Naturālā logaritma atrisināšana. Logaritms

bieži ņem numuru e = 2,718281828 . Logaritmi pēc šis pamats tiek saukti dabisks. Veicot aprēķinus ar naturālajiem logaritmiem, ierasts operēt ar zīmi ln, bet ne žurnāls; kamēr numurs 2,718281828 , kas nosaka pamatu, nav norādīti.

Citiem vārdiem sakot, formulējums izskatīsies šādi: naturālais logaritms cipariem X- tas ir eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis e, Iegūt x.

Tātad, ln(7389...)= 2, kopš e 2 =7,389... . Paša skaitļa naturālais logaritms e= 1, jo e 1 =e, un vienotības dabiskais logaritms ir nulle, kopš e 0 = 1.

Pats numurs e definē monotoniskas ierobežotas secības robežu

aprēķināja, ka e = 2,7182818284... .

Diezgan bieži, lai fiksētu numuru atmiņā, vajadzīgā numura cipari tiek saistīti ar kādu nenoteiktu datumu. Skaitļa pirmo deviņu ciparu iegaumēšanas ātrums e aiz komata palielināsies, ja ievērosiet, ka 1828. gads ir Ļeva Tolstoja dzimšanas gads!

Šodien ir pietiekami daudz pilni galdi naturālie logaritmi.

Dabiskā logaritma grafiks(funkcijas y =ln x) ir rezultāts tam, ka eksponentu grafiks ir taisnes spoguļattēls y = x un tam ir šāda forma:

Katram pozitīvam reālam skaitlim var atrast naturālo logaritmu a kā laukums zem līknes y = 1/x no 1 pirms tam a.

Šī formulējuma elementārais raksturs, kas atbilst daudzām citām formulām, kurās ir iesaistīts naturālais logaritms, bija iemesls nosaukuma “dabisks” veidošanai.

Ja jūs analizējat naturālais logaritms, kā reāla mainīgā reāla funkcija, tad tas darbojas apgrieztā funkcija uz eksponenciālu funkciju, kas reducējas līdz identitātēm:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Pēc analoģijas ar visiem logaritmiem naturālais logaritms reizināšanu pārvērš saskaitīšanā un dalīšanu atņemšanā:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmu var atrast katrai pozitīvai bāzei, kas nav vienāda ar vienu, ne tikai par e, bet citu bāzu logaritmi atšķiras no naturālā logaritma tikai ar nemainīgu koeficientu un parasti tiek definēti naturālā logaritma izteiksmē.

Izanalizējot naturālā logaritma grafiks, mēs atklājam, ka tas pastāv mainīgā pozitīvām vērtībām x. Tas monotoni palielinās savā definīcijas jomā.

Plkst x → 0 naturālā logaritma robeža ir mīnus bezgalība ( -∞ ).Plkst x → +∞ naturālā logaritma robeža ir plus bezgalība ( + ∞ ). Brīvībā x Logaritms palielinās diezgan lēni. Jebkura jaudas funkcija xa ar pozitīvu eksponentu a palielinās ātrāk nekā logaritms. Dabiskais logaritms ir monotoni pieaugoša funkcija, tāpēc tai nav ekstrēmu.

Lietošana naturālie logaritmiļoti racionāli nokārtojot augstāko matemātiku. Tādējādi logaritma izmantošana ir ērta, lai atrastu atbildi uz vienādojumiem, kuros nezināmie parādās kā eksponenti. Dabisko logaritmu izmantošana aprēķinos ļauj ievērojami vienkāršot lielu skaitu matemātiskās formulas. Logaritmi uz bāzi e ir klāt, risinot ievērojamu skaitu fizikālu problēmu un dabiski tiek iekļauti atsevišķu ķīmisko, bioloģisko un citu procesu matemātiskajā aprakstā. Tādējādi logaritmi tiek izmantoti, lai aprēķinātu sabrukšanas konstanti zināmam pussabrukšanas periodam vai aprēķinātu sabrukšanas laiku, risinot radioaktivitātes problēmas. Viņi uzstājas iekšā vadošā loma daudzās matemātikas un praktisko zinātņu nozarēs tos izmanto finanšu jomā, lai atrisinātu lielu skaitu uzdevumu, tostarp salikto procentu aprēķināšanai.

Nodarbība un prezentācija par tēmām: "Naturālie logaritmi. Naturālā logaritma bāze. Naturāla skaitļa logaritms"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes! Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 11. klasei
Interaktīva rokasgrāmata 9.–11. klasei "Trigonometrija"
Interaktīva rokasgrāmata 10.–11. klasei "Logaritmi"

Kas ir naturālais logaritms

Puiši, pēdējā nodarbībā iemācījāmies jaunu, īpašu numuru - e.Šodien turpināsim strādāt ar šo numuru.
Mēs esam pētījuši logaritmus un zinām, ka logaritma bāze var būt daudzi skaitļi, kas ir lielāki par 0. Šodien mēs apskatīsim arī logaritmu, kura bāze ir skaitlis e. Šādu logaritmu parasti sauc par naturālo logaritmu. Tam ir savs apzīmējums: $\ln(n)$ ir naturālais logaritms. Šis ieraksts ir līdzvērtīgs ierakstam: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponenciālās un logaritmiskās funkcijas ir apgrieztas, tad naturālais logaritms ir funkcijas apgrieztā vērtība: $y=e^x$.
Apgrieztās funkcijas ir simetriskas attiecībā pret taisni $y=x$.
Uzzīmēsim naturālo logaritmu, attēlojot eksponenciālo funkciju attiecībā pret taisni $y=x$.

Ir vērts atzīmēt, ka funkcijas $y=e^x$ grafika pieskares slīpuma leņķis punktā (0;1) ir 45°. Tad arī naturālā logaritma grafika pieskares slīpuma leņķis punktā (1;0) būs vienāds ar 45°. Abas šīs pieskares būs paralēlas taisnei $y=x$. Diagrammēsim pieskares:

Funkcijas $y=\ln(x)$ īpašības

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nav ne pāra, ne nepāra.
3. Palielinās visā definīcijas jomā.
4. Nav ierobežots no augšas, nav ierobežots no apakšas.
5. Lielākā vērtība Nē, zemākā vērtība Nē.
6. Nepārtraukts.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Izliekts uz augšu.
9. Atšķiras visur.

Augstākās matemātikas gaitā tas ir pierādīts apgrieztās funkcijas atvasinājums ir dotās funkcijas atvasinājuma apgrieztais.
Nav lielas jēgas iedziļināties pierādīšanā, vienkārši uzrakstīsim formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Piemērs.
Aprēķināt funkcijas atvasinājuma vērtību: $y=\ln(2x-7)$ punktā $x=4$.
Risinājums.
IN vispārējs skats mūsu funkciju attēlo funkcija $y=f(kx+m)$, mēs varam aprēķināt šādu funkciju atvasinājumus.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Aprēķināsim atvasinājuma vērtību vajadzīgajā punktā: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Atbilde: 2.

Piemērs.
Uzzīmējiet pieskares funkcijas $y=ln(x)$ grafikam punktā $х=е$.
Risinājums.
Mēs labi atceramies pieskares vienādojumu funkcijas grafikam punktā $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Mēs secīgi aprēķinām nepieciešamās vērtības.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Pieskares vienādojums punktā $x=e$ ir funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Uzzīmēsim naturālo logaritmu un pieskares līniju.

Piemērs.
Pārbaudiet funkciju monotoniskumam un ekstrēmumam: $y=x^6-6*ln(x)$.
Risinājums.
Funkcijas $D(y)=(0;+∞)$ definīcijas apgabals.
Atradīsim dotās funkcijas atvasinājumu:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Atvasinājums pastāv visiem x no definīcijas domēna, tad nav kritisko punktu. Atradīsim stacionārus punktus:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkts $х=-1$ neietilpst definīcijas jomā. Tad mums ir viens stacionārs punkts $x=1$. Atradīsim pieauguma un samazināšanas intervālus:

Punkts $x=1$ ir minimālais punkts, tad $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Atbilde: Funkcija samazinās segmentā (0;1), funkcija palielinās uz stara $ (\displaystyle ). Šīs definīcijas vienkāršība, kas atbilst daudzām citām formulām, kas izmanto šo logaritmu, izskaidro nosaukuma "dabisks" izcelsmi.

Ja mēs uzskatām naturālo logaritmu par reāla mainīgā reālu funkciju, tad tā ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā funkcija, kas noved pie identitātēm:

e ln⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Tāpat kā visi logaritmi, dabiskais logaritms kartē reizināšanu ar saskaitīšanu:

ln⁡xy = ln⁡x + ln⁡y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)