Sasaran:
- Mensistematisasikan dan menggeneralisasi pengetahuan dan keterampilan pada topik: Penyelesaian persamaan derajat ketiga dan keempat.
- Perdalam pengetahuan Anda dengan menyelesaikan sejumlah tugas, beberapa di antaranya masih asing baik jenis maupun metode penyelesaiannya.
- Membentuk minat terhadap matematika melalui pembelajaran bab-bab baru matematika, menumbuhkan budaya grafis melalui konstruksi grafik persamaan.
Jenis pelajaran: digabungkan.
Peralatan: proyektor grafis.
Visibilitas: tabel "Teorema Viete".
Selama kelas
1. Penghitungan lisan
a) Berapakah sisa pembagian polinomial p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 dengan binomial x-a?
b) Berapa banyak akar persamaan kubik yang dapat dimiliki?
c) Bagaimana cara menyelesaikan persamaan derajat ketiga dan keempat?
d) Jika b bilangan genap pada persamaan kuadrat, berapakah nilai D dan x 1;
2. Kerja mandiri (berkelompok)
Tulis persamaan jika akar-akarnya diketahui (jawaban tugas diberi kode) “Teorema Vieta” digunakan
1 kelompok
Akar: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6
Buatlah persamaan:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d= -12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(persamaan ini kemudian diselesaikan oleh kelompok 2 di papan tulis)
Larutan . Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi angka 36.
p = ±1;±2;±3;±4;±6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Angka 1 memenuhi persamaan, maka =1 adalah akar persamaan. Menurut skema Horner
hal 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36
hal 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2
hal 2 (x) = x 2 -3x -18=0
x 3 = -3, x 4 =6
Jawaban: 1;-2;-3;6 jumlah akar 2 (P)
kelompok ke-2
Akar: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5
Buatlah persamaan:
B=-1+2+2+5-8; b= -8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10= -4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8+15+4x-20=0 (kelompok 3 menyelesaikan persamaan ini di papan tulis)
p = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.
hal 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
р 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
hal 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20
hal 3 (2) = 8 -36+48 -20=0
p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5
Jawaban: -1;2;2;5 jumlah akar 8(P)
3 kelompok
Akar: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3
Buatlah persamaan:
=-1+1-2+3=1;В=-1
=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(kelompok 4 menyelesaikan persamaan ini nanti di papan tulis)
Larutan. Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi angka 6.
p = ±1;±2;±3;±6
hal 4 (1)=1-1-7+1+6=0
hal 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) = -1+7-6=0
p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3
Jawaban: -1;1;-2;3 Jumlah akar 1(O)
4 kelompok
Akar: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3
Buatlah persamaan:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; =-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36
x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(persamaan ini kemudian diselesaikan oleh kelompok 5 di papan tulis)
Larutan. Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi angka -36
p = ±1;±2;±3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
hal 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0
hal 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0
hal 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
Jawaban: -2; -2; -3; 3 Jumlah akar-4 (F)
5 kelompok
Akar: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4
Tulis persamaan
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(persamaan ini kemudian diselesaikan oleh kelompok 6 di papan tulis)
Larutan . Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi angka 24.
p = ±1;±2;±3
hal 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0
hal 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O
hal 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0
Jawaban : -1;-2;-3;-4 jumlah-10 (I)
6 kelompok
Akar: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8
Tulis persamaan
B=1+1-3+8=7;b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24= -43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43X - 24 = 0 (persamaan ini kemudian diselesaikan oleh kelompok 1 di papan tulis)
Larutan . Kami mencari akar bilangan bulat di antara pembagi angka -24.
hal 4 (1)=1-7-13+43-24=0
hal 3 (1)=1-6-19+24=0
hal 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0
x 3 =-3, x 4 =8
Jawaban : 1;1;-3;8 jumlah 7 (L)
3. Menyelesaikan persamaan dengan parameter
1. Selesaikan persamaan x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; jika salah satu akarnya sama dengan (-1)
Tulis jawabannya dalam urutan menaik
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
Dengan syarat x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0
x 2 = -1-4 = -5;
x 3 = -1 + 4 = 3;
Jawaban: - 1; 3
Dalam urutan menaik: -5;-1;3. (b N S)
2. Temukan semua akar polinomial x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, jika sisa pembagiannya menjadi binomial x-1 dan x +2 sama.
Penyelesaian: R=P 3 (1) = P 3 (-2)
P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a
P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a
x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6(x-3) = 0
(x-3)(x 2 -6) = 0
3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0
sebuah=0; x=0; x=1
a>0; x=1; x=Sebuah ± √Sebuah
2. Tulis persamaannya
1 kelompok. Akar: -4; -2; 1; 7;
kelompok ke-2. Akar: -3; -2; 1; 2;
3 kelompok. Akar: -1; 2; 6; 10;
4 kelompok. Akar: -3; 2; 2; 5;
5 kelompok. Akar: -5; -2; 2; 4;
6 kelompok. Akar: -8; -2; 6; 7.
Pada artikel ini kita akan belajar menyelesaikan persamaan biquadratic.
Jadi, jenis persamaan apa yang disebut biquadratic?
Semua persamaan bentuk ah 4+
bx
2
+
C
= 0
, Di mana sebuah ≠ 0, yang berbentuk persegi terhadap x 2, dan disebut bikuadrat persamaan. Seperti yang bisa kamu lihat, entri ini sangat mirip dengan entri persamaan kuadrat, jadi kita akan menyelesaikan persamaan bikuadrat menggunakan rumus yang kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Hanya saja kita perlu memasukkan variabel baru, yaitu kita menyatakannya x 2 variabel lain, misalnya pada atau T (atau huruf alfabet Latin lainnya).
Misalnya, mari kita selesaikan persamaannya x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.
Mari kita tunjukkan x 2
melalui pada
(x 2 = kamu
) dan kita mendapatkan persamaan y 2 + 4y – 5 = 0.
Seperti yang Anda lihat, Anda sudah tahu cara menyelesaikan persamaan tersebut.
Kami memecahkan persamaan yang dihasilkan:
D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.
kamu 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,
kamu 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.
Mari kita kembali ke variabel kita x.
Kami menemukan bahwa x 2 = ‒ 5 dan x 2 = 1.
Kita perhatikan bahwa persamaan pertama tidak memiliki solusi, tetapi persamaan kedua memberikan dua solusi: x 1 = 1 dan x 2 = ‒1. Berhati-hatilah agar tidak kehilangan akar negatifnya (paling sering mereka mendapat jawaban x = 1, tetapi ini tidak benar).
Menjawab:- 1 dan 1.
Untuk lebih memahami topik ini, mari kita lihat beberapa contoh.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.
Misalkan x 2 = y, maka 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.
D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.
kamu 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, kamu 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1.5.
Maka x 2 = 1 dan x 2 = 1,5.
Kita peroleh x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5.
Menjawab: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.
Contoh 2. Selesaikan persamaannya 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.
2kamu 2 + 5kamu + 2 =0.
D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.
y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.
Maka x 2 = - 2 dan x 2 = - 0,5. Harap dicatat bahwa tidak satupun dari persamaan ini memiliki solusi.
Menjawab: tidak ada solusi.
Persamaan bikuadrat tidak lengkap- itu adalah kapan B = 0 (kapak 4 + c = 0) atau C = 0
(ax 4 + bx 2 = 0) diselesaikan seperti persamaan kuadrat tidak lengkap.
Contoh 3. Selesaikan persamaannya x 4 ‒ 25x 2 = 0
Mari kita faktorkan, keluarkan x 2 dari tanda kurung dan kemudian x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.
Kita peroleh x 2 = 0 atau x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.
Maka kita memiliki akar 0; 5 dan – 5.
Menjawab: 0; 5; – 5.
Contoh 4. Selesaikan persamaannya 5x 4 ‒ 45 = 0.
x 2 = ‒ √9 (tidak mempunyai penyelesaian)
x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.
Seperti yang Anda lihat, jika Anda bisa menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda juga bisa menyelesaikan persamaan bikuadrat.
Jika Anda masih memiliki pertanyaan, daftarlah ke pelajaran saya. Guru Valentina Galinevskaya.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumber aslinya.
Konsep persamaan dua variabel pertama kali dibentuk pada mata pelajaran matematika kelas 7. Masalah-masalah khusus dipertimbangkan, proses penyelesaiannya mengarah pada persamaan jenis ini.
Namun, mereka dipelajari secara dangkal. Program ini berfokus pada sistem persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui.
Hal ini menjadi alasan mengapa masalah di mana pembatasan tertentu dikenakan pada koefisien persamaan praktis tidak dipertimbangkan. Kurangnya perhatian diberikan pada metode untuk menyelesaikan tugas seperti "Memecahkan persamaan dalam bilangan asli atau bilangan bulat". Diketahui, materi Ujian Negara Bersatu dan tiket ujian masuk seringkali memuat latihan-latihan seperti itu.
Persamaan manakah yang didefinisikan sebagai persamaan dengan dua variabel?
xy = 8, 7x + 3y = 13 atau x 2 + y = 7 adalah contoh persamaan dengan dua variabel.
Perhatikan persamaan x – 4y = 16. Jika x = 4 dan y = -3, maka persamaan tersebut benar. Artinya pasangan nilai tersebut merupakan solusi dari persamaan tersebut.
Penyelesaian persamaan apa pun dengan dua variabel adalah himpunan pasangan bilangan (x; y) yang memenuhi persamaan tersebut (mengubahnya menjadi persamaan sejati).
Seringkali persamaan tersebut diubah sehingga dapat digunakan untuk memperoleh sistem untuk menemukan yang tidak diketahui.
Contoh
Selesaikan persamaan: xy – 4 = 4x – y.
Dalam contoh ini, Anda dapat menggunakan metode faktorisasi. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengelompokkan suku-suku tersebut dan mengeluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:
xy – 4 = 4x – kamu;
xy – 4 – 4x + kamu = 0;
(xy + y) – (4x + 4) = 0;
kamu(x + 1) – 4(x + 1) = 0;
(x + 1)(kamu - 4) = 0.
Jawaban: Semua pasangan (x; 4), dengan x adalah sembarang bilangan rasional dan (-1; y), dengan y adalah sembarang bilangan rasional.
Selesaikan persamaan: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).
Langkah pertama adalah pengelompokan.
4x 2 + kamu 2 + 2 = 4x – 2kamu;
4x 2 + kamu 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;
(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.
Dengan menerapkan rumus selisih kuadrat, kita memperoleh:
(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.
Saat menjumlahkan dua ekspresi non-negatif, nol hanya akan dihasilkan jika 2x – 1 = 0 dan y + 1 = 0. Sebagai berikut: x = ½ dan y = -1.
Jawaban: (1/2; -1).
Selesaikan persamaan (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.
Adalah rasional untuk menerapkan metode estimasi dengan menyorot seluruh kotak dalam tanda kurung.
((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.
Dalam hal ini (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, dan (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Maka ruas kiri persamaan selalu paling sedikit 4. Kesetaraan dimungkinkan dalam kasus ini
(x - 3) 2 + 1 = 1 dan (y + 5) 2 + 4 = 4. Jadi, x = 3, y = -5.
Jawaban: (3; -5).
Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.
Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut:
x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Jika ruas kanan persamaan dibagi 5, maka sisanya adalah 3. Maka x 2 tidak habis dibagi 5. Diketahui kuadrat suatu bilangan yang tidak habis dibagi 5 harus menyisakan sisa 1 atau 4. Artinya persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Jawaban: Tidak ada solusi.
Jangan berkecil hati dengan sulitnya menemukan solusi yang tepat untuk persamaan dua variabel. Ketekunan dan latihan pasti akan membuahkan hasil.
Kami menawarkan Anda kenyamanan gratis kalkulator online untuk menyelesaikan persamaan kuadrat. Anda dapat dengan cepat mendapatkan dan memahami cara penyelesaiannya menggunakan contoh yang jelas.
Untuk menghasilkan menyelesaikan persamaan kuadrat secara online, pertama-tama bawa persamaan tersebut ke bentuk umumnya:
kapak 2 + bx + c = 0
Isi kolom formulir yang sesuai:
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat
| Cara menyelesaikan persamaan kuadrat: | Jenis akar: |
|
1.
Kurangi persamaan kuadrat ke bentuk umum: Tampilan umum Ax 2 +Bx+C=0 Contoh: 3x - 2x 2 +1=-1 Dikurangi menjadi -2x 2 +3x+2=0 2.
Temukan diskriminan D. 3.
Menemukan akar persamaan. |
1.
Akar nyata. Lebih-lebih lagi. x1 tidak sama dengan x2 Situasi terjadi ketika D>0 dan A tidak sama dengan 0. 2.
Akar aslinya sama. x1 sama dengan x2 3.
Dua akar kompleks. x1=d+ei, x2=d-ei, dimana i=-(1) 1/2 5.
Persamaan tersebut memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. 6.
Persamaan tersebut tidak memiliki solusi. |
Untuk mengkonsolidasikan algoritme, berikut beberapa lagi contoh ilustratif penyelesaian persamaan kuadrat.
Contoh 1. Menyelesaikan persamaan kuadrat biasa dengan akar real berbeda.
x 2 + 3x -10 = 0
Dalam persamaan ini
SEBUAH=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
Kami akan menyatakan akar kuadrat sebagai angka 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5
Untuk memeriksanya, mari kita gantikan:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Contoh 2. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan akar real yang cocok.
x 2 – 8x + 16 = 0
SEBUAH=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Mari kita gantikan
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Contoh 3. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan akar kompleks.
13x 2 – 4x + 1 = 0
SEBUAH=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminannya negatif – akarnya rumit.
X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, dimana I adalah akar kuadrat dari -1
Berikut sebenarnya semua kemungkinan penyelesaian persamaan kuadrat.
Kami berharap itu milik kami kalkulator daring akan sangat berguna bagi Anda.
Kalau materinya bermanfaat, bisa
