ઘર પલ્પાઇટિસ મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાના વિભેદક સમીકરણો. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ દ્વારા ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા

પલ્પાઇટિસ

મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાના વિભેદક સમીકરણો. લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ દ્વારા ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણો ઉકેલવા

મનસ્વી nth ક્રમના સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો:
(1) .
સ્થિરાંકના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, જેને આપણે પ્રથમ-ક્રમના સમીકરણ માટે ધ્યાનમાં લીધી છે, તે ઉચ્ચ-ક્રમના સમીકરણો માટે પણ લાગુ પડે છે.

ઉકેલ બે તબક્કામાં હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રથમ પગલામાં, અમે જમણી બાજુ છોડી દઈએ છીએ અને સજાતીય સમીકરણ ઉકેલીએ છીએ. પરિણામે, અમે n મનસ્વી સ્થિરાંકો ધરાવતો ઉકેલ મેળવીએ છીએ. બીજા તબક્કે આપણે સ્થિરાંકો બદલીએ છીએ. એટલે કે, અમે માનીએ છીએ કે આ સ્થિરાંકો સ્વતંત્ર ચલ x ના કાર્યો છે અને આ વિધેયોનું સ્વરૂપ શોધીએ છીએ.

તેમ છતાં આપણે અહીં સતત ગુણાંક સાથેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ, પરંતુ લેગ્રેન્જની પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે પણ લાગુ પડે છે. આ માટે, જો કે, સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ જાણીતી હોવી જોઈએ.

પગલું 1. સજાતીય સમીકરણ ઉકેલવું

ફર્સ્ટ-ઓર્ડર સમીકરણોના કિસ્સામાં, આપણે સૌપ્રથમ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલને શોધીએ છીએ, જમણી બાજુની અસંગત બાજુને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
(2) .
આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે:
(3) .
અહીં મનસ્વી સ્થિરાંકો છે; - n સજાતીય સમીકરણ (2) ના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો, જે આ સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

પગલું 2. સ્થિરાંકોની ભિન્નતા - સ્થિરાંકોને ફંક્શન્સ સાથે બદલવી

બીજા તબક્કે આપણે સ્થિરાંકોની વિવિધતા સાથે વ્યવહાર કરીશું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમે સ્થિરાંકોને સ્વતંત્ર ચલ x ના કાર્યો સાથે બદલીશું:
.
એટલે કે, અમે ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ મૂળ સમીકરણ(1) નીચે મુજબ:
(4) .

જો આપણે (4) ને (1) માં બદલીએ, તો આપણને n કાર્યો માટે એક વિભેદક સમીકરણ મળે છે. આ કિસ્સામાં, આપણે આ કાર્યોને વધારાના સમીકરણો સાથે જોડી શકીએ છીએ. પછી તમને n સમીકરણો મળે છે જેમાંથી n કાર્યો નક્કી કરી શકાય છે. વધારાના સમીકરણો લખી શકાય છે અલગ રસ્તાઓ. પરંતુ અમે આ કરીશું જેથી ઉકેલનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ હોય. આ કરવા માટે, જ્યારે ભિન્નતા કરતી વખતે, તમારે વિધેયોના ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતી શરતોને શૂન્યની સમાન કરવાની જરૂર છે. ચાલો આનું નિદર્શન કરીએ.

પ્રસ્તાવિત ઉકેલ (4) ને મૂળ સમીકરણ (1) માં બદલવા માટે, આપણે ફોર્મ (4) માં લખેલા ફંક્શનના પ્રથમ n ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવાની જરૂર છે. અમે (4) નો ઉપયોગ કરીને તફાવત કરીએ છીએ રકમના તફાવત માટેના નિયમોઅને કામ કરે છે:
.
ચાલો સભ્યોનું જૂથ કરીએ. પ્રથમ, અમે નાં ડેરિવેટિવ્ઝ સાથેની શરતો લખીએ છીએ, અને પછી આના વ્યુત્પન્ન સાથેની શરતો લખીએ છીએ:

.
ચાલો ફંક્શન્સ પર પ્રથમ શરત લાદીએ:
(5.1) .
પછી પ્રથમ વ્યુત્પન્ન માટેના સંદર્ભમાં અભિવ્યક્તિનું એક સરળ સ્વરૂપ હશે:
(6.1) .

સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

.
ચાલો કાર્યો પર બીજી શરત લાદીએ:
(5.2) .
પછી
(6.2) .
અને તેથી વધુ. IN વધારાની શરતો, અમે વિધેયોના ડેરિવેટિવ્સ ધરાવતા શબ્દોને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ.

આમ, જો આપણે કાર્યો માટે નીચેના વધારાના સમીકરણો પસંદ કરીએ:
(5.k) ,
પછી સંદર્ભમાં પ્રથમ ડેરિવેટિવ્ઝનું સૌથી સરળ સ્વરૂપ હશે:
(6.k) .
અહીં .

nમું વ્યુત્પન્ન શોધો:
(6.n)
.

મૂળ સમીકરણ (1) માં અવેજી કરો:
(1) ;

.
ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે તમામ કાર્યો સમીકરણને સંતોષે છે (2):
.
પછી સમાવિષ્ટ શબ્દોનો સરવાળો શૂન્ય આપે છે. પરિણામે આપણને મળે છે:
(7) .

પરિણામે, અમને ડેરિવેટિવ્ઝ માટે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

આ સિસ્ટમને ઉકેલતા, આપણે x ના કાર્ય તરીકે ડેરિવેટિવ્ઝ માટે સમીકરણો શોધીએ છીએ. એકીકરણ, અમને મળે છે:
.
અહીં એવા સ્થિરાંકો છે જે હવે x પર નિર્ભર નથી. (4) માં અવેજીમાં, અમે મૂળ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

નોંધ કરો કે ડેરિવેટિવ્ઝના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે, અમે ક્યારેય એ હકીકતનો ઉપયોગ કર્યો નથી કે સહગુણાંકો a i સતત છે. એ કારણે લેગ્રેન્જની પદ્ધતિ કોઈપણ રેખીય અસંગત સમીકરણોને ઉકેલવા માટે લાગુ પડે છે, જો સજાતીય સમીકરણ (2) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ જાણીતી હોય.

ઉદાહરણો

સ્થિરાંકોની વિવિધતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણો ઉકેલો (લેગ્રેન્જ).

ચાલો રેખીય અસંગતતાની વિચારણા તરફ વળીએ વિભેદક સમીકરણોપ્રકારની

જ્યાં - દલીલનું જરૂરી કાર્ય , અને કાર્યો

આપવામાં આવે છે અને ચોક્કસ અંતરાલ પર સતત
.

ચાલો રેખીય સજાતીય સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ, ડાબી બાજુજે ડાબી બાજુ સાથે એકરુપ છે અસંગત સમીકરણ (2.31),

ફોર્મનું સમીકરણ (2.32) કહેવાય છે અસંગત સમીકરણને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ (2.31).

નીચેની પ્રમેય અસંગત રેખીય સમીકરણ (2.31) ના સામાન્ય ઉકેલની રચના વિશે ધરાવે છે.

પ્રમેય 2.6.પ્રદેશમાં રેખીય અસંગત સમીકરણ (2.31) નો સામાન્ય ઉકેલ

તે તેના કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલનો સરવાળો છે અને ડોમેન (2.33) માં અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ (2.32) નો સામાન્ય ઉકેલ છે, એટલે કે.

જ્યાં - સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ (2.31),
સજાતીય સમીકરણ (2.32) ના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ છે, અને
- મનસ્વી સ્થિરાંકો.

તમને આ પ્રમેયનો પુરાવો આમાં મળશે.

ઉદાહરણ તરીકે બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, અમે એક પદ્ધતિની રૂપરેખા આપીશું જેના દ્વારા કોઈ એક રેખીય અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકે છે. આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ.

તો, ચાલો આપણે એક અસંગત રેખીય સમીકરણ આપીએ

(2.35)

ગુણાંક ક્યાં છે
અને જમણી બાજુ
અમુક અંતરાલમાં સતત
.

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ
અને
સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ

(2.36)

પછી તેના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

(2.37)

જ્યાં અને - મનસ્વી સ્થિરાંકો.

આપણે સમાન સ્વરૂપમાં સમીકરણ (2.35) નો ઉકેલ શોધીશું , તેમજ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ (અમે મનસ્વી સ્થિરાંકો બદલીએ છીએ),તે

જ્યાં
અને
- થી કેટલાક વિભેદક કાર્યો , જે હજુ અજ્ઞાત છે અને જેને અમે નક્કી કરવાનો પ્રયત્ન કરીશું જેથી તે ફંક્શન (2.38) અસંગત સમીકરણ (2.35) નો ઉકેલ હશે. સમાનતા (2.38) ની બંને બાજુઓને અલગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

જેથી ગણતરી કરતી વખતે ના બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ
અને
, અમને તે દરેક જગ્યાએ જરૂરી છે
શરત પૂરી થઈ

પછી માટે હશે

ચાલો બીજા ડેરિવેટિવની ગણતરી કરીએ

માટે અવેજી અભિવ્યક્તિઓ ,,(2.38), (2.40), (2.41) થી સમીકરણ (2.35) માં, આપણે મેળવીએ છીએ

ચોરસ કૌંસમાં સમીકરણો દરેક જગ્યાએ શૂન્ય સમાન છે
, કારણ કે અને - સમીકરણના આંશિક ઉકેલો (2.36). આ સ્થિતિમાં, (2.42) ફોર્મ લેશે આ સ્થિતિને શરત (2.39) સાથે જોડીને, અમે નક્કી કરવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ.
અને

(2.43)

છેલ્લી સિસ્ટમ એ બે બીજગણિત રેખીય અસંગત સમીકરણોની સિસ્ટમ છે
અને
. આ સિસ્ટમના નિર્ણાયક એ ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ માટે Wronski નિર્ણાયક છે ,અને, તેથી, દરેક જગ્યાએ બિનશૂન્ય છે
. આનો અર્થ એ છે કે સિસ્ટમ (2.43) પાસે અનન્ય ઉકેલ છે. પ્રમાણમાં તેને કોઈપણ રીતે હલ કર્યા
,
અમે શોધીશું

જ્યાં
અને
- જાણીતા કાર્યો.

એકીકરણ કરવું અને તેને ધ્યાનમાં લેવું
,
આપણે ફંક્શનની એક જોડી લેવી જોઈએ અને એકીકરણ સ્થિરાંકોને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવું જોઈએ. અમને મળે છે

સમીકરણો (2.44) ને સંબંધો (2.38) માં બદલીને, આપણે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણ (2.35) માટે ઇચ્છિત ઉકેલ લખી શકીએ છીએ.

રેખીય અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે આ પદ્ધતિનું સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે -મો ઓર્ડર.

ઉદાહરણ 2.6. સમીકરણ ઉકેલો
ખાતે
જો કાર્યો

અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે.

ચાલો આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ. આ કરવા માટે, લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ અનુસાર, આપણે પહેલા સિસ્ટમ (2.43) ઉકેલવી જોઈએ, જે આપણા કિસ્સામાં ફોર્મ ધરાવે છે
દ્વારા દરેક સમીકરણની બંને બાજુઓને ઘટાડીને અમે મેળવીએ છીએ

બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ શબ્દને પદ દ્વારા બાદ કરતાં, આપણે શોધીએ છીએ
અને પછી પ્રથમ સમીકરણથી તે અનુસરે છે
એકીકરણ કરવું અને એકીકરણ સ્થિરાંકોને શૂન્ય પર સેટ કરવું, આપણી પાસે હશે

આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે

આ સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

જ્યાં અને - મનસ્વી સ્થિરાંકો.

છેલ્લે, ચાલો આપણે એક નોંધપાત્ર ગુણધર્મની નોંધ લઈએ, જેને ઘણીવાર ઉકેલોના સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત કહેવામાં આવે છે અને તે નીચેના પ્રમેય દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

પ્રમેય 2.7.જો વચ્ચે હોય
કાર્ય
- સમીકરણ કાર્યનો ચોક્કસ ઉકેલ
સમાન અંતરાલ પરના સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ એ કાર્ય છે
સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ છે

સૈદ્ધાંતિક લઘુત્તમ
વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતમાં, એક પદ્ધતિ છે જે આ સિદ્ધાંત માટે સાર્વત્રિકતાની એકદમ ઉચ્ચ ડિગ્રી હોવાનો દાવો કરે છે.
અમે મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, જે ઉકેલને લાગુ પડે છે વિવિધ વર્ગોવિભેદક સમીકરણો અને તેમના
સિસ્ટમો આ ચોક્કસ કેસ છે જ્યારે સિદ્ધાંત - જો આપણે કૌંસમાંથી નિવેદનોના પુરાવા લઈએ - ન્યૂનતમ છે, પરંતુ તે આપણને પ્રાપ્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે
નોંધપાત્ર પરિણામો, તેથી ભાર ઉદાહરણો પર રહેશે.
પદ્ધતિનો સામાન્ય વિચાર ઘડવા માટે એકદમ સરળ છે. આપેલ સમીકરણ (સમીકરણોની પ્રણાલી) હલ કરવા મુશ્કેલ અથવા અગમ્ય હોવા દો,
તેને કેવી રીતે ઉકેલવું. જો કે, તે સ્પષ્ટ છે કે સમીકરણમાંથી કેટલીક શરતોને દૂર કરીને, તે હલ થાય છે. પછી તેઓ બરાબર આ સરળ રીતે ઉકેલે છે
સમીકરણ (સિસ્ટમ), અમે એક નિશ્ચિત સંખ્યાબંધ મનસ્વી સ્થિરાંકો ધરાવતો ઉકેલ મેળવીએ છીએ - સમીકરણના ક્રમના આધારે (સંખ્યા
સિસ્ટમમાં સમીકરણો). પછી એવું માનવામાં આવે છે કે શોધાયેલ દ્રાવણમાં સ્થિરાંકો વાસ્તવમાં શોધાયેલ ઉકેલ નથી;
મૂળ સમીકરણ (સિસ્ટમ) માં અવેજી કરવામાં આવે છે, "અચલ" નક્કી કરવા માટે એક વિભેદક સમીકરણ (અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમ) મેળવવામાં આવે છે.
વિવિધ સમસ્યાઓ માટે મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિને લાગુ કરવામાં કેટલીક વિશિષ્ટતાઓ છે, પરંતુ આ વિશિષ્ટતાઓ છે જે
ઉદાહરણો સાથે દર્શાવ્યું.
ચાલો આપણે ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત સમીકરણોના ઉકેલને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ, એટલે કે. ફોર્મના સમીકરણો
.
રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલ અને ચોક્કસ ઉકેલનો સરવાળો છે.
આ સમીકરણની. ચાલો ધારીએ કે સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ પહેલેથી જ મળી ગયો છે, એટલે કે, ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ (FSS) બનાવવામાં આવી છે.
. પછી સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે.
આપણે અસંગત સમીકરણનો કોઈ ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની જરૂર છે. આ હેતુ માટે, સ્થિરાંકોને ચલ પર આધારિત ગણવામાં આવે છે.
આગળ તમારે સમીકરણોની સિસ્ટમ હલ કરવાની જરૂર છે
.
સિદ્ધાંત ખાતરી આપે છે કે આ સિસ્ટમ બીજગણિતીય સમીકરણોફંક્શન્સના ડેરિવેટિવ્ઝ અંગે એક અનોખો ઉકેલ છે.
વિધેયો પોતાને શોધતી વખતે, એકીકરણના સ્થિરાંકો દેખાતા નથી: છેવટે, કોઈપણ એક ઉકેલ માંગવામાં આવે છે.
ફોર્મના રેખીય અસંગત પ્રથમ-ક્રમ સમીકરણોની પ્રણાલી ઉકેલવાના કિસ્સામાં

અલ્ગોરિધમ લગભગ યથાવત રહે છે. પ્રથમ તમારે અનુરૂપ FSR શોધવાની જરૂર છે સજાતીય સિસ્ટમસમીકરણો, મૂળભૂત મેટ્રિક્સ બનાવો
સિસ્ટમ, જેની કૉલમ FSR ના ઘટકોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આગળ, સમીકરણ દોરવામાં આવે છે
.
સિસ્ટમ ઉકેલતી વખતે, અમે કાર્યો નક્કી કરીએ છીએ, આમ મૂળ સિસ્ટમ માટે ચોક્કસ ઉકેલ શોધીએ છીએ
(મળેલા કાર્યોના કૉલમ દ્વારા મૂળભૂત મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે).
અમે તેને સજાતીય સમીકરણોની અનુરૂપ પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલમાં ઉમેરીએ છીએ, જે પહેલાથી મળી આવેલા એફએસઆરના આધારે બનાવવામાં આવે છે.
મૂળ સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણો.
ઉદાહરણ 1. પ્રથમ ક્રમના રેખીય અસંગત સમીકરણો.
ચાલો અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણને ધ્યાનમાં લઈએ (અમે ઇચ્છિત કાર્યને સૂચિત કરીએ છીએ):
.
આ સમીકરણને ચલોના વિભાજન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે:

.
હવે ફોર્મમાં મૂળ સમીકરણના ઉકેલની કલ્પના કરીએ , જ્યાં ફંક્શન હજુ સુધી મળ્યું નથી.
અમે આ પ્રકારના ઉકેલને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:
.
જેમ તમે જોઈ શકો છો, ડાબી બાજુની બીજી અને ત્રીજી શરતો એકબીજાને રદ કરે છે - આ છે લાક્ષણિકતામનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ.

અહીં તે પહેલેથી જ ખરેખર મનસ્વી સ્થિર છે. આમ,
.
ઉદાહરણ 2. બર્નૌલીનું સમીકરણ.
અમે પ્રથમ ઉદાહરણની જેમ જ આગળ વધીએ છીએ - અમે સમીકરણ હલ કરીએ છીએ

ચલોને અલગ કરવાની પદ્ધતિ. તે તારણ આપે છે, તેથી અમે ફોર્મમાં મૂળ સમીકરણનો ઉકેલ શોધીએ છીએ
.
અમે આ કાર્યને મૂળ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ:
.
અને ફરીથી ઘટાડો થાય છે:
.
અહીં તમારે ખાતરી કરવા માટે યાદ રાખવાની જરૂર છે કે જ્યારે સોલ્યુશન દ્વારા ભાગાકાર કરવામાં આવે ત્યારે ખોવાઈ ન જાય. અને મૂળ જવાબનો ઉકેલ કેસને અનુરૂપ છે
સમીકરણો ચાલો તેને યાદ કરીએ. તેથી,
.
ચાલો તેને લખીએ.
આ ઉપાય છે. જવાબ લખતી વખતે, તમારે અગાઉ મળેલ ઉકેલ પણ સૂચવવો જોઈએ, કારણ કે તે કોઈપણ અંતિમ મૂલ્યને અનુરૂપ નથી.
સ્થિરાંકો
ઉદાહરણ 3. ઉચ્ચ ઓર્ડરના રેખીય અસંગત સમીકરણો.
ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે આ સમીકરણ વધુ સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે, પરંતુ તેનો ઉપયોગ કરીને પદ્ધતિ દર્શાવવી તે અનુકૂળ છે. જોકે કેટલાક ફાયદા છે
આ ઉદાહરણમાં પણ ભિન્નતા પદ્ધતિમાં મનસ્વી સ્થિરાંક છે.
તેથી, તમારે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના FSR સાથે પ્રારંભ કરવાની જરૂર છે. ચાલો યાદ કરીએ કે FSR શોધવા માટે, એક લાક્ષણિક વળાંક સંકલિત કરવામાં આવે છે
સમીકરણ
.
આમ, સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ
.
અહીં સમાવિષ્ટ સ્થિરાંકો વિવિધ હોવા જોઈએ. સિસ્ટમ બનાવે છે

મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની પદ્ધતિ

રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ બાંધવા માટે મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

મનસ્વી સ્થિરાંકોને બદલવાનો સમાવેશ થાય છે c kસામાન્ય ઉકેલમાં

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

સહાયક કાર્યો માટે c k (t) , જેના ડેરિવેટિવ્સ રેખીય બીજગણિત સિસ્ટમને સંતોષે છે

સિસ્ટમનો નિર્ણાયક (1) ફંક્શન્સનો વોરોન્સકિયન છે z 1 ,z 2 ,...,z n , જે તેના સંદર્ભમાં તેની અનન્ય દ્રાવ્યતાની ખાતરી કરે છે.

જો માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય, તો એકીકરણ સ્થિરાંકોના નિશ્ચિત મૂલ્યો પર લેવામાં આવે છે, તો કાર્ય

મૂળ રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણનો ઉકેલ છે. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલની હાજરીમાં એક અસંગત સમીકરણનું એકીકરણ આમ ચતુર્થાંશમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

વેક્ટર સામાન્ય સ્વરૂપમાં રેખીય વિભેદક સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલો બનાવવા માટે મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની પદ્ધતિ

ફોર્મમાં ચોક્કસ સોલ્યુશન (1) બનાવવાનો સમાવેશ થાય છે

જ્યાં ઝેડ(t) એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોનો આધાર છે, જે મેટ્રિક્સના રૂપમાં લખાયેલ છે, અને વેક્ટર ફંક્શન, જેણે મનસ્વી સ્થિરાંકોના વેક્ટરને બદલ્યું છે, તે સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આવશ્યક ચોક્કસ ઉકેલ (શૂન્ય પ્રારંભિક મૂલ્યો સાથે t = t 0 જેવો દેખાય છે

સતત ગુણાંક ધરાવતી સિસ્ટમ માટે, છેલ્લી અભિવ્યક્તિ સરળ છે:

મેટ્રિક્સ ઝેડ(t)ઝેડ− 1 (τ)કહેવાય છે કોચી મેટ્રિક્સઓપરેટર એલ = એ(t) .

બાહ્ય લિંક્સ

exponenta.ru - ઉદાહરણો સાથે સૈદ્ધાંતિક માહિતી

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન. 2010.

આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, અથવા લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ, પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો અને બર્નૌલી સમીકરણને ઉકેલવાની બીજી રીત છે.

પ્રથમ ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો y’+p(x)y=q(x) સ્વરૂપના સમીકરણો છે. જો જમણી બાજુએ શૂન્ય છે: y’+p(x)y=0, તો આ એક રેખીય છે સમાન 1 લી ક્રમ સમીકરણ. તદનુસાર, બિનશૂન્ય સાથેનું સમીકરણ જમણી બાજુ, y’+p(x)y=q(x), — વિજાતીય રેખીય સમીકરણ 1 લી ઓર્ડર.

મનસ્વી સ્થિરાંકના વિવિધતાની પદ્ધતિ (લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ) નીચે મુજબ છે:

1) અમે સજાતીય સમીકરણ y’+p(x)y=0: y=y* માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધી રહ્યા છીએ.

2) સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, આપણે C ને સ્થિર નથી, પરંતુ x નું કાર્ય ગણીએ છીએ: C = C (x). અમે સામાન્ય ઉકેલ (y*)’નું વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ અને y* અને (y*)’ માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પ્રારંભિક સ્થિતિમાં બદલીએ છીએ. પરિણામી સમીકરણમાંથી આપણે ફંક્શન C(x) શોધીએ છીએ.

3) સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં, C ને બદલે, અમે મળેલ અભિવ્યક્તિ C(x) ને બદલીએ છીએ.

ચાલો મનસ્વી સ્થિરાંકને બદલવાની પદ્ધતિના ઉદાહરણો જોઈએ. ચાલો એ જ કાર્યો લઈએ જેમ કે, ઉકેલની પ્રગતિની તુલના કરીએ અને ખાતરી કરીએ કે પ્રાપ્ત જવાબો એકરૂપ છે.

1) y’=3x-y/x

ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં સમીકરણને ફરીથી લખીએ (બર્નૌલીની પદ્ધતિથી વિપરીત, જ્યાં આપણને સમીકરણ રેખીય છે તે જોવા માટે માત્ર સંકેત ફોર્મની જરૂર હતી).

y’+y/x=3x (I). હવે અમે યોજના મુજબ આગળ વધીએ છીએ.

1) સજાતીય સમીકરણ y’+y/x=0 ઉકેલો. આ વિભાજિત ચલો સાથેનું સમીકરણ છે. કલ્પના કરો y’=dy/dx, અવેજી: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને xy≠0 વડે ભાગીએ છીએ: dy/y=-dx/x. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

2) સજાતીય સમીકરણના પરિણામી સામાન્ય ઉકેલમાં, આપણે C ને સ્થિર નહીં, પરંતુ x નું કાર્ય ગણીશું: C=C(x). અહીંથી

અમે પરિણામી સમીકરણોને શરત (I) માં બદલીએ છીએ:

ચાલો સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ:

અહીં સી પહેલેથી જ કેટલાક નવા સ્થિર છે.

3) સજાતીય સમીકરણ y=C/x ના સામાન્ય ઉકેલમાં, જ્યાં આપણે C=C(x), એટલે કે, y=C(x)/x ધારીએ છીએ, C(x) ને બદલે આપણે મળેલ અભિવ્યક્તિ x³ ને બદલીએ છીએ. +C: y=(x³ +C)/x અથવા y=x²+C/x. બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલતી વખતે અમને તે જ જવાબ મળ્યો.

જવાબ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

અહીં સમીકરણ પહેલાથી જ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં લખાયેલું છે; તેને બદલવાની જરૂર નથી.

1) સજાતીય રેખીય સમીકરણ y’+y=0 ઉકેલો: dy/dx=-y; dy/y=-dx. ચાલો એકીકૃત કરીએ:

નોટેશનનું વધુ અનુકૂળ સ્વરૂપ મેળવવા માટે, અમે ઘાતાંકને C ની શક્તિમાં નવા C તરીકે લઈએ છીએ:

વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે તેને વધુ અનુકૂળ બનાવવા માટે આ પરિવર્તન કરવામાં આવ્યું હતું.

2) રેખીય સજાતીય સમીકરણના પરિણામી સામાન્ય સોલ્યુશનમાં, આપણે C ને સ્થિર નથી, પરંતુ x નું કાર્ય ગણીએ છીએ: C=C(x). આ શરત હેઠળ

અમે પરિણામી સમીકરણો y અને y' ને શરતમાં બદલીએ છીએ:

દ્વારા સમીકરણની બંને બાજુનો ગુણાકાર કરો

અમે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીએ છીએ, અમને મળે છે:

અહીં C હવે ફંક્શન નથી, પરંતુ એક સામાન્ય સ્થિરાંક છે.

3) સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલમાં

મળેલ ફંક્શન C(x) ને બદલો:

બર્નૌલીની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલતી વખતે અમને તે જ જવાબ મળ્યો.

આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટના ભિન્નતાની પદ્ધતિ ઉકેલ માટે પણ લાગુ પડે છે.

y'x+y=-xy².

અમે સમીકરણને ઘટાડીએ છીએ પ્રમાણભૂત દૃશ્ય: y’+y/x=-y² (II).

1) સજાતીય સમીકરણ y’+y/x=0 ઉકેલો. dy/dx=-y/x. આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને dx વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને y વડે ભાગીએ છીએ: dy/y=-dx/x. હવે ચાલો એકીકૃત કરીએ:

અમે પરિણામી અભિવ્યક્તિઓને શરત (II) માં બદલીએ છીએ:

ચાલો સરળ કરીએ:

અમે C અને x માટે અલગ કરી શકાય તેવા ચલો સાથેનું સમીકરણ મેળવ્યું:

અહીં C પહેલેથી જ એક સામાન્ય સ્થિરાંક છે. સંકલન પ્રક્રિયા દરમિયાન, અમે C(x) ને બદલે ખાલી C લખ્યું, જેથી નોટેશન ઓવરલોડ ન થાય. અને અંતે અમે C(x) પર પાછા ફર્યા, જેથી C(x) ને નવા C સાથે ગૂંચવવામાં ન આવે.

3) સજાતીય સમીકરણ y=C(x)/x ના સામાન્ય ઉકેલમાં આપણે મળેલા ફંક્શન C(x) ને બદલીએ છીએ: