ഒരു മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം(SLAU) താരതമ്യേന എൻഅജ്ഞാതം x 1 , x 2 , ..., x എൻ :

"തകർച്ച" രൂപത്തിൽ ഈ സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

എസ് എൻ i=1 എ ij x ജെ = ബി ഐ , i=1,2, ..., n.

മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിൻ്റെ നിയമത്തിന് അനുസൃതമായി, പരിഗണിക്കുന്ന സിസ്റ്റം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾഎന്നതിൽ എഴുതാം മാട്രിക്സ് ഫോം കോടാലി=ബി, എവിടെ

, ,.

മാട്രിക്സ് എ, അവയുടെ നിരകൾ ബന്ധപ്പെട്ട അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും വരികൾ ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും എന്ന് വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്. കോളം മാട്രിക്സ് ബി, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങളായ മൂലകങ്ങളെ വലതുവശത്തുള്ള മാട്രിക്സ് അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വലതുവശം. കോളം മാട്രിക്സ് x , ആരുടെ ഘടകങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ അജ്ഞാതങ്ങളാണ്, വിളിക്കപ്പെടുന്നു സിസ്റ്റം പരിഹാരം.

രൂപത്തിൽ എഴുതിയ രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം കോടാലി=ബി, ആണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം.

സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് ആണെങ്കിൽ ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത, അപ്പോൾ അവൾക്കുണ്ട് വിപരീത മാട്രിക്സ്പിന്നെ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരം കോടാലി=ബിഫോർമുല പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു:

x=A -1 ബി.

ഉദാഹരണംസിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക മാട്രിക്സ് രീതി.

പരിഹാരംസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സിനുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം:

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് Δ ≠ 0 , അത് എ -1 നിലവിലുണ്ട്.

വിപരീത മാട്രിക്സ് ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം

അതിനാൽ, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

പരീക്ഷ:

7. രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റംഫോം ഉണ്ട്:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

ഇവിടെ a i j, b i (i = ; j = ) എന്നിവ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ x j എന്നത് അജ്ഞാത യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്. മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് സിസ്റ്റം (5.1) രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

ഇവിടെ A = (a i j) എന്നത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (5.1) അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T എന്നത് യഥാക്രമം അജ്ഞാതമായ x j, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ b i എന്നിവ ചേർന്ന നിര വെക്റ്ററുകളാണ്.

ഓർഡർ ചെയ്ത ശേഖരം എൻയഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ (c 1, c 2,..., c n) വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റം പരിഹാരം(5.1), x 1, x 2,..., x n എന്നീ അനുബന്ധ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഈ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും ഒരു ഗണിത ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്നു; മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു വെക്റ്റർ C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T ഉണ്ടെങ്കിൽ AC  B.

സിസ്റ്റം (5.1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത,അഥവാ പരിഹരിക്കാവുന്ന,അതിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ. സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൊരുത്തമില്ലാത്ത,അഥവാ പരിഹരിക്കാനാവാത്ത, അതിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ.

,

മാട്രിക്സ് A യുടെ വലതുവശത്ത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം നൽകി രൂപീകരിച്ചതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ്.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം (5.1) ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം വഴി പരിഹരിക്കുന്നു.

ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം . രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ് എ, എ, എ എന്നീ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ ഒത്തുവന്നാൽ മാത്രം, അതായത്. r(A) = r(A) = r.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (5.1) പരിഹാരങ്ങളുടെ എം സെറ്റിന് മൂന്ന് സാധ്യതകളുണ്ട്:

1) M =  (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്);

2) M ഒരു ഘടകം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്. സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്);

3) M-ൽ ഒന്നിലധികം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (അപ്പോൾ സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു അനിശ്ചിതത്വം). മൂന്നാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (5.1) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

r(A) = n ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടാകൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവല്ല (mn); m>n ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ m-n സമവാക്യങ്ങൾമറ്റുള്ളവയുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. 0 ആണെങ്കിൽ

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ അനിയന്ത്രിതമായ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയേണ്ടതുണ്ട് - വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ക്രാമർ തരം സംവിധാനങ്ങൾ:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

സിസ്റ്റങ്ങൾ (5.3) ഇനിപ്പറയുന്ന വഴികളിലൊന്നിൽ പരിഹരിക്കുന്നു: 1) ഗാസ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി; 2) ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച്; 3) മാട്രിക്സ് രീതി.

ഉദാഹരണം 2.12. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക, അത് സ്ഥിരതയുള്ളതാണെങ്കിൽ അത് പരിഹരിക്കുക:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

പരിഹാരം.സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

 .

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ഇടത് കോണിലുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ = 7  0; ഇത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന മൂന്നാം-ക്രമം പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

തൽഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്, അതായത്. r(A) = 2. വിപുലീകൃത മാട്രിക്‌സിൻ്റെ റാങ്ക് കണക്കാക്കാൻ A, അതിർത്തിയിലുള്ള മൈനർ പരിഗണിക്കുക

ഇതിനർത്ഥം വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് r(A) = 3. r(A)  r(A) ആയതിനാൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ചില സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കൾ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി, അതുപോലെ തന്നെ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി എന്നിവ പരിശോധിച്ചു. ഈ പേജ് വഴി സൈറ്റ് ആക്സസ് ചെയ്ത എല്ലാവരോടും ആദ്യ ഭാഗം വായിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ചില സന്ദർശകർ മെറ്റീരിയൽ വളരെ ലളിതമായി കണ്ടെത്തും, പക്ഷേ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, പൊതുവെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി അഭിപ്രായങ്ങളും നിഗമനങ്ങളും നടത്തി.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം വിശകലനം ചെയ്യും, അതുപോലെ തന്നെ വിപരീത മാട്രിക്സ് (മാട്രിക്സ് രീതി) ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കും. എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ലളിതമായും വിശദമായും വ്യക്തമായും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു; മുകളിലുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മിക്കവാറും എല്ലാ വായനക്കാർക്കും പഠിക്കാൻ കഴിയും.

ആദ്യം, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളിലുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കും. എന്തിനുവേണ്ടി? - എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനം സ്കൂൾ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി!

ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായി രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ അത്തരമൊരു ചുമതല സംഭവിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. രണ്ടാമതായി, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കേസിനായി ക്രാമർ റൂൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും - മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം.

കൂടാതെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്, അവ ക്രാമർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമാണ്!

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ്.

ഗാസ് രീതി.

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമ്മൾ രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
ഒപ്പം

പ്രായോഗികമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞ യോഗ്യതകൾ ഒരു ലാറ്റിൻ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
,

ഉദാഹരണം 7

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു; വലതുവശത്ത് കോമയുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ കോമ വളരെ അപൂർവമായ അതിഥിയാണ്; ഒരു ഇക്കണോമെട്രിക് പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നാണ് ഞാൻ ഈ സിസ്റ്റം എടുത്തത്.

അത്തരമൊരു സംവിധാനം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തിക്കാൻ അങ്ങേയറ്റം അസൗകര്യമുള്ള ഭയാനകമായ ഫാൻസി ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ അവസാനിക്കും, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന ഭയങ്കരമായി കാണപ്പെടും. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് പദത്തെ ടേം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം, എന്നാൽ ഇവിടെയും അതേ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകും.

എന്തുചെയ്യും? അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്രാമർ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

;

;

ഉത്തരം: ,

രണ്ട് വേരുകൾക്കും അനന്തമായ വാലുകളുണ്ട്, അവ ഏകദേശം കാണപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇക്കോണോമെട്രിക്സ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ് (സാധാരണമായത് പോലും).

ഇവിടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക്ക് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു മുന്നറിയിപ്പ് ഉണ്ട്. ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നിർബന്ധിതംടാസ്‌ക് ഡിസൈനിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ശകലമാണ്: "ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്നാണ്". അല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള അനാദരവിന് നിരൂപകൻ നിങ്ങളെ ശിക്ഷിച്ചേക്കാം.

ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സൗകര്യപ്രദമായി നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന പരിശോധിക്കുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറുകൾ ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണം 8

സാധാരണ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുക. ഒരു പരിശോധന നടത്തുക.

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു ഉദാഹരണവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും).

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം പരിഗണിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അസ്ഥിരമാണ് (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്രാമർ റൂൾ സഹായിക്കില്ല; നിങ്ങൾ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
, ,

അവസാനമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, “മൂന്ന് മൂന്ന്” കേസ് അടിസ്ഥാനപരമായി “രണ്ട് ബൈ ടു” കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല; സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിര പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ നിരകളിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് തുടർച്ചയായി “നടക്കുന്നു”.

ഉദാഹരണം 9

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം.

, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

ഉത്തരം: .

യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇവിടെ വീണ്ടും പ്രത്യേകമായി അഭിപ്രായം പറയാൻ ഒന്നുമില്ല, കാരണം പരിഹാരം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഒന്നുരണ്ടു കമൻ്റുകൾ ഉണ്ട്.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, "മോശം" കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
ഇനിപ്പറയുന്ന "ചികിത്സ" അൽഗോരിതം ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ചെയ്യുക:

1) കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശക് ഉണ്ടാകാം. നിങ്ങൾ ഒരു "മോശം" ഭിന്നസംഖ്യയെ കണ്ടുമുട്ടിയ ഉടൻ, നിങ്ങൾ ഉടൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് വ്യവസ്ഥ തിരുത്തിയെഴുതിയത് ശരിയാണോ?. വ്യവസ്ഥ പിശകുകളില്ലാതെ മാറ്റിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വരിയിലെ (നിര) വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

2) പരിശോധനയുടെ ഫലമായി പിശകുകളൊന്നും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, മിക്കവാറും ടാസ്‌ക് വ്യവസ്ഥകളിൽ അക്ഷരത്തെറ്റുണ്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവസാനം വരെ ശാന്തമായും ശ്രദ്ധയോടെയും ജോലി ചെയ്യുക പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുകതീരുമാനത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ക്ലീൻ ഷീറ്റിൽ വരയ്ക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് അസുഖകരമായ ഒരു ജോലിയാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോലെയുള്ള ഏതൊരു ബുൾഷിറ്റിനും ഒരു മൈനസ് നൽകാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന അധ്യാപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് നിരായുധീകരണ വാദമായിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് ഉദാഹരണം 8-ൻ്റെ ഉത്തരത്തിൽ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക, അത് പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം. വഴിയിൽ, പ്രോഗ്രാം ഉടനടി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലാഭകരമാണ് (പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പുതന്നെ); നിങ്ങൾ തെറ്റ് ചെയ്ത ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടം നിങ്ങൾ ഉടൻ കാണും! അതേ കാൽക്കുലേറ്റർ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം യാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ പരാമർശം. കാലാകാലങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്‌ടമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ സിസ്റ്റങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇവിടെ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിളില്ല, രണ്ടാമത്തേതിൽ വേരിയബിളില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ശരിയായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്:
- കാണാതായ വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
വഴിയിൽ, പൂജ്യം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരി (നിര) അനുസരിച്ച് പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തുറക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ കുറവാണ്.

ഉദാഹരണം 10

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തെ ഉത്തരവും).

4 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾക്കനുസൃതമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്ന പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തത്സമയ ഉദാഹരണം കാണാൻ കഴിയും. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നു - അഞ്ച് നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തികച്ചും പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. ഒരു ഭാഗ്യശാലിയായ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നെഞ്ചിൽ ഒരു പ്രൊഫസറുടെ ഷൂവിനെ ഈ ചുമതല ഇതിനകം വളരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നതാണെങ്കിലും.

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി പ്രധാനമായും ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം(നിർദ്ദിഷ്ട പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക).

ഈ വിഭാഗം പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്താനും മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താനും കഴിയണം. വിശദീകരണങ്ങൾ പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ പ്രസക്തമായ ലിങ്കുകൾ നൽകും.

ഉദാഹരണം 11

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
, എവിടെ

സമവാക്യങ്ങളുടെയും മെട്രിക്സിൻ്റെയും സിസ്റ്റം നോക്കുക. ഘടകങ്ങളെ മെട്രിക്സുകളായി എഴുതുന്ന തത്വം എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ഒരേയൊരു അഭിപ്രായം: സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിലെ അനുബന്ധ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു:
, മാട്രിക്സിൻ്റെ അനുബന്ധ മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ്.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോക്കാം:

ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധ! എങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല, കൂടാതെ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി (Gauss രീതി) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 9 പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുകയും അവയെ മൈനേഴ്സ് മാട്രിക്സിൽ എഴുതുകയും വേണം

റഫറൻസ്:ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകളുടെ അർത്ഥം അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയുടെ സംഖ്യയാണ് ആദ്യ അക്കം. രണ്ടാമത്തെ അക്കം മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരയുടെ സംഖ്യയാണ്:

അതായത്, ഒരു ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഘടകം ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകം 3 വരിയിലും 2 കോളത്തിലുമാണ്.

n-ആം ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ

മാട്രിക്സ് എ -1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു വിപരീത മാട്രിക്സ്മാട്രിക്സ് A യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, A*A -1 = E ആണെങ്കിൽ, E എന്നത് n-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ആണ്.

ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ്- മുകളിലെ ഇടത് കോണിൽ നിന്ന് താഴെ വലത് കോണിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്ന പ്രധാന ഡയഗണലിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒന്നാണ്, ബാക്കിയുള്ളവ പൂജ്യങ്ങളാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

വിപരീത മാട്രിക്സ്നിലനിന്നേക്കാം ചതുര മെട്രിക്സുകൾക്ക് മാത്രംആ. വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണം യോജിക്കുന്ന മെട്രിക്സുകൾക്ക്.

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള സിദ്ധാന്തം

ഒരു മാട്രിക്‌സിന് വിപരീത മാട്രിക്‌സ് ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് ഏകവചനമല്ലാത്തത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.

മാട്രിക്സ് A = (A1, A2,...A n) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത, നിര വെക്റ്ററുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ. ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര കോളം വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണത്തെ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അതിൻ്റെ അളവിന് തുല്യമാകേണ്ടത് ആവശ്യവും പര്യാപ്തവുമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, അതായത്. r = n.

വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. ഗോസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടികയിൽ മാട്രിക്സ് എ എഴുതുക, അതിന് വലതുവശത്ത് (സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്ത്) മാട്രിക്സ് ഇ നൽകുക.
2. ജോർദാൻ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, മാട്രിക്സ് എ യൂണിറ്റ് നിരകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് ആയി കുറയ്ക്കുക; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരേസമയം മാട്രിക്സ് E പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
3. ആവശ്യമെങ്കിൽ, അവസാന പട്ടികയുടെ വരികൾ (സമവാക്യങ്ങൾ) പുനഃക്രമീകരിക്കുക, അങ്ങനെ ഒറിജിനൽ ടേബിളിൻ്റെ മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക് കീഴിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ഇ ലഭിക്കും.
4. ഒറിജിനൽ ടേബിളിൻ്റെ മെട്രിക്സ് E യുടെ കീഴിലുള്ള അവസാന പട്ടികയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വിപരീത മാട്രിക്സ് A -1 എഴുതുക.

ഉദാഹരണം 1

മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക്, വിപരീത മാട്രിക്സ് എ -1 കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എ എഴുതുകയും ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ഇ വലതുവശത്ത് നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. ജോർദാൻ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എയെ ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് ഇ ആയി കുറയ്ക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പട്ടിക 31.1 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സ് എയും വിപരീത മാട്രിക്സ് എ -1 യും ഗുണിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കാം.

മാട്രിക്സ് ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശരിയായി നടത്തി.

ഉത്തരം:

മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെയാകാം:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ഇവിടെ A, B, C എന്നിവ നിർദ്ദിഷ്ട മെട്രിക്സുകളാണ്, X ആണ് ആവശ്യമുള്ള മാട്രിക്സ്.

മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സമവാക്യത്തെ വിപരീത മെട്രിക്സുകളാൽ ഗുണിച്ചാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഈ സമവാക്യത്തെ ഇടതുവശത്ത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തി അതിനെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളും സമാനമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണം 2

എങ്കിൽ AX = B എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: വിപരീത മാട്രിക്സ് തുല്യമായതിനാൽ (ഉദാഹരണം 1 കാണുക)

സാമ്പത്തിക വിശകലനത്തിൽ മാട്രിക്സ് രീതി

മറ്റുള്ളവരോടൊപ്പം, അവയും ഉപയോഗിക്കുന്നു മാട്രിക്സ് രീതികൾ. ഈ രീതികൾ ലീനിയർ, വെക്റ്റർ-മാട്രിക്സ് ബീജഗണിതത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. സങ്കീർണ്ണവും ബഹുമുഖവുമായ സാമ്പത്തിക പ്രതിഭാസങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനായി ഇത്തരം രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, ഓർഗനൈസേഷനുകളുടെയും അവയുടെ ഘടനാപരമായ വിഭജനങ്ങളുടെയും പ്രവർത്തനത്തെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതിന് ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ ഈ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സ് വിശകലന രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽസാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രാരംഭ ഡാറ്റയുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു, ഇത് സിസ്റ്റം നമ്പറുകൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത വരികളിൽ കാണിക്കുന്ന ഒരു പട്ടികയാണ്. (i = 1,2,....,n), ഒപ്പം ലംബ നിരകളിൽ - സൂചകങ്ങളുടെ എണ്ണം (j = 1,2,....,m).

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽഓരോ ലംബ നിരയ്ക്കും, ലഭ്യമായ സൂചക മൂല്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും വലുത് തിരിച്ചറിയുന്നു, അത് ഒന്നായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഇതിനുശേഷം, ഈ നിരയിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന എല്ലാ തുകയും ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യത്താൽ വിഭജിക്കുകയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽമാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലാണ്. അവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത പ്രാധാന്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഓരോ മാട്രിക്സ് സൂചകത്തിനും ഒരു നിശ്ചിത ഭാരം ഗുണകം നൽകിയിരിക്കുന്നു കെ. രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വിദഗ്ദ്ധ അഭിപ്രായമാണ്.

അവസാനത്തേതിൽ, നാലാം ഘട്ടംറേറ്റിംഗ് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി Rjഅവയുടെ വർദ്ധനവ് അല്ലെങ്കിൽ കുറയൽ ക്രമത്തിൽ തരം തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിവിധ നിക്ഷേപ പദ്ധതികളുടെ താരതമ്യ വിശകലനത്തിലും ഓർഗനൈസേഷൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മറ്റ് സാമ്പത്തിക സൂചകങ്ങൾ വിലയിരുത്തുന്നതിലും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കണം.

(ചിലപ്പോൾ ഈ രീതിയെ മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു) SLAE യുടെ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷൻ്റെ മാട്രിക്സ് രൂപം പോലുള്ള ഒരു ആശയവുമായി പ്രാഥമിക പരിചയം ആവശ്യമാണ്. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാണ് വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. സ്വാഭാവികമായും, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ചതുരമാണെന്ന് ഇത് അനുമാനിക്കുന്നു (സ്ക്വയർ മെട്രിക്സിന് മാത്രമേ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന ആശയം നിലനിൽക്കുന്നുള്ളൂ). വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതിയുടെ സാരാംശം മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. മൂന്ന് മെട്രിക്സ് എഴുതുക: സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് $A$, അജ്ഞാതരുടെ മാട്രിക്സ് $X$, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് $B$.
2. വിപരീത മാട്രിക്സ് $A^(-1)$ കണ്ടെത്തുക.
3. തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ ഉപയോഗിച്ച്, തന്നിരിക്കുന്ന SLAE-ന് ഒരു പരിഹാരം നേടുക.

ഏത് SLAE നെയും മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ $A\cdot X=B$ എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ $A$ എന്നത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ആണ്, $B$ എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മെട്രിക്സ് ആണ്, $X$ എന്നത് അജ്ഞാതരുടെ മാട്രിക്സ് ആണ്. $A^(-1)$ എന്ന മാട്രിക്സ് നിലവിലിരിക്കട്ടെ. $A\cdot X=B$ എന്ന തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും ഇടതുവശത്തുള്ള $A^(-1)$ എന്ന മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ എന്നത് ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്‌സ് ആണ്), മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന തുല്യത ഇതാകുന്നു:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

$E\cdot X=X$ മുതൽ, തുടർന്ന്:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക.

$$ A=\ഇടത്(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിലേക്കുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താം, അതായത്. നമുക്ക് $A^(-1)$ കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണം നമ്പർ 2 ൽ

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

ഇനി നമുക്ക് മൂന്ന് മെട്രിക്സുകളെയും ($X$, $A^(-1)$, $B$) തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ എന്നാക്കി മാറ്റാം. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്തുന്നു

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\ right). $$

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( അറേ )\വലത്)$. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക്: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ഉത്തരം: $x_1=-3$, $x_2=2$.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

SLAE പരിഹരിക്കുക $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

$A$ എന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മെട്രിക്സ്, $B$ എന്ന സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്, അജ്ഞാതരുടെ $X$ എന്ന മാട്രിക്സ് എന്നിവ നമുക്ക് എഴുതാം.

$$ A=\ഇടത്(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\ right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\ right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിലേക്കുള്ള വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താനുള്ള ഊഴമാണ്, അതായത്. $A^(-1)$ കണ്ടെത്തുക. വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമർപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പേജിലെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 ൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് ഇതിനകം കണ്ടെത്തി. പൂർത്തിയായ ഫലം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് $A^(-1)$ എഴുതാം:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\ അവസാനം(അറേ)\വലത്). $$

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മൂന്ന് മെട്രിക്സുകളെയും ($X$, $A^(-1)$, $B$) തുല്യത $X=A^(-1)\cdot B$ എന്നതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, തുടർന്ന് വലതുവശത്ത് മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താം. ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \ right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\ right) $$

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 എന്ന തുല്യത ലഭിച്ചു \ \9\ അവസാനം(അറേ)\വലത്)$. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക്: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

മെട്രിക്സുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളെയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്ന ഒരു ആശയമാണിത്. ഗണിത മാട്രിക്സ് - മൂലകങ്ങളുടെ പട്ടിക. എവിടെ ഒരു മേശയെക്കുറിച്ച് എംവരികളും എൻനിരകൾ, ഈ മാട്രിക്സിന് അളവ് ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എംഓൺ എൻ.

മാട്രിക്സിൻ്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച:

വേണ്ടി മാട്രിക്സ് പരിഹാരങ്ങൾഒരു മാട്രിക്സ് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കുകയും അതിൻ്റെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകൾ അറിയുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ:

• മൂലകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന പ്രധാന ഡയഗണൽ ഒരു 11, ഒരു 22.....ഒരു മി.
• ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയ സൈഡ് ഡയഗണൽ a 1n , a 2n-1 .....a m1.

മെട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന തരം:

• സ്ക്വയർ എന്നത് ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്, ഇവിടെ വരികളുടെ എണ്ണം = നിരകളുടെ എണ്ണം ( m=n).
• പൂജ്യം - എല്ലാ മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങളും = 0.
• ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് - മാട്രിക്സ് INയഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചതാണ് എനിരകൾ ഉപയോഗിച്ച് വരികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ.
• ഏകത - പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും = 1, മറ്റുള്ളവ = 0.
• യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ഉണ്ടാകുന്ന ഒരു മെട്രിക്സാണ് വിപരീത മാട്രിക്സ്.

പ്രധാന, ദ്വിതീയ ഡയഗണലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാട്രിക്സ് സമമിതിയാകാം. അതായത്, എങ്കിൽ a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് പ്രധാന ഡയഗണലിനെക്കുറിച്ച് സമമിതിയാണ്. ചതുര മെട്രിക്സുകൾക്ക് മാത്രമേ സമമിതിയാകാൻ കഴിയൂ.

മെട്രിക്സ് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

മിക്കവാറും എല്ലാ മാട്രിക്സ് സോൾവിംഗ് രീതികൾഅതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എൻ-th ഓർഡർ, അവയിൽ മിക്കതും വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതാണ്. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡറിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായ മറ്റ് രീതികളുണ്ട്.

രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ എരണ്ടാമത്തെ ക്രമം, പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലളിതമായ നിയമം മാട്രിക്സ് സോൾവിംഗ് രീതികൾ, ഈ രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നേർരേഖകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ആദ്യ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു; കൂടാതെ, രണ്ടാമത്തെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിനായി, അനുബന്ധ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ “-” ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു, അതായത്, ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച്:

ചെയ്തത് സാറസിൻ്റെ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് മെട്രിക്സ് പരിഹരിക്കുന്നു, ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വലതുവശത്ത്, ആദ്യത്തെ 2 നിരകൾ ചേർക്കുകയും പ്രധാന ഡയഗണലിലും അതിന് സമാന്തരമായ ഡയഗണലുകളിലും അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു; കൂടാതെ "-" എന്ന ചിഹ്നത്തോടുകൂടിയ ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൻ്റെയും അതിന് സമാന്തരമായിരിക്കുന്ന ഡയഗണലുകളുടെയും അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ:

മെട്രിക്സുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു വരിയിലോ നിരയിലോ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് വിഘടിപ്പിക്കുന്നു.

ഡിറ്റർമിനൻ്റ്, ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വരിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെയും അവയുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. സാധാരണയായി പൂജ്യങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന വരി/നിരയാണ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്. വിഘടനം നടത്തുന്ന നിരയോ നിരയോ ഒരു അമ്പടയാളത്താൽ സൂചിപ്പിക്കും.

മെട്രിക്സ് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ത്രികോണാകൃതിയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു.

ചെയ്തത് മെട്രിക്സുകൾ പരിഹരിക്കുന്നുഡിറ്റർമിനൻ്റിനെ ഒരു ത്രികോണ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന രീതി, അവ ഇതുപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു: വരികളിലോ നിരകളിലോ ഉള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രൂപത്തിൽ ത്രികോണാകൃതിയിലാകുന്നു, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ മൂല്യം ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾക്ക് അനുസൃതമായി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. പ്രധാന ഡയഗണലിലുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ.

മെട്രിക്സുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ലാപ്ലേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം.

ലാപ്ലേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് മെട്രിക്സുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം തന്നെ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ലാപ്ലേസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം: അനുവദിക്കുക Δ - ഇത് ഒരു നിർണ്ണായകമാണ് എൻ-ആം ഓർഡർ. ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു കെവരികൾ (അല്ലെങ്കിൽ നിരകൾ) നൽകിയിരിക്കുന്നു കെ≤ n - 1. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കെതിരഞ്ഞെടുത്തതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന -th ഓർഡർ കെവരികൾ (നിരകൾ), അവയുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റിന് തുല്യമായിരിക്കും.

വിപരീത മാട്രിക്സ് പരിഹരിക്കുന്നു.

ഇതിനായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം വിപരീത മാട്രിക്സ് പരിഹാരങ്ങൾ:

1. തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് ചതുരമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിന് വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് വ്യക്തമാകും.
2. ഞങ്ങൾ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.
3. ഞങ്ങൾ ഒരു യൂണിയൻ (പരസ്പരം, അനുബന്ധ) മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു സി.
4. ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു: അനുബന്ധ മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സിപ്രാരംഭ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. അവസാന മെട്രിക്സ്, തന്നിരിക്കുന്നതിനെ അപേക്ഷിച്ച് ആവശ്യമായ വിപരീത മാട്രിക്സ് ആയിരിക്കും.
5. ചെയ്ത ജോലി ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു: പ്രാരംഭ മാട്രിക്സും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സും ഗുണിക്കുക, ഫലം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സ് ആയിരിക്കണം.

മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

വേണ്ടി മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾഗൗസിയൻ രീതിയാണ് മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAEs) സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് രീതിയാണ് ഗാസ് രീതി, വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, അതായത്, പ്രാഥമിക മാറ്റങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം തുല്യമായ ത്രികോണ സംവിധാനത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. രൂപവും അതിൽ നിന്ന്, തുടർച്ചയായി, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് (സംഖ്യ പ്രകാരം) ആരംഭിച്ച്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.

ഗാസ് രീതിമാട്രിക്സ് സൊല്യൂഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും വൈവിധ്യമാർന്നതും മികച്ചതുമായ ഉപകരണമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ സൊല്യൂഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലോ സിസ്റ്റം പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിലോ, അത് ക്രാമർ റൂളും മാട്രിക്സ് രീതിയും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല.

നേരിട്ടുള്ള (വിപുലീകൃത മാട്രിക്‌സിനെ സ്റ്റെപ്പ്‌വൈസ് ഫോമിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു, അതായത്, പ്രധാന ഡയഗണലിന് കീഴിൽ പൂജ്യങ്ങൾ നേടുന്നു) റിവേഴ്‌സ് (വിപുലീകൃത മാട്രിക്‌സിൻ്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിന് മുകളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ നേടുന്നു) നീക്കങ്ങളും ഗാസ് രീതി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുന്നോട്ട് നീങ്ങുന്നത് ഗാസ് രീതിയാണ്, വിപരീത നീക്കം ഗാസ്-ജോർദാൻ രീതിയാണ്. വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ മാത്രമാണ് ഗാസ്-ജോർദാൻ രീതി ഗാസ് രീതിയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാകുന്നത്.