ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ. ಆನ್ಲೈನ್ ​​ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್

ಇಂದು ಅವಳು ಕಾವ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾಡಲು ಅರ್ಹಳು
ಬೇರುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ.
ಯಾವುದು ಉತ್ತಮ, ಹೇಳಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಿರತೆ:
ನೀವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಿರಿ - ಮತ್ತು ಭಾಗವು ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ
ಅಂಕೆಯಲ್ಲಿ ಜೊತೆಗೆ, ಛೇದದಲ್ಲಿ ಎ.
ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
ಒಂದು ಮೈನಸ್ ಈ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಹ
ಏನು ಸಮಸ್ಯೆ
ಅಂಕಿ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ವಿ, ಛೇದದಲ್ಲಿ ಎ.
(ಶಾಲಾ ಜಾನಪದದಿಂದ)

ಎಪಿಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ, ಫ್ರಾಂಕೋಯಿಸ್ ವಿಯೆಟಾದ ಗಮನಾರ್ಹ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ, ಇದು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 + 2x + 12 = 0 ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ, ಔಪಚಾರಿಕ ವಿಧಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು (x 1 · x 2 = 12) ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು (x 1 + x 2 = -2) ಬರೆಯಬಹುದು. ನಮ್ಮ ಪದ್ಯಗಳು ಎಚ್ಚರಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ: "ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ," ಅಂದರೆ. ಡಿ ≥ 0.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಮೌಖಿಕವಾಗಿ ಅನೇಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಈ ಕೌಶಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವುದರ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸುತ್ತವೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲಾದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಇಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.

5x 2 - 12x + c = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಮೂಲವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು. ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಎರಡನೇ ಮೂಲವು x 2 ಆಗಿರಲಿ.

ನಂತರ ಮೊದಲ ರೂಟ್ x1 = 3x 2.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು 12/5 = 2.4 ಆಗಿದೆ.

3x 2 + x 2 = 2.4 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ.

ಆದ್ದರಿಂದ x 2 = 0.6. ಆದ್ದರಿಂದ x 1 = 1.8.

ಉತ್ತರ: c = (x 1 x 2) a = 0.6 1.8 5 = 5.4.

ಉದಾಹರಣೆ 2.

x 1 ಮತ್ತು x 2 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳು x 2 – 8x + p = 0, ಜೊತೆಗೆ 3x 1 + 4x 2 = 29 ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. p ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, x 1 + x 2 = 8, ಮತ್ತು ಷರತ್ತು 3x 1 + 4x 2 = 29.

ಈ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು x 1 = 3, x 2 = 5 ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ p = 15.

ಉತ್ತರ: ಪು = 15.

ಉದಾಹರಣೆ 3.

3x 2 + 8 x – 1 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆ, x 1 4 + x 2 4 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ x 1 + x 2 = -8/3 ಮತ್ತು x 1 x 2 = -1/3 ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ

a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9

ಉತ್ತರ: 4898/9.

ಉದಾಹರಣೆ 4.

ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ a ಸಮೀಕರಣದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಬೇರುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ
2x 2 – (a + 1) x + (a – 1) = 0 ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. D > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು 2 ವಿಭಿನ್ನ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, (a + 1) 2 – 8 (a – 1) > 0 ಅಥವಾ (a – 3) 2 > 0. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ a ಕ್ಕೆ 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, a = 3 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

ಖಚಿತತೆಗಾಗಿ, ನಾವು x 1 > x 2 ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x 1 + x 2 = (a + 1)/2 ಮತ್ತು x 1 x 2 = (a – 1)/2 ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ x 1 – x 2 = (a – 1)/2. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪೂರೈಸಬೇಕು. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸೇರ್ಪಡೆಯಿಂದ ಇದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.

ನಾವು x 1 = a/2, x 2 = 1/2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ ಎಎರಡನೇ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. ನಾವು ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ: a/4 = (a-1)/2. ನಂತರ a = 2. ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ a = 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎಲ್ಲಾ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉತ್ತರ: ಯಾವಾಗ a = 2.

ಉದಾಹರಣೆ 5.

ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯ a, ಇದರಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ
x 2 - 2a (x - 1) - 1 = 0 ಅದರ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. D/4 ≥ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. ಅಥವಾ (a – 1 ) 2 ≥ 0. ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಯಾವುದೇ a ಕ್ಕೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯದ ನಂತರ x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ರಚಿಸಲು ಉಳಿದಿದೆ: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 2a = 4a 2 - 4a + 2. ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: a 1 = 1 ಮತ್ತು a 2 = 1/2. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದು -1/2.

ಉತ್ತರ: 1/2.

ಉದಾಹರಣೆ 6.

ಅದರ ಬೇರುಗಳ ಘನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಈ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಡಲಿ 2 + bx + c = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನಂತರ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. ಅಥವಾ: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.

ಎರಡನೆಯ ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.

ನಾವು (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ.

(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು b(3ac – b 2)/a = c 2.ಸಂಬಂಧ ಪತ್ತೆಯಾಗಿದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಬಂಧವು ಇತರರನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದ ನಂತರವೇ ಪರಿಗಣಿಸಲು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು: D ≥ 0.

ಉದಾಹರಣೆ 7.

x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ a ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಸಮೀಕರಣವು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ x 1 + x 2 = -2a, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.

ನಾವು x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2 (3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ (a – 3) 2 + 22.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯ a = 3 ನಲ್ಲಿ.

ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ a = 3 ನಲ್ಲಿ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. ನಾವು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x 2 + 6x + 7 = 0 ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿ D = 36 – 28 > 0.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉತ್ತರ: a = 3 ಗಾಗಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 8.

2x 2 – 7x – 3 = 0 ಸಮೀಕರಣವು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅದರ ಮೂಲಗಳು X 1 = 1/x 1 ಮತ್ತು X 2 = 1/x 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. (*)

ಪರಿಹಾರ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, x 1 + x 2 = 7/2 ಮತ್ತು x 1 x 2 = -3/2. x 2 + px + q = 0 ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬೇರುಗಳಿಂದ ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: p = -(X 1 + X 2) ಮತ್ತು q = X 1 · X 2.

(*) ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಈ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 ಮತ್ತು q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.

ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. ಈಗ ನಾವು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೂರು ಪಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು:

3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇನ್ನೂ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆಯೇ? ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ಖಚಿತವಾಗಿಲ್ಲವೇ?
ಬೋಧಕರಿಂದ ಸಹಾಯ ಪಡೆಯಲು -.
ಮೊದಲ ಪಾಠ ಉಚಿತ!

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸ್ವತಃ ರೂಪಿಸೋಣ: ನಾವು x^2+b*x + c = 0 ರೂಪದ ಕಡಿಮೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದೋಣ. ಈ ಸಮೀಕರಣವು x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ. ನಂತರ, ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ:

1) x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಗುಣಾಂಕ b ಯ ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2) ಈ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ನಮಗೆ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ c.

ಆದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣ ಏನು?

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು x^2 + b*x + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. (ಮತ್ತು a*x^2 + b*x + c = 0 ಸಮೀಕರಣವು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಲ್ಲ). ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಿದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು, ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಶಕ್ತಿಯ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಬೇಕು (a). ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x - 11 = 0.

ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x - 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x - 5.5 = 0.

ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = - (-5) = 5; x1*x2 = 6;

ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = -6; x1*x2 = 8;

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = -5; x1*x2 = 4;

ನಾವು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x1 = -1; x2 = -4.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಅರ್ಥ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಯಾವುದೇ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಹುತೇಕ ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ, ಇದು ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಕೆಲಸವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ 5 10 ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಂತರ, ನೀವು ಈಗಿನಿಂದಲೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಕಲಿಯಬಹುದು.

ನೀಡಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ, ನೀವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಲ್ಲದೆ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ ಕಡಿಮೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು, ತಪ್ಪು ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಅದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು ಎರಡು ಪ್ರಮುಖ ಊಹೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ:

ನೀಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣ, ಅಂದರೆ. ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯ ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತಪ್ಪಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ನೀವು ಸಮೀಕರಣದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸದ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ :))

ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ವಿವಿಧ ಬೇರುಗಳು. ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜ ಮತ್ತು ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೇಕಪ್ ಮಾಡಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರಗಳು.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್

ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಮಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ರೂಪಕ್ಕೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಹಿಂದೆ ನೀಡಿರುವಂತೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದಾಗ (ದಶಮಾಂಶ ಅಲ್ಲ), ನಂತರ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು.

ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿದಾಗ "ಅನುಕೂಲಕರ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಅವಕಾಶ ನೀಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳೂ ಇವೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ (ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಪ್ರಮೇಯ) ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೇಗೆ ಕಲಿಯುವುದು? ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸಿದರೆ ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಈಗ ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ x² ಗುಣಾಂಕವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಆದರೆ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಮೂಲವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲ. ಅವರು ಊಹಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಮೇಯವು ಹೀಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ: x1 ಮತ್ತು x2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಹೀಗಿದ್ದರೆ

ನಂತರ x1 ಮತ್ತು x2 ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಕೇವಲ 4 ಆಯ್ಕೆಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ನೀವು ತಾರ್ಕಿಕ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಬೇರುಗಳನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನೀವು ಕಲಿಯಬಹುದು.

I. q ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ,

ಇದರರ್ಥ x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ (ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರುತ್ತದೆ).

ಐ.ಎ. -p ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, (ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಪು<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ಐ.ಬಿ. ಒಂದು ವೇಳೆ -p - ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ, (ಕ್ರಮವಾಗಿ, p>0), ನಂತರ ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ (ನಾವು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ).

II. q ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ,

ಇದರರ್ಥ x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ (ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅಂಶಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, x1+x2 ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮೊತ್ತವಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ (ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಇದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳುನಾವು ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ದೊಡ್ಡದರಿಂದ ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ). ಆದ್ದರಿಂದ, x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳು x1 ಮತ್ತು x2 ಎಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು x1+x2 ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಮೂಲವು ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕಿಂತ ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ).

II.a -p ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿದ್ದರೆ, (ಅಂದರೆ, ಪು<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, (p>0), ನಂತರ ದೊಡ್ಡ (ಮಾಡ್ಯುಲೋ) ಮೂಲವು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ಇಲ್ಲಿ q=12>0, ಆದ್ದರಿಂದ x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ -p=7>0, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡೂ ಬೇರುಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಉತ್ಪನ್ನವು 12 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಇವು 1 ಮತ್ತು 12, 2 ಮತ್ತು 6, 3 ಮತ್ತು 4. ಜೋಡಿ 3 ಮತ್ತು 4 ಗೆ ಮೊತ್ತವು 7 ಆಗಿದೆ. ಇದರರ್ಥ 3 ಮತ್ತು 4 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, q=16>0, ಅಂದರೆ x1 ಮತ್ತು x2 ಬೇರುಗಳು ಒಂದೇ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

ಇಲ್ಲಿ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, ನಂತರ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬೇರುಗಳು 5 ಮತ್ತು -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ, ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಇತರ ಉಪಯುಕ್ತ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಅತ್ಯಂತ ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ನಾವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಯೆಟಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಪದವಿ n ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ಪುಟ ಸಂಚರಣೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ, ಸೂತ್ರೀಕರಣ, ಪುರಾವೆ

ರೂಪದ a·x 2 +b·x+c=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ, D=b 2 -4·a·c, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ: x 1 +x 2 =- b/a, x 1 ·x 2 = c/a . ಈ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯ:

ಪ್ರಮೇಯ.

ಒಂದು ವೇಳೆ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು a x 2 +b x+c=0, ನಂತರ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ b ಮತ್ತು a, ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನ ಬೇರುಗಳು ಸಿ ಮತ್ತು ಎ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, .

ಪುರಾವೆ.

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಯೋಜನೆಯ ಪ್ರಕಾರ ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ತಿಳಿದಿರುವ ಮೂಲ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ನಾವು ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವು −b/ ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಕ್ರಮವಾಗಿ a ಮತ್ತು c/a.

ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ. ಈಗ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಛೇದಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಫಲಿತಾಂಶದ ಭಾಗದ ಅಂಶದಲ್ಲಿ, ಅದರ ನಂತರ :. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, 2 ರ ನಂತರ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೊದಲ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ: . ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಈಗ ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ ಅನ್ನು ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕುಗ್ಗಿಸುವುದು ವೇಗವಾಗಿದೆ ಚೌಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರ, ಆದ್ದರಿಂದ . ನಂತರ, ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ನಾವು ಮುಂದಿನ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ತಾರತಮ್ಯವು D=b 2 −4·a·c ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಕೊನೆಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಲ್ಲಿ D ಬದಲಿಗೆ ನಾವು b 2 −4·a·c ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಆವರಣಗಳನ್ನು ತೆರೆದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತಂದ ನಂತರ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಕಡಿತವು 4·a ನೀಡುತ್ತದೆ . ಇದು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ವಿವರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಟ್ಟರೆ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಲಕೋನಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ:
,
.

ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಒಂದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಸಮಾನತೆಗಳು ಸಹ ಹೊಂದಿವೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, D=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವು , ನಂತರ ಮತ್ತು , ಮತ್ತು D=0 ರಿಂದ, ಅಂದರೆ, b 2 −4·a·c=0, ಎಲ್ಲಿಂದ b 2 =4·a·c, ಆಗ .

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು x 2 +p·x+q=0 ರೂಪದ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣಾಂಕದೊಂದಿಗೆ) ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಇದನ್ನು ಕೇವಲ ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು a. ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ನೀಡೋಣ:

ಪ್ರಮೇಯ.

ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತ x 2 +p x+q=0 ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ x ನ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ

ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣವು x 1 ಮತ್ತು x 2 ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿದ್ದರೆ x 2 +p x+q=0, ನಂತರ ಸಂಬಂಧಗಳು x 1 +x 2 =-p ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. , x 1 x 2 =q. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಲಿಖಿತ ಸಂಬಂಧಗಳಿಂದ x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 =q ಇದು x 1 ಮತ್ತು x 2 x 2 +p x+q=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂಭಾಷಣೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.

x 1 ಮತ್ತು x 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 1 +x 2 =-p ಮತ್ತು x 1 · x 2 =q ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ x 2 +p · x+q =0.

ಪುರಾವೆ.

x 2 +p·x+q=0 ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ p ಮತ್ತು q ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಮೂಲಕ ಬದಲಾಯಿಸಿದ ನಂತರ, ಅದು ಸಮಾನವಾದ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿ ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ x ಬದಲಿಗೆ x 1 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, ಇದು ಯಾವುದೇ x 1 ಮತ್ತು x 2 ಸರಿಯಾದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ 0=0, ರಿಂದ x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. ಆದ್ದರಿಂದ, x 1 ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ಅಂದರೆ x 1 ಸಮಾನ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ x 2 +p·x+q=0.

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿದ್ದರೆ x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x ಬದಲಿಗೆ x 2 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. ಇದು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆ, ರಿಂದ x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 -x 1 ·x 2 -x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. ಆದ್ದರಿಂದ, x 2 ಸಹ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣಗಳು x 2 +p·x+q=0.

ಇದು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಇದು ಸಮಯ. ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ವಿಯೆಟಾ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಬಳಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡೂ ಸಂಬಂಧಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಪ್ರಮೇಯವು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸಂಬಂಧವು ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಲ್ಲ. ಪತ್ತೆಯಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು 1) x 1 =-5, x 2 =3, ಅಥವಾ 2) ಅಥವಾ 3) 4 x 2 -16 x+9=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಬೇರುಗಳು?

ಪರಿಹಾರ.

ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳು 4 x 2 -16 x+9=0 a=4, b=-16, c=9. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು −b/a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ 16/4=4, ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು c/a ಗೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ, 9 /4.

ಈಗ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂರು ಜೋಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ.

ಮೊದಲ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು x 1 +x 2 =-5+3=-2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು 4 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಿಶೀಲನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮೊದಲ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೀಡಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಜೋಡಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು.

ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಮೊದಲ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ: ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು 9/4 ರಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಎರಡನೇ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಜೋಡಿಯಲ್ಲ.

ಕೊನೆಯ ಒಂದು ಪ್ರಕರಣ ಉಳಿದಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ ಮತ್ತು . ಎರಡೂ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು x 1 ಮತ್ತು x 2 ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳು. ಇದನ್ನು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ.

x 2 -5 x+6=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. x 1 ಮತ್ತು x 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಾಗಿರಲು, ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು: x 1 + x 2 =5 ಮತ್ತು x 1 ·x 2 =6. ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ: ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 2 ಮತ್ತು 3 ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ 2+3=5 ಮತ್ತು 2·3=6. ಹೀಗಾಗಿ, 2 ಮತ್ತು 3 ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮವಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು ಬೇರುಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವಾಗ ಅಥವಾ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದಾಗ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಎರಡನೇ ಮೂಲವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 512 x 2 -509 x -3=0 ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಏಕತೆಯು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ x 1 =1. ಎರಡನೇ ಮೂಲ x 2 ಅನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 1 ·x 2 =c/a ಸಂಬಂಧದಿಂದ. ನಾವು 1 x 2 =−3/512 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಇದರಿಂದ x 2 =-3/512. ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಮೂಲಗಳನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ: 1 ಮತ್ತು -3/512.

ಸರಳವಾದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಬೇರುಗಳ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಸಲಹೆ ಮಾಡುವುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು, ನೀವು ತಾರತಮ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

x 1 ಮತ್ತು x 2 ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಂವಾದದ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅನ್ವಯವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೂಲಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಸಾಕು, ಇದು x ನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

−11 ಮತ್ತು 23 ಬೇರುಗಳಿರುವ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.

x 1 =-11 ಮತ್ತು x 2 =23 ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: x 1 +x 2 =12 ಮತ್ತು x 1 ·x 2 =-253. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು -12 ರ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು −253 ರ ಉಚಿತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂದರೆ, x 2 −12·x−253=0 ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ.

ಉತ್ತರ:

x 2 −12·x−253=0 .

ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು x 2 +p·x+q=0 ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ? ಎರಡು ಸಂಬಂಧಿತ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

• ಉಚಿತ ಪದ q ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಎರಡೂ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಎರಡೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಉಚಿತ ಪದ q ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂದು ಮೂಲವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಹೇಳಿಕೆಗಳು x 1 · x 2 =q ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ, ಹಾಗೆಯೇ ಧನಾತ್ಮಕ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು. ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಆರ್ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. ತಾರತಮ್ಯದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯ r 2 +8 ಯಾವುದೇ ನೈಜ r ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಹೀಗಾಗಿ ಯಾವುದೇ ನೈಜ r ಗೆ D>0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಮೂಲ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವು r ನಿಯತಾಂಕದ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಎರಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಬೇರುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಈಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಬೇರುಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಕಡಿಮೆಯಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಉಚಿತ ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉಚಿತ ಪದ r−1 ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವ r ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ r ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಮಗೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ r−1<0 , откуда находим r<1 .

ಉತ್ತರ:

ಆರ್ ನಲ್ಲಿ<1 .

ವಿಯೆಟಾ ಸೂತ್ರಗಳು

ಮೇಲೆ ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅದು ಪ್ರತಿಪಾದಿಸುವ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಆದರೆ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನೈಜ ಬೇರುಗಳು ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಘನ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ನಾಲ್ಕನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳುಪದವಿ ಎನ್. ಅವರನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳು.

ರೂಪದ n ಪದವಿಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ವಿಯೆಟಾ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಅದು n ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ x 1, x 2, ..., x n (ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾದವುಗಳು ಇರಬಹುದು):

ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಬಹುಪದದ ವಿಭಜನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ, ಹಾಗೆಯೇ ಸಮಾನ ಬಹುಪದಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಮೂಲಕ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಹುಪದ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರೂಪದ ರೇಖೀಯ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದಲ್ಲಿ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುವುದು, ನಾವು ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, n=2 ಗಾಗಿ ನಾವು ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತ ವಿಯೆಟಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಘನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ

ವಿಯೆಟಾದ ಸೂತ್ರಗಳ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಬಹುಪದಗಳು.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ.

• ಬೀಜಗಣಿತ:ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ 8 ನೇ ತರಗತಿಗೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು / [ಯು. N. ಮಕರಿಚೆವ್, N. G. Mindyuk, K. I. ನೆಶ್ಕೋವ್, S. B. ಸುವೊರೊವಾ]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ S. A. ಟೆಲ್ಯಕೋವ್ಸ್ಕಿ. - 16 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2008. - 271 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ಮೊರ್ಡ್ಕೊವಿಚ್ ಎ.ಜಿ.ಬೀಜಗಣಿತ. 8 ನೇ ತರಗತಿ. 2 ಗಂಟೆಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗ 1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ / A. G. ಮೊರ್ಡ್ಕೋವಿಚ್. - 11 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ., ಅಳಿಸಲಾಗಿದೆ. - ಎಂ.: ಮೆನೆಮೊಸಿನ್, 2009. - 215 ಪು.: ಅನಾರೋಗ್ಯ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ಬೀಜಗಣಿತಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಪ್ರಾರಂಭ. 10 ನೇ ತರಗತಿ: ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣಕ್ಕಾಗಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳು: ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಫೈಲ್. ಮಟ್ಟಗಳು / [ಯು. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. ಫೆಡೋರೊವಾ, M. I. ಶಬುನಿನ್]; ಸಂಪಾದಿಸಿದ್ದಾರೆ A. B. ಝಿಝ್ಚೆಂಕೊ. - 3 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2010.- 368 ಪು. : ಅನಾರೋಗ್ಯ. - ISBN 978-5-09-022771-1.

ತಾರತಮ್ಯದ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಈ ತಂತ್ರದ ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿದೆ. x2 + bx + c = 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ಹೇಳಿಕೆಗಳು ನಿಜ.

ಮೊದಲ ಹೇಳಿಕೆಯು ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ನ ಗುಣಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಬಿ), ಆದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ. ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x1 + x2 = -b.

ಎರಡನೆಯ ಹೇಳಿಕೆಯು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದೇ ಎರಡು ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿಲ್ಲ. ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉಚಿತ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಸಿ. ಅಥವಾ, x1 * x2 = c. ಈ ಎರಡೂ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಒಂದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, ಗುಣಾಂಕ a, x2 ರ ಮುಂದೆ ಇರುವ ಒಂದು, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವ ಮೂಲಕ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಒಂದೇ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು, ಆದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ನೋಡಲು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ಹೇಗೆ ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಬೇರುಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು 2a ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ, ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, a=1 ಇದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಬೇರುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = -2b/2 = -b.

ಅಜ್ಞಾತ ಬೇರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಇದು ನಿಜ: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, D = b2-4c (ಮತ್ತೆ a=1 ನೊಂದಿಗೆ). ಫಲಿತಾಂಶವು ಹೀಗಿದೆ: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

ನೀಡಿದ ಸರಳ ಪುರಾವೆಯಿಂದ, ಕೇವಲ ಒಂದು ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು: ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ದೃಢೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಸೂತ್ರೀಕರಣ ಮತ್ತು ಪುರಾವೆ

ವಿಯೆಟಾದ ಪ್ರಮೇಯವು ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಸತ್ಯವೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಅದೇ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ: ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ನೈಜ ಬೇರುಗಳಿವೆ, ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಈ ಸಮಾನತೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). P(x) ಕಾರ್ಯವು x1 ಮತ್ತು x2 ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದನ್ನು P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. P ಎರಡನೇ ಪದವಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ, ಮತ್ತು ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ತೋರುತ್ತಿರುವಾಗ, R ಒಂದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ 1. ಈ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನತೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಬ್ರಾಕೆಟ್‌ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವಾಗ ಗುಣಾಂಕ x2 ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಚೌಕವಾಗಿ ಉಳಿಯಬೇಕು.