Keterampilan penelitian dapat dibagi menjadi umum dan khusus. Keterampilan penelitian umum yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian masalah dengan parameter, antara lain: kemampuan melihat dibalik persamaan tertentu dengan parameter berbagai kelas persamaan, ditandai dengan adanya umum bilangan dan jenis persamaan. akar; kemampuan menguasai metode analitis dan grafis-analitis....
Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter sebagai sarana pengembangan keterampilan penelitian siswa kelas 7-9 (esai, tugas kuliah, diploma, tes)
Pekerjaan pascasarjana
Ptentang topik: Persamaan dan pertidaksamaan dengan suatu parameter sebagai alat pembentuk penelitian keterampilan siswa kelas 7 - 9
Pengembangan kemampuan berpikir kreatif tidak mungkin dilakukan di luar situasi masalah, oleh karena itu tugas-tugas non-standar sangat penting dalam pembelajaran. Ini juga mencakup tugas yang berisi parameter. Isi matematika dari soal-soal ini tidak melampaui cakupan program, namun penyelesaiannya biasanya menimbulkan kesulitan bagi siswa.
Sebelum reformasi pendidikan matematika sekolah pada tahun 60an, kurikulum sekolah dan buku pelajaran memiliki bagian khusus: kajian persamaan linier dan kuadrat, kajian sistem persamaan linier. Dimana tugasnya mempelajari persamaan, pertidaksamaan dan sistem tergantung pada kondisi atau parameter apapun.
Program saat ini tidak memuat referensi khusus untuk studi atau parameter dalam persamaan atau pertidaksamaan. Namun justru merekalah salah satu sarana matematika efektif yang membantu memecahkan masalah pembentukan kepribadian intelektual yang ditetapkan oleh program. Untuk menghilangkan kontradiksi ini, perlu dibuat mata kuliah pilihan dengan topik “Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter”. Hal inilah yang menentukan relevansi karya ini.
Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter merupakan bahan yang sangat baik untuk pekerjaan penelitian nyata, namun kurikulum sekolah tidak memasukkan masalah dengan parameter sebagai topik tersendiri.
Pemecahan sebagian besar masalah dalam mata pelajaran matematika sekolah ditujukan untuk mengembangkan kualitas pada anak sekolah seperti penguasaan aturan dan algoritma tindakan sesuai dengan program yang ada, dan kemampuan melakukan penelitian dasar.
Penelitian dalam sains berarti studi tentang suatu objek untuk mengidentifikasi pola kemunculan, perkembangan, dan transformasinya. Dalam proses penelitian digunakan akumulasi pengalaman, pengetahuan yang ada, serta metode dan metode mempelajari objek. Hasil penelitian harus berupa perolehan pengetahuan baru. Dalam proses penelitian pendidikan, pengetahuan dan pengalaman yang dikumpulkan siswa dalam mempelajari objek matematika disintesis.
Ketika diterapkan pada persamaan dan pertidaksamaan parametrik, keterampilan penelitian berikut dapat dibedakan:
1) Kemampuan untuk menyatakan melalui suatu parameter kondisi agar persamaan parametrik tertentu termasuk dalam kelas persamaan tertentu;
2) Kemampuan menentukan jenis persamaan dan menunjukkan jenis koefisien tergantung pada parameternya;
3) Kemampuan untuk menyatakan melalui parameter, kondisi adanya solusi persamaan parametrik;
4) Dalam hal adanya akar (larutan), mampu menyatakan kondisi keberadaan sejumlah akar (larutan) tertentu;
5) Kemampuan menyatakan akar-akar persamaan parametrik (penyelesaian pertidaksamaan) melalui parameter.
Sifat perkembangan persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter ditentukan oleh kemampuannya dalam melaksanakan berbagai jenis aktivitas mental siswa:
Pengembangan algoritma berpikir tertentu, Kemampuan menentukan keberadaan dan jumlah akar (dalam suatu persamaan, sistem);
Memecahkan persamaan yang merupakan konsekuensi dari hal ini;
Mengekspresikan satu variabel ke variabel lain;
Menemukan domain definisi suatu persamaan;
Pengulangan sejumlah besar rumus saat menyelesaikan;
Pengetahuan tentang metode penyelesaian yang tepat;
Penggunaan argumentasi verbal dan grafis secara luas;
Pengembangan budaya grafis siswa;
Semua hal di atas memungkinkan kita untuk berbicara tentang perlunya mempelajari persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter dalam kursus matematika sekolah.
Saat ini, kelas masalah dengan parameter belum diselesaikan secara metodis dengan jelas. Relevansi pemilihan topik mata kuliah pilihan “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter” ditentukan oleh pentingnya topik “Trinomial kuadrat dan sifat-sifatnya” dalam mata kuliah matematika sekolah dan, pada saat yang sama, oleh kurangnya Saatnya untuk mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan studi trinomial kuadrat yang mengandung parameter.
Dalam pekerjaan kami, kami ingin menunjukkan bahwa masalah parameter tidak boleh menjadi tambahan yang sulit pada materi utama yang dipelajari, yang hanya dapat dikuasai oleh anak-anak yang mampu, tetapi dapat dan harus digunakan di sekolah pendidikan umum, yang akan memperkaya pembelajaran dengan metode-metode baru. dan ide serta membantu siswa mengembangkan pemikirannya.
Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari tempat persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter dalam mata kuliah aljabar untuk kelas 7-9, untuk mengembangkan mata kuliah pilihan “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter” dan rekomendasi metodologis untuk implementasinya.
Objek penelitiannya adalah proses pengajaran matematika di kelas 7–9 sebuah sekolah menengah.
Subyek penelitian adalah isi, bentuk, metode dan sarana penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter di sekolah menengah, menjamin berkembangnya mata kuliah pilihan “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter”.
Hipotesis penelitiannya adalah mata kuliah pilihan ini akan membantu memberikan kajian yang lebih mendalam terhadap isi mata kuliah matematika “Persamaan dan Pertidaksamaan dengan Parameter”, menghilangkan ketidaksesuaian persyaratan matematika untuk penyiapan lulusan sekolah dan pelamar universitas, dan memperluas peluang bagi perkembangan aktivitas mental siswa, jika dalam proses mempelajarinya akan digunakan hal-hal sebagai berikut:
· pertimbangan teknik grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter menggunakan karya anak sekolah dengan literatur pendidikan;
· menyelesaikan masalah pembelajaran trinomial kuadrat yang memuat parameter, dengan menggunakan pengendalian diri anak sekolah dan pengendalian bersama;
· tabel untuk merangkum materi dengan topik “Tanda akar-akar trinomial persegi”, “letak parabola relatif terhadap sumbu absis”;
· penggunaan berbagai metode penilaian hasil belajar dan sistem poin kumulatif;
· mempelajari semua topik kursus, memberikan siswa kesempatan untuk secara mandiri menemukan cara untuk memecahkan masalah.
Sesuai dengan maksud, objek, pokok bahasan dan hipotesis penelitian, dikemukakan tujuan penelitian sebagai berikut:
· mempertimbangkan ketentuan umum untuk mempelajari persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter di kelas 7–9;
· mengembangkan mata kuliah pilihan aljabar “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter” dan metodologi pelaksanaannya.
Metode berikut digunakan selama penelitian:
· analisis literatur;
· analisis pengalaman dalam mengembangkan mata kuliah pilihan.
Bab 1. Fitur psikologis dan pedagogis mempelajari Topik « Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter" pada mata kuliah aljabar 7−9 kelas
§ 1. Karakteristik terkait usia, fisiologis dan psikologismanfaat anak sekolah di kelas 7–9
Usia sekolah menengah (remaja) ditandai dengan pesatnya pertumbuhan dan perkembangan seluruh organisme. Ada pertumbuhan panjang tubuh yang intensif (pada anak laki-laki terjadi peningkatan 6-10 sentimeter per tahun, dan pada anak perempuan hingga 6-8 sentimeter). Osifikasi kerangka berlanjut, tulang memperoleh elastisitas dan kekerasan, dan kekuatan otot meningkat. Namun perkembangan organ dalam terjadi tidak merata, pertumbuhan pembuluh darah tertinggal dibandingkan pertumbuhan jantung, sehingga dapat menyebabkan terganggunya ritme aktivitas dan peningkatan denyut jantung. Alat paru berkembang, pernafasan menjadi cepat pada usia ini. Volume otaknya mendekati volume otak manusia dewasa. Kontrol korteks serebral atas naluri dan emosi meningkat. Namun, proses eksitasi masih lebih unggul dibandingkan proses inhibisi. Peningkatan aktivitas serat asosiatif dimulai.
Pada usia ini, masa pubertas terjadi. Aktivitas kelenjar endokrin, khususnya kelenjar seks, meningkat. Ciri-ciri seksual sekunder muncul. Tubuh remaja menunjukkan kelelahan yang lebih besar karena perubahan drastis yang terjadi di dalamnya. Persepsi seorang remaja lebih terfokus, terorganisir dan terencana dibandingkan dengan anak sekolah yang lebih muda. Sikap remaja terhadap objek yang diamati sangatlah penting. Perhatian bersifat sukarela, selektif. Seorang remaja dapat fokus pada materi yang menarik dalam waktu yang lama. Penghafalan konsep-konsep yang berhubungan langsung dengan pemahaman, analisis dan sistematisasi informasi mengemuka. Masa remaja ditandai dengan pemikiran kritis. Siswa pada usia ini dicirikan oleh tuntutan yang lebih besar terhadap informasi yang diberikan. Kemampuan berpikir abstrak meningkat. Ekspresi emosi pada remaja seringkali cukup kejam. Kemarahan sangat kuat. Usia ini cukup ditandai dengan sifat keras kepala, egois, menarik diri, kerasnya emosi, dan konflik dengan orang lain. Manifestasi ini memungkinkan para guru dan psikolog untuk berbicara tentang krisis remaja. Pembentukan identitas menuntut seseorang memikirkan kembali hubungannya dengan orang lain, tempatnya di antara orang lain. Pada masa remaja terjadi pembentukan kepribadian moral dan sosial yang intensif. Proses pembentukan cita-cita moral dan keyakinan moral sedang berlangsung. Seringkali mereka memiliki karakter yang tidak stabil dan kontradiktif.
Komunikasi remaja dengan orang dewasa sangat berbeda dengan komunikasi anak sekolah dasar. Remaja sering kali tidak menganggap orang dewasa sebagai mitra komunikasi bebas; mereka menganggap orang dewasa sebagai sumber pengorganisasian dan dukungan bagi kehidupan mereka, dan fungsi organisasi orang dewasa paling sering dianggap oleh remaja hanya sebagai pembatas dan pengatur.
Jumlah pertanyaan yang ditujukan kepada guru berkurang. Pertanyaan-pertanyaan yang diajukan terutama berkaitan dengan organisasi dan isi aktivitas kehidupan remaja dalam kasus-kasus di mana mereka tidak dapat melakukannya tanpa informasi dan instruksi yang relevan dari orang dewasa. Jumlah masalah etika berkurang. Dibandingkan usia sebelumnya, kewibawaan guru sebagai pengemban norma-norma sosial dan calon penolong dalam memecahkan permasalahan kehidupan yang kompleks berkurang secara signifikan.
§ 2. Karakteristik usia kegiatan pendidikan
Mengajar merupakan kegiatan utama bagi seorang remaja. Kegiatan pendidikan seorang remaja mempunyai kesulitan dan kontradiksi tersendiri, namun ada juga kelebihan yang dapat dan harus diandalkan oleh seorang guru. Kelebihan besar seorang remaja adalah kesiapannya untuk segala jenis kegiatan pendidikan, yang menjadikannya dewasa di matanya sendiri. Ia tertarik dengan bentuk mandiri pengorganisasian pelajaran di kelas, materi pendidikan yang kompleks, dan kesempatan untuk secara mandiri membangun aktivitas kognitifnya di luar sekolah. Namun remaja belum mengetahui bagaimana mewujudkan kesiapan tersebut, karena ia tidak mengetahui bagaimana melakukan bentuk-bentuk kegiatan pendidikan yang baru.
Seorang remaja bereaksi secara emosional terhadap mata pelajaran akademis baru, dan bagi sebagian orang, reaksi ini menghilang dengan cepat. Seringkali minat mereka terhadap belajar dan sekolah juga menurun. Seperti yang ditunjukkan oleh penelitian psikologis, alasan utamanya terletak pada kurangnya pengembangan keterampilan belajar pada siswa, yang tidak memungkinkan untuk memenuhi kebutuhan zaman saat ini - kebutuhan akan penegasan diri.
Salah satu cara untuk meningkatkan efektivitas pembelajaran adalah dengan pembentukan motif belajar yang bertujuan. Hal ini berkaitan langsung dengan terpenuhinya kebutuhan usia yang berlaku. Salah satu kebutuhan tersebut adalah kognitif. Jika terpuaskan, ia mengembangkan minat kognitif yang stabil, yang menentukan sikap positifnya terhadap mata pelajaran akademik. Remaja sangat tertarik dengan kesempatan untuk memperluas, memperkaya pengetahuannya, mendalami hakikat fenomena yang diteliti, dan menjalin hubungan sebab akibat. Mereka merasakan kepuasan emosional yang luar biasa dari kegiatan penelitian. Kegagalan untuk memenuhi kebutuhan kognitif dan minat kognitif tidak hanya menyebabkan kebosanan dan ketidakpedulian, tetapi terkadang sikap negatif yang tajam terhadap “subjek yang tidak menarik”. Dalam hal ini, baik isi maupun proses, metode, dan teknik memperoleh pengetahuan sama pentingnya.
Minat remaja berbeda-beda dalam arah aktivitas kognitifnya. Ada siswa yang lebih menyukai materi deskriptif, tertarik pada fakta individu, ada yang berusaha memahami hakikat fenomena yang dipelajari, menjelaskannya dari sudut pandang teori, ada yang lebih aktif menggunakan ilmunya dalam kegiatan praktik, ada pula yang kreatif. , kegiatan penelitian. 15]
Selain minat kognitif, pemahaman tentang pentingnya pengetahuan juga penting untuk sikap positif remaja terhadap pembelajaran. Sangat penting bagi mereka untuk menyadari dan memahami pentingnya pengetahuan dan, yang terpenting, pentingnya bagi pengembangan pribadi. Seorang remaja menyukai banyak mata pelajaran pendidikan karena memenuhi kebutuhannya sebagai pribadi yang berkembang secara menyeluruh. Keyakinan dan minat, yang menyatu, menciptakan peningkatan nada emosi pada remaja dan menentukan sikap aktif mereka dalam belajar.
Jika seorang remaja tidak melihat pentingnya pengetahuan, maka ia mungkin mengembangkan keyakinan negatif dan sikap negatif terhadap mata pelajaran akademis yang ada. Yang sangat penting ketika remaja mempunyai sikap negatif terhadap pembelajaran adalah kesadaran dan pengalaman kegagalan mereka dalam menguasai mata pelajaran akademik tertentu. Takut gagal, takut kalah terkadang membuat remaja mencari alasan yang masuk akal untuk tidak bersekolah atau meninggalkan kelas. Kesejahteraan emosional seorang remaja sangat bergantung pada penilaian aktivitas pendidikannya oleh orang dewasa. Seringkali makna penilaian bagi seorang remaja adalah keinginan untuk mencapai keberhasilan dalam proses pendidikan sehingga memperoleh keyakinan akan kemampuan dan kemampuannya. Hal ini disebabkan adanya kebutuhan dominan usia seperti kebutuhan untuk menyadari dan mengevaluasi diri sebagai pribadi, kelebihan dan kekurangannya. Penelitian menunjukkan bahwa pada masa remaja harga diri memainkan peran yang dominan. Bagi kesejahteraan emosional seorang remaja, sangat penting bahwa penilaian dan harga diri bertepatan. Jika tidak, konflik internal dan terkadang eksternal akan muncul.
Di kelas menengah, siswa mulai mempelajari dan menguasai dasar-dasar sains. Siswa harus menguasai sejumlah besar pengetahuan. Materi yang harus dikuasai di satu sisi memerlukan tingkat pendidikan, kognitif dan aktivitas mental yang lebih tinggi dari sebelumnya, dan di sisi lain ditujukan untuk pengembangannya. Siswa harus menguasai sistem konsep dan istilah ilmiah, oleh karena itu mata pelajaran akademik baru menuntut metode perolehan pengetahuan dan ditujukan untuk mengembangkan kecerdasan tingkat yang lebih tinggi - pemikiran teoritis, formal, reflektif. Pemikiran seperti ini biasa terjadi pada masa remaja, namun mulai berkembang pada remaja yang lebih muda.
Hal baru dalam perkembangan pemikiran remaja terletak pada sikapnya terhadap tugas-tugas intelektual sebagai tugas yang memerlukan penyelesaian mental awal. Kemampuan untuk beroperasi dengan hipotesis dalam memecahkan masalah intelektual merupakan perolehan terpenting seorang remaja dalam menganalisis realitas. Pemikiran konjektif adalah alat penalaran ilmiah yang khas, oleh karena itu disebut pemikiran reflektif. Meskipun asimilasi konsep-konsep ilmiah di sekolah itu sendiri menciptakan sejumlah kondisi obyektif bagi pembentukan pemikiran teoretis pada anak sekolah, namun tidak terbentuk pada setiap orang: siswa yang berbeda mungkin memiliki tingkat dan kualitas pembentukan aktualnya yang berbeda-beda.
Pemikiran teoritis dapat dibentuk tidak hanya dengan penguasaan ilmu sekolah. Ucapan menjadi terkendali dan terkendali, dan dalam beberapa situasi pribadi yang penting, remaja khususnya berusaha untuk berbicara dengan indah dan benar. Dalam proses dan hasil asimilasi konsep-konsep ilmiah, terciptalah isi pemikiran baru, bentuk-bentuk aktivitas intelektual baru. Indikator signifikan dari kurangnya asimilasi pengetahuan teoritis adalah ketidakmampuan seorang remaja untuk memecahkan masalah yang memerlukan penggunaan pengetahuan tersebut.
Tempat sentral mulai ditempati oleh analisis isi materi, orisinalitasnya, dan logika internal. Beberapa remaja dicirikan oleh fleksibilitas dalam memilih cara belajar, yang lain lebih menyukai satu metode, dan beberapa mencoba mengatur dan memproses materi apa pun secara logis. Kemampuan mengolah materi secara logis seringkali berkembang secara spontan pada remaja. Tidak hanya prestasi akademis, kedalaman dan kekuatan pengetahuan, tetapi juga kemungkinan pengembangan lebih lanjut kecerdasan dan kemampuan remaja bergantung pada hal ini.
§ 3. Organisasi kegiatan pendidikankarakteristik anak sekolah di kelas 7–9
Menyelenggarakan kegiatan pendidikan remaja merupakan tugas yang paling penting dan kompleks. Seorang siswa sekolah menengah cukup mampu memahami argumen guru atau orang tua dan menyetujui argumen yang masuk akal. Namun karena kekhasan berpikir yang menjadi ciri zaman ini, seorang remaja tidak lagi puas dengan proses penyampaian informasi dalam bentuk yang sudah jadi dan utuh. Dia ingin memeriksa keandalannya, untuk memastikan bahwa penilaiannya benar. Perselisihan dengan guru, orang tua, dan teman merupakan ciri khas zaman ini. Peran penting mereka adalah memungkinkan Anda bertukar pendapat tentang suatu topik, memeriksa kebenaran pandangan Anda dan pandangan yang diterima secara umum, dan mengekspresikan diri. Secara khusus, dalam pengajaran, pengenalan tugas-tugas berbasis masalah memiliki pengaruh yang besar. Landasan pendekatan pengajaran ini dikembangkan pada tahun 60an dan 70an abad ke-20 oleh guru dalam negeri. Dasar dari semua tindakan dalam pendekatan berbasis masalah adalah kesadaran akan kurangnya pengetahuan untuk memecahkan masalah tertentu dan menyelesaikan kontradiksi. Dalam kondisi modern, pendekatan ini hendaknya dilaksanakan dalam konteks tingkat pencapaian ilmu pengetahuan modern dan tugas sosialisasi siswa.
Penting untuk mendorong berpikir mandiri, siswa mengungkapkan sudut pandangnya sendiri, kemampuan membandingkan, menemukan ciri-ciri umum dan khas, menonjolkan hal yang pokok, menjalin hubungan sebab-akibat, dan menarik kesimpulan.
Bagi seorang remaja, informasi menarik dan mempesona yang merangsang imajinasinya dan membuatnya berpikir sangatlah penting. Efek yang baik dicapai dengan mengubah jenis kegiatan secara berkala - tidak hanya di kelas, tetapi juga saat mempersiapkan pekerjaan rumah. Berbagai jenis pekerjaan dapat menjadi cara yang sangat efektif untuk meningkatkan perhatian dan cara penting untuk mencegah kelelahan fisik secara umum, baik yang terkait dengan beban pendidikan maupun dengan proses umum restrukturisasi radikal tubuh selama masa pubertas. 20]
Sebelum mempelajari bagian-bagian yang relevan dari kurikulum sekolah, siswa sering kali sudah memiliki ide dan konsep sehari-hari tertentu yang memungkinkan mereka menavigasi praktik sehari-hari dengan cukup baik. Keadaan ini, dalam kasus di mana perhatian mereka tidak secara khusus tertuju pada hubungan pengetahuan yang mereka peroleh dengan kehidupan praktis, membuat banyak siswa kehilangan kebutuhan untuk memperoleh dan mengasimilasi pengetahuan baru, karena pengetahuan baru tidak memiliki arti praktis bagi mereka.
Cita-cita moral dan keyakinan moral remaja terbentuk di bawah pengaruh berbagai faktor, khususnya penguatan potensi pendidikan pembelajaran. Dalam memecahkan masalah kehidupan yang kompleks, lebih banyak perhatian harus diberikan pada metode tidak langsung untuk mempengaruhi kesadaran remaja: tidak menyajikan kebenaran moral yang sudah jadi, tetapi mengarah ke sana, dan tidak mengungkapkan penilaian kategoris yang dapat dirasakan oleh remaja dengan rasa permusuhan.
§ 4. Penelitian pendidikan dalam sistem kebutuhan dasar isi pendidikan matematika dan tingkat persiapan siswa
Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter adalah bahan yang sangat baik untuk pekerjaan penelitian nyata. Namun kurikulum sekolah tidak memasukkan masalah parameter sebagai topik tersendiri.
Mari kita menganalisis berbagai bagian standar pendidikan sekolah Rusia dari sudut pandang mengidentifikasi masalah yang berkaitan dengan pembelajaran untuk memecahkan masalah dengan parameter.
Mempelajari materi program memungkinkan siswa sekolah dasar untuk “mendapatkan pemahaman awal tentang suatu masalah dengan parameter yang dapat direduksi menjadi linier dan kuadrat” dan mempelajari cara membuat grafik fungsi dan menjelajahi lokasi grafik tersebut pada bidang koordinat tergantung pada nilai parameter yang termasuk dalam rumus.
Baris “fungsi” tidak menyebutkan kata “parameter” tetapi menyatakan bahwa siswa mempunyai kesempatan untuk “mengorganisasikan dan mengembangkan pengetahuan tentang fungsi; mengembangkan budaya grafis, belajar “membaca” grafik dengan lancar, merefleksikan sifat-sifat suatu fungsi pada grafik.”
Setelah menganalisis buku teks sekolah tentang aljabar oleh kelompok penulis seperti: Alimov Sh. A. dkk., Makarychev Yu. N. dkk., Mordkovich A.G. dkk., kami sampai pada kesimpulan bahwa masalah dengan parameter dalam buku teks ini adalah diberi sedikit perhatian. Dalam buku pelajaran kelas 7 terdapat beberapa contoh mempelajari soal jumlah akar persamaan linier, mempelajari ketergantungan letak grafik fungsi linier y = kh dan y = kh + b bergantung pada nilainya dari k. Dalam buku teks untuk kelas 8–9, di bagian seperti “Masalah untuk pekerjaan ekstrakurikuler” atau “Latihan pengulangan”, 2–3 tugas diberikan untuk mempelajari akar persamaan kuadrat dan bikuadrat dengan parameter, lokasi grafik a fungsi kuadrat tergantung pada nilai parameternya.
Dalam program matematika untuk sekolah dan kelas dengan kajian mendalam, catatan penjelasan menyatakan “bagian “Persyaratan persiapan matematika siswa” menetapkan perkiraan jumlah pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang harus dikuasai anak sekolah. Ruang lingkup ini tentu saja mencakup pengetahuan, kemampuan dan keterampilan yang perolehan wajibnya oleh semua siswa diatur oleh persyaratan program sekolah pendidikan umum; namun, diusulkan formasi mereka yang berbeda dan berkualitas lebih tinggi. Siswa harus memperoleh kemampuan memecahkan masalah yang tingkat kerumitannya lebih tinggi dari tingkat kerumitan yang dipersyaratkan, merumuskan secara akurat dan kompeten prinsip-prinsip teori yang telah dipelajarinya, dan mengemukakan alasannya sendiri ketika memecahkan masalah…”
Mari kita menganalisis beberapa buku teks untuk siswa dengan pembelajaran matematika tingkat lanjut.
Rumusan masalah tersebut dan penyelesaiannya tidak melampaui cakupan kurikulum sekolah, tetapi kesulitan yang dihadapi siswa dijelaskan, pertama, dengan adanya parameter, dan kedua, dengan percabangan solusi dan jawaban. Namun praktik penyelesaian masalah dengan parameter bermanfaat untuk mengembangkan dan memperkuat kemampuan berpikir logis mandiri serta memperkaya budaya matematika.
Di kelas pendidikan umum di sekolah, sebagai suatu peraturan, perhatian diberikan pada tugas-tugas seperti itu dapat diabaikan. Karena menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter, mungkin, merupakan bagian tersulit dari kursus matematika dasar, hampir tidak disarankan untuk mengajarkan pemecahan masalah seperti itu dengan parameter kepada banyak anak sekolah, tetapi siswa yang kuat yang menunjukkan minat, kecenderungan dan kemampuan dalam matematikawan, yang berusaha untuk bertindak mandiri, mengajar Hal ini tentu diperlukan untuk memecahkan masalah seperti itu. Oleh karena itu, bersama dengan garis metodologi isi tradisional mata pelajaran matematika sekolah seperti garis fungsional, numerik, geometri, garis persamaan dan garis transformasi identik, garis parameter juga harus mengambil posisi tertentu. Isi materi dan kebutuhan siswa pada topik “masalah dengan parameter” tentunya harus ditentukan oleh tingkat persiapan matematika seluruh kelas secara keseluruhan dan setiap individu.
Guru harus membantu memenuhi kebutuhan dan permintaan anak sekolah yang menunjukkan minat, bakat dan kemampuan terhadap mata pelajaran tersebut. Mengenai masalah yang menarik bagi siswa, konsultasi, klub, kelas tambahan dan pilihan dapat diselenggarakan. Ini sepenuhnya berlaku untuk masalah masalah parameter.
§ 5. Penelitian pendidikan tentang struktur aktivitas kognitif anak sekolah
Saat ini yang menjadi persoalan adalah penyiapan siswa yang berupaya bertindak mandiri, melampaui tuntutan guru, yang tidak membatasi ruang lingkup minat dan penelitian aktifnya pada materi pendidikan yang ditawarkan kepadanya, yang mampu menyajikan dan berargumentasi. mempertahankan solusinya terhadap suatu masalah tertentu, yang mampu mengkonkretkan atau, sebaliknya, menggeneralisasikan hasil yang sedang dipertimbangkan, mengidentifikasi hubungan sebab-akibat, dll. Berkaitan dengan hal tersebut, penelitian yang menganalisis dasar-dasar psikologi kreativitas matematika di sekolah -anak usia, mengkaji masalah pengelolaan proses aktivitas mental siswa, pembentukan dan pengembangan keterampilannya untuk memperoleh pengetahuan secara mandiri, menerapkan pengetahuan, mengisi dan mensistematisasikannya, masalah peningkatan aktivitas aktivitas kognitif anak sekolah (L.S. Vygotsky, P.Ya.Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L.
Metode pengajaran penelitian mencakup dua metode penelitian: pendidikan dan ilmiah.
Memecahkan sebagian besar masalah kursus matematika sekolah mengasumsikan bahwa siswa telah mengembangkan kualitas seperti penguasaan aturan dan algoritma tindakan sesuai dengan program saat ini, dan kemampuan untuk melakukan penelitian dasar. Penelitian dalam sains berarti studi tentang suatu objek untuk mengidentifikasi pola kemunculannya dan perkembangan transformasinya. Dalam proses penelitian digunakan akumulasi pengalaman sebelumnya, pengetahuan yang ada, serta metode dan cara (teknik) mempelajari objek. Hasil penelitian hendaknya berupa perolehan pengetahuan ilmiah baru.
Dalam penerapan proses pengajaran matematika di sekolah menengah, penting untuk diperhatikan hal-hal berikut: komponen utama penelitian pendidikan meliputi perumusan masalah penelitian, kesadaran akan tujuannya, analisis awal informasi yang tersedia tentang masalah yang sedang dipertimbangkan, syarat dan cara pemecahan masalah yang dekat dengan masalah penelitian, mengajukan dan merumuskan hipotesis awal, analisis dan generalisasi hasil yang diperoleh selama penelitian, verifikasi hipotesis awal berdasarkan fakta yang diperoleh, rumusan akhir hasil, pola, sifat baru , penentuan tempat ditemukannya solusi terhadap masalah yang diajukan dalam sistem pengetahuan yang ada. Tempat utama di antara objek-objek penelitian pendidikan ditempati oleh konsep-konsep dan hubungan-hubungan mata pelajaran matematika sekolah, yang dalam proses pembelajarannya terungkap pola-pola perubahan dan transformasinya, kondisi-kondisi pelaksanaannya, keunikannya, dan lain-lain.
Potensi serius dalam pembentukan keterampilan penelitian seperti kemampuan mengamati, membandingkan, mengajukan, membuktikan atau menyangkal hipotesis, kemampuan menggeneralisasi, dll., memiliki tugas membangun dalam mata kuliah geometri, persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter dalam mata kuliah aljabar, yang disebut masalah dinamis, dalam proses penyelesaiannya siswa menguasai teknik dasar aktivitas mental: analisis, sintesis (analisis melalui sintesis, sintesis melalui analisis), generalisasi, spesifikasi, dll., dengan sengaja mengamati perubahan objek , mengajukan dan merumuskan hipotesis mengenai sifat-sifat objek yang dipertimbangkan, menguji hipotesis yang diajukan, menentukan tempat hasil yang dipelajari dalam sistem pengetahuan yang diperoleh sebelumnya, signifikansi praktisnya. Pengorganisasian penelitian pendidikan oleh guru sangatlah penting. Metode pengajaran aktivitas mental, kemampuan untuk melakukan unsur-unsur penelitian - tujuan-tujuan ini terus-menerus menarik perhatian guru, mendorongnya untuk menemukan jawaban atas banyak pertanyaan metodologis yang berkaitan dengan pemecahan masalah yang sedang dipertimbangkan.
Mempelajari banyak isu program memberikan peluang bagus untuk menciptakan gambaran yang lebih holistik dan lengkap terkait dengan pertimbangan suatu masalah tertentu.
Dalam proses penelitian pendidikan, pengetahuan dan pengalaman yang dikumpulkan siswa dalam mempelajari objek matematika disintesis. Yang sangat penting dalam mengatur penelitian pendidikan siswa adalah menarik perhatiannya (pertama tidak disengaja, dan kemudian sukarela), menciptakan kondisi untuk observasi: memastikan kesadaran yang mendalam, sikap yang diperlukan siswa terhadap pekerjaan, objek studi (“https:/ /situs", 9).
Dalam pengajaran matematika di sekolah, ada dua tingkat penelitian pendidikan yang berkaitan erat: empiris dan teoritis. Yang pertama dicirikan oleh pengamatan terhadap fakta-fakta individu, klasifikasinya, dan pembentukan hubungan logis di antara fakta-fakta tersebut, yang dapat diverifikasi oleh pengalaman. Tingkat teoritis penelitian pendidikan berbeda karena siswa merumuskan hukum-hukum matematika umum, yang atas dasar itu tidak hanya fakta-fakta baru, tetapi juga fakta-fakta yang diperoleh pada tingkat empiris ditafsirkan lebih dalam.
Melakukan penelitian pendidikan mengharuskan siswa untuk menggunakan metode khusus, yang hanya khas untuk matematika, dan metode umum; analisis, sintesis, induksi, deduksi, dan lain-lain, digunakan dalam kajian objek dan fenomena berbagai disiplin ilmu sekolah.
Pengorganisasian penelitian pendidikan oleh guru sangatlah penting. Dalam penerapan proses pengajaran matematika di sekolah menengah, penting untuk diperhatikan hal-hal berikut: komponen utama penelitian pendidikan meliputi perumusan masalah penelitian, kesadaran akan tujuannya, analisis awal informasi yang tersedia tentang masalah yang sedang dipertimbangkan, syarat dan cara pemecahan masalah yang dekat dengan masalah penelitian, mengajukan dan merumuskan hipotesis awal, analisis dan generalisasi hasil yang diperoleh selama penelitian, pembuktian hipotesis awal berdasarkan fakta yang diperoleh, rumusan akhir hasil baru, pola, sifat-sifat, penentuan tempat ditemukannya solusi terhadap masalah yang diajukan dalam sistem pengetahuan yang ada. Tempat utama di antara objek-objek penelitian pendidikan ditempati oleh konsep-konsep dan hubungan-hubungan mata pelajaran matematika sekolah, yang dalam proses pembelajarannya terungkap pola-pola perubahan dan transformasinya, kondisi-kondisi pelaksanaannya, keunikannya, dan lain-lain.
Cocok untuk penelitian pendidikan adalah materi yang berkaitan dengan kajian fungsi-fungsi yang dipelajari pada mata kuliah aljabar. Sebagai contoh, perhatikan fungsi linier.
Tugas: Menyelidiki fungsi linier genap dan ganjil. Petunjuk: Perhatikan kasus berikut:
2) a = 0 dan b? 0;
3) sebuah? 0 dan b = 0;
4) sebuah? 0 dan b? 0.
Sebagai hasil penelitian, isilah tabel yang menunjukkan hasil yang diperoleh pada perpotongan baris dan kolom yang bersangkutan.
Sebagai hasil dari penyelesaiannya, siswa akan menerima tabel berikut:
genap dan ganjil | ||
aneh | tidak genap maupun ganjil |
Simetrinya membangkitkan rasa kepuasan dan keyakinan akan kebenaran pengisian.
Pembentukan metode aktivitas mental memainkan peran penting baik dalam perkembangan anak sekolah secara keseluruhan maupun untuk menanamkan dalam diri mereka keterampilan melakukan penelitian pendidikan (secara umum atau sebagian).
Hasil penelitian pendidikan adalah pengetahuan baru yang subjektif tentang sifat-sifat objek (hubungan) yang ditinjau dan penerapan praktisnya. Sifat-sifat ini mungkin disertakan atau tidak dalam kurikulum matematika sekolah menengah. Perlu diketahui bahwa kebaruan hasil kegiatan siswa ditentukan baik oleh sifat pencarian cara melaksanakan kegiatan, metode kegiatan itu sendiri, maupun tempat hasil yang diperoleh dalam sistem pengetahuan. siswa itu.
Metode pengajaran matematika yang menggunakan penelitian pendidikan disebut penelitian, terlepas dari apakah skema penelitian pendidikan dilaksanakan secara penuh atau sebagian.
Dalam melaksanakan setiap tahapan penelitian pendidikan, unsur kegiatan pertunjukan dan kreatif harus ada. Hal ini paling jelas terlihat dalam kasus seorang siswa yang secara mandiri melakukan penelitian tertentu. Selain itu, dalam penelitian pendidikan, beberapa tahapan dapat dilaksanakan oleh guru, tahapan lainnya dapat dilakukan oleh siswa sendiri. Tingkat kemandirian tergantung pada banyak faktor, khususnya pada tingkat pembentukan, kemampuan mengamati suatu objek (proses tertentu), kemampuan memusatkan perhatian pada subjek yang sama, kadang-kadang dalam waktu yang cukup lama, kemampuan untuk melihat masalah, merumuskan dengan jelas dan tidak ambigu, kemampuan untuk menemukan dan menggunakan asosiasi yang sesuai (terkadang tidak terduga), kemampuan menganalisis pengetahuan yang ada secara terkonsentrasi untuk memilih informasi yang diperlukan, dll.
Kita juga tidak bisa melebih-lebihkan pengaruh imajinasi, intuisi, inspirasi, kemampuan (dan mungkin bakat atau kejeniusan) siswa terhadap keberhasilan kegiatan penelitiannya.
§ 6 . Penelitian dalam sistem metode pengajaran
Lebih dari selusin penelitian mendasar telah dikhususkan untuk metode pengajaran, yang menjadi sandaran keberhasilan pekerjaan guru dan sekolah secara keseluruhan. Meskipun demikian, masalah metode pengajaran, baik dalam teori pengajaran maupun praktik pedagogi, masih sangat relevan. Konsep metode pengajaran cukup kompleks. Hal ini disebabkan oleh kompleksitas proses yang luar biasa yang ingin dicerminkan oleh kategori ini. Banyak penulis menganggap metode pengajaran sebagai cara mengatur aktivitas pendidikan dan kognitif siswa.
Kata “metode” berasal dari bahasa Yunani dan diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia berarti penelitian, metode. “Metode – dalam pengertian yang paling umum – adalah cara untuk mencapai suatu tujuan, cara tertentu dalam mengatur aktivitas.” Jelas terlihat bahwa dalam proses pembelajaran metode berperan sebagai penghubung antara aktivitas guru dan siswa untuk mencapai tujuan pendidikan tertentu. Dari sudut pandang ini, setiap metode pengajaran secara organik mencakup pekerjaan mengajar guru (presentasi, penjelasan materi yang dipelajari) dan pengorganisasian aktivitas pendidikan dan kognitif aktif siswa. Dengan demikian, konsep metode pengajaran mencerminkan:
1. Metode kerja mengajar guru dan metode kerja pendidikan siswa dalam keterkaitannya.
2. Kekhususan pekerjaannya untuk mencapai berbagai tujuan pembelajaran. Dengan demikian, metode pengajaran adalah cara-cara kegiatan bersama antara guru dan siswa yang bertujuan untuk memecahkan masalah-masalah belajar, yaitu tugas-tugas didaktik.
Artinya, metode pengajaran harus dipahami sebagai metode kerja mengajar guru dan pengorganisasian aktivitas pendidikan dan kognitif siswa untuk menyelesaikan berbagai tugas didaktik yang bertujuan untuk menguasai materi yang dipelajari. Salah satu masalah akut didaktik modern adalah masalah pengklasifikasian metode pengajaran. Saat ini tidak ada sudut pandang tunggal mengenai masalah ini. Karena kenyataan bahwa penulis yang berbeda mendasarkan pembagian metode pengajaran ke dalam kelompok dan subkelompok menurut kriteria yang berbeda, terdapat beberapa klasifikasi. Namun pada tahun 20-an dalam pedagogi Soviet terjadi perjuangan melawan metode pengajaran skolastik dan pembelajaran hafalan mekanis yang berkembang di sekolah lama dan pencarian dilakukan untuk metode yang akan memastikan perolehan pengetahuan secara sadar, aktif dan kreatif oleh siswa. Pada tahun-tahun itulah guru B.V. Vieviatsky mengembangkan posisi bahwa hanya ada dua metode dalam pengajaran: metode penelitian dan metode pengetahuan siap pakai. Metode pengetahuan yang sudah jadi tentu saja dikritik. Metode penelitian, yang intinya bermuara pada kenyataan bahwa siswa seharusnya mempelajari segala sesuatu berdasarkan pengamatan dan analisis terhadap fenomena yang dipelajari, secara mandiri mendekati kesimpulan yang diperlukan, diakui sebagai metode pengajaran yang paling penting. Metode penelitian yang sama di kelas mungkin tidak diterapkan pada semua topik.
Selain itu, inti dari metode ini adalah guru memecah suatu permasalahan menjadi submasalah, dan siswa melakukan langkah-langkah individual untuk menemukan solusinya. Setiap langkah melibatkan aktivitas kreatif, namun belum ada solusi holistik terhadap masalah tersebut. Selama penelitian, mahasiswa menguasai metode ilmu pengetahuan dan mengembangkan pengalaman dalam kegiatan penelitian. Aktivitas siswa yang dilatih dengan metode ini adalah menguasai teknik mengajukan masalah secara mandiri, mencari cara penyelesaiannya, tugas penelitian, mengajukan dan mengembangkan masalah yang disajikan guru kepada mereka.
Dapat juga dicatat bahwa psikologi menetapkan beberapa pola dengan psikologi perkembangan. Sebelum Anda mulai menangani siswa menggunakan metode, Anda perlu mempelajari metode mempelajari psikologi perkembangan mereka secara menyeluruh. Keakraban dengan metode-metode ini dapat memberikan manfaat praktis langsung bagi penyelenggara proses ini, karena metode-metode ini tidak hanya cocok untuk penelitian ilmiah seseorang, tetapi juga untuk mengatur studi mendalam tentang anak-anak untuk tujuan pendidikan praktis. Pendekatan individual terhadap pelatihan dan pendidikan melibatkan pengetahuan dan pemahaman yang baik tentang karakteristik psikologis individu siswa dan keunikan kepribadian mereka. Oleh karena itu, guru perlu menguasai kemampuan menelaah siswa, untuk melihat bukan sebagai massa siswa yang homogen dan abu-abu, melainkan suatu kolektif di mana setiap orang mewakili sesuatu yang istimewa, individual, dan unik. Pembelajaran seperti ini merupakan tugas setiap guru, namun tetap perlu diselenggarakan dengan baik.
Salah satu metode utama pengorganisasian adalah metode observasi. Tentu saja jiwa tidak bisa diamati secara langsung. Metode ini melibatkan pengetahuan tidak langsung tentang karakteristik individu dari jiwa manusia melalui studi tentang perilakunya. Artinya, di sini perlu menilai siswa berdasarkan karakteristik individu (tindakan, perbuatan, ucapan, penampilan, dll), keadaan mental siswa (proses persepsi, ingatan, berpikir, imajinasi, dll), dan berdasarkan ciri-ciri kepribadiannya, temperamen, karakternya. Semua ini diperlukan bagi siswa yang bekerja sama dengan guru yang menggunakan metode pengajaran penelitian ketika melakukan beberapa tugas.
Memecahkan sebagian besar masalah kursus matematika sekolah mengasumsikan bahwa siswa telah mengembangkan kualitas seperti penguasaan aturan dan algoritma tindakan sesuai dengan program saat ini, dan kemampuan untuk melakukan penelitian dasar. Penelitian dalam sains berarti studi tentang suatu objek untuk mengidentifikasi pola kemunculan, perkembangan, dan transformasinya. Dalam proses penelitian digunakan akumulasi pengalaman sebelumnya, pengetahuan yang ada, serta metode dan cara (teknik) mempelajari objek. Hasil penelitian hendaknya berupa perolehan pengetahuan ilmiah baru. Metode pengajaran aktivitas mental, kemampuan untuk melakukan unsur-unsur penelitian - tujuan-tujuan ini terus-menerus menarik perhatian guru, mendorongnya untuk menemukan jawaban atas banyak pertanyaan metodologis yang berkaitan dengan pemecahan masalah yang sedang dipertimbangkan. Mempelajari banyak isu program memberikan peluang bagus untuk menciptakan gambaran yang lebih holistik dan lengkap terkait dengan pertimbangan tugas tertentu. Metode penelitian dalam pengajaran matematika secara alami cocok dengan klasifikasi metode pengajaran tergantung pada sifat aktivitas siswa dan tingkat kemandirian kognitif mereka. Agar berhasil menyelenggarakan kegiatan penelitian siswa, guru harus memahami dan mempertimbangkan kualitas pribadinya dan fitur prosedural dari jenis kegiatan ini, serta tingkat kemahiran siswa dalam materi pelajaran yang dipelajari. Tidak mungkin melebih-lebihkan pengaruh imajinasi, intuisi, inspirasi, dan kemampuan siswa terhadap keberhasilan kegiatan penelitiannya.
Bentuk tugas dalam metode penelitian bisa berbeda-beda. Ini bisa berupa tugas yang dapat diselesaikan dengan cepat di kelas dan di rumah, atau tugas yang memerlukan keseluruhan pelajaran. Sebagian besar tugas penelitian harus berupa tugas pencarian kecil yang memerlukan penyelesaian seluruh atau sebagian besar langkah proses penelitian. Solusi lengkapnya akan memastikan bahwa metode penelitian memenuhi fungsinya. Tahapan proses penelitian adalah sebagai berikut:
1 Pengamatan yang bertujuan dan perbandingan fakta dan fenomena.
Identifikasi fenomena yang tidak jelas untuk diselidiki.
Analisis awal atas informasi yang tersedia tentang masalah yang sedang dipertimbangkan.
4. Proposisi dan rumusan hipotesis.
5. Penyusunan rencana penelitian.
Implementasi rencana, memperjelas hubungan fenomena yang diteliti dengan fenomena lain.
Perumusan hasil baru, pola, sifat, penentuan tempat ditemukannya solusi penelitian yang ditugaskan dalam sistem pengetahuan yang ada.
Memeriksa solusi yang ditemukan.
Kesimpulan praktis tentang kemungkinan penerapan pengetahuan baru.
§ 7 . Kemampuan untuk meneliti dalam sistemkami memiliki pengetahuan khusus
Keterampilan adalah penerapan secara sadar pengetahuan dan keterampilan siswa untuk melakukan tindakan kompleks dalam berbagai kondisi, yaitu untuk memecahkan masalah yang relevan, karena pelaksanaan setiap tindakan kompleks bertindak bagi siswa sebagai solusi terhadap masalah tersebut.
Keterampilan penelitian dapat dibagi menjadi umum dan khusus. Keterampilan penelitian umum yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian masalah dengan parameter, antara lain: kemampuan melihat dibalik persamaan tertentu dengan parameter berbagai kelas persamaan, ditandai dengan adanya umum bilangan dan jenis persamaan. akar; kemampuan menguasai metode analitis dan grafis-analitis.
Keterampilan penelitian khusus mencakup keterampilan yang dibentuk dan dikembangkan dalam proses pemecahan suatu kelas masalah tertentu.
Saat menyelesaikan persamaan linier yang mengandung parameter, keterampilan khusus berikut akan terbentuk:
§ Kemampuan untuk mengidentifikasi nilai parameter khusus yang dimiliki persamaan linier tertentu:
Akar tunggal;
Jumlah akar yang tak terbatas;
3) Tidak mempunyai akar;
Kemampuan untuk menafsirkan jawaban dalam bahasa tugas aslinya. Keterampilan penelitian khusus yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian pertidaksamaan linier yang mengandung suatu parameter, antara lain:
§ Kemampuan untuk melihat koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas sebagai fungsi dari parameter;
§ Kemampuan untuk mengidentifikasi nilai parameter khusus yang solusinya adalah pertidaksamaan linier tertentu:
1) Interval;
2) Tidak mempunyai solusi;
§ Kemampuan menafsirkan jawaban dalam bahasa tugas aslinya.Keterampilan penelitian khusus, yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian persamaan kuadrat yang mengandung parameter, meliputi:
§ Kemampuan untuk mengidentifikasi nilai khusus dari suatu parameter di mana koefisien utama menjadi nol, yaitu persamaan menjadi linier dan untuk menemukan solusi terhadap persamaan yang dihasilkan untuk nilai khusus parameter yang diidentifikasi;
§ Kemampuan untuk menyelesaikan pertanyaan tentang keberadaan dan jumlah akar persamaan kuadrat tertentu tergantung pada tanda diskriminannya;
§ Kemampuan untuk menyatakan akar persamaan kuadrat melalui parameter (jika tersedia);
Di antara keterampilan penelitian khusus yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian persamaan rasional pecahan yang mengandung parameter dan direduksi menjadi persamaan kuadrat, antara lain:
§ Kemampuan untuk mereduksi persamaan rasional pecahan yang mengandung parameter menjadi persamaan kuadrat yang mengandung parameter.
Keterampilan penelitian khusus yang pembentukan dan pengembangannya terjadi dalam proses penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang mengandung suatu parameter, antara lain:
§ Kemampuan untuk mengidentifikasi nilai khusus suatu parameter yang koefisien utamanya menjadi nol, yaitu pertidaksamaan menjadi linier dan menemukan banyak solusi terhadap pertidaksamaan yang dihasilkan untuk nilai khusus parameter tersebut;
§ Kemampuan untuk menyatakan himpunan solusi pertidaksamaan kuadrat melalui suatu parameter.
Di bawah ini tercantum keterampilan pendidikan yang diterjemahkan ke dalam pengajaran dan penelitian, serta keterampilan penelitian.
kelas 6−7:
- dengan cepat menggunakan pengetahuan lama dalam situasi memperoleh pengetahuan baru;
- dengan bebas mentransfer serangkaian tindakan mental dari satu materi ke materi lainnya, dari satu objek ke objek lainnya;
mendistribusikan pengetahuan yang diperoleh ke lebih banyak objek;
menggabungkan proses “runtuhnya” dan “perluasan” pengetahuan;
dengan sengaja merangkum gagasan-gagasan teks dengan menonjolkan gagasan-gagasan utama dalam segmen-segmen dan bagian-bagiannya;
mensistematisasikan dan mengklasifikasikan informasi;
— membandingkan informasi tentang sistem karakteristik, menyoroti persamaan dan perbedaan;
- mampu menghubungkan bahasa simbolik dengan ucapan tertulis dan lisan;
— menganalisis dan merencanakan metode untuk pekerjaan di masa depan;
“menghubungkan” dengan cepat dan bebas komponen-komponen pengetahuan baru;
mampu menyajikan secara ringkas pokok-pokok pikiran dan fakta teks;
- memperoleh pengetahuan baru dengan berpindah dari pengetahuan pembentuk sistem ke pengetahuan spesifik dengan bantuan diagram, tabel, catatan, dll;
menggunakan berbagai bentuk rekaman selama proses mendengarkan yang panjang;
pilih solusi optimal;
membuktikan atau menyangkal dengan menggunakan teknik yang saling terkait;
- menggunakan berbagai jenis analisis dan sintesis;
- pertimbangkan masalah dari sudut pandang yang berbeda;
— mengungkapkan penilaian dalam bentuk algoritma pemikiran.
Pendidikan matematika dalam proses pembentukan pemikiran atau perkembangan mental siswa hendaknya dan diberi tempat yang khusus, karena sarana pengajaran matematika paling efektif mempengaruhi banyak komponen dasar kepribadian secara keseluruhan dan terutama berpikir.
Oleh karena itu, perhatian khusus diberikan pada perkembangan pemikiran siswa, karena justru inilah yang berhubungan dengan semua fungsi mental lainnya: imajinasi, kelenturan pikiran, keluasan dan kedalaman pemikiran, dll. perkembangan berpikir dalam konteks pembelajaran yang berpusat pada siswa, perlu diingat bahwa syarat yang diperlukan bagi terselenggaranya pengembangan tersebut adalah individualisasi pembelajaran. Hal inilah yang memastikan bahwa karakteristik aktivitas mental siswa dari berbagai kategori diperhitungkan.
Jalan menuju kreativitas bersifat individual. Pada saat yang sama, semua siswa dalam proses belajar matematika hendaknya merasakan sifat kreatifnya, mengenal dalam proses pembelajaran matematika beberapa keterampilan dan kemampuan aktivitas kreatif yang akan mereka perlukan dalam kehidupan dan aktivitas masa depan mereka. Untuk mengatasi masalah yang kompleks ini, pengajaran matematika harus disusun sedemikian rupa sehingga siswa sering mencari kombinasi baru, mentransformasikan sesuatu, fenomena, proses realitas, dan mencari hubungan yang tidak diketahui antar objek.
Cara terbaik untuk memperkenalkan siswa pada aktivitas kreatif ketika mengajar matematika adalah kerja mandiri dalam segala bentuk dan manifestasinya. Yang sangat mendasar dalam hal ini adalah pernyataan Akademisi P. L. Kapitsa bahwa kemandirian merupakan salah satu sifat paling mendasar dari kepribadian kreatif, karena penanaman kemampuan kreatif dalam diri seseorang didasarkan pada pengembangan pemikiran mandiri.
Tingkat kesiapan siswa dan kelompok belajar untuk melakukan kegiatan kreatif mandiri dapat diketahui dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
Seberapa efektif siswa dapat menggunakan catatan, catatan referensi, dan membaca diagram serta berbagai jenis tabel?
Apakah siswa mengetahui bagaimana mengevaluasi secara objektif ide-ide yang diajukan ketika guru memecahkan suatu masalah, dan mempertimbangkan kemungkinan penerapannya? 3) Seberapa cepat anak sekolah berpindah dari satu cara pemecahan masalah ke cara lain? 4) Menganalisis efektivitas orientasi siswa selama pembelajaran pada pengorganisasian diri kerja mandiri; 5) Menggali kemampuan siswa dalam memodelkan dan memecahkan masalah secara fleksibel.
Bab 2. Analisis metodologis topik “Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter” dan pengembangan mata kuliah pilihan “Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter”
§ 1. Peran Dan tempat parametrik persamaan Dan kesenjangan dalam formasi riset keahliansiswa
Meskipun kurikulum matematika sekolah menengah tidak secara eksplisit menyebutkan masalah dengan parameter, namun salah jika mengatakan bahwa masalah penyelesaian masalah dengan parameter sama sekali tidak dibahas dalam kursus matematika sekolah. Cukuplah mengingat persamaan sekolah: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, di mana a, b, c, k tidak lebih dari parameter. Namun dalam kerangka kursus sekolah, perhatian tidak terfokus pada konsep, parameter, perbedaannya dari yang tidak diketahui.
Pengalaman menunjukkan bahwa masalah dengan parameter adalah bagian paling kompleks dari matematika dasar dalam istilah logis dan teknis, meskipun dari sudut pandang formal, isi matematika dari masalah tersebut tidak melampaui batas program. Hal ini disebabkan oleh perbedaan sudut pandang terhadap parameter. Di satu sisi, parameter dapat dianggap sebagai variabel, yang dianggap sebagai nilai konstan ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan; di sisi lain, parameter adalah besaran yang nilai numeriknya tidak diberikan, tetapi harus dianggap diketahui, dan parameter dapat mengambil nilai sewenang-wenang, yaitu parameter, karena bilangan tetap tetapi tidak diketahui, memiliki sifat ganda. Pertama, asumsi diketahui memungkinkan parameter diperlakukan sebagai angka, dan kedua, derajat kebebasan dibatasi oleh ketidaktahuannya.
Dalam setiap deskripsi sifat parameter, terdapat ketidakpastian - pada tahap penyelesaian apa parameter dapat dianggap sebagai konstanta dan kapan parameter tersebut berperan sebagai variabel. Semua karakteristik parameter yang kontradiktif ini dapat menimbulkan hambatan psikologis tertentu pada siswa di awal perkenalannya.
Dalam hal ini, pada tahap awal pengenalan parameter, sangat berguna untuk menggunakan interpretasi visual dan grafis dari hasil yang diperoleh sesering mungkin. Hal ini tidak hanya memungkinkan siswa untuk mengatasi ketidakpastian alami dari suatu parameter, tetapi juga memberikan kesempatan kepada guru, secara paralel, sebagai propaedeutika, untuk mengajar siswa menggunakan metode pembuktian grafis ketika memecahkan masalah. Kita juga tidak boleh lupa bahwa penggunaan setidaknya ilustrasi grafis skematis dalam beberapa kasus membantu menentukan arah penelitian, dan terkadang memungkinkan kita untuk segera memilih kunci untuk memecahkan suatu masalah. Memang, untuk jenis soal tertentu, bahkan gambar primitif, jauh dari grafik nyata, memungkinkan untuk menghindari berbagai jenis kesalahan dan memperoleh jawaban suatu persamaan atau pertidaksamaan dengan cara yang lebih sederhana.
Penyelesaian masalah matematika secara umum merupakan bagian tersulit dalam aktivitas anak sekolah ketika mempelajari matematika, hal ini disebabkan karena penyelesaian masalah memerlukan tingkat perkembangan kecerdasan yang cukup tinggi pada tingkat tertinggi, yaitu berpikir teoretis, formal, reflektif, dan semacamnya. pemikiran, sebagaimana telah disebutkan, masih berkembang selama masa remaja.
Lembaga pendidikan anggaran negara
Pendidikan umum menengah wilayah Samara
Sekolah No. 2 dinamai demikian. V. Kereta Api Maskina Seni. Klyavlino
distrik kota Klyavlinsky
wilayah Samara
« Persamaan
Dan
kesenjangan
dengan parameter"
tutorial
Klyavlino
tutorial
"Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter" untuk siswa di kelas 10–11
manual ini merupakan lampiran dari program mata kuliah pilihan “Persamaan dan Pertidaksamaan dengan Parameter”, yang lulus ujian eksternal (dewan ahli ilmiah dan metodologi Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan wilayah Samara tertanggal 19 Desember 2008 direkomendasikan untuk digunakan di lembaga pendidikan di wilayah Samara)
Penulis
Romadanova Irina Vladimirovna
guru matematika di Lembaga Pendidikan Menengah Klyavlinskaya
Sekolah No. 2 dinamai demikian. V. Maskina, distrik Klyavlinsky, wilayah Samara
Serbaeva Irina Alekseevna
Pendahuluan……………………………………………………………3-4
Persamaan linier dan pertidaksamaan dengan parameter……………..4-7
Persamaan kuadrat dan pertidaksamaan dengan parameter……………7-9
Persamaan pecahan-rasional dengan parameter……………..10-11
Persamaan irasional dan pertidaksamaan dengan parameter……11-13
Persamaan trigonometri dan pertidaksamaan dengan parameter.14-15
Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan dengan parameter………16-17
Persamaan logaritma dan pertidaksamaan dengan parameter......16-18
Tujuan Ujian Negara Bersatu…………………………………………………...18-20
Tugas untuk kerja mandiri……………………………21-28
Perkenalan.
Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter.
Jika dalam suatu persamaan atau pertidaksamaan beberapa koefisien tidak diberi nilai numerik tertentu, tetapi ditandai dengan huruf, maka disebut parameter, dan persamaan atau pertidaksamaan itu sendiri parametrik.
Untuk menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan parameter, Anda perlu:
Pilih arti khusus- ini adalah nilai parameter yang atau ketika melewati solusi persamaan atau pertidaksamaan berubah.
Mendefinisikan nilai yang valid– ini adalah nilai parameter yang membuat persamaan atau pertidaksamaan tersebut masuk akal.
Menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan parameter berarti:
1) menentukan pada nilai parameter apa solusi yang ada;
2) untuk setiap sistem nilai parameter yang dapat diterima, temukan himpunan solusi yang sesuai.
Anda dapat menyelesaikan persamaan dengan parameter menggunakan metode berikut: analitis atau grafis.
Metode analitis melibatkan tugas mempelajari suatu persamaan dengan mempertimbangkan beberapa kasus, tidak ada satupun yang dapat dilewatkan.
Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter masing-masing jenis menggunakan metode analitis melibatkan analisis situasi yang terperinci dan penelitian yang konsisten, di mana diperlukan "penanganan hati-hati" dengan parameter.
Metode grafis melibatkan pembuatan grafik persamaan, yang darinya seseorang dapat menentukan bagaimana perubahan parameter mempengaruhi solusi persamaan. Grafik terkadang memungkinkan Anda merumuskan secara analitis kondisi yang diperlukan dan cukup untuk memecahkan masalah. Metode solusi grafis sangat efektif ketika Anda perlu menentukan berapa banyak akar persamaan yang bergantung pada parameter dan memiliki keuntungan yang tidak diragukan lagi karena dapat melihatnya dengan jelas.
§ 1. Persamaan dan pertidaksamaan linier.
Persamaan linier A X = B , ditulis dalam bentuk umum, dapat dianggap sebagai persamaan dengan parameter, dimana X - tidak dikenal , A , B - pilihan. Untuk persamaan ini, nilai khusus atau nilai kontrol dari parameternya adalah nilai yang koefisien yang tidak diketahui menjadi nol.
Saat menyelesaikan persamaan linier dengan suatu parameter, kasus dipertimbangkan ketika parameter tersebut sama dengan nilai khususnya dan berbeda darinya.
Nilai parameter khusus A adalah nilainya A = 0.
B = 0 adalah nilai parameter khusus B .
Pada B ¹ 0 persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Pada B = 0 persamaannya akan berbentuk: 0x = 0. Solusi persamaan ini adalah bilangan real apa pun.
Ketimpangan bentuk ah > B Dan kapak < B (sebuah ≠ 0) disebut pertidaksamaan linier. Serangkaian solusi terhadap ketimpangan ah >B– interval
(; +
),
Jika A
> 0
, Dan (-;)
, Jika A< 0
. Begitu pula dengan ketimpangan
Oh<
B
kumpulan solusi - interval(-;),
Jika A
> 0,
Dan (; +),
Jika A< 0.
Contoh 1. Selesaikan persamaannya kapak = 5
Larutan: Ini adalah persamaan linier.
Jika sebuah = 0, lalu persamaannya 0 × x = 5 tidak memiliki solusi.
Jika A¹ 0, x =- solusi persamaan.
Menjawab: pada A¹ 0,x=
untuk a = 0 tidak ada penyelesaian.
Contoh 2. Selesaikan persamaannya kapak – 6 = 2a – 3x.
Larutan: Ini adalah persamaan linier, kapak – 6 = 2a – 3x (1)
kapak + 3x = 2a +6
Menulis ulang persamaan sebagai (a+3)x = 2(a+3), pertimbangkan dua kasus:
sebuah= -3 Dan A¹ -3.
Jika sebuah= -3, maka bilangan real apa pun X adalah akar persamaan (1). Jika A¹ -3 , persamaan (1) mempunyai akar tunggal x = 2.
Menjawab: Pada a = -3,x 
R
;
pada A
¹
-3, x = 2.
Contoh 3. Pada nilai parameter apa A di antara akar-akar persamaan
2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 ada lebih banyak akar 1 ?
Larutan: Mari kita selesaikan persamaannya 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0– persamaan linier
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(Sebuah - 2) x = (Sebuah – 2) 2
Pada sebuah = 2 menyelesaikan persamaan tersebut 0x = 0 akan berupa angka apa pun, termasuk angka yang lebih besar dari 1.
Pada A¹
2 x = 
.
Dengan syarat x > 1, itu adalah >1, dan >4.
Menjawab: Pada A (2) kamu (4;∞).
Contoh 4 . Untuk setiap nilai parameter A carilah jumlah akar persamaannya ah=8.
Larutan. kapak = 8– persamaan linier.
kamu = A– kelompok garis horizontal;
kamu = - Grafiknya adalah hiperbola. Mari kita buat grafik dari fungsi-fungsi ini.
Jawaban: Jika sebuah =0, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi. Jika sebuah ≠ 0, maka persamaan tersebut memiliki satu solusi.
Contoh 5 . Dengan menggunakan grafik, cari tahu berapa banyak akar yang dimiliki persamaan tersebut:
|x| = ah – 1.
kamu =| x | ,
kamu = ah – 1– grafiknya adalah garis lurus yang melalui suatu titik (0;-1).
Mari kita buat grafik dari fungsi-fungsi ini.
Jawaban: Kapan |a|>1- satu akar
pada | sebuah|≤1 – persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Contoh 6 . Selesaikan ketimpangan kapak + 4 > 2x + a 2
Larutan
:
kapak + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >A
2
– 4. Mari kita pertimbangkan tiga kasus.
Menjawab. x > a + 2 pada sebuah > 2; X<а + 2, pada A< 2; pada sebuah = 2 tidak ada solusi.
§ 2. Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk Oh ² + B x + c = 0 , Di mana a≠ 0,
A, B , Dengan - pilihan.
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan suatu parameter, Anda dapat menggunakan metode solusi standar dengan menggunakan rumus berikut:
1
)
diskriminan persamaan kuadrat:
D
=
B
² - 4
ac
,
(
²-
ac)
2)
rumus akar-akar persamaan kuadrat:X
1
=
, X
2
=
,
(X
1,2 =
)
Pertidaksamaan kuadrat disebut
A X 2 + B x + c > 0,A X 2 + B x + c< 0, (1), (2)
A X 2 + B x + c ≥ 0,A X 2 + B x + c ≤ 0,(3), (4)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (3) diperoleh dengan menggabungkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (1) dan persamaannya , A X 2 + B x + c = 0. Himpunan solusi pertidaksamaan (4) dapat ditemukan dengan cara yang sama.
Jika diskriminan dari trinomial kuadrat
A
X
2
+
B
x + c
kurang dari nol, maka untuk a > 0 trinomialnya positif untuk semua x R.
Jika suatu trinomial kuadrat mempunyai akar-akar (x 1
< х
2
), maka untuk a > 0 bernilai positif di himpunan(-;
x 2 )
(X 2;
+)
dan negatif pada interval tersebut
(x 1; x 2 ). Jika sebuah< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) dan negatif untuk semua x (-;
x 1 )(X 2;
+).
Contoh 1. Selesaikan persamaannya kapak² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
Ini adalah persamaan kuadrat
Larutan: Arti khusus sebuah = 0.
Pada sebuah = 0 kita mendapatkan persamaan linier 2x – 4 = 0. Ia memiliki satu akar x = 2.
Pada sebuah ≠ 0. Mari kita temukan diskriminannya.
D = (a-1)² + 4a = (a+1)²
Jika sebuah = -1, Itu D = 0 - satu akar.
Mari kita cari akarnya dengan melakukan substitusi sebuah = -1.
-x² + 4x – 4= 0, itu adalah x² -4x + 4 = 0, kami menemukan itu x=2.
Jika sebuah ≠ - 1, Itu D
>0
. Dengan menggunakan rumus root kita mendapatkan:x= 
;
X 1 =2,x 2 = -.
Menjawab: Pada a=0 dan a= -1 persamaan tersebut mempunyai satu akar x = 2; pada a ≠ 0 dan
A ≠ - 1 persamaan mempunyai dua akarX 1 =2,x 2 =-.
Contoh 2. Temukan jumlah akar persamaan ini x²-2x-8-a=0 tergantung pada nilai parameter A.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk x²-2x-8=a
kamu = x²-2x-8- grafiknya adalah parabola;
kamu =a- keluarga garis horizontal.
Mari kita membuat grafik fungsi.
Jawaban: Kapan A<-9 , persamaan tersebut tidak memiliki solusi; ketika a=-9, persamaan tersebut memiliki satu solusi; pada a>-9, persamaan tersebut memiliki dua solusi.
Contoh 3. Pada apa A ketidaksamaan (a – 3)x 2 – 2kapak + 3a – 6 >0 berlaku untuk semua nilai x?
Larutan. Trinomial kuadrat bernilai positif untuk semua nilai x jika
a-3 > 0 dan D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
dari situlah berikut ituA
> 6
.
Menjawab.A > 6
§ 3. Persamaan rasional pecahan dengan parameter,
dapat direduksi menjadi linier
Proses penyelesaian persamaan pecahan dilakukan menurut skema biasa: pecahan diganti dengan bilangan bulat dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut ruas kiri dan kanannya. Setelah itu seluruh persamaan diselesaikan, tidak termasuk akar-akar asing, yaitu bilangan-bilangan yang mengubah penyebutnya menjadi nol.
Dalam kasus persamaan dengan parameter, permasalahan ini lebih kompleks. Di sini, untuk “menghilangkan” akar-akar asing, perlu dicari nilai parameter yang mengubah penyebut persekutuan menjadi nol, yaitu menyelesaikan persamaan yang sesuai untuk parameter tersebut.
Contoh 1.
Selesaikan persamaannya 
= 0
Larutan: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – Sebuah = 0, x = Sebuah.
Menjawab: Pada a ≠ - 2, x=a
Pada sebuah = -2 tidak ada akar.
Contoh 2
.
Selesaikan persamaannya 
- 
= 
(1)
Ini adalah persamaan rasional pecahan
Larutan: Arti sebuah = 0 itu spesial. Pada sebuah = 0 persamaan tersebut tidak masuk akal dan karena itu tidak memiliki akar. Jika sebuah ≠ 0, maka setelah transformasi persamaannya akan berbentuk: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- persamaan kuadrat.
Mari kita temukan diskriminannya 
= (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4,
temukan akar persamaannyaX
1
= a + 1, x
2
= a - 3.
Ketika berpindah dari persamaan (1) ke persamaan (2), domain definisi persamaan (1) meluas, yang dapat menyebabkan munculnya akar-akar asing. Oleh karena itu, verifikasi diperlukan.
Penyelidikan. Mari kita kecualikan dari nilai yang ditemukan X mereka yang berada di dalamnya
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
Jika X 1 +1=0, itu adalah (Sebuah+1) + 1= 0, Itu sebuah= -2. Dengan demikian,
pada sebuah= -2 , X 1 -
Jika X 1 +2=0, itu adalah (a+1)+2=0, Itu sebuah = - 3. Jadi, kapan a = - 3,x 1 - akar persamaan yang asing. (1).
Jika X 2 +1=0, itu adalah (Sebuah – 3) + 1= 0, Itu sebuah = 2. Jadi, kapan sebuah = 2x 2 - akar asing dari persamaan (1).
Jika X 2 +2=0, itu adalah ( a – 3) + 2 = 0, Itu sebuah = 1. Jadi, kapan sebuah = 1,
X 2 - akar asing dari persamaan (1).
Sesuai dengan ini, kapan sebuah = - 3 kita mendapatkan x = - 3 – 3 = -6;
pada a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
pada a = 1 x =1 + 1= 2;
pada a = 2 x = 2+1 = 3.
Anda bisa menuliskan jawabannya.
Menjawab: 1) jika sebuah= -3, Itu x= -6; 2) jika sebuah= -2, Itu x= -5; 3) jika sebuah= 0, maka tidak ada akar; 4) jika sebuah= 1, Itu x=2; 5) jika sebuah = 2, Itu x=3; 6) jika a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, lalu x 1 = a + 1, x 2 = a-3.
§4. Persamaan dan pertidaksamaan irasional
Persamaan dan pertidaksamaan yang variabelnya berada di bawah tanda akar disebut irasional.
Menyelesaikan persamaan irasional berarti berpindah dari persamaan irasional ke persamaan rasional dengan mengeksponenkan kedua ruas persamaan atau mengganti variabel. Jika kedua ruas persamaan dipangkatkan genap, akar-akar asing dapat muncul. Oleh karena itu, saat menggunakan metode ini, Anda harus memeriksa semua akar yang ditemukan dengan mensubstitusikannya ke persamaan awal, dengan mempertimbangkan perubahan nilai parameter.
Persamaan bentuk 
=g (x) ekuivalen dengan sistem 
Pertidaksamaan f (x) ≥ 0 mengikuti persamaan f (x) = g 2 (x).
Saat menyelesaikan pertidaksamaan irasional, kita akan menggunakan transformasi ekuivalen berikut:
≤ g(x) 
≥g(x) 
Contoh 1.
Selesaikan persamaannya 
= x + 1 (3)
Ini adalah persamaan yang tidak rasional
Larutan:
Berdasarkan definisi akar aritmatika, persamaan (3) ekuivalen dengan sistem 
.
Pada sebuah = 2 persamaan pertama sistem memiliki bentuk 0x = 5, artinya, tidak ada solusi.
Pada a≠ 2x= 
.
Mari kita cari tahu apa nilainyaA
nilai yang ditemukanX
memenuhi ketimpanganx ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
Di mana sebuah ≤ atau sebuah > 2.
Menjawab: Pada a≤, a > 2 x= ,
pada < а ≤ 2
persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
Contoh 2.
Selesaikan persamaannya 
= sebuah
(Lampiran 4)
Larutan. kamu
=
kamu = sebuah– keluarga garis horizontal.
Mari kita membuat grafik fungsi.
Menjawab: pada A<0 – tidak ada solusi;
pada A≥ 0 - satu solusi.
Contoh 3
. Mari kita selesaikan ketimpangan tersebut(a+1) 
<1.
Larutan. O.D.Z. x ≤ 2. Jika a+1 ≤0, maka pertidaksamaan berlaku untuk semua nilai yang diperbolehkan X. Jika a+1>0, Itu
(a+1) <1.<
Di mana X (2- 
2
Menjawab.
X (- ;2di a (-;-1,
X (2- 2
pada A
(-1;+).
§ 5. Persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.
Berikut rumus menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana:
Sinx = a x= (-1) N busursin a+πn, n Z, 
≤1, (1)
Karena x = a x = ±arccos a + 2 πn, n Z, ≤1.
(2)
Jika
>1, maka persamaan (1) dan (2) tidak mempunyai penyelesaian.
tan x = a x= arctan a + πn, n Z,a R
ctg x = a x = busur a + πn, n Z,a R
Untuk setiap pertidaksamaan standar, kami menunjukkan himpunan solusinya:
1.
dosa x > a busursin a + 2 πn
Z,
pada A
<-1,
X R
;
pada A
≥ 1,
tidak ada solusi.
2. . dosa x< a π - busursin a + 2 πnZ,
untuk a≤-1, tidak ada solusi; untuk > 1,X R
3.
karena
X
>
A
-
arccos
A
+ 2
πn
<
X
<
arccos
A
+ 2
πn
,
N
Z
,
pada A<-1,
X R
; pada A
≥ 1
, tidak ada solusi.
4. karena x arccos a+ 2 πnZ,
pada a≤-1
, tidak ada solusi; padaA
> 1,
X
R
5. tan x > a, arctan a + πnZ
6.tgx< a, -π/2 + πn Z
Contoh 1. Menemukan A, yang persamaan ini mempunyai solusi:
Karena 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
Larutan. Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk
Denganos 2 X + (2 A -4) karena +(A – 5)(sebuah+1) =0, menyelesaikannya sebagai kuadrat, kita dapatkan karena = 5-A Dan karena = -sebuah-1.
Persamaannya karena
= 5-
A
memiliki solusi yang diberikan -1≤ 5-A
≤1
4≤
A≤ 6, dan Persamaan. karena
= -
sebuah-1
asalkan -1≤ -1-A
≤ 1
-2 ≤
A
≤0.
Menjawab.
A
-2; 0 4; 6
Contoh 2.
Pada apa Bada sedemikian rupa sehingga ketimpangan 
+
B> 0 berlaku untuk semua x ≠πn
,
N
Z
.
Larutan. Ayo taruh A= 0. Pertidaksamaan berlaku untuk b >0. Sekarang mari kita tunjukkan bahwa tidak ada b ≤0 yang memenuhi kondisi permasalahan. Memang cukup dengan memasukkan x = π /2, Jika A <0, и х = - π /2 pada A ≥0.
Menjawab.b>0
§ 6. Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial
1. Persamaan H(X)
F ( X )
=
H(X)
G ( X) pada H(X) > 0 setara dengan kumpulan dua sistem 
Dan 
2. Dalam kasus khusus (h (x)= A ) persamaannya A f(x) = A g(x) di A> 0, setara dengan kumpulan dua sistem
Dan 
3. Persamaan A f(x) = B , Di mana A > 0, A ≠1, B>0, setara dengan persamaan
f (x )= log a b . Kejadian A=1 dianggap secara terpisah.
Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana didasarkan pada sifat pangkat. Ketimpangan bentukF(A
X ) > 0 menggunakan perubahan variabelT=
A
X dikurangi untuk memecahkan sistem kesenjangan 
dan kemudian menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial sederhana yang bersesuaian.
Saat menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas, akar-akar persamaan yang bersesuaian perlu dijumlahkan ke himpunan penyelesaian pertidaksamaan tegas. Seperti dalam menyelesaikan persamaan pada semua contoh yang mengandung ekspresi A f (x), kami berasumsi A> 0. Kasus A= 1 dianggap terpisah.
Contoh 1
.
Pada apa A persamaan 8x = 
hanya memiliki akar positif?
Larutan.
Berdasarkan sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu, kita mempunyai x>0 8
X >1 >1
>0, dari manaA
(1,5;4).
Menjawab.
A
(1,5;4).
Contoh 2. Selesaikan ketimpangan A 2 ∙2 X > A
Larutan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus:
1.
A< 0
. Karena ruas kiri pertidaksamaan adalah positif dan ruas kanan adalah negatif, maka pertidaksamaan tersebut berlaku untuk sembarang x R.
2. A=0. Tidak ada solusi.
3.
A
> 0
.
A
2
∙2
X
> sebuah
2
X
>
x > - catatan 2
A
Menjawab.
X R pada A
> 0; tidak ada solusi untuk
A
=0; X (-
catatan 2
A; +) padasebuah> 0
.
§ 7. Persamaan dan pertidaksamaan logaritma
Mari kita sajikan beberapa persamaan yang digunakan dalam penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan logaritma.
1. Persamaan log f(x) g(x) = log f(x) h(x) ekuivalen dengan sistem
Khususnya, jika A >0, A≠1, lalu
catatan A
g(x)=catatan A
h(x) 
2.
Persamaannya catatan A
g(x)=b g(x)=A
B (
A
>0,
sebuah ≠
1, g(x) >0).
3. Ketimpangan catatan F ( X )
G (X) ≤
catatan F ( X )
H(X) setara dengan kombinasi dua sistem: 
Dan 
Jika sebuah, b adalah bilangan, a >0, a ≠1, lalu
catatan A
f(x) ≤ b 
catatan A
f(x)>b 
Contoh 1.
Selesaikan persamaannya 
Larutan. Mari kita cari ODZ-nya: x > 0, x ≠ A 4 , A > 0, A≠ 1. Transformasikan persamaannya
catatan 
x – 2 = 4 – catatan A
X catatan x+ catatan A
X– 6 = 0, dari mana catatan A
X = - 3
x = A-3 dan catatan A
X = 2
x = A 2. Kondisi x = A
4
A
– 3
=
A 4 atau A
2
=
A
4
tidak dilakukan di ODZ.
Menjawab: x = A-3, x = A jam 2 A
(0; 1) 
(1; ).
Contoh 2 . Temukan nilai terbesar A, yang persamaannya
2
catatan 
-
+
A
= 0 mempunyai solusi.
Larutan.
Kami akan membuat penggantinya =
Tdan kita mendapatkan persamaan kuadrat 2T 2
–
T +
A
= 0. Pemecahan, kita temukanD = 1-8
A
. Mari kita pertimbangkan D≥0, 1-8
A
≥0 
A
≤.
Pada A = persamaan kuadrat mempunyai akarT= >0.
Menjawab. A =
Contoh 3 . Selesaikan ketimpangancatatan(X 2 – 2 X + A ) > - 3
Larutan.
Mari kita selesaikan sistem kesenjangan 
Akar trinomial persegi x 1,2
= 1 ± 
milik mereka 3,4
= 1 ± 
.
Nilai parameter penting: A= 1 dan A= 9.
Misalkan X 1 dan X 2 adalah himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama dan kedua
X 1 
X 2
= X adalah solusi pertidaksamaan awal.
Pada 0<
A
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), padaA> 1X1 = (-;+).
Pada 0<
A
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), padaA≥9 X 2 – tidak ada solusi.
Mari kita pertimbangkan tiga kasus:
1. 0<
A
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
A
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. A≥ 9 X – tidak ada solusi.
Tujuan Ujian Negara Bersatu
C1 tingkat tinggi, C2
Contoh 1. Temukan semua nilai R, yang persamaannya
R ∙ ctg 2x+2sinx+ P= 3 mempunyai paling sedikit satu akar.
Larutan. Mari kita ubah persamaannya
R ∙ (
- 1) + 2sinx + P= 3, sinx =t, T 
,T 
0.
-
P+2t+ P
= 3,
+ 2t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = P
.
Membiarkan F(kamu) = 3
T 2
– 2
T 3
. Mari kita cari himpunan nilai fungsiF(X) pada 
. pada /
= 6
T – 6
T 2
, 6
T - 6
T 2
= 0,
T 1
=0,
T 2
= 1.
F(-1) = 5,
F(1) = 1.
Pada T ,
E(F) =
,
Pada T ,
E(F) =
, yaitu kapan T ,
E(F) =
.
Untuk Persamaan 3T 2
– 2
T 3
=
P
(maka yang diberikan) memiliki setidaknya satu akar yang diperlukan dan cukupP
E(F), itu adalah P
.
Menjawab.
.
Contoh 2.
Pada nilai parameter apaA persamaannya catatan 
(4
X 2
– 4
A
+
A
2
+7) = 2 mempunyai tepat satu akar?
Larutan. Mari kita ubah persamaannya menjadi sesuatu yang setara dengan ini:
4x 2 – 4 A + A 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
Perhatikan bahwa jika suatu bilangan tertentu x adalah akar persamaan yang dihasilkan, maka bilangan – x juga merupakan akar persamaan tersebut. Dengan syarat hal ini tidak layak, sehingga akar yang ada hanyalah angka 0.
Kami akan menemukannya A.
4∙ 0 2 - 4A + A 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
A 2 - 4A +7 = 4, A 2 - 4A +3 = 0, A 1 = 1, A 2 = 3.
Penyelidikan.
1)
A
1
= 1. Maka persamaannya menjadi seperti ini:catatan (4
X 2
+4) =2. Mari kita selesaikan
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 adalah akar tunggal.
2)
A
2
= 3. Persamaannya seperti ini:catatan (4
X 2
+4) =2 x = 0 adalah satu-satunya akar.
Menjawab. 1; 3
C4 tingkat tinggi, C5
Contoh 3. Temukan semua nilai R, yang persamaannya
x 2 – ( R+ 3)x + 1= 0 mempunyai akar-akar bilangan bulat dan akar-akar ini merupakan penyelesaian pertidaksamaan: x 3 – 7 R x 2 + 2x 2 – 14 R x - 3x +21 R ≤ 0.
Larutan.
Biarkan x 1,
X 2
– akar bilangan bulat dari persamaan x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0. Maka menurut rumus Vieta, persamaan x 1
+ x 2
=
R
+ 3,x 1
∙x 2
= 1. Hasil kali dua bilangan bulat x 1
, X 2
bisa sama dengan satu hanya dalam dua kasus: x 1
= x 2
= 1 atau x 1
= x 2
= - 1. Jika x 1
= x 2
= 1, makaR
+ 3 = 1+1 = 2R
= - 1; jika x 1
= x 2
= - 1, laluR
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 R
= - 5. Mari kita periksa apakah akar-akar persamaan x 2
– (R
+ 3)x + 1= 0 dalam kasus yang dijelaskan dengan solusi pertidaksamaan ini. Untuk kesempatan iniR
= - 1,x 1
= x 2
= 1 yang kita punya
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – benar; untuk kesempatan ini R= - 5, x 1 = x 2 = - 1 kita punya (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – benar. Jadi, kondisi permasalahannya saja yang terpenuhi R= - 1 dan R = - 5.
Menjawab.R 1 = - 1 dan R 2 = - 5.
Contoh 4. Temukan semua nilai positif dari parameter A, yang bilangan 1 termasuk dalam domain definisi fungsi
pada
= (A 
-
A 
).
Kelas: 11
Sasaran:
Pendidikan:
- mensistematisasikan dan menggeneralisasi pengetahuan tentang penyelesaian persamaan dengan parameter;
- menunjukkan teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
Pembangunan: memperluas dan memperdalam kajian berbagai teknik penyelesaian persamaan dengan parameter.
Pendidikan: menunjukkan pentingnya ketergantungan jawaban dalam suatu masalah dengan suatu parameter terhadap nilai parameter yang dipilih.
Metode pengajaran yang digunakan - penerapannya.
- Penjelasan dan ilustratif.
- Generalisasi, analogi dan perbandingan.
- UDE – pembuatan tugas-tugas utama, analogi gambar di pesawat.
- Terintegrasi - pemetaan aljabar dan interpretasi geometris, slide.
Pembentukan keterampilan pendidikan umum:
- Identifikasi ciri-ciri penting dari objek yang diteliti;
- Pengembangan keterampilan praktis;
- Metode yang digunakan untuk bekerja dengan penonton: bekerja dalam mode dialog;
- Aspek psikologis pelajaran;
- Menciptakan suasana kerja yang nyaman;
- Mendorong dialog aktif.
Selama kelas
Perkenalan. Pidato pembukaan guru.
Persamaan telah menjadi bagian umum dari pilihan ujian masuk USE.
Persamaan dengan parameter menyebabkan kesulitan logis yang serius.
Masing-masing persamaan tersebut pada dasarnya adalah versi singkat dari sekumpulan persamaan. Jelas bahwa tidak mungkin menuliskan setiap persamaan dari keluarga tak terhingga, namun demikian, masing-masing persamaan harus diselesaikan. Oleh karena itu, perlu diperhatikan sistem konsep dan mencari metode penyelesaian persamaan dengan parameter (linier, rasional, dll)
Misalkan persamaan F(x;a) = 0 diberikan. Jika kita memberikan nilai tetap pada parameter a, maka persamaan ini dapat dianggap sebagai persamaan “biasa” dengan satu variabel.
Mari kita atur tugasnya: Cari tahu bagaimana situasinya dengan nilai parameter yang dipilih?
Bekerja dengan siswa dalam mode dialog.
Mari kita uraikan masalah utamanya:
- Menetapkan konsep dasar persamaan dengan parameter.
- Untuk setiap jenis persamaan dalam kursus matematika sekolah, tetapkan metode umum untuk menyelesaikan persamaan yang sesuai dengan parameter - sama untuk satu dan dua parameter.
- Perhatikan contoh tugas untuk mempelajari persamaan.
- Berapakah penentuan jumlah akar persamaan.
- Menemukan akar persekutuan dari dua persamaan - apa esensinya?
- Interpretasi geometris.
SAYAtahap – memecahkan masalah pertama.
Bekerja dengan siswa secara interaktif.
Pertanyaan apa yang akan Anda ajukan pada diri Anda sendiri untuk membangun konsep dasar?
|
Slide dan ringkasan muncul
Dalam masalah tipe II, diperlukan untuk menemukan semua nilai parameter di mana kondisi tertentu terpenuhi. |
Misalnya.
1) Selesaikan persamaan a (a – 1) = a – 1.
Larutan. Di hadapan kita terdapat persamaan linier yang masuk akal untuk semua nilai a yang diizinkan. Kita akan menyelesaikannya “seperti biasa”: kita membagi kedua ruas persamaan dengan koefisien yang tidak diketahui. Namun apakah perpecahan selalu mungkin terjadi?
Anda tidak dapat membaginya dengan nol. Kita harus mempertimbangkan secara terpisah kasus ketika koefisien yang tidak diketahui sama dengan o. Kita mendapatkan:
Jawaban: 1) jika a 0, a 1, maka x = ;
2) jika a = 1, maka x adalah bilangan apa pun;
3) jika a = 0, maka tidak ada akar.
2) Selesaikan persamaan (a – 1)x 2 + 2 (2a – 1)x + 4 a + 3 = 0.
Larutan. Mari kita pertimbangkan dua kasus:
Misalkan diskriminan: D = (2a – 1) 2 – (sebuah – 1)(4a + 3) = - 3a + 4.
Jika a, maka x 1,2 = 
.
Jawaban: 1) jika a > , maka tidak ada akar;
2) jika a = 1, maka x = - 3,5;
3) jika a dan a1, maka x 1,2 = 
.
IItahap – memecahkan masalah kedua.
Mari kita pertimbangkan cara mengklasifikasikan persamaan parsial menggunakan model solusi umum.
Sebuah slide muncul.
Misalnya. Dalam persamaan rasional 
fungsi f 1 (a) = adalah solusi umum untuk nilai parameter tersebut 
. Karena
penyelesaian umum persamaan pada A f1 = ).
Fungsi f 2 (a) = merupakan solusi umum persamaan pada himpunan A f2 = .
Mari kita buat model solusi umum dalam bentuk berikut
Pada model kami menyoroti semua jenis persamaan parsial: 
; 
; 
.
Jadi, konsep dasar persamaan dengan parameter dipertimbangkan dengan menggunakan contoh: kisaran nilai yang diizinkan; domain; solusi umum; nilai kontrol parameter; jenis persamaan parsial.
Berdasarkan parameter yang diperkenalkan, kami mendefinisikan skema umum untuk menyelesaikan persamaan apa pun F(a;x) = 0 dengan parameter a (untuk kasus dua parameter, skemanya serupa):
- kisaran nilai parameter yang diizinkan dan ruang lingkup definisi ditetapkan;
- nilai kontrol parameter ditentukan dengan membagi wilayah nilai parameter yang diizinkan menjadi wilayah kesamaan persamaan parsial;
- untuk nilai kontrol parameter, persamaan parsial yang sesuai dipelajari secara terpisah;
- solusi umum x = f 1 (a), ..., f k (a) dari persamaan F(a;x) = 0 ditemukan pada himpunan yang bersesuaian A f1, ......, A fk dari nilai parameter ;
- model solusi umum dan nilai parameter kontrol dikompilasi dalam bentuk berikut (pada slide);
- model mengidentifikasi interval nilai parameter dengan solusi identik (area keseragaman);
- untuk nilai kontrol parameter dan area keseragaman yang dipilih, karakteristik semua jenis solusi tertentu dicatat.
Tahap III – contoh tugas mempelajari persamaan.
Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah dengan parameter tipe 2.
Yang paling umum adalah permasalahan yang melibatkan lokasi akar-akar persamaan kuadrat. Saat menyelesaikannya, ilustrasi grafis berfungsi dengan baik. Letak akar-akar relatif terhadap titik-titik tertentu pada bidang ditentukan oleh arah cabang-cabang parabola yang bersesuaian, koordinat titik sudut, serta nilai-nilai pada titik-titik tertentu.
Misalnya.
1) Berapa nilai parameter a persamaan (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5 = 0 mempunyai dua akar, salah satunya lebih besar dari 1 dan lainnya kurang dari 1?
Larutan. Misalkan f(x) = (a 2 + a + 1)x 2 + (2a – 3)x + a – 5. Karena a 2 + a + 1 >0, maka untuk fungsi kuadrat f(x) kondisi masalahnya hanya dapat dipenuhi pada kondisi f(x)< 1.
Menyelesaikan pertidaksamaan f(1) = a 2 + 4a – 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Menjawab: -2 - < а < - 2 + .
2) Pada nilai parameter apam akar persamaan (m – 1)x 2 – 2mx +m + 3 = 0 positif?
Larutan. Misalkan f(x) = (m-1)x 2 - 2 mx + m + 3 maka:
1) jika m = 1, maka -2x + 4 = 0, x = 2 - akarnya positif;
2) jika m 1, maka dengan menggunakan gambar tersebut Anda dapat memperoleh hubungan berikut: 
Mari kita pertimbangkan 2 kasus:
1) jika 1,5 m > 0, maka dari pertidaksamaan 2 dan 3 sistem terakhir diperoleh m > 1, yaitu. akhirnya 1,5 m > 1;
2) jika m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 kita mendapatkan m-1 itu< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Menjawab: m (-; -3)
IVtahap - pertimbangkan tugas menetapkan jumlah akar persamaan.
Contoh 1. Pada nilai parameter berapa, dan persamaan 2 cos 2 x – (2a + 9)cosx + 9a = 0 tidak mempunyai akar.
Larutan. Misalkan y = cosх, maka persamaan aslinya berbentuk 2y 2 – (2 a + 9)y + 9a = 0, yang akar-akarnya adalah y 1 = a, y 2 = 4,5. Persamaan cosх = 4,5 tidak mempunyai akar, dan persamaan cosх = a tidak mempunyai akar jika > 1.
Menjawab: (- ; -1) (1; ).
Contoh 2.
Temukan semua nilai parameter a yang persamaannya 
tidak memiliki akar.
Larutan. Persamaan ini setara dengan sistem: 
.
Persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam dua kasus: a = dan
Contoh 3
. Pada nilai parameter a berapa persamaan tersebut dibuat 
punya solusi tunggal?
Larutan. Penyelesaian persamaan tersebut dapat unik hanya jika x = 0. Jika x = 0, maka a 2 -1 = 0, dan a = 1.
Mari kita pertimbangkan 2 kasus:
1) jika a = 1, maka x 2 - = 0 – tiga akar;
2). Jika a = -1, maka x 2 + = 0, x = 0 adalah akar satu-satunya.
Contoh 4. Untuk nilai parameter a berapakah persamaan tersebut mempunyai 2 akar?
Larutan. Persamaan ini setara dengan sistem: . Mari kita cari tahu kapan persamaan kuadrat x 2 – x – a = 0 memiliki 2 akar non-negatif.
Persamaan yang dihasilkan memiliki dua akar jika 1+ 4a > 0; mereka non-negatif jika
0 > sebuah > - .
Menjawab: (- ; 0] .
Dalam banyak kasus, ketika menentukan jumlah akar suatu persamaan, simetri menjadi penting.
Vtahap - menemukan akar persekutuan dari dua persamaan.
Contoh 1. Pada nilai parameter a berapakah persamaan x 2 + 3x + 7a -21 =0 dan x 2 +6x +5a -6 =0 mempunyai akar yang sama?
Larutan. Mari kita kecualikan parameter a dari sistem yang dihasilkan. Caranya, kalikan persamaan pertama dengan -5, persamaan kedua dengan 7, dan jumlahkan hasilnya. Didapatkan: 2x 2 + 27x +63 = 0, yang akar-akarnya adalah x 1 = -3, x 2 = -10,5. Mari kita substitusikan akar-akarnya ke dalam salah satu persamaan dan carilah nilai parameter a.
Menjawab: 3 dan – 8.25.
Contoh 2. Untuk nilai parameter a berapa persamaan x 2 – ax + 2 = 0 dan 3x 2 + (a - 9)x + 3=0?
Larutan. Seperti yang Anda ketahui, persamaan dikatakan ekuivalen jika banyak akar-akarnya yang berimpit. Mari kita pertimbangkan 2 kasus.
1) Persamaan tidak mempunyai akar (himpunan akar kosong). Maka diskriminannya negatif:
Sistem kesenjangan tidak memiliki solusi.
2) Persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang sama. Kemudian 
Oleh karena itu, persamaan-persamaan ini hanya dapat memiliki akar-akar persekutuan jika a = 3 atau a = .
Periksa sendiri!
VItahap – interpretasi geometris.
Memecahkan masalah dengan parameter dapat membuat penggunaan grafik menjadi lebih mudah.
Contoh 1
. Selesaikan persamaan tergantung pada parameter a: 
.
Larutan. Jelas bahwa untuk 0:
Apakah semua akar cocok? Untuk mengetahuinya, mari kita plot fungsi a =.
Banyaknya akar dapat dilihat pada gambar:
- jika sebuah< 0, то корней нет;
- jika a = 0 dan a > 0, maka terdapat 2 akar-akarnya.
Mari kita temukan akar-akarnya.
Jika a = 0 diperoleh x 2 – 2x – 3 = 0 dan x 1 = -1, x 2 = 3; untuk a > 4 ini adalah akar-akar persamaan x 2 – 2x – 3 – a = 0.
Jika 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Jika a = 4 – tiga akar:
Menjawab: 1) jika a< 0, то корней нет;
2) jika a = 0, maka x 1 = -1, x 2 = 3;
3) jika 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) jika a = 4, maka x 1 = 1; x 2,3 = 1;
5) jika a > 4, maka x 1,2 = 1.
Contoh 2 . Untuk nilai a berapakah persamaan tersebut mempunyai lebih dari dua akar?
Larutan. Jika kita substitusikan x = 0 ke dalam persamaan awal, kita peroleh 6 = 6, artinya x = 0 adalah penyelesaian persamaan untuk sembarang a.
Misalkan sekarang x 0, maka kita dapat menulis 
. Mari kita cari tahu tanda-tanda persamaan 2x + 3 dan 2x – 3.
Mari kita perluas modulnya: a = 
(1)
Pada bidang x0a kita akan membuat himpunan titik (x;a), yang koordinatnya memenuhi relasi (1).
Jika a = 0, maka persamaan tersebut memiliki jumlah solusi yang tak terhingga pada intervalnya; untuk nilai a lainnya, jumlah solusi persamaan tersebut tidak melebihi dua.
Menjawab: Sebuah = 0.
Kontrol tes
1 pilihan |
pilihan 2 |
1) Selesaikan persamaan: 0 x = a Jawaban |
1) Selesaikan persamaan: a x = a. Jawaban: a) untuk a ≠ 0, x = 1, untuk a = 0, x R b) untuk a = 0, x R, untuk a ≠ 0 tidak ada akar c) untuk a = 0 tidak ada akar, untuk a ≠ x = |
2) Selesaikan persamaan: (в – 2) x = 5 + в. Jawaban: |
2) Selesaikan persamaan (b + 1) x = 3 – b. Jawaban: a) untuk b = 2 tidak ada akar; untuk β ≠2, x = ; b) untuk β = -2 tidak ada akar, untuk β ≠-2 x = c) untuk β = -1 tidak ada akar, untuk a ≠ - 1 |
3) Untuk nilai parameter c berapakah persamaan tersebut mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga? c (c + 1) x = c 2 – 1. Menjawab: a) dengan c = -1, x R, ; |
Pelajaran mata kuliah pilihan
pada topik ini: “Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter”
(Pelajaran generalisasi dan pengulangan)
Target: 1.Mengulangi dan menggeneralisasi pengetahuan siswa tentang metode penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter; mengkonsolidasikan kemampuan untuk menerapkan pengetahuan dalam memecahkan masalah tertentu; 2. Mengembangkan pemikiran logis; 3. Menumbuhkan perhatian dan ketelitian.
Rencana belajar: I. Momen organisasi________________2 menit.
II. Memperbarui pengetahuan dasar:
- Pengulangan_________________________________3 menit.
- Pekerjaan lisan________________________________3 menit.
- Bekerja dengan kartu (selama 1 dan 2)
AKU AKU AKU. Solusi latihan_________________________________22 menit.
IY. Eksekusi tes________________8 menit.
Y. Kesimpulannya, menetapkan pekerjaan rumah__2 menit.
Selama kelas:
SAYA. Waktu pengorganisasian.
Guru: - Hallo teman-teman. Senang bertemu Anda semua, kami memulai pelajaran kami. Tujuan pelajaran hari ini adalah mengulangi dan mempraktikkan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperoleh pada pelajaran sebelumnya sambil mempelajari topik ini.
II . Memperbarui pengetahuan dasar:
1) Pengulangan.
Guru: - Jadi, mari kita ulangi.
Persamaan linier yang mempunyai parameter disebut?
Kasus apa yang kita pertimbangkan ketika menyelesaikan persamaan tersebut?
Berikan contoh persamaan linear dengan parameter.
Berikan contoh pertidaksamaan linier dengan parameter.
2) Pekerjaan lisan.
Tugas: Ubah persamaan ini menjadi bentuk linier.
Di meja:
a) 3a x – 1 =2 x;
b) 2+5x = 5ax;
c) 2 x – 4 = x + 1.
3) Bekerja menggunakan kartu.
AKU AKU AKU . Solusi latihan.
Latihan 1. Selesaikan persamaan dengan parameter A.
3(kapak + 1) + 1 = 2(a – x) + 1.
Tugas diselesaikan di papan tulis dan di buku catatan.
Tugas 2. Berapa nilainya a, garis lurus y = 7ax + 9, melalui
t.
Tugas diselesaikan secara mandiri di papan tulis oleh satu siswa. Sisanya mengerjakan buku catatan, lalu memeriksa papan tulis.
Pendidikan Jasmani sebentar.
Tugas 3. Berapa nilainya a, persamaan 3(ax – a) = x – 1 mempunyai
Banyak sekali solusinya?
Siswa diminta untuk menyelesaikan tugas ini secara mandiri di buku catatan mereka. Kemudian periksa jawabannya.
Tugas 4. Pada nilai parameter berapa A , jumlah akar persamaan
2х² + (4а² - 2)х – (а² + 1) = 0 sama dengan 1?
Tugas dilakukan dengan memberi komentar dari tempat.
Tugas 5. Selesaikan pertidaksamaan dengan parameter R :
p(5х – 2)
Tugas ini dilakukan di papan tulis dan di buku catatan.
IY. Menjalankan tes.
Siswa diberikan lembar individu dengan tugas:
1) Apakah persamaannya6(kapak + 1) + a = 3(a – x) + 7 linier?
A) ya; b) tidak; c) dapat direduksi menjadi linier
2) Persamaan (2ax + 1)a = 5a – 1 direduksi menjadi bentuk persamaan linier
A) tidak; b) ya;
3) Berapa nilai parameternya dan garis lurus y = ax – 3 melewatinya
T.A(-2;9) ?
A) a = 1/6; b) a = 1/2; c) a = -6; d) a = 6.
4) Pada persamaan 2ax + 1 = x memiliki akar sama dengan -1?
a) a = -1; b) a = 0; c) a = 1; d) a = 1/2.
5) Jika persamaan kuadrat kapak² + inx + c = 0 D ax² + inx + c >0 bergantung pada
A) nilai dalam ; b) nilai a; c) nilai -v/a;
d) tidak mempunyai solusi.
JAWABAN UJI: V; A; V; V; B.
YII. Menyimpulkan pelajaran. Menetapkan pekerjaan rumah.
Guru: - Hari ini dalam pelajaran kami mengulangi dan mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh dalam pelajaran sebelumnya, mempraktikkan keterampilan yang diperlukan dalam melakukan berbagai tugas. Saya pikir Anda melakukan pekerjaan dengan baik, bagus sekali.
Selain nilai yang diberikan untuk pelajaran tersebut, Anda dapat mengevaluasi pekerjaan sejumlah siswa lain dalam pelajaran tersebut.
Guru : - Tuliskan pekerjaan rumah Anda:
Di meja:
Selesaikan ketimpangan: x² - 2ax + 4 > 0.
Pelajaran sudah selesai.
Departemen Pendidikan Wilayah Vladimir
Departemen Pendidikan Distrik Sudogodsky
Institusi pendidikan kota
"Sekolah Menengah Moshok"
«
Larutan persamaan Dan kesenjangan Dengan parameter»
Dikembangkan oleh: Gavrilova G.V.
guru matematika
lembaga pendidikan kota "Rata-rata Moshokskaya"
sekolah yang komprehensif"
tahun 2009
Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter
Catatan penjelasan
Konsep parameter merupakan konsep matematika yang sering digunakan dalam matematika sekolah dan disiplin ilmu terkait.
kelas 7 - saat mempelajari fungsi linier dan persamaan linier dengan satu variabel.
kelas 8 - saat mempelajari persamaan kuadrat.
Kurikulum pendidikan umum mata pelajaran matematika sekolah tidak menyediakan penyelesaian masalah dengan parameter, dan pada ujian masuk universitas dan Ujian Negara Bersatu dalam matematika terdapat masalah dengan parameter, yang penyelesaiannya menyebabkan kesulitan besar bagi siswa dengan parameter memiliki nilai diagnostik dan prognostik, yang memungkinkan Anda menguji pengetahuan bagian utama kursus matematika sekolah, tingkat pemikiran logis, keterampilan penelitian awal.
Tujuan utama dari kursus ini adalah untuk memperkenalkan siswa pada pendekatan umum untuk memecahkan masalah dengan parameter, untuk mempersiapkan siswa sedemikian rupa sehingga mereka berhasil mengatasi masalah yang mengandung parameter dalam suasana ujian kompetitif.
Memecahkan persamaan, menentukan jumlah solusi, menyelidiki persamaan, menemukan akar positif, membuktikan bahwa pertidaksamaan tidak memiliki solusi, dll. - semua ini adalah pilihan untuk contoh parametrik. Oleh karena itu, tidak mungkin memberikan instruksi universal untuk memecahkan contoh; kursus ini membahas berbagai contoh dengan solusi. Materi kuliah disajikan dengan skema sebagai berikut: informasi latar belakang, contoh solusi, contoh kerja mandiri, contoh penentuan keberhasilan penguasaan materi.
Menyelesaikan masalah dengan parameter berkontribusi pada pembentukan keterampilan penelitian dan pengembangan intelektual.
Tujuan kursus:
Mensistematisasikan pengetahuan yang diperoleh siswa di kelas 7 dan 8 ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat;
Mengidentifikasi dan mengembangkan kemampuan matematika mereka;
Menciptakan pemahaman holistik tentang penyelesaian persamaan linier dan pertidaksamaan yang mengandung parameter;
Menciptakan pemahaman holistik tentang penyelesaian persamaan kuadrat dan pertidaksamaan yang mengandung parameter;
Memperdalam pengetahuan matematika, menyediakan pembentukan minat berkelanjutan siswa terhadap mata pelajaran;
memberikan persiapan untuk kegiatan profesional yang membutuhkan budaya matematika yang tinggi.
Rencana pendidikan dan tematik
|
№ hal/hal
|
Subjek |
Jumlah jam
|
Kegiatan |
|
1. |
|
|
Bengkel |
|
2. |
Informasi awal tentang tugas dengan parameter. |
Seminar |
|
|
3. |
Menyelesaikan persamaan linear yang mengandung parameter. |
|
|
|
4. |
Menyelesaikan pertidaksamaan linier yang mengandung parameter. |
Pekerjaan penelitian; pelatihan keterampilan; pekerjaan mandiri. |
|
|
5. |
Persamaan kuadrat. teorema Vieta. |
3 |
Pekerjaan penelitian; pelatihan keterampilan; pekerjaan mandiri. |
|
6. |
Berhasil menyelesaikan kursus |
1 |
Ujian akhir |
Topik 1. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, menyelesaikan masalah menggunakan teorema Vieta.
Topik 2. Informasi awal tentang tugas dengan parameter.
Konsep parameter. Apa yang dimaksud dengan “memecahkan masalah dengan parameter”? Jenis masalah dasar dengan parameter. Metode dasar untuk memecahkan masalah dengan suatu parameter.
Contoh penyelesaian persamaan linear dengan parameter.
Topik 4. Menyelesaikan pertidaksamaan linier yang mengandung parameter.
Contoh penyelesaian pertidaksamaan linier dengan suatu parameter.
Topik 5. Persamaan kuadrat. teorema Vieta.
Contoh penyelesaian persamaan kuadrat dengan parameter.
Materi didaktik untuk mata kuliah pilihan
"Menyelesaikan Persamaan dan
pertidaksamaan dengan parameter"
Topik 1. Contoh untuk topik ini.
Topik 2. Contoh ketika siswa telah menemukan parameter:
Fungsi proporsionalitas langsung: y = kx (x dan y adalah variabel; k adalah parameter, k ≠ 0);
Fungsi proporsionalitas terbalik: y = k / x (x dan y adalah variabel, k adalah parameter, k ≠ 0)
Fungsi linier: y = kh + b (x dan y adalah variabel; k dan b adalah parameter);
Persamaan linier: ax + b = 0 (x adalah variabel; a dan b adalah parameter);
Persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 (x adalah variabel; a, b dan c adalah parameter,
Apa itu parameter?
Jika dalam suatu persamaan atau pertidaksamaan beberapa koefisien tidak diganti dengan nilai numerik tertentu, tetapi ditandai dengan huruf, maka disebut parameter, dan persamaan atau pertidaksamaan tersebut disebut parametrik.
Parameter biasanya dilambangkan dengan huruf pertama alfabet Latin: a, b, c, ... atau a 1, a 2, a 3, ..., dan tidak diketahui dengan huruf terakhir alfabet Latin x, y, z, ... Sebutan ini tidak wajib, tetapi jika dalam kondisi tidak disebutkan huruf mana yang merupakan parameter dan mana yang tidak diketahui -
mi, maka notasi berikut digunakan.
Misalnya, selesaikan persamaan (4x – ax)a = 6x – 10. Di sini x adalah yang tidak diketahui dan a adalah parameternya.
Apa yang dimaksud dengan “memecahkan masalah dengan parameter”?
Menyelesaikan masalah dengan suatu parameter berarti, untuk setiap nilai parameter a, temukan nilai x yang memenuhi masalah ini, yaitu. itu tergantung pada pertanyaan dalam soal.
Menyelesaikan persamaan atau pertidaksamaan dengan parameter berarti:
Tentukan pada nilai parameter apa solusi yang ada;
Untuk setiap sistem nilai parameter yang dapat diterima, temukan himpunan solusi yang sesuai.
Apa saja jenis masalah utama pada parameter?
Tipe 1. Persamaan, pertidaksamaan yang harus diselesaikan baik untuk sembarang nilai parameter, atau untuk nilai parameter yang termasuk dalam himpunan yang telah ditentukan. Jenis tugas ini merupakan tugas dasar ketika menguasai topik "Masalah dengan parameter".
Tipe 2. Persamaan, pertidaksamaan yang memerlukan penentuan jumlah penyelesaian tergantung pada nilai parameternya.
Tipe 3. Persamaan, pertidaksamaan yang mengharuskan untuk menemukan semua nilai parameter yang persamaan dan pertidaksamaannya memiliki sejumlah solusi tertentu (khususnya, persamaan dan pertidaksamaan tersebut tidak memiliki atau memiliki jumlah solusi tak terhingga). Permasalahan tipe 3 dalam beberapa hal merupakan kebalikan dari permasalahan tipe 2.
Tipe 4. Persamaan, pertidaksamaan yang, untuk nilai parameter yang diperlukan, himpunan solusinya memenuhi kondisi yang diberikan dalam domain definisi.
Misalnya, temukan nilai parameter di mana:
1) persamaan terpenuhi untuk setiap nilai variabel dari interval tertentu;
2) himpunan penyelesaian persamaan pertama adalah himpunan bagian dari himpunan penyelesaian persamaan kedua, dan seterusnya.
Metode dasar untuk memecahkan masalah dengan suatu parameter.
Metode 1. (analitis) Metode ini disebut solusi langsung, mengulangi metode standar untuk menemukan jawaban dalam masalah tanpa parameter.
Metode 2. (grafis) Tergantung pada tugasnya, grafik pada bidang koordinat (x; y) atau pada bidang koordinat (x; a) dipertimbangkan.
Metode 3. (keputusan mengenai suatu parameter) Saat menyelesaikan dengan menggunakan metode ini, variabel x dan a diasumsikan sama, dan variabel yang solusi analitisnya dianggap lebih sederhana dipilih. Setelah penyederhanaan alami, kita kembali ke arti asli dari variabel x dan a dan menyelesaikan solusinya.
Komentar. Langkah penting dalam menyelesaikan masalah dengan parameter adalah menuliskan jawabannya. Hal ini terutama berlaku pada contoh-contoh di mana solusinya tampak “bercabang” bergantung pada nilai parameter. Dalam kasus seperti ini, penyusunan respons merupakan kumpulan hasil yang diperoleh sebelumnya. Dan di sini sangat penting untuk tidak lupa mencerminkan semua tahapan solusi dalam jawabannya.
Mari kita lihat contohnya. 2.1. Bandingkan -a dan 5a.
Larutan. Ada tiga kasus yang perlu dipertimbangkan: jika a 5a;
jika a = 0, maka –a = 5a;
jika a > 0, maka –a
Menjawab. Ketika 5a; pada a = 0, –a = 5a; untuk > 0, -a
Selesaikan persamaan ax = 1.
Jika a ≠ 0, maka x = 1 / a.
Menjawab. Untuk a = 0 tidak ada solusi; untuk a ≠ 0, x = 1 / a.
Bandingkan dengan dan – 7c.
Selesaikan persamaan cx = 10
Topik 3.
Persamaan linear
Persamaan bentuk
dimana a, b termasuk dalam himpunan bilangan real, dan x adalah bilangan yang tidak diketahui, disebut persamaan linear terhadap x.
Skema mempelajari persamaan linear (1).
1.Jika a ≠ 0, b adalah bilangan real apa pun. Persamaan tersebut memiliki solusi unik x = b/a.
2. Jika a=0, b=0, maka persamaannya berbentuk 0 ∙ x = 0, penyelesaian persamaannya adalah himpunan semua bilangan real.
3. Jika a=0, b ≠ 0, maka persamaan 0 ∙ x = b tidak mempunyai penyelesaian.
Komentar. Jika persamaan linier tidak disajikan dalam bentuk (1), maka terlebih dahulu harus dibawa ke bentuk (1) baru kemudian dilakukan penelitian.
Contoh. 3.1 Selesaikan persamaan (a -3)x = b+2a
Persamaannya ditulis sebagai (1).
Penyelesaian: Jika a≠ 3, maka persamaan tersebut memiliki solusi x = b+2a/ a-3 untuk sembarang b.
Artinya, satu-satunya nilai a yang tidak mempunyai solusi terhadap persamaan tersebut adalah a = 3. Dalam hal ini, persamaan (a -3)x = b+2a berbentuk
0 ∙ x = b+6. (2)
Jika β≠ - 6, maka persamaan (2) tidak mempunyai solusi.
Jika β = - 6, maka sembarang x merupakan solusi dari (2).
Akibatnya, β = - 6 adalah satu-satunya nilai parameter β yang persamaan (1) mempunyai solusi untuk sembarang a (x=2 untuk a ≠3 dan x termasuk dalam himpunan bilangan real untuk a=3).
Jawaban : b = -6.
3.2. Selesaikan persamaan 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Selesaikan persamaan 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Selesaikan persamaan (a 2 -1)x = a 2 – a -2
3.5. Selesaikan persamaan x 2 + (2a +4)x +8a+1=0
Pekerjaan mandiri.
Pilihan 1. Selesaikan persamaan: a) masukan + 2 = - 1;
b) (Sebuah – 1)x = Sebuah – 2;
c) (sebuah 2 – 1)x – sebuah 2 + 2a – 1 = 0.
Pilihan 2. Selesaikan persamaan: a) – 8 = in + 1;
b) (Sebuah + 1)x = Sebuah – 1;
c) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Topik 4.
Pertidaksamaan linier dengan parameter
Ketimpangan
ah > masuk, ah
di mana a, b adalah ekspresi yang bergantung pada parameter, dan x adalah yang tidak diketahui, disebut pertidaksamaan linier dengan parameter.
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan parameter berarti mencari himpunan solusi pertidaksamaan untuk semua nilai parameter.
Skema penyelesaian pertidaksamaan aX > c.
Jika a > 0, maka x > b/a.
Jika sebuah
Jika a = 0, maka pertidaksamaannya berbentuk 0 ∙ x > b. Untuk β ≥ 0 pertidaksamaan tidak memiliki solusi; pada
Contoh. 4.1. Selesaikan pertidaksamaan a(3x-1)>3x – 2.
Penyelesaian: a(3x-1)>3x – 2, artinya 3x(a-1)>a-2.
Mari kita pertimbangkan tiga kasus.
a=1, solusinya 0 ∙ x > -1 adalah bilangan real apa pun.
a>1, 3x(a-1)>a-2, artinya x>a-2/3 (a-1).
dan a-2 berarti x
2ax +5 > a+10x .
(a + 1)x – 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + kapak +1 > 0.
Pekerjaan mandiri.
Pilihan 1. Selesaikan pertidaksamaan: a) ( A– 1)x ≤ A 2 – 1;
b) 3x-a > ah – 2.
Pilihan 2. Selesaikan pertidaksamaan: a) (a – 1)x – 2a +3 ≥ 0;
b) ah-2c
Topik 5.
Persamaan kuadrat yang mengandung parameter. teorema Vieta.
Persamaan bentuk
kapak 2 +dalam + c = 0, (1)
dimana a, b, c adalah ekspresi yang bergantung pada parameternya, a ≠ 0, x tidak diketahui, disebut persamaan kuadrat dengan parameter.
Skema mempelajari persamaan kuadrat (1).
Jika a = 0, maka kita mempunyai persamaan linier bx + c = 0.
Jika a ≠ 0 dan diskriminan persamaan D = 2 – 4ac
Jika a ≠ 0 dan D = 0, maka persamaan tersebut memiliki solusi unik x = - B / 2a atau, seperti juga dikatakan, akar-akar yang bersesuaian x 1 = x 2 = - B / 2a.
Jika a ≠ 0 dan D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda X 1,2 = (- V ± √D) / 2a
Contoh. 5.1. Untuk semua nilai parameter a, selesaikan persamaannya
(a – 1)x 2 – 2ax + a + 2 = 0.
Larutan. 1. a – 1 = 0, yaitu a = 1. Maka persamaannya berbentuk -2x + 3 = 0, x = 3 / 2.
2. a ≠ 1. Cari diskriminan dari persamaan D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 2) = - 4a + 8.
Kasus-kasus berikut mungkin terjadi: a) D 8, a > 2. Persamaannya tidak ada
b) D = 0, yaitu -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Persamaannya ada satu
akar x = a / (a – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.
c) D > 0, yaitu -4a + 8 > 0,4a
akar x 1,2 = (2a ± √ -4a + 8) / 2(a – 1) = (a ± √ 2 – a) / (a – 1)
Menjawab. Bila a = 1 x = 3/2;
ketika a =2 x = 2;
untuk a > 2 tidak ada akar;
Untuk semua nilai parameter, selesaikan persamaan:
kapak 2 + 3kapak – a – 2 = 0;
kapak 2 +6x – 6 = 0;
dalam 2 – (dalam + 1)x +1 = 0;
(b + 1)x 2 – 2x + 1 – b = 0.
Pekerjaan mandiri.
Pilihan 1. Selesaikan persamaan ax 2 - (a+3)x + 3 = 0.
Pilihan 2. Selesaikan persamaan a 2 + (a + 1)x + 2a-4 = 0.
Tugas.
. Temukan semua nilai parameter a yang persamaan kuadratnya
Larutan. Persamaan ini kuadrat berdasarkan syarat, artinya
a – 1 ≠ 0, mis. a ≠ 1. Cari diskriminan D = 4(2a + 1) 2 – 4(a – 1)(4a +3) =
4(4a 2 + 4a + 1 – 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).
Kita mempunyai: 1) Untuk a ≠ 1 dan D > 0, yaitu. 4(5a + 4) > 0, a > - 4/5 persamaannya ada dua
berbagai akar.
2) Untuk a ≠ 1 dan D
3) Untuk a ≠ 1 dan D = 0, mis. a = - 4/5 persamaan mempunyai satu akar.
Menjawab. Jika a > - 4/5 dan a ≠ 1, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang berbeda;
jika a = - 4/5, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.
.Untuk nilai parameter a berapakah persamaan (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 mempunyai solusi unik?
.Untuk nilai parameter a berapakah persamaan (a 2 – a – 2)x 2 + (a +1)x + 1 = 0 tidak mempunyai solusi?
.Untuk nilai parameter a berapakah persamaan ax 2 - (2a+3)x+a+5=0 mempunyai dua akar yang berbeda?
Pekerjaan mandiri.
Pilihan 1. Temukan semua nilai parameter A, yang persamaan kuadratnya (2 A – 1)X 2 +2X– 1 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda; tidak memiliki akar; memiliki satu akar.
Pilihan 2.. Temukan semua nilai parameter a yang persamaan kuadratnya (1 – A)X 2 +4X– 3 = 0 mempunyai dua akar yang berbeda; tidak memiliki akar; memiliki satu akar.
teorema Vieta.
Teorema berikut digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah yang melibatkan persamaan kuadrat yang mengandung parameter.
teorema Vieta. Jika x 1, x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0, a≠0, maka x 1 + x 2 = - B / a dan x 1 ∙ x 2 = C / a.
Teorema 1. Agar akar-akar trinomial kuadrat ax 2 + bx + c real dan mempunyai tanda yang sama, syarat-syarat berikut harus dan cukup dipenuhi: D = dalam 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C/A > 0.
Dalam hal ini, kedua akar akan positif jika x 1 + x 2 = - B /a > 0, dan kedua akar akan negatif jika x 1 + x 2 = - B /a
Teorema 2. Agar akar-akar trinomial kuadrat ax 2 + bx + c adalah real dan keduanya non-negatif atau keduanya non-positif, syarat-syarat berikut harus dan cukup dipenuhi: D = dalam 2 – 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C /a≥ 0.
Dalam hal ini, kedua akar tersebut non-negatif jika x 1 + x 2 = - B /a ≥ 0, dan kedua akar tersebut non-positif jika x 1 + x 2 = - B /a ≤ 0.
Teorema 3. Agar akar-akar trinomial kuadrat ax 2 + bx + c menjadi nyata dan mempunyai tanda yang berbeda, syarat-syarat berikut harus dan cukup dipenuhi: x 1 ∙ x 2 = C /aDalam hal ini, syarat D = b 2 – 4ac > 0 terpenuhi secara otomatis.
Catatan. Teorema-teorema tersebut berperan penting dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kajian tanda-tanda akar persamaan ax 2 + bx + c = 0.
Persamaan yang berguna: x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 = (x 1 + x 2) 2 – 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a – 1)x 2 – 2ax + a +1 = 0 mempunyai: a) dua akar positif; b) dua akar negatif; c) akar tanda yang berbeda?
Larutan. Persamaannya kuadrat, artinya a ≠ 1. Berdasarkan teorema Vieta, kita punya
x 1 + x 2 = 2a / (a – 1) , x 1 x 2 = (a + 1) / (a – 1) .
Mari kita hitung diskriminan D = 4a 2 – 4(a – 1)(a + 1) = 4.
a) Menurut Teorema 1, persamaan tersebut mempunyai akar-akar positif jika
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, mis. (a + 1) / (a – 1) > 0, 2a / (a – 1) > 0.
Oleh karena itu a (-1; 0).
b) Menurut Teorema 1, persamaan tersebut mempunyai akar negatif jika
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a – 1)
Oleh karena itu a (0; 1).
c) Menurut Teorema 3, persamaan mempunyai akar-akar yang berbeda tanda jika x 1 x 2
(a + 1) / (a – 1) Jawaban. a) untuk a (-1; 0) persamaan mempunyai akar positif;
b) untuk a (0; 1) persamaan mempunyai akar negatif;
c) untuk a (-1; 1), persamaan tersebut mempunyai akar-akar yang tandanya berbeda.
5.11.
Berapa nilai parameter a persamaan kuadrat tersebut
(a – 1)x 2 – 2(a +1)x + a +3 = 0 mempunyai: a) dua akar positif; b) dua akar negatif; c) akar tanda yang berbeda?
5. 12. Tanpa menyelesaikan persamaan 3x 2 – (b + 1)x – 3b 2 +0, carilah x 1 -1 + x 2 -1, dimana x 1, x 2 adalah akar-akar persamaan tersebut.
5.13. Untuk nilai parameter a berapakah persamaan x 2 – 2(a + 1)x + a 2 = 0 mempunyai akar-akar yang jumlah kuadratnya adalah 4.
Tes.
Pilihan 1. 1. Selesaikan persamaan (a 2 + 4a)x = 2a + 8.
2. Selesaikan pertidaksamaan (dalam + 1)x ≥ (dalam 2 – 1).
3. Untuk nilai parameter a berapa persamaannya
x 2 – (2a +1)x + a 2 + a – 6 = 0 mempunyai: a) dua akar positif; b) dua akar negatif; c) akar tanda yang berbeda?
Opsi 2. 1. Selesaikan persamaan (a 2 – 2a)x = 3a.
2. Selesaikan pertidaksamaan (a + 2)x ≤ a 2 – 4.
3. Berapa nilai parameter dalam persamaan tersebut
x 2 – (2b – 1)x + b 2 – t – 2 = 0 mempunyai: a) dua akar positif; b) dua akar negatif; c) akar tanda yang berbeda?
Literatur.
V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Persamaan dan pertidaksamaan dengan parameter. Bab: Rumah Penerbitan ChSU, 2004. – 175 hal.
Yastrebinsky G.A. Masalah dengan parameter. M.: Pendidikan, 1986, - 128 hal.
Bashmakov M.I. Aljabar dan awal mula analisis. Buku teks untuk kelas 10 – 11 sekolah menengah. M.: Pendidikan, 1991. – 351 hal.
T.Peskova. Pengenalan pertama tentang parameter dalam persamaan. Surat kabar pendidikan dan metodologi "Matematika". Nomor 36 Tahun 1999.
T.Kosyakova. Menyelesaikan pertidaksamaan linier dan kuadrat yang mengandung parameter. kelas 9 Surat kabar pendidikan dan metodologi “Matematika”.
T.Gorshenina. Masalah dengan parameter. kelas 8 Surat kabar pendidikan dan metodologi "Matematika". Nomor 16. 2004.
Sh.Tsyganov. Trinomial persegi dan parameter. Surat kabar pendidikan dan metodologi "Matematika". Nomor 5. 1999.
S.Nedelyaeva. Fitur pemecahan masalah dengan parameter. Surat kabar pendidikan dan metodologi "Matematika". Nomor 34. 1999.
