Kuliah: Garis berpotongan, sejajar dan bersilangan; tegak lurus garis

Garis berpotongan

Jika ada beberapa garis lurus pada suatu bidang, cepat atau lambat garis-garis tersebut akan berpotongan sembarang, tegak lurus, atau sejajar. Mari kita lihat setiap kasusnya.

Garis-garis yang paling sedikit mempunyai satu titik potong disebut berpotongan.

Anda mungkin bertanya mengapa setidaknya satu garis lurus tidak dapat memotong garis lurus lainnya dua atau tiga kali. Kamu benar! Tapi garis lurus bisa saling berhimpitan. Dalam hal ini, akan ada titik persekutuan yang jumlahnya tak terhingga.

Paralelisme

Paralel Anda dapat menyebutkan garis-garis yang tidak akan pernah berpotongan, bahkan pada jarak tak terhingga.

Dengan kata lain, paralel adalah mereka yang tidak memiliki satu titik kesamaan. Perlu diketahui bahwa definisi ini hanya berlaku jika garis-garis tersebut berada pada bidang yang sama; jika tidak mempunyai titik-titik yang sama, karena berada pada bidang yang berbeda, maka garis-garis tersebut dianggap berpotongan.

Contoh garis sejajar dalam kehidupan: dua sisi berlawanan pada layar monitor, garis pada buku catatan, serta berbagai bagian benda lainnya yang berbentuk persegi, persegi panjang, dan lainnya.

Jika ingin menunjukkan secara tertulis bahwa suatu garis sejajar dengan garis lainnya, digunakan notasi a||b. Entri ini mengatakan bahwa garis a sejajar dengan garis b.

Saat mempelajari topik ini, penting untuk memahami satu pernyataan lagi: melalui suatu titik tertentu pada bidang yang tidak termasuk dalam suatu garis tertentu, seseorang dapat menggambar satu garis sejajar. Tapi perhatikan, lagi-lagi koreksinya ada di pesawat. Jika kita memperhatikan ruang tiga dimensi, maka kita dapat menggambar garis-garis yang jumlahnya tak terhingga yang tidak akan berpotongan, melainkan akan berpotongan.

Pernyataan yang dijelaskan di atas disebut aksioma garis sejajar.

Sifat tegak lurus

Jalur langsung hanya dapat dipanggil jika tegak lurus, jika keduanya berpotongan dengan sudut 90 derajat.

Di ruang angkasa, melalui suatu titik tertentu pada suatu garis, dapat ditarik garis tegak lurus yang jumlahnya tak terhingga. Namun, jika kita berbicara tentang sebuah bidang, maka melalui satu titik pada sebuah garis kita dapat menggambar satu garis tegak lurus.

Garis lurus bersilang. Garis potong

Jika beberapa garis berpotongan di suatu titik dengan sudut sembarang, maka garis tersebut dapat disebut kawin silang.

Setiap garis yang berpotongan mempunyai sudut vertikal dan sudut yang berdekatan.

Jika sudut-sudut yang dibentuk oleh dua garis lurus yang berpotongan mempunyai satu sisi yang sama, maka sudut-sudut tersebut disebut berdekatan:

Sudut-sudut yang berdekatan berjumlah 180 derajat.

Dalil. Jika suatu garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang bukan pada garis pertama, maka kedua garis tersebut berpotongan. Tanda persilangan garis Bukti. Misalkan garis a terletak pada bidang tersebut, dan garis b memotong bidang tersebut di titik B, yang bukan termasuk garis a. Jika garis a dan b terletak pada bidang yang sama, maka titik B juga terletak pada bidang tersebut. Karena hanya ada satu bidang yang melalui garis tersebut dan terdapat sebuah titik di luar garis tersebut, maka bidang tersebut pastilah sebuah bidang. Namun garis lurus b akan terletak pada bidang tersebut, yang bertentangan dengan kondisi tersebut. Oleh karena itu, garis lurus a dan b tidak terletak pada bidang yang sama, yaitu. membastar.

Berapa banyak pasang garis miring yang terdapat rusuk prisma segitiga beraturan? Penyelesaian: Untuk setiap sisi alasnya terdapat tiga sisi yang berpotongan dengannya. Untuk setiap rusuk lateral terdapat dua rusuk yang berpotongan dengannya. Oleh karena itu, jumlah pasangan garis miring yang diperlukan adalah Latihan 5

Ada berapa pasang garis miring yang mempunyai rusuk prisma segi enam beraturan? Penyelesaian: Setiap tepi alas ikut serta dalam 8 pasang garis bersilangan. Setiap tepi lateral berpartisipasi dalam 8 pasang garis bersilangan. Oleh karena itu, jumlah pasangan garis miring yang diperlukan adalah Latihan 6

Posisi relatif dua garis dalam ruang.

Letak relatif dua garis dalam ruang dicirikan oleh tiga kemungkinan berikut.

Garis terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan - garis sejajar.

Garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan mempunyai satu titik yang sama - garis-garis tersebut berpotongan.

Di ruang angkasa, dua garis lurus juga dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga tidak terletak pada bidang apa pun. Garis seperti itu disebut miring (tidak berpotongan atau sejajar).

CONTOH:

SOAL 434 Segitiga ABC terletak pada sebuah bidang, a

Segitiga ABC terletak pada bidang tersebut, tetapi titik D tidak terletak pada bidang tersebut. Titik M, N dan K masing-masing merupakan titik tengah ruas DA, DB dan DC

Dalil. Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Pada Gambar. 26 garis lurus a terletak pada bidang, dan garis lurus c berpotongan di titik N. Garis a dan c berpotongan.

Dalil. Melalui masing-masing dua garis yang berpotongan hanya ada satu bidang yang sejajar dengan garis lainnya.

Pada Gambar. 26 garis a dan b berpotongan. Digambar garis lurus dan digambar bidang (alfa) || b (pada bidang B (beta) ditunjukkan garis lurus a1 || b).

Teorema 3.2.

Dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.

Properti ini disebut transitivitas paralelisme garis.

Bukti

Misalkan garis a dan b sejajar secara bersamaan dengan garis c. Misalkan a tidak sejajar dengan b, maka garis a memotong garis b di suatu titik A, yang tidak terletak pada garis c dengan syarat. Akibatnya, kita mempunyai dua garis a dan b, melalui titik A, tidak terletak pada garis c tertentu, dan sekaligus sejajar dengannya. Hal ini bertentangan dengan aksioma 3.1. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 3.3.

Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya satu dan hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut.

Bukti

Misalkan (AB) adalah suatu garis, dan C adalah suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut. Garis AC membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Poin B terletak pada salah satunya. Sesuai dengan aksioma 3.2, sudut (ACD) dari sinar C A yang sama dengan sudut (CAB) dapat didepositkan ke setengah bidang lainnya. ACD dan CAB sejajar dalam melintang dengan garis AB dan CD serta garis potong (AC) Maka berdasarkan Teorema 3.1 (AB) || (CD). Memperhatikan aksioma 3.1. Teorema tersebut telah terbukti.

Sifat-sifat garis sejajar diberikan oleh teorema berikut, kebalikan dari Teorema 3.1.

Teorema 3.4.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang berpotongan adalah sama besar.

Bukti

Misalkan (AB) || (CD). Misalkan ACD ≠ BAC. Melalui titik A kita tarik garis lurus AE sehingga EAC = ACD. Namun kemudian, berdasarkan Teorema 3.1 (AE ) || (CD), dan dengan syarat – (AB) || (CD). Sesuai dengan Teorema 3.2 (AE ) || (AB). Hal ini bertentangan dengan Teorema 3.3, yang menyatakan bahwa melalui titik A yang tidak terletak pada garis CD, dapat ditarik suatu garis unik yang sejajar dengannya. Teorema tersebut telah terbukti.

Gambar 3.3.1.

Berdasarkan teorema ini, sifat-sifat berikut dapat dibenarkan dengan mudah.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°.

Akibat wajar 3.2.

Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.

Konsep paralelisme memungkinkan kita untuk memperkenalkan konsep baru berikut ini, yang akan diperlukan nanti di Bab 11.

Kedua sinar tersebut disebut sama-sama diarahkan, jika ada garis yang, pertama, tegak lurus terhadap garis tersebut, dan kedua, sinar-sinarnya terletak pada setengah bidang yang sama terhadap garis tersebut.

Kedua sinar tersebut disebut diarahkan secara berlawanan, jika masing-masingnya berarah sama dengan sinar yang saling melengkapi.

Kami akan menunjukkan sinar AB dan CD yang arahnya sama: dan sinar AB dan CD yang arahnya berlawanan -

Gambar 3.3.2.

Tanda persilangan garis.

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Kasus saling susunan garis dalam ruang.

1. Ada empat kasus susunan dua garis dalam ruang yang berbeda:

   
   

   – persimpangan lurus, mis. jangan berbaring di bidang yang sama;

   – garis lurus berpotongan, mis. terletak pada bidang yang sama dan memiliki satu titik yang sama;

   – garis sejajar, mis. berbaring pada bidang yang sama dan tidak berpotongan;

   - garisnya bertepatan.

   
   

   Mari kita peroleh karakteristik dari kasus-kasus posisi relatif garis yang diberikan oleh persamaan kanonik

   
   
   Di mana — titik milik garis Dan oleh karena itu, a— vektor arah (Gbr. 4.34). Mari kita nyatakan denganvektor yang menghubungkan titik-titik tertentu.
   
   

   Karakteristik berikut sesuai dengan kasus posisi relatif garis yang tercantum di atas:

   
   

   – vektor lurus dan bersilangan tidak sebidang;

   
   

   – garis lurus dan vektor-vektor yang berpotongan adalah sebidang, tetapi vektor-vektor tersebut tidak segaris;

   
   

   – vektor-vektor lurus dan sejajar adalah segaris, tetapi vektor-vektor tersebut tidak segaris;

   
   

   – garis lurus dan vektor-vektor yang berhimpitan adalah segaris.

   
   

   Kondisi ini dapat dituliskan menggunakan sifat-sifat hasil kali campuran dan hasil kali vektor. Ingatlah bahwa hasil kali campuran vektor-vektor dalam sistem koordinat persegi panjang ditemukan dengan rumus:

   
   
   dan determinan perpotongannya adalah nol, dan baris kedua dan ketiganya tidak proporsional, yaitu.
   

   – garis lurus dan sejajar determinan kedua dan ketiga adalah proporsional, yaitu dan dua garis pertama tidak proporsional, mis.

   
   

   – garis lurus dan semua garis determinannya berhimpitan dan sebanding, yaitu

Bukti uji garis miring.

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang bukan pada garis pertama, maka kedua garis tersebut berpotongan.

Bukti

Misalkan a milik α, b berpotongan α = A, A bukan milik a (Gambar 2.1.2). Misalkan garis a dan b tidak berpotongan, yaitu berpotongan. Lalu terdapat sebuah bidang β dimana garis a dan b berada. Pada bidang β ini terletak sebuah garis a dan sebuah titik A. Karena garis a dan titik A di luarnya mendefinisikan sebuah bidang tunggal, maka β = α. Tetapi b menggerakkan β dan b bukan milik α, oleh karena itu persamaan β = α tidak mungkin.

Jika dua garis dalam ruang mempunyai titik persekutuan, maka kedua garis tersebut dikatakan berpotongan. Pada gambar berikut, garis a dan b berpotongan di titik A. Garis a dan c tidak berpotongan.

Dua garis lurus mana pun hanya mempunyai satu titik persekutuan atau tidak mempunyai titik persekutuan.

Garis sejajar

Dua garis dalam ruang disebut sejajar jika terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan. Untuk menunjukkan garis sejajar, gunakan ikon khusus - ||.

Notasi a||b berarti garis a sejajar dengan garis b. Pada gambar di atas, garis a dan c sejajar.

Teorema Garis Sejajar

Melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, terdapat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu dan, terlebih lagi, hanya satu garis.

Garis bersilang

Dua garis yang terletak pada bidang yang sama dapat berpotongan atau sejajar. Namun di luar angkasa, dua garis lurus belum tentu termasuk dalam bidang ini. Mereka dapat ditempatkan di dua bidang berbeda.

Jelaslah bahwa garis-garis yang terletak pada bidang yang berbeda tidak berpotongan dan bukan merupakan garis sejajar. Dua garis yang tidak terletak pada bidang yang sama disebut melintasi garis lurus.

Gambar berikut menunjukkan dua garis lurus a dan b yang berpotongan dan terletak pada bidang berbeda.

Uji dan teorema garis miring

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Teorema garis miring: melalui masing-masing dua garis yang berpotongan terdapat sebuah bidang yang sejajar dengan garis lainnya, dan terlebih lagi hanya satu bidang.

Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kemungkinan kasus posisi relatif garis dalam ruang. Hanya ada tiga dari mereka.

1. Garis berpotongan. (Artinya, mereka hanya mempunyai satu kesamaan.)

2. Garis sejajar. (Artinya, mereka tidak memiliki titik yang sama dan terletak pada bidang yang sama.)

3. Garis lurus bersilangan. (Artinya, mereka berada di bidang yang berbeda.)