અપેક્ષા અને ભિન્નતા એ સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ છે રેન્ડમ ચલ. તેઓ વિતરણની સૌથી મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓ દર્શાવે છે: તેની સ્થિતિ અને સ્કેટરિંગની ડિગ્રી. ઘણી વ્યવહારુ સમસ્યાઓમાં, રેન્ડમ ચલની સંપૂર્ણ, સંપૂર્ણ લાક્ષણિકતા - વિતરણ કાયદો - કાં તો બિલકુલ મેળવી શકાતો નથી, અથવા તેની બિલકુલ જરૂર નથી. આ કિસ્સાઓમાં, સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલના અંદાજિત વર્ણન સુધી મર્યાદિત છે.

અપેક્ષિત મૂલ્યને ઘણીવાર રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ એ વિક્ષેપની લાક્ષણિકતા છે, તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલનો ફેલાવો.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

ચાલો આપણે એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણના યાંત્રિક અર્થઘટન પર આધારિત, ગાણિતિક અપેક્ષાના ખ્યાલનો સંપર્ક કરીએ. એકમ સમૂહને x-અક્ષના બિંદુઓ વચ્ચે વિતરિત કરવા દો x1 , x 2 , ..., x n, અને દરેક મટીરીયલ પોઈન્ટનું અનુરૂપ માસ હોય છે પી1 , પી 2 , ..., પી n. એબ્સિસા અક્ષ પર એક બિંદુ પસંદ કરવું જરૂરી છે, ભૌતિક બિંદુઓની સમગ્ર સિસ્ટમની સ્થિતિને દર્શાવતા, તેમના સમૂહને ધ્યાનમાં લેતા. ભૌતિક બિંદુઓની સિસ્ટમના દળના કેન્દ્રને આવા બિંદુ તરીકે લેવું સ્વાભાવિક છે. આ રેન્ડમ ચલની ભારિત સરેરાશ છે એક્સ, જેમાં પ્રત્યેક બિંદુનો અબ્સિસા xiઅનુરૂપ સંભાવનાના સમાન "વજન" સાથે પ્રવેશ કરે છે. આ રીતે મેળવેલ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય એક્સતેની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા એ તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ છે:

ઉદાહરણ 1.જીત-જીત લોટરીનું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે. ત્યાં 1000 જીત છે, જેમાંથી 400 10 રુબેલ્સ છે. 300 - 20 રુબેલ્સ દરેક. 200 - 100 રુબેલ્સ દરેક. અને 100 - 200 રુબેલ્સ દરેક. શું સરેરાશ કદએક ટિકિટ ખરીદનાર માટે જીત?

ઉકેલ. સરેરાશ જીતજો આપણે શોધીશું કુલ રકમજીત, જે 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 રુબેલ્સની બરાબર છે, 1000 (જીતની કુલ રકમ) દ્વારા વિભાજીત કરો. પછી આપણને 50000/1000 = 50 રુબેલ્સ મળે છે. પરંતુ સરેરાશ જીતની ગણતરી માટે અભિવ્યક્તિ નીચેના સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

બીજી બાજુ, આ પરિસ્થિતિઓમાં, વિજેતા કદ એ રેન્ડમ ચલ છે, જે 10, 20, 100 અને 200 રુબેલ્સના મૂલ્યો લઈ શકે છે. અનુક્રમે 0.4 ની સમાન સંભાવનાઓ સાથે; 0.3; 0.2; 0.1. તેથી, અપેક્ષિત સરેરાશ ચૂકવણી સરવાળો સમાનજીતના કદના ઉત્પાદનો અને તેમને પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના.

ઉદાહરણ 2.પ્રકાશકે નવું પુસ્તક પ્રકાશિત કરવાનું નક્કી કર્યું. તે પુસ્તકને 280 રુબેલ્સમાં વેચવાની યોજના ધરાવે છે, જેમાંથી તે પોતે 200, 50 - પુસ્તકની દુકાન અને 30 - લેખકને પ્રાપ્ત કરશે. કોષ્ટક પુસ્તક પ્રકાશિત કરવાના ખર્ચ અને પુસ્તકની ચોક્કસ સંખ્યામાં નકલો વેચવાની સંભાવના વિશે માહિતી પ્રદાન કરે છે.

પ્રકાશકનો અપેક્ષિત નફો શોધો.

ઉકેલ. રેન્ડમ ચલ "નફો" વેચાણમાંથી આવક અને ખર્ચની કિંમત વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ પુસ્તકની 500 નકલો વેચાય છે, તો વેચાણમાંથી આવક 200 * 500 = 100,000 છે, અને પ્રકાશનની કિંમત 225,000 રુબેલ્સ છે. આમ, પ્રકાશકને 125,000 રુબેલ્સના નુકસાનનો સામનો કરવો પડે છે. નીચેનું કોષ્ટક રેન્ડમ ચલ - નફોના અપેક્ષિત મૂલ્યોનો સારાંશ આપે છે:

નંબર	નફો xi	સંભાવના પીi	xi પી i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
કુલ:		1,00	25000

આમ, આપણને મળે છે અપેક્ષિત મૂલ્યપ્રકાશકનો નફો:

.

ઉદાહરણ 3.એક શોટ સાથે હિટ થવાની સંભાવના પી= 0.2. 5 જેટલી હિટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા પૂરી પાડતા અસ્ત્રોનો વપરાશ નક્કી કરો.

ઉકેલ. એ જ ગાણિતિક અપેક્ષા સૂત્રમાંથી જેનો આપણે અત્યાર સુધી ઉપયોગ કર્યો છે, આપણે વ્યક્ત કરીએ છીએ x- શેલ વપરાશ:

.

ઉદાહરણ 4.રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા નક્કી કરો xત્રણ શોટ સાથે હિટની સંખ્યા, જો દરેક શોટ સાથે હિટની સંભાવના પી = 0,4 .

સંકેત: દ્વારા રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોની સંભાવના શોધો બર્નૌલીનું સૂત્ર .

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લઈએ.

મિલકત 1.સ્થિર મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા આ સ્થિરાંક સમાન છે:

મિલકત 2.સતત પરિબળને ગાણિતિક અપેક્ષા ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે:

મિલકત 3.રેન્ડમ ચલોના સરવાળા (તફાવત)ની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા (તફાવત) જેટલી છે:

મિલકત 4.રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની સમાન છે:

મિલકત 5.જો રેન્ડમ ચલના તમામ મૂલ્યો એક્સસમાન સંખ્યામાં ઘટાડો (વધારો). સાથે, પછી તેની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન સંખ્યામાં ઘટાડો (વધારો) થશે:

જ્યારે તમે તમારી જાતને માત્ર ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સુધી મર્યાદિત કરી શકતા નથી

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, માત્ર ગાણિતિક અપેક્ષા જ પર્યાપ્ત રીતે રેન્ડમ ચલને લાક્ષણિકતા આપી શકતી નથી.

રેન્ડમ ચલો દો એક્સઅને વાયનીચેના વિતરણ કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

અર્થ એક્સ	સંભાવના
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

અર્થ વાય	સંભાવના
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

આ જથ્થાઓની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સમાન છે - શૂન્યની બરાબર:

જો કે, તેમની વિતરણ પદ્ધતિ અલગ છે. રેન્ડમ મૂલ્ય એક્સમાત્ર એવા મૂલ્યો લઈ શકે છે જે ગાણિતિક અપેક્ષા અને રેન્ડમ ચલથી થોડા અલગ હોય વાયએવા મૂલ્યો લઈ શકે છે જે ગાણિતિક અપેક્ષાથી નોંધપાત્ર રીતે વિચલિત થાય છે. એક સમાન ઉદાહરણ: સરેરાશ પગાર તે નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવતું નથી ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણઉચ્ચ અને ઓછા પગારવાળા કામદારો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈ ગાણિતિક અપેક્ષાથી નક્કી કરી શકતું નથી કે તેમાંથી કયા વિચલનો, ઓછામાં ઓછા સરેરાશ, શક્ય છે. આ કરવા માટે, તમારે રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધવાની જરૂર છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા

ભિન્નતાઅલગ રેન્ડમ ચલ એક્સગાણિતિક અપેક્ષામાંથી તેના વિચલનના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે:

રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન એક્સતેના વિચલનના વર્ગમૂળનું અંકગણિત મૂલ્ય કહેવાય છે:

.

ઉદાહરણ 5.રેન્ડમ ચલોના ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલનોની ગણતરી કરો એક્સઅને વાય, જેના વિતરણ કાયદાઓ ઉપરના કોષ્ટકોમાં આપવામાં આવ્યા છે.

ઉકેલ. રેન્ડમ ચલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ એક્સઅને વાય, ઉપર મળ્યા મુજબ, શૂન્યની બરાબર છે. ખાતે વિક્ષેપ સૂત્ર મુજબ ઇ(એક્સ)=ઇ(y)=0 અમને મળે છે:

પછી રેન્ડમ ચલોના પ્રમાણભૂત વિચલનો એક્સઅને વાયશનગાર

.

આમ, સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે, રેન્ડમ ચલનો તફાવત એક્સખૂબ નાનું, પરંતુ રેન્ડમ ચલ વાય- નોંધપાત્ર. આ તેમના વિતરણમાં તફાવતનું પરિણામ છે.

ઉદાહરણ 6.રોકાણકાર પાસે 4 વૈકલ્પિક રોકાણ પ્રોજેક્ટ છે. કોષ્ટક આ પ્રોજેક્ટ્સમાં અનુરૂપ સંભાવના સાથે અપેક્ષિત નફાનો સારાંશ આપે છે.

પ્રોજેક્ટ 1	પ્રોજેક્ટ 2	પ્રોજેક્ટ 3	પ્રોજેક્ટ 4
500, પી=1	1000, પી=0,5	500, પી=0,5	500, પી=0,5
	0, પી=0,5	1000, પી=0,25	10500, પી=0,25
		0, પી=0,25	9500, પી=0,25

દરેક વિકલ્પ માટે ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા અને પ્રમાણભૂત વિચલન શોધો.

ઉકેલ. ચાલો બતાવીએ કે 3જી વિકલ્પ માટે આ મૂલ્યોની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે:

કોષ્ટક બધા વિકલ્પો માટે મળેલા મૂલ્યોનો સારાંશ આપે છે.

બધા વિકલ્પો સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ધરાવે છે. મતલબ કે લાંબા ગાળે દરેકની આવક સરખી છે. પ્રમાણભૂત વિચલનને જોખમના માપ તરીકે અર્થઘટન કરી શકાય છે - તે જેટલું ઊંચું છે, રોકાણનું જોખમ વધારે છે. જે રોકાણકાર વધુ જોખમ ઇચ્છતો નથી તે પ્રોજેક્ટ 1 પસંદ કરશે કારણ કે તેમાં સૌથી નાનું પ્રમાણભૂત વિચલન (0) છે. જો રોકાણકાર ટૂંકા ગાળામાં જોખમ અને ઊંચું વળતર પસંદ કરે છે, તો તે સૌથી મોટો પ્રોજેક્ટ પસંદ કરશે પ્રમાણભૂત વિચલન- પ્રોજેક્ટ 4.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો

ચાલો વિક્ષેપના ગુણધર્મો રજૂ કરીએ.

મિલકત 1.સ્થિર મૂલ્યનો તફાવત શૂન્ય છે:

મિલકત 2.અચળ પરિબળને વિક્ષેપ ચિન્હમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે.

.

મિલકત 3.રેન્ડમ ચલનો તફાવત આ મૂલ્યના વર્ગની ગાણિતિક અપેક્ષા સમાન છે, જેમાંથી મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષાનો વર્ગ પોતે જ બાદ કરવામાં આવે છે:

,

જ્યાં .

મિલકત 4.રેન્ડમ ચલોના સરવાળા (તફાવત) નું વિચલન તેમના ચલોના સરવાળા (તફાવત) જેટલું છે:

ઉદાહરણ 7.તે જાણીતું છે કે એક અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સમાત્ર બે મૂલ્યો લે છે: −3 અને 7. વધુમાં, ગાણિતિક અપેક્ષા જાણીતી છે: ઇ(એક્સ) = 4. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો તફાવત શોધો.

ઉકેલ. ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ પીસંભાવના કે જેની સાથે રેન્ડમ ચલ મૂલ્ય લે છે x1 = −3 . પછી મૂલ્યની સંભાવના x2 = 7 1 - હશે પી. ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષા માટે સમીકરણ મેળવીએ:

ઇ(એક્સ) = x 1 પી + x 2 (1 − પી) = −3પી + 7(1 − પી) = 4 ,

જ્યાં આપણને સંભાવનાઓ મળે છે: પી= 0.3 અને 1 − પી = 0,7 .

રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો:

એક્સ	−3	7
પી	0,3	0,7

અમે વિક્ષેપના ગુણધર્મ 3માંથી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાની ગણતરી કરીએ છીએ:

ડી(એક્સ) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા જાતે શોધો અને પછી ઉકેલ જુઓ

ઉદાહરણ 8.અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સમાત્ર બે મૂલ્યો લે છે. તે સંભાવના 0.4 સાથે 3 ના મોટા મૂલ્યોને સ્વીકારે છે. વધુમાં, રેન્ડમ ચલનો તફાવત જાણીતો છે ડી(એક્સ) = 6 . રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉદાહરણ 9.કલરમાં 6 સફેદ અને 4 કાળા દડા છે. કલગીમાંથી 3 બોલ દોરવામાં આવે છે. દોરેલા દડાઓમાં સફેદ દડાઓની સંખ્યા એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે એક્સ. આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો.

ઉકેલ. રેન્ડમ મૂલ્ય એક્સમૂલ્યો 0, 1, 2, 3 લઈ શકે છે. અનુરૂપ સંભાવનાઓની ગણતરી અહીંથી કરી શકાય છે સંભાવના ગુણાકાર નિયમ. રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો:

એક્સ	0	1	2	3
પી	1/30	3/10	1/2	1/6

તેથી આ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા:

એમ(એક્સ) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

આપેલ રેન્ડમ ચલનો તફાવત છે:

ડી(એક્સ) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

સતત રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા અને વિચલન

સતત રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાનું યાંત્રિક અર્થઘટન એ જ અર્થ જાળવી રાખશે: ઘનતા સાથે x-અક્ષ પર સતત વિતરિત એકમ સમૂહ માટે દળનું કેન્દ્ર f(x). એક અલગ રેન્ડમ ચલથી વિપરીત, જેની કાર્ય દલીલ xiઅચાનક બદલાય છે; સતત રેન્ડમ ચલ માટે, દલીલ સતત બદલાય છે. પરંતુ સતત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના સરેરાશ મૂલ્ય સાથે પણ સંબંધિત છે.

સતત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધવા માટે, તમારે ચોક્કસ પૂર્ણાંકો શોધવાની જરૂર છે . જો સતત રેન્ડમ ચલનું ઘનતા કાર્ય આપવામાં આવે છે, તો તે સીધું ઇન્ટિગ્રેન્ડમાં પ્રવેશ કરે છે. જો સંભાવના વિતરણ કાર્ય આપવામાં આવે છે, તો તેને અલગ કરીને, તમારે ઘનતા કાર્ય શોધવાની જરૂર છે.

સતત રેન્ડમ ચલના તમામ સંભવિત મૂલ્યોની અંકગણિત સરેરાશ કહેવાય છે ગાણિતિક અપેક્ષા, અથવા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ઉકેલ.

રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોના વિક્ષેપના માપ તરીકે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ વિક્ષેપ

વિખેરવું (વિખેરવું શબ્દનો અર્થ થાય છે “વિખેરવું”) છે રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોના વિક્ષેપનું માપતેની ગાણિતિક અપેક્ષાને સંબંધિત. વિક્ષેપ એ તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા છે

જો રેન્ડમ ચલ અનંત પરંતુ ગણતરીપાત્ર મૂલ્યોના સમૂહ સાથે અલગ હોય, તો પછી

જો સમાનતાની જમણી બાજુની શ્રેણી એકરૂપ થાય છે.

વિખેરવાના ગુણધર્મો.

• 1. સ્થિર મૂલ્યનું વિચલન શૂન્ય છે
• 2. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનું વિચલન ચલોના સરવાળા જેટલું છે
• 3. ચોરસ વિક્ષેપના ચિહ્નમાંથી સ્થિર પરિબળને બહાર લઈ શકાય છે

રેન્ડમ ચલોના તફાવતનો ભિન્નતા ભિન્નતાઓના સરવાળા સમાન છે

આ મિલકત બીજા અને ત્રીજા ગુણધર્મોનું પરિણામ છે. ભિન્નતા ફક્ત ઉમેરી શકાય છે.

વિક્ષેપના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સરળતાથી મેળવી શકાય તેવા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિક્ષેપની ગણતરી કરવી અનુકૂળ છે.

તફાવત હંમેશા હકારાત્મક હોય છે.

ભિન્નતા ધરાવે છે પરિમાણરેન્ડમ ચલનું સ્ક્વેર્ડ પરિમાણ, જે હંમેશા અનુકૂળ હોતું નથી. તેથી, જથ્થો

પ્રમાણભૂત વિચલનરેન્ડમ ચલનું (પ્રમાણભૂત વિચલન અથવા પ્રમાણભૂત) એ તેના વિચલનના વર્ગમૂળનું અંકગણિત મૂલ્ય છે

2 અને 5 રુબેલ્સના સંપ્રદાયોમાં બે સિક્કા ફેંકો. જો સિક્કો શસ્ત્રોના કોટ તરીકે ઉતરે છે, તો શૂન્ય પોઈન્ટ આપવામાં આવે છે, અને જો તે સંખ્યા તરીકે ઉતરે છે, તો સિક્કાના મૂલ્યના સમાન પોઈન્ટની સંખ્યા. પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા શોધો.

ઉકેલ.ચાલો પહેલા રેન્ડમ ચલ Xનું વિતરણ શોધીએ - પોઈન્ટની સંખ્યા. બધા સંયોજનો - (2;5), (2;0), (0;5), (0;0) - સમાન રીતે સંભવિત છે અને વિતરણ કાયદો છે:

અપેક્ષિત મૂલ્ય:

આપણે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને તફાવત શોધીએ છીએ

આપણે શા માટે ગણતરી કરીએ છીએ

ઉદાહરણ 2.

અજ્ઞાત સંભાવના શોધો આર, ગાણિતિક અપેક્ષા અને એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિચલન, આપેલ ટેબલસંભાવના વિતરણ

અમે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને તફાવત શોધીએ છીએ:

એમ(એક્સ) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8

વિક્ષેપની ગણતરી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (19.4)

ડી(એક્સ) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -

ઉદાહરણ 3.બે સમાન મજબૂત એથ્લેટ એક ટુર્નામેન્ટ ધરાવે છે જે કાં તો તેમાંથી એકની પ્રથમ જીત સુધી અથવા પાંચ રમતો રમાય ત્યાં સુધી ચાલે છે. દરેક એથ્લેટ માટે એક રમત જીતવાની સંભાવના 0.3 છે અને ડ્રોની સંભાવના 0.4 છે. વિતરણ કાયદો, ગાણિતિક અપેક્ષા અને રમાયેલી રમતોની સંખ્યાનું વિક્ષેપ શોધો.

ઉકેલ.રેન્ડમ મૂલ્ય એક્સ- રમાતી રમતોની સંખ્યા, 1 થી 5 સુધીના મૂલ્યો લે છે, એટલે કે.

ચાલો મેચ સમાપ્ત થવાની સંભાવનાઓ નક્કી કરીએ. જો તેમનો એક એથ્લેટ જીતે તો મેચ પ્રથમ સેટ પર સમાપ્ત થશે. જીતવાની સંભાવના છે

આર(1) = 0,3+0,3 =0,6.

જો ત્યાં ડ્રો હતો (ડ્રોની સંભાવના 1 - 0.6 = 0.4 છે), તો મેચ ચાલુ રહે છે. જો પ્રથમ ડ્રો હોય અને કોઈ બીજી જીતે તો મેચ બીજી ગેમમાં સમાપ્ત થશે. સંભાવના

આર(2) = 0,4 0,6=0,24.

તેવી જ રીતે, જો સળંગ બે ડ્રો હોય અને ફરીથી કોઈ જીતે તો મેચ ત્રીજી ગેમ પર સમાપ્ત થશે

આર(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. આર(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.

કોઈપણ સંસ્કરણમાં પાંચમી રમત છેલ્લી છે.

આર(5)= 1 - (આર(1)+આર(2)+આર(3)+આર(4)) = 0,0256.

ચાલો દરેક વસ્તુને ટેબલમાં મૂકીએ. રેન્ડમ વેરીએબલના વિતરણ કાયદામાં "જીતેલી રમતોની સંખ્યા" ફોર્મ ધરાવે છે

અપેક્ષિત મૂલ્ય

અમે ફોર્મ્યુલા (19.4) નો ઉપયોગ કરીને તફાવતની ગણતરી કરીએ છીએ

માનક અલગ વિતરણો.

દ્વિપદી વિતરણ.બર્નૌલીની પ્રાયોગિક યોજનાને અમલમાં મૂકવા દો: nસમાન સ્વતંત્ર પ્રયોગો, જેમાંની દરેક ઘટના એસતત સંભાવના સાથે દેખાઈ શકે છે પીઅને સંભાવના સાથે દેખાશે નહીં

(જુઓ વ્યાખ્યાન 18).

ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા એઆમાં nપ્રયોગો ત્યાં એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે એક્સ, જેનાં સંભવિત મૂલ્યો છે:

0; 1; 2; ... ;m; ... ; n

ઘટનાની સંભાવના mચોક્કસ શ્રેણીમાં ઘટનાઓ A nઆવા રેન્ડમ વેરીએબલના પ્રયોગો અને વિતરણનો કાયદો બર્નૌલી સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવ્યો છે (જુઓ વ્યાખ્યાન 18)

રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ એક્સદ્વિપદી કાયદા અનુસાર વિતરિત:

જો nમહાન છે (), પછી, જ્યારે, સૂત્ર (19.6) સૂત્રમાં જાય છે

અને ટેબ્યુલેટેડ ગૌસિયન ફંક્શન (ગૌસિયન ફંક્શનના મૂલ્યોનું કોષ્ટક વ્યાખ્યાન 18 ના અંતે આપવામાં આવ્યું છે).

વ્યવહારમાં, જે ઘણીવાર મહત્વપૂર્ણ છે તે ઘટનાની સંભાવના નથી. mઘટનાઓ એથી ચોક્કસ શ્રેણીમાં nપ્રયોગો, અને સંભાવના કે ઘટના એઓછું દેખાશે નહીં

વખત અને વખત કરતાં વધુ નહીં, એટલે કે X મૂલ્યો લે તેવી સંભાવના

આ કરવા માટે, આપણે સંભાવનાઓનો સરવાળો કરવાની જરૂર છે

જો nમહાન છે (), પછી, જ્યારે, સૂત્ર (19.9) અંદાજિત સૂત્રમાં ફેરવાય છે

ટેબ્યુલેટેડ કાર્ય. કોષ્ટકો વ્યાખ્યાન 18 ના અંતે આપવામાં આવે છે.

કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે

ઉદાહરણ 1. એક આંતરછેદની નજીક આવતી કાર ત્રણ રસ્તાઓમાંથી કોઈપણ સાથે આગળ વધી શકે છે: A, B અથવા C સમાન સંભાવના સાથે. પાંચ કાર આંતરછેદ પાસે આવી. રસ્તા A પર મુસાફરી કરતી કારની સરેરાશ સંખ્યા અને રસ્તા B પર ત્રણ કાર મુસાફરી કરશે તેવી સંભાવના શોધો.

ઉકેલ.દરેક રસ્તા પર પસાર થતી કારની સંખ્યા રેન્ડમ ચલ છે. જો આપણે ધારીએ કે આંતરછેદની નજીક આવતી તમામ કાર એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે મુસાફરી કરે છે, તો પછી આ રેન્ડમ ચલ દ્વિપદી કાયદા અનુસાર વિતરિત થાય છે

n= 5 અને પી = .

તેથી, રસ્તા A ને અનુસરતી કારની સરેરાશ સંખ્યા ફોર્મ્યુલા અનુસાર છે (19.7)

અને ઇચ્છિત સંભાવના પર

ઉદાહરણ 2.દરેક પરીક્ષણ દરમિયાન ઉપકરણની નિષ્ફળતાની સંભાવના 0.1 છે. ઉપકરણના 60 પરીક્ષણો હાથ ધરવામાં આવે છે. ઉપકરણની નિષ્ફળતા થવાની સંભાવના કેટલી છે: a) 15 વખત; b) 15 થી વધુ વખત નહીં?

એ.પરીક્ષણોની સંખ્યા 60 હોવાથી, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (19.8)

વ્યાખ્યાન 18 ના પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 1 મુજબ આપણે શોધીએ છીએ

b. અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (19.10).

વ્યાખ્યાન 18 ના પરિશિષ્ટના કોષ્ટક 2 મુજબ

• - 0,495
• 0,49995

પોઈસન વિતરણ) દુર્લભ ઘટનાઓનો કાયદો).જો nમોટું અને આરથોડું (), અને ઉત્પાદન વગેરેસ્થિર મૂલ્ય જાળવી રાખે છે, જેને આપણે l દ્વારા દર્શાવીએ છીએ,

પછી સૂત્ર (19.6) પોઈસનનું સૂત્ર બને છે

પોઈસન વિતરણ કાયદાનું સ્વરૂપ છે:

દેખીતી રીતે, પોઈસનના કાયદાની વ્યાખ્યા સાચી છે, કારણ કે વિતરણ શ્રેણીની મુખ્ય મિલકત

થઈ ગયું, કારણ કે શ્રેણીનો સરવાળો

ખાતે કાર્યની શ્રેણી વિસ્તરણ

પ્રમેય. પોઈસનના કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા એકરૂપ છે અને આ કાયદાના પરિમાણની સમાન છે, એટલે કે.

પુરાવો.

ઉદાહરણ.તેના ઉત્પાદનોને બજારમાં પ્રમોટ કરવા માટે, કંપની મેઈલબોક્સમાં ફ્લાયર્સ મૂકે છે. અગાઉનો અનુભવ દર્શાવે છે કે 2,000 માંથી લગભગ એક કેસમાં ઓર્ડર આવે છે. 10,000 જાહેરાતો મૂકતી વખતે, ઓછામાં ઓછો એક ઓર્ડર આવે, મળેલા ઑર્ડરની સરેરાશ સંખ્યા અને પ્રાપ્ત ઑર્ડરની સંખ્યાના તફાવતની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ. અહીં

ઓછામાં ઓછો એક ઓર્ડર આવશે તે સંભાવના દ્વારા શોધી કાઢવામાં આવશે વિપરીત ઘટના, એટલે કે

ઘટનાઓનો રેન્ડમ પ્રવાહ.ઘટનાઓનો પ્રવાહ એ ઘટનાઓનો ક્રમ છે જે રેન્ડમ સમયે થાય છે. લાક્ષણિક ઉદાહરણોપ્રવાહ એ કોમ્પ્યુટર નેટવર્કમાં નિષ્ફળતાઓ, ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં કૉલ્સ, સાધનસામગ્રીના સમારકામ માટેની વિનંતીઓનો પ્રવાહ વગેરે છે.

પ્રવાહઘટનાઓ કહેવાય છે સ્થિર, જો લંબાઈના સમય અંતરાલમાં આવતી ચોક્કસ સંખ્યામાં ઘટનાઓની સંભાવના માત્ર અંતરાલની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે અને સમય અક્ષ પર સમય અંતરાલના સ્થાન પર આધારિત નથી.

સ્થિરતાની સ્થિતિ વિનંતીઓના પ્રવાહ દ્વારા સંતુષ્ટ થાય છે, જેની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ સમય પર આધારિત નથી. ખાસ કરીને, સ્થિર પ્રવાહ સતત ઘનતા (સમયના એકમ દીઠ વિનંતીઓની સરેરાશ સંખ્યા) દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. વ્યવહારમાં, ઘણી વખત એવી વિનંતીઓનો પ્રવાહ હોય છે કે (ઓછામાં ઓછા સમયના મર્યાદિત સમયગાળા માટે) સ્થિર ગણી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, શહેરના ટેલિફોન એક્સચેન્જમાં 12 થી 13 કલાકના સમયગાળામાં કૉલ્સના પ્રવાહને લેન્ડલાઇન ગણી શકાય. આખા દિવસ દરમિયાન સમાન પ્રવાહને હવે સ્થિર ગણી શકાતો નથી (રાત્રે કૉલની ઘનતા દિવસ દરમિયાન કરતાં નોંધપાત્ર રીતે ઓછી હોય છે).

પ્રવાહઘટનાઓને સ્ટ્રીમ કહેવામાં આવે છે કોઈ અસર વિના, જો કોઈપણ બિન-ઓવરલેપિંગ સમયગાળા માટે તેમાંથી એક પર આવતી ઘટનાઓની સંખ્યા અન્ય પર આવતી ઘટનાઓની સંખ્યા પર આધારિત નથી.

આફ્ટરઇફેક્ટની ગેરહાજરીની સ્થિતિ - સરળ પ્રવાહ માટે સૌથી જરૂરી - એટલે કે એપ્લિકેશનો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે સિસ્ટમમાં પ્રવેશ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રો સ્ટેશનમાં પ્રવેશતા મુસાફરોના પ્રવાહને આફટરઇફેક્ટ વિનાનો પ્રવાહ ગણી શકાય કારણ કે એક ચોક્કસ ક્ષણે વ્યક્તિગત મુસાફરના આગમનને નિર્ધારિત કરનારા કારણો અને અન્ય નહીં, નિયમ તરીકે, અન્ય મુસાફરો માટે સમાન કારણોથી સંબંધિત નથી. . જો કે, આવી પરાધીનતાના દેખાવને કારણે કોઈ અસરની સ્થિતિનું સરળતાથી ઉલ્લંઘન થઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રો સ્ટેશન છોડતા મુસાફરોના પ્રવાહને અસર વિનાનો પ્રવાહ ગણી શકાય નહીં, કારણ કે એક જ ટ્રેનમાં આવતા મુસાફરોની બહાર નીકળવાની ક્ષણો એકબીજા પર આધારિત છે.

પ્રવાહઘટનાઓ કહેવાય છે સામાન્ય, જો એક ઘટના બનવાની સંભાવનાની તુલનામાં ટૂંકા સમયના અંતરાલમાં બે અથવા વધુ ઘટનાઓની સંભાવના નગણ્ય હોય તો (આ સંદર્ભમાં, પોઈસનના કાયદાને દુર્લભ ઘટનાઓનો કાયદો કહેવામાં આવે છે).

સાધારણતાની સ્થિતિનો અર્થ એ છે કે ઓર્ડરો એકલા જ આવે છે, અને જોડી, ત્રિપુટી વગેરેમાં નહીં. વિચલન વિચલન બર્નૌલી વિતરણ

ઉદાહરણ તરીકે, હેરડ્રેસીંગ સલૂનમાં પ્રવેશતા ગ્રાહકોનો પ્રવાહ લગભગ સામાન્ય ગણી શકાય. જો અસાધારણ પ્રવાહમાં એપ્લિકેશન્સ ફક્ત જોડીમાં આવે છે, ફક્ત ત્રિપુટીઓ વગેરેમાં, તો પછી અસાધારણ પ્રવાહને સરળતાથી ઘટાડીને સામાન્ય કરી શકાય છે; આ કરવા માટે, વ્યક્તિગત વિનંતીઓના પ્રવાહને બદલે જોડી, ત્રિપુટી વગેરેના પ્રવાહને ધ્યાનમાં લેવાનું પૂરતું છે. જો દરેક વિનંતી અવ્યવસ્થિત રીતે ડબલ, ટ્રિપલ વગેરે બની શકે તો તે વધુ મુશ્કેલ હશે. પછી તમારે સજાતીય નહીં, પરંતુ વિજાતીય ઘટનાઓના પ્રવાહ સાથે વ્યવહાર કરો.

જો ઘટનાઓના પ્રવાહમાં ત્રણેય ગુણધર્મો હોય છે (એટલે ​​​​કે, સ્થિર, સામાન્ય, અને તેની કોઈ અસર નથી), તો તેને સરળ (અથવા સ્થિર પોઈસન) પ્રવાહ કહેવામાં આવે છે. "પોઇસન" નામ એ હકીકતને કારણે છે કે જો સૂચિબદ્ધ શરતો પૂરી થાય છે, તો કોઈપણ નિશ્ચિત સમય અંતરાલ પર આવતી ઘટનાઓની સંખ્યા વિતરિત કરવામાં આવશે. પોઈસનનો કાયદો

અહીં ઇવેન્ટ્સની સરેરાશ સંખ્યા છે એ, સમયના એકમ દીઠ દેખાય છે.

આ કાયદો એક-પેરામીટર છે, એટલે કે. તેને સેટ કરવા માટે, તમારે માત્ર એક પરિમાણ જાણવાની જરૂર છે. તે બતાવી શકાય છે કે પોઈસનના કાયદામાં અપેક્ષા અને તફાવત સંખ્યાત્મક રીતે સમાન છે:

ઉદાહરણ. ચાલો કહીએ કે કાર્યકારી દિવસની મધ્યમાં વિનંતીઓની સરેરાશ સંખ્યા પ્રતિ સેકન્ડ 2 છે. 1) એક સેકન્ડમાં કોઈ અરજી નહીં મળે, 2) 10 અરજીઓ બે સેકન્ડમાં આવશે તેની સંભાવના કેટલી છે?

ઉકેલ.પોઈસનના કાયદાના ઉપયોગની માન્યતા શંકાની બહાર હોવાથી અને તેનું પરિમાણ (= 2) આપવામાં આવ્યું હોવાથી, સમસ્યાનું સમાધાન પોઈસનના સૂત્ર (19.11)ના ઉપયોગ પર ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

1) t = 1, m = 0:

2) t = 2, m = 10:

કાયદો મોટી સંખ્યામાં. એ હકીકત માટેનો ગાણિતિક આધાર એ છે કે અમુક સ્થિર મૂલ્યોની આસપાસના રેન્ડમ ચલ ક્લસ્ટરના મૂલ્યો મોટી સંખ્યાઓનો કાયદો છે.

ઐતિહાસિક રીતે, મોટી સંખ્યાના કાયદાની પ્રથમ રચના બર્નૌલીનું પ્રમેય હતું:

"સમાન અને સ્વતંત્ર પ્રયોગો n ની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે, ઘટના A ની ઘટનાની આવર્તન સંભવિતતામાં તેની સંભાવનામાં કન્વર્જ થાય છે," એટલે કે.

n પ્રયોગોમાં ઘટના A ની ઘટનાની આવર્તન ક્યાં છે,

સારમાં, અભિવ્યક્તિ (19.10) નો અર્થ એ છે કે મોટી સંખ્યામાં પ્રયોગો સાથે, ઘટનાની ઘટનાની આવર્તન એઆ ઘટનાની અજાણી સંભાવનાને બદલી શકે છે, અને જેટલા વધુ પ્રયોગો કરવામાં આવે છે, p* થી p નજીક. રસપ્રદ ઐતિહાસિક હકીકત. કે. પીયરસને 12,000 વખત સિક્કો ફેંક્યો અને તેનો કોટ ઓફ આર્મ્સ 6,019 વખત આવ્યો (ફ્રીક્વન્સી 0.5016). જ્યારે એક જ સિક્કો 24,000 વખત ફેંક્યો, ત્યારે તેને 12,012 કોટ ઓફ આર્મ્સ મળ્યા, એટલે કે. આવર્તન 0.5005.

મોટી સંખ્યાના કાયદાનું સૌથી મહત્વપૂર્ણ સ્વરૂપ ચેબીશેવનું પ્રમેય છે: મર્યાદિત ભિન્નતા ધરાવતા સ્વતંત્ર પ્રયોગોની સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે અને સમાન પરિસ્થિતિઓમાં હાથ ધરવામાં આવે છે, રેન્ડમ ચલના અવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની સંભાવનામાં પરિવર્તિત થાય છે.. વિશ્લેષણાત્મક સ્વરૂપમાં, આ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

તેના મૂળભૂત સૈદ્ધાંતિક મહત્વ ઉપરાંત, ચેબીશેવના પ્રમેયમાં મહત્વપૂર્ણ વ્યવહારુ ઉપયોગો પણ છે, ઉદાહરણ તરીકે, માપન સિદ્ધાંતમાં. ચોક્કસ જથ્થાના n માપ લીધા પછી એક્સ, વિવિધ બિન-મેળપાતી મૂલ્યો મેળવો એક્સ 1, એક્સ 2, ..., xn. માપેલા જથ્થાના અંદાજિત મૂલ્ય માટે એક્સઅવલોકન કરેલ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ લો

જેમાં, વધુ પ્રયોગો હાથ ધરવામાં આવશે, વધુ સચોટ પરિણામ આવશે.હકીકત એ છે કે જથ્થાનો ફેલાવો કરવામાં આવતા પ્રયોગોની સંખ્યામાં વધારો સાથે ઘટાડો થાય છે, કારણ કે

ડી(x 1) = ડી(x 2)=…= ડી(xn) ડી(x), તે

સંબંધ (19.13) બતાવે છે કે માપવાના સાધનોની ઉચ્ચ અચોક્કસતા (મોટા મૂલ્ય) સાથે પણ, માપની સંખ્યામાં વધારો કરીને, મનસ્વી રીતે ઉચ્ચ ચોકસાઈ સાથે પરિણામ મેળવવાનું શક્ય છે.

ફોર્મ્યુલા (19.10) નો ઉપયોગ કરીને તમે સંભાવના શોધી શકો છો કે આંકડાકીય આવર્તન સંભવિતતાથી વધુ નહીં

ઉદાહરણ.દરેક અજમાયશમાં ઘટનાની સંભાવના 0.4 છે. 0.8 કરતાં ઓછી ન હોય તેવી સંભાવના સાથે, ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં 0.01 કરતાં ઓછી સંભાવનાથી વિચલિત થશે તેવી અપેક્ષા રાખવા માટે તમારે કેટલા પરીક્ષણો હાથ ધરવા જરૂરી છે?

ઉકેલ.સૂત્ર મુજબ (19.14)

તેથી, ટેબલ મુજબ બે એપ્લિકેશન છે

તેથી, n 3932.

અગાઉના એકમાં, અમે સંખ્યાબંધ સૂત્રો રજૂ કર્યા હતા જે અમને ફંક્શનની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે જ્યારે દલીલોના વિતરણના નિયમો જાણીતા હોય છે. જો કે, ઘણા કિસ્સાઓમાં, વિધેયોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધવા માટે, દલીલોના વિતરણના નિયમોને જાણવું પણ જરૂરી નથી, પરંતુ ફક્ત તેમની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંની કેટલીક જાણવા માટે તે પૂરતું છે; તે જ સમયે, અમે સામાન્ય રીતે વિતરણના કોઈપણ કાયદા વિના કરીએ છીએ. દલીલોની આપેલ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓમાંથી કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરવી એ સંભાવના સિદ્ધાંતમાં વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે અને સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવી શકે છે. આમાંની મોટાભાગની સરળ પદ્ધતિઓ રેખીય કાર્યો સાથે સંબંધિત છે; જો કે, કેટલાક પ્રાથમિક બિનરેખીય કાર્યો પણ સમાન અભિગમને મંજૂરી આપે છે.

વર્તમાનમાં આપણે કાર્યોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ પર સંખ્યાબંધ પ્રમેય રજૂ કરીશું, જે એકસાથે આ લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવા માટે ખૂબ જ સરળ ઉપકરણનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, જે વિશાળ શ્રેણીમાં લાગુ પડે છે.

1. બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની ગાણિતિક અપેક્ષા

ઘડવામાં આવેલી મિલકત તદ્દન સ્પષ્ટ છે; તે બિન-રેન્ડમ ચલને એક ખાસ પ્રકારના રેન્ડમ તરીકે ધ્યાનમાં લઈને સાબિત કરી શકાય છે શક્ય અર્થએક સંભાવના સાથે; પછી ગાણિતિક અપેક્ષા માટે સામાન્ય સૂત્ર અનુસાર:

.

2. બિન-રેન્ડમ જથ્થાનું વિચલન

જો બિન-રેન્ડમ મૂલ્ય છે, તો પછી

3. ગાણિતિક અપેક્ષાના ચિહ્ન માટે બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની અવેજીમાં

, (10.2.1)

એટલે કે, બિન-રેન્ડમ મૂલ્યને ગાણિતિક અપેક્ષાના સંકેત તરીકે લઈ શકાય છે.

પુરાવો.

એ) અવિરામની માત્રા માટે

b) સતત માત્રા માટે

.

4. વિક્ષેપ અને પ્રમાણભૂત વિચલનના ચિહ્ન માટે બિન-રેન્ડમ મૂલ્યની અવેજીમાં

જો બિન-રેન્ડમ જથ્થો છે, અને રેન્ડમ છે, તો પછી

, (10.2.2)

એટલે કે, અવ્યવસ્થિત મૂલ્યને સ્ક્વેર કરીને વિક્ષેપના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.

પુરાવો. વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

પરિણામ

,

એટલે કે, બિન-રેન્ડમ મૂલ્યને તેના સંપૂર્ણ મૂલ્ય દ્વારા પ્રમાણભૂત વિચલનની નિશાનીમાંથી બહાર લઈ શકાય છે. અમે ફોર્મ્યુલા (10.2.2) માંથી વર્ગમૂળ લઈને અને r.s.o.ને ધ્યાનમાં લઈને સાબિતી મેળવીએ છીએ. - નોંધપાત્ર રીતે હકારાત્મક મૂલ્ય.

5. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા

ચાલો સાબિત કરીએ કે કોઈપણ બે રેન્ડમ ચલ માટે અને

એટલે કે, બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે.

આ ગુણધર્મને ગાણિતિક અપેક્ષાઓના વધારાના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

પુરાવો.

એ) અવ્યવસ્થિત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ બનવા દો. રેન્ડમ ચલોના સરવાળા પર લાગુ કરો સામાન્ય સૂત્ર(10.1.6) બે દલીલોના કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે:

.

Ho એ કુલ સંભાવના કરતાં વધુ કંઈ રજૂ કરતું નથી કે જથ્થો મૂલ્ય લેશે :

;

તેથી,

.

અમે તે જ રીતે સાબિત કરીશું

,

અને પ્રમેય સાબિત થાય છે.

b) ચાલો સતત રેન્ડમ ચલોની સિસ્ટમ બનીએ. સૂત્ર મુજબ (10.1.7)

. (10.2.4)

ચાલો પ્રથમ અવિભાજ્ય (10.2.4) ને રૂપાંતરિત કરીએ:

;

તેવી જ રીતે

,

અને પ્રમેય સાબિત થાય છે.

તે ખાસ નોંધવું જોઈએ કે ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ઉમેરવા માટેનું પ્રમેય કોઈપણ રેન્ડમ ચલ - આશ્રિત અને સ્વતંત્ર બંને માટે માન્ય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાઓ ઉમેરવા માટેના પ્રમેયને મનસ્વી સંખ્યાના શબ્દોમાં સામાન્ય કરવામાં આવે છે:

, (10.2.5)

એટલે કે, કેટલાક રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી હોય છે.

તેને સાબિત કરવા માટે, સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે તે પૂરતું છે.

6. ગાણિતિક અપેક્ષા રેખીય કાર્ય

ઘણી રેન્ડમ દલીલોના રેખીય કાર્યને ધ્યાનમાં લો:

જ્યાં બિન-રેન્ડમ ગુણાંક છે. ચાલો તે સાબિત કરીએ

, (10.2.6)

એટલે કે રેખીય કાર્યની ગાણિતિક અપેક્ષા દલીલોની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સમાન રેખીય કાર્યની બરાબર છે.

પુરાવો. m.o ના વધારાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અને m.o.ના ચિહ્નની બહાર બિન-રેન્ડમ જથ્થો મૂકવાનો નિયમ, અમે મેળવીએ છીએ:

.

7. ડિસ્પઇપીરેન્ડમ ચલોનો આ સરવાળો

બે રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો ભિન્નતા તેમના ભિન્નતાના સરવાળા વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના બમણા સમાન છે:

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ

ગાણિતિક અપેક્ષાઓના વધારાના પ્રમેય મુજબ

ચાલો રેન્ડમ ચલમાંથી અનુરૂપ કેન્દ્રીત ચલોમાં જઈએ. સમાનતા (10.2.8) માંથી પદ દ્વારા સમાનતા (10.2.9) શબ્દને બાદ કરીને, અમારી પાસે છે:

વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

Q.E.D.

સરવાળાના ભિન્નતા માટેનું સૂત્ર (10.2.7) ગમે તેટલા શબ્દોમાં સામાન્યીકરણ કરી શકાય છે:

, (10.2.10)

જથ્થાઓનો સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે, સરવાળા હેઠળના ચિહ્નનો અર્થ એ છે કે સમીકરણ રેન્ડમ ચલોના તમામ સંભવિત જોડીવાર સંયોજનો સુધી વિસ્તરે છે .

સાબિતી અગાઉના એક જેવી જ છે અને બહુપદીના વર્ગ માટેના સૂત્રમાંથી અનુસરે છે.

ફોર્મ્યુલા (10.2.10) બીજા સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

, (10.2.11)

જ્યાં ડબલ સરવાળો જથ્થાની સિસ્ટમના સહસંબંધ મેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો સુધી વિસ્તરે છે , સહસંબંધ ક્ષણો અને ભિન્નતા બંને સમાવે છે.

જો બધા રેન્ડમ ચલો , સિસ્ટમમાં સમાવિષ્ટ, અસંબંધિત છે (એટલે ​​​​કે, જ્યારે ), સૂત્ર (10.2.10) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.12)

એટલે કે, અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો તફાવત એ શરતોના ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે.

આ સ્થિતિને ભિન્નતાના ઉમેરાના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

8. રેખીય કાર્યનું વિચલન

ચાલો કેટલાક રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યને ધ્યાનમાં લઈએ.

જ્યાં બિન-રેન્ડમ જથ્થો છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ રેખીય કાર્યનું વિક્ષેપ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત થાય છે

, (10.2.13)

જથ્થાનો સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે , .

પુરાવો. ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ:

. (10.2.14)

અભિવ્યક્તિ (10.2.14) ની જમણી બાજુએ સરવાળાને વિખેરવા માટે સૂત્ર (10.2.10) લાગુ કરવું અને તે ધ્યાનમાં લેતા, આપણે મેળવીએ છીએ:

જથ્થાનો સહસંબંધ ક્ષણ ક્યાં છે:

.

ચાલો આ ક્ષણની ગણતરી કરીએ. અમારી પાસે:

;

તેવી જ રીતે

આ અભિવ્યક્તિને (10.2.15) માં બદલીને, અમે સૂત્ર (10.2.13) પર પહોંચીએ છીએ.

ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે બધી માત્રા અસંબંધિત છે, સૂત્ર (10.2.13) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.16)

એટલે કે, અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના રેખીય કાર્યનું વિચલન એ ગુણાંકના વર્ગોના ઉત્પાદનના સરવાળા અને અનુરૂપ દલીલોના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલું છે.

9. રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા

બે રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓ વત્તા સહસંબંધ ક્ષણના ઉત્પાદનની સમાન છે:

પુરાવો. અમે સહસંબંધ ક્ષણની વ્યાખ્યાથી આગળ વધીશું:

ચાલો ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આ અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરીએ:

જે દેખીતી રીતે ફોર્મ્યુલા (10.2.17) ની સમકક્ષ છે.

જો રેન્ડમ ચલો અસંબંધિત હોય, તો સૂત્ર (10.2.17) ફોર્મ લે છે:

એટલે કે, બે અસંબંધિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

આ સ્થિતિને ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ફોર્મ્યુલા (10.2.17) એ બીજા મિશ્રિત દ્વારા સિસ્ટમના બીજા મિશ્રિત કેન્દ્રીય ક્ષણની અભિવ્યક્તિ સિવાય બીજું કંઈ નથી. પ્રારંભિક ક્ષણઅને ગાણિતિક અપેક્ષાઓ:

. (10.2.19)

આ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ વ્યવહારમાં સહસંબંધ ક્ષણની ગણતરી કરતી વખતે કરવામાં આવે છે તે જ રીતે કે જે રીતે એક રેન્ડમ ચલ માટે ભિન્નતાની ગણતરી બીજી પ્રારંભિક ક્ષણ અને ગાણિતિક અપેક્ષા દ્વારા કરવામાં આવે છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેયને પરિબળોની મનસ્વી સંખ્યામાં સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે, ફક્ત આ કિસ્સામાં, તેના ઉપયોગ માટે, તે પૂરતું નથી કે જથ્થાઓ અસંબંધિત હોય, પરંતુ તે જરૂરી છે કે કેટલીક ઉચ્ચ મિશ્ર ક્ષણો, જેની સંખ્યા આધાર રાખે છે. ઉત્પાદનમાં શરતોની સંખ્યા પર, અદૃશ્ય થઈ જાય છે. જો ઉત્પાદનમાં સમાવિષ્ટ રેન્ડમ ચલો સ્વતંત્ર હોય તો આ શરતો ચોક્કસપણે સંતુષ્ટ છે. આ બાબતે

, (10.2.20)

એટલે કે, સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે.

આ પ્રસ્તાવને સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શન દ્વારા સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે.

10. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનનો તફાવત

ચાલો તે સ્વતંત્ર માત્રા માટે સાબિત કરીએ

પુરાવો. ચાલો સૂચિત કરીએ. વિભિન્નતાની વ્યાખ્યા દ્વારા

કારણ કે જથ્થાઓ સ્વતંત્ર છે, અને

જ્યારે સ્વતંત્ર હોય, ત્યારે જથ્થાઓ પણ સ્વતંત્ર હોય છે; તેથી,

,

પરંતુ તીવ્રતાના બીજા પ્રારંભિક ક્ષણ કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને તેથી, વિખેરાઈ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

;

તેવી જ રીતે

.

આ અભિવ્યક્તિઓને સૂત્ર (10.2.22) માં બદલીને અને સમાન શબ્દો લાવીને, અમે સૂત્ર (10.2.21) પર પહોંચીએ છીએ.

કિસ્સામાં જ્યારે કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલ (શૂન્ય સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથેના ચલ) ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે સૂત્ર (10.2.21) ફોર્મ લે છે:

, (10.2.23)

એટલે કે, સ્વતંત્ર કેન્દ્રિત રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનનો ભિન્નતા તેમના ભિન્નતાઓના ઉત્પાદન સમાન છે.

11. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઉચ્ચ ક્ષણો

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ઉચ્ચતમ ક્ષણોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. ચાલો અહીં સંબંધિત કેટલાક સંબંધો સાબિત કરીએ.

1) જો જથ્થાઓ સ્વતંત્ર હોય, તો

પુરાવો.

જ્યાંથી, ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ગુણાકારના પ્રમેય અનુસાર

પરંતુ કોઈપણ જથ્થા માટે પ્રથમ કેન્દ્રિય ક્ષણ શૂન્ય છે; બે મધ્યમ પદો અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અને ફોર્મ્યુલા (10.2.24) સાબિત થાય છે.

સંબંધ (10.2.24) ને સ્વતંત્ર શબ્દોની મનસ્વી સંખ્યામાં ઇન્ડક્શન દ્વારા સરળતાથી સામાન્યીકરણ કરવામાં આવે છે:

. (10.2.25)

2) બે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ચોથી કેન્દ્રીય ક્ષણ સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

જથ્થાના ભિન્નતા ક્યાં છે અને .

પુરાવા અગાઉના એક સાથે સંપૂર્ણપણે સમાન છે.

સંપૂર્ણ ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, ફોર્મ્યુલા (10.2.26) ના સામાન્યીકરણને સ્વતંત્ર શરતોની મનસ્વી સંખ્યામાં સાબિત કરવું સરળ છે.