شمارش مستقیم مواردی که به نفع یک رویداد معین است ممکن است دشوار باشد. بنابراین، برای تعیین احتمال یک رویداد، تصور این رویداد به عنوان ترکیبی از برخی رویدادهای ساده تر دیگر می تواند مفید باشد. با این حال، در این مورد، باید قوانین حاکم بر احتمالات را در ترکیبی از رویدادها بدانید. قضایای ذکر شده در عنوان پاراگراف به این قواعد مربوط می شود.

اولین مورد مربوط به محاسبه احتمال وقوع حداقل یکی از چندین رویداد است.

قضیه جمع.

بگذارید A و B دو رویداد ناسازگار باشند. سپس احتمال وقوع حداقل یکی از این دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات آنها:

اثبات اجازه دهید یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار زوجی باشد. اگر در میان این رویدادهای ابتدایی دقیقاً رویدادهای مطلوب A و دقیقاً رویدادهای مطلوب برای B وجود داشته باشند. از آنجایی که رویدادهای A و B ناسازگار هستند، پس هیچ رویدادی نمی تواند به نفع هر دوی این رویدادها باشد. یک رویداد (A یا B) که شامل وقوع حداقل یکی از این دو رویداد است، آشکارا مورد علاقه هر یک از رویدادهای طرفدار A و هر یک از رویدادها است.

مطلوب B. بنابراین، تعداد کل رویدادهای مطلوب برای رویداد (A یا B) برابر است با مجموع زیر:

Q.E.D.

به راحتی می توان فهمید که قضیه جمع فرموله شده در بالا برای مورد دو رویداد به راحتی می تواند به هر تعداد محدودی از آنها منتقل شود. دقیقاً اگر رویدادهای ناسازگار جفتی وجود داشته باشد، پس

مثلاً در مورد سه رویداد می توان نوشت

یک پیامد مهم قضیه جمع این است که: اگر رویدادها به صورت زوجی ناسازگار باشند و به طور یکتا امکان پذیر باشند، پس

در واقع، رویداد یا یا یا بر اساس فرض قطعی است و احتمال آن، همانطور که در بند 1 نشان داده شده است، برابر با یک است. به ویژه، اگر منظور آنها دو رویداد متضاد متقابل باشد، پس

اجازه دهید قضیه جمع را با مثال هایی توضیح دهیم.

مثال 1. هنگام شلیک به یک هدف، احتمال شلیک عالی 0.3 و احتمال شلیک "خوب" 0.4 است. احتمال کسب امتیاز حداقل "خوب" برای یک ضربه چقدر است؟

راه حل. اگر رویداد A به معنای دریافت رتبه "عالی" و رویداد B به معنای دریافت رتبه "خوب" است، پس

مثال 2. در یک کوزه حاوی توپ های سفید، قرمز و سیاه، توپ های سفید و من توپ های قرمز وجود دارد. احتمال ترسیم توپی که سیاه نیست چقدر است؟

راه حل. اگر رویداد A از ظاهر یک توپ سفید و رویداد B از یک توپ قرمز تشکیل شده باشد، ظاهر توپ سیاه نیست.

به معنای ظاهر یک توپ سفید یا قرمز است. از آنجایی که با تعریف احتمال

سپس، با قضیه جمع، احتمال ظاهر شدن یک توپ غیر سیاه برابر است.

این مشکل از این طریق قابل حل است. بگذارید رویداد C در ظاهر یک توپ سیاه باشد. تعداد توپ های سیاه برابر است به طوری که P (C) ظاهر یک توپ غیرسیاه عکس C است، بنابراین بر اساس نتیجه فوق از قضیه جمع داریم:

مثل قبل.

مثال 3. در قرعه کشی مواد نقدی، برای یک سری از 1000 بلیط، 120 پول نقد و 80 برنده مادی وجود دارد. احتمال برنده شدن هر چیزی در یک بلیط بخت آزمایی چقدر است؟

راه حل. اگر با A رویدادی متشکل از سود پولی و با B یک سود مادی را نشان دهیم، از تعریف احتمال نتیجه می‌شود.

رویداد مورد علاقه ما با (A یا B) نشان داده می شود، بنابراین از قضیه جمع نتیجه می شود

بنابراین، احتمال هر برنده ای 0.2 است.

قبل از رفتن به قضیه بعدی، لازم است با یک مفهوم مهم جدید - مفهوم احتمال شرطی - آشنا شوید. برای این منظور با در نظر گرفتن مثال زیر شروع می کنیم.

فرض کنید در یک انبار 400 لامپ وجود دارد که در دو کارخانه مختلف تولید می شوند که اولی 75 درصد کل لامپ ها را تولید می کند و دومی 25 درصد. فرض کنید در بین لامپ های تولید شده توسط کارخانه اول، 83% شرایط استاندارد معینی را برآورده می کند و برای محصولات کارخانه دوم این درصد 63 است. اجازه دهید احتمال این که یک لامپ به طور تصادفی از انبار شرایط استاندارد را برآورده می کند.

توجه داشته باشید که تعداد کل لامپ های استاندارد موجود شامل لامپ های تولید شده توسط اولین لامپ است.

کارخانه و 63 لامپ ساخت کارخانه دوم یعنی برابر با 312. از آنجایی که انتخاب هر لامپ باید به یک اندازه امکان پذیر باشد، از 400 مورد 312 مورد مطلوب داریم، بنابراین

در جایی که رویداد B این است که لامپ انتخابی ما استاندارد است.

در طول این محاسبه، هیچ فرضی در مورد محصولی که لامپ انتخابی ما متعلق به کدام گیاه است، صورت نگرفت. اگر فرضیاتی از این دست داشته باشیم، بدیهی است که احتمال مورد نظر ما ممکن است تغییر کند. بنابراین، برای مثال، اگر مشخص شود که لامپ انتخابی در اولین کارخانه تولید شده است (رویداد A)، احتمال استاندارد بودن آن دیگر 0.78 نیست، بلکه 0.83 خواهد بود.

این نوع احتمال، یعنی احتمال رویداد B با توجه به وقوع رویداد A، احتمال شرطی رویداد B با توجه به وقوع رویداد A نامیده می شود و نشان داده می شود.

اگر در مثال قبلی، رویدادی را که لامپ انتخاب شده در اولین کارخانه تولید شده است را با A نشان دهیم، می توانیم بنویسیم.

اکنون می توانیم یک قضیه مهم مربوط به محاسبه احتمال ترکیب رویدادها را فرموله کنیم.

قضیه ضرب.

احتمال ترکیب رویدادهای A و B برابر است با حاصلضرب احتمال یکی از رویدادها و احتمال شرطی دیگری، با فرض اینکه اولین اتفاق افتاده باشد:

در این صورت، ترکیب رویدادهای A و B به معنای وقوع هر یک از آنهاست، یعنی وقوع هر دو رویداد A و B.

اثبات اجازه دهید یک گروه کامل از رویدادهای ناسازگار دوتایی به همان اندازه ممکن را در نظر بگیریم، که هر یک می‌توانند هم برای رویداد A و هم برای رویداد B مطلوب یا نامطلوب باشند.

بیایید همه این رویدادها را به چهار تقسیم کنیم گروه های مختلفبه روش زیر. گروه اول شامل آن دسته از رویدادهایی است که هر دو به نفع رویداد A و رویداد B هستند. گروه دوم و سوم شامل آن دسته از رویدادهایی است که به نفع یکی از دو رویداد مورد علاقه ما هستند و به نفع دیگری نیستند، به عنوان مثال، گروه دوم شامل آنهایی است که به نفع الف هستند اما به نفع B نیستند و گروه سوم شامل مواردی است که به نفع A هستند. طرفدار B اما طرفدار A نیست. در نهایت به

گروه چهارم شامل آن دسته از رویدادهایی است که به نفع الف یا ب نیستند.

از آنجایی که شماره گذاری رویدادها مهم نیست، می توانیم فرض کنیم که این تقسیم به چهار گروه به شکل زیر است:

گروه اول:

گروه دوم:

گروه III:

گروه چهارم:

بنابراین، در میان رویدادهای به همان اندازه ممکن و جفت ناسازگار، رویدادهایی وجود دارند که به نفع رویداد A و رویداد B، رویدادهایی که به نفع رویداد A هستند، اما به نفع رویداد A نیستند، رویدادهایی هستند که به نفع B هستند، اما به نفع A نیستند، و در نهایت، رویدادهایی که به نفع الف و ب نیستند.

به هر حال، توجه داشته باشیم که هر یک از چهار گروهی که در نظر گرفتیم (و حتی بیش از یک) ممکن است شامل یک رویداد واحد نباشد. در این صورت عدد مربوطه نشان دهنده تعداد رویدادهای چنین گروهی برابر با صفر خواهد بود.

تقسیم ما به گروه ها به شما امکان می دهد بلافاصله بنویسید

زیرا ترکیب رویدادهای A و B مورد علاقه وقایع گروه اول و فقط آنهاست. تعداد کل رویدادهای طرفدار A برابر با تعداد کل رویدادهای گروه اول و دوم و موارد طرفدار B برابر با تعداد کل رویدادهای گروه اول و سوم است.

اجازه دهید اکنون احتمال را محاسبه کنیم، یعنی احتمال رویداد B را به شرطی که رویداد A رخ داده باشد. اکنون رویدادهای شامل گروه سوم و چهارم ناپدید می شوند، زیرا ظاهر آنها با وقوع رویداد A و تعداد آنها در تضاد است. موارد احتمالیمعلوم می شود دیگر برابر نیست. از این میان، رویداد B فقط مورد علاقه رویدادهای گروه اول است، بنابراین به دست می آوریم:

برای اثبات قضیه کافی است هویت آشکار را بنویسیم:

و هر سه کسر را با احتمالات محاسبه شده در بالا جایگزین کنید. به برابری بیان شده در قضیه می رسیم:

واضح است که هویتی که در بالا نوشتیم تنها در صورتی معنا پیدا می کند که همیشه صادق باشد، مگر اینکه A یک رویداد غیرممکن باشد.

از آنجایی که رویدادهای A و B برابر هستند، پس با مبادله آنها شکل دیگری از قضیه ضرب را به دست می آوریم:

با این حال، اگر متوجه شوید که با استفاده از هویت، این برابری را می توان به همان روش قبلی به دست آورد

با مقایسه سمت راست دو عبارت برای احتمال P(A و B)، یک برابری مفید بدست می آوریم:

اکنون مثال‌هایی را در نظر می‌گیریم که قضیه ضرب را نشان می‌دهند.

مثال 4. در محصولات یک بنگاه اقتصادی خاص، 96 درصد محصولات مناسب تلقی می شوند (رویداد A). 75 محصول از هر صد محصول مناسب متعلق به درجه اول (رویداد B) است. احتمال اینکه یک محصول به صورت تصادفی انتخاب شده مناسب باشد و متعلق به درجه اول باشد را تعیین کنید.

راه حل. احتمال مورد نظر احتمال ترکیب رویدادهای A و B است با شرط داریم: . بنابراین قضیه ضرب می دهد

مثال 5. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک (رویداد A) 0.2 است. اگر 2 درصد فیوزها از کار بیفتند، احتمال اصابت به هدف چقدر است (یعنی در 2 درصد موارد شلیک نشد.

راه حل. اجازه دهید رویداد B این باشد که یک شات رخ خواهد داد و اجازه دهید B به معنای رویداد مخالف باشد. سپس با شرط و بر اساس نتیجه قضیه جمع. علاوه بر این، با توجه به شرایط.

اصابت به هدف به معنای ترکیب رویدادهای A و B است (شلیک شلیک می شود و اصابت می کند) بنابراین با توجه به قضیه ضرب

مهم مورد خاصبا استفاده از مفهوم استقلال رویدادها می توان قضایای ضرب را به دست آورد.

دو رویداد مستقل نامیده می شوند که احتمال یکی از آنها در نتیجه وقوع یا عدم وقوع دیگری تغییر نکند.

نمونه هایی از رویدادهای مستقل ترک تحصیل هستند اعداد مختلفدر پرتاب مجدد تاس یا یک روی سکه در هنگام پرتاب مجدد سکه امتیاز می گیرد، زیرا بدیهی است که احتمال افتادن یک نشان در پرتاب دوم بدون توجه به افتادن نشان برابر است. یا نه در اولی

به طور مشابه، احتمال کشیدن یک توپ سفید برای بار دوم از یک کوزه حاوی توپ های سفید و سیاه در صورتی که اولین توپ کشیده شده قبلاً برگردانده شده باشد به این بستگی ندارد که توپ بار اول کشیده شده باشد، سفید یا سیاه. بنابراین، نتایج حذف اول و دوم مستقل از یکدیگر هستند. برعکس، اگر توپی که ابتدا بیرون آورده شده به داخل کوزه برنگردد، نتیجه برداشتن دوم به اولی بستگی دارد، زیرا ترکیب توپ‌های داخل کوزه پس از برداشتن اول بسته به نتیجه آن تغییر می‌کند. در اینجا نمونه ای از رویدادهای وابسته را داریم.

با استفاده از نماد اتخاذ شده برای احتمالات شرطی، می توانیم شرط استقلال رویدادهای A و B را به شکل بنویسیم.

با استفاده از این برابری ها می توانیم قضیه ضرب را برای رویدادهای مستقل به شکل زیر کاهش دهیم.

اگر رویدادهای A و B مستقل باشند، احتمال ترکیب آنها برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

در واقع، کافی است در بیان اولیه قضیه ضرب که از استقلال رویدادها به دست می آید، قرار دهیم و برابری لازم را بدست آوریم.

حال اجازه دهید چندین رویداد را در نظر بگیریم: اگر احتمال وقوع هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع هر یک از رویدادهای دیگر بستگی نداشته باشد، آنها را مجموعا مستقل می نامیم.

در مورد رویدادهایی که مجموعاً مستقل هستند، قضیه ضرب را می توان به هر تعداد محدودی از آنها گسترش داد، بنابراین می توان آن را به صورت زیر فرموله کرد:

احتمال ترکیب رویدادهای مستقل در مجموع برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

مثال 6. یک کارگر در حال سرویس دهی به سه دستگاه خودکار است که در صورت توقف دستگاه باید به هر یک از آنها نزدیک شد تا یک نقص را برطرف کند. احتمال اینکه ماشین اول در عرض یک ساعت متوقف نشود 0.9 است. همین احتمال برای ماشین دوم 0.8 و برای سوم - 0.7 است. این احتمال را تعیین کنید که ظرف یک ساعت کارگر نیازی به نزدیک شدن به هیچ یک از ماشین‌هایی که در حال سرویس است نداشته باشد.

مثال 7. احتمال سرنگونی هواپیما با شلیک تفنگ اگر همزمان 250 تفنگ شلیک شود، احتمال انهدام هواپیمای دشمن چقدر است؟

راه حل. احتمال ساقط نشدن هواپیما با یک شلیک برابر با قضیه جمع است سپس با استفاده از قضیه ضرب، احتمال سرنگونی هواپیما با 250 شلیک را به عنوان احتمال ترکیب محاسبه می کنیم. مناسبت ها. برابر است با بعد از این، دوباره می‌توانیم از قضیه جمع استفاده کنیم و احتمال سقوط هواپیما را به‌عنوان احتمال رویداد مخالف پیدا کنیم.

از اینجا می توان دریافت که اگرچه احتمال ساقط کردن یک هواپیما با یک شلیک تفنگ ناچیز است، با این وجود هنگام شلیک از 250 تفنگ، احتمال ساقط کردن یک هواپیما در حال حاضر بسیار محسوس است. اگر تعداد تفنگ ها افزایش یابد به میزان قابل توجهی افزایش می یابد. بنابراین، هنگام شلیک از 500 تفنگ، احتمال شلیک یک هواپیما، همانطور که محاسبه آسان است، برابر است با شلیک از 1000 تفنگ - حتی.

قضیه ضرب که در بالا ثابت شد به ما اجازه می دهد تا قضیه جمع را تا حدودی گسترش دهیم و آن را در مورد رویدادهای سازگار بسط دهیم. واضح است که اگر رویدادهای الف و ب با هم سازگار باشند، احتمال وقوع حداقل یکی از آنها با مجموع احتمالات آنها برابر نیست. برای مثال، اگر رویداد A به معنای یک عدد زوج باشد

تعداد امتیازها هنگام پرتاب قالب، و رویداد B از دست دادن تعدادی امتیاز است که مضرب سه است، سپس رویداد (A یا B) با از دست دادن امتیازهای 2، 3، 4 و 6 مورد پسند قرار می گیرد. به این معنا که

از سوی دیگر، یعنی. بنابراین در این مورد

از اینجا روشن می شود که در مورد رویدادهای سازگار، قضیه جمع احتمالات باید تغییر کند. همانطور که اکنون خواهیم دید، می توان آن را به گونه ای فرمول بندی کرد که هم برای رویدادهای سازگار و هم برای رویدادهای ناسازگار معتبر باشد، به طوری که قضیه جمعی که قبلاً در نظر گرفته شده بود، یک مورد خاص از قضیه جدید باشد.

رویدادهایی که برای A مناسب نیستند.

همه رویدادهای ابتدایی که به نفع یک رویداد (الف یا ب) هستند باید فقط به نفع A یا فقط B یا هر دو A و B باشند. بنابراین، تعداد کل این رویدادها برابر است با

و احتمال

Q.E.D.

با اعمال فرمول (9) در مثال بالا تعداد نقاطی که هنگام پرتاب تاس ظاهر می شود، به دست می آوریم:

که با نتیجه محاسبه مستقیم منطبق است.

بدیهی است که فرمول (1) یک مورد خاص از (9) است. در واقع، اگر رویدادهای A و B ناسازگار باشند، احتمال ترکیب وجود دارد

مثلا. دو فیوز به صورت سری به مدار الکتریکی متصل می شوند. احتمال خرابی فیوز اول 0.6 و دومی 0.2 است. اجازه دهید احتمال قطع برق را در نتیجه خرابی حداقل یکی از این فیوزها تعیین کنیم.

راه حل. از آنجایی که رویدادهای A و B متشکل از خرابی فیوزهای اول و دوم با هم سازگار هستند، احتمال مورد نیاز با فرمول (9) تعیین می شود:

تمرینات

مفهوم یک رویداد و احتمال وقوع یک رویداد. رویدادهای قابل اعتماد و غیرممکن تعریف کلاسیک احتمال قضیه جمع احتمال. قضیه ضرب احتمال. حل ساده ترین مسائل تعیین احتمال با استفاده از جمع احتمالات.

دستورالعمل موضوع 3.1:

مفهوم یک رویداد و احتمال وقوع یک رویداد. رویدادهای قابل اعتماد و غیرممکن تعریف کلاسیک احتمالات:

مطالعه هر پدیده به ترتیب مشاهده یا آزمایش با اجرای مجموعه خاصی از شرایط (آزمون) همراه است. هر نتیجه یا نتیجه یک آزمایش نامیده می شود رویداد.

اگر رویدادی در شرایط معین می تواند اتفاق بیفتد یا اتفاق نیفتد، آن را نامیده می شود تصادفی.زمانی که رویدادی قطعی باشد به آن می گویند قابل اعتمادو در مواردی که آشکارا نمی تواند اتفاق بیفتد، - غیر ممکن

رویدادها نامیده می شوند ناسازگار،اگر هر بار فقط یکی از آنها ممکن است ظاهر شود. رویدادها نامیده می شوند مفصل،اگر تحت شرایط معین، وقوع یکی از این رویدادها، وقوع دیگری را در طول همان آزمون منتفی نکند.

رویدادها نامیده می شوند مقابل،در صورتی که تحت شرایط آزمون، آنها که تنها نتایج آن هستند، ناسازگار باشند.

احتمال وقوع یک رویداد به عنوان معیاری برای امکان عینی وقوع یک رویداد تصادفی در نظر گرفته می شود.

احتمالرویدادها را نسبت تعداد پیامدها می گویند متر، مطلوب برای وقوع یک رویداد معین، به عدد n از همه پیامدها (ناسازگار، فقط ممکن و به همان اندازه ممکن)، یعنی.

احتمال هیچ رویدادی نمی تواند کمتر از صفر و بزرگتر از یک باشد، یعنی. . یک رویداد غیرممکن با یک احتمال مطابقت دارد و یک رویداد قابل اعتماد با یک احتمال مطابقت دارد

مثال 1. در قرعه کشی 1000 بلیط، 200 بلیط برنده وجود دارد. یک بلیط به صورت تصادفی خارج می شود. احتمال برنده شدن این بلیط چقدر است؟

تعداد کل نتایج مختلف است n= 1000. تعداد نتایج مطلوب برای برنده شدن است متر= 200. طبق فرمول بدست می آوریم.

مثال 2. یک توپ از یک کوزه حاوی 5 توپ سفید و 3 توپ سیاه کشیده می شود. احتمال سیاه بودن توپ را پیدا کنید.

اجازه دهید رویدادی را که در ظاهر یک توپ سیاه تشکیل شده است را با نشان دهیم. تعداد کل موارد تعداد موارد متر، مساعد برای وقوع رویداد برابر با 3 است. با استفاده از فرمول به دست می آوریم.

مثال 3. از یک کوزه حاوی 12 توپ سفید و 8 توپ سیاه، دو توپ به طور تصادفی کشیده می شود. احتمال سیاه بودن هر دو توپ چقدر است؟

اجازه دهید رویدادی را که شامل ظاهر شدن دو توپ سیاه است را با علامت نشان دهیم. تعداد کل موارد احتمالی nبرابر تعداد ترکیب 20 عنصر (12 + 8) در دو:

تعداد موارد متر، مساعد برای رویداد، است

با استفاده از فرمول، احتمال ظاهر شدن دو توپ سیاه را پیدا می کنیم:

قضیه جمع احتمال. حل ساده ترین مسائل تعیین احتمال با استفاده از قضیه جمع احتمال:

قضیه جمع کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار.احتمال وقوع یکی از چندین رویداد ناسازگار زوجی، صرف نظر از اینکه کدام یک، برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:

قضیه جمع کردن احتمالات رویدادهای مشترکاحتمال وقوع حداقل یکی از دو رویداد مشترک برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال وقوع مشترک:

مثال 4. 20 قسمت به صورت تصادفی در یک جعبه چیده شده است که پنج تای آن استاندارد است. یک کارگر سه قسمت را به طور تصادفی می گیرد. احتمال استاندارد بودن حداقل یکی از قسمت های گرفته شده را پیدا کنید.

بدیهی است که در صورت وقوع هر یک از سه رویداد ناسازگار، حداقل یکی از قسمت های گرفته شده استاندارد خواهد بود: ب- یک قسمت استاندارد است، دو قسمت غیر استاندارد است. سی- دو قطعه استاندارد یکی غیر استاندارد و D- سه قسمت استاندارد هستند.

بنابراین رویداد آرا می توان به صورت مجموع این سه رویداد نشان داد: A = B + C + D.با قضیه جمع داریم P(A) = P(B) + P(C) + P(D).احتمال هر یک از این رویدادها را بیابید:

با افزودن مقادیر یافت شده، دریافت می کنیم

مثال 5. احتمالی که به طور تصادفی گرفته شده است را بیابید عدد دو رقمیمضربی از 3 یا 5 یا هر دو خواهد بود.

اجازه دهید آ- یک رویداد شامل این واقعیت است که یک عدد به طور تصادفی انتخاب شده مضرب 3 است و ب- این است که مضرب 5 است. اجازه دهید Since را پیدا کنیم آو برویدادهای مشترک، سپس از فرمول استفاده می کنیم:

در مجموع 90 عدد دو رقمی وجود دارد: 10، 11، 98، 99. از این تعداد، 30 عدد مضربی از 3 هستند (به نفع وقوع رویداد). آ) 18 - مضرب 5 (از وقوع یک رویداد حمایت می کند ب) و 6 - مضرب های 3 و 5 به طور همزمان (به نفع وقوع رویداد AB). بنابراین، یعنی

قضیه ضرب احتمال:

قضیه ضرب احتمالات رخدادهای مستقل.احتمال وقوع مشترک دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات این رویدادها:

احتمال وقوع چندین رویداد که در مجموع مستقل هستند با فرمول محاسبه می شود:

قضیه ضرب احتمالات رویدادهای وابسته.احتمال وقوع مشترک دو رویداد وابسته برابر است با حاصلضرب یکی از آنها و احتمال شرطی دوم:

مثال 6. یک کوزه شامل 4 توپ سفید و 8 توپ سیاه و دیگری شامل 3 توپ سفید و 9 توپ سیاه است. از هر کوزه یک توپ گرفته شد. احتمال سفید بودن هر دو توپ را پیدا کنید.

اجازه دهید ظاهر یک توپ سفید از کوزه اول باشد، و اجازه دهید ظاهر یک توپ سفید از کوزه دوم باشد. واضح است که رویدادها مستقل هستند. پیدا خواهیم کرد

با استفاده از فرمول دریافت می کنیم:

سوالات خودآزمایی مبحث 3.1:

1. رویداد چیست؟

2. چه رویدادهایی قابل اعتماد نامیده می شوند؟

3. به چه رویدادهایی غیرممکن می گویند؟

4. احتمال را تعریف کنید.

5. قضیه جمع احتمالات را فرموله کنید.

6. قضیه ضرب احتمال را فرموله کنید.

وظایف برای تصمیم مستقلدر مبحث 3.1:

1. یک جعبه شامل 10 قسمت به صورت تصادفی است که 4 قطعه استاندارد است. بازرس 3 قسمت را به طور تصادفی گرفت. احتمال اینکه حداقل یکی از قطعات گرفته شده استاندارد باشد را پیدا کنید.

2. یک گلدان حاوی 10 توپ سفید، 15 سیاه، 20 آبی و 25 توپ قرمز است. احتمال اینکه توپ کشیده شده باشد را بیابید: 1) سفید. 2) سیاه یا قرمز

3. این احتمال را بیابید که یک عدد دو رقمی انتخاب شده به طور تصادفی مضرب 4 یا 5 یا هر دو باشد.

4. یک کارگر به دو ماشین که مستقل از یکدیگر کار می کنند خدمات می دهد. احتمال اینکه ماشین اول در عرض یک ساعت به توجه کارگر نیاز نداشته باشد 0.8 است و برای ماشین دوم این احتمال 0.7 است. این احتمال را پیدا کنید که در عرض یک ساعت هیچ ماشینی به توجه کارگر نیاز ندارد.

5. کوزه شامل 6 توپ است که 3 تای آن سفید است. دو توپ به صورت تصادفی یکی پس از دیگری کشیده می شود. احتمال سفید بودن هر دو توپ را محاسبه کنید.

6. یک گلدان حاوی 10 توپ سفید و 6 توپ سیاه است. این احتمال را پیدا کنید که سه توپ که به طور تصادفی یکی پس از دیگری کشیده شده اند سیاه شوند.

یک آزمایش در حال بررسی است E. فرض بر این است که می توان آن را به طور مکرر انجام داد. در نتیجه آزمایش، رویدادهای مختلفی ممکن است ظاهر شوند و مجموعه خاصی را تشکیل دهند اف. رویدادهای قابل مشاهده به سه نوع قابل اعتماد، غیرممکن، تصادفی تقسیم می شوند.

قابل اعتماد رویدادی که مطمئناً در نتیجه یک آزمایش رخ می دهد نامیده می شود E. با Ω نشان داده می شود.

غیر ممکن رویدادی که معلوم است در نتیجه آزمایش رخ نمی دهد نامیده می شود E. نشان داده شده با .

تصادفی رویدادی که ممکن است در نتیجه یک آزمایش رخ دهد یا نباشد، نامیده می شود E.

اضافی (برعکس) رویداد آیک رویداد است که با علامت گذاری شده است، که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که رویداد رخ ندهد آ.

جمع (ترکیب) رویدادها رویدادی است که اگر و تنها در صورتی رخ دهد که حداقل یکی از این رویدادها رخ دهد (شکل 3.1). نشانه گذاری.

شکل 3.1

محصول (تقاطع) رویدادها رویدادی است که اگر و تنها در صورتی رخ می دهد که همه این رویدادها با هم (به طور همزمان) اتفاق بیفتند (شکل 3.2). نشانه گذاری. بدیهی است که رویدادهای A و B ناسازگار ، اگر .

شکل 3.2

گروه کامل رویدادها مجموعه ای از رویدادها است که مجموع آنها یک رویداد معین است:

رویداد که درتماس گرفت یک مورد خاص از یک رویداد آ، اگر با وقوع یک رویداد که دررویداد ظاهر می شود آ. آنها همچنین می گویند که رویداد که درمستلزم یک رویداد آ(شکل 3.3). تعیین

شکل 3.3

مناسبت ها آو که درنامیده می شوند معادل ، اگر در طول آزمایش با هم اتفاق بیفتند یا نباشند E. تعیین بدیهی است که اگر.

یک اتفاق سخت یک رویداد مشاهده شده را که از طریق سایر رویدادهای مشاهده شده در همان آزمایش با استفاده از عملیات جبری بیان شده است، فراخوانی کنید.

احتمال وقوع یک رویداد پیچیده خاص با استفاده از فرمول های جمع و ضرب احتمالات محاسبه می شود.

قضیه جمع احتمال

عواقب:

1) اگر رویدادها آو که درناسازگار هستند، قضیه جمع به شکل زیر است:

2) در مورد سه جمله، قضیه جمع به صورت نوشته می شود

3) مجموع احتمالات رویدادهای متقابل برابر با 1 است:

مجموعه رویدادها،، ...، نامیده می شود گروه کامل رویدادها ، اگر

مجموع احتمالات رخدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با 1 است:

احتمال وقوع رویداد آمشروط بر اینکه رویداد که دراتفاق افتاده است، به آن می گویند احتمال شرطی و نشان دهنده یا.

آو که در – رویدادهای وابسته ، اگر .

آو که در – رویدادهای مستقل ، اگر .

قضیه ضرب احتمال

عواقب:

1) برای رویدادهای مستقل آو که در

2) در مورد کلیبرای حاصل ضرب سه رویداد، قضیه ضرب احتمال به شکل زیر است:

نمونه هایی از حل مسئله

مثال1 - سه عنصر به صورت سری به مدار الکتریکی متصل می شوند که مستقل از یکدیگر عمل می کنند. احتمال شکست عناصر اول، دوم و سوم به ترتیب برابر با، است. احتمال عدم وجود جریان در مدار را پیدا کنید.

راه حل

راه اول

اجازه دهید رویدادهای زیر را نشان دهیم: - خرابی عناصر اول، دوم و سوم به ترتیب در مدار رخ داده است.

رویداد آ- هیچ جریانی در مدار وجود نخواهد داشت (حداقل یکی از عناصر از کار می افتد، زیرا آنها به صورت سری متصل هستند).

رویداد - جریان در مدار وجود دارد (سه عنصر در حال کار هستند)، . احتمال رخدادهای متضاد با فرمول (3.4) مرتبط است. یک رویداد محصول سه رویداد است که به صورت زوجی مستقل هستند. با استفاده از قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل به دست می آوریم

سپس احتمال رویداد مورد نظر است.

راه دوم

با در نظر گرفتن نماد پذیرفته شده قبلی، رویداد مورد نظر را یادداشت می کنیم آ- حداقل یکی از عناصر خراب می شود:

از آنجایی که عبارات موجود در مجموع با هم سازگار هستند، باید قضیه جمع احتمالات را در نمای کلیبرای مورد سه ترم (3.3):

پاسخ: 0,388.

مشکلاتی که باید به طور مستقل حل شوند

1 اتاق مطالعه دارای شش کتاب درسی نظریه احتمال است که سه تای آن صحافی شده است. کتابدار به طور تصادفی دو کتاب درسی گرفت. احتمال صحافی بودن هر دو کتاب درسی را پیدا کنید.

2 در کیسه نخ هایی مخلوط شده که 30 درصد آن سفید و بقیه قرمز است. احتمال اینکه دو رشته به طور تصادفی کشیده شده باشند را تعیین کنید: یک رنگ. رنگهای متفاوت.

3 این دستگاه از سه عنصر تشکیل شده است که به طور مستقل کار می کنند. احتمال عملیات بدون خرابی برای مدت معینی از عناصر اول، دوم و سوم به ترتیب 0.6 است. 0.7; 0.8. احتمالاتی را بیابید که در این مدت فقط یک عنصر بدون شکست کار کند. تنها دو عنصر؛ هر سه عنصر؛ حداقل دو عنصر

4 سه پرتاب تاس. احتمالات وقایع زیر را بیابید:

الف) پنج نقطه در هر طرف ترسیم شده ظاهر می شود.

ب) تعداد یکسانی از نقاط در همه طرف های افتاده ظاهر می شود.

ج) یک نقطه در دو طرف افتاده و تعداد دیگری از نقاط در سمت سوم ظاهر می شود.

د) تعداد متفاوتی از نقاط در تمام چهره های افتاده ظاهر می شود.

5 احتمال برخورد تیرانداز با یک شلیک به هدف 0.8 است. تیرانداز باید چند تیر شلیک کند تا با احتمال کمتر از 0.4 بتوان انتظار داشت که هیچ گلی وجود نداشته باشد؟

6 از اعداد 1، 2، 3، 4، 5 ابتدا یکی و سپس از چهار رقم باقیمانده، رقم دوم انتخاب می شود. فرض بر این است که همه 20 پیامد ممکن به یک اندازه محتمل هستند. احتمال انتخاب یک عدد فرد را بیابید: برای اولین بار. فرصت دوباره؛ هر دو بار

7 احتمال فروش مجدد یک جفت کفش سایز 46 در قسمت کفش مردانه فروشگاه 0.01 است. چند جفت کفش باید در یک فروشگاه فروخته شود تا با احتمال حداقل 0.9 بتوان انتظار داشت که حداقل یک جفت کفش سایز 46 فروخته شود؟

8 جعبه شامل 10 قسمت است که دو قطعه غیر استاندارد را شامل می شود. این احتمال را پیدا کنید که از شش قسمت انتخاب شده به طور تصادفی بیش از یک قسمت غیر استاندارد وجود نداشته باشد.

9 بخش کنترل فنی محصولات را از نظر استاندارد بودن بررسی می کند. احتمال غیر استاندارد بودن محصول 0.1 است. این احتمال را پیدا کنید که:

الف) از سه محصول آزمایش شده، فقط دو محصول غیر استاندارد می شوند.

ب) فقط چهارمین محصولی که به ترتیب آزمایش شده است غیر استاندارد است.

10 32 حرف از الفبای روسی روی کارت های الفبای بریده نوشته شده است:

الف) سه کارت به صورت تصادفی یکی پس از دیگری بیرون آورده می شوند و به ترتیب ظاهر روی میز قرار می گیرند. احتمال به دست آمدن کلمه "جهان" را بیابید.

ب) سه کارت حذف شده را می توان به هر طریقی تعویض کرد. احتمال اینکه بتوان از آنها برای تشکیل کلمه "جهان" استفاده کرد چقدر است؟

11 یک جنگنده به یک بمب افکن حمله می کند و دو انفجار مستقل به سمت آن شلیک می کند. احتمال سرنگونی یک بمب افکن با اولین انفجار 0.2 و دوم - 0.3 است. اگر بمب افکن سرنگون نشود، از اسلحه های عقب خود به سمت جنگنده شلیک می کند و با احتمال 0.25 آن را ساقط می کند. احتمال اینکه یک بمب افکن یا جنگنده در نتیجه نبرد هوایی سرنگون شود را بیابید.

مشق شب

1 فرمول احتمال کل فرمول بیز

2 حل مشکلات

وظیفه1 . یک کارگر سه ماشین را اداره می کند که مستقل از یکدیگر عمل می کنند. احتمال اینکه ماشین اول در عرض یک ساعت به توجه کارگر نیاز نداشته باشد 0.9، دومی 0.8 و سومی 0.85 است. این احتمال را پیدا کنید که در عرض یک ساعت حداقل یک ماشین به توجه یک کارگر نیاز دارد.

وظیفه2 . مرکز کامپیوتر که باید به طور مداوم اطلاعات دریافتی را پردازش کند، دارای دو دستگاه محاسباتی است. مشخص است که هر یک از آنها در طول مدتی احتمال شکست برابر با 0.2 دارند. شما باید احتمال را تعیین کنید:

الف) این واقعیت که یکی از دستگاه ها از کار می افتد و دومی عملیاتی می شود.

ب) عملکرد بدون مشکل هر دستگاه.

وظیفه3 . چهار شکارچی موافقت کردند که در یک سکانس مشخص به سمت بازی شلیک کنند: شکارچی بعدی فقط در صورتی شلیک می کند که شکارچی قبلی از دست بدهد. احتمال ضربه برای شکارچی اول 0.6، برای دوم - 0.7، برای سوم - 0.8 است. احتمال شلیک گلوله را پیدا کنید:

د) چهار.

وظیفه4 . این قطعه از چهار عملیات پردازشی عبور می کند. احتمال دریافت نقص در اولین عملیات 0.01، در دوم - 0.02، در طول سوم - 0.03 و در طول چهارم - 0.04 است. احتمال دریافت یک قطعه بدون عیب را پس از چهار عملیات با فرض مستقل بودن رویدادهای دریافت عیوب در عملیات تکی بیابید.

موسسه آموزشی "ایالت بلاروس

آکادمی کشاورزی"

گروه ریاضیات عالی

جمع و ضرب احتمالات. تست های مستقل مکرر

سخنرانی برای دانشجویان دانشکده مدیریت زمین

دوره های مکاتبات

گورکی، 2012

جمع و ضرب احتمالات. تکرار شد

تست های مستقل

اضافه شدن احتمالات

مجموع دو رویداد مشترک آو که دررویداد نامیده می شود با، متشکل از وقوع حداقل یکی از رویدادها آیا که در. به همین ترتیب، مجموع چندین رویداد مشترک، رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از این رویدادها.

مجموع دو رویداد ناسازگار آو که دررویداد نامیده می شود بامتشکل از یک اتفاق یا رویداد آ، یا رویدادها که در. به همین ترتیب، مجموع چندین رویداد ناسازگار، رویدادی است که از وقوع هر یک از این رویدادها تشکیل شده است.

قضیه برای جمع کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار معتبر است: احتمال مجموع دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها ، یعنی . این قضیه را می توان به هر تعداد محدودی از رویدادهای ناسازگار تعمیم داد.

از این قضیه به دست می آید:

مجموع احتمالات رخدادهایی که یک گروه کامل را تشکیل می دهند برابر با یک است.

مجموع احتمالات رویدادهای متضاد برابر با یک است، یعنی.
.

مثال 1 . جعبه شامل 2 توپ سفید، 3 قرمز و 5 توپ آبی است. توپ ها مخلوط می شوند و یکی به طور تصادفی کشیده می شود. احتمال رنگی شدن توپ چقدر است؟

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(توپ رنگی کشیده شده)؛

ب=(توپ سفید کشیده شده)؛

سی=(توپ قرمز کشیده شده)؛

D=(توپ آبی کشیده شده است).

سپس آ= سی+ D. از زمان وقایع سی, Dناسازگار هستند، پس از این قضیه برای جمع کردن احتمالات رویدادهای ناسازگار استفاده خواهیم کرد: .

مثال 2 . کوزه شامل 4 توپ سفید و 6 توپ سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از کوزه کشیده می شود. احتمال اینکه همه آنها یک رنگ باشند چقدر است؟

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(توپ های هم رنگ کشیده می شوند)؛

ب=(توپ های سفید خارج می شوند)؛

سی=(توپ های سیاه خارج می شوند).

زیرا آ= ب+ سیو رویدادها که درو بابا قضیه جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار، ناسازگار هستند
. احتمال وقوع که درمساوی با
، جایی که
4,

. جایگزین کنیم کو nوارد فرمول می شویم و دریافت می کنیم
به همین ترتیب، احتمال رویداد را پیدا می کنیم با:
، جایی که
,
، یعنی
. سپس
.

مثال 3 . از یک دسته 36 کارتی، 4 کارت به صورت تصادفی کشیده می شود. احتمال وجود حداقل سه آس در بین آنها را پیدا کنید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(در بین کارت های خارج شده حداقل سه آس وجود دارد).

ب=(در میان کارت های خارج شده سه آس وجود دارد).

سی= (در بین کارت های خارج شده چهار آس وجود دارد).

زیرا آ= ب+ سی، و رویدادها که درو باپس ناسازگار هستند
. بیایید احتمالات وقایع را پیدا کنیم که درو با:

,
. بنابراین، احتمال اینکه در بین کارت های کشیده شده حداقل سه آس وجود داشته باشد برابر است با

0.0022.

ضرب احتمالات

کار دو رویداد آو که دررویداد نامیده می شود با، شامل وقوع مشترک این رویدادها است:
. این تعریف برای هر تعداد محدودی از رویدادها اعمال می شود.

این دو رویداد نامیده می شوند مستقل ، در صورتی که احتمال وقوع یکی از آنها به وقوع یا عدم وقوع رویداد دیگر بستگی ندارد. مناسبت ها ,, … ,نامیده می شوند مستقل جمعی ، در صورتی که احتمال وقوع هر یک از آنها به وقوع یا عدم وقوع حوادث دیگر بستگی ندارد.

مثال 4 . دو تیرانداز به یک هدف شلیک می کنند. بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(اولین تیرانداز به هدف برخورد کرد)؛

ب=( تیرانداز دوم به هدف اصابت کرد).

بدیهی است که احتمال برخورد تیرانداز اول به هدف بستگی به اصابت تیرانداز دوم یا از دست دادن آن ندارد و بالعکس. بنابراین، حوادث آو که درمستقل.

قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل معتبر است: احتمال حاصلضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصلضرب احتمالات این رویدادها : .

این قضیه همچنین برای nرویدادهای مستقل جمعی: .

مثال 5 . دو تیرانداز به یک هدف شلیک می کنند. احتمال ضربه زدن به تیرانداز اول 0.9 و دومی 0.7 است. هر دو تیرانداز یک بار شلیک می کنند. احتمال وجود دو ضربه به هدف را تعیین کنید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ

ب

سی=(هر دو تیرانداز به هدف برخورد خواهند کرد).

زیرا
، و رویدادها آو که درپس مستقل هستند
، یعنی

مناسبت ها آو که درنامیده می شوند وابسته ، اگر احتمال وقوع یکی از آنها بستگی به این دارد که آیا رویداد دیگری رخ داده است یا خیر. احتمال وقوع یک رویداد آمشروط بر اینکه رویداد که دراز قبل رسیده است، نام آن است احتمال شرطی و تعیین شده است
یا
.

مثال 6 . کوزه شامل 4 توپ سفید و 7 توپ سیاه است. توپ ها از کوزه کشیده می شوند. بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(توپ سفید کشیده شده) ;

ب=(توپ سیاه کشیده شده است).

قبل از شروع برداشتن توپ ها از کوزه
. یک توپ از سطل برداشته شد و معلوم شد که سیاه است. سپس احتمال رویداد آبعد از این رویداد که دردیگری، برابر وجود خواهد داشت . این به این معنی است که احتمال یک رویداد آبستگی به رویداد دارد که در، یعنی این رویدادها وابسته خواهند بود.

قضیه ضرب احتمالات رویدادهای وابسته معتبر است: احتمال وقوع دو رویداد وابسته برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها و احتمال شرطی دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد قبلاً رخ داده است.، یعنی یا.

مثال 7 . کوزه شامل 4 توپ سفید و 8 توپ قرمز است. دو توپ به طور متوالی از آن به طور تصادفی کشیده می شود. احتمال سیاه بودن هر دو توپ را پیدا کنید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(اولین توپ سیاه کشیده شد)

ب=(دومین توپ سیاه کشیده شده است).

مناسبت ها آو که دروابسته چون
، آ
. سپس
.

مثال 8 . سه تیرانداز مستقل از یکدیگر به سمت هدف شلیک می کنند. احتمال اصابت به هدف برای تیرانداز اول 0.5، برای دومی 0.6 و برای سومی 0.8 است. اگر هر تیرانداز یک تیر شلیک کند، احتمال دو ضربه به هدف را پیدا کنید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ= (دو ضربه به هدف وجود خواهد داشت)؛

ب=(اولین تیرانداز به هدف برخورد می کند)؛

سی=(تیرانداز دوم به هدف برخورد می کند).

D=(تیرانداز سوم به هدف برخورد می کند).

=(تیرانداز اول به هدف نمی خورد)

=(تیرانداز دوم به هدف نمی خورد).

=( تیرانداز سوم به هدف نمی خورد).

طبق مثال
,
,
,

,
,
. از آنجایی که با استفاده از قضیه برای جمع احتمالات رویدادهای ناسازگار و قضیه ضرب احتمالات رویدادهای مستقل، به دست می‌آییم:

اجازه دهید رویدادها
یک گروه کامل از رویدادهای برخی از آزمون ها و رویدادها را تشکیل می دهند آتنها با یکی از این رویدادها ممکن است رخ دهد. در صورتی که احتمالات و احتمالات شرطی واقعه معلوم باشد آ، سپس احتمال رویداد A با فرمول محاسبه می شود:

یا
. این فرمول نامیده می شود فرمول احتمال کل ، و رویدادها
فرضیه ها .

مثال 9 . خط مونتاژ 700 قطعه از دستگاه اول و 300 قطعه دریافت می کند از دومی دستگاه اول 0.5٪ قراضه تولید می کند و دومی - 0.7٪. احتمال معیوب بودن قطعه گرفته شده را پیدا کنید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(قطعه گرفته شده معیوب خواهد بود).

=(قطعه بر روی دستگاه اول ساخته شده است)؛

=(قطعه بر روی دستگاه دوم ساخته شده است).

احتمال اینکه قطعه روی ماشین اول ساخته شود برابر است با
. برای دستگاه دوم
. با توجه به شرط، احتمال دریافت قطعه معیوب ساخته شده روی دستگاه اول برابر است با
. برای ماشین دوم این احتمال برابر است با
. سپس احتمال معیوب بودن قطعه گرفته شده با استفاده از فرمول احتمال کل محاسبه می شود

اگر معلوم باشد که در نتیجه آزمایش اتفاقی رخ داده است آ، سپس احتمال وقوع این رویداد با فرضیه
، برابر است
، جایی که
- احتمال کل یک رویداد آ. این فرمول نامیده می شود فرمول بیز و به شما امکان می دهد تا احتمالات رویدادها را محاسبه کنید
پس از مشخص شدن این رویداد آقبلا رسیده است

مثال 10 . همین نوع قطعات خودرو در دو کارخانه تولید و به فروشگاه تحویل داده می شود. اولین کارخانه 80٪ از تعداد کل قطعات را تولید می کند و دومی - 20٪. محصولات کارخانه اول شامل 90٪ قطعات استاندارد و دوم - 95٪ است. خریدار یک قطعه خرید و معلوم شد که استاندارد است. احتمال اینکه این قطعه در کارخانه دوم ساخته شده باشد را بیابید.

راه حل . بیایید وقایع را نشان دهیم:

آ=(قطعه استاندارد خریداری شده)؛

=(قطعه در اولین کارخانه تولید شد)؛

=(قطعه در کارخانه دوم ساخته شده است).

طبق مثال
,
,
و
. بیایید احتمال کل رویداد را محاسبه کنیم آ: 0.91. ما با استفاده از فرمول Bayes احتمال تولید قطعه در کارخانه دوم را محاسبه می کنیم:

.

وظایف برای کار مستقل

احتمال اصابت به هدف برای تیرانداز اول 0.8، برای دومی 0.7 و برای سومی 0.9 است. تیراندازان هر کدام یک تیر شلیک کردند. احتمال وجود حداقل دو ضربه به هدف را بیابید.

تعمیرگاه 15 تراکتور دریافت کرد. مشخص است که 6 مورد از آنها نیاز به تعویض موتور دارند و بقیه نیاز به تعویض اجزای جداگانه دارند. سه تراکتور به صورت تصادفی انتخاب می شوند. احتمال اینکه تعویض موتور برای بیش از دو تراکتور انتخابی ضروری نباشد را بیابید.

کارخانه بتن آرمه پانل هایی تولید می کند که 80 درصد آنها با کیفیت ترین هستند. این احتمال را پیدا کنید که از بین سه پانل به طور تصادفی انتخاب شده، حداقل دو پانل دارای بالاترین درجه باشند.

سه کارگر در حال مونتاژ بلبرینگ هستند. احتمال اینکه یاتاقان مونتاژ شده توسط کارگر اول از بالاترین کیفیت برخوردار باشد 0.7، دوم - 0.8 و سوم - 0.6 است. برای کنترل، یک یاتاقان به طور تصادفی از یاتاقان های مونتاژ شده توسط هر کارگر گرفته شد. احتمال اینکه حداقل دو تا از آنها از بالاترین کیفیت برخوردار باشند را پیدا کنید.

احتمال برنده شدن اولین بلیط قرعه کشی 0.2، دومی 0.3 و سومی 0.25 است. برای هر شماره یک بلیط وجود دارد. احتمال برنده شدن حداقل دو بلیط را پیدا کنید.

حسابدار با استفاده از سه کتاب مرجع محاسبات را انجام می دهد. احتمال اینکه داده مورد نظر او در دایرکتوری اول باشد 0.6، در دومی - 0.7 و در سوم - 0.8 است. احتمال اینکه داده های مورد نظر حسابدار در بیش از دو فهرست موجود نباشد را بیابید.

سه دستگاه قطعات تولید می کنند. دستگاه اول قسمتی با بالاترین کیفیت را با احتمال 0.9، دومی با احتمال 0.7 و سومی با احتمال 0.6 تولید می کند. از هر دستگاه یک قسمت به صورت تصادفی گرفته می شود. احتمال اینکه حداقل دو تا از آنها از بالاترین کیفیت برخوردار باشند را بیابید.

همان نوع قطعات در دو ماشین پردازش می شوند. احتمال تولید یک قطعه غیر استاندارد برای دستگاه اول 0.03 و برای دوم - 0.02 است. قطعات پردازش شده در یک مکان ذخیره می شوند. در این میان 67 درصد از دستگاه اول و بقیه از دستگاه دوم هستند. بخشی که به طور تصادفی گرفته شد استاندارد بود. احتمال اینکه در اولین ماشین ساخته شده است را پیدا کنید.

کارگاه دو جعبه از همان نوع خازن دریافت کرد. جعبه اول شامل 20 خازن بود که 2 خازن معیوب بود. جعبه دوم شامل 10 خازن است که 3 خازن معیوب است. خازن ها در یک جعبه قرار گرفتند. احتمال اینکه یک خازن به طور تصادفی از یک جعبه گرفته شده در شرایط خوبی باشد را پیدا کنید.

سه دستگاه یک نوع قطعات را تولید می کنند که به یک نوار نقاله مشترک عرضه می شود. از بین تمامی قطعات، 20 درصد از دستگاه اول، 30 درصد از دستگاه دوم و 505 از دستگاه سوم است. احتمال تولید قطعه استاندارد در دستگاه اول 0.8، در دومی 0.6 و در سومی 0.7 است. قسمت گرفته شده استاندارد بود. احتمال اینکه این قطعه روی ماشین سوم ساخته شده است را پیدا کنید.

مونتاژ کننده 40 درصد قطعات را از کارخانه برای مونتاژ دریافت می کند آ، و بقیه - از کارخانه که در. احتمال اینکه قطعه از کارخانه باشد آ– کیفیت برتر برابر 0.8 و از کارخانه که در- 0.9. مونتاژ کننده یک قسمت را به طور تصادفی گرفت و معلوم شد که کیفیت پایینی دارد. احتمال اینکه این قطعه از کارخانه است را پیدا کنید که در.

10 دانش آموز از گروه اول و 8 دانش آموز از گروه دوم به شرکت در مسابقات ورزشی دانش آموزی اختصاص یافتند. احتمال اینکه یک دانش آموز از گروه اول در تیم آکادمی قرار گیرد 0.8 و از گروه دوم - 0.7 است. یک دانش آموز به صورت تصادفی انتخاب شده در تیم قرار گرفت. احتمال اینکه او از گروه اول باشد را بیابید.

فرمول برنولی

آزمون ها نامیده می شوند مستقل ، اگر برای هر یک از آنها رویداد آبا همین احتمال رخ می دهد
، مستقل از اینکه آیا این رویداد در آزمایشات دیگر ظاهر شد یا نه. احتمال رخداد مخالف در این مورد برابر است
.

مثال 11 . پرتاب تاس nیک بار. بیایید رویداد را نشان دهیم آ=(غلط سه نقطه). احتمال وقوع یک رویداد آدر هر کارآزمایی برابر است و بستگی به این ندارد که آیا این رویداد در آزمایشات دیگر رخ داده است یا خیر. بنابراین این تست ها مستقل هستند. احتمال رخداد مخالف
(نوردن سه امتیاز) برابر است با
.

احتمال اینکه در nآزمایشات مستقل، که در هر یک از آنها احتمال وقوع رویداد آمساوی با پ، رویداد دقیقاً رخ خواهد داد کبار (مهم نیست به چه ترتیبی)، با فرمول محاسبه می شود
، جایی که
. این فرمول نامیده می شود فرمول برنولی و اگر تعداد تست های n خیلی زیاد نباشد راحت است.

مثال 12 . نسبت میوه های آلوده به بیماری به صورت نهفته 25 درصد است. 6 میوه به صورت تصادفی انتخاب می شوند. این احتمال را بیابید که در بین آنهایی که انتخاب شده اند: الف) دقیقاً 3 میوه آلوده وجود داشته باشد. ب) بیش از دو میوه آلوده نباشد.

راه حل . با توجه به شرایط مثال.

الف) طبق فرمول برنولی، احتمال اینکه از بین شش میوه انتخاب شده دقیقاً سه میوه آلوده شوند برابر است با

0.132.

ب) بیایید رویداد را نشان دهیم آ=(بیش از دو میوه آلوده نمی شود). سپس . طبق فرمول برنولی:

0.297.

از این رو،
0.178+0.356+0.297=0.831.

قضایای لاپلاس و پواسون

از فرمول برنولی برای یافتن احتمال وقوع یک رویداد استفاده می شود آخواهد آمد کیک بار در هر nآزمایشات مستقل و در هر آزمایش احتمال یک رویداد آثابت است برای مقادیر بزرگ n، محاسبات با استفاده از فرمول برنولی پر زحمت می شود. در این مورد، برای محاسبه احتمال یک رویداد آبهتر است از فرمول دیگری استفاده کنید.

قضیه لاپلاس محلی . اجازه دهید احتمال پوقوع یک رویداد آدر هر آزمایشی ثابت و متفاوت از صفر و یک است. سپس احتمال این که رویداد آدقیقا خواهد آمد کبار با تعداد کافی n تست، با فرمول محاسبه می شود

، جایی که
و مقادیر تابع
در جدول آورده شده است.

ویژگی های اصلی تابع
هستند:

تابع
تعریف شده و پیوسته در بازه
.

تابع
مثبت است، یعنی
>0.

تابع
حتی، یعنی
.

از آنجایی که تابع
زوج است، سپس جدول مقادیر آن را فقط برای مقادیر مثبت نشان می دهد ایکس.

مثال 13 . سرعت جوانه زنی بذر گندم 80 درصد است. 100 دانه برای آزمایش انتخاب می شود. این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً 90 دانه از دانه های انتخاب شده جوانه بزنند.

راه حل . طبق مثال n=100, ک=90, پ=0.8, q=1-0.8=0.2. سپس
. با استفاده از جدول مقدار تابع را پیدا می کنیم
:
. احتمال جوانه زدن دقیقا 90 دانه از دانه های انتخاب شده برابر است با
0.0044.

هنگام حل مسائل عملی، یافتن احتمال وقوع یک رویداد ضروری است آدر nتست های مستقل نه کمتر یک بار و نه بیشتر یک بار. این مشکل با استفاده از قضیه انتگرال لاپلاس : احتمال را بگذارید پوقوع یک رویداد آدر هرکدام nتست های مستقل ثابت و متفاوت از صفر و یک است. سپس احتمال وقوع رویداد حداقل است یک بار و نه بیشتر بار با تعداد کافی تست، با فرمول محاسبه می شود

جایی که
,
.

تابع
تماس گرفت تابع لاپلاس و از طریق توابع ابتدایی بیان نمی شود. مقادیر این تابع در جداول خاصی آورده شده است.

ویژگی های اصلی تابع
هستند:

.

تابع
در فاصله افزایش می یابد
.

در
.

تابع
عجیب و غریب، یعنی
.

مثال 14 . این شرکت محصولاتی را تولید می کند که 13 درصد آنها از بالاترین کیفیت برخوردار نیستند. احتمال اینکه در یک دسته آزمایش نشده 150 واحدی از بالاترین کیفیت محصول، کمتر از 125 و بیش از 135 نباشد را تعیین کنید.

راه حل . بیایید نشان دهیم. بیایید محاسبه کنیم
,

قضایای جمع و ضرب احتمال.

قضیه جمع کردن احتمالات دو رویداد. احتمال مجموع دو رویداد برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها بدون احتمال وقوع مشترک آنها.:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

قضیه جمع کردن احتمالات دو رویداد ناسازگار. احتمال مجموع دو رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات اینها:

P(A+B)=P(A)+P(B).

مثال 2.16.تیرانداز به هدفی که به 3 ناحیه تقسیم شده است شلیک می کند. احتمال برخورد به منطقه اول 0.45 است، دوم - 0.35. این احتمال را پیدا کنید که تیرانداز با یک شلیک به ناحیه اول یا دوم برخورد کند.

راه حل.

مناسبت ها آ- "تیرانداز به منطقه اول برخورد کرد" و که در- "تیرانداز به ناحیه دوم ضربه زد" - ناسازگار هستند (ورود به یک منطقه مستثنی از ورود به ناحیه دیگر است)، بنابراین قضیه جمع قابل اجرا است.

احتمال مورد نیاز این است:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

قضیه جمع احتمال پرویدادهای ناسازگار. احتمال مجموع n رویداد ناسازگار برابر است با مجموع احتمالات اینها:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

مجموع احتمالات رویدادهای متضاد برابر با یک است:

احتمال وقوع که درمشروط بر اینکه واقعه رخ داده باشد آ، احتمال شرطی واقعه نامیده می شود که درو به صورت زیر نشان داده می شود: P(V/A)،یا R A (B).

. احتمال وقوع دو واقعه برابر است با حاصل ضرب احتمال یکی از آنها و احتمال شرطی دیگری مشروط بر اینکه اولین واقعه رخ داده باشد:

P(AB)=P(A)P A (B).

رویداد که دربه رویداد بستگی ندارد آ، اگر

R A (V) = R (V)،

آن ها احتمال وقوع یک رویداد که دربستگی به این ندارد که آیا رویداد رخ داده است آ.

قضیه ضرب احتمالات دو رویداد مستقل.احتمال حاصلضرب دو رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(AB)=P(A)P(B).

مثال 2.17.احتمال اصابت به هدف هنگام شلیک اسلحه اول و دوم به ترتیب برابر است: ص 1 = 0,7; ص 2= 0.8. احتمال ضربه با یک اسلحه (از هر دو اسلحه) توسط حداقل یکی از اسلحه ها را پیدا کنید.

راه حل.

احتمال اصابت هر تفنگ به هدف به نتیجه شلیک از اسلحه دیگر بستگی ندارد، بنابراین حوادث آ– “اصابت با اولین اسلحه” و که در- "ضربه توسط تفنگ دوم" مستقل هستند.

احتمال وقوع AB- "هر دو اسلحه اصابت کردند":

احتمال مورد نیاز

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

قضیه ضرب احتمال پمناسبت ها.احتمال حاصلضرب n رویداد برابر است با حاصلضرب یکی از آنها با احتمالات مشروط بقیه، که با این فرض محاسبه می شود که همه رویدادهای قبلی رخ داده اند:

مثال 2.18. 5 توپ سفید، 4 گلوله سیاه و 3 توپ آبی در کوزه وجود دارد. هر آزمایش شامل برداشتن یک توپ به طور تصادفی بدون بازگرداندن آن است. این احتمال را پیدا کنید که در آزمایش اول یک توپ سفید (رویداد A)، در دوم - یک توپ سیاه (رویداد B) و در سوم - یک توپ آبی (رویداد C) ظاهر شود.

راه حل.

احتمال ظاهر شدن توپ سفید در اولین آزمایش:

احتمال ظاهر شدن یک توپ سیاه در آزمایش دوم، با این فرض که یک توپ سفید در آزمایش اول ظاهر شد، محاسبه می شود، یعنی احتمال مشروط:

احتمال ظاهر شدن یک توپ آبی در آزمایش سوم، با این فرض محاسبه می‌شود که یک توپ سفید در آزمایش اول و یک توپ سیاه در آزمایش دوم ظاهر می‌شود، یعنی احتمال مشروط:

احتمال مورد نیاز این است:

قضیه ضرب احتمال پرویدادهای مستقلاحتمال حاصل ضرب n رویداد مستقل برابر است با حاصل ضرب احتمالات آنها:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادها. احتمال وقوع حداقل یکی از رویدادهای A 1, A 2, ..., A n مجموعاً مستقل برابر است با اختلاف بین وحدت و حاصل ضرب احتمالات رویدادهای متضاد.:

.

مثال 2.19.احتمال اصابت به هدف هنگام شلیک از سه تفنگ به شرح زیر است: ص 1 = 0,8; ص 2 = 0,7;ص 3= 0.9. احتمال حداقل یک ضربه (رویداد آ) با یک اسلحه از همه اسلحه ها.

راه حل.

احتمال اصابت هر تفنگ به هدف به نتایج شلیک از سایر تفنگ ها بستگی ندارد، بنابراین رویدادهای مورد بررسی الف 1(اصابت اولین اسلحه) الف 2(اصابت با اسلحه دوم) و الف 3(اصابت با اسلحه سوم) در مجموع مستقل هستند.

احتمالات وقایع مخالف وقایع الف 1, الف 2و الف 3(یعنی احتمال از دست دادن) به ترتیب برابر با:

, , .

احتمال مورد نیاز این است:

اگر رویدادهای مستقل A 1, A 2, …, A pهمین احتمال را دارند آر، پس احتمال وقوع حداقل یکی از این رویدادها با فرمول بیان می شود:

Р(А)= 1 – q n،

جایی که q=1- p

2.7. فرمول احتمال کل فرمول بیز

اجازه دهید رویداد آممکن است به شرط وقوع یکی از رویدادهای ناسازگار رخ دهد N 1، N 2، …، N ص، تشکیل یک گروه کامل از رویدادها. از آنجایی که از قبل معلوم نیست کدام یک از این رویدادها رخ خواهد داد، آنها نامیده می شوند فرضیه ها.

احتمال وقوع رویداد آمحاسبه شده توسط فرمول احتمال کل:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

فرض کنید آزمایشی انجام شده است که در نتیجه آن رویداد آاتفاق افتاد احتمالات مشروط رویدادها N 1، N 2، …، N صدر رابطه با رویداد آتعیین شده اند فرمول های بیز:

,

مثال 2.20. در یک گروه 20 نفری که برای امتحان آمده بودند، 6 نفر از آمادگی عالی، 8 نفر آمادگی خوب، 4 نفر رضایت بخش و 2 نفر آمادگی ضعیف داشتند. برگه های امتحانی شامل 30 سوال می باشد. یک دانش آموز با آمادگی کامل می تواند به تمام 30 سوال پاسخ دهد، یک دانش آموز آماده می تواند به 24 سوال پاسخ دهد، یک دانش آموز آماده می تواند به 15 سوال و یک دانش آموز با آمادگی ضعیف می تواند به 7 سوال پاسخ دهد.

یک دانش آموز به صورت تصادفی به سه نفر به صورت تصادفی پاسخ داد. سوالات پرسیده شده. احتمال آمادگی این دانش آموز را بیابید: الف) عالی. ب) بد

راه حل.

فرضیه ها - "دانش آموز به خوبی آماده است"؛

- "دانش آموز به خوبی آماده است"؛

- "دانش آموز به طور رضایت بخشی آماده است"؛

- "دانش آموز آمادگی ضعیفی دارد."

قبل از تجربه:

; ; ; ;

7- گروه کامل رویدادها به چه چیزی گفته می شود؟

8. چه رویدادهایی به همان اندازه ممکن نامیده می شوند؟ نمونه هایی از این گونه وقایع را ذکر کنید.

9. نتیجه ابتدایی به چه چیزی گفته می شود؟

10. چه نتایجی را برای این رویداد مطلوب می دانم؟

11. چه عملیاتی را می توان روی رویدادها انجام داد؟ آنها را تعریف کنید. چگونه تعیین می شوند؟ مثال بزن.

12. احتمال نامیده می شود؟

13. احتمال یک رویداد قابل اعتماد چقدر است؟

14. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن چقدر است؟

15. حدود احتمال چیست؟

16- احتمال هندسی در یک صفحه چگونه تعیین می شود؟

17. احتمال در فضا چگونه تعیین می شود؟

18. احتمال بر روی خط مستقیم چگونه تعیین می شود؟

19. احتمال مجموع دو رویداد چقدر است؟

20. احتمال مجموع دو رویداد ناسازگار چقدر است؟

21. احتمال مجموع n رویداد ناسازگار چقدر است؟

22- چه احتمالی را مشروط می گویند؟ مثال زدن.

23- قضیه ضرب احتمال را بیان کنید.

24. چگونه می توان احتمال وقوع حداقل یکی از حوادث را پیدا کرد؟

25. به چه رویدادهایی فرضیه می گویند؟

26- چه زمانی از فرمول احتمال کل و فرمول بیز استفاده می شود؟