یک کل اطلاعات بسیار کمی داریم، و تردید وجود دارد که هرگز متوجه شویم. و معنای سوال در مورد ساختار آن کاملاً روشن نیست. ممکن است این سوال یکی از سوالاتی باشد که طبق آموزش بودا, نهپاسخی وجود دارد فیزیک تنها مدل هایی از دستگاه هایی را ارائه می دهد که کم و بیش با حقایق شناخته شده موافق هستند. در این مورد، فیزیک، به عنوان یک قاعده، از آماده سازی های قبلاً توسعه یافته ای استفاده می کند که توسط ریاضیات برای آن ارائه شده است.

البته ریاضیات تظاهر به ایجاد هیچ ویژگی هندسی جهان نمی کند. اما این امکان را به ما می دهد که آن خواصی را که توسط علوم دیگر کشف شده است درک کنیم. علاوه بر این. این به ما امکان می دهد تا برخی از ویژگی هایی را که تصور آنها دشوار است قابل درک تر کنیم؛ توضیح می دهد که چگونه می تواند باشد. چنین ویژگی های ممکن (ما تاکید می کنیم: فقط ممکن است!) شامل محدود بودن جهان و غیر جهت گیری آن است.

برای مدت طولانی، تنها مدل قابل تصور از ساختار هندسی جهان، فضای سه بعدی اقلیدسی بود، یعنی فضایی که برای همه از دوران دبیرستان شناخته شده بود. این فضا بی نهایت است. به نظر می رسید که هیچ ایده دیگری ممکن نیست. دیوانه وار به نظر می رسید که به پایان پذیری جهان فکر کنیم. با این حال، اکنون ایده پایان پذیری جهان کمتر از ایده بی نهایت بودن آن مشروع نیست. به ویژه، کره سه بعدی محدود است. از برقراری ارتباط با فیزیکدانان، این تصور برایم باقی ماند که برخی پاسخ دادند «به احتمال زیاد. جهان نامتناهی است، در حالی که دیگران گفتند، "به احتمال زیاد، جهان متناهی است."

Uspensky V.A. عذرخواهی از ریاضیات، یا در مورد ریاضیات به عنوان بخشی از فرهنگ معنوی، مجله «دنیای جدید»، 1386، شماره 12، ص. 141-145.

تقریباً همه افراد، حتی کسانی که هیچ ارتباطی با ریاضیات ندارند، کلمات "حدس پوانکاره" را شنیده اند، اما همه نمی توانند توضیح دهند که ماهیت آن چیست. برای بسیاری، ریاضیات عالی چیزی بسیار پیچیده و غیرقابل درک به نظر می رسد. بنابراین، بیایید سعی کنیم معنی فرضیه پوانکاره را در کلمات ساده بفهمیم.

محتوا:

حدس پوانکاره چیست؟

فرمول اولیه فرضیه به این صورت است: هر منیفولد سه‌بعدی فشرده و بدون مرزی که به سادگی متصل می‌شود، به یک کره سه‌بعدی همومورف است.».

توپ یک جسم سه بعدی هندسی است، سطح آن را کره می گویند، دو بعدی است و از نقاط فضای سه بعدی تشکیل شده است که از یک نقطه که به این کره تعلق ندارد - مرکز توپ - فاصله دارند. . علاوه بر کره های دو بعدی، کره های سه بعدی نیز وجود دارد که از نقاط زیادی از فضای چهار بعدی تشکیل شده است که از یک نقطه که به کره - مرکز آن - تعلق ندارد - نیز فاصله دارند. اگر بتوانیم کره های دوبعدی را با چشم خود ببینیم، پس کره های سه بعدی تابع ادراک بصری ما نیستند.

از آنجایی که ما فرصت دیدن جهان را نداریم، می توانیم فرض کنیم که این کره سه بعدی است که تمام بشریت در آن زندگی می کند. این جوهر حدس پوانکاره است. یعنی اینکه کیهان دارای ویژگی های زیر است: سه بعدی بودن، بی حد و مرز بودن، به سادگی متصل بودن، فشردگی. مفهوم "هومومورفی" در این فرضیه به معنای بالاترین درجه شباهت، شباهت، در مورد جهان - غیر قابل تشخیص است.

پوانکر کیست؟

ژول هانری پوانکاره- بزرگترین ریاضیدانی که در سال 1854 در فرانسه به دنیا آمد. علایق او فقط به علوم ریاضی محدود نمی شد، او به تحصیل در رشته های فیزیک، مکانیک، نجوم و فلسفه پرداخت. او عضو بیش از 30 آکادمی علمی در سراسر جهان از جمله آکادمی علوم سن پترزبورگ بود. مورخان همه زمان ها و مردمان، دیوید هیلبرت و هانری پوانکاره را در زمره بزرگترین ریاضیدانان جهان قرار می دهند. در سال 1904، این دانشمند مقاله معروفی را منتشر کرد که حاوی فرضی بود که امروزه به عنوان "حدس پوانکاره" شناخته می شود. این فضای سه بعدی بود که مطالعه آن برای ریاضیدانان بسیار دشوار بود؛ یافتن شواهدی برای موارد دیگر کار دشواری نبود. در طول حدود یک قرن، صحت این قضیه ثابت شد.

در آغاز قرن بیست و یکم جایزه ای به مبلغ یک میلیون دلار آمریکا برای حل این مشکل علمی در کمبریج ایجاد شد که در فهرست مشکلات هزاره قرار گرفت. تنها یک ریاضیدان روسی اهل سنت پترزبورگ، گریگوری پرلمن، توانست این کار را برای یک کره سه بعدی انجام دهد. در سال 2006 مدال فیلدز به خاطر این دستاورد به او اعطا شد، اما او از دریافت آن خودداری کرد.

به شایستگی فعالیت های علمی پوانکارهدستاوردهای زیر را می توان نسبت داد:

• پایه توپولوژی (توسعه مبانی نظری پدیده ها و فرآیندهای مختلف)؛
• ایجاد یک نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل؛
• توسعه نظریه توابع آمورف، که اساس نظریه نسبیت خاص شد.
• مطرح کردن قضیه بازگشت؛
• توسعه جدیدترین و موثرترین روش های مکانیک آسمانی.

اثبات فرضیه

به یک فضای سه بعدی متصل به سادگی ویژگی‌های هندسی اختصاص داده می‌شود و به عناصر متریک تقسیم می‌شود که فاصله‌هایی بین آنها برای تشکیل زوایایی وجود دارد. برای ساده سازی، یک منیفولد یک بعدی را به عنوان نمونه در نظر می گیریم که در صفحه اقلیدسی، بردارهای مماس برابر با 1 در هر نقطه به یک منحنی بسته صاف رسم می شوند.هنگام پیمایش منحنی، بردار با سرعت زاویه ای معینی می چرخد. برابر با انحنا هرچه خط بیشتر خم شود، انحنای آن بیشتر می شود. اگر بردار سرعت به سمت داخل صفحه‌ای که خط تقسیم می‌کند، بچرخد، انحنا دارای شیب مثبت و اگر به سمت بیرون چرخانده شود، شیب منفی دارد. در نقاط عطف، انحنا برابر با 0 است. حال به هر نقطه از منحنی بردار عمود بر بردار سرعت زاویه ای و با طول برابر با مقدار انحنا اختصاص داده می شود. هنگامی که انحنای مثبت است به سمت داخل و زمانی که منفی است به سمت بیرون می چرخد. بردار مربوطه جهت و سرعت حرکت هر نقطه از هواپیما را تعیین می کند. اگر یک منحنی بسته را در هر جایی بکشید، با چنین تکاملی به یک دایره تبدیل می شود. این در مورد فضای سه بعدی صدق می کند، چیزی که باید ثابت می شد.

مثال:هنگامی که بدون شکستن تغییر شکل می‌دهد، می‌توان یک بادکنک را به اشکال مختلف درآورد. اما شما نمی توانید یک نان شیرینی درست کنید، برای انجام این کار فقط باید آن را برش دهید. و بالعکس، با داشتن یک نان شیرینی، نمی توانید یک توپ جامد درست کنید. اگرچه از هر سطح دیگری بدون ناپیوستگی در هنگام تغییر شکل می توان یک کره به دست آورد. این نشان می دهد که این سطح به یک توپ همومورف است. هر توپی را می توان با یک نخ با یک گره گره زد، اما انجام این کار با دونات غیرممکن است.

یک توپ ساده ترین صفحه سه بعدی است که می تواند تغییر شکل داده و به صورت یک نقطه تا شود و بالعکس.

مهم!حدس پوانکاره بیان می کند که یک منیفولد n بعدی بسته معادل یک کره n بعدی است اگر با آن همومورف باشد. این نقطه شروع در توسعه تئوری صفحات چند بعدی شد.