Menggunakan kalkulator dalam pengajaran matematika dasar
Artikel ini membahas perlu atau tidaknya penggunaan kalkulator dalam pengajaran matematika di kelas dasar dan cara menggunakannya dengan bijak.
"Pertarungan" atas penggunaan kalkulator
Beberapa orang mengatakan kalkulator memungkinkan anak-anak berkonsentrasi pada pemahaman dan konsep matematika daripada menghabiskan waktu pada perhitungan yang membosankan. Mereka mengatakan kalkulator membantu mengembangkan kemampuan berhitung, dan membuat siswa lebih percaya diri dengan kemampuan matematika mereka.
Yang lain menentang penggunaan kalkulator dalam pengajaran matematika tingkat rendah, dengan mengatakan bahwa hal itu membuat anak-anak tidak mempelajari fakta-fakta dasar mereka, menghalangi siswa untuk menemukan dan memahami konsep-konsep matematika yang mendasarinya dan malah mendorong mereka untuk mencoba operasi yang berbeda secara acak tanpa memahami apa yang mereka lakukan.
Mereka mengatakan kalkulator menghalangi siswa untuk mendapatkan manfaat dari salah satu alasan terpenting dalam belajar matematika: untuk melatih dan mendisiplinkan pikiran dan untuk meningkatkan penalaran logis.
ADA keseimbangan
Menurut pendapat saya, kalkulator dapat digunakan dalam pengajaran dengan cara yang baik atau buruk - semuanya tergantung pada pendekatan guru. Kalkulator itu sendiri tidak buruk dan tidak baik - ini hanya sebuah alat. Kalkulator itu sendiri sering digunakan dalam masyarakat saat ini, jadi siswa harus belajar menggunakannya pada saat mereka menyelesaikan sekolah.
Pada saat yang sama, anak-anak HARUS mempelajari fakta-fakta dasar mereka, mampu melakukan perhitungan mental, dan menguasai pembagian panjang dan algoritma kertas-pensil dasar lainnya. Matematika adalah bidang studi yang dibangun berdasarkan fakta-fakta yang telah ditetapkan sebelumnya. Seorang anak yang tidak mengetahui fakta dasar perkalian (dan pembagian) akan kesulitan mempelajari pemfaktoran, bilangan prima, penyederhanaan pecahan dan operasi pecahan lainnya, sifat distributif, dll. dll. Algoritme dasar aritmatika merupakan dasar yang diperlukan untuk memahami operasi terkait dengan polinomial dalam aljabar. Menguasai pembagian jauh sebelum memahami bagaimana pecahan berhubungan dengan desimal berulang (tidak berakhir), yang kemudian membuka jalan untuk memahami bilangan irasional dan bilangan real. Semuanya terhubung bersama!
Oleh karena itu, disarankan untuk membatasi penggunaan kalkulator di kelas bawah, sampai anak mengetahui fakta dasarnya dan dapat menjumlahkan, mengurangi, mengalikan, dan membagi bilangan genap besar dengan pensil & kertas. INI, menurut pendapat saya, membangun pengertian angka, seperti halnya perhitungan mental.
Ini tidak berarti bahwa Anda tidak dapat menggunakan kalkulator sesekali di kelas dasar untuk proyek-proyek khusus, ketika mengajarkan konsep-konsep tertentu, atau untuk bersenang-senang. Kalkulator dapat digunakan misalnya dalam proyek-proyek sains atau geografi, untuk mengeksplorasi konsep-konsep baru tertentu, untuk beberapa orang permainan angka, atau memeriksa pekerjaan rumah. Lihat di bawah untuk beberapa ide.
Pembahasan di sini tidak berlaku untuk kalkulator grafis di SMA. Saya sangat menyukai penggunaan kalkulator grafis atau perangkat lunak grafik ketika mempelajari grafik dan kalkulus. Meski begitu, kita tentu perlu mempelajari ide dasar bagaimana pembuatan grafik dilakukan di atas kertas.
Hal-hal yang perlu diingat saat menggunakan kalkulator
Ketika kalkulator digunakan dengan lebih bebas, hal-hal berikut harus diperhatikan:
- Kalkulatornya adalah a alat untuk melakukan perhitungan. Begitu juga dengan pikiran manusia, kertas & pensil. Anak-anak harus diajari Kapan untuk menggunakan kalkulator dan kapan komputasi mental (atau bahkan kertas & pensil) lebih efektif atau tepat. Memilih “alat” yang tepat adalah bagian dari proses pemecahan masalah yang efektif.
- Hal ini sangat penting bagi pelajar belajar bagaimana memperkirakan hasilnya sebelum melakukan perhitungan. Sangat mudah untuk membuat kesalahan saat memasukkan angka ke dalam kalkulator. Seorang siswa tidak boleh belajar mengandalkan kalkulator tanpa memeriksa apakah jawabannya masuk akal.
- Kalkulator tidak boleh digunakan untuk mencoba secara acak semua kemungkinan operasi dan memeriksa mana yang menghasilkan jawaban yang benar. Sangat penting bagi siswa untuk mempelajari dan memahami berbagai operasi matematika sehingga mereka tahu KAPAN harus menggunakan operasi matematika yang mana — dan hal ini berlaku baik perhitungan sebenarnya dilakukan secara mental, di atas kertas, atau dengan kalkulator.
Ide untuk penggunaan kalkulator dalam matematika dasar
Jika Anda menggunakan ide-ide ini, pastikan anak-anak tidak mendapatkan gagasan bahwa kalkulator menghilangkan kebutuhan untuk belajar matematika mental. Kalkulator dapat berfungsi sebagai alat untuk membiarkan anak-anak bereksplorasi dan mengamati, namun setelah itu guru harus menjelaskan konsep, memberikan justifikasi. aturan matematika, dan gabungkan semuanya.
- Anak TK dan kelas satu dapat mengeksplorasi angka dengan menambahkan 1 berulang kali(yang dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menekan 1 + 1 = lalu menekan tombol = berulang kali) atau mengurangi 1 berulang kali. Amati wajah mereka ketika mencapai angka negatif! Atau, biarkan mereka menyelidiki apa yang terjadi pada sebuah angka ketika Anda menambahkan nol ke dalamnya.
- Teka-teki pola kalkulator: Ini merupakan perluasan dari ide di atas, dimana anak-anak kelas satu hingga tiga menjumlahkan atau mengurangi bilangan yang sama berulang kali menggunakan kalkulator. Anak-anak akan mengamati pola yang muncul ketika Anda menjumlahkan, katakanlah, 2, 5, 10, atau 100 berulang kali. Misalnya, mereka dapat memulai dari 17 dan menambahkan 10 berulang kali atau memulai dari 149 dan mengurangi 10 berulang kali. Ide lainnya adalah membiarkan anak membuat “puzzle pola” sendiri, yaitu rangkaian angka dengan pola yang ada beberapa angka yang dihilangkan, misalnya 7, 14, __, __, 35, __, 49. Kegiatan tersebut dapat berhubungan dengan ide tersebut. perkalian dengan sangat mudah.
- Aktivitas nilai tempat dengan kalkulator : Siswa membuat bilangan dengan kalkulator, misalnya:
Buatlah bilangan tiga angka dengan angka 6 di tempat puluhan; ATAU Buatlah bilangan empat digit yang lebih besar dari 3.500 dengan empat angka sebagai pengganti satuan; ATAU Buatlah bilangan empat digit dengan angka 3 di tempat puluhan dan 9 di tempat ratusan; dll.
Setelah itu guru menuliskan beberapa angka di papan tulis dan mendiskusikan persamaan angka-angka yang dibuat oleh siswa, seperti: angka-angka tersebut semuanya enam puluh sesuatu. - Tuliskan angka satu juta di papan tulis. Mintalah siswa untuk memilih angka yang akan mereka tambahkan berulang kali dengan kalkulator untuk mencapai satu juta dalam waktu kelas yang wajar. Jika mereka memilih angka-angka kecil, seperti 68 atau 125, mereka tidak akan mencapainya! Hal ini dapat mengajarkan anak-anak betapa besarnya angka satu juta.
- Saat memperkenalkan pi, mintalah siswa mengukur keliling dan diameter beberapa benda berbentuk lingkaran, dan menghitung perbandingannya dengan kalkulator (yang menghemat waktu dan membantu tetap fokus pada konsep).
Penggunaan Kalkulator Menjadi Inti dari Pengajaran yang Baik - sebuah artikel oleh Susan Ray; tidak lagi daring
Komentar
Saya mengajar di sekolah yang sangat kecil dan saat ini saya mengajar Aljabar 1, sains kelas 8, dan kemudian Fisika kepada para senior dan saya memiliki kelompok kecil yang telah menyelesaikan kalkulus sekolah menengah atas dan kami sedang mengerjakan beberapa Aljabar Linier. Saya sendiri pernah melakukannya gelar Magister Fisika.Sebelum saya membaca beberapa postingan ini, saya merasa bahwa saya adalah seorang anti-kalkulator yang sangat fanatik, namun sekarang saya merasa saya sudah berada di tengah-tengah jalan.
Komentar tentang mengerjakan akar kuadrat di atas kertas bagus. Tidak, kita tidak perlu tahu bagaimana melakukannya lagi dengan presisi yang baik. Namun, saya sangat ingin semua siswa saya dapat memberi tahu Anda di antara dua angka tersebut. Contoh: 8
Baru tahun lalu saya menemukan cara memasukkan data ke dalam TI-83 dan mengeluarkan mean dan deviasi standarnya. Dalam konteks kelas Fisika, saya tidak ingin menghabiskan banyak waktu pada hal-hal yang seharusnya mereka pelajari di kelas Statistika. Namun jika kalkulator melakukannya dengan mudah, maka saya dapat dengan lembut memperkenalkan konsep tersebut dan berharap bahwa awalnya paparan telah mempersiapkan mereka untuk apa yang perlu mereka pelajari dalam Statistik.Namun, di Aljabar 1, saya tidak mengizinkan siswa menggunakan kalkulator sama sekali. Dan, di sekolah saya, saya menemukan bahwa sebagian besar anak datang ke kursus saya tanpa kalkulator atau kecenderungan untuk menggunakannya. Saya rasa itulah ikhtisar dasar tentang matematika dalam Aljabar 1 seharusnya: 80% angka harus menggunakan informasi dasar pada tabel perkalian 12x12 yang harus dihafal oleh anak-anak. Dan 5% terakhir adalah hal-hal yang memerlukan kalkulator.
Menurut pendapat saya, Anda mempelajari banyak hal tentang angka ketika Anda harus memikirkannya di kepala Anda. Jika kamu ingin mengerjakan faktor prima dari 357, kamu bisa mulai dengan gagasan bahwa jumlahnya kurang dari 400, jadi kamu hanya perlu memeriksa sampai 20. Kamu juga tahu itu ganjil, jadi kamu tidak perlu melakukannya periksa 2 atau salah satu acara. Kemudian kamu akan menyadari bahwa kamu tidak perlu memeriksa salah satu bilangan non prima antara 1 dan 20. Jadi, kamu hanya perlu memeriksa 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Ini membantu siswa mulai mengembangkan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan himpunan. Ada kelompok bilangan yang memiliki sifat yang sama, seperti genap, ganjil, dan bilangan prima. Ini adalah konsep mendalam yang mungkin tidak Anda dapatkan jika Anda tidak harus menyederhanakan prosesnya sendiri.
Namun, menyederhanakan proses untuk diri Anda sendiri juga sangat penting. Misalkan Anda adalah kepala mekanik mobil NASCAR Sprint Cup. Mereka rusak sepanjang waktu. Apa yang perlu Anda lakukan untuk memperbaikinya? Apa yang tidak ada hubungannya dengan masalah tersebut? Berapa jumlah terkecil hal yang perlu Anda uji/perbaiki, dan dalam urutan apa Anda harus mencobanya? Itu merupakan perpanjangan waktu yang lama dari pengembangan pemikiran algoritmik di kelas matematika sekolah menengah. Namun menurut saya, akan lebih sulit untuk mencapainya jika Anda telah diberi jawaban oleh mesin sepanjang hidup Anda.
Saya tahu ini akan berlangsung lama. Dua poin lagi... Saya tidak akan pernah menggunakan kalkulator grafik untuk membuat grafik. Saya memiliki perangkat lunak seharga $100 di laptop saya yang membuat kalkulator grafik genggam tidak berguna.
Akhirnya, komentar pegawai toko dan kalkulator menarik perhatian saya. Dunia tentunya membutuhkan orang untuk menjalankan mesin kasir di department store. Namun entah mengapa saya merasa bahwa tujuan mendapatkan pendidikan yang baik adalah agar nantinya Anda dapat memilih karir yang Anda sukai. Kasir yang tertarik dengan ritel sangat sedikit. Saya berharap siswa saya mempunyai pilihan yang lebih luas setelah mereka menyelesaikan sekolah.
David Iverson
Saya pikir keduanya harus digunakan. Saya setuju kita perlu mempelajari dasar-dasarnya di sekolah dasar, penjumlahan, pengurangan, dll.) Namun, Ketika Anda pergi ke Macy's, Olive Garden atau Mc Donald's, kasirnya tidak menggunakan kertas dan pensil. Kita hidup di era komputer. Kita tidak lagi berada dalam Revolusi Industri, jadi mari kita memasuki abad ke-21.
Hai, saya Kelly. Saya mahasiswa baru di perguruan tinggi di St. Perguruan tinggi komunitas Charles di Missouri. Situs Anda luar biasa. Aku sedang mencarinya untuk adik perempuanku. Sesuatu yang ingin saya sampaikan kepada semua orang dan siapa pun yang berencana kuliah adalah segera berhenti menggunakan kalkulator. Hanya gunakan untuk membuat grafik log dan hal-hal penting seperti itu. Saya menyelesaikan sekolah menengah atas di kelas kalkulus dengan menggunakan kalkulator bahkan untuk soal perkalian dan pembagian yang paling sederhana, dan ketika saya masuk perguruan tinggi saya harus memulai dari awal lagi di AWAL ALJABAR karena saya tidak tahu cara mengalikan dan membagi tanpa kalkulator. Jadi tolong bantu semua orang dan minta atau suruh mereka berhenti menggunakan kalkulator. Mereka akan berterima kasih kepada saya nanti.
Halo nama saya Rafeek dan saya mahasiswa baru di perguruan tinggi Hobart dan William Smith di Jenewa, NY. Saya sedang mengerjakan makalah tentang teknologi dan dampaknya, jadi saya memutuskan untuk memilih kalkulator. Saya menemukan situs ini dalam penelitian saya. Saya ingin menekankan apa yang dikatakan Kelly. Hal yang sama terjadi pada saya, saya hebat dalam matematika di sekolah menengah, praktis mendapat nilai bagus dalam semua ujian matematika, lalu saya datang ke sini untuk orientasi dan mereka mengatakan kepada saya bahwa saya harus mengikuti tes penempatan matematika TANPA perhitungan. Saya tidak menyadari bahwa saya tidak dapat mengerjakan banyak soal sederhana karena saya selalu memasukkannya ke dalam perhitungan saya dan mendapatkan jawabannya. Ini menjadi sesuatu yang serius, aku sudah mengambil adik laki-laki dan perempuanku. dan memberi tahu mereka sampai mereka kuliah bahwa mereka tidak akan menggunakan perhitungan (setidaknya tidak di depan saya). Sekarang saya mengambil pra-kalsifikasi. dan tujuan saya adalah tidak menggunakan perhitungan. JANGAN BERGANTUNG PADA KALKULATOR ANDA!!!
Ketika di Universitas mengambil kursus matematika untuk BMath saya, kami tidak mengizinkan kalkulator untuk banyak ujian (untuk mencegah penyelundupan orang dalam perangkat komputasi saku). Bagi siapa pun yang melakukan matematika tingkat tinggi, saya akan mengatakan bahwa kemampuan melakukan penjumlahan di atas kertas adalah penting .Emily Bell
Aku tidak pernah pandai matematika, jadi ketika aku memegang kalkulatorku dan betapa menggembirakannya di sekolah menengah, aku jatuh cinta padanya. Sampai aku mengikuti tes penempatan perguruan tinggi. Hasilku jelek. Aku tidak bisa bahkan ingat bagaimana mengerjakan soal pembagian sederhana secara mental. Masalah dengan sekolah saat ini adalah mereka terlalu khawatir dan mendorong tentang kalkulator. Siswa harus memiliki dasar matematika mental yang kokoh sebelum mereka belajar menggunakan kalkulator dan jika menurut saya nilai K-3 saja tidak cukup, itu tidak boleh diizinkan sampai perguruan tinggi.
Saya lulusan perguruan tinggi baru-baru ini. Jurusan saya adalah Teknik Elektro. Karena program studi saya melibatkan banyak matematika, saya merasa berkewajiban untuk berbicara mengenai masalah penting ini. Menurut pendapat saya, kalkulator tidak boleh digunakan di kelas matematika mana pun, bahkan di tingkat perguruan tinggi. Menggunakan kalkulator untuk mata pelajaran apa pun akan menyebabkan pengguna menjadi malas mental dan tidak mampu menguasai keterampilan dasar matematika. Anda tidak boleh menggunakan kalkulator saat mempelajari cara mengalikan, melakukan pembagian panjang, atau bahkan membuat grafik suatu fungsi."Beberapa orang mengatakan kalkulator memungkinkan anak-anak berkonsentrasi pada pemahaman dan mempelajari konsep matematika daripada menghabiskan waktu melakukan perhitungan yang membosankan. Mereka mengatakan kalkulator membantu mengembangkan kemampuan berhitung, dan membuat siswa lebih percaya diri dengan kemampuan matematika mereka."
Pernyataan di atas adalah omong kosong belaka. Satu-satunya cara untuk mengembangkan pengertian angka dan memahami konsep matematika adalah dengan melakukan perhitungan yang membosankan selama berjam-jam. Satu-satunya cara untuk mengembangkan kepercayaan diri terhadap kemampuan matematika seseorang adalah dengan menggunakan pensil dan kertas setiap kali Anda dihadapkan pada soal matematika. Jika seorang guru matematika setuju dengan pernyataan di atas, dia harus segera dipecat. NCTM harus dipermalukan di depan umum karena mengikuti cita-cita yang merusak seperti itu.
Satu-satunya waktu penggunaan kalkulator di sekolah adalah di kelas laboratorium ketika Anda melakukan perhitungan bilangan yang lebih dari 4 angka penting. Jika tidak, siswa harus bergantung pada kertas, pensil, dan otaknya.
Kalkulator tidak punya tempat; TIDAK ADA TEMPAT; di sebuah kelas sekolah dasar. Periode. Saya seorang guru matematika sekolah menengah dan sebagian besar siswa saya sama sekali tidak memiliki kemampuan berhitung. Mereka menggunakan kalkulator untuk mengerjakan soal perkalian satu digit yang seharusnya sudah mereka hafal dengan benar di kelas tiga. Mereka tidak berdaya tanpa kalkulator. Saya menyalahkan 100% penggunaan kalkulator di kelas awal.
Anak-anak saya berusia 4 dan 2 tahun. Putri saya akan masuk taman kanak-kanak tahun depan, dan saya akan mengajar guru-gurunya setiap tahun, dan secara berkala sepanjang tahun, dia DILARANG menggunakan kalkulator untuk APAPUN pekerjaannya sampai dia masuk SMA. TIDAK ADA dalam kurikulum sekolah dasar atau menengah yang mengharuskan penggunaan kalkulator.
SEBAGAI pernyataan ini, "Dewan Guru Nasional Matematika (1989) telah merekomendasikan bahwa pembagian panjang dan "latihan perhitungan pensil dan kertas yang membosankan" kurang mendapat perhatian di sekolah, dan kalkulator tersedia untuk semua siswa setiap saat." Pemahaman saya adalah bahwa ini adalah reaksi terhadap survei waktu yang dihabiskan pada topik matematika di kelas dan hampir sepertiga dari kelas empat dan lima dihabiskan untuk belajar melakukan pembagian dengan pembagi desimal dan dua digit (yaitu 340/.15 atau 500/15) Ya, para guru menghabiskan lebih dari dua bulan untuk masing-masing bulan ini! Hal ini tidak mencerminkan situasi matematika di dunia saat ini.
Secara pribadi, saya telah melihat banyak kegunaan kalkulator. Mereka memungkinkan pengulangan bebas kesalahan sehingga saya dapat menemukan pola. Banyak konversi dan trik cepat yang dapat saya lakukan adalah karena saya hanya memiliki kalkulator dasar hingga prakalkulus. Ngomong-ngomong, NCMT juga telah memperbarui standarnya untuk memasukkan kefasihan fakta matematika di kelas dua dan empat. Sebagai seorang tutor matematika, saya selalu mendengar dari orang tua bahwa anak-anak tidak menghabiskan waktu di sekolah untuk menghafal fakta dasar.
Saya mungkin akan menyukainya dalam jangka panjang jika saya tidak diizinkan menggunakan kalkulator sampai setidaknya sekolah menengah (Geometri bagi saya). Anda tahu game-game Nintendo DS Brainage itu? Ya, game-game itu membuat saya menyadari betapa buruknya saya dengan yang sederhana matematika. Saya bisa melakukannya, hanya membutuhkan waktu lebih lama. Selain itu, saya hampir tidak pernah bisa melakukan pembagian panjang.
Sebagai guru Matematika, Pra-Aljabar, dan Aljabar I di SMP dan SMA, saya mendapati diri saya berjuang dalam pertempuran ini setiap tahun. Meskipun ya, kalkulator menawarkan cara cepat untuk menemukan jawaban, saya tidak tahu ada soal apa pun di tiga buku teks yang saya gunakan saat ini yang mengharuskan siswa menyelesaikan soal pembagian panjang hingga posisi ke-17 di belakang desimal (yaitu a argumen umum).
Namun saya berharap siswa saya dapat melakukan fungsi matematika dasar tanpa menggunakan kalkulator. Ketika mereka masuk ke dalam Aljabar, mereka menghabiskan terlalu banyak waktu untuk mencoba mencari tahu bagaimana melakukan hal-hal di kalkulator yang tidak mungkin dilakukan dengan kalkulator yang mereka miliki. Saya juga berharap mereka menunjukkan pekerjaan mereka pada tes dan kuis (begitu juga dengan yang baru menyatakan tes untuk sebagian poin) sehingga saya TAHU bahwa mereka mengetahui prosesnya. "Saya menggunakan kalkulator" tidak menunjukkan kepada saya bahwa mereka mengetahui proses dan aturan atau "mengapa" itu berhasil. dan "ah-ha" matematika.
Saya sering mengingatkan siswa bahwa kalkulator ditemukan jauh setelah aturan matematika dimulai; oleh karena itu, semua matematika dapat diselesaikan tanpa menggunakan kalkulator. Pemikir yang hebat, jangan menjadi hebat dengan mengambil jalan keluar yang mudah.
Berkenaan dengan pekerja ritel, sementara banyak pelanggan yang mengantri akan menjadi tidak sabar jika penjual menghitung semuanya dengan tangan, sebagai guru ketika saya pergi ke tempat makan, dan murid saya yang tidak beruntung itu adalah pelayan/pelayan/dll. Saya berharap mereka menghitung kembali uang saya. Saya sadar ketika saya melakukan "pemeriksaan" ini dan sebagian besar manajer (Anda tahu mereka yang bisa menghitung tanpa kalkulator) biasanya menghargai bahwa karyawan mereka tahu cara menghitung kembali uang kembalian.
Saya sempat tertawa mendengar komentar mengenai "kasir di Macy's, Olive Garden, McDonalds...menggunakan kalkulator, komputer." Benar, tapi itu bukan argumen yang mendukung penggunaannya. Pernahkah Anda berada di salah satu dari ini toko ketika "komputer mati?" Banyak kasir tidak dapat menghitung total, membuat uang kembalian, dll. tanpa komputer yang memberi tahu mereka apa yang harus dilakukan. Keterampilan matematika dasar yang kuat sangat penting dan penggunaan kalkulator IMHO harus sangat dibatasi generasi muda kita akan menghadapi bencana/darurat ketika tidak ada listrik, telepon seluler, komputer, kemampuan internet, dll. Sebagai orang tua yang melakukan homeschooling, salah satu tujuan saya adalah agar anak saya memiliki keterampilan dasar yang baik sehingga mereka dapat dapat berfungsi dengan baik dalam mata pelajaran apa pun tanpa bantuan elektronik.
Saya mempunyai seorang anak laki-laki yang duduk di bangku kelas tiga, dan saya membelikannya kalkulator yang sangat sederhana (hanya +,-,*,/). Dia cukup pandai dalam memecahkan masalah, dia tahu tabel perkaliannya, bisa melakukan penjumlahan dan pengurangan dengan 12 digit di atas kertas, sedang belajar bagaimana melakukan perkalian di atas kertas dll... dan saya sebenarnya sedang mencari beberapa masalah yang berarti untuk dipecahkan dengan kalkulator ketika saya menemukan perdebatan emosional ini.
Sekarang, saya sepenuhnya setuju bahwa kalkulator tidak boleh menjadi pengganti pembelajaran melakukan operasi mental, dan mempelajari cara melakukannya di atas kertas. Anda seharusnya dapat melakukan hal-hal ini pada diri Anda sendiri, meskipun itu canggung.Tapi intinya, masyarakat maju. Jika melakukan penjumlahan 20 angka pada uang kertas kecil dengan benar dan cepat merupakan hal yang berguna, dan orang-orang bahkan membayar Anda untuk keterampilan tersebut 40 tahun yang lalu, hal ini tidak lagi terjadi dengan busur dan anak panah - meskipun ini merupakan keterampilan penting bagi nenek moyang kita yang tinggal di gua.
Ketika saya melihat komentar di sini, tampaknya satu-satunya masalah yang dihadapi orang ketika tidak dapat menghitung tanpa kalkulator adalah dalam lingkungan buatan yang merupakan kompetensi yang diuji secara tegas. Berburu kelinci dengan panah dan busur juga akan menimbulkan masalah jika hal ini tidak diajarkan, dan diuji secara eksplisit untuk satu atau ujian lainnya. Saya pikir dalam "kehidupan nyata" sekarang penting untuk mahir menggunakan kalkulator - meskipun seseorang tentu saja dapat melakukannya tanpanya, tetapi mungkin tidak *terlatih* dalam melakukannya secara efisien, benar, dan cepat tanpanya.
BTW, siapa yang masih tahu cara mengambil akar kuadrat di atas kertas? Bukankah ini keterampilan yang penting? Dan siapa yang tahu cara menggunakan mistar hitung secara efisien? Atau tabel logaritma untuk melakukan perkalian? Semua ini adalah teknik yang dulunya sangat berguna, dan penting untuk dikuasai dengan cepat dan efisien Saya tidak mengatakan bahwa mengetahui cara melakukan penjumlahan di atas kertas adalah cerita rakyat, seseorang harusnya tahu cara melakukannya, tetapi saya bertanya-tanya apa alasannya untuk dapat melakukannya dengan cepat dan efisien (dan karenanya menghabiskan waktu berjam-jam untuk melatihnya). Tidak bisakah seseorang menggunakan waktu itu sekarang untuk melakukan hal-hal yang lebih berguna?
Menurut saya, yang masih merupakan keterampilan praktis adalah perhitungan *mental*, perhitungan mental yang tepat, dan perhitungan perkiraan untuk mendapatkan gambaran orde besarnya. Apakah melakukan perkalian dua bilangan dengan 6 atau 7 digit masih merupakan hal yang sangat keterampilan yang berguna untuk dilatih, saya ragu - meskipun, sekali lagi, seseorang harusnya bisa mengetahui cara melakukannya.
Hal-hal yang menarik dari kalkulator adalah konstruksi seperti segitiga Pascal, atau deret Fibonacci, atau faktorial, kombinasi dan sejenisnya, dan terlalu membosankan untuk dilakukan dengan tangan.
Patrick Van Esch
Pertanyaan: Apa alasan utama tidak menggunakan kalkulator pada formulir satu sampai tiga sekolah menengah?Saya tidak begitu yakin apa itu bentuk satu sampai tiga, tapi saya rasa Anda sedang membicarakan tentang sekolah menengah.
Saya pribadi tidak akan menyangkal penggunaan kalkulator oleh siswa sekolah menengah. Anak-anak perlu belajar menggunakan kalkulator, dan menggunakannya dengan bijak - yang berarti mereka harus belajar kapan sebaiknya menggunakannya dan kapan tidak. Mungkin seseorang akan menolak penggunaan kalkulator di sekolah menengah jika seorang siswa terus-menerus menyalahgunakannya, di sekolah lain. kata-kata yang menggunakannya untuk 6 x 7 dst., dalam hal ini siswa tersebut mungkin perlu meninjau ulang matematika tingkat rendah.
Saat ini saya adalah siswa kelas enam, saya tahu sebagian besar anak seusia saya lebih suka menggunakan kalkulator bukan untuk memeriksa pekerjaan, tetapi mengerjakan sebagian besar matematika dengan kalkulator. Kalkulator seharusnya hanya digunakan untuk memeriksa pekerjaan, baru-baru ini guru matematika saya memiliki praktis telah memaksa kami untuk menggunakan kalkulator TI30 xa, seperti yang kalian tahu, sekolah menyediakan kalkulator yang dapat menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi, dan itu sepertinya sudah cukup .bekerja, tetapi hari ini selama kelas matematika saya memutuskan tidak ada lagi kalkulator, satu soal yang harus saya selesaikan adalah 3,8892 dibagi 3 dan saya tidak ingat bagaimana cara melakukannya. Dan suatu hari ibu saya memberi saya soal matematika sederhana sambil mengisi bensin dan saya butuh waktu 5 menit untuk mengerjakan soal penjumlahan dasar ini. Orang tua saya tidak menggunakan kalkulator ketika mereka masih di sekolah dan jika mereka tidak membutuhkannya maka kami juga tidak akan menggunakannya. Namun ketika semua siswa sekolah menengah kami saat ini sudah dewasa, sistem sekolah kami akan melihat bahwa orang dewasa juga akan menggunakan kalkulator. jauh tertinggal dalam matematika sambil mengandalkan komputer, dan kalkulator untuk melakukan semua perbuatan di sana. Saya resmi Anti kalkulator!
Saya cukup beruntung mempelajari fakta-fakta matematika dasar (perkalian, pembagian, pecahan, estimasi, dll) sebelum mendapatkan kalkulator di kelas 8, tetapi saya semakin bergantung pada utilitas grafik TI 83 untuk kelas aljabar/prakalkulasi SMA saya. Saya akan membuat grafik fungsi untuk mencari angka nol daripada menggunakan rumus kuadrat dan hal-hal seperti itu.Kelas kalkulus mahasiswa baru saya tidak mengizinkan kalkulator, dan saya gagal. Hal ini terjadi setelah saya mendapat nilai prekalkulus sekolah menengah dengan cukup baik. Saya mengikuti seri kehidupan/ilmu sosial yang lebih mudah (masih harus berjuang untuk mendapatkan nilai B"s/C". ketika saya mendapat nilai A mudah di sekolah menengah) dan akhirnya mengulangi kelas kalkulus yang lebih sulit dengan lebih siap. Kelas seri kehidupan/ilmu sosial saya mengizinkan 4 fungsi tetapi tidak utilitas grafik. Juga, di perguruan tinggi saya harus menunjukkan pekerjaan saya. untuk mendapatkan pujian, meskipun jawabannya benar. Saya pikir salah satu masalahnya adalah saya terlalu terpaku pada pencarian jawaban daripada mempelajari prosesnya.
Adikku sebaliknya telah memiliki kalkulator sejak kelas 3 SD, dan dia benar-benar tidak bisa mengalikan 6*7 tanpa kalkulator atau mengerjakan soal cerita, meskipun dia mendapat nilai B dalam matematika sekolah menengah.
Sebagai seorang Senior jurusan Pendidikan Anak Usia Dini/Dasar, saya memahami pentingnya memiliki pengetahuan tentang cara menggunakan kalkulator, karena ya, kita hidup di zaman dimana teknologi sudah banyak digunakan. Namun, seperti kebanyakan dari Anda, ketika saya pertama kali masuk perguruan tinggi dan harus mengikuti ujian tanpa menggunakan kalkulator, saya berada dalam masalah besar! Saya masih melakukannya dengan sangat baik, namun butuh waktu lama bagi saya untuk mempelajari kembali semua fungsi dasar matematika. Dari pengalaman pribadi saya di lapangan dan melalui kursus saya sendiri, saya merekomendasikan keseimbangan yang konsisten antara kedua metode tersebut!!
Saya mengajar matematika di perguruan tinggi yang melarang penggunaan kalkulator. Sayangnya banyak siswa yang dirusak dengan menggunakan kalkulator. Mereka kesulitan mengerjakan aljabar yang paling sederhana sekalipun. Hal ini menyebabkan peningkatan remedial matematika di perguruan tinggi dimanapun hingga 95%. Ada sebuah buku berjudul "The Deliberate Dumbing Down Of America" yang ditulis oleh mantan pelapor dari Departemen O Pendidikan (juga dikenal sebagai DOE yang merupakan singkatan dari Dopes Of Education)
Menu Pelajaran Matematika
|
|
|
Informasi Katalog
Judul
Aljabar Linier Dasar.
(Jam Kredit:Jam Kuliah:Jam Lab)
Ditawarkan
Prasyarat
Hasil belajar yang minim
Setelah menyelesaikan kursus ini, siswa yang berhasil akan mampu:
- Gunakan eliminasi Gaussian untuk melakukan semua hal berikut: menyelesaikan sistem linier dengan bentuk eselon baris tereduksi, menyelesaikan sistem linier dengan bentuk eselon baris dan substitusi mundur, mencari invers matriks tertentu, dan mencari determinan matriks tertentu.
- Menunjukkan kemahiran dalam aljabar matriks. Untuk perkalian matriks menunjukkan pemahaman tentang hukum asosiatif, hukum urutan terbalik untuk invers dan transpos, serta kegagalan hukum komutatif dan hukum pembatalan.
- Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem linier.
- Gunakan kofaktor untuk mencari invers matriks tertentu dan determinan matriks tertentu.
- Tentukan apakah suatu himpunan yang mempunyai gagasan penjumlahan dan perkalian skalar merupakan ruang vektor. Di sini, dan dalam angka-angka relevan di bawah, pahamilah contoh-contoh dimensi berhingga dan tak terhingga.
- Tentukan apakah subset tertentu dari ruang vektor merupakan subruang.
- Tentukan apakah suatu himpunan vektor bebas linier, merentang, atau merupakan basis.
- Tentukan dimensi ruang vektor tertentu atau subruang tertentu.
- Temukan basis untuk ruang nol, ruang baris, dan ruang kolom dari matriks tertentu, dan tentukan peringkatnya.
- Mendemonstrasikan pemahaman tentang Teorema Rank-Nullity dan penerapannya.
- Diberikan deskripsi transformasi linier, temukan representasi matriksnya relatif terhadap basis tertentu.
- Menunjukkan pemahaman tentang hubungan antara kesamaan dan perubahan dasar.
- Temukan norma suatu vektor dan sudut antara dua vektor dalam ruang hasil kali dalam.
- Gunakan hasil kali dalam untuk menyatakan suatu vektor dalam ruang hasil kali dalam sebagai kombinasi linier dari himpunan vektor ortogonal.
- Temukan komplemen ortogonal dari subruang tertentu.
- Mendemonstrasikan pemahaman tentang hubungan ruang baris, ruang kolom, dan ruang nol suatu matriks (dan transposnya) melalui komplemen ortogonal.
- Mendemonstrasikan pemahaman tentang ketidaksetaraan Cauchy-Schwartz dan penerapannya.
- Tentukan apakah ruang vektor berbentuk (sesquilinear) merupakan ruang hasilkali dalam.
- Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mencari basis ortonormal dari ruang hasilkali dalam. Mampu melakukan ini berdua R n dan dalam ruang fungsi yang merupakan ruang hasil kali dalam.
- Gunakan kuadrat terkecil agar sesuai dengan garis ( kamu = kapak + B) ke tabel data, plot garis dan titik data, dan jelaskan arti kuadrat terkecil dalam proyeksi ortogonal.
- Gunakan gagasan kuadrat terkecil untuk menemukan proyeksi ortogonal pada subruang dan untuk pemasangan kurva polinomial.
- Temukan nilai eigen (nyata dan kompleks) dan vektor eigen dari matriks 2 × 2 atau 3 × 3.
- Tentukan apakah suatu matriks dapat didiagonalisasi. Jika ya, carilah matriks yang mendiagonalisasikannya melalui kesamaan.
- Mendemonstrasikan pemahaman tentang hubungan antara nilai eigen suatu matriks persegi dengan determinannya, jejaknya, dan invertibilitas/singularitasnya.
- Mengidentifikasi matriks simetris dan matriks ortogonal.
- Temukan matriks yang secara ortogonal mendiagonalisasi matriks simetris tertentu.
- Mengetahui dan mampu menerapkan teorema spektral untuk matriks simetris.
- Mengetahui dan mampu menerapkan Dekomposisi Nilai Singular.
- Definisikan dengan benar istilah-istilah dan berikan contoh-contoh yang berkaitan dengan konsep-konsep di atas.
- Buktikan teorema dasar tentang konsep di atas.
- Membuktikan atau menyangkal pernyataan yang berkaitan dengan konsep di atas.
- Mahir dalam perhitungan tangan untuk reduksi baris, inversi matriks, dan masalah serupa; juga, gunakan MATLAB atau program serupa untuk soal aljabar linier.
Dalam masalah travelling salesman, untuk membuat rute optimal di sekitar n kota, Anda harus memilih yang terbaik dari (n-1)! pilihan berdasarkan waktu, biaya atau panjang rute. Masalah ini melibatkan penentuan panjang minimum siklus Hamilton. Dalam kasus seperti itu, himpunan semua solusi yang mungkin harus direpresentasikan dalam bentuk pohon - grafik terhubung yang tidak mengandung siklus atau loop. Akar pohon menyatukan seluruh rangkaian pilihan, dan puncak pohon adalah bagian dari pilihan solusi yang diurutkan sebagian.
Tujuan layanan. Dengan menggunakan layanan ini, Anda dapat memeriksa solusi Anda atau mendapatkan solusi baru untuk masalah salesman keliling menggunakan dua metode: metode cabang dan terikat serta metode Hongaria.
Model matematika dari masalah penjual keliling
Masalah yang dirumuskan merupakan masalah bilangan bulat. Misal x ij =1 jika musafir berpindah dari kota ke-i ke kota ke-j dan x ij =0 jika tidak demikian.Secara formal, kita perkenalkan (n+1) sebuah kota yang terletak di tempat yang sama dengan kota pertama, yaitu. jarak dari (n+1) kota ke kota lain selain kota pertama sama dengan jarak dari kota pertama. Apalagi jika Anda hanya bisa keluar kota pertama, maka Anda hanya bisa datang ke kota (n+1).
Mari kita perkenalkan variabel bilangan bulat tambahan yang sama dengan jumlah kunjungan ke kota ini selama ini. kamu 1 =0, kamu n +1 =n. Untuk menghindari jalur tertutup, tinggalkan kota pertama dan kembali ke (n+1), kami memperkenalkan batasan tambahan yang menghubungkan variabel x ij dan variabel u i (u i adalah bilangan bulat non-negatif).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, dengan i=1 j≠n+1
0≤u saya ≤n, x dalam+1 =x i1 , i=2..n
Metode untuk memecahkan masalah penjual keliling
- metode cabang dan terikat (algoritma Little atau eliminasi subsiklus). Contoh solusi cabang dan terikat;
- Metode Hongaria. Contoh penyelesaian menggunakan metode Hungaria.
Algoritma Little atau eliminasi subsiklus
- Operasi reduksi sepanjang baris: di setiap baris matriks, elemen minimum d min ditemukan dan dikurangkan dari semua elemen pada baris yang bersesuaian. Batas bawah: H=∑d min .
- Operasi pengurangan per kolom: di setiap kolom matriks, pilih elemen minimum d min dan kurangi dari semua elemen kolom yang bersesuaian. Batas bawah: H=H+∑d min .
- Konstanta reduksi H adalah batas bawah himpunan semua kontur Hamilton yang diizinkan.
- Menemukan pangkat nol untuk matriks yang diberikan oleh baris dan kolom. Untuk melakukannya, ganti sementara angka nol dalam matriks dengan tanda “∞” dan carilah jumlah elemen minimum baris dan kolom yang bersesuaian dengan angka nol tersebut.
- Pilih busur (i,j) yang derajat elemen nolnya mencapai nilai maksimum.
- Himpunan seluruh kontur Hamilton dibagi menjadi dua himpunan bagian: himpunan bagian kontur Hamilton yang memuat busur (i,j) dan himpunan bagian yang tidak memuat busur (i*,j*). Untuk memperoleh matriks kontur yang memuat busur (i,j), coretlah baris i dan kolom j pada matriks tersebut. Untuk mencegah terbentuknya kontur non-Hamiltonian, ganti elemen simetris (j,i) dengan tanda “∞”. Penghapusan busur dicapai dengan mengganti elemen dalam matriks dengan ∞.
- Matriks kontur Hamilton direduksi dengan mencari konstanta reduksi H(i,j) dan H(i*,j*) .
- Batas bawah himpunan bagian kontur Hamilton H(i,j) dan H(i*,j*) dibandingkan. Jika H(i,j)
- Jika dari hasil percabangan diperoleh matriks (2x2), maka kontur Hamilton yang diperoleh percabangan dan panjangnya ditentukan.
- Panjang kontur Hamilton dibandingkan dengan batas bawah cabang yang menjuntai. Jika panjang kontur tidak melebihi batas bawahnya, maka masalahnya terpecahkan. Jika tidak, cabang-cabang himpunan bagian dengan batas bawah kurang dari kontur yang dihasilkan akan dikembangkan hingga diperoleh rute dengan panjang yang lebih pendek.
Contoh. Selesaikan masalah travelling salesman dengan matriks menggunakan algoritma Little
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Larutan. Mari kita ambil rute arbitrer: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Maka F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Untuk menentukan batas bawah himpunan kita gunakan operasi reduksi atau mereduksi matriks baris demi baris, sehingga perlu mencari elemen minimum pada setiap baris matriks D: d i = min(j) d ij
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = menit(i) d ij
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Unsur-unsur matriks d ij sesuai dengan jarak dari titik i ke titik j.
Karena terdapat n kota dalam matriks, maka D merupakan matriks nxn dengan elemen non-negatif d ij ≥ 0
Setiap rute yang valid mewakili sebuah siklus di mana penjual keliling mengunjungi kota hanya sekali dan kembali ke kota asal.
Panjang rute ditentukan oleh ekspresi: F(M k) = ∑d ij
Terlebih lagi, setiap baris dan kolom dimasukkan dalam rute hanya satu kali dengan elemen d ij .
Langkah 1.
Menentukan tepi percabangan
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Jumlah konstanta reduksi terbesar adalah (0 + 6) = 6 untuk sisi (5,2), oleh karena itu, himpunan tersebut dibagi menjadi dua himpunan bagian (5,2) dan (5*,2*).
Pengecualian tepi(5.2) dilakukan dengan mengganti elemen d 52 = 0 dengan M, setelah itu selanjutnya dilakukan pengurangan matriks jarak untuk subset yang dihasilkan (5*,2*), sehingga diperoleh matriks tereduksi.
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Mengaktifkan keunggulan(5.2) dilakukan dengan menghilangkan seluruh elemen baris ke-5 dan kolom ke-2, dimana elemen d 25 diganti dengan M untuk menghilangkan terbentuknya siklus non-Hamiltonian.
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Batas bawah himpunan bagian (5,2) sama dengan: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Karena batas bawah himpunan bagian ini (5,2) lebih kecil dari himpunan bagian (5*,2*), kami memasukkan tepi (5,2) ke dalam rute dengan batas baru H = 35
Langkah 2.
Menentukan tepi percabangan dan membagi seluruh rangkaian rute relatif terhadap tepi ini menjadi dua himpunan bagian (i,j) dan (i*,j*).
Untuk tujuan ini, untuk semua sel matriks dengan elemen nol, kami mengganti angka nol satu per satu dengan M (tak terhingga) dan menentukan jumlah konstanta reduksi yang dihasilkan yang diberikan dalam tanda kurung;
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Jumlah konstanta reduksi terbesar adalah (0 + 9) = 9 untuk sisi (4,3), oleh karena itu, himpunan tersebut dibagi menjadi dua himpunan bagian (4,3) dan (4*,3*).
Pengecualian tepi(4.3) dilakukan dengan mengganti elemen d 43 = 0 dengan M, setelah itu selanjutnya kita lakukan reduksi matriks jarak untuk himpunan bagian yang dihasilkan (4*,3*), sehingga diperoleh matriks tereduksi.
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Mengaktifkan keunggulan(4.3) dilakukan dengan menghilangkan seluruh elemen baris ke-4 dan kolom ke-3, dimana elemen d 34 diganti dengan M untuk menghilangkan terbentuknya siklus non-Hamiltonian.
Setelah dilakukan operasi reduksi, matriks yang direduksi akan tampak seperti:
| aku j | 1 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| dj | 0 | 2 | 0 | 7 |
Batas bawah himpunan bagian (4,3) sama dengan: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Karena 42 > 41, kami mengecualikan subset (5,2) untuk percabangan lebih lanjut.
Kita kembali ke rencana sebelumnya X 1.
Rencana X 1.
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Menentukan tepi percabangan dan membagi seluruh rangkaian rute relatif terhadap tepi ini menjadi dua himpunan bagian (i,j) dan (i*,j*).
Untuk tujuan ini, untuk semua sel matriks dengan elemen nol, kami mengganti angka nol satu per satu dengan M (tak terhingga) dan menentukan jumlah konstanta reduksi yang dihasilkan yang diberikan dalam tanda kurung;
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Jumlah konstanta reduksi terbesar adalah (0 + 6) = 6 untuk sisi (4,2), oleh karena itu, himpunan tersebut dibagi menjadi dua himpunan bagian (4,2) dan (4*,2*).
Pengecualian tepi(4.2) dilakukan dengan mengganti elemen d 42 = 0 dengan M, setelah itu kita selanjutnya melakukan reduksi matriks jarak untuk subset yang dihasilkan (4*,2*), sehingga diperoleh matriks tereduksi.
| aku j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Mengaktifkan keunggulan(4.2) dilakukan dengan menghilangkan seluruh elemen baris ke-4 dan kolom ke-2, dimana elemen d 24 diganti dengan M untuk menghilangkan terbentuknya siklus non-Hamiltonian.
Hasilnya adalah matriks tereduksi lainnya (4 x 4), yang menjalani operasi reduksi.
Setelah dilakukan operasi reduksi, matriks yang direduksi akan tampak seperti:
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Batas bawah himpunan bagian (4,2) sama dengan: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Karena batas bawah himpunan bagian ini (4,2) lebih kecil dari himpunan bagian (4*,2*), kami memasukkan tepi (4,2) ke dalam rute dengan batas baru H = 41
Langkah 2.
Menentukan tepi percabangan dan membagi seluruh rangkaian rute relatif terhadap tepi ini menjadi dua himpunan bagian (i,j) dan (i*,j*).
Untuk tujuan ini, untuk semua sel matriks dengan elemen nol, kami mengganti angka nol satu per satu dengan M (tak terhingga) dan menentukan jumlah konstanta reduksi yang dihasilkan yang diberikan dalam tanda kurung;
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Jumlah konstanta reduksi terbesar adalah (4 + 5) = 9 untuk sisi (1,5), oleh karena itu, himpunan tersebut dibagi menjadi dua himpunan bagian (1,5) dan (1*,5*).
Pengecualian tepi(1.5) dilakukan dengan mengganti elemen d 15 = 0 dengan M, setelah itu kita selanjutnya melakukan reduksi matriks jarak untuk subset yang dihasilkan (1*,5*), sehingga diperoleh matriks tereduksi.
| aku j | 1 | 3 | 4 | 5 | d saya |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Mengaktifkan keunggulan(1.5) dilakukan dengan menghilangkan seluruh elemen baris ke-1 dan kolom ke-5, dimana elemen d 51 diganti dengan M untuk menghilangkan terbentuknya siklus non-Hamiltonian.
Hasilnya, kita memperoleh matriks tereduksi lainnya (3 x 3), yang menjalani operasi reduksi.
Setelah dilakukan operasi reduksi, matriks yang direduksi akan tampak seperti:
| aku j | 1 | 3 | 4 | d saya |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 |
Batas bawah himpunan bagian (1,5) sama dengan: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Karena batas bawah himpunan bagian ini (1,5) lebih kecil dari himpunan bagian (1*,5*), kami memasukkan tepi (1,5) ke dalam rute dengan batas baru H = 41
Langkah #3.
Menentukan tepi percabangan dan membagi seluruh rangkaian rute relatif terhadap tepi ini menjadi dua himpunan bagian (i,j) dan (i*,j*).
Untuk tujuan ini, untuk semua sel matriks dengan elemen nol, kami mengganti angka nol satu per satu dengan M (tak terhingga) dan menentukan jumlah konstanta reduksi yang dihasilkan yang diberikan dalam tanda kurung;
| aku j | 1 | 3 | 4 | d saya |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| dj | 6 | 9 | 0 | 0 |
Jumlah konstanta reduksi terbesar adalah (9 + 6) = 15 untuk sisi (2,1), oleh karena itu, himpunan tersebut dibagi menjadi dua himpunan bagian (2,1) dan (2*,1*).
Pengecualian tepi(2.1) dilakukan dengan mengganti elemen d 21 = 0 dengan M, setelah itu selanjutnya dilakukan pengurangan matriks jarak untuk subset yang dihasilkan (2*,1*), sehingga diperoleh matriks tereduksi.
| aku j | 1 | 3 | 4 | d saya |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 6 | 0 | 0 | 15 |
Mengaktifkan keunggulan(2.1) dilakukan dengan menghilangkan seluruh elemen baris ke-2 dan kolom ke-1, dimana elemen d 12 diganti dengan M untuk menghilangkan terbentuknya siklus non-Hamiltonian.
Hasilnya, kita memperoleh matriks tereduksi lainnya (2 x 2), yang menjalani operasi reduksi.
Setelah dilakukan operasi reduksi, matriks yang direduksi akan tampak seperti:
| aku j | 3 | 4 | d saya |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 |
∑d saya + ∑d j = 0
Batas bawah himpunan bagian (2,1) sama dengan: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Karena batas bawah himpunan bagian ini (2,1) lebih kecil dari himpunan bagian (2*,1*), kami memasukkan tepi (2,1) ke dalam rute dengan batas baru H = 41.
Sesuai dengan matriks ini, kami menyertakan sisi (3,4) dan (5,3) pada rute Hamiltonian.
Akibatnya, sepanjang pohon percabangan siklus Hamilton, ujung-ujungnya terbentuk:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Panjang lintasannya adalah F(Mk) = 41
Pohon keputusan.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), T=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), T=47 | (4,2) | (4*,3*), T=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), T=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), T=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), T=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), T=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Berikut ini juga digunakan dengan kalkulator ini:
Metode grafis untuk menyelesaikan ZLP
Metode simpleks untuk menyelesaikan ZLP
Memecahkan permainan matriks
Dengan menggunakan layanan online, Anda dapat menentukan harga permainan matriks (batas bawah dan atas), memeriksa keberadaan titik sadel, mencari solusi strategi campuran dengan menggunakan metode berikut: minimax, metode simpleks, grafis (geometris) ), metode Brown.
Ekstrem dari fungsi dua variabel
Masalah pemrograman dinamis
Tahap pertama penyelesaian masalah transportasi adalah menentukan jenisnya (terbuka atau tertutup, atau sebaliknya seimbang atau tidak seimbang). Metode perkiraan ( metode untuk menemukan rencana referensi) diizinkan untuk penyelesaian tahap kedua dalam sejumlah kecil langkah diperoleh solusi yang dapat diterima, namun tidak selalu optimal terhadap masalah tersebut. Kelompok metode ini mencakup metode berikut:
- penghapusan (metode preferensi ganda);
- sudut barat laut;
- elemen minimum;
- Perkiraan Vogel.
Referensi solusi masalah transportasi
Referensi solusi masalah transportasi adalah solusi layak yang vektor kondisinya bersesuaian dengan koordinat positif bebas linier. Untuk memeriksa independensi linier dari vektor-vektor kondisi yang sesuai dengan koordinat solusi yang dapat diterima, digunakan siklus.Siklus Urutan sel dalam tabel tugas transportasi disebut di mana dua dan hanya sel yang berdekatan terletak di baris atau kolom yang sama, dan sel pertama dan terakhir juga berada di baris atau kolom yang sama. Suatu sistem vektor kondisi masalah transpor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak ada siklus yang dapat dibentuk dari sel-sel tabel yang bersesuaian. Oleh karena itu, solusi yang dapat diterima untuk masalah transportasi, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n hanya menjadi referensi jika tidak ada siklus yang dapat dibentuk dari sel tabel yang ditempatinya.
Perkiraan metode untuk memecahkan masalah transportasi.
Metode coret (metode preferensi ganda). Jika ada satu sel yang terisi dalam satu baris atau kolom tabel, maka sel tersebut tidak dapat dimasukkan ke dalam siklus apa pun, karena siklus memiliki dua dan hanya dua sel di setiap kolom. Oleh karena itu, Anda dapat mencoret semua baris tabel yang berisi satu sel terisi, lalu mencoret semua kolom yang berisi satu sel terisi, lalu kembali ke baris dan melanjutkan mencoret baris dan kolom. Jika, sebagai akibat dari penghapusan, semua baris dan kolom dicoret, maka tidak mungkin untuk memilih bagian yang membentuk siklus dari sel-sel tabel yang ditempati, dan sistem vektor-vektor kondisi yang bersesuaian adalah bebas linier, dan solusinya adalah referensi. Jika, setelah dihapus, beberapa sel tetap ada, maka sel-sel ini membentuk sebuah siklus, sistem vektor-vektor kondisi yang bersesuaian bergantung linier, dan solusinya bukan solusi referensi.
Metode Sudut Barat Laut terdiri dari pencacahan baris dan kolom tabel pengangkutan secara berurutan, dimulai dari kolom kiri dan baris atas, dan menuliskan pengiriman maksimum yang mungkin dilakukan pada sel tabel yang sesuai sehingga kemampuan pemasok atau kebutuhan konsumen dinyatakan dalam tugas tidak terlampaui. Dalam metode ini, tidak ada perhatian yang diberikan pada harga pengiriman, karena diasumsikan adanya optimalisasi pengiriman lebih lanjut.
Metode Elemen Minimal. Menampilkan kesederhanaan metode ini masih lebih efektif dibandingkan, misalnya, metode Northwest Angle. Selain itu, metode elemen minimum jelas dan logis. Intinya, pada tabel transportasi, sel dengan tarif terendah diisi terlebih dahulu, baru kemudian sel dengan tarif tinggi. Artinya, kami memilih transportasi dengan biaya pengiriman kargo yang minimal. Ini adalah langkah yang jelas dan logis. Benar, hal ini tidak selalu menghasilkan rencana yang optimal.
Metode pendekatan Vogel. Dengan metode pendekatan Vogel, pada setiap iterasi, ditemukan selisih antara dua tarif minimum yang tertulis di dalamnya untuk semua kolom dan semua baris. Perbedaan-perbedaan ini dicatat dalam baris dan kolom yang ditunjuk secara khusus dalam tabel kondisi masalah. Di antara perbedaan yang ditunjukkan, yang minimum dipilih. Di baris (atau kolom) yang sesuai dengan perbedaan ini, tarif minimum ditentukan. Sel di mana penulisannya diisi pada iterasi ini.
Contoh No.1. Matriks tarif (di sini jumlah pemasok 4, jumlah toko 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Cadangan | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Kebutuhan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Kondisi keseimbangan terpenuhi. Menyediakan kebutuhan yang sama. Jadi, model permasalahan transportasi sudah tertutup. Jika modelnya terbuka, maka perlu memperkenalkan pemasok atau konsumen tambahan.
Pada tahap kedua Rencana referensi dicari menggunakan metode yang diberikan di atas (yang paling umum adalah metode berbiaya paling rendah).
Untuk mendemonstrasikan algoritme, kami hanya menyajikan beberapa iterasi.
Iterasi No.1. Elemen matriks minimum adalah nol. Untuk elemen ini persediaannya 60 dan kebutuhannya 30. Kami memilih angka minimum 30 dari mereka dan menguranginya (lihat tabel). Pada saat yang sama, kami mencoret kolom keenam dari tabel (kebutuhannya sama dengan 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iterasi No.2. Sekali lagi kami mencari minimum (0). Dari pasangan (60;50) kita pilih angka minimal 50. Coret kolom kelima.
| 3 | 20 | 8 | X | 4 | X | 80 |
| 4 | 4 | 18 | X | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | X | 6 | X | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | X | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iterasi No.3. Kami melanjutkan proses sampai kami memilih semua kebutuhan dan persediaan.
Iterasi No.N. Unsur yang dicari berjumlah 8. Untuk unsur ini persediaannya sama dengan kebutuhan (40).
| 3 | X | 8 | X | 4 | X | 40 - 40 = 0 |
| X | X | X | X | 3 | 0 | 0 |
| X | 4 | X | X | X | X | 0 |
| X | X | X | 0 | 1 | X | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Cadangan | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Kebutuhan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Mari kita hitung jumlah sel tabel yang terisi, ada 8, tetapi seharusnya m + n - 1 = 9. Oleh karena itu, rencana dukungannya merosot. Kami sedang membuat rencana baru. Terkadang Anda harus membuat beberapa rencana referensi sebelum menemukan rencana yang tidak merosot.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Cadangan | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Kebutuhan | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Hasilnya, diperoleh rencana dukungan pertama yang valid, karena jumlah sel tabel yang terisi adalah 9 dan sesuai dengan rumus m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, yaitu. rencana referensinya adalah tidak merosot.
Tahap ketiga terdiri dari perbaikan rencana referensi yang ditemukan. Di sini mereka menggunakan metode potensial atau metode distribusi. Pada tahap ini, kebenaran solusi dapat dipantau melalui fungsi biaya F(x) . Jika berkurang (dengan syarat biaya diminimalkan), maka solusinya tepat.
Contoh No.2. Dengan menggunakan metode tarif minimum, sajikan rencana awal untuk memecahkan suatu masalah transportasi. Periksa optimalitas menggunakan metode potensial.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Contoh No.3. Empat pabrik confectionery dapat memproduksi tiga jenis produk confectionery. Biaya produksi satu kuintal (kuintal) produk kembang gula oleh masing-masing pabrik, kapasitas produksi pabrik (kuintal per bulan) dan kebutuhan harian produk kembang gula (kuintal per bulan) ditunjukkan pada tabel. Menyusun rencana produksi kembang gula yang meminimalkan total biaya produksi.
Catatan. Di sini, pertama-tama Anda dapat mengubah urutan tabel biaya, karena untuk rumusan klasik masalah transportasi, kapasitas (produksi) diutamakan, baru kemudian konsumen.
Contoh No.4. Untuk pembangunan fasilitas, batu bata dipasok dari tiga pabrik (I, II, III). Pabrik masing-masing memiliki 50, 100 dan 50 ribu unit di gudang. batu bata Benda tersebut masing-masing membutuhkan 50, 70, 40 dan 40 ribu keping. batu bata Tarif (den. unit/ribu unit) disajikan pada tabel. Buat rencana transportasi yang meminimalkan total biaya transportasi.
akan ditutup jika:SEBUAH) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Kondisi masalah transportasi tertutup: ∑a = ∑b
Kita peroleh, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Kita peroleh: 55+b = 60+a
Kesetaraan hanya akan terlihat jika a=40, b=45
