પાયથાગોરિયન પ્રમેય સૂત્ર ઉદાહરણ ઉકેલ. પ્રમેય અને ખગોળશાસ્ત્ર વચ્ચેનો સંબંધ

ભૌમિતિક આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળનું માપન.

§ 58. પાયથાગોરિયન થિયોરેમ 1.

__________
1 પાયથાગોરસ એક ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક છે જે લગભગ 2500 વર્ષ પહેલાં (564-473 બીસી) જીવ્યા હતા.
_________

ચાલો આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણ આપીએ જેની બાજુઓ એ, bઅને સાથે(રેખાંકન 267).

ચાલો તેની બાજુઓ પર ચોરસ બનાવીએ. આ ચોરસના વિસ્તારો અનુક્રમે સમાન છે એ 2 , b 2 અને સાથે 2. ચાલો તે સાબિત કરીએ સાથે 2 = એ 2 +b 2 .

ચાલો બે ચોરસ MKOR અને M"K"O"R" (રેખાંકનો 268, 269) બનાવીએ, જેમાંથી દરેકની બાજુએ જમણા ત્રિકોણ ABC ના પગના સરવાળા સમાન સેગમેન્ટ લઈએ.

આ ચોરસમાં ડ્રોઇંગ 268 અને 269 માં દર્શાવેલ બાંધકામો પૂર્ણ કર્યા પછી, આપણે જોશું કે MCOR ચોરસ વિસ્તાર સાથે બે ચોરસમાં વહેંચાયેલું છે. એ 2 અને b 2 અને ચાર સમાન કાટકોણ ત્રિકોણ, જેમાંથી દરેક કાટકોણ ABC ત્રિકોણ સમાન છે. ચોરસ M"K"O"R" એક ચતુષ્કોણ (તે ડ્રોઇંગ 269માં છાંયો છે) અને ચાર જમણા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેમાંથી પ્રત્યેક ત્રિકોણ ABC સમાન પણ છે. છાંયડો ચતુર્ભુજ એક ચોરસ છે, કારણ કે તેની બાજુઓ સમાન છે (દરેક ત્રિકોણ ABC ના કર્ણ સમાન છે, એટલે કે. સાથે), અને ખૂણા સાચા છે / 1 + / 2 = 90°, ક્યાંથી / 3 = 90°).

આમ, પગ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસના ક્ષેત્રોનો સરવાળો (268 ડ્રોઇંગમાં આ ચોરસ શેડમાં છે) ચારના ક્ષેત્રોના સરવાળા વગર MKOR ચોરસના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. સમાન ત્રિકોણ, અને કર્ણો પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (ડ્રોઇંગ 269માં આ ચોરસ પણ છાંયો છે) ચોરસ M"K"O"R ના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે, ચોરસ MCOR જેટલો છે. ચાર સમાન ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો. તેથી, કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ પગ પર બાંધેલા ચોરસના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે.

અમને સૂત્ર મળે છે સાથે 2 = એ 2 +b 2 જ્યાં સાથે- કર્ણ, એઅને b- જમણા ત્રિકોણના પગ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય સામાન્ય રીતે સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

સૂત્રમાંથી સાથે 2 = એ 2 +b 2 તમે નીચેના સૂત્રો મેળવી શકો છો:

એ 2 = સાથે 2 - b 2 ;
b 2 = સાથે 2 - એ 2 .

આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કાટકોણ ત્રિકોણની તેની આપેલ બે બાજુઓમાંથી અજાણી બાજુ શોધવા માટે થઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

a) જો પગ આપવામાં આવે છે એ= 4 સે.મી., b=3 સે.મી., પછી તમે કર્ણો શોધી શકો છો ( સાથે):
સાથે 2 = એ 2 +b 2, એટલે કે. સાથે 2 = 4 2 + 3 2 ; 2 = 25 સાથે, ક્યાંથી સાથે= √25 =5 (સેમી);

b) જો કર્ણ આપવામાં આવે છે સાથે= 17 સેમી અને પગ એ= 8 સે.મી., પછી તમે બીજો પગ શોધી શકો છો ( b):

b 2 = સાથે 2 - એ 2, એટલે કે. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, ક્યાંથી b= √225 = 15 (સેમી).

પરિણામ: જો બે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC અને A પાસે 1 B 1 C 1 કર્ણ છે સાથેઅને સાથે 1 સમાન છે, અને પગ bત્રિકોણ ABC પગ કરતાં લાંબો છે b 1 ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1,
પછી પગ એત્રિકોણ ABC પગ કરતા નાનો છે એ 1 ત્રિકોણ A 1 B 1 C 1. (આ પરિણામ દર્શાવતું ચિત્ર બનાવો.)

હકીકતમાં, પાયથાગોરિયન પ્રમેયના આધારે આપણે મેળવીએ છીએ:

એ 2 = સાથે 2 - b 2 ,
એ 1 2 = સાથે 1 2 - b 1 2

લેખિત સૂત્રોમાં, લઘુત્તમ સમાન હોય છે, અને પ્રથમ સૂત્રમાં સબટ્રેહેન્ડ બીજા સૂત્રમાં સબટ્રેહેન્ડ કરતાં વધુ હોય છે, તેથી, પ્રથમ તફાવત બીજા કરતાં ઓછો હોય છે,
એટલે કે એ 2 < એ 1 2 જ્યાં એ< એ 1 .

કસરતો.

1. ડ્રોઇંગ 270 નો ઉપયોગ કરીને, સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરો.

2. જમણા ત્રિકોણનો એક પગ 12 સેમી છે, બીજો 5 સેમી છે આ ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈની ગણતરી કરો.

3. કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણ 10 સેમી છે, એક પગ 8 સેમી છે આ ત્રિકોણના બીજા પગની લંબાઈની ગણતરી કરો.

4. કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણ 37 સેમી છે, તેનો એક પગ 35 સેમી છે આ ત્રિકોણના બીજા પગની લંબાઈની ગણતરી કરો.

5. આપેલ એક કરતા બમણા ક્ષેત્રફળ સાથે ચોરસ બનાવો.

6. આપેલ વિસ્તારના અડધા કદના ક્ષેત્ર સાથે ચોરસ બનાવો. નોંધ.માં હાથ ધરે છે આપેલ ચોરસકર્ણ આ કર્ણના અર્ધભાગ પર બાંધવામાં આવેલ ચોરસ એ જ હશે જેને આપણે શોધી રહ્યા છીએ.

7. કાટકોણ ત્રિકોણના પગ અનુક્રમે 12 સેમી અને 15 સે.મી.ની ચોકસાઈ સાથે આ ત્રિકોણના કર્ણની લંબાઈની ગણતરી કરો.

8. કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણ 20 સેમી છે, તેનો એક પગ 15 સેમી છે બીજા પગની લંબાઈ નજીકના 0.1 સે.મી.ની ગણતરી કરો.

9. નિસરણી કેટલી લાંબી હોવી જોઈએ જેથી કરીને તેને 6 મીટરની ઉંચાઈ પર સ્થિત વિન્ડો સાથે જોડી શકાય, જો નિસરણીનો નીચેનો છેડો બિલ્ડિંગથી 2.5 મીટર દૂર હોવો જોઈએ? (ચાર્ટ 271.)

એક બાબતની તમે સો ટકા ખાતરી કરી શકો છો કે જ્યારે પૂછવામાં આવ્યું કે કર્ણોનો વર્ગ શું છે, ત્યારે કોઈપણ પુખ્ત વ્યક્તિ હિંમતભેર જવાબ આપશે: "પગના ચોરસનો સરવાળો." આ પ્રમેય દરેકના મનમાં નિશ્ચિતપણે વસેલો છે. શિક્ષિત વ્યક્તિ, પરંતુ તમારે ફક્ત કોઈને તે સાબિત કરવા માટે કહેવું છે, અને મુશ્કેલીઓ ઊભી થઈ શકે છે. તો ચાલો યાદ કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ અલગ અલગ રીતેપાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.

સંક્ષિપ્ત જીવનચરિત્ર

પાયથાગોરિયન પ્રમેય લગભગ દરેકને પરિચિત છે, પરંતુ કેટલાક કારણોસર તે વ્યક્તિનું જીવનચરિત્ર જેણે તેને વિશ્વમાં લાવ્યું તે એટલું લોકપ્રિય નથી. આ સુધારી શકાય છે. તેથી, પાયથાગોરસના પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો શોધતા પહેલા, તમારે તેમના વ્યક્તિત્વને સંક્ષિપ્તમાં જાણવાની જરૂર છે.

પાયથાગોરસ - ફિલસૂફ, ગણિતશાસ્ત્રી, વિચારક આજના સમયમાં આ મહાન માણસની યાદમાં વિકસિત થયેલી દંતકથાઓથી તેમના જીવનચરિત્રને અલગ પાડવું ખૂબ મુશ્કેલ છે. પરંતુ તેના અનુયાયીઓનાં કાર્યો પરથી નીચે મુજબ, સમોસના પાયથાગોરસનો જન્મ સમોસ ટાપુ પર થયો હતો. તેમના પિતા એક સામાન્ય પથ્થર કાપનાર હતા, પરંતુ તેમની માતા એક ઉમદા પરિવારમાંથી આવી હતી.

દંતકથા દ્વારા અભિપ્રાય આપતા, પાયથાગોરસના જન્મની આગાહી પાયથિયા નામની સ્ત્રી દ્વારા કરવામાં આવી હતી, જેના માનમાં છોકરાનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું. તેણીની આગાહી મુજબ, જન્મેલા છોકરાએ માનવતા માટે ઘણો લાભ અને સારું લાવવું હતું. જે તેણે બરાબર કર્યું છે.

પ્રમેયનો જન્મ

તેમની યુવાનીમાં, પાયથાગોરસ ત્યાંના પ્રખ્યાત ઇજિપ્તીયન ઋષિઓને મળવા ઇજિપ્ત ગયા. તેમની સાથે મુલાકાત કર્યા પછી, તેમને અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપવામાં આવી, જ્યાં તેમણે ઇજિપ્તની ફિલસૂફી, ગણિત અને દવાની બધી મહાન સિદ્ધિઓ શીખી.

તે કદાચ ઇજિપ્તમાં હતું કે પાયથાગોરસ પિરામિડની ભવ્યતા અને સુંદરતાથી પ્રેરિત થયો હતો અને તેણે તેની મહાન સિદ્ધાંતની રચના કરી હતી. આ વાચકોને આંચકો આપી શકે છે, પરંતુ આધુનિક ઇતિહાસકારોતેઓ માને છે કે પાયથાગોરસ તેમના સિદ્ધાંતને સાબિત કરી શક્યા નથી. પરંતુ તેણે માત્ર તેનું જ્ઞાન તેના અનુયાયીઓ સુધી પહોંચાડ્યું, જેમણે પાછળથી તમામ જરૂરી ગાણિતિક ગણતરીઓ પૂર્ણ કરી.

ભલે તે બની શકે, આજે આ પ્રમેયને સાબિત કરવાની એક પદ્ધતિ જાણીતી નથી, પરંતુ એક સાથે અનેક. આજે આપણે ફક્ત અનુમાન કરી શકીએ છીએ કે પ્રાચીન ગ્રીકોએ તેમની ગણતરીઓ કેવી રીતે કરી હતી, તેથી અહીં આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો જોઈશું.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય

તમે કોઈપણ ગણતરીઓ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે એ જાણવાની જરૂર છે કે તમે કયો સિદ્ધાંત સાબિત કરવા માંગો છો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય આના જેવો છે: "એક ત્રિકોણમાં જેમાં એક ખૂણો 90° હોય છે, પગના ચોરસનો સરવાળો કર્ણના વર્ગ જેટલો હોય છે."

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની કુલ 15 અલગ અલગ રીતો છે. આ એકદમ મોટી સંખ્યા છે, તેથી અમે તેમાંના સૌથી લોકપ્રિય પર ધ્યાન આપીશું.

પદ્ધતિ એક

પ્રથમ, ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે આપણને શું આપવામાં આવ્યું છે. આ ડેટા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની અન્ય પદ્ધતિઓ પર પણ લાગુ થશે, તેથી ઉપલબ્ધ તમામ સંકેતો તરત જ યાદ રાખવા યોગ્ય છે.

ધારો કે આપણને પગ a, b અને c ની સમકક્ષ કર્ણ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ આપવામાં આવ્યો છે. સાબિતીની પ્રથમ પદ્ધતિ એ હકીકત પર આધારિત છે કે તમારે જમણા ત્રિકોણમાંથી ચોરસ દોરવાની જરૂર છે.

આ કરવા માટે, તમારે લેગ બી થી લેગ લંબાઈ a અને તેનાથી વિપરીત એક સેગમેન્ટ ઉમેરવાની જરૂર છે. આ બે બનાવવું જોઈએ સમાન બાજુઓચોરસ જે બાકી છે તે બે સમાંતર રેખાઓ દોરવાનું છે, અને ચોરસ તૈયાર છે.

પરિણામી આકૃતિની અંદર, તમારે મૂળ ત્રિકોણના કર્ણની સમાન બાજુ સાથે બીજો ચોરસ દોરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, ас અને св શિરોબિંદુઓમાંથી તમારે с ની સમાન બે સમાંતર સેગમેન્ટ્સ દોરવાની જરૂર છે. આમ, આપણને ચોરસની ત્રણ બાજુઓ મળે છે, જેમાંથી એક મૂળ કાટકોણ ત્રિકોણનું કર્ણાકાર છે. જે બાકી છે તે ચોથો સેગમેન્ટ દોરવાનું છે.

પરિણામી આકૃતિના આધારે, આપણે તારણ કાઢી શકીએ છીએ કે બાહ્ય ચોરસનું ક્ષેત્રફળ (a + b) 2 છે. જો તમે આકૃતિની અંદર જુઓ, તો તમે જોઈ શકો છો કે અંદરના ચોરસ ઉપરાંત ચાર કાટકોણ ત્રિકોણ છે. દરેકનું ક્ષેત્રફળ 0.5av છે.

તેથી, વિસ્તાર બરાબર છે: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

તેથી (a+c) 2 =2ab+c 2

અને તેથી, c 2 =a 2 +b 2

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પદ્ધતિ બે: સમાન ત્રિકોણ

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટેનું આ સૂત્ર સમાન ત્રિકોણ વિશે ભૂમિતિના વિભાગના નિવેદનના આધારે લેવામાં આવ્યું હતું. તે જણાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણનો પગ એ તેના કર્ણાનુસાર અને 90° કોણના શિરોબિંદુમાંથી નીકળતો કર્ણોનો ભાગનો સરેરાશ પ્રમાણ છે.

પ્રારંભિક ડેટા એ જ રહે છે, તેથી ચાલો પુરાવા સાથે તરત જ પ્રારંભ કરીએ. ચાલો AB ની બાજુ પર લંબરૂપ એક સેગમેન્ટ CD દોરીએ. ઉપરોક્ત વિધાનના આધારે, ત્રિકોણની બાજુઓ સમાન છે:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને કેવી રીતે સાબિત કરવું તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે, સાબિતી બંને અસમાનતાઓને વર્ગીકૃત કરીને પૂર્ણ કરવી આવશ્યક છે.

AC 2 = AB * AD અને CB 2 = AB * DV

હવે આપણે પરિણામી અસમાનતાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), જ્યાં AD + DV = AB

તે તારણ આપે છે કે:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

અને તેથી:

AC 2 + CB 2 = AB 2

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો અને વિવિધ રીતેતેના ઉકેલો માટે આ સમસ્યા માટે બહુપક્ષીય અભિગમની જરૂર છે. જો કે, આ વિકલ્પ સૌથી સરળ પૈકી એક છે.

બીજી ગણતરી પદ્ધતિ

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓના વર્ણનનો કોઈ અર્થ હોઈ શકે નહીં જ્યાં સુધી તમે તમારી જાતે પ્રેક્ટિસ કરવાનું શરૂ ન કરો. ઘણી તકનીકોમાં માત્ર ગાણિતિક ગણતરીઓ જ નહીં, પણ મૂળ ત્રિકોણમાંથી નવા આંકડાઓનું નિર્માણ પણ સામેલ છે.

IN આ કિસ્સામાંબાજુ BC માંથી અન્ય કાટકોણ ત્રિકોણ VSD પૂર્ણ કરવું જરૂરી છે. આમ, હવે એક સામાન્ય પગ BC સાથે બે ત્રિકોણ છે.

એ જાણીને કે સમાન આકૃતિઓના ક્ષેત્રો તેમના સમાન રેખીય પરિમાણોના ચોરસ જેટલો ગુણોત્તર ધરાવે છે, પછી:

S avs * c 2 - S avd * in 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(2 - થી 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

2 થી 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

ગ્રેડ 8 માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ પદ્ધતિઓમાંથી, આ વિકલ્પ ભાગ્યે જ યોગ્ય છે, તમે નીચેની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય સાબિત કરવાની સૌથી સહેલી રીત. સમીક્ષાઓ

ઈતિહાસકારોના મતે, આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પ્રથમ વખત પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો પ્રાચીન ગ્રીસ. તે સૌથી સરળ છે, કારણ કે તેને કોઈ ગણતરીની જરૂર નથી. જો તમે ચિત્રને યોગ્ય રીતે દોરો છો, તો નિવેદનનો પુરાવો કે 2 + b 2 = c 2 સ્પષ્ટપણે દેખાશે.

માટે શરતો આ પદ્ધતિઅગાઉના કરતાં સહેજ અલગ હશે. પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC સમદ્વિબાજુ છે.

આપણે કર્ણો AC ને ચોરસની બાજુ તરીકે લઈએ છીએ અને તેની ત્રણ બાજુઓ દોરીએ છીએ. વધુમાં, પરિણામી ચોરસમાં બે ત્રાંસા રેખાઓ દોરવી જરૂરી છે. જેથી તેની અંદર તમને ચાર સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ મળે.

તમારે પગ AB અને CB માટે પણ એક ચોરસ દોરવાની જરૂર છે અને તે દરેકમાં એક ત્રાંસી સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે. અમે શિરોબિંદુ A માંથી પ્રથમ રેખા દોરીએ છીએ, C માંથી બીજી.

હવે તમારે પરિણામી ચિત્રને કાળજીપૂર્વક જોવાની જરૂર છે. કારણ કે કર્ણ AC પર મૂળ ત્રિકોણ સમાન ચાર ત્રિકોણ છે, અને બાજુઓ પર બે છે, આ આ પ્રમેયની સત્યતા દર્શાવે છે.

માર્ગ દ્વારા, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની આ પદ્ધતિને આભારી, પ્રખ્યાત શબ્દસમૂહનો જન્મ થયો: "પાયથાગોરિયન પેન્ટ બધી દિશામાં સમાન છે."

જે. ગારફિલ્ડ દ્વારા પુરાવો

જેમ્સ ગારફિલ્ડ યુનાઈટેડ સ્ટેટ્સ ઑફ અમેરિકાના વીસમા પ્રમુખ છે. યુનાઇટેડ સ્ટેટ્સના શાસક તરીકે ઇતિહાસ પર પોતાની છાપ બનાવવા ઉપરાંત, તે એક હોશિયાર ઓટોડિડેક્ટ પણ હતો.

તેમની કારકિર્દીની શરૂઆતમાં તેઓ એક સાર્વજનિક શાળામાં સામાન્ય શિક્ષક હતા, પરંતુ ટૂંક સમયમાં તે સર્વોચ્ચ શાળાના ડિરેક્ટર બન્યા. શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ. સ્વ-વિકાસની ઇચ્છાએ તેમને પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે એક નવો સિદ્ધાંત પ્રસ્તાવિત કરવાની મંજૂરી આપી. પ્રમેય અને તેના ઉકેલનું ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે.

પ્રથમ તમારે કાગળના ટુકડા પર બે જમણા ત્રિકોણ દોરવાની જરૂર છે જેથી તેમાંથી એકનો પગ બીજાનો ચાલુ રહે. આ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને આખરે ટ્રેપેઝોઇડ બનાવવા માટે જોડવાની જરૂર છે.

જેમ તમે જાણો છો, ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તેની ઊંચાઈના અડધા સરવાળાના ઉત્પાદન જેટલું છે.

S=a+b/2 * (a+b)

જો આપણે પરિણામી ટ્રેપેઝોઇડને ત્રણ ત્રિકોણ ધરાવતી આકૃતિ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તેનો વિસ્તાર નીચે મુજબ મળી શકે છે:

S=av/2 *2 + s 2/2

હવે આપણે બે મૂળ સમીકરણો સમાન કરવાની જરૂર છે

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ વિશે એક કરતાં વધુ વોલ્યુમ લખી શકાય છે. શિક્ષણ સહાય. પરંતુ જ્યારે આ જ્ઞાન વ્યવહારમાં લાગુ ન કરી શકાય ત્યારે તેમાં કોઈ મુદ્દો છે?

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યવહારુ ઉપયોગ

કમનસીબે, આધુનિકમાં શાળા કાર્યક્રમોઆ પ્રમેય માત્ર ભૌમિતિક સમસ્યાઓમાં જ ઉપયોગમાં લેવાનો છે. સ્નાતકો તેમના જ્ઞાન અને કૌશલ્યોને વ્યવહારમાં કેવી રીતે લાગુ કરી શકે તે જાણ્યા વિના ટૂંક સમયમાં જ શાળા છોડી દેશે.

હકીકતમાં, તમારામાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરો રોજિંદા જીવનદરેક કરી શકે છે. અને માત્ર માં જ નહીં વ્યાવસાયિક પ્રવૃત્તિઓ, પણ સામાન્ય ઘરના કામોમાં પણ. ચાલો ઘણા કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે પાયથાગોરિયન પ્રમેય અને તેને સાબિત કરવાની પદ્ધતિઓ અત્યંત જરૂરી હોઈ શકે.

પ્રમેય અને ખગોળશાસ્ત્ર વચ્ચેનો સંબંધ

એવું લાગે છે કે કાગળ પરના તારાઓ અને ત્રિકોણને કેવી રીતે જોડી શકાય છે. હકીકતમાં, ખગોળશાસ્ત્ર એ એક વૈજ્ઞાનિક ક્ષેત્ર છે જેમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશમાં પ્રકાશ બીમની હિલચાલને ધ્યાનમાં લો. તે જાણીતું છે કે પ્રકાશ બંને દિશામાં સમાન ગતિએ આગળ વધે છે. ચાલો તેને AB કહીએ જેની સાથે પ્રકાશ કિરણ ફરે છે l. અને બિંદુ A થી બિંદુ B સુધી જવા માટે પ્રકાશ જેટલો અડધો સમય લાગે છે તેને કૉલ કરીએ t. અને બીમની ઝડપ - c. તે તારણ આપે છે કે: c*t=l

જો તમે આ જ કિરણને બીજા પ્લેનમાંથી જોશો, ઉદાહરણ તરીકે, સ્પેસ લાઇનરમાંથી જે ઝડપ v સાથે આગળ વધે છે, તો જ્યારે આ રીતે શરીરનું અવલોકન કરો છો, તો તેમની ગતિ બદલાશે. આ કિસ્સામાં, સ્થિર તત્વો પણ વિરુદ્ધ દિશામાં v ગતિ સાથે આગળ વધવાનું શરૂ કરશે.

ચાલો કહીએ કે કોમિક લાઇનર જમણી તરફ જઈ રહ્યું છે. પછી બિંદુઓ A અને B, જેની વચ્ચે બીમ ધસી આવે છે, તે ડાબી તરફ જવાનું શરૂ કરશે. તદુપરાંત, જ્યારે બીમ બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ જાય છે, ત્યારે બિંદુ A ને ખસેડવાનો સમય હોય છે અને તે મુજબ, પ્રકાશ પહેલાથી જ નવા બિંદુ C પર પહોંચશે. બિંદુ A જેમાંથી અડધું અંતરે ખસેડ્યું છે તે શોધવા માટે, તમારે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે. બીમ (t ") ના અડધા મુસાફરી સમય દ્વારા લાઇનરની ગતિ.

અને આ સમય દરમિયાન પ્રકાશનું કિરણ કેટલું દૂર જઈ શકે છે તે શોધવા માટે, તમારે અડધા પાથને નવા અક્ષર s વડે ચિહ્નિત કરવાની અને નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવવાની જરૂર છે:

જો આપણે કલ્પના કરીએ કે પ્રકાશના બિંદુઓ C અને B, તેમજ સ્પેસ લાઇનર, સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, તો બિંદુ A થી લાઇનર સુધીનો ખંડ તેને બે કાટખૂણે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરશે. તેથી, પાયથાગોરિયન પ્રમેયને આભારી, તમે પ્રકાશનું કિરણ મુસાફરી કરી શકે તે અંતર શોધી શકો છો.

આ ઉદાહરણ, અલબત્ત, સૌથી સફળ નથી, કારણ કે વ્યવહારમાં તેનો પ્રયાસ કરવા માટે ફક્ત થોડા જ નસીબદાર હોઈ શકે છે. તેથી, ચાલો આ પ્રમેયના વધુ ભૌતિક કાર્યક્રમોને ધ્યાનમાં લઈએ.

મોબાઇલ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન રેન્જ

સ્માર્ટફોનના અસ્તિત્વ વિના આધુનિક જીવનની કલ્પના કરી શકાતી નથી. પરંતુ જો તેઓ મોબાઇલ સંચાર દ્વારા સબ્સ્ક્રાઇબર્સને કનેક્ટ કરી શકતા નથી તો તેઓ કેટલો ઉપયોગ કરશે?!

મોબાઇલ સંચારની ગુણવત્તા સીધી રીતે મોબાઇલ ઓપરેટરનું એન્ટેના કેટલી ઊંચાઇ પર સ્થિત છે તેના પર નિર્ભર કરે છે. મોબાઇલ ટાવરથી ફોન કેટલા દૂર સિગ્નલ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તેની ગણતરી કરવા માટે, તમે પાયથાગોરિયન પ્રમેય લાગુ કરી શકો છો.

ચાલો કહીએ કે તમારે સ્થિર ટાવરની અંદાજિત ઊંચાઈ શોધવાની જરૂર છે જેથી તે 200 કિલોમીટરની ત્રિજ્યામાં સિગ્નલનું વિતરણ કરી શકે.

AB (ટાવરની ઊંચાઈ) = x;

BC (સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન ત્રિજ્યા) = 200 કિમી;

OS (વિશ્વની ત્રિજ્યા) = 6380 કિમી;

OB=OA+ABOB=r+x

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ કરીને, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે ટાવરની લઘુત્તમ ઊંચાઈ 2.3 કિલોમીટર હોવી જોઈએ.

રોજિંદા જીવનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેય

વિચિત્ર રીતે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય રોજિંદા બાબતોમાં પણ ઉપયોગી થઈ શકે છે, જેમ કે કપડાની ઊંચાઈ નક્કી કરવી, ઉદાહરણ તરીકે. પ્રથમ નજરમાં, આવી જટિલ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે તમે ફક્ત ટેપ માપનો ઉપયોગ કરીને માપ લઈ શકો છો. પરંતુ ઘણા લોકોને આશ્ચર્ય થાય છે કે એસેમ્બલી પ્રક્રિયા દરમિયાન ચોક્કસ સમસ્યાઓ શા માટે ઊભી થાય છે જો તમામ માપન ચોક્કસ કરતાં વધુ લેવામાં આવે.

હકીકત એ છે કે કપડામાં એસેમ્બલ કરવામાં આવે છે આડી સ્થિતિઅને તે પછી જ તેને ઉઠાવીને દિવાલ સામે સ્થાપિત કરવામાં આવે છે. તેથી, માળખું ઉપાડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન, કેબિનેટની બાજુએ રૂમની ઊંચાઈ અને ત્રાંસા બંને સાથે મુક્તપણે ખસેડવું જોઈએ.

ચાલો ધારીએ કે 800 મીમીની ઊંડાઈ સાથે કપડા છે. ફ્લોરથી છત સુધીનું અંતર - 2600 મીમી. અનુભવી ફર્નિચર નિર્માતા કહેશે કે કેબિનેટની ઊંચાઈ રૂમની ઊંચાઈ કરતાં 126 મીમી ઓછી હોવી જોઈએ. પરંતુ શા માટે બરાબર 126 મીમી? ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

આદર્શ કેબિનેટ પરિમાણો સાથે, ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેયની કામગીરી તપાસીએ:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - બધું બંધબેસે છે.

ચાલો કહીએ કે કેબિનેટની ઊંચાઈ 2474 મીમી નથી, પરંતુ 2505 મીમી છે. પછી:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

તેથી, આ કેબિનેટ આ રૂમમાં ઇન્સ્ટોલેશન માટે યોગ્ય નથી. માં તેને ઉછેર્યા ત્યારથી ઊભી સ્થિતિતેના શરીરને નુકસાન થઈ શકે છે.

કદાચ, વિવિધ વૈજ્ઞાનિકો દ્વારા પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સાબિત કરવાની વિવિધ રીતો ધ્યાનમાં લીધા પછી, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે તે સાચું કરતાં વધુ છે. હવે તમે તમારા રોજિંદા જીવનમાં પ્રાપ્ત માહિતીનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને સંપૂર્ણ વિશ્વાસ રાખો કે બધી ગણતરીઓ ફક્ત ઉપયોગી જ નહીં, પણ સાચી પણ હશે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય- યુક્લિડિયન ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેયમાંથી એક, સંબંધ સ્થાપિત કરે છે

જમણા ત્રિકોણની બાજુઓ વચ્ચે.

એવું માનવામાં આવે છે કે તે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસ દ્વારા સાબિત થયું હતું, જેમના નામ પરથી તેનું નામ રાખવામાં આવ્યું હતું.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની ભૌમિતિક રચના.

પ્રમેય મૂળરૂપે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવ્યો હતો:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણ પર બાંધવામાં આવેલા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના વિસ્તારોના સરવાળા જેટલું હોય છે,

પગ પર બાંધવામાં આવે છે.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું બીજગણિત રચના.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણોની લંબાઈનો વર્ગ પગની લંબાઈના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.

એટલે કે, ત્રિકોણના કર્ણોની લંબાઈ દ્વારા સૂચિત કરે છે c, અને મારફતે પગ ની લંબાઈ aઅને b:

બંને ફોર્મ્યુલેશન પાયથાગોરિયન પ્રમેયસમકક્ષ છે, પરંતુ બીજું ફોર્મ્યુલેશન વધુ પ્રાથમિક છે, એવું નથી

વિસ્તારની વિભાવનાની જરૂર છે. એટલે કે, વિસ્તાર વિશે કંઈપણ જાણ્યા વિના બીજા નિવેદનને ચકાસી શકાય છે અને

કાટકોણ ત્રિકોણની માત્ર બાજુઓની લંબાઈને માપીને.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની વાત કરો.

જો ત્રિકોણની એક બાજુનો વર્ગ બીજી બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય, તો

જમણો ત્રિકોણ.

અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

ધન સંખ્યાના દરેક ત્રિવિધ માટે a, bઅને c, જેમ કે

પગ સાથે જમણો ત્રિકોણ છે aઅને bઅને કર્ણ c.

સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

સમભુજ ત્રિકોણ માટે પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા.

ચાલુ આ ક્ષણેઆ પ્રમેયના 367 પુરાવાઓ વૈજ્ઞાનિક સાહિત્યમાં નોંધવામાં આવ્યા છે. કદાચ પ્રમેય

પાયથાગોરસ એ એક માત્ર પ્રમેય છે જે આટલી પ્રભાવશાળી સંખ્યામાં સાબિતીઓ ધરાવે છે. આવી વિવિધતા

ભૂમિતિ માટેના પ્રમેયના મૂળભૂત મહત્વ દ્વારા જ સમજાવી શકાય છે.

અલબત્ત, વૈચારિક રીતે તે બધાને નાની સંખ્યામાં વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેમાંથી સૌથી પ્રખ્યાત:

સાબિતી વિસ્તાર પદ્ધતિ, સ્વયંસિદ્ધઅને વિદેશી પુરાવા(ઉદાહરણ તરીકે,

ઉપયોગ કરીને વિભેદક સમીકરણો).

1. સમાન ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.

બીજગણિત રચનાનો નીચેનો પુરાવો બાંધવામાં આવેલા પુરાવાઓમાં સૌથી સરળ છે

સીધા સ્વયંસિદ્ધમાંથી. ખાસ કરીને, તે આકૃતિના ક્ષેત્રફળની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરતું નથી.

દો ABCકાટકોણ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણ છે સી. માંથી ઊંચાઈ દોરીએ સીઅને સૂચવો

દ્વારા તેનો પાયો એચ.

ત્રિકોણ ACHત્રિકોણ જેવું જ એબીબે ખૂણા પર સી. તેવી જ રીતે, ત્રિકોણ સીબીએચસમાન ABC.

નોટેશન રજૂ કરીને:

અમને મળે છે:

,

જે અનુલક્ષે છે -

ફોલ્ડ a 2 અને b 2, અમને મળે છે:

અથવા, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

2. વિસ્તાર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.

નીચે આપેલા પુરાવાઓ, તેમની દેખીતી સરળતા હોવા છતાં, બિલકુલ સરળ નથી. તે બધા

વિસ્તારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો, જેના પુરાવા પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવા કરતાં વધુ જટિલ છે.

• સમાન પૂરકતા દ્વારા પુરાવો.

ચાલો ચાર સરખા લંબચોરસ ગોઠવીએ

આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણ

અધિકાર

બાજુઓ સાથે ચતુષ્કોણ c- ચોરસ,

કારણ કે બે તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90° છે, અને

અનફોલ્ડ કોણ - 180°.

એક તરફ, સમગ્ર આકૃતિનો વિસ્તાર બરાબર છે

બાજુવાળા ચોરસનો વિસ્તાર ( a+b), અને બીજી બાજુ, ચાર ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો અને

Q.E.D.

3. અનંત પદ્ધતિ દ્વારા પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો પુરાવો.

​

આકૃતિમાં બતાવેલ ડ્રોઇંગ જોઈ રહ્યા છીએ અને

બાજુના બદલાવને જોવુંa, અમે કરી શકીએ છીએ

અનંત માટે નીચેનો સંબંધ લખો

નાનું બાજુ વૃદ્ધિસાથેઅને a(સમાનતાનો ઉપયોગ કરીને

ત્રિકોણ):

ચલ અલગ કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ:

વધુ સામાન્ય અભિવ્યક્તિબંને પગના વધારાના કિસ્સામાં કર્ણ બદલવા માટે:

આ સમીકરણને એકીકૃત કરીને અને પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ:

આમ અમે ઇચ્છિત જવાબ પર પહોંચીએ છીએ:

જોવું સરળ છે તેમ, અંતિમ સૂત્રમાં ચતુર્ભુજ અવલંબન રેખીયને કારણે દેખાય છે

ત્રિકોણની બાજુઓ અને ઇન્ક્રીમેન્ટ્સ વચ્ચે પ્રમાણસરતા, જ્યારે સરવાળો સ્વતંત્ર સાથે સંબંધિત છે

વિવિધ પગના વધારામાંથી યોગદાન.

જો આપણે ધારીએ કે એક પગમાં વધારો થતો નથી તો એક સરળ પુરાવો મેળવી શકાય છે

(આ કિસ્સામાં પગ b). પછી એકીકરણ સ્થિરતા માટે આપણે મેળવીએ છીએ:

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઈતિહાસ હજારો વર્ષ પાછળ જાય છે. એક નિવેદન જે જણાવે છે કે તે ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીના જન્મના ઘણા સમય પહેલા જાણીતું હતું. જો કે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય, તેની રચનાનો ઇતિહાસ અને તેના પુરાવા આ વૈજ્ઞાનિક સાથે મોટાભાગના લોકો માટે સંકળાયેલા છે. કેટલાક સ્રોતો અનુસાર, આનું કારણ પ્રમેયનો પ્રથમ પુરાવો હતો, જે પાયથાગોરસ દ્વારા આપવામાં આવ્યો હતો. જો કે, કેટલાક સંશોધકો આ હકીકતને નકારે છે.

સંગીત અને તર્ક

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઇતિહાસ કેવી રીતે વિકસિત થયો તે કહેતા પહેલા, ચાલો આપણે ગણિતશાસ્ત્રીના જીવનચરિત્રને સંક્ષિપ્તમાં જોઈએ. તે છઠ્ઠી સદી બીસીમાં રહેતા હતા. પાયથાગોરસની જન્મ તારીખ 570 બીસી માનવામાં આવે છે. e., સ્થળ સામોસ ટાપુ છે. વૈજ્ઞાનિકના જીવન વિશે બહુ ઓછું વિશ્વસનીય રીતે જાણીતું છે. પ્રાચીન ગ્રીક સ્ત્રોતોમાં જીવનચરિત્રાત્મક માહિતી સ્પષ્ટ કાલ્પનિક સાથે જોડાયેલી છે. ગ્રંથોના પૃષ્ઠો પર, તે શબ્દોના ઉત્તમ આદેશ અને સમજાવવાની ક્ષમતા સાથે એક મહાન ઋષિ તરીકે દેખાય છે. માર્ગ દ્વારા, તેથી જ ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીને પાયથાગોરસનું હુલામણું નામ આપવામાં આવ્યું હતું, એટલે કે, "પ્રેરણાદાયક ભાષણ". અન્ય સંસ્કરણ મુજબ, ભાવિ ઋષિના જન્મની આગાહી પાયથિયા દ્વારા કરવામાં આવી હતી. પિતાએ તેના માનમાં છોકરાનું નામ પાયથાગોરસ રાખ્યું.

ઋષિ એ સમયના મહાન દિમાગ પાસેથી શીખ્યા. યુવાન પાયથાગોરસના શિક્ષકોમાં હર્મોડામેન્ટસ અને ફેરેસીડીસ ઓફ સિરોસ છે. પ્રથમ તેનામાં સંગીતનો પ્રેમ પ્રગટાવ્યો, બીજાએ તેને ફિલસૂફી શીખવી. આ બંને વિજ્ઞાન તેમના જીવનભર વૈજ્ઞાનિકનું કેન્દ્રબિંદુ રહેશે.

30 વર્ષની તાલીમ

એક સંસ્કરણ મુજબ, એક જિજ્ઞાસુ યુવાન હોવાને કારણે, પાયથાગોરસ તેનું વતન છોડી દીધું. તે ઇજિપ્તમાં જ્ઞાન મેળવવા ગયો હતો, જ્યાં તે 11 થી 22 વર્ષ સુધી, વિવિધ સ્ત્રોતો અનુસાર રોકાયો હતો, અને પછી તેને પકડીને બેબીલોન મોકલવામાં આવ્યો હતો. પાયથાગોરસ તેના પદનો લાભ ઉઠાવવામાં સક્ષમ હતો. 12 વર્ષ સુધી તેણે ગણિત, ભૂમિતિ અને જાદુનો અભ્યાસ કર્યો પ્રાચીન રાજ્ય. પાયથાગોરસ માત્ર 56 વર્ષની ઉંમરે સામોસ પરત ફર્યા. તે સમયે અત્યાચારી પોલીક્રેટ્સ અહીં રાજ કરતા હતા. પાયથાગોરસ આવી રાજકીય પ્રણાલીને સ્વીકારી શક્યો નહીં અને ટૂંક સમયમાં ઇટાલીના દક્ષિણમાં ગયો, જ્યાં ક્રોટોનની ગ્રીક વસાહત આવેલી હતી.

આજે ખાતરીપૂર્વક કહેવું અશક્ય છે કે પાયથાગોરસ ઇજિપ્ત અને બેબીલોનમાં હતો કે કેમ. તે કદાચ પછીથી સામોસ છોડીને સીધો ક્રોટોન ગયો હશે.

પાયથાગોરિયન

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઇતિહાસ ગ્રીક ફિલસૂફ દ્વારા બનાવેલ શાળાના વિકાસ સાથે જોડાયેલો છે. આ ધાર્મિક અને નૈતિક ભાઈચારાએ જીવનની એક વિશેષ રીતનો ઉપદેશ આપ્યો, અંકગણિત, ભૂમિતિ અને ખગોળશાસ્ત્રનો અભ્યાસ કર્યો અને સંખ્યાઓની દાર્શનિક અને રહસ્યવાદી બાજુનો અભ્યાસ કર્યો.

ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીના વિદ્યાર્થીઓની તમામ શોધો તેમને આભારી હતી. જો કે, પાયથાગોરિયન પ્રમેયના ઉદભવનો ઇતિહાસ પ્રાચીન જીવનચરિત્રકારો દ્વારા ફક્ત ફિલસૂફ સાથે સંકળાયેલો છે. એવું માનવામાં આવે છે કે તેણે બેબીલોન અને ઇજિપ્તમાં મેળવેલ જ્ઞાન ગ્રીક લોકોને આપ્યું હતું. ત્યાં એક સંસ્કરણ પણ છે કે તેણે ખરેખર અન્ય લોકોની સિદ્ધિઓ વિશે જાણ્યા વિના, પગ અને કર્ણ વચ્ચેના સંબંધ પર પ્રમેય શોધી કાઢ્યો હતો.

પાયથાગોરિયન પ્રમેય: શોધનો ઇતિહાસ

કેટલાક પ્રાચીન ગ્રીક સ્ત્રોતો પાયથાગોરસના આનંદનું વર્ણન કરે છે જ્યારે તે પ્રમેય સાબિત કરવામાં સફળ થયો. આ ઘટનાના સન્માનમાં, તેણે સેંકડો બળદોના રૂપમાં દેવતાઓને બલિદાન આપવાનો આદેશ આપ્યો અને તહેવાર યોજ્યો. કેટલાક વૈજ્ઞાનિકો, જોકે, પાયથાગોરિયનોના મંતવ્યોની વિચિત્રતાને કારણે આવા કૃત્યની અશક્યતા દર્શાવે છે.

એવું માનવામાં આવે છે કે યુક્લિડ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ "તત્વો" ગ્રંથમાં, લેખક પ્રમેયનો પુરાવો આપે છે, જેના લેખક મહાન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી હતા. જો કે, દરેક વ્યક્તિએ આ દૃષ્ટિકોણને સમર્થન આપ્યું નથી. આમ, પ્રાચીન નિયોપ્લાટોનિસ્ટ ફિલસૂફ પ્રોક્લસે પણ ધ્યાન દોર્યું હતું કે તત્વોમાં આપેલા પુરાવાના લેખક યુક્લિડ પોતે હતા.

ભલે તે બની શકે, પ્રમેય ઘડનાર પ્રથમ વ્યક્તિ પાયથાગોરસ ન હતો.

પ્રાચીન ઇજિપ્ત અને બેબીલોન

જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કેન્ટરના જણાવ્યા મુજબ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય, જેનો ઇતિહાસ લેખમાં ચર્ચા કરવામાં આવ્યો છે, તે 2300 બીસીમાં જાણીતો હતો. ઇ. ઇજીપ્ટ માં. ફારુન એમેમેહતના શાસન દરમિયાન નાઇલ ખીણના પ્રાચીન રહેવાસીઓ હું સમાનતા 3 2 + 4 ² = 5 ² જાણતો હતો. એવું માનવામાં આવે છે કે 3, 4 અને 5 બાજુઓવાળા ત્રિકોણની મદદથી, ઇજિપ્તના "દોરડા ખેંચનારાઓ" એ જમણા ખૂણા બનાવ્યા.

તેઓ બેબીલોનમાં પાયથાગોરિયન પ્રમેય પણ જાણતા હતા. 2000 બીસી સુધીની માટીની ગોળીઓ પર. અને શાસનકાળની તારીખમાં, કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણની અંદાજિત ગણતરી મળી આવી હતી.

ભારત અને ચીન

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઇતિહાસ ભારત અને ચીનની પ્રાચીન સંસ્કૃતિઓ સાથે પણ જોડાયેલો છે. "ઝોઉ-બી સુઆન જીન" ગ્રંથમાં એવા સંકેતો છે કે (તેની બાજુઓ 3:4:5 તરીકે સંબંધિત છે) 12મી સદીમાં ચીનમાં જાણીતી હતી. પૂર્વે e., અને 6ઠ્ઠી સદી સુધીમાં. પૂર્વે ઇ. આ રાજ્યના ગણિતશાસ્ત્રીઓ જાણતા હતા સામાન્ય દૃશ્યપ્રમેય

બાંધકામ જમણો ખૂણોઇજિપ્તીયન ત્રિકોણની મદદથી તે ભારતીય ગ્રંથ "સુલવા સૂત્ર" માં પણ જણાવવામાં આવ્યું હતું, જે 7મી-5મી સદીના છે. પૂર્વે ઇ.

આમ, ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફના જન્મના સમયથી પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઇતિહાસ પહેલેથી જ ઘણા સો વર્ષ જૂનો હતો.

પુરાવો

તેના અસ્તિત્વ દરમિયાન, પ્રમેય ભૂમિતિમાં મૂળભૂત બાબતોમાંનું એક બન્યું. પાયથાગોરિયન પ્રમેયના પુરાવાનો ઇતિહાસ સંભવતઃ એક સમબાજુના ચોરસને ધ્યાનમાં રાખીને શરૂ થયો હતો. જે કર્ણો પર "વધ્યો" છે તેમાં પ્રથમની સમાન ચાર ત્રિકોણ હશે. બાજુઓ પરના ચોરસમાં આવા બે ત્રિકોણ હોય છે. એક સરળ ગ્રાફિકલ રજૂઆત પ્રસિદ્ધ પ્રમેયના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવેલા નિવેદનની માન્યતા સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે.

બીજગણિત સાથે અન્ય સરળ સાબિતી ભૂમિતિને જોડે છે. બાજુઓ a, b, c સાથે ચાર સરખા જમણા ત્રિકોણ દોરવામાં આવે છે જેથી તેઓ બે ચોરસ બનાવે: બહારનો એક બાજુ (a + b) સાથે અને અંદરનો એક બાજુ c સાથે. આ કિસ્સામાં, નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ c 2 જેટલું હશે. વિસ્તારોના સરવાળા પરથી મોટા વિસ્તારની ગણતરી કરવામાં આવે છે નાનો ચોરસઅને બધા ત્રિકોણ (કાટકોણ ત્રિકોણનો વિસ્તાર, યાદ કરો, સૂત્ર (a * b) / 2 દ્વારા ગણવામાં આવે છે), એટલે કે, c 2 + 4 * (a * b) / 2), જે સમાન છે c 2 + 2ab સુધી. મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી બીજી રીતે કરી શકાય છે - બે બાજુઓના ગુણાંક તરીકે, એટલે કે, (a + b) 2, જે 2 + 2ab + b 2 ની બરાબર છે. તે તારણ આપે છે:

a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2ab,

a 2 + b 2 = c 2.

આ પ્રમેયના પુરાવાના ઘણા સંસ્કરણો છે. યુક્લિડ, ભારતીય વૈજ્ઞાનિકો અને લિયોનાર્ડો દા વિન્સીએ તેમના પર કામ કર્યું હતું. ઘણીવાર પ્રાચીન ઋષિઓએ રેખાંકનો ટાંક્યા, જેના ઉદાહરણો ઉપર સ્થિત છે, અને "જુઓ!" નોંધ સિવાય અન્ય કોઈ સ્પષ્ટતા સાથે તેમની સાથે નહોતા. ભૌમિતિક પુરાવાની સરળતા, જો કે થોડું જ્ઞાન ઉપલબ્ધ હતું, ટિપ્પણીની જરૂર નથી.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઇતિહાસ, લેખમાં સંક્ષિપ્તમાં દર્શાવેલ છે, તેના મૂળ વિશેની પૌરાણિક કથાને દૂર કરે છે. જો કે, તે કલ્પના કરવી પણ મુશ્કેલ છે કે મહાન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી અને ફિલસૂફનું નામ તેની સાથે ક્યારેય સંકળાયેલું નથી.