Distribusi seragam.Nilai acak X mempunyai arti koordinat suatu titik yang dipilih secara acak pada suatu ruas

[a, b. Kepadatan seragam distribusi variabel acak X(Gbr. 10.5, A) dapat didefinisikan sebagai:

Beras. 10.5. Distribusi seragam dari variabel acak: A- kepadatan distribusi; B- fungsi distribusi

Fungsi Distribusi Variabel Acak X memiliki bentuk:

Grafik fungsi distribusi seragam ditunjukkan pada Gambar. 10.5, B.

Kami menghitung transformasi Laplace dari distribusi seragam menggunakan (10.3):

Nilai dan varians yang diharapkan mudah dihitung langsung dari definisi terkait:

Rumus serupa untuk ekspektasi dan dispersi matematis juga dapat diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace menggunakan rumus (10.8), (10.9).

Mari kita perhatikan contoh sistem pelayanan yang dapat digambarkan dengan distribusi seragam.

Lalu lintas pada persimpangan diatur dengan lampu lalu lintas otomatis, dimana lampu hijau menyala selama 1 menit dan lampu merah menyala selama 0,5 menit. Pengemudi mendekati persimpangan di momen acak waktu dengan distribusi seragam yang tidak berhubungan dengan pengoperasian lampu lalu lintas. Mari kita cari peluang sebuah mobil melewati persimpangan tanpa berhenti.

Momen ketika mobil melewati persimpangan tersebut terdistribusi merata dalam selang waktu 1 + 0,5 = 1,5 menit. Mobil akan melewati persimpangan tanpa berhenti jika momen melewati persimpangan tersebut berada dalam selang waktu. Untuk variabel acak yang terdistribusi seragam dalam suatu interval, peluang masuk ke dalam interval tersebut adalah 1/1,5=2/3. Waktu tunggu Гож adalah variabel acak campuran. Dengan probabilitas 2/3 sama dengan nol, dan dengan probabilitas 0,5/1,5 dibutuhkan nilai antara 0 dan 0,5 menit. Oleh karena itu, rata-rata waktu tunggu dan varians pada persimpangan tersebut

Distribusi eksponensial (eksponensial). Untuk distribusi eksponensial, kepadatan distribusi suatu variabel acak dapat ditulis sebagai:

dimana A disebut parameter distribusi.

Grafik kepadatan probabilitas dari distribusi eksponensial ditunjukkan pada Gambar. 10.6, A.

Fungsi distribusi variabel acak dengan distribusi eksponensial berbentuk

Beras. 10.6. Distribusi eksponensial dari variabel acak: A- kepadatan distribusi; B - fungsi distribusi

Grafik fungsi distribusi eksponensial ditunjukkan pada Gambar. 10.6, 6.

Kami menghitung transformasi Laplace dari distribusi eksponensial menggunakan (10.3):

Mari kita tunjukkan itu untuk variabel acak X, mempunyai distribusi eksponensial, nilai yang diharapkan sama dengan simpangan baku a dan berbanding terbalik dengan parameter A:

Jadi, untuk distribusi eksponensial kita mempunyai: Dapat juga ditunjukkan bahwa

itu. distribusi eksponensial sepenuhnya dicirikan oleh mean atau parameter X .

Distribusi eksponensial memiliki nomor properti yang berguna, yang digunakan dalam pemodelan sistem layanan. Misalnya, ia tidak memiliki memori. Kapan , Itu

Dengan kata lain, jika variabel acak sesuai dengan waktu, maka distribusi durasi yang tersisa tidak bergantung pada waktu yang telah berlalu. Properti ini diilustrasikan pada Gambar. 10.7.

Beras. 10.7.

Mari kita perhatikan contoh sistem yang parameter operasinya dapat dijelaskan dengan distribusi eksponensial.

Saat perangkat beroperasi, malfungsi terjadi secara acak. Waktu pengoperasian perangkat T dari penyalaannya hingga terjadinya malfungsi didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter X. Jika kerusakan terdeteksi, perangkat segera diperbaiki, yang berlangsung selama waktu / 0. Mari kita cari fungsi kepadatan dan distribusi interval waktu Г antara dua patahan yang berdekatan, ekspektasi matematis dan dispersi, serta probabilitas waktu Tx akan ada lebih banyak lagi 2t 0 .

Dari dulu

Distribusi normal. Normal adalah distribusi probabilitas suatu variabel acak kontinu yang digambarkan dengan kepadatan

Dari (10.48) berikut ini distribusi normal ditentukan oleh dua parameter - ekspektasi matematis T dan dispersi a 2. Grafik kepadatan probabilitas suatu variabel acak dengan distribusi normal pada t= 0, dan 2 =1 ditunjukkan pada Gambar. 10.8, A.

Beras. 10.8. Hukum distribusi normal suatu variabel acak di T= 0, hal 2 = 1: A- kepadatan probabilitas; 6 - fungsi distribusi

Fungsi distribusi dijelaskan dengan rumus

Grafik fungsi distribusi probabilitas variabel acak berdistribusi normal pada T= 0, dan 2 = 1 ditunjukkan pada Gambar. 10.8, B.

Mari kita tentukan probabilitasnya X akan mengambil nilai yang termasuk dalam interval (a, p):

Di mana adalah fungsi Laplace, dan probabilitasnya

Apa nilai mutlak penyimpangan kurang dari angka positif 6:

Khususnya, kapan t = 0 persamaannya benar:

Seperti yang Anda lihat, variabel acak dengan distribusi normal dapat bernilai positif dan negatif. Oleh karena itu, untuk menghitung momen perlu menggunakan transformasi Laplace dua arah

Namun, integral ini belum tentu ada. Jika ada, ekspresi biasanya digunakan sebagai ganti (10.50).

yang disebut fungsi karakteristik atau menghasilkan fungsi momen.

Mari kita hitung fungsi pembangkit momen berdistribusi normal menggunakan rumus (10.51):

Setelah mengubah pembilang ekspresi subeksponensial ke bentuk yang kita peroleh

Integral

karena ini merupakan integral dari kepadatan probabilitas normal dengan parameternya t + jadi 2 dan 2. Karena itu,

Membedakan (10.52), kita memperoleh

Dari ungkapan-ungkapan ini Anda dapat menemukan poin-poin berikut:

Distribusi normal banyak digunakan dalam praktik, karena menurut teorema limit pusat, jika suatu variabel acak adalah jumlah dari sejumlah besar variabel acak yang saling bebas, pengaruh masing-masing variabel tersebut terhadap keseluruhan jumlah dapat diabaikan, maka distribusinya mendekati normal.

Mari kita perhatikan contoh sistem yang parameternya dapat digambarkan dengan distribusi normal.

Perusahaan memproduksi bagian dengan ukuran tertentu. Kualitas suatu bagian dinilai dengan mengukur ukurannya. Kesalahan pengukuran acak tunduk pada hukum normal dengan standar deviasi A - Yumkm. Mari kita cari kemungkinan kesalahan pengukuran tidak melebihi 15 mikron.

Dari (10.49) kita temukan

Untuk kemudahan penggunaan distribusi yang dipertimbangkan, kami merangkum rumus yang diperoleh dalam Tabel. 10.1 dan 10.2.

Tabel 10.1. Ciri-ciri dasar distribusi kontinu

Tabel 10.2. Menghasilkan fungsi distribusi berkelanjutan

PERTANYAAN KONTROL

• 1. Distribusi probabilitas apa yang dianggap kontinu?
• 2. Apa yang dimaksud dengan transformasi Laplace-Stieltjes? Untuk apa ini digunakan?
• 3. Bagaimana cara menghitung momen variabel acak menggunakan transformasi Laplace-Stieltjes?
• 4. Berapakah transformasi Laplace dari penjumlahan variabel acak bebas?
• 5. Bagaimana cara menghitung waktu rata-rata dan varian waktu transisi sistem dari satu keadaan ke keadaan lain menggunakan grafik sinyal?
• 6. Sebutkan ciri-ciri utama pemerataan. Berikan contoh penggunaannya dalam tugas layanan.
• 7. Berikan ciri-ciri utama distribusi eksponensial. Berikan contoh penggunaannya dalam tugas layanan.
• 8. Berikan ciri-ciri utama distribusi normal. Berikan contoh penggunaannya dalam tugas layanan.

Bab 6. Variabel acak kontinu.

§ 1. Massa jenis dan fungsi distribusi variabel acak kontinu.

Himpunan nilai dari variabel acak kontinu tidak dapat dihitung dan biasanya mewakili suatu interval berhingga atau tak terhingga.

Variabel acak x(w) yang didefinisikan dalam ruang probabilitas (W, S, P) disebut kontinu(mutlak kontinu) W, jika terdapat fungsi non-negatif sehingga untuk sembarang x fungsi distribusi Fx(x) dapat direpresentasikan sebagai integral

Fungsi tersebut disebut fungsi kepadatan distribusi probabilitas.

Definisi tersebut menyiratkan sifat-sifat fungsi kepadatan distribusi:

1..gif" lebar = "97" tinggi = "51">

3. Pada titik kontinuitas, kerapatan distribusi sama dengan turunan fungsi distribusi: .

4. Kepadatan distribusi menentukan hukum distribusi suatu variabel acak, karena menentukan peluang suatu variabel acak masuk ke dalam interval:

5. Peluang suatu variabel acak kontinu mengambil nilai tertentu adalah nol: . Oleh karena itu, persamaan berikut ini valid:

Grafik fungsi kepadatan distribusi disebut kurva distribusi, dan luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x sama dengan satu. Maka secara geometri, nilai fungsi distribusi Fx(x) di titik x0 adalah luas yang dibatasi oleh kurva distribusi dan sumbu x serta terletak di sebelah kiri titik x0.

Tugas 1. Fungsi kepadatan variabel acak kontinu berbentuk:

Tentukan konstanta C, buat fungsi distribusi Fx(x) dan hitung probabilitasnya.

Larutan. Konstanta C ditemukan dari kondisi Kita mempunyai:

dari mana C=3/8.

Untuk membangun fungsi distribusi Fx(x), perhatikan bahwa interval membagi rentang nilai argumen x (sumbu numerik) menjadi tiga bagian: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" lebar="264" tinggi="49">

karena massa jenis x pada setengah sumbu adalah nol. Dalam kasus kedua

Terakhir, pada kasus terakhir, ketika x>2,

Karena massa jenisnya hilang pada sumbu semi. Sehingga diperoleh fungsi distribusi

Kemungkinan Mari kita hitung menggunakan rumus. Dengan demikian,

§ 2. Karakteristik numerik dari variabel acak kontinu

Nilai yang diharapkan untuk variabel acak yang terdistribusi terus menerus ditentukan dengan rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

jika integral di sebelah kanan konvergen mutlak.

Penyebaran x dapat dihitung menggunakan rumus , dan juga, seperti dalam kasus diskrit, menurut rumus https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Semua sifat ekspektasi dan dispersi matematis yang diberikan dalam Bab 5 untuk variabel acak diskrit juga berlaku untuk variabel acak kontinu.

Masalah 2. Untuk variabel acak x dari Soal 1, hitung ekspektasi matematis dan variansnya .

Larutan.

Dan itu artinya

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Untuk grafik kepadatan distribusi seragam, lihat Gambar. .

Gambar.6.2. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi. hukum yang seragam

Fungsi distribusi Fx(x) dari variabel acak yang terdistribusi seragam adalah sama dengan

Fx(x)=

Ekspektasi dan varians; .

Distribusi eksponensial (eksponensial). Variabel acak kontinu x yang mengambil nilai non-negatif mempunyai distribusi eksponensial dengan parameter l>0 jika distribusi kepadatan probabilitas variabel acak tersebut sama dengan

px(x)=

Beras. 6.3. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi hukum eksponensial.

Fungsi distribusi dari distribusi eksponensial berbentuk

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> dan jika kepadatan distribusinya sama dengan

.

Melalui menunjukkan himpunan semua variabel acak yang terdistribusi menurut hukum normal dengan parameter parameter dan .

Fungsi distribusi variabel acak yang terdistribusi normal adalah sama dengan

.

Beras. 6.4. Fungsi distribusi dan kepadatan distribusi normal

Parameter distribusi normal adalah ekspektasi matematis https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

Dalam kasus khusus kapan https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> distribusi normal disebut standar, dan kelas distribusi tersebut dilambangkan dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

dan fungsi distribusi

Integral seperti itu tidak dapat dihitung secara analitis (tidak diambil dalam “kuadrat”), dan oleh karena itu tabel telah disusun untuk fungsi tersebut. Fungsi ini terkait dengan fungsi Laplace yang diperkenalkan pada Bab 4

,

oleh hubungan berikut . Dalam hal nilai parameter arbitrer https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> fungsi distribusi variabel acak dihubungkan ke fungsi Laplace menggunakan relasi:

.

Oleh karena itu, peluang suatu variabel acak berdistribusi normal masuk ke dalam suatu interval dapat dihitung dengan menggunakan rumus

.

Variabel acak non-negatif x disebut terdistribusi lognormal jika logaritmanya h=lnx memenuhi hukum normal. Nilai yang diharapkan dan varians dari variabel acak yang terdistribusi secara lognormal adalah Mx= dan Dx=.

Tugas 3. Biarkan variabel acak diberikan https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Larutan. Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Distribusi Laplace diberikan oleh fungsi fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> dan kurtosisnya adalah gx=3.

Gambar.6.5. Fungsi kepadatan distribusi Laplace.

Variabel acak x didistribusikan hukum Weibull, jika memiliki fungsi kepadatan distribusi sama dengan https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Distribusi Weibull mengatur waktu pengoperasian bebas kegagalan pada banyak perangkat teknis. Dalam tugas profil ini karakteristik penting adalah tingkat kegagalan (tingkat kematian) l(t) dari elemen usia t yang dipelajari, ditentukan oleh hubungan l(t)=. Jika a=1, maka distribusi Weibull berubah menjadi distribusi eksponensial, dan jika a=2 - menjadi apa yang disebut distribusi Rayleigh.

Ekspektasi matematis dari distribusi Weibull: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, dengan Г(а) adalah Euler fungsi. .

DI DALAM berbagai tugas Dalam statistik terapan, apa yang disebut distribusi “terpotong” sering dijumpai. Misalnya, otoritas pajak tertarik pada distribusi pendapatan individu yang pendapatan tahunannya melebihi batas tertentu c0 yang ditetapkan oleh undang-undang perpajakan. Distribusi ini ternyata kurang lebih bertepatan dengan distribusi Pareto. Distribusi Pareto diberikan oleh fungsi

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> dari variabel acak x dan fungsi terdiferensiasi monotonik ..gif" width="200" height="51">

Di sini https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Tugas 4. Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Temukan kepadatan variabel acak.

Larutan. Dari kondisi masalah berikut ini

Selanjutnya fungsinya merupakan fungsi monoton dan terdiferensiasi pada suatu interval serta mempunyai fungsi invers , yang turunannya sama dengan Oleh karena itu,

§ 5. Pasangan variabel acak kontinu

Misalkan dua variabel acak kontinu x dan h diberikan. Kemudian pasangan (x, h) mendefinisikan titik “acak” pada bidang. Pasangan (x, h) disebut vektor acak atau variabel acak dua dimensi.

Fungsi distribusi bersama variabel acak x dan h dan fungsinya disebut F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. kepadatan sendi distribusi probabilitas variabel acak x dan h disebut fungsi sedemikian rupa .

Arti dari pengertian kepadatan distribusi gabungan adalah sebagai berikut. Peluang “titik acak” (x, h) jatuh pada suatu daerah pada bidang dihitung sebagai volume bangun tiga dimensi – silinder “lengkung” yang dibatasi oleh permukaan https://pandia.ru/ teks/78/107/images/image098_3.gif" width="211" height="39 src=">

Contoh paling sederhana dari distribusi gabungan dua variabel acak adalah dua dimensi distribusi seragam di lokasi syutingA. Misalkan suatu himpunan berbatas M diberi luas, dan didefinisikan sebagai distribusi pasangan (x, h), yang ditentukan oleh kepadatan sambungan berikut:

Tugas 5. Misalkan vektor acak dua dimensi (x, h) terdistribusi secara merata di dalam segitiga. Hitung peluang pertidaksamaan x>h.

Larutan. Luas segitiga yang ditunjukkan adalah (lihat Gambar No.?). Berdasarkan definisi distribusi seragam dua dimensi, kepadatan gabungan variabel acak x, h sama dengan

Suatu peristiwa berhubungan dengan suatu himpunan di pesawat, yaitu setengah pesawat. Lalu kemungkinannya

Pada setengah bidang B, kepadatan sambungan adalah nol di luar himpunan https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Jadi, setengah bidang B dibagi menjadi dua himpunan dan https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> dan , dan integral kedua sama dengan nol, karena kepadatan sambungan di sana sama dengan nol. Itu sebabnya

Jika kepadatan distribusi gabungan untuk pasangan (x, h) diberikan, maka kepadatan kedua komponen x dan h disebut kepadatan pribadi dan dihitung menggunakan rumus:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Untuk variabel acak yang terdistribusi kontinu dengan kepadatan рx(х), рh(у), independensi artinya

Tugas 6. Pada kondisi soal sebelumnya, tentukan apakah komponen vektor acak x dan h bebas?

Larutan. Mari kita hitung kepadatan parsial dan . Kita punya:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Jelasnya, dalam kasus kami https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> adalah kerapatan gabungan besaran x dan h, dan j( x, y) adalah fungsi dari dua argumen

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Tugas 7. Dalam kondisi soal sebelumnya, hitunglah .

Larutan. Menurut rumus di atas kita mempunyai:

.

Mewakili segitiga sebagai

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Kepadatan jumlah dua variabel acak kontinu

Misalkan x dan h adalah variabel acak bebas dengan kepadatan https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Massa jenis variabel acak x + h dihitung dengan rumus lilitan

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Hitung kepadatan jumlah tersebut.

Larutan. Karena x dan h terdistribusi menurut hukum eksponensial dengan parameter , maka kepadatannya sama

Karena itu,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Jika x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">negatif, dan oleh karena itu. Oleh karena itu, jika https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Jadi kami mendapat jawabannya:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> terdistribusi normal dengan parameter 0 dan 1. Variabel acak x1 dan x2 independen dan normal distribusi dengan parameter a1, dan a2 masing-masing Buktikan bahwa x1 + x2 berdistribusi normal Variabel acak x1, x2, ... xn terdistribusi dan bebas serta mempunyai fungsi kerapatan yang sama

.

Temukan fungsi distribusi dan kepadatan distribusi nilai:

a) h1 = menit (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)

Variabel acak x1, x2,…xn bersifat bebas dan terdistribusi merata pada interval [a, b]. Temukan fungsi distribusi dan fungsi kepadatan distribusi besaran

x(1) = min (x1,x2, ...xn) dan x(2)= maks(x1, x2, ...xn).

Buktikan bahwa Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Variabel acak terdistribusi menurut hukum Cauchy Temukan: a) koefisien a; b) fungsi distribusi; c) peluang jatuh pada interval (-1, 1). Tunjukkan bahwa ekspektasi matematis x tidak ada. Variabel acak tunduk pada hukum Laplace dengan parameter l (l>0): Temukan koefisien a; membuat grafik kepadatan distribusi dan fungsi distribusi; temukan Mx dan Dx; tentukan peluang kejadian (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Tuliskan rumus rapat distribusi, cari Mx dan Dx.

Tugas komputasi.

Sebuah titik acak A mempunyai distribusi seragam dalam lingkaran berjari-jari R. Tentukan ekspektasi matematis dan varians jarak r suatu titik ke pusat lingkaran. Tunjukkan bahwa nilai r2 terdistribusi merata pada segmen tersebut.

Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:

Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), dan probabilitas Kepadatan distribusi suatu variabel acak berbentuk:
Hitung konstanta C, fungsi distribusi F(x), varians dan probabilitas.Variabel acak mempunyai fungsi distribusi

Hitung kepadatan variabel acak, ekspektasi matematis, varians dan probabilitas Periksa apakah fungsinya =
mungkin merupakan fungsi distribusi dari variabel acak. Temukan karakteristik numerik dari besaran ini: Mx dan Dx. Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Tuliskan kepadatan distribusi. Temukan fungsi distribusi. Temukan peluang munculnya variabel acak pada segmen dan segmen tersebut. Kepadatan distribusi x sama dengan

.

Temukan konstanta c, kepadatan distribusi h = dan probabilitas

P (0,25

Waktu pengoperasian bebas kegagalan suatu komputer didistribusikan menurut hukum eksponensial dengan parameter l = 0,05 (kegagalan per jam), yaitu memiliki fungsi kepadatan

p(x) = .

Memecahkan masalah tertentu memerlukan pengoperasian mesin bebas masalah selama 15 menit. Jika kegagalan terjadi saat menyelesaikan suatu masalah, kesalahan tersebut terdeteksi hanya setelah solusi selesai, dan masalah diselesaikan kembali. Temukan: a) probabilitas bahwa selama penyelesaian masalah tidak akan terjadi satu pun kegagalan; b) waktu rata-rata penyelesaian masalah.

Sebuah batang yang panjangnya 24 cm dipecah menjadi dua bagian; Kita asumsikan bahwa titik patah terdistribusi secara merata di sepanjang batang. Berapa panjang rata-rata sebagian besar batang? Sepotong berukuran panjang 12 cm dipotong secara acak menjadi dua bagian. Titik potong didistribusikan secara merata di sepanjang segmen. Berapa panjang rata-rata bagian kecil dari segmen tersebut? Variabel acak terdistribusi secara merata pada segmen tersebut. Tentukan rapat distribusi variabel acak a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Tunjukkan jika x mempunyai fungsi distribusi kontinu

F(x) = P(x

Tentukan fungsi massa jenis dan fungsi distribusi dari jumlah dua besaran bebas x dan h yang mempunyai hukum distribusi seragam pada segmen dan berturut-turut. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi merata pada segmen dan masing-masing. Hitung massa jenis dari jumlah x+h. Variabel acak bersifat independen dan memiliki distribusi eksponensial dengan kepadatan . Temukan kepadatan distribusi jumlah mereka. Tentukan distribusi jumlah variabel acak bebas x dan h, dimana x berdistribusi seragam pada intervalnya, dan h berdistribusi eksponensial dengan parameter l. Temukan P , jika x mempunyai: a) berdistribusi normal dengan parameter a dan s2; b) distribusi eksponensial dengan parameter l; c) distribusi seragam pada segmen [-1;1]. Distribusi gabungan x, h adalah kuadrat seragam
K = (x, kamu): |x| +|kamu|£ 2). Temukan probabilitas . Apakah x dan h independen? Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi merata di dalam segitiga K=. Hitung massa jenis x dan h. Apakah variabel acak ini independen? Temukan kemungkinannya. Variabel acak x dan h bersifat independen dan terdistribusi merata pada segmen dan [-1,1]. Temukan kemungkinannya. Variabel acak dua dimensi (x, h) terdistribusi merata pada persegi dengan simpul (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Tentukan nilai fungsi distribusi gabungan di titik (1, -1). Sebuah vektor acak (x, h) terdistribusi merata di dalam lingkaran berjari-jari 3 yang berpusat di titik asal. Tuliskan ekspresi kepadatan distribusi gabungan. Tentukan apakah variabel acak ini bergantung. Hitung probabilitas. Sepasang variabel acak x dan h terdistribusi merata di dalam trapesium dengan simpul di titik (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Temukan kepadatan distribusi gabungan untuk pasangan variabel acak ini dan kepadatan komponennya. Apakah x dan h bergantung? Pasangan acak (x, h) terdistribusi merata di dalam setengah lingkaran. Temukan kepadatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Kepadatan gabungan dua variabel acak x dan h sama dengan .
Temukan kepadatan x, h. Selidiki pertanyaan tentang ketergantungan x dan h. Pasangan acak (x, h) terdistribusi merata di himpunan. Temukan kepadatan x dan h, selidiki pertanyaan tentang ketergantungannya. Temukan M(xh). Variabel acak x dan h saling bebas dan terdistribusi menurut hukum eksponensial dengan parameter Find

Dengan bantuan yang banyak proses nyata disimulasikan. Dan contoh paling umum adalah jadwal angkutan umum. Misalkan bus tertentu (bus listrik/trem) berjalan setiap 10 menit, dan Anda berhenti secara acak. Berapa peluang bus tersebut tiba dalam waktu 1 menit? Jelas 1/10. Berapa kemungkinan Anda harus menunggu 4-5 menit? Sama . Berapa peluang Anda harus menunggu bus lebih dari 9 menit? Sepersepuluh!

Mari kita pertimbangkan beberapa terbatas interval, biar pastinya berupa segmen. Jika nilai acak memiliki konstan kepadatan distribusi probabilitas pada segmen tertentu dan kepadatan nol di luarnya, maka dikatakan terdistribusi rata. Dalam hal ini, fungsi kepadatan akan didefinisikan secara ketat:

Memang kalau panjang ruasnya (lihat gambar) adalah , maka nilainya pasti sama - sehingga diperoleh satuan luas persegi panjang, dan diamati properti yang diketahui:


Mari kita periksa secara formal:
, dll. Dari sudut pandang probabilistik, ini berarti variabel acak andal akan mengambil salah satu nilai dari segmen tersebut..., eh, pelan-pelan aku jadi orang tua yang membosankan =)

Inti dari keseragaman adalah apapun kesenjangan internalnya panjang tetap kami belum mempertimbangkannya (ingat menit “bus”)– probabilitas suatu variabel acak akan mengambil nilai dari interval ini akan sama. Dalam gambar saya telah mengarsir tiga kemungkinan seperti itu - sekali lagi saya tekankan hal itu mereka ditentukan oleh wilayah, bukan nilai fungsi!

Mari kita pertimbangkan tugas umum:

Contoh 1

Variabel acak kontinu ditentukan oleh kepadatan distribusinya:

Temukan konstanta, hitung dan buat fungsi distribusinya. Bangun grafik. Menemukan

Dengan kata lain, segala sesuatu yang dapat Anda impikan :)

Larutan: sejak pada interval (interval terbatas) , maka variabel acak tersebut mempunyai distribusi yang seragam, dan nilai “ce” dapat dicari dengan menggunakan rumus langsung . Namun lebih baik secara umum - menggunakan properti:

...mengapa lebih baik? Agar tidak ada pertanyaan yang tidak perlu ;)

Jadi fungsi kepadatannya adalah:

Mari kita menggambar. Nilai-nilai mustahil , dan oleh karena itu titik tebal ditempatkan di bawah:


Sebagai pemeriksaan singkat, mari kita hitung luas persegi panjang:
, dll.

Ayo temukan nilai yang diharapkan, dan Anda mungkin sudah bisa menebak apa yang dimaksud dengan itu. Ingat bus “10 menit”: jika secara acak mendekati perhentian selama berhari-hari rata-rata Anda harus menunggunya selama 5 menit.

Ya, benar - ekspektasinya harus tepat berada di tengah-tengah interval "peristiwa":
, seperti yang diharapkan.

Mari kita hitung variansnya menggunakan rumus . Dan di sini Anda memerlukan mata dan mata saat menghitung integral:

Dengan demikian, penyebaran:

Ayo menulis fungsi distribusi . Tidak ada yang baru di sini:

1) jika , maka dan ;

2) jika , maka dan:

3) dan akhirnya, kapan , Itu sebabnya:

Sebagai akibat:

Mari kita membuat gambarnya:


Pada interval “langsung”, fungsi distribusi pertumbuhan linier, dan ini adalah tanda lain bahwa kita memiliki variabel acak yang terdistribusi secara merata. Ya, tentu saja turunan fungsi linear- ada konstanta.

Probabilitas yang diperlukan dapat dihitung dengan dua cara, menggunakan fungsi distribusi yang ditemukan:

atau menggunakan integral kepadatan tertentu:

Siapa pun yang menyukainya.

Dan di sini Anda juga bisa menulis menjawab: ,
, grafik dibangun di sepanjang solusi.

... “itu mungkin” karena biasanya tidak ada hukuman atas ketidakhadirannya. Biasanya;)

Ada rumus khusus untuk menghitung variabel acak seragam, yang saya sarankan Anda turunkan sendiri:

Contoh 2

Variabel acak kontinu diberikan oleh kepadatan .

Hitung ekspektasi dan varians matematisnya. Sederhanakan hasilnya semaksimal mungkin (rumus perkalian yang disingkat untuk membantu).

Rumus yang dihasilkan mudah digunakan untuk verifikasi, khususnya, periksa masalah yang baru saja Anda selesaikan dengan mensubstitusikan nilai spesifik “a” dan “b” ke dalamnya. Solusi singkat di bagian bawah halaman.

Dan di akhir pelajaran, kita akan melihat beberapa masalah “teks”:

Contoh 3

Nilai pembagian skala alat ukur adalah 0,2. Pembacaan instrumen dibulatkan ke seluruh pembagian terdekat. Dengan asumsi kesalahan pembulatan terdistribusi secara merata, tentukan peluang bahwa pada pengukuran berikutnya tidak akan melebihi 0,04.

Untuk pemahaman yang lebih baik solusi Bayangkan ini adalah semacam alat mekanis yang memiliki anak panah, misalnya timbangan dengan nilai pembagian 0,2 kg, dan kita harus menimbang seekor babi di dalam poke. Tapi bukan untuk mengetahui kegemukannya - sekarang yang penting DI MANA panah berhenti di antara dua divisi yang berdekatan.

Mari kita pertimbangkan variabel acak - jarak panah dari terdekat divisi kiri. Atau dari yang terdekat ke kanan, tidak masalah.

Mari kita buat fungsi kepadatan probabilitas:

1) Karena jarak tidak boleh negatif, maka pada interval . Logis.

2) Dari kondisi tersebut diperoleh tanda panah timbangan dengan probabilitas yang sama dapat berhenti di mana saja antar divisi * , termasuk divisi itu sendiri, dan oleh karena itu pada interval:

* Ini adalah kondisi yang penting. Jadi, misalnya, saat menimbang potongan kapas atau satu kilogram garam, keseragaman akan dipertahankan dalam interval yang lebih sempit.

3) Dan karena jarak dari pembagian kiri TERDEKAT tidak boleh lebih besar dari 0,2, maka at juga sama dengan nol.

Dengan demikian:

Perlu dicatat bahwa tidak ada yang bertanya kepada kami tentang fungsi kepadatan, dan saya menyajikan konstruksi lengkapnya secara eksklusif dalam rantai kognitif. Saat menyelesaikan tugas, cukup menuliskan poin ke-2 saja.

Sekarang mari kita jawab pertanyaan masalahnya. Kapan kesalahan pembulatan ke pembagian terdekat tidak melebihi 0,04? Ini akan terjadi bila panah berhenti tidak lebih dari 0,04 dari pembagian kiri di sebelah kanan atau tidak lebih dari 0,04 dari pembagian kanan kiri. Dalam gambar saya mengarsir area yang sesuai:

Masih menemukan area-area ini menggunakan integral. Pada prinsipnya, luasnya dapat dihitung “dengan cara sekolah” (seperti luas persegi panjang), tetapi kesederhanaannya tidak selalu dipahami;)

Oleh teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak sesuai:

– probabilitas kesalahan pembulatan tidak melebihi 0,04 (40 gram untuk contoh kita)

Sangat mudah untuk melihat bahwa kesalahan pembulatan maksimum yang mungkin terjadi adalah 0,1 (100 gram) dan karenanya probabilitas bahwa kesalahan pembulatan tidak akan melebihi 0,1 sama dengan satu.

Menjawab: 0,4

Ada alternatif penjelasan/rumusan masalah ini di sumber informasi lain, dan saya memilih opsi yang menurut saya paling bisa dimengerti. Perhatian khusus perlu diperhatikan fakta bahwa dalam kondisi tersebut kita dapat berbicara tentang kesalahan BUKAN pembulatan, tetapi tentang acak kesalahan pengukuran, yang biasanya (tapi tidak selalu), didistribusikan hukum biasa. Dengan demikian, Hanya satu kata yang dapat mengubah keputusan Anda secara radikal! Waspada dan pahami maknanya.

Dan begitu semuanya berjalan melingkar, kaki kita membawa kita ke halte bus yang sama:

Contoh 4

Bus pada rute tertentu beroperasi sesuai jadwal dan setiap 7 menit. Buatlah fungsi kepadatan dari variabel acak - waktu tunggu bus berikutnya oleh penumpang yang secara acak mendekati halte. Tentukan peluang dia akan menunggu bus tidak lebih dari tiga menit. Temukan fungsi distribusi dan jelaskan maknanya.

Seperti disebutkan sebelumnya, contoh distribusi probabilitas variabel acak kontinu X adalah:

• distribusi probabilitas seragam dari variabel acak kontinu;
• distribusi probabilitas eksponensial dari variabel acak kontinu;
• distribusi normal probabilitas variabel acak kontinu.

Mari kita berikan konsep hukum distribusi seragam dan eksponensial, rumus probabilitas dan karakteristik numerik dari fungsi yang sedang dipertimbangkan.

Indeks	Hukum distribusi seragam	Hukum distribusi eksponensial
Definisi	Disebut seragam distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang kepadatannya tetap konstan pada segmen tersebut dan berbentuk	Eksponensial (eksponensial) disebut distribusi probabilitas dari variabel acak kontinu X, yang digambarkan oleh kepadatan yang berbentuk
		dimana λ adalah nilai positif konstan
Fungsi distribusi
Kemungkinan jatuh ke dalam interval
Nilai yang diharapkan
Penyebaran
Deviasi standar

Contoh penyelesaian masalah pada topik “Hukum Distribusi Seragam dan Eksponensial”

Tugas 1.

Bus beroperasi sesuai jadwal. Interval gerakan 7 menit. Tentukan: a) peluang penumpang yang tiba di halte akan menunggu kurang dari dua menit untuk bus berikutnya; b) peluang penumpang yang tiba di halte akan menunggu sekurang-kurangnya tiga menit untuk bus berikutnya; c) ekspektasi matematis dan deviasi standar dari variabel acak X - waktu tunggu penumpang.

Larutan. 1. Menurut kondisi permasalahan, variabel acak kontinu X = (waktu tunggu penumpang) didistribusikan secara merata antara kedatangan dua bus. Panjang interval distribusi variabel acak X sama dengan b-a=7, dimana a=0, b=7.

2. Waktu tunggu akan kurang dari dua menit jika variabel acak X berada dalam interval (5;7). Kami menemukan probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu menggunakan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
hal(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Waktu tunggu paling sedikit tiga menit (yaitu dari tiga hingga tujuh menit) jika variabel acak X berada dalam interval (0;4). Kami menemukan probabilitas jatuh ke dalam interval tertentu menggunakan rumus: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Ekspektasi matematis dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi seragam – waktu tunggu penumpang – dapat dicari dengan menggunakan rumus: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Simpangan baku dari variabel acak X yang kontinu dan terdistribusi seragam – waktu tunggu penumpang – dapat dicari dengan menggunakan rumus: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Tugas 2.

Distribusi eksponensial diberikan untuk x ≥ 0 dengan massa jenis f(x) = 5e – 5x. Diperlukan: a) tuliskan ekspresi untuk fungsi distribusi; b) tentukan peluang bahwa sebagai hasil pengujian X berada pada interval (1;4); c) tentukan peluang hasil pengujian X ≥ 2; d) menghitung M(X), D(X), σ(X).

Larutan. 1. Karena kondisi diberikan distribusi eksponensial , maka dari rumus kepadatan distribusi probabilitas variabel acak X diperoleh = 5. Maka fungsi distribusinya akan berbentuk:

2. Peluang hasil pengujian X berada pada interval (1;4) dicari dengan rumus:
P(sebuah< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Peluang hasil pengujian X ≥ 2 ditemukan dengan rumus: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Temukan distribusi eksponensial:

• ekspektasi matematis menurut rumus M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• varians menurut rumus D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• simpangan baku menurut rumus σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Masalah ini telah lama dipelajari secara rinci, dan metode yang paling banyak digunakan adalah metode koordinat kutub yang dikemukakan oleh George Box, Mervyn Muller dan George Marsaglia pada tahun 1958. Metode ini memungkinkan Anda memperoleh sepasang variabel acak independen berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis 0 dan varians 1 sebagai berikut:

Dimana Z 0 dan Z 1 adalah nilai yang diinginkan, s = u 2 + v 2, dan u dan v adalah variabel acak yang terdistribusi merata pada interval (-1, 1), dipilih sedemikian rupa sehingga kondisi 0 terpenuhi< s < 1.
Banyak orang menggunakan rumus-rumus ini tanpa berpikir panjang, bahkan banyak yang tidak menyadari keberadaannya, karena mereka menggunakan implementasi yang sudah jadi. Namun ada pula yang bertanya: “Dari mana rumus ini berasal? Dan mengapa Anda mendapatkan beberapa jumlah sekaligus?” Selanjutnya saya akan mencoba memberikan jawaban yang jelas atas pertanyaan-pertanyaan tersebut.

Untuk memulainya, izinkan saya mengingatkan Anda apa itu kepadatan probabilitas, fungsi distribusi variabel acak, dan fungsi invers. Misalkan ada suatu variabel acak tertentu yang distribusinya ditentukan oleh fungsi kepadatan f(x), yang mempunyai bentuk sebagai berikut:

Artinya peluang munculnya nilai suatu peubah acak tertentu pada interval (A, B) sama dengan luas daerah yang diarsir. Dan akibatnya, luas seluruh area yang diarsir harus sama dengan satu, karena bagaimanapun juga nilai variabel acak akan masuk ke dalam domain definisi fungsi f.
Fungsi distribusi suatu variabel acak merupakan integral dari fungsi kepadatan. Dan dalam hal ini, perkiraan tampilannya akan seperti ini:

Maksudnya disini adalah nilai variabel acak akan lebih kecil dari A dengan probabilitas B. Dan akibatnya fungsi tersebut tidak pernah berkurang, dan nilainya terletak pada interval.

Fungsi invers adalah fungsi yang mengembalikan argumen ke fungsi asli jika nilai fungsi asli diteruskan ke dalamnya. Misalnya, untuk fungsi x 2 inversnya adalah fungsi mengekstrak akar, untuk sin(x) adalah arcsin(x), dst.

Karena sebagian besar generator bilangan pseudorandom hanya menghasilkan distribusi seragam sebagai keluaran, sering kali ada kebutuhan untuk mengonversinya ke distribusi lain. Dalam hal ini, untuk Gaussian normal:

Dasar dari semua metode untuk mengubah distribusi seragam menjadi distribusi lainnya adalah metode transformasi terbalik. Ini berfungsi sebagai berikut. Sebuah fungsi ditemukan yang merupakan kebalikan dari fungsi distribusi yang diperlukan, dan variabel acak yang terdistribusi secara merata pada interval (0, 1) dimasukkan ke dalamnya sebagai argumen. Pada output kita memperoleh nilai dengan distribusi yang dibutuhkan. Agar lebih jelas, saya berikan gambar berikut ini.

Jadi, suatu segmen seragam seolah-olah diolesi sesuai dengan distribusi baru, diproyeksikan ke sumbu lain melalui fungsi invers. Namun masalahnya adalah integral kepadatan distribusi Gaussian tidak mudah untuk dihitung, sehingga para ilmuwan di atas harus berbuat curang.

Ada distribusi chi-kuadrat (distribusi Pearson), yaitu distribusi jumlah kuadrat k variabel acak normal bebas. Dan jika k = 2, distribusinya bersifat eksponensial.

Artinya jika suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang mempunyai koordinat acak X dan Y yang terdistribusi normal, maka setelah mengkonversi koordinat tersebut ke sistem kutub (r, θ), kuadrat jari-jari (jarak dari titik asal ke titik) akan terdistribusi menurut hukum eksponensial, karena kuadrat jari-jari adalah jumlah kuadrat koordinat (menurut hukum Pythagoras). Kepadatan distribusi titik-titik tersebut pada bidang akan terlihat seperti ini:

Karena besarnya sama ke segala arah, sudut θ akan mempunyai distribusi yang seragam dalam rentang dari 0 hingga 2π. Kebalikannya juga benar: jika Anda mendefinisikan suatu titik dalam sistem koordinat kutub menggunakan dua variabel acak independen (sudut terdistribusi seragam dan jari-jari terdistribusi secara eksponensial), maka koordinat persegi panjang titik tersebut akan menjadi variabel acak normal independen. Dan jauh lebih mudah untuk mendapatkan distribusi eksponensial dari distribusi seragam menggunakan metode transformasi invers yang sama. Inilah inti dari metode Polar Box-Muller.
Sekarang mari kita turunkan rumusnya.

(1)

Untuk memperoleh r dan θ, perlu dibangkitkan dua variabel acak yang terdistribusi merata pada interval (0, 1) (sebut saja u dan v), yang salah satu distribusinya (misalkan v) harus diubah menjadi eksponensial menjadi mendapatkan radiusnya. Fungsi distribusi eksponensial terlihat seperti ini:

Fungsi kebalikannya adalah:

Karena distribusi seragamnya simetris, transformasi akan bekerja sama dengan fungsinya

Dari rumus distribusi chi-kuadrat diperoleh λ = 0,5. Substitusikan λ, v ke dalam fungsi ini dan dapatkan kuadrat jari-jarinya, lalu jari-jarinya sendiri:

Kita memperoleh sudut dengan merentangkan ruas satuan menjadi 2π:

Sekarang kita substitusikan r dan θ ke dalam rumus (1) dan dapatkan:

(2)

Rumus ini sudah siap digunakan. X dan Y akan saling bebas dan berdistribusi normal dengan varians 1 dan ekspektasi matematis 0. Untuk memperoleh distribusi dengan karakteristik lain, cukup mengalikan hasil fungsi dengan simpangan baku dan menjumlahkan ekspektasi matematisnya.
Namun fungsi trigonometri dapat dihilangkan dengan menentukan sudut tidak secara langsung, tetapi secara tidak langsung melalui koordinat persegi panjang dari suatu titik acak dalam lingkaran. Kemudian, melalui koordinat-koordinat ini, dimungkinkan untuk menghitung panjang vektor jari-jari, dan kemudian mencari cosinus dan sinus dengan membagi x dan y dengan vektor tersebut. Bagaimana dan mengapa cara ini berhasil?
Mari kita pilih suatu titik acak dari titik-titik yang terdistribusi merata dalam lingkaran berjari-jari satuan dan menyatakan kuadrat panjang vektor jari-jari titik ini dengan huruf s:

Pemilihan dilakukan dengan menentukan koordinat persegi panjang acak x dan y, terdistribusi merata dalam interval (-1, 1), dan membuang titik-titik yang tidak termasuk dalam lingkaran, serta titik pusat di mana sudut vektor jari-jari tak terdefinisi. Artinya, kondisi 0 harus dipenuhi< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Kami mendapatkan rumusnya seperti di awal artikel. Kerugian dari cara ini adalah membuang titik-titik yang tidak termasuk dalam lingkaran. Artinya, hanya menggunakan 78,5% dari variabel acak yang dihasilkan. Pada komputer lama, kurangnya fungsi trigonometri masih menjadi keuntungan besar. Sekarang, ketika satu perintah prosesor menghitung sinus dan cosinus dalam sekejap, menurut saya metode ini masih bisa bersaing.

Secara pribadi, saya masih memiliki dua pertanyaan:

• Mengapa nilai s terdistribusi secara merata?
• Mengapa jumlah kuadrat dua variabel acak normal berdistribusi eksponensial?

Karena s adalah kuadrat jari-jari (untuk mempermudah, saya menyebut jari-jari sebagai panjang vektor jari-jari yang menentukan posisi suatu titik acak), pertama-tama kita cari tahu bagaimana jari-jarinya didistribusikan. Karena lingkaran terisi secara merata, jelaslah bahwa banyaknya titik yang berjari-jari r sebanding dengan panjang lingkaran yang berjari-jari r. Dan keliling lingkaran sebanding dengan jari-jarinya. Artinya, kerapatan distribusi jari-jari meningkat secara merata dari pusat lingkaran ke tepinya. Dan fungsi kerapatan berbentuk f(x) = 2x pada interval (0, 1). Koefisien 2 sehingga luas gambar di bawah grafik sama dengan satu. Ketika kepadatan ini dikuadratkan, kepadatannya menjadi seragam. Karena secara teoritis dalam hal ini fungsi kerapatan perlu dibagi dengan turunan fungsi transformasinya (yaitu x 2). Dan yang jelas kejadiannya seperti ini:

Jika transformasi serupa dilakukan untuk variabel acak normal, maka fungsi kerapatan kuadratnya akan serupa dengan hiperbola. Dan penambahan dua kuadrat variabel acak normal merupakan proses yang jauh lebih kompleks terkait dengan integrasi ganda. Dan fakta bahwa hasilnya akan berdistribusi eksponensial, saya pribadi hanya perlu memeriksanya dengan cara praktis atau menerimanya sebagai aksioma. Dan bagi yang berminat, saya sarankan agar Anda melihat lebih dekat topiknya, menimba ilmu dari buku-buku ini:

• Ventzel E.S. Teori probabilitas
• Knut D.E. Seni Pemrograman, Volume 2

Sebagai kesimpulan, berikut adalah contoh penerapan generator bilangan acak terdistribusi normal di JavaScript:

Fungsi Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == tidak terdefinisi ? 0.0: mean; dev = dev == tidak terdefinisi ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. acak() - 1.0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); ini.kedua = r * u; ini.siap = benar; kembalikan r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // membuat objek a = g.next(); // buat sepasang nilai dan dapatkan nilai pertama b = g.next(); // ambil c = g.next(); // buat sepasang nilai lagi dan dapatkan yang pertama
Parameter mean (ekspektasi matematis) dan dev (deviasi standar) bersifat opsional. Saya menarik perhatian Anda pada fakta bahwa logaritma itu natural.