यह इस प्रकार है कि α ≈ | φ ′ (ξ) | (\displaystyle \alpha \लगभग |\varphi "(\xi)|). इस प्रकार, विधि को अभिसरण करने के लिए, यह पर्याप्त है ∀ एक्स ∈ [ ए , बी ] | φ ′ (एक्स) | ≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.)

क्रमिक सन्निकटन के लिए सामान्य एल्गोरिदम[ | ]

जब ऑपरेटर समीकरणों के सामान्य मामले में लागू किया जाता है, तो इस विधि को कहा जाता है क्रमिक सन्निकटन की विधिया सरल पुनरावृत्ति विधि द्वारा. हालाँकि, समीकरण को अलग-अलग तरीकों से एक ही मूल वाले संकुचन मानचित्र में बदला जा सकता है। यह कई विशेष तरीकों को जन्म देता है जिनमें रैखिक और उच्च अभिसरण दर दोनों होती हैं।

एसएलएयू के संबंध में[ | ]

सिस्टम पर विचार करें:

( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+ \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(सरणी))\दाएं।)

इसके लिए, पुनरावृत्तीय गणना इस प्रकार दिखाई देगी:

(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2 ⋮ x n) i - (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (सरणी))\दाएं)^(i+1)=\left((\begin(array)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(array))\right )\left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(array))\right)^(i)-\left( (\begin(array)(c)b_(1)\\b_(2)\\vdots \\b_(n)\end(array))\right))

विधि रैखिक गति के साथ अभिसरण होगी यदि ‖ ए 11 + 1… ए 1 एन ⋮ ⋱ ⋮ ए एन 1 … ए एन एन + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}

दोहरी ऊर्ध्वाधर पट्टियाँ मैट्रिक्स के कुछ मानदंड दर्शाती हैं।

न्यूटन की विधि का उपयोग करके समीकरण f(x)=0 का समाधान, प्रारंभिक सन्निकटन: x 1 =a.

न्यूटन की विधि (स्पर्शरेखा विधि)[ | ]

एक आयामी मामला[ | ]

मूल समीकरण के परिवर्तन का अनुकूलन f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)एक कंप्रेसिव डिस्प्ले में x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))हमें अभिसरण की द्विघात दर के साथ एक विधि प्राप्त करने की अनुमति देता है।

मैपिंग के सबसे प्रभावी होने के लिए, यह आवश्यक है कि अगले पुनरावृत्ति के बिंदु पर x * (\displaystyle x^(*))किया गया φ ′ (x *) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). हम इस समीकरण का हल इस रूप में खोजेंगे φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), तब:

आइए इस तथ्य का उपयोग करें f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0), और हमें इसके लिए अंतिम सूत्र प्राप्त होता है α (x) (\displaystyle \alpha (x)):

इसे ध्यान में रखते हुए, संपीड़न फ़ंक्शन निम्न रूप लेगा:

फिर समीकरण का संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एल्गोरिदम f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)एक पुनरावृत्तीय गणना प्रक्रिया को कम करता है:

आइए मूल समीकरण को समकक्ष समीकरण से बदलें और नियम के अनुसार पुनरावृत्तियों का निर्माण करें . इस प्रकार, सरल पुनरावृत्ति विधि एक-चरणीय पुनरावृत्तीय प्रक्रिया है। इस प्रक्रिया को शुरू करने के लिए, आपको प्रारंभिक सन्निकटन जानने की आवश्यकता है। आइए विधि के अभिसरण और प्रारंभिक सन्निकटन के चुनाव के लिए शर्तों का पता लगाएं।

टिकट#29

सीडेल विधि

सीडेल विधि (कभी-कभी गॉस-सीडेल विधि भी कहा जाता है) सरल पुनरावृत्ति विधि का एक संशोधन है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि अगले सन्निकटन x (k+1) की गणना करते समय (सूत्र (1.13), (1.14) देखें) पहले से प्राप्त घटकों x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) का उपयोग तुरंत x i (k+1) की गणना के लिए किया जाता है।

समन्वय संकेतन रूप में, सीडेल विधि का रूप है:

एक्स 1 (के+1) = सी 11 एक्स 1 (के) + सी 12 एक्स 2 (के) + ... + सी 1एन-1 एक्स एन-1 (के) + सी 1एन एक्स एन (के) + डी 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + डी.एन
जहां x (0) समाधान का कुछ प्रारंभिक सन्निकटन है।

इस प्रकार, (k+1)-वें सन्निकटन के i-वें घटक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

जब सटीकता ε सरलीकृत रूप में प्राप्त की जाती है तो सीडेल पुनरावृत्तीय प्रक्रिया के अंत की स्थिति का रूप इस प्रकार है:

|| एक्स (के+1) - एक्स (के) || ≤ ε.

टिकट#30

पासिंग विधि

त्रिविकर्ण मैट्रिक्स के साथ सिस्टम ए एक्स = बी को हल करने के लिए, स्वीप विधि का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है, जो इस मामले में गॉस विधि का एक अनुकूलन है।

आइए समीकरणों की प्रणाली लिखें

डी 1 एक्स 1 + ई 1 ​​एक्स 2 = बी 1
सी 2 एक्स 1 + डी 2 एक्स 2 + ई 2 एक्स 3 = बी 2
सी 3 एक्स 2 + डी 3 एक्स 3 + ई 3 एक्स 4 = बी 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
सी एन एक्स एन-1 + डी एन एक्स एन = बी एन

मैट्रिक्स रूप में: ए एक्स = बी कहां

ए=

आइए हम स्वीप विधि के सूत्रों को उनके अनुप्रयोग के क्रम में लिखें।

1. स्वीप विधि का सीधा स्ट्रोक (सहायक मात्राओं की गणना):

2. स्वीप विधि को उल्टा करें (समाधान ढूंढना):

टिकट संख्या 31

सरल पुनरावृत्ति विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि का सार समीकरण से आगे बढ़ना है

एफ(एक्स)= 0 (*)

समतुल्य समीकरण के लिए

एक्स=φ(x). (**)

यह परिवर्तन प्रकार के आधार पर विभिन्न तरीकों से पूरा किया जा सकता है एफ(एक्स). उदाहरण के लिए, आप डाल सकते हैं

φ(x) = एक्स+BF(x),(***)

कहाँ बी= स्थिरांक, जबकि मूल समीकरण की जड़ें नहीं बदलेंगी।

यदि मूल का प्रारंभिक सन्निकटन ज्ञात हो एक्स 0, फिर नया सन्निकटन

एक्स 1=φx(0),

वे। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया की सामान्य योजना:

एक्स के+1=φ(x k).(****)

प्रक्रिया को समाप्त करने का सबसे सरल मानदंड

|एक्स के +1 -एक्स के |<ε.

अभिसरण मानदंडसरल पुनरावृत्ति विधि:

यदि जड़ के पास | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого एक्स, तो पुनरावृत्तियाँ किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए अभिसरण होती हैं।

आइए स्थिरांक की पसंद का पता लगाएं बीअधिकतम अभिसरण गति सुनिश्चित करने की दृष्टि से। अभिसरण मानदंड के अनुसार, अभिसरण की उच्चतम गति तब प्रदान की जाती है |φ / (x)| = 0. साथ ही, (***) के आधार पर, बी = -1/एफ / (एक्स),और पुनरावृत्ति सूत्र (****) में चला जाता है x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).-वे। न्यूटन की विधि के सूत्र में. इस प्रकार, न्यूटन की विधि सरल पुनरावृत्ति विधि का एक विशेष मामला है, जो किसी फ़ंक्शन को चुनने के लिए सभी संभावित विकल्पों के अभिसरण की उच्चतम गति प्रदान करती है। φ(एक्स).

टिकट#32

न्यूटन की विधि

विधि का मुख्य विचार इस प्रकार है: काल्पनिक जड़ के पास एक प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट किया जाता है, जिसके बाद सन्निकटन बिंदु पर अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के लिए एक स्पर्शरेखा का निर्माण किया जाता है, जिसके लिए एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन पाया जाता है। इस बिंदु को अगले सन्निकटन के रूप में लिया जाता है। और इसी तरह जब तक आवश्यक सटीकता हासिल नहीं हो जाती।

मान लीजिए यह एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो एक अंतराल पर परिभाषित होता है और उस पर अवकलनीय होता है। फिर पुनरावृत्तीय सन्निकटन कलन का सूत्र इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

जहां α बिंदु पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण है।

इसलिए, के लिए आवश्यक अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार है:

टिकट#33

स्वर्ण अनुपात विधि
स्वर्णिम अनुपात विधि आपको प्रत्येक पुनरावृत्ति पर केवल एक फ़ंक्शन मान की गणना करके अंतराल को समाप्त करने की अनुमति देती है। फ़ंक्शन के दो मानों के परिणामस्वरूप, अंतराल निर्धारित किया जाता है जिसका उपयोग भविष्य में किया जाना चाहिए। इस अंतराल में पिछले बिंदुओं में से एक होगा और अगला बिंदु इसके सममित रूप से रखा जाएगा। बिंदु अंतराल को दो भागों में विभाजित करता है ताकि पूरे और बड़े हिस्से का अनुपात बड़े हिस्से से छोटे हिस्से के अनुपात के बराबर हो, यानी तथाकथित "स्वर्णिम अनुपात" के बराबर हो।

अंतराल को असमान भागों में विभाजित करने से आप और भी अधिक प्रभावी विधि ढूंढ सकते हैं। आइए हम खंड के अंत में फ़ंक्शन की गणना करें [ ए,बी] और रखें ए=एक्स 1 , बी=एक्स 2. आइए हम दो आंतरिक बिंदुओं पर फ़ंक्शन की भी गणना करें एक्स 3 , एक्स 4 . आइए फ़ंक्शन के सभी चार मानों की तुलना करें और उनमें से सबसे छोटा चुनें। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह सबसे छोटा है एफ(एक्स 3). जाहिर है, न्यूनतम इसके निकटवर्ती खंडों में से एक में होना चाहिए। इसलिए खंड [ एक्स 4 ,बी] को खारिज किया जा सकता है और खंड को छोड़ा जा सकता है।

पहला कदम उठाया जा चुका है. खंड पर, आपको फिर से दो आंतरिक बिंदुओं का चयन करना होगा, उन पर और सिरों पर फ़ंक्शन मानों की गणना करनी होगी और अगला कदम उठाना होगा। लेकिन गणना के पिछले चरण में, हमें पहले से ही नए खंड के अंत में और उसके आंतरिक बिंदुओं में से एक पर फ़ंक्शन मिल गया था एक्स 4 . इसलिए, अंदर एक और बिंदु का चयन करना पर्याप्त है एक्स 5इसमें फ़ंक्शन का मान निर्धारित करें और आवश्यक तुलना करें। यह प्रक्रिया के प्रत्येक चरण के लिए आवश्यक गणना की मात्रा को चौगुना कर देता है। अंक लगाने का सबसे अच्छा तरीका क्या है? हर बार शेष खंड को तीन भागों में विभाजित किया जाता है और फिर बाहरी खंडों में से एक को हटा दिया जाता है।
आइए हम प्रारंभिक अनिश्चितता अंतराल को निरूपित करें डी.

चूँकि सामान्य स्थिति में किसी भी खंड को छोड़ा जा सकता है एक्स 1, एक्स 3या एक्स 4, एक्स 2फिर बिंदुओं का चयन करें एक्स 3और एक्स 4ताकि इन खंडों की लंबाई समान हो:

एक्स 3 -एक्स 1 =एक्स 4 -एक्स 2.

त्यागने के बाद, हमें एक नई लंबाई अनिश्चितता अंतराल मिलती है डी'.
आइए हम संबंध को निरूपित करें डी/डी'अक्षर φ के साथ:

यानी, आइए निर्धारित करें कि अगला अनिश्चितता अंतराल कहां है। लेकिन

पिछले चरण में छोड़े गए खंड की लंबाई के बराबर, यानी

इसलिए हमें मिलता है:

.
यह समीकरण या समकक्ष की ओर ले जाता है
.

इस समीकरण का सकारात्मक मूल देता है

.

टिकट#34

कार्यों का प्रक्षेप, अर्थात् किसी दिए गए फ़ंक्शन का उपयोग करना, एक अन्य (आमतौर पर सरल) फ़ंक्शन का निर्माण करना जिसके मान एक निश्चित संख्या में बिंदुओं पर दिए गए फ़ंक्शन के मानों से मेल खाते हों। इसके अलावा, प्रक्षेप का व्यावहारिक और सैद्धांतिक दोनों महत्व है।

मान लीजिए कि n अज्ञात वाले n बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए एल्गोरिदम:

ध्यान दें कि यहां और अब से निचला सूचकांक अज्ञात के वेक्टर के संबंधित घटक को दर्शाता है, और ऊपरी सूचकांक पुनरावृत्ति (अनुमान) संख्या को दर्शाता है।

फिर एक चक्रीय गणितीय प्रक्रिया बनती है, जिसका प्रत्येक चक्र एक पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के परिणामस्वरूप, अज्ञात के वेक्टर का एक नया मान प्राप्त होता है। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को व्यवस्थित करने के लिए, हम सिस्टम (1) को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं। इस मामले में, मुख्य विकर्ण पर पद सामान्यीकृत हो जाते हैं और समान चिह्न के बाईं ओर बने रहते हैं, और बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। समीकरणों की कम प्रणालीइसका रूप है:

नोटिस जो कभी भी हासिल नहीं किया जाएगा, लेकिन प्रत्येक बाद की पुनरावृत्ति के साथ अज्ञात का वेक्टर सटीक समाधान के करीब पहुंच जाता है।

12. अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में उपयोग किया जाने वाला मूल पुनरावृत्ति सूत्र:

13. एक अरैखिक समीकरण को हल करने के लिए सरल पुनरावृत्ति विधि में पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को रोकने का मानदंड:

यदि अज्ञात वेक्टर के प्रत्येक i-वें घटक के लिए सटीकता प्राप्त करने की शर्त पूरी हो जाती है, तो पुनरावृत्त प्रक्रिया समाप्त हो जाती है।
नोटिस जो सरल पुनरावृत्ति विधि में सटीक समाधानहालाँकि, इसे कभी हासिल नहीं किया जाएगा, प्रत्येक बाद की पुनरावृत्ति के साथ अज्ञात का वेक्टर सटीक समाधान के और करीब आता जाता है

14. अंतराल के पुनरावृत्त खंड के लिए सहायक फ़ंक्शन F(x) चुनने का मानदंड:

सरल पुनरावृत्ति विधि को हल करने पर गणित में परीक्षा देते समय, सबसे पहले अभिसरण स्थिति की जाँच की जानी चाहिए। अभिसरण की विधि के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स ए में सभी विकर्ण तत्वों का पूर्ण मान संबंधित पंक्ति में अन्य सभी तत्वों के मॉड्यूल के योग से अधिक हो:

पुनरावृत्तीय विधियों का नुकसानयह एक सख्त अभिसरण शर्त है, जो समीकरणों की सभी प्रणालियों के लिए संतुष्ट नहीं है।

यदि अभिसरण की स्थिति पूरी हो जाती है, तो अगले चरण में अज्ञात के वेक्टर का प्रारंभिक सन्निकटन निर्दिष्ट करना आवश्यक है, जो आमतौर पर शून्य वेक्टर होता है:

15. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली गॉस विधि प्रदान करती है:

यह विधि एक मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में परिवर्तित करने पर आधारित है। यह सिस्टम समीकरणों से अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करके प्राप्त किया जाता है।

सरल पुनरावृत्ति विधि मूल समीकरण को समकक्ष समीकरण से बदलने पर आधारित है:

मूल का आरंभिक सन्निकटन ज्ञात करें एक्स = एक्स 0. इसे समीकरण (2.7) के दाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक नया सन्निकटन प्राप्त होता है , फिर उसी प्रकार हमें प्राप्त होता है वगैरह।:

. (2.8)

सभी परिस्थितियों में पुनरावृत्तीय प्रक्रिया समीकरण के मूल में परिवर्तित नहीं होती है एक्स. आइए इस प्रक्रिया पर करीब से नज़र डालें। चित्र 2.6 एक-तरफ़ा अभिसरण और अपसारी प्रक्रिया की चित्रमय व्याख्या दिखाता है। चित्र 2.7 दो-तरफ़ा अभिसरण और अपसारी प्रक्रियाओं को दर्शाता है। एक भिन्न प्रक्रिया को तर्क और फ़ंक्शन के मूल्यों में तेजी से वृद्धि और संबंधित कार्यक्रम की असामान्य समाप्ति की विशेषता है।

दो-तरफ़ा प्रक्रिया के साथ, साइकिल चलाना संभव है, अर्थात, समान फ़ंक्शन और तर्क मानों की अंतहीन पुनरावृत्ति। लूपिंग एक अपसारी प्रक्रिया को एक अभिसारी प्रक्रिया से अलग करती है।

ग्राफ़ से यह स्पष्ट है कि एक तरफा और दो तरफा दोनों प्रक्रियाओं के लिए, जड़ के पास वक्र के ढलान से जड़ तक अभिसरण निर्धारित होता है। ढलान जितना छोटा होगा, अभिसरण उतना ही बेहतर होगा। जैसा कि ज्ञात है, किसी वक्र की ढलान की स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के व्युत्पन्न के बराबर होती है।

इसलिए, जड़ के पास जितनी छोटी संख्या होगी, प्रक्रिया उतनी ही तेजी से एकत्रित होगी।

पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अभिसरण करने के लिए, निम्नलिखित असमानता को जड़ के पड़ोस में संतुष्ट किया जाना चाहिए:

फ़ंक्शन के प्रकार के आधार पर समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है एफ(एक्स).ऐसे संक्रमण में, फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है ताकि अभिसरण स्थिति (2.9) संतुष्ट हो।

आइए समीकरण (2.1) से समीकरण (2.7) में संक्रमण के लिए सामान्य एल्गोरिदम में से एक पर विचार करें।

आइए समीकरण (2.1) के बाएँ और दाएँ पक्षों को एक मनमाना स्थिरांक से गुणा करें बीऔर अज्ञात को दोनों भागों में जोड़ें एक्स।इस स्थिति में, मूल समीकरण की जड़ें नहीं बदलेंगी:

आइए हम संकेतन का परिचय दें और आइए संबंध (2.10) से समीकरण (2.8) की ओर बढ़ते हैं।

स्थिरांक का मनमाना चयन बीअभिसरण शर्त (2.9) की पूर्ति सुनिश्चित करेगा। पुनरावृत्तीय प्रक्रिया को समाप्त करने की कसौटी शर्त (2.2) होगी। चित्र 2.8 प्रतिनिधित्व की वर्णित विधि का उपयोग करके सरल पुनरावृत्तियों की विधि की एक ग्राफिकल व्याख्या दिखाता है (एक्स और वाई अक्षों के साथ पैमाने अलग-अलग हैं)।

यदि किसी फ़ंक्शन को फॉर्म में चुना जाता है, तो इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा। अभिसरण की उच्चतम गति तब होगी और पुनरावृत्ति सूत्र (2.11) न्यूटन के सूत्र में चला जाता है। इस प्रकार, न्यूटन की विधि में सभी पुनरावृत्त प्रक्रियाओं के अभिसरण की उच्चतम डिग्री है।

सरल पुनरावृत्ति विधि का सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन एक सबरूटीन प्रक्रिया के रूप में किया जाता है Iteras(कार्यक्रम 2.1).

पूरी प्रक्रिया में व्यावहारिक रूप से एक दोहराव शामिल है ... चक्र तक, पुनरावृत्ति प्रक्रिया को रोकने की स्थिति को ध्यान में रखते हुए सूत्र (2.11) को लागू करना (सूत्र (2.2))।

प्रक्रिया में निटर वेरिएबल का उपयोग करके लूप की संख्या की गणना करके अंतर्निहित लूप सुरक्षा है। व्यावहारिक कक्षाओं में, आपको प्रोग्राम चलाकर यह सुनिश्चित करना होगा कि गुणांक का चुनाव कैसे प्रभावित करता है बीऔर जड़ की खोज की प्रक्रिया में प्रारंभिक सन्निकटन। गुणांक बदलते समय बीअध्ययनाधीन फ़ंक्शन के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया की प्रकृति बदल जाती है। यह पहले दो-तरफा हो जाता है, और फिर लूप (चित्र 2.9)। अक्ष तराजू एक्सऔर वाईकुछ अलग हैं। मापांक b का और भी बड़ा मान एक भिन्न प्रक्रिया की ओर ले जाता है।

समीकरणों के अनुमानित समाधान के लिए विधियों की तुलना

समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए ऊपर वर्णित विधियों की तुलना एक प्रोग्राम का उपयोग करके की गई थी जो आपको पीसी स्क्रीन पर ग्राफिकल रूप में रूट खोजने की प्रक्रिया का निरीक्षण करने की अनुमति देता है। इस कार्यक्रम में शामिल प्रक्रियाएं और तुलनात्मक तरीकों को लागू करना नीचे दिया गया है (कार्यक्रम 2.1)।

चावल। 2.3-2.5, 2.8, 2.9 पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अंत में पीसी स्क्रीन की प्रतियां हैं।

सभी मामलों में, द्विघात समीकरण x 2 -x-6 = 0 को अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के रूप में लिया गया था, जिसका विश्लेषणात्मक समाधान x 1 = -2 और x 2 = 3 था। त्रुटि और प्रारंभिक अनुमान सभी तरीकों के लिए समान माने गए थे। मूल खोज परिणाम एक्स= 3, आंकड़ों में प्रस्तुत इस प्रकार हैं। द्विभाजन विधि सबसे धीमी गति से अभिसरण करती है - 22 पुनरावृत्तियाँ, सबसे तेज़ सरल पुनरावृत्ति विधि है जिसमें b = -0.2 - 5 पुनरावृत्तियाँ होती हैं। यहां इस कथन में कोई विरोधाभास नहीं है कि न्यूटन की विधि सबसे तेज़ है।

बिंदु पर अध्ययनाधीन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक्स= 3 -0.2 के बराबर है, अर्थात, इस मामले में गणना समीकरण के मूल के बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य के साथ न्यूटन की विधि द्वारा व्यावहारिक रूप से की गई थी। गुणांक बदलते समय बीअभिसरण की दर कम हो जाती है और धीरे-धीरे अभिसरण प्रक्रिया पहले चक्रों में चलती है और फिर अपसारी हो जाती है।

पुनरावृत्तीय विधियाँ

पुनरावृत्तीय तरीकों में, निम्नलिखित तीन चरणों को माना जाता है: एक सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाली पुनरावृत्त प्रक्रिया के क्रमिक अनुमानों की गणना के लिए निर्माण (यानी, एक सटीक समाधान में परिवर्तित होने वाले वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण) ; इस प्रक्रिया के अभिसरण मानदंड का निर्धारण, जो हमें उस क्षण को निर्धारित करने की अनुमति देता है जब आवश्यक सटीकता प्राप्त हो जाती है; आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक संचालन की संख्या को कम करने के लिए पुनरावृत्त प्रक्रिया के अभिसरण और अनुकूलन की गति का अध्ययन।

यदि विधि का अभिसरण सिद्ध हो तो पुनरावृत्त विधियाँ पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करना संभव बनाती हैं। पुनरावृत्तीय विधियाँ कड़ाई से सटीक समाधान प्रदान नहीं करती हैं, क्योंकि इसे वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है। प्रत्यक्ष विधि, सामान्य तौर पर, एक सटीक समाधान देती है, लेकिन सभी कंप्यूटरों पर होने वाली राउंडिंग त्रुटियों के कारण, इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है, और संभवतःयह आकलन करना और भी मुश्किल है कि यह समाधान सटीक समाधान से कितना भिन्न है। उपरोक्त के संबंध में, पुनरावृत्त विधियां कभी-कभी किसी को प्रत्यक्ष की तुलना में अधिक सटीकता के साथ समाधान प्राप्त करने की अनुमति देती हैं।

आइए रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए कई पुनरावृत्तीय तरीकों पर विचार करें।

सरल पुनरावृत्ति विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि में, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली (2.1)। कुल्हाड़ी = बीफॉर्म की समतुल्य प्रणाली में कम हो जाता है

सिस्टम (2.9) का समाधान और, परिणामस्वरूप, मूल सिस्टम (2.1) का समाधान वैक्टर के अनुक्रम की सीमा के रूप में मांगा गया है:

के = 0, 1, 2,…,(2.10)

समाधान वेक्टर के लिए प्रारंभिक सन्निकटन कहां है.

सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त स्थिति निम्नलिखित प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है।

प्रमेय 1. यदि मैट्रिक्स का कोई भी मानदंड, विचाराधीन वेक्टर के मानदंड के अनुरूप, एक () से कम है, तो सरल पुनरावृत्ति विधि में अनुक्रम कम गति से सिस्टम (2.9) के सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाता है किसी भी प्रारंभिक सन्निकटन के लिए हर के साथ ज्यामितीय प्रगति की गति की तुलना में।

सबूत। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम एक त्रुटि प्रस्तुत करते हैं। संबंध से समानता (2.10) घटाने पर, हमें प्राप्त होता है। मानदंडों की ओर मुड़ते हुए, हमारे पास है

ध्यान दें कि असमानता पिछली अभिव्यक्ति से मैट्रिक्स और वेक्टर के मानदंड की स्थिरता के लिए शर्त है। अगर , तो प्रारंभिक त्रुटि के किसी भी वेक्टर के लिए (या अन्यथा, किसी भी प्रारंभिक वेक्टर के लिए) त्रुटि का मानदंड हर के साथ ज्यामितीय प्रगति की तुलना में धीमी गति से शून्य नहीं होता है।

यदि हम मैट्रिक्स के मानदंड के रूप में मानदंड चुनते हैं या फिर सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के प्रश्न को हल करने के लिए, आप प्रमेय 1 से परिणाम का उपयोग कर सकते हैं: सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है यदि मैट्रिक्स के लिए निम्नलिखित शर्तों में से एक संतुष्ट है:

, मैं =1,2, …, एन,

, जे = 1, 2, …, एन।(2.11)

सिस्टम लाने का सबसे सरल और सामान्य तरीका कुल्हाड़ी= बीपुनरावृत्तियों के लिए सुविधाजनक फॉर्म (2.9) में, प्रत्येक के साथ विकर्ण तत्वों का चयन करना है i-वेंसमीकरण के संबंध में हल किया गया है i-वेंअज्ञात:

, मैं = 1, 2, …, एन, (2.12)

और सरल पुनरावृत्ति विधि इस प्रकार लिखी जाएगी

तब मैट्रिक्स जैसा दिखता है

.

इस मैट्रिक्स का एक तत्व इस प्रकार लिखा जा सकता है क्रोनकर प्रतीक कहाँ है. इस मामले में, सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्त को मैट्रिक्स के विकर्ण तत्वों की प्रबलता की स्थिति के रूप में तैयार किया जा सकता है ए, जो (2.11) और मैट्रिक्स के अंकन से अनुसरण करता है, अर्थात।

मैं = 1, 2, …, एन.

आइए हम एक बार फिर इस बात पर जोर दें कि पुनरावृत्ति विधि के लिए अभिसरण स्थिति के सुविचारित रूप ही पर्याप्त हैं। उनकी पूर्ति विधि के अभिसरण की गारंटी देती है, लेकिन सामान्य मामले में उनकी विफलता का मतलब यह नहीं है कि सरल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है। सरल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त वह शर्त है कि पूर्णांक भाग (मैट्रिक्स का अधिकतम मॉड्यूलो आइजेनवैल्यू कहां है) ए); कंप्यूटिंग अभ्यास में इस स्थिति का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

आइए समाधान त्रुटि का अनुमान लगाने के प्रश्न पर आगे बढ़ें। समाधान त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए दो संबंध दिलचस्प हैं: पहला त्रुटि के मानदंड को दो क्रमिक अनुमानों के बीच अंतर के मानदंड से जोड़ता है और इसका उपयोग केवल गणना की प्रक्रिया में त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है; दूसरा त्रुटि मानदंड को प्रारंभिक सन्निकटन वेक्टर के मानदंडों और सिस्टम में मुक्त पद के वेक्टर (2.9) से जोड़ता है। आवश्यक संबंध निम्नलिखित दो प्रमेयों द्वारा दिए गए हैं।

प्रमेय 2. यदि मैट्रिक्स का कोई भी मानदंड विचाराधीन वेक्टर के मानदंड के अनुरूप है एक्स

. (2.13)

सबूत। आइए हम समानता से समानता (2.10) घटाएँ:

दोनों ओर से सन्निकटन मान घटाकर हम इस संबंध को रूप में बदल देते हैं

मानदंडों से गुजरते हुए, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि प्रमेय की शर्तों के अनुसार, तब

उस संबंध का उपयोग करना जिससे यह अनुसरण करता है अंततः हमें मिलता है:

प्रमेय 3. यदि मैट्रिक्स का कोई भी मानदंड विचाराधीन वेक्टर के मानदंड के अनुरूप है एक्स, एक () से कम है, तो निम्न त्रुटि अनुमान होता है:

आइए दो टिप्पणियाँ करें। सबसे पहले, संबंध (2.13) को फॉर्म में लिखा जा सकता है

हमें पहले दो पुनरावृत्तियों के परिणामों के आधार पर त्रुटि अनुमान प्राप्त करने की अनुमति देता है। सबसे पहले, पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते समय, कभी-कभी गणना त्रुटि के अनुमान के रूप में दो क्रमिक अनुमानों के बीच अंतर के मानदंड का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है। त्रुटि के संबंध से यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्य स्थिति में यह सत्य नहीं है। यदि मानदंड एकता के करीब है, तो गुणांक काफी बड़ा हो सकता है।

क्रमिक पुनरावृत्तियों की त्रुटियाँ संबंध से संबंधित होती हैं

वे। चरण के दौरान त्रुटि रैखिक रूप से बदलती है। ऐसा कहा जाता है कि विधि है रैखिक अभिसरणया अभिसरण का पहला क्रम। हालाँकि, आवश्यक सटीकता प्राप्त करने के लिए आवश्यक पुनरावृत्तियों की संख्या मूल्य और प्रारंभिक सन्निकटन पर निर्भर करती है।

इसलिए, एक उदाहरण के रूप में सरल पुनरावृत्ति विधि का उपयोग करते हुए, पुनरावृत्त विधियों के तीन चरणों का प्रदर्शन किया जाता है: सूत्र (1.10) द्वारा उत्पन्न वैक्टर के अनुक्रम का निर्माण; प्रमेय 1 का उपयोग करके अभिसरण स्थिति का निर्धारण करना और प्रमेय 2 और 3 का उपयोग करके अभिसरण की दर का अनुमान लगाना।

सीडेल विधि

सरल पुनरावृत्ति विधि पुनरावृत्ति प्रक्रिया के अभिसरण में सुधार की प्रतीत होने वाली स्पष्ट संभावना का उपयोग नहीं करती है - गणना में नए गणना किए गए वेक्टर घटकों का तत्काल परिचय। इस सुविधा का उपयोग पुनरावृत्त सीडेल विधि में किया जाता है। सिस्टम (2.9) के लिए पुनरावृत्तीय प्रक्रिया संबंध के अनुसार पूरी की जाती है

मैं = 1, 2, …, एन (2.14)

या सिस्टम के लिए (1.1)

विवरण में जाए बिना, हम ध्यान दें कि सीडेल पुनरावृत्ति विधि अक्सर सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण की ओर ले जाती है। हालाँकि, ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां सीडेल पुनरावृत्ति विधि सरल पुनरावृत्ति विधि की तुलना में अधिक धीरे-धीरे अभिसरण करती है, और ऐसे मामले भी हो सकते हैं जहां सरल पुनरावृत्ति विधि अभिसरण करती है, लेकिन सीडेल पुनरावृत्ति विधि अलग हो जाती है।

ध्यान दें कि सीडेल की विधि अभिसरण करती हैयदि मैट्रिक्स एसकारात्मक निश्चित और सममित.

आइए हम दिखाते हैं कि सेडेल पुनरावृत्ति विधि एक विशेष रूप से निर्मित मैट्रिक्स और वेक्टर के संबंध में कुछ सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है (2.10)। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम (2.14) को उस रूप में लिखते हैं जहां एफ मैट्रिक्स के गुणांकों का ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और हम सिस्टम को उस रूप में फिर से लिखते हैं जहां ई पहचान मैट्रिक्स है। आव्यूह (ई-एन)- एक के बराबर विकर्ण तत्वों के साथ निचला त्रिकोणीय मैट्रिक्स। फलस्वरूप, इस मैट्रिक्स का निर्धारक अशून्य (एक के बराबर) है और इसमें एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। तब

समाधान (2.10) के साथ इस संबंध की तुलना करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सीडेल पुनरावृत्ति विधि वास्तव में इस अर्थ में सरल पुनरावृत्ति विधि के बराबर है कि सीडेल पुनरावृत्ति विधि के अभिसरण के लिए स्थिति और मानदंड स्थापित करने के लिए, हम प्रमेयों का उपयोग कर सकते हैं यदि हम सरल पुनरावृत्ति विधि के लिए दिए गए हैं सिस्टम (2.12) के लिए पुनरावृत्ति प्रक्रिया को अधिक सामान्य रूप में भी लिखा गया है