Mari kita membangun di MS EXCEL interval kepercayaan untuk memperkirakan nilai rata-rata distribusi dalam kasus tersebut nilai yang diketahui varians.
Tentu saja pilihannya tingkat kepercayaan sepenuhnya tergantung pada masalah yang dipecahkan. Dengan demikian, tingkat kepercayaan penumpang udara terhadap keandalan sebuah pesawat tentu harus lebih tinggi daripada tingkat kepercayaan pembeli terhadap keandalan bola lampu listrik.
Formulasi masalah
Mari kita asumsikan itu dari populasi telah diambil Sampel ukuran n. Ini diasumsikan bahwa deviasi standar distribusi ini diketahui. Hal ini diperlukan berdasarkan hal tersebut sampel mengevaluasi hal yang tidak diketahui rata-rata distribusi(μ, ) dan buatlah persamaan yang sesuai dua sisi interval kepercayaan.
Perkiraan poin
Seperti yang diketahui dari statistik(mari kita nyatakan X rata-rata) adalah estimasi mean yang tidak bias ini populasi dan memiliki distribusi N(μ;σ 2 /n).
Catatan: Apa yang harus dilakukan jika Anda perlu membangun interval kepercayaan dalam hal distribusi itu tidak normal? Dalam hal ini, datang untuk menyelamatkan, yang mengatakan bahwa sudah cukup ukuran besar sampel n dari distribusi tidak menjadi normal, distribusi sampel statistik X rata-rata akan sekitar sesuai distribusi normal dengan parameter N(μ;σ 2 /n).
Jadi, perkiraan titik rata-rata nilai distribusi kita punya - ini rata-rata sampel, yaitu. X rata-rata. Sekarang mari kita mulai interval kepercayaan.
Membangun interval kepercayaan
Biasanya, dengan mengetahui distribusi dan parameternya, kita dapat menghitung probabilitas bahwa variabel acak akan mengambil nilai dari interval yang kita tentukan. Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya: carilah interval di mana variabel acak akan muncul dengan probabilitas tertentu. Misalnya dari properti distribusi normal diketahui bahwa dengan probabilitas 95%, suatu variabel acak terdistribusi hukum biasa, akan berada dalam kisaran sekitar +/- 2 dari nilai rata-rata(lihat artikel tentang). Interval ini akan menjadi prototipe bagi kami interval kepercayaan.
Sekarang mari kita lihat apakah kita mengetahui distribusinya , untuk menghitung interval ini? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita harus menunjukkan bentuk distribusi dan parameternya.
Kita tahu bentuk pendistribusiannya - ini dia distribusi normal (ingatlah apa yang sedang kita bicarakan distribusi pengambilan sampel statistik X rata-rata).
Parameter μ tidak kita ketahui (hanya perlu diperkirakan menggunakan interval kepercayaan), tapi kami punya perkiraannya X rata-rata, dihitung berdasarkan sampel, yang dapat digunakan.
Parameter kedua - deviasi standar mean sampel kami akan menganggapnya diketahui, itu sama dengan σ/√n.
Karena kita tidak tahu μ, maka kita buat intervalnya +/- 2 deviasi standar bukan dari nilai rata-rata, dan dari perkiraan yang diketahui X rata-rata. Itu. saat menghitung interval kepercayaan kami TIDAK akan berasumsi seperti itu X rata-rata berada dalam kisaran +/- 2 deviasi standar dari μ dengan probabilitas 95%, dan kita asumsikan intervalnya adalah +/- 2 deviasi standar dari X rata-rata dengan kemungkinan 95% itu akan mencakup μ – rata-rata populasi umum, dari mana ia diambil Sampel. Kedua pernyataan ini setara, tetapi pernyataan kedua memungkinkan kita untuk membangunnya interval kepercayaan.
Selain itu, mari kita perjelas intervalnya: variabel acak terdistribusi hukum biasa, dengan probabilitas 95% berada dalam interval +/- 1.960 deviasi standar, bukan +/- 2 deviasi standar. Ini dapat dihitung dengan menggunakan rumus =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), cm. contoh file Lembar Interval.
Sekarang kita dapat merumuskan pernyataan probabilistik yang dapat kita gunakan untuk membentuknya interval kepercayaan:
“Kemungkinan itu rata-rata populasi terletak dari rata-rata sampel dalam 1.960" deviasi standar mean sampel", sama dengan 95%".
Nilai probabilitas yang disebutkan dalam pernyataan tersebut memiliki nama khusus , yang dikaitkan dengan tingkat signifikansi α (alpha) dengan ekspresi sederhana tingkat kepercayaan =1 -α . Dalam kasus kami tingkat signifikansi α =1-0,95=0,05 .
Sekarang, berdasarkan pernyataan probabilistik ini, kami menulis ekspresi untuk menghitung interval kepercayaan:
di mana Z α/2 – standar distribusi normal(nilai variabel acak ini z, Apa P(z>=Z α/2 )=α/2).
Catatan: Kuantil α/2 atas mendefinisikan lebar interval kepercayaan V deviasi standar rata-rata sampel. Kuantil α/2 atas standar distribusi normal selalu lebih besar dari 0, yang sangat memudahkan.
Dalam kasus kami, dengan α=0,05, kuantil α/2 atas sama dengan 1,960. Untuk tingkat signifikansi lainnya α (10%; 1%) kuantil α/2 atas Z α/2 dapat dihitung menggunakan rumus =NORM.ST.REV(1-α/2) atau jika diketahui tingkat kepercayaan, =NORM.ST.OBR((1+tingkat kepercayaan)/2).
Biasanya saat membangun interval kepercayaan untuk memperkirakan mean gunakan saja α atas/2-kuantil dan jangan gunakan lebih rendah/2-kuantil. Hal ini dimungkinkan karena standar distribusi normal simetris terhadap sumbu x ( kepadatan distribusinya simetris tentang rata-rata, yaitu 0). Oleh karena itu, tidak perlu menghitung kuantil α/2 yang lebih rendah(itu hanya disebut α /2-kuantil), Karena itu setara α atas/2-kuantil dengan tanda minus.
Mari kita ingat bahwa, terlepas dari bentuk distribusi nilai x, variabel acak yang bersesuaian X rata-rata didistribusikan sekitar Bagus N(μ;σ 2 /n) (lihat artikel tentang). Oleh karena itu, di kasus umum, ekspresi di atas untuk interval kepercayaan hanyalah perkiraan. Jika nilai x terdistribusi hukum biasa N(μ;σ 2 /n), maka ekspresi untuk interval kepercayaan akurat.
Perhitungan interval kepercayaan di MS EXCEL
Mari kita selesaikan masalahnya.
Waktu respons komponen elektronik terhadap sinyal masukan adalah karakteristik penting perangkat. Seorang insinyur ingin membuat interval kepercayaan untuk waktu respons rata-rata pada tingkat kepercayaan 95%. Dari pengalaman sebelumnya, insinyur mengetahui bahwa standar deviasi waktu respons adalah 8 ms. Diketahui bahwa untuk mengevaluasi waktu respon, insinyur melakukan 25 pengukuran, nilai rata-ratanya adalah 78 ms.
Larutan: Insinyur ingin mengetahui waktu respons peralatan elektronik, namun ia memahami bahwa waktu respon bukanlah nilai tetap, melainkan variabel acak yang memiliki distribusinya sendiri. Jadi, harapan terbaiknya adalah menentukan parameter dan bentuk distribusi ini.
Sayangnya dari kondisi permasalahan kita tidak mengetahui bentuk distribusi waktu responnya (tidak harus begitu normal). , distribusi ini juga tidak diketahui. Hanya dia yang diketahui deviasi standarσ=8. Oleh karena itu, sejauh ini kita tidak dapat menghitung probabilitas dan konstruksinya interval kepercayaan.
Namun, meskipun kita belum mengetahui sebarannya waktu respons terpisah, kita tahu itu menurut CPT, distribusi pengambilan sampel waktu respons rata-rata adalah sekitar normal(kami akan berasumsi bahwa kondisinya CPT dilakukan, karena ukuran sampel cukup besar (n=25)) .
Lebih-lebih lagi, rata-rata distribusi ini sama dengan nilai rata-rata distribusi respons tunggal, mis. μ. A deviasi standar distribusi ini (σ/√n) dapat dihitung menggunakan rumus =8/ROOT(25) .
Diketahui juga apa yang diterima insinyur tersebut perkiraan titik parameter μ sama dengan 78 ms (X rata-rata). Oleh karena itu, sekarang kita dapat menghitung probabilitas, karena kita mengetahui bentuk pendistribusiannya ( normal) dan parameternya (rata-rata X dan σ/√n).
Insinyur ingin tahu nilai yang diharapkan μ distribusi waktu respons. Seperti dinyatakan di atas, μ ini sama dengan ekspektasi matematis dari distribusi sampel waktu respons rata-rata. Jika kita menggunakan distribusi normal N(X rata-rata; σ/√n), maka μ yang diinginkan akan berada pada kisaran +/-2*σ/√n dengan probabilitas sekitar 95%.
Tingkat signifikansi sama dengan 1-0,95=0,05.
Terakhir, mari kita cari batas kiri dan kanan interval kepercayaan.
Perbatasan kiri: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) =
74,864
Perbatasan kanan: =78+NORM.ST.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136
Perbatasan kiri: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Perbatasan kanan: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Menjawab: interval kepercayaan pada Tingkat kepercayaan 95% dan σ=8mdetik sama 78+/-3,136 mdtk.
DI DALAM contoh file pada lembar Sigma diketahui, dibuatkan formulir untuk perhitungan dan konstruksi dua sisi interval kepercayaan untuk sewenang-wenang sampel dengan diberikan σ dan tingkat signifikansi.
CONFIDENCE.NORM() fungsi
Jika nilainya sampel berada dalam jangkauan B20:B79
, A tingkat signifikansi sama dengan 0,05; maka rumus MS EXCEL :
=RATA-RATA(B20:B79)-PERCAYA DIRI.NORM(0,05;σ; JUMLAH(B20:B79))
akan mengembalikan perbatasan kiri interval kepercayaan.
Batas yang sama dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
=RATA-RATA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(COUNT(B20:B79))
Catatan: Fungsi CONFIDENCE.NORM() muncul di MS EXCEL 2010. Pada versi MS EXCEL sebelumnya, fungsi TRUST() digunakan.
Interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis - ini adalah interval yang dihitung dari data yang, dengan probabilitas yang diketahui, berisi ekspektasi matematis dari populasi umum. Estimasi alami untuk ekspektasi matematis adalah rata-rata aritmatika dari nilai observasinya. Oleh karena itu, sepanjang pembelajaran kita akan menggunakan istilah “rata-rata” dan “nilai rata-rata”. Dalam soal penghitungan selang kepercayaan, jawaban yang paling sering dibutuhkan adalah seperti “Interval kepercayaan dari bilangan rata-rata [nilai dalam suatu soal tertentu] adalah dari [nilai yang lebih kecil] hingga [nilai yang lebih besar].” Dengan menggunakan interval kepercayaan, Anda tidak hanya dapat memperkirakan nilai rata-rata, tetapi juga proporsi karakteristik tertentu dari populasi umum. Nilai rata-rata, dispersi, deviasi standar, dan kesalahan yang melaluinya kita akan sampai pada definisi dan rumus baru, dibahas dalam pelajaran Karakteristik sampel dan populasi .
Estimasi titik dan interval mean
Jika nilai rata-rata populasi diperkirakan dengan suatu angka (titik), maka rata-rata tertentu, yang dihitung dari suatu sampel pengamatan, diambil sebagai perkiraan nilai rata-rata populasi yang tidak diketahui. Dalam hal ini, nilai mean sampel - variabel acak - tidak sesuai dengan nilai mean populasi umum. Oleh karena itu, ketika menunjukkan mean sampel, Anda harus secara bersamaan menunjukkan kesalahan pengambilan sampel. Ukuran kesalahan pengambilan sampel adalah kesalahan standar, yang dinyatakan dalam satuan yang sama dengan mean. Oleh karena itu, notasi berikut sering digunakan: .
Jika pendugaan rata-rata perlu dikaitkan dengan probabilitas tertentu, maka parameter kepentingan populasi harus dinilai bukan dengan satu angka, tetapi dengan suatu interval. Interval kepercayaan adalah interval dimana, dengan probabilitas tertentu P nilai indikator perkiraan populasi ditemukan. Interval kepercayaan yang memungkinkan terjadinya hal tersebut P = 1 - α variabel acak ditemukan, dihitung sebagai berikut:
,
α = 1 - P, yang dapat ditemukan di lampiran hampir semua buku statistik.
Dalam praktiknya, mean dan varians populasi tidak diketahui, sehingga varians populasi diganti dengan varians sampel, dan mean populasi diganti dengan mean sampel. Jadi, interval kepercayaan dalam banyak kasus dihitung sebagai berikut:
.
Rumus interval kepercayaan dapat digunakan untuk memperkirakan mean populasi jika
- simpangan baku populasi diketahui;
- atau simpangan baku populasi tidak diketahui, tetapi ukuran sampel lebih besar dari 30.
Rata-rata sampel adalah taksiran rata-rata populasi yang tidak bias. Pada gilirannya, varians sampel 
bukanlah perkiraan varians populasi yang tidak bias. Untuk memperoleh estimasi varians populasi yang tidak bias dalam rumus varians sampel, ukuran sampel N harus diganti dengan N-1.
Contoh 1. Informasi dikumpulkan dari 100 kafe yang dipilih secara acak di suatu kota tertentu bahwa rata-rata jumlah karyawan di dalamnya adalah 10,5 dengan standar deviasi 4,6. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk jumlah pegawai kafe.
dimana adalah nilai kritis dari distribusi normal baku untuk tingkat signifikansi α = 0,05 .
Dengan demikian, interval kepercayaan 95% rata-rata jumlah pegawai kafe berkisar antara 9,6 hingga 11,4.
Contoh 2. Untuk sampel acak dari populasi 64 observasi, dihitung nilai total sebagai berikut:
jumlah nilai dalam observasi,
jumlah deviasi kuadrat nilai dari rata-rata 
.
Hitung interval kepercayaan 95% untuk ekspektasi matematis.
Mari kita hitung deviasi standarnya:
,
Mari kita hitung nilai rata-ratanya:
.
Kami mengganti nilai ke dalam ekspresi interval kepercayaan:
dimana adalah nilai kritis dari distribusi normal baku untuk tingkat signifikansi α = 0,05 .
Kita mendapatkan:
Jadi, interval kepercayaan 95% untuk ekspektasi matematis sampel ini berkisar antara 7,484 hingga 11,266.
Contoh 3. Untuk sampel populasi acak sebanyak 100 observasi, mean yang dihitung adalah 15,2 dan deviasi standar adalah 3,2. Hitung interval kepercayaan 95% untuk nilai yang diharapkan, lalu interval kepercayaan 99%. Jika kekuatan sampel dan variasinya tetap tidak berubah dan koefisien kepercayaan meningkat, apakah interval kepercayaan akan menyempit atau melebar?
Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam ekspresi interval kepercayaan:
dimana adalah nilai kritis dari distribusi normal baku untuk tingkat signifikansi α = 0,05 .
Kita mendapatkan:
.
Dengan demikian, interval kepercayaan 95% untuk rata-rata sampel ini berkisar antara 14,57 hingga 15,82.
Kami kembali mengganti nilai-nilai ini ke dalam ekspresi interval kepercayaan:
dimana adalah nilai kritis dari distribusi normal baku untuk tingkat signifikansi α = 0,01 .
Kita mendapatkan:
.
Dengan demikian, interval kepercayaan 99% untuk rata-rata sampel ini berkisar antara 14,37 hingga 16,02.
Seperti yang bisa kita lihat, dengan meningkatnya koefisien kepercayaan, nilai kritis dari distribusi normal standar juga meningkat, dan akibatnya, titik awal dan akhir interval terletak lebih jauh dari mean, dan dengan demikian interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis meningkat. .
Estimasi titik dan interval berat jenis
Bagian dari beberapa karakteristik sampel dapat diartikan sebagai perkiraan titik berat jenis P mempunyai karakteristik yang sama pada populasi umum. Jika nilai ini perlu dikaitkan dengan probabilitas, maka interval kepercayaan berat jenis harus dihitung P karakteristik dalam populasi dengan probabilitas P = 1 - α :
.
Contoh 4. Di beberapa kota ada dua kandidat A Dan B mencalonkan diri sebagai walikota. 200 penduduk kota disurvei secara acak, 46% di antaranya menjawab bahwa mereka akan memilih kandidat tersebut A, 26% - untuk kandidat B dan 28% tidak tahu siapa yang akan mereka pilih. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk proporsi penduduk kota yang mendukung kandidat tersebut A.
Untuk memulainya, mari kita ingat kembali definisi berikut:
Mari kita pertimbangkan situasi berikut. Misalkan varian populasi berdistribusi normal dengan ekspektasi matematis $a$ dan deviasi standar $\sigma$. Contoh berarti masuk pada kasus ini akan diperlakukan sebagai variabel acak. Ketika kuantitas $X$ terdistribusi normal, mean sampel juga akan terdistribusi normal dengan parameternya
Mari kita cari interval kepercayaan yang mencakup nilai $a$ dengan reliabilitas $\gamma $.
Untuk melakukan hal ini, kita memerlukan kesetaraan
Dari situ kita dapat
Dari sini kita dapat dengan mudah menemukan $t$ dari tabel nilai fungsi $Ф\left(t\right)$ dan, sebagai konsekuensinya, menemukan $\delta $.
Mari kita mengingat kembali tabel nilai fungsi $Ф\left(t\right)$:
Gambar 1. Tabel nilai fungsi $Ф\left(t\right).$
Integral keyakinan untuk memperkirakan ekspektasi matematis untuk $(\mathbf \sigma )$ yang tidak diketahui
Dalam hal ini, kita akan menggunakan nilai varians yang dikoreksi $S^2$. Mengganti $\sigma $ dengan $S$ pada rumus di atas, kita mendapatkan:
Contoh soal mencari selang kepercayaan
Contoh 1
Misalkan besaran $X$ berdistribusi normal dengan varian $\sigma =4$. Misalkan ukuran sampelnya adalah $n=64$ dan reliabilitasnya adalah $\gamma =0,95$. Temukan interval kepercayaan untuk memperkirakan ekspektasi matematis dari distribusi ini.
Kita perlu mencari interval ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.
Seperti yang kita lihat di atas
\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]
Parameter $t$ dapat ditemukan dari rumus
\[Ф\kiri(t\kanan)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]
Dari Tabel 1 kita menemukan bahwa $t=1,96$.
Misalkan CB X membentuk populasi umum dan misalkan β menjadi parameter CB X yang tidak diketahui. Jika estimasi statistik dalam * konsisten, maka semakin besar ukuran sampel, semakin akurat kita memperoleh nilai β. Namun, dalam praktiknya, kami tidak memiliki sampel yang sangat besar, sehingga kami tidak dapat menjamin akurasi yang lebih baik.
Misalkan b* adalah perkiraan statistik untuk c. Nilai |dalam* - dalam| disebut akurasi estimasi. Jelas bahwa keakuratannya adalah CB, karena β* adalah variabel acak. Mari kita tentukan bilangan positif kecil 8 dan mensyaratkan keakuratan perkiraan |в* - в| kurang dari 8, yaitu | di* - di |< 8.
Keandalan g atau probabilitas kepercayaan estimasi in oleh in * adalah probabilitas g dimana pertidaksamaan |in * - in|< 8, т. е.
Biasanya, keandalan g ditentukan terlebih dahulu, dan g dianggap sebagai angka yang mendekati 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).
Karena pertidaksamaan |di * - di|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:
Interval (dalam * - 8, dalam * + 5) disebut interval kepercayaan, yaitu interval kepercayaan mencakup parameter yang tidak diketahui dalam dengan probabilitas y. Perhatikan bahwa ujung interval kepercayaan bersifat acak dan bervariasi dari satu sampel ke sampel lainnya, sehingga lebih akurat untuk mengatakan bahwa interval (dalam * - 8, dalam * + 8) mencakup parameter yang tidak diketahui di, daripada di milik ini selang.
Membiarkan populasi diberikan oleh variabel acak X, terdistribusi menurut hukum normal, dan simpangan baku a diketahui. Yang tidak diketahui adalah ekspektasi matematis a = M (X). Diperlukan untuk mencari selang kepercayaan untuk a untuk keandalan tertentu y.
Rata-rata sampel
adalah perkiraan statistik untuk xr = a.
Dalil. Nilai acak xB berdistribusi normal jika X berdistribusi normal dan M(XB) = a,
A (XB) = a, dimana a = y/B (X), a = M (X). aku/aku
Interval kepercayaan untuk a berbentuk:
Kami menemukan 8.
Menggunakan rasio
dimana Ф(r) adalah fungsi Laplace, kita mempunyai:
P ( | XB - sebuah |<8} = 2Ф
tabel nilai fungsi Laplace kita cari nilai t.
Setelah ditunjuk
T, kita peroleh F(t) = g Karena g diberikan, maka oleh
Dari persamaan tersebut kami menemukan bahwa perkiraan tersebut akurat.
Artinya selang kepercayaan a berbentuk:
Diberikan sampel dari populasi X
| ng | Ke" | X2 | Xm |
| N. | n1 | n2 | nm |
n = U1 + ... + nm, maka selang kepercayaannya adalah:
Contoh 6.35. Tentukan selang kepercayaan untuk memperkirakan ekspektasi matematis a berdistribusi normal dengan reliabilitas 0,95, dengan mengetahui mean sampel Xb = 10,43, ukuran sampel n = 100 dan simpangan baku s = 5.
Mari kita gunakan rumusnya
Misalkan variabel acak X dari populasi berdistribusi normal, dengan memperhatikan bahwa varians dan deviasi standar s dari distribusi ini diketahui. Diperlukan untuk memperkirakan ekspektasi matematis yang tidak diketahui menggunakan mean sampel. Dalam hal ini, tugasnya adalah menemukan interval kepercayaan untuk ekspektasi matematis dengan reliabilitas b. Jika kita menentukan nilai probabilitas keyakinan (reliabilitas) b, maka kita dapat mencari probabilitas untuk masuk ke dalam interval ekspektasi matematis yang tidak diketahui dengan menggunakan rumus (6.9a):
dimana Ф(t) adalah fungsi Laplace (5.17a).
Hasilnya, kita dapat merumuskan algoritma untuk mencari batas interval kepercayaan ekspektasi matematis jika varians D = s 2 diketahui:
- Tetapkan nilai reliabilitas – b.
- Dari (6.14) nyatakan Ф(t) = 0,5× b. Pilih nilai t dari tabel fungsi Laplace berdasarkan nilai Ф(t) (lihat Lampiran 1).
- Hitung simpangan e menggunakan rumus (6.10).
- Tuliskan selang kepercayaan menggunakan rumus (6.12) sedemikian rupa sehingga dengan probabilitas b pertidaksamaan tersebut berlaku:
|
|
.Contoh 5.
Variabel acak X berdistribusi normal. Temukan interval kepercayaan untuk suatu estimasi dengan reliabilitas b = 0,96 dari ekspektasi matematis a yang tidak diketahui, jika diberikan:
1) simpangan baku umum s = 5;
2) rata-rata sampel;
3) ukuran sampel n = 49.
Dalam rumus (6.15) estimasi interval ekspektasi matematis A dengan keandalan b semua besaran kecuali t diketahui. Nilai t dapat dicari dengan menggunakan (6.14): b = 2Ф(t) = 0.96. (t) = 0,48.
Dengan menggunakan tabel di Lampiran 1 untuk fungsi Laplace Ф(t) = 0,48, carilah nilai yang sesuai t = 2,06. Karena itu, 
. Dengan mensubstitusi nilai e yang dihitung ke dalam rumus (6.12), Anda bisa mendapatkan interval kepercayaan: 30-1.47< a < 30+1,47.
Interval kepercayaan yang diperlukan untuk suatu estimasi dengan reliabilitas b = 0,96 dari ekspektasi matematis yang tidak diketahui adalah sama dengan: 28,53< a < 31,47.
