માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સિદ્ધાંત. માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

ક્યુઇંગ થિયરી એ સંભાવના સિદ્ધાંતની શાખાઓમાંની એક છે. આ સિદ્ધાંત ધ્યાનમાં લે છે સંભવિતકાર્યો અને ગાણિતિક મોડેલો(તે પહેલા અમે નિર્ણાયક ગાણિતિક મોડલ ગણ્યા હતા). ચાલો તમને યાદ અપાવીએ કે:

નિર્ણાયક ગાણિતિક મોડેલપરિપ્રેક્ષ્યમાં ઑબ્જેક્ટ (સિસ્ટમ, પ્રક્રિયા) ના વર્તનને પ્રતિબિંબિત કરે છે સંપૂર્ણ નિશ્ચિતતાવર્તમાન અને ભવિષ્યમાં.

સંભવિત ગાણિતિક મોડેલઑબ્જેક્ટ (સિસ્ટમ, પ્રક્રિયા) ની વર્તણૂક પર રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લે છે અને તેથી, ચોક્કસ ઘટનાઓની સંભાવનાના દૃષ્ટિકોણથી ભવિષ્યનું મૂલ્યાંકન કરે છે.

તે. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, ગેમ થિયરીમાં સમસ્યાઓ ગણવામાં આવે છે શરતોમાંઅનિશ્ચિતતા.

ચાલો આપણે સૌપ્રથમ કેટલીક વિભાવનાઓને ધ્યાનમાં લઈએ જે "સ્ટોકેસ્ટિક અનિશ્ચિતતા" ની લાક્ષણિકતા ધરાવે છે, જ્યારે સમસ્યામાં સમાવિષ્ટ અનિશ્ચિત પરિબળો રેન્ડમ ચલ (અથવા રેન્ડમ ફંક્શન્સ) છે, જેની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ કાં તો જાણીતી છે અથવા અનુભવમાંથી મેળવી શકાય છે. આવી અનિશ્ચિતતાને "અનુકૂળ", "સૌમ્ય" પણ કહેવામાં આવે છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો ખ્યાલ

કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ પ્રક્રિયામાં રેન્ડમ વિક્ષેપ સહજ છે. "નોન-રેન્ડમ" પ્રક્રિયા કરતાં રેન્ડમ પ્રક્રિયાના ઉદાહરણો આપવાનું સરળ છે. પણ, ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળ ચલાવવાની પ્રક્રિયા (તે સખત રીતે માપાંકિત કાર્ય લાગે છે - "ઘડિયાળની જેમ કામ કરે છે") રેન્ડમ ફેરફારોને આધીન છે (આગળ વધવું, પાછળ રહેવું, અટકવું). પરંતુ જ્યાં સુધી આ વિક્ષેપો નજીવી હોય અને અમારા રસના પરિમાણો પર તેની થોડી અસર ન થાય ત્યાં સુધી અમે તેમની અવગણના કરી શકીએ છીએ અને પ્રક્રિયાને નિર્ણાયક, બિન-રેન્ડમ ગણી શકીએ છીએ.

થોડી વ્યવસ્થા થવા દો એસ(તકનીકી ઉપકરણ, આવા ઉપકરણોનું જૂથ, તકનીકી સિસ્ટમ - મશીન, સાઇટ, વર્કશોપ, એન્ટરપ્રાઇઝ, ઉદ્યોગ, વગેરે). સિસ્ટમમાં એસલીક રેન્ડમ પ્રક્રિયા, જો તે સમય જતાં તેની સ્થિતિમાં ફેરફાર કરે છે (એક રાજ્યમાંથી બીજા રાજ્યમાં પસાર થાય છે), વધુમાં, અગાઉ અજાણ્યા રેન્ડમ રીતે.

ઉદાહરણો: 1. સિસ્ટમ એસ- તકનીકી સિસ્ટમ (મશીન વિભાગ). મશીનો સમયાંતરે તૂટી જાય છે અને રિપેર કરવામાં આવે છે. આ સિસ્ટમમાં થતી પ્રક્રિયા રેન્ડમ છે.

2. સિસ્ટમ એસ- ચોક્કસ રૂટ પર આપેલ ઊંચાઈએ ઉડતું વિમાન. ખલેલ પહોંચાડનારા પરિબળો - હવામાન પરિસ્થિતિઓ, ક્રૂની ભૂલો, વગેરે, પરિણામો - બમ્પનેસ, ફ્લાઇટ શેડ્યૂલનું ઉલ્લંઘન, વગેરે.

માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયા

સિસ્ટમમાં બનતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે માર્કોવ્સ્કી, જો સમય કોઈપણ ક્ષણ માટે t 0 ભવિષ્યમાં પ્રક્રિયાની સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ ફક્ત આ ક્ષણે તેની સ્થિતિ પર આધારિત છે t 0 અને સિસ્ટમ ક્યારે અને કેવી રીતે આ સ્થિતિમાં પહોંચી તેના પર નિર્ભર નથી.

સિસ્ટમને આ ક્ષણે t 0 ચોક્કસ સ્થિતિમાં રહેવા દો એસ 0 અમે વર્તમાનમાં સિસ્ટમની સ્થિતિની વિશેષતાઓ જાણીએ છીએ, જ્યારે બન્યું તે બધું t<t 0 (પ્રક્રિયા ઇતિહાસ). શું આપણે ભવિષ્યની આગાહી (આગાહી) કરી શકીએ છીએ, એટલે કે. ક્યારે શું થશે t>t 0? બરાબર નથી, પરંતુ પ્રક્રિયાની કેટલીક સંભવિત લાક્ષણિકતાઓ ભવિષ્યમાં મળી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના કે અમુક સમય પછી સિસ્ટમ એસસક્ષમ હશે એસ 1 અથવા રાજ્યમાં રહેશે એસ 0, વગેરે.

ઉદાહરણ. સિસ્ટમ એસ- હવાઈ લડાઇમાં ભાગ લેતા વિમાનોનું જૂથ. દો x- "લાલ" વિમાનોની સંખ્યા, y- "વાદળી" એરક્રાફ્ટની સંખ્યા. એ સમચ સુધી tઅનુક્રમે 0 હયાત (શૂટ ડાઉન) વિમાનોની સંખ્યા - x 0 ,y 0 અમને સંભાવનામાં રસ છે કે આ ક્ષણે સંખ્યાત્મક શ્રેષ્ઠતા "લાલ" ની બાજુમાં હશે. આ સંભાવના તે સમયે સિસ્ટમ કઈ સ્થિતિમાં હતી તેના પર નિર્ભર છે t 0, અને તે ક્ષણ સુધી નહીં કે ક્યારે અને કયા ક્રમમાં માર્યા ગયેલા લોકો મૃત્યુ પામ્યા t 0 વિમાનો.

વ્યવહારમાં, માર્કોવ પ્રક્રિયા કરે છે શુદ્ધ સ્વરૂપસામાન્ય રીતે મળી નથી. પરંતુ એવી પ્રક્રિયાઓ છે કે જેના માટે "પ્રાગૈતિહાસિક" ના પ્રભાવની અવગણના કરી શકાય છે. અને આવી પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, માર્કોવ મોડલ્સનો ઉપયોગ કરી શકાય છે (કતાર સિદ્ધાંત માર્કોવ કતાર પ્રણાલીને ધ્યાનમાં લેતા નથી, પરંતુ ગાણિતિક ઉપકરણ જે તેનું વર્ણન કરે છે તે વધુ જટિલ છે).

કામગીરી સંશોધનમાં મહાન મહત્વઅલગ અવસ્થાઓ અને સતત સમય સાથે માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ ધરાવે છે.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સ્વતંત્ર રાજ્ય પ્રક્રિયા, જો તે શક્ય હોય તો એસ 1 ,એસ 2, ... અગાઉથી નક્કી કરી શકાય છે, અને સિસ્ટમનું રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ લગભગ તરત જ "એક જમ્પમાં" થાય છે.

પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે સતત સમય પ્રક્રિયા, જો રાજ્યથી રાજ્યમાં સંભવિત સંક્રમણોની ક્ષણો અગાઉથી નિશ્ચિત ન હોય, પરંતુ અનિશ્ચિત, અવ્યવસ્થિત હોય અને કોઈપણ સમયે થઈ શકે છે.

ઉદાહરણ. ટેકનોલોજીકલ સિસ્ટમ (વિભાગ) એસબે મશીનોનો સમાવેશ થાય છે, જેમાંથી દરેક છે રેન્ડમ ક્ષણસમય નિષ્ફળ થઈ શકે છે (નિષ્ફળ), જેના પછી એકમનું સમારકામ તરત જ શરૂ થાય છે, તે પણ અજાણ્યા, રેન્ડમ સમય માટે ચાલુ રહે છે. નીચેની સિસ્ટમ સ્થિતિઓ શક્ય છે:

એસ 0 - બંને મશીનો કાર્યરત છે;

એસ 1 - પ્રથમ મશીન રીપેર થઈ રહ્યું છે, બીજું કામ કરી રહ્યું છે;

એસ 2 - બીજી મશીન રિપેર કરવામાં આવી રહી છે, પ્રથમ એક કામ કરી રહ્યું છે;

એસ 3 - બંને મશીનોનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે.

સિસ્ટમ સંક્રમણો એસરાજ્યથી રાજ્ય સુધી લગભગ તરત જ થાય છે, રેન્ડમ ક્ષણો પર જ્યારે કોઈ ચોક્કસ મશીન નિષ્ફળ જાય અથવા સમારકામ પૂર્ણ થાય.

અલગ અવસ્થાઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, ભૌમિતિક યોજનાનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે - રાજ્ય ગ્રાફ. ગ્રાફના શિરોબિંદુઓ સિસ્ટમની સ્થિતિઓ છે. ગ્રાફ આર્ક્સ - રાજ્યથી રાજ્યમાં સંભવિત સંક્રમણો

ફિગ.1. સિસ્ટમ સ્ટેટ ગ્રાફ

રાજ્ય અમારા ઉદાહરણ માટે, રાજ્યનો ગ્રાફ આકૃતિ 1 માં બતાવવામાં આવ્યો છે.

નૉૅધ. રાજ્યમાંથી સંક્રમણ એસ 0 ઇંચ એસ 3 આકૃતિમાં દર્શાવવામાં આવ્યું નથી, કારણ કે એવું માનવામાં આવે છે કે મશીનો એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નિષ્ફળ જાય છે. અમે બંને મશીનોની એક સાથે નિષ્ફળતાની શક્યતાને અવગણીએ છીએ.

સમય પરિમાણના કોઈપણ આપેલ મૂલ્ય પછી જેનું ઉત્ક્રાંતિ t (\ પ્રદર્શન શૈલી t)અગાઉના ઉત્ક્રાંતિ પર આધાર રાખતો નથી t (\ પ્રદર્શન શૈલી t), પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આ ક્ષણે પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત છે (પ્રક્રિયાનું "ભવિષ્ય" જાણીતા "વર્તમાન" સાથેના "ભૂતકાળ" પર આધારિત નથી; અન્ય અર્થઘટન (વેન્ટ્ઝેલ): પ્રક્રિયાનું "ભવિષ્ય" આધાર રાખે છે "ભૂતકાળ" પર ફક્ત "વર્તમાન" દ્વારા).

જ્ઞાનકોશીય YouTube

1 / 3

લેક્ચર 15: માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ

માર્કોવ સાંકળોનું મૂળ

સામાન્યકૃત માર્કોવ પ્રક્રિયા મોડેલ

સબટાઈટલ

વાર્તા

માર્કોવ પ્રક્રિયાને વ્યાખ્યાયિત કરતી મિલકતને સામાન્ય રીતે માર્કોવિયન કહેવામાં આવે છે; તે સૌપ્રથમ એ.એ. માર્કોવ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું, જેમણે, 1907 ના કાર્યોમાં, આશ્રિત પરીક્ષણોના ક્રમ અને તેમની સાથે સંકળાયેલા સરવાળોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો હતો. રેન્ડમ ચલો. સંશોધનની આ લાઇનને માર્કોવ ચેઇન થિયરી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

સતત-સમય માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના સામાન્ય સિદ્ધાંતના પાયા કોલમોગોરોવ દ્વારા નાખવામાં આવ્યા હતા.

માર્કોવ મિલકત

સામાન્ય કેસ

દો (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- ફિલ્ટરિંગ સાથે સંભવિત જગ્યા (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))કેટલાક (આંશિક રીતે ઓર્ડર કરેલ) સેટ ઉપર T (\Displaystyle T); જવા દે ને (S , S) (\displaystyle (S,(\mathcal (S))))- માપી શકાય તેવી જગ્યા. રેન્ડમ પ્રક્રિયા X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), ફિલ્ટર કરેલ સંભાવના જગ્યા પર વ્યાખ્યાયિત, સંતોષકારક માનવામાં આવે છે માર્કોવ મિલકત, જો દરેક માટે A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))અને s, t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

P (X t ∈ A | F s) = P (X t ∈ A | X s) . (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s)=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)). )

માર્કોવ પ્રક્રિયાએક રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે જે સંતોષે છે માર્કોવ મિલકતકુદરતી ગાળણક્રિયા સાથે.

સ્વતંત્ર સમય માર્કોવ સાંકળો માટે

જો S (\Displaystyle S)એક અલગ સેટ છે અને T = N (\displaystyle T=\mathbb (N) ), વ્યાખ્યા સુધારી શકાય છે:

P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\dots , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).

માર્કોવ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ

ચાલો માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. એક બિંદુ એબ્સીસા અક્ષ સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે ખસે છે. શૂન્ય સમયે, બિંદુ મૂળ પર હોય છે અને એક સેકન્ડ માટે ત્યાં રહે છે. એક સેકન્ડ પછી, એક સિક્કો ફેંકવામાં આવે છે - જો આર્મ્સનો કોટ નાખવામાં આવે છે, તો પછી બિંદુ X લંબાઈના એક એકમને જમણી તરફ ખસેડે છે, જો સંખ્યા - ડાબી તરફ. એક સેકન્ડ પછી, સિક્કો ફરીથી ફેંકવામાં આવે છે અને તે જ રેન્ડમ હિલચાલ કરવામાં આવે છે, વગેરે. બિંદુની સ્થિતિ બદલવાની પ્રક્રિયા ("ચાલવું") એ એક અલગ સમય (t=0, 1, 2, ...) અને અવસ્થાઓના ગણતરીપાત્ર સમૂહ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે. આવી રેન્ડમ પ્રક્રિયાને માર્કોવ કહેવામાં આવે છે, કારણ કે બિંદુની આગલી સ્થિતિ ફક્ત વર્તમાન (વર્તમાન) સ્થિતિ પર આધારિત છે અને ભૂતકાળની સ્થિતિઓ પર આધારિત નથી (તે કોઈ વાંધો નથી કે કઈ રીતે અને કયા સમયે બિંદુ વર્તમાન સંકલન પર પહોંચ્યું) .

માર્કોવ પ્રક્રિયા

અસર વિના પ્રક્રિયા - રેન્ડમ પ્રક્રિયા,જેનું ઉત્ક્રાંતિ સમય પરિમાણ ટીના કોઈપણ આપેલ મૂલ્ય પછી અગાઉના ઉત્ક્રાંતિ પર આધારિત નથી ટી,પૂરી પાડવામાં આવેલ છે કે આમાં પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય નિશ્ચિત છે (ટૂંકમાં: પ્રક્રિયાના "ભવિષ્ય" અને "ભૂતકાળ" જાણીતા "વર્તમાન" સાથે એકબીજા પર આધારિત નથી).

ચુંબકીય ક્ષેત્રને વ્યાખ્યાયિત કરતી મિલકતને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે માર્કોવિયન; તે સૌપ્રથમ એ.એ. માર્કોવ દ્વારા ઘડવામાં આવ્યું હતું. જો કે, એલ. બેચલિયરના કાર્યમાં પહેલેથી જ બ્રાઉનિયનને ચુંબકીય ક્ષેત્ર તરીકે અર્થઘટન કરવાનો પ્રયાસ જાણી શકાય છે, જે એન. વિનર (એન. વિનર, 1923) ના સંશોધન પછી વાજબી ઠરાવવાનો પ્રયાસ છે. સતત-સમય ચુંબકીય પ્રક્રિયાઓના સામાન્ય સિદ્ધાંતના પાયા એ.એન. કોલમોગોરોવ દ્વારા નાખવામાં આવ્યા હતા.

માર્કોવ મિલકત. M. ની વ્યાખ્યાઓ છે જે એકબીજાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે. માપી શકાય તેવી જગ્યામાંથી મૂલ્યો સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાને સંભવિત જગ્યા પર આપવામાં આવે છે જ્યાં ટી -વાસ્તવિક ધરીનો સબસેટ Let એનટી(અનુક્રમે એનટી).ત્યાં એક s-બીજગણિત છે જથ્થા X(ઓ).એટ દ્વારા પેદા જ્યાં બીજા શબ્દો માં, એનટી(અનુક્રમે એનટી) એ ક્ષણ સુધીની પ્રક્રિયાના ઉત્ક્રાંતિ સાથે સંકળાયેલ ઘટનાઓનો સમૂહ છે (t થી શરૂ કરીને) . પ્રક્રિયા X(t) કહેવાય છે માર્કોવ પ્રક્રિયા જો (લગભગ ચોક્કસપણે) માર્કોવ મિલકત બધા માટે ધરાવે છે:

અથવા, સમાન શું છે, જો કોઈ હોય તો

M. p., જેના માટે T કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહમાં સમાયેલ છે, કહેવાય છે. માર્કોવ સાંકળ(જોકે, બાદમાંનો શબ્દ મોટાભાગે સૌથી વધુ ગણી શકાય તેવા E ના કેસ સાથે સંકળાયેલો છે) . જો ગણતરીપાત્ર કરતાં વધુ અંતરાલ હોય, તો M. કહેવાય છે. સતત સમય માર્કોવ સાંકળ. સતત-સમયની ચુંબકીય પ્રક્રિયાઓના ઉદાહરણો પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓ અને સ્વતંત્ર વૃદ્ધિ સાથેની પ્રક્રિયાઓ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જેમાં પોઈસન અને વિનર પ્રક્રિયાઓનો સમાવેશ થાય છે.

નીચેનામાં, નિશ્ચિતતા માટે, અમે ફક્ત કેસ વિશે વાત કરીશું સૂત્રો (1) અને (2) "ભૂતકાળ" અને "ભવિષ્ય" ની સ્વતંત્રતાના સિદ્ધાંતનું સ્પષ્ટ અર્થઘટન આપે છે, જે "વર્તમાન" તરીકે ઓળખાય છે, પરંતુ તેમના પર આધારિત M. ની વ્યાખ્યા અપૂરતી રીતે લવચીક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તે અસંખ્ય પરિસ્થિતિઓને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે જ્યારે એક નહીં, પરંતુ પ્રકાર (1) અથવા (2) ની શરતોનો સમૂહ, જે ચોક્કસ રીતે સંમત હોવા છતાં, આ પ્રકારની વિચારણાઓ અપનાવવા તરફ દોરી જાય છે નીચેની વ્યાખ્યા (જુઓ,).

નીચે આપેલ દો:

a) જ્યાં s-બીજગણિતમાં E માં તમામ એક-બિંદુના સેટ હોય છે;

b) માપી શકાય તેવા s-બીજગણિતના પરિવાર સાથે સજ્જ જેમ કે જો

વી) ("") x t = xt(w) , કોઈપણ માપી શકાય તેવા મેપિંગ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવું

d) દરેક માટે અને s-બીજગણિત પર સંભાવના માપન જેમ કે કાર્ય જો અને ના સાપેક્ષ માપી શકાય

નામોનો સમૂહ (બિન-સમાપ્ત) માર્કોવ પ્રક્રિયા જો - લગભગ ચોક્કસ માં વ્યાખ્યાયિત

અહીં જે પણ હોઈ શકે છે - પ્રાથમિક ઘટનાઓની જગ્યા, - તબક્કાની જગ્યા અથવા રાજ્યની જગ્યા, P( s, x, t, V)- સંક્રમણ કાર્યઅથવા પ્રક્રિયા X(t) ની સંક્રમણ સંભાવના . જો E ટોપોલોજીથી સંપન્ન છે, અને બોરેલ સેટનો સંગ્રહ છે ઇ,પછી એમ કહેવાનો રિવાજ છે ઇ.સામાન્ય રીતે, M. p ની વ્યાખ્યામાં તે જરૂરિયાતનો સમાવેશ થાય છે કે જે પછી સંભાવના તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે, જો કે x s = x.

પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું દરેક માર્કોવ સંક્રમણ કાર્ય P( s, x;ટી, વી), માપી શકાય તેવી જગ્યામાં આપેલ ચોક્કસ M. જગ્યાના સંક્રમણ કાર્ય તરીકે ગણી શકાય જો, ઉદાહરણ તરીકે, E એ અલગ કરી શકાય તેવી સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ જગ્યા છે, અને તે બોરેલ સમૂહોનો સંગ્રહ છે. ઇ.વધુમાં, દો ઇ -સંપૂર્ણ મેટ્રિક જગ્યા અને દો

કોઈપણ માટે જ્યાં
a એ બિંદુના ઈ-નેબરહુડનું પૂરક છે એક્સ.પછી અનુરૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રને જમણી બાજુએ સતત અને ડાબી બાજુએ મર્યાદાઓ ધરાવતું ગણી શકાય (એટલે ​​​​કે, તેના માર્ગને આ રીતે પસંદ કરી શકાય છે). સતત ચુંબકીય ક્ષેત્રનું અસ્તિત્વ (જુઓ, ) પરની સ્થિતિ દ્વારા સુનિશ્ચિત થાય છે. યાંત્રિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં, મુખ્ય ધ્યાન એકરૂપ (સમયસર) પ્રક્રિયાઓ પર આપવામાં આવે છે. અનુરૂપ વ્યાખ્યા આપેલ સિસ્ટમ ધારે છે વસ્તુઓ a) - d) તેના વર્ણનમાં દેખાતા પરિમાણો s અને u માટે, હવે માત્ર 0 ની જ મંજૂરી છે નોટેશન પણ સરળ છે:

આગળ, જગ્યા W ની એકરૂપતા નક્કી કરવામાં આવે છે, એટલે કે તે જરૂરી છે કે કોઈપણ માટે આવી વસ્તુ હતી (w) આ કારણે, s-બીજગણિત પર એન, W માં સૌથી નાનો s-બીજગણિત જેમાં ફોર્મની કોઈપણ ઘટના હોય છે ટાઇમ શિફ્ટ ઓપરેટર્સ q ઉલ્લેખિત છે t, જે સમૂહોની યુનિયન, આંતરછેદ અને બાદબાકીની કામગીરીને સાચવે છે અને જેના માટે

નામોનો સમૂહ (બિન-સમાપ્ત) સજાતીય માર્કોવ પ્રક્રિયા વ્યાખ્યાયિત જો - લગભગ ચોક્કસપણે

પ્રક્રિયા X(t) ના સંક્રમણ કાર્ય માટે P( t, x, V), અને, જ્યાં સુધી વિશેષ આરક્ષણો ન હોય ત્યાં સુધી, તેઓ વધુમાં જરૂરી છે કે તે ધ્યાનમાં રાખવું ઉપયોગી છે કે તપાસ કરતી વખતે (4) તે માત્ર ફોર્મના સેટ્સ ધ્યાનમાં લેવાનું પૂરતું છે જ્યાં અને તે હંમેશા (4) માં ફીટપૂર્ણતાના આંતરછેદની સમાન s-બીજગણિત દ્વારા બદલી શકાય છે ફીટતમામ સંભવિત પગલાં માટે ઘણી વખત, એક સંભાવના માપ m ("પ્રારંભિક") નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે અને માર્કોવ રેન્ડમ ફંક્શન ગણવામાં આવે છે. સમાનતા દ્વારા આપવામાં આવેલ માપ ક્યાં છે

એમ. પી. ક્રમશઃ માપી શકાય છે જો દરેક t>0 માટે ફંક્શન માપી શકાય તેવું પ્રેરિત કરે છે જ્યાં s-બીજગણિત છે

માં બોરેલ સબસેટ . જમણા સતત સાંસદો ક્રમશઃ માપી શકાય તેવા છે. વિજાતીય કેસને સજાતીયમાં ઘટાડવાની એક રીત છે (જુઓ), અને પછી આપણે સજાતીય સાંસદો વિશે વાત કરીશું.

કડકાઈથી.એક મીટર દ્વારા માપી શકાય તેવી જગ્યા આપવા દો.

કાર્ય કહેવાય છે માર્કોવ ક્ષણ,જો બધા માટે આ કિસ્સામાં, તેઓ કુટુંબ F t સાથે સંબંધ ધરાવે છે જો at હોય (મોટેભાગે F t એ X(t) ની ક્ષણ t સુધીની ઉત્ક્રાંતિ સાથે સંકળાયેલ ઘટનાઓના સમૂહ તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છે). વિશ્વાસ માટે

ક્રમશઃ માપી શકાય તેવું M. p. Xnaz. સખત માર્કોવ પ્રક્રિયા (s.m.p.), જો કોઈ માર્કોવ ક્ષણ માટે m અને બધા અને ગુણોત્તર

(સખ્ત રીતે માર્કોવ પ્રોપર્ટી) સેટ Wt પર લગભગ ચોક્કસપણે ધરાવે છે. (5) તપાસતી વખતે, ફોર્મના માત્ર સેટને ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે જ્યાં આ કિસ્સામાં, એક S. m જગ્યા છે, ઉદાહરણ તરીકે, ટોપોલોજીકલમાં કોઈપણ જમણી સતત ફેલર M. જગ્યા. જગ્યા ઇ.એમ. પી. ફેલર માર્કોવ પ્રક્રિયા જો કાર્ય

જ્યારે પણ f સતત અને બાઉન્ડ હોય ત્યારે સતત હોય છે.

સાથે વર્ગમાં. m.p. ચોક્કસ પેટા વર્ગો અલગ પડે છે. ચાલો માર્કોવિયન પી( t, x, V), મેટ્રિક સ્થાનિક રીતે કોમ્પેક્ટ જગ્યામાં વ્યાખ્યાયિત ઇ,સ્ટોકેસ્ટિકલી સતત:

દરેક બિંદુના કોઈપણ પડોશી U માટે પછી જો ઑપરેટરો પોતાનામાં એવા ફંક્શન લે છે જે અનંત છે અને અદૃશ્ય થઈ જાય છે, તો ફંક્શન P( t, x, V) ધોરણ M. p ને પૂર્ણ કરે છે. X,એટલે કે સાથે જમણી બાજુએ સતત. એમ.પી., જેના માટે

અને - લગભગ કદાચ ઘણા પર a Pmarkov ક્ષણો છે જે વૃદ્ધિ સાથે ઘટતી નથી.

માર્કોવ પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવી.ઘણીવાર શારીરિક બિન-સમાપ્ત ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમોનું વર્ણન કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે, પરંતુ માત્ર રેન્ડમ લંબાઈના સમય અંતરાલ પર. વધુમાં, ચુંબકીય પ્રક્રિયાઓના સાદા પરિવર્તનો પણ રેન્ડમ અંતરાલ પર નિર્દિષ્ટ ટ્રેજેકટ્રીઝ સાથેની પ્રક્રિયા તરફ દોરી શકે છે (જુઓ. કાર્યાત્મકમાર્કોવ પ્રક્રિયામાંથી). આ વિચારણાઓ દ્વારા માર્ગદર્શન આપીને, તૂટેલા સાંસદનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે.

ટ્રાન્ઝિશન ફંક્શન ધરાવતી ફેઝ સ્પેસમાં સજાતીય એમ.પી અને ત્યાં એક બિંદુ અને કાર્ય થવા દો જેમ કે જો અને અન્યથા (જો ત્યાં કોઈ વિશેષ કલમો ન હોય, તો ધ્યાનમાં લો). નવો માર્ગ x t(w) સમાનતાના માધ્યમથી માત્ર માટે જ ઉલ્લેખિત છે a ફીટસમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

ક્યાં સેટ કરો કહેવાય છે ટર્મિનેટીંગ માર્કોવ પ્રક્રિયા (ઓ.એમ.પી.) દ્વારા, z સમયે સમાપ્ત (અથવા હત્યા) દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. z મૂલ્ય કહેવાય છે વિરામની ક્ષણ, અથવા જીવનનો સમય, ઓ. m.p. નવી પ્રક્રિયાની તબક્કાની જગ્યા એ છે જ્યાં s-બીજગણિતનું નિશાન છે ઇ.સંક્રમણ કાર્ય ઓ. m.p એ સમૂહ માટેનું પ્રતિબંધ છે પ્રક્રિયા X(t) કહેવાય છે સખત માર્કોવ પ્રક્રિયા, અથવા પ્રમાણભૂત માર્કોવ પ્રક્રિયા, જો તેની પાસે અનુરૂપ મિલકત હોય તો બિન-ટર્મિનેટીંગ એમપીને ઓ તરીકે ગણી શકાય. તૂટવાની ક્ષણ સાથે m.p. m.p એ જ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. એમ.

માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને .બ્રાઉનિયન ગતિના પ્રકારના સાંસદો પેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણો સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. પ્રકાર સંક્રમણ p(s, x, t, y) પ્રસરણ પ્રક્રિયા, અમુક વધારાની ધારણાઓ હેઠળ, કોલમોગોરોવના વ્યસ્ત અને સીધા વિભેદક સમીકરણોને સંતોષે છે:

ફંક્શન p( s, x, t, y.એ સમીકરણોનું ગ્રીનનું કાર્ય છે (6) - (7), અને પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓ બનાવવા માટેની પ્રથમ જાણીતી પદ્ધતિઓ વિભેદક સમીકરણો (6) - (7) માટે આ કાર્યના અસ્તિત્વ પરના પ્રમેય પર આધારિત હતી. સમય-સમાન પ્રક્રિયા માટે L( s, x)= એલ(x) સરળ કાર્યો પર લાક્ષણિકતા સાથે એકરુપ છે. ઓપરેટર એમ. પી. (જુઓ ટ્રાન્ઝિશન ઓપરેટર સેમીગ્રુપ).

ગણિત. પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓમાંથી વિવિધ કાર્યોની અપેક્ષાઓ અનુરૂપ સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ઉકેલ તરીકે સેવા આપે છે વિભેદક સમીકરણ(1). ચાલો - ગાણિતિક. માપ પર અપેક્ષા પછી કાર્ય સંતુષ્ટ થાય છે s સમીકરણ (6) અને સ્થિતિ

તેવી જ રીતે, કાર્ય

સાથે સંતુષ્ટ થાય છે s સમીકરણ

અને શરત અને 2 ( ટી, એક્સ) = 0.

પ્રથમ સીમા સુધી પહોંચવાની ક્ષણ બનવા દો ડીડીપ્રદેશ પ્રક્રિયા માર્ગ પછી, અમુક શરતો હેઠળ, કાર્ય

સમીકરણને સંતોષે છે

અને સેટ પર મૂલ્યો cp લે છે

સામાન્ય રેખીય પેરાબોલિક માટે 1લી સીમા મૂલ્યની સમસ્યાનો ઉકેલ. 2જી ક્રમ સમીકરણો

એકદમ સામાન્ય ધારણાઓ હેઠળ ફોર્મમાં લખી શકાય છે

કિસ્સામાં જ્યારે L અને કાર્યો s, fપર આધાર રાખશો નહીં sરેખીય લંબગોળ ઉકેલ માટે (9) સમાન રજૂઆત પણ શક્ય છે. સમીકરણો વધુ સ્પષ્ટ રીતે, કાર્ય

ચોક્કસ ધારણાઓ હેઠળ સમસ્યાઓ છે

કિસ્સામાં જ્યારે ઓપરેટર L ડીજનરેટ થાય છે (del b( s, x) = 0 ).અથવા ડીડીપર્યાપ્ત "સારા" નથી; વિધેયો (9), (10) દ્વારા વ્યક્તિગત બિંદુઓ પર અથવા સમગ્ર સેટ પર સ્વીકારી શકાશે નહીં. ઑપરેટર માટે નિયમિત સીમા બિંદુનો ખ્યાલ એલસંભવિત અર્થઘટન છે. સીમાના નિયમિત બિંદુઓ પર, સીમા મૂલ્યો કાર્યો (9), (10) દ્વારા પ્રાપ્ત થાય છે. સમસ્યાઓનું નિરાકરણ (8), (11) અમને અનુરૂપ પ્રસરણ પ્રક્રિયાઓના ગુણધર્મો અને તેમના કાર્યોનો અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સાંસદો બનાવવાની પદ્ધતિઓ છે જે સમીકરણો (6), (7) ના ઉકેલો બનાવવા પર આધાર રાખતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે. પદ્ધતિ સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણો,માપનો એકદમ સતત ફેરફાર, વગેરે. આ સંજોગો, સૂત્રો (9), (10) સાથે મળીને, અમને સમીકરણ (8) માટે સીમા મૂલ્ય સમસ્યાઓના ગુણધર્મો, તેમજ તેના ઉકેલના ગુણધર્મોને સંભવિત રીતે બાંધવા અને અભ્યાસ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અનુરૂપ લંબગોળ. સમીકરણો

સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણનું સોલ્યુશન મેટ્રિક્સ b(ના અધોગતિ માટે અસંવેદનશીલ હોવાથી s, x), તેલંબગોળ અને પેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણો અધોગતિના ઉકેલો બનાવવા માટે સંભવિત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. N. M. Krylov અને N. N. Bogolyubov ના સરેરાશ સિદ્ધાંતને સ્ટોકેસ્ટિક વિભેદક સમીકરણોમાં વિસ્તરણથી, (9) નો ઉપયોગ કરીને લંબગોળ અને પેરાબોલિક વિભેદક સમીકરણો માટે અનુરૂપ પરિણામો મેળવવાનું શક્ય બન્યું. તે બહાર આવ્યું છે કે સંભવિત વિચારણાઓનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચતમ વ્યુત્પન્ન પર નાના પરિમાણ સાથે આ પ્રકારના સમીકરણોના ઉકેલોના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવાની કેટલીક મુશ્કેલ સમસ્યાઓ હલ કરવી શક્ય છે. સમીકરણ (6) માટે 2જી સીમા મૂલ્ય સમસ્યાના ઉકેલનો પણ સંભવિત અર્થ છે. અનબાઉન્ડેડ ડોમેન માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓનું નિર્માણ સંબંધિત પ્રસાર પ્રક્રિયાના પુનરાવૃત્તિ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે.

સમય-સમાન પ્રક્રિયાના કિસ્સામાં (L એ s પર નિર્ભર નથી), સમીકરણનું સકારાત્મક ઉકેલ, એક ગુણાકાર સ્થિર સુધી, એમપીની સ્થિર વિતરણ ઘનતા સાથે એકરૂપ થાય છે બિનરેખીય પેરાબોલિક્સ માટે સીમા મૂલ્યની સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લેતી વખતે ઉપયોગી થશે. સમીકરણો આર. 3. ખાસ્મિન્સ્કી.

લિટ.: માર્કોવ A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society of Kazan University", 1906, Vol 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "એન. સાયન્ટ. ઇકોલે નોર્મ, સુપર.", 1900, v. 17, પૃષ્ઠ. 21-86; કોલમોગોરોવ એ.એન., "મઠ. એન.", 1931, બીડી 104, એસ. 415-458; રસ ટ્રાન્સ. 5, પૃષ્ઠ. 5-41; ઝુન કાઈ-લાઈ, સજાતીય માર્કોવ સાંકળો, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, પૃષ્ઠ. 417-36; ડાયંકિન E.B., Yushkevich A.A., "સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગો," 1956, વોલ્યુમ 1, સદી. 1, પૃ. 149-55; Xant J.-A., માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ અને સંભવિત, ટ્રાન્સ. અંગ્રેજીમાંથી, એમ., 1962; D e l l a s h e r i K., ક્ષમતાઓ અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ, ટ્રાન્સ. ફ્રેન્ચમાંથી, એમ., 1975; ડાયંક અને ઇ.વી., માર્કોવ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતના ફાઉન્ડેશન્સ, એમ., 1959; તેમના, માર્કોવ પ્રક્રિયાઓ, એમ., 1963; G અને h માણસ I. I., S k o r o x o d A. V., થિયરી ઓફ રેન્ડમ પ્રોસેસ, વોલ્યુમ 2, M., 1973; ફ્રીડલિન M.I., પુસ્તકમાં: વિજ્ઞાનના પરિણામો. સંભાવના સિદ્ધાંત, . - સૈદ્ધાંતિક. 1966, એમ., 1967, પૃષ્ઠ. 7-58; X a sminskiy R. 3., "સંભાવના સિદ્ધાંત અને તેના ઉપયોગો," 1963, વોલ્યુમ 8, માં

માર્કોવ પ્રક્રિયા- અલગ અથવા સતત રેન્ડમ પ્રક્રિયા X(t), જે સંપૂર્ણપણે બે જથ્થાનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: સંભાવના P(x,t) કે t સમયે રેન્ડમ ચલ x(t) x ની બરાબર છે અને સંભાવના P(x2, t2½x1t1) કે... ... આર્થિક અને ગાણિતિક શબ્દકોશ

માર્કોવ પ્રક્રિયા- એક અલગ અથવા સતત રેન્ડમ પ્રક્રિયા X(t), જે સંપૂર્ણપણે બે જથ્થાનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે: સંભાવના P(x,t) કે t સમયે રેન્ડમ ચલ x(t) x ની બરાબર છે અને સંભાવના P(x2) , t2? x1t1) કે જો x પર t = t1... ... ટેકનિકલ અનુવાદકની માર્ગદર્શિકા

એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ પ્રકારની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ. માર્કોવ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ એ કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો સડો છે, જ્યાં ટૂંકા ગાળામાં આપેલ અણુના ક્ષયની સંભાવના અગાઉના સમયગાળામાં પ્રક્રિયાના અભ્યાસક્રમ પર આધારિત નથી. લાર્જ એનસાયક્લોપેડિક ડિક્શનરી - માર્કોવો પ્રોસેસ સ્ટેટસ ટી sritis ઓટોમેટિકા એટીટિકમેનિસ: ઇંગ્લીશ. માર્કોવપ્રોસેસ વોક. Markovprozeß, m rus. માર્કોવ પ્રક્રિયા, એમ; માર્કોવ પ્રક્રિયા, m pranc. પ્રોસેસસ માર્કોવિએન, એમ … Automatikos terminų žodynas

માર્કોવ પ્રક્રિયા- માર્કોવો vyksmas સ્ટેટસ T sritis fizika atitikmenys: engl. માર્કોવ પ્રક્રિયા; માર્કોવિયન પ્રક્રિયા વોક. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. માર્કોવ પ્રક્રિયા, એમ; માર્કોવ પ્રક્રિયા, m pranc. પ્રોસેસસ ડી માર્કઓફ, એમ; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas

એક મહત્વપૂર્ણ વિશિષ્ટ પ્રકારની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ. માર્કોવ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ એ કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો સડો છે, જ્યાં ટૂંકા ગાળામાં આપેલ અણુના ક્ષયની સંભાવના અગાઉના સમયગાળામાં પ્રક્રિયાના અભ્યાસક્રમ પર આધારિત નથી. જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એક મહત્વપૂર્ણ વિશેષ પ્રકારની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ (જુઓ રેન્ડમ પ્રક્રિયા), જે પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલોજીની વિવિધ શાખાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉપયોગ માટે ખૂબ મહત્વ ધરાવે છે. ચુંબકીય પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ એ કિરણોત્સર્ગી પદાર્થનો સડો છે. ગ્રેટ સોવિયેત જ્ઞાનકોશ

રશિયન વૈજ્ઞાનિક એ.એ. દ્વારા 1906 માં કરવામાં આવેલ ગણિતના ક્ષેત્રમાં એક ઉત્કૃષ્ટ શોધ. માર્કોવ.

વિનંતીઓના પ્રવાહની પોઈસન પ્રકૃતિ અને સેવા સમયના ઘાતાંકીય વિતરણ વિશેની ધારણાઓ મૂલ્યવાન છે કારણ કે તે અમને કતાર સિદ્ધાંતમાં કહેવાતી માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના ઉપકરણને લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ભૌતિક પ્રણાલીમાં બનતી પ્રક્રિયાને માર્કોવ પ્રક્રિયા (અથવા અસર વિનાની પ્રક્રિયા) કહેવામાં આવે છે જો સમયની દરેક ક્ષણ માટે ભવિષ્યમાં સિસ્ટમની કોઈપણ સ્થિતિની સંભાવના માત્ર વર્તમાન ક્ષણે સિસ્ટમની સ્થિતિ પર આધારિત હોય છે અને સિસ્ટમ આ સ્થિતિમાં કેવી રીતે આવી તેના પર નિર્ભર નથી.

ચાલો માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાના પ્રાથમિક ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ. બિંદુ એબ્સીસા અક્ષ સાથે અવ્યવસ્થિત રીતે આગળ વધે છે. સમયની ક્ષણે, બિંદુ મૂળ પર છે અને એક સેકન્ડ માટે ત્યાં રહે છે. એક સેકન્ડ પછી, એક સિક્કો ફેંકવામાં આવે છે; જો આર્મ્સનો કોટ બહાર આવે છે, તો બિંદુ લંબાઈના એક એકમને જમણી તરફ ખસે છે, જો સંખ્યા ડાબી તરફ ખસે છે. એક સેકન્ડ પછી, સિક્કો ફરીથી ઉછાળવામાં આવે છે અને તે જ રેન્ડમ હિલચાલ કરવામાં આવે છે, વગેરે. બિંદુની સ્થિતિ બદલવાની પ્રક્રિયા (અથવા, જેમ તેઓ કહે છે, "ચાલવું") એ એક અલગ સમય અને ગણતરીપાત્ર સમૂહ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે. રાજ્યોની

આ પ્રક્રિયા માટે સંભવિત સંક્રમણોનો આકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 19.7.1.

ચાલો બતાવીએ કે આ પ્રક્રિયા માર્કોવિયન છે. ખરેખર, ચાલો કલ્પના કરીએ કે અમુક સમયે સિસ્ટમ છે, ઉદાહરણ તરીકે, રાજ્યમાં - મૂળની જમણી બાજુએ એક એકમ. સમયના એકમ પછી બિંદુની સંભવિત સ્થિતિઓ 1/2 અને 1/2 સંભાવનાઓ સાથે હશે; બે એકમો દ્વારા - , , સંભાવનાઓ સાથે 1/4, ½, 1/4 અને તેથી વધુ. દેખીતી રીતે, આ બધી સંભાવનાઓ ફક્ત આપેલ ક્ષણે બિંદુ ક્યાં છે તેના પર નિર્ભર છે, અને તે ત્યાં કેવી રીતે પહોંચ્યું તેના પર સંપૂર્ણપણે સ્વતંત્ર છે.

ચાલો બીજું ઉદાહરણ જોઈએ. એક તકનીકી ઉપકરણ છે જેમાં તત્વો (ભાગો) પ્રકારના અને વિવિધ ટકાઉપણું હોય છે. આ તત્વો રેન્ડમ સમયે અને એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નિષ્ફળ થઈ શકે છે. સમગ્ર ઉપકરણના સંચાલન માટે દરેક તત્વનું યોગ્ય સંચાલન એકદમ જરૂરી છે. તત્વનો નિષ્ફળતા-મુક્ત કાર્ય સમય એ ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત રેન્ડમ ચલ છે; પ્રકારના તત્વો માટે અને આ કાયદાના પરિમાણો અનુક્રમે અલગ અને સમાન છે. ઉપકરણની નિષ્ફળતાના કિસ્સામાં, કારણોને ઓળખવા માટે તરત જ પગલાં લેવામાં આવે છે અને શોધાયેલ ખામીયુક્ત તત્વને તરત જ નવા સાથે બદલવામાં આવે છે. ઉપકરણને પુનઃસ્થાપિત કરવા (સમારકામ) માટે જરૂરી સમય પરિમાણ (જો પ્રકારનું તત્વ ) અને (જો પ્રકારનું તત્વ ) નિષ્ફળ જાય તો ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

આ ઉદાહરણમાં, સિસ્ટમમાં બનતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ સતત સમય અને અવસ્થાના મર્યાદિત સમૂહ સાથેની માર્કોવ પ્રક્રિયા છે:

બધા તત્વો કાર્યકારી ક્રમમાં છે, સિસ્ટમ કાર્યરત છે,

પ્રકાર તત્વ ખામીયુક્ત છે, સિસ્ટમ રિપેર કરવામાં આવી રહી છે,

પ્રકાર તત્વ ખામીયુક્ત છે, સિસ્ટમ રિપેર કરવામાં આવી રહી છે.

સંભવિત સંક્રમણોની રેખાકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 19.7.2.

ખરેખર, પ્રક્રિયામાં માર્કોવની મિલકત છે. ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, આ ક્ષણે સિસ્ટમ રાજ્યમાં છે (કાર્યકારી). દરેક તત્વની નિષ્ફળતા-મુક્ત કામગીરીનો સમય સૂચક હોવાથી, ભવિષ્યમાં દરેક તત્વની નિષ્ફળતાની ક્ષણ તે પહેલાથી કેટલો સમય કામ કરે છે (જ્યારે તે વિતરિત કરવામાં આવી હતી) તેના પર નિર્ભર નથી. તેથી, સંભાવના કે ભવિષ્યમાં સિસ્ટમ રાજ્યમાં રહેશે અથવા તેને છોડી દેશે તે પ્રક્રિયાના "પ્રાગૈતિહાસિક" પર આધારિત નથી. ચાલો હવે ધારીએ કે આ ક્ષણે સિસ્ટમ રાજ્યમાં છે (પ્રકારનું તત્વ ખામીયુક્ત છે). સમારકામનો સમય પણ સૂચક હોવાથી, સમારકામ ક્યારે શરૂ થયું અને બાકીના (સેવાયોગ્ય) તત્વો ક્યારે વિતરિત થયા તેના પર કોઈ પણ સમયે સમારકામ પૂર્ણ કરવાની સંભાવના નિર્ભર નથી. આમ, પ્રક્રિયા માર્કોવિયન છે.

નોંધ કરો કે તત્વના ઓપરેટિંગ સમયનું ઘાતાંકીય વિતરણ અને સમારકામ સમયનું ઘાતાંકીય વિતરણ એ આવશ્યક શરતો છે, જેના વિના પ્રક્રિયા માર્કોવિયન નહીં હોય. ખરેખર, ચાલો ધારીએ કે તત્વની યોગ્ય કામગીરીનો સમય ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર નહીં, પરંતુ કેટલાક અન્ય કાયદા અનુસાર વહેંચવામાં આવે છે - ઉદાહરણ તરીકે, વિસ્તારમાં સમાન ઘનતાના કાયદા અનુસાર. આનો અર્થ એ છે કે દરેક તત્વ ચોક્કસ સમયગાળા માટે કામ કરવાની બાંયધરી આપે છે, અને તેમાંથી વિભાગમાં સમાન સંભાવનાની ઘનતા સાથે કોઈપણ ક્ષણે નિષ્ફળ થઈ શકે છે. ચાલો ધારીએ કે અમુક સમયે તત્વ યોગ્ય રીતે કામ કરી રહ્યું છે. દેખીતી રીતે, ભવિષ્યમાં કોઈ સમયે કોઈ તત્વ નિષ્ફળ જશે તેની સંભાવના એ તત્વ કેટલા સમય પહેલા ઇન્સ્ટોલ કરવામાં આવ્યું હતું તેના પર નિર્ભર છે, એટલે કે, તે પાછલા ઇતિહાસ પર આધારિત છે, અને પ્રક્રિયા માર્કોવિયન નહીં હોય.

પરિસ્થિતિ સમારકામ સમય સાથે સમાન છે; જો તે સૂચક નથી અને આ ક્ષણે તત્વનું સમારકામ કરવામાં આવી રહ્યું છે, તો બાકીનો સમારકામ સમય ક્યારે શરૂ થયો તેના પર નિર્ભર છે; પ્રક્રિયા ફરીથી માર્કોવિયન રહેશે નહીં.

સામાન્ય રીતે, સતત સમય સાથે માર્કોવ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતમાં ઘાતાંકીય વિતરણ વિશેષ ભૂમિકા ભજવે છે. તે ચકાસવું સરળ છે કે સ્થિર માર્કોવ પ્રક્રિયામાં જે સમય દરમિયાન સિસ્ટમ કોઈપણ રાજ્યમાં રહે છે તે હંમેશા ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે (સામાન્ય રીતે કહીએ તો, આ સ્થિતિ પર આધાર રાખીને પરિમાણ સાથે). ખરેખર, ચાલો આપણે માની લઈએ કે આ ક્ષણે સિસ્ટમ એવી સ્થિતિમાં છે અને તે પહેલા કેટલાક સમયથી આવી હતી. માર્કોવ પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યા મુજબ, ભવિષ્યમાં કોઈપણ ઘટનાની સંભાવના અગાઉના ઇતિહાસ પર આધારિત નથી; ખાસ કરીને, સિસ્ટમ સમયની અંદર રાજ્ય છોડી દેશે તેવી સંભાવના એ તે સ્થિતિમાં સિસ્ટમે કેટલો સમય વિતાવ્યો છે તેના પર આધાર રાખવો જોઈએ નહીં. પરિણામે, સિસ્ટમ રાજ્યમાં રહે તે સમય ઘાતાંકીય કાયદા અનુસાર વિતરિત થવો જોઈએ.

એવા કિસ્સામાં જ્યારે સ્થિતિના ગણતરીપાત્ર સમૂહ અને સતત સમય સાથે ભૌતિક પ્રણાલીમાં બનતી પ્રક્રિયા માર્કોવિયન હોય, ત્યારે આ પ્રક્રિયાને સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવી શકાય છે જેમાં અજ્ઞાત કાર્યો રાજ્યની સંભાવનાઓ છે. સરળ કતાર પ્રણાલીના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને અમે નીચેનામાં આવા સમીકરણોનું સંકલન અને ઉકેલ દર્શાવીશું.

રેન્ડમ પ્રક્રિયા એ રેન્ડમ ચલોનો સમૂહ અથવા કુટુંબ છે જેની કિંમતો સમય પરિમાણ દ્વારા અનુક્રમિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, વર્ગખંડમાં વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા, વાતાવરણનું દબાણ અથવા સમયના કાર્ય તરીકે તે વર્ગખંડમાં તાપમાન એ રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ છે.

જટિલ સ્ટોકેસ્ટિક પ્રણાલીઓના અભ્યાસમાં આવી પ્રણાલીઓની કામગીરીના પર્યાપ્ત ગાણિતિક મોડલ તરીકે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે મૂળભૂત ખ્યાલો ખ્યાલો છે પ્રક્રિયા સ્થિતિઅને સંક્રમણતે એક રાજ્યથી બીજા રાજ્યમાં.

ચલોના મૂલ્યો કે જે આપેલ સમયે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરે છે તેને કહેવામાં આવે છે સ્થિતિરેન્ડમપ્રક્રિયા. રેન્ડમ પ્રક્રિયા એક રાજ્યથી બીજા રાજ્યમાં સંક્રમણ કરે છે જો એક રાજ્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા ચલોના મૂલ્યો અન્ય રાજ્યને વ્યાખ્યાયિત કરતા મૂલ્યોમાં બદલાય છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સંભવિત અવસ્થાઓ (સ્ટેટ સ્પેસ) ની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. જો સંભવિત રાજ્યોની સંખ્યા મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર હોય (તમામ સંભવિત રાજ્યોને અનુક્રમ નંબરો અસાઇન કરી શકાય), તો રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. અલગ રાજ્યો સાથે પ્રક્રિયા. ઉદાહરણ તરીકે, સ્ટોરમાં ગ્રાહકોની સંખ્યા, દિવસ દરમિયાન બેંકમાં ગ્રાહકોની સંખ્યા અલગ સ્થિતિઓ સાથે રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.

જો રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું વર્ણન કરતા ચલો મર્યાદિત અથવા અનંત સતત અંતરાલમાંથી કોઈપણ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને તેથી, અવસ્થાઓની સંખ્યા અસંખ્ય છે, તો રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. સતત અવસ્થાઓ સાથે પ્રક્રિયા. ઉદાહરણ તરીકે, દિવસ દરમિયાન હવાનું તાપમાન સતત અવસ્થાઓ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે.

અલગ અવસ્થાઓ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ એક રાજ્યમાંથી બીજી સ્થિતિમાં અચાનક સંક્રમણો દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જ્યારે સતત અવસ્થાઓ સાથેની પ્રક્રિયાઓમાં સંક્રમણો સરળ હોય છે. આગળ આપણે ફક્ત અલગ અવસ્થાઓ સાથેની પ્રક્રિયાઓને જ ધ્યાનમાં લઈશું, જેને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે સાંકળો.

ચાલો દ્વારા સૂચિત કરીએ g(t) અલગ અવસ્થાઓ અને સંભવિત મૂલ્યો સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયા છે g(t), એટલે કે સર્કિટની સંભવિત સ્થિતિઓ, - પ્રતીકો દ્વારા ઇ 0 , ઇ 1 , ઇ 2 , … . કેટલીકવાર કુદરતી શ્રેણીમાંથી સંખ્યાઓ 0, 1, 2,... અલગ અવસ્થાઓ દર્શાવવા માટે વપરાય છે.

રેન્ડમ પ્રક્રિયા g(t) કહેવાય છે પ્રક્રિયાસાથેઅલગસમય, જો પ્રક્રિયા સંક્રમણ રાજ્યથી રાજ્યમાં માત્ર સખત રીતે વ્યાખ્યાયિત, સમયની પૂર્વ-નિશ્ચિત ક્ષણો પર જ શક્ય હોય t 0 , t 1 , t 2 , … . જો પ્રક્રિયાનું રાજ્યથી રાજ્યમાં સંક્રમણ સમયના કોઈપણ અગાઉના અજ્ઞાત બિંદુએ શક્ય હોય, તો તેને રેન્ડમ પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. પ્રક્રિયાસતત સાથેસમય. પ્રથમ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે કે સંક્રમણો વચ્ચેનો સમય અંતરાલ નિર્ણાયક છે, અને બીજામાં તે રેન્ડમ ચલ છે.

એક અલગ-સમયની પ્રક્રિયા ત્યારે થાય છે જ્યારે આ પ્રક્રિયા દ્વારા વર્ણવેલ સિસ્ટમનું માળખું એવું હોય છે કે તેની સ્થિતિઓ ફક્ત સમયના પૂર્વનિર્ધારિત બિંદુઓ પર જ બદલાઈ શકે છે, અથવા જ્યારે એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રક્રિયા (સિસ્ટમ) નું વર્ણન કરવા માટે તે પૂરતું છે. ચોક્કસ સમયે રાજ્યોને જાણો. પછી આ ક્ષણોને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે અને આપણે રાજ્ય વિશે વાત કરી શકીએ છીએ ઇ iએક સમયે t i .

અલગ અવસ્થાઓ સાથેની રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓને સંક્રમણો (અથવા રાજ્યો) ના ગ્રાફ તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જેમાં શિરોબિંદુ રાજ્યોને અનુરૂપ હોય છે, અને ઓરિએન્ટેડ આર્ક્સ એક રાજ્યથી બીજા રાજ્યમાં સંક્રમણને અનુરૂપ હોય છે. જો રાજ્યમાંથી ઇ iમાત્ર એક રાજ્યમાં સંક્રમણ શક્ય છે ઇ j, પછી આ હકીકત શિરોબિંદુમાંથી નિર્દેશિત ચાપ દ્વારા સંક્રમણ ગ્રાફ પર પ્રતિબિંબિત થાય છે ઇ iટોચ પર ઇ j(ફિગ. 1, એ). એક રાજ્યમાંથી અન્ય રાજ્યોમાં અને કેટલાક રાજ્યોમાંથી એક રાજ્યમાં સંક્રમણો સંક્રમણ ગ્રાફમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે, જેમ કે આકૃતિ 1, b અને 1, c માં બતાવ્યા પ્રમાણે.