ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം

ഇവിടെ n≠0,n≠1.

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പുനഃക്രമീകരിക്കാം

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിലേക്ക്

പ്രായോഗികമായി, ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സാധാരണയായി ഒരു രേഖീയമായി കുറയ്ക്കില്ല, എന്നാൽ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതേ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉടൻ പരിഹരിക്കപ്പെടും - ഒന്നുകിൽ ബെർണൂലിയുടെ രീതി അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി.

y=uv (Bernoulli's method) എന്ന സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നോക്കാം. പരിഹാര സ്കീമിന് സമാനമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

1) y'x+y=-xy².

ഇതാണ് ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക: y'+y/x=-y². ഇവിടെ p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. പക്ഷേ നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല സാധാരണ കാഴ്ച. വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന റെക്കോർഡിംഗ് ഫോമിനൊപ്പം ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും.

1) y=uv മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ, ഇവിടെ u=u(x), v=v(x) എന്നിവ x ൻ്റെ ചില പുതിയ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്. അപ്പോൾ y'=(uv)'=u'v+v'u. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².

2) നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². ഇനി നമുക്ക് നിബന്ധനകളെ v: v+v’ux=-xu²v² (I) ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം (സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള v ഡിഗ്രിയിൽ ഞങ്ങൾ പദത്തെ തൊടുന്നില്ല). ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്: u'x+u=0. u, x എന്നിവ വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. അത് പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ കണ്ടെത്തും. ഞങ്ങൾ u=du/dx മാറ്റി വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു: x·du/dx=-u. ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും xu≠0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

(u C കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി എടുക്കുന്നു).

3) സമവാക്യത്തിൽ (I) നമ്മൾ =0, കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്ഷൻ u=1/x എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ട്: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². ലളിതമാക്കിയ ശേഷം: v'=-(1/x)·v². v, x എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. ഞങ്ങൾ v'=dv/dx മാറ്റി വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു: dv/dx=-(1/x)·v². ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും v²≠0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

(ഇരുവശവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് മൈനസ് ഒഴിവാക്കാനായി ഞങ്ങൾ -C എടുത്തു). അതിനാൽ, (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

(ഒരാൾക്ക് C അല്ല, ln│C│ എടുക്കാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് v=1/ln│Cx│ ആയിരിക്കും).

2) 2y'+2y=xy².

ഇത് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം. രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് y'+y=(x/2) y² ലഭിക്കും. ഇവിടെ p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. ബെർണൂലിയുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.

1) പകരം വയ്ക്കൽ y=uv, y'=u'v+v'u. ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: 2(u'v+v'u)+2uv=xu²v².

2) ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². ഇനി നമുക്ക് v: +2v'u=xu²v² (II) അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം. ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു: 2u'+2u=0, അതിനാൽ u'+u=0. ഇത് u, x എന്നിവയ്ക്ക് വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്. നമുക്ക് അത് പരിഹരിച്ച് നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾ u'=du/dx പകരം വയ്ക്കുന്നു, ഇവിടെ നിന്ന് du/dx=-u. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും dx കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് u≠0 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും: du/u=-dx. നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

3) (II) =0 ഒപ്പം

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ v'=dv/dx മാറ്റി വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുക:

നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം ഒരു ടേബിൾ ഇൻ്റഗ്രൽ ആണ്, വലത് വശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഭാഗങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സംയോജനം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

പാർട്സ് ഫോർമുലയുടെ സംയോജനം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയ v, du എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പിന്നെ മുതൽ

നമുക്ക് C=-C ഉണ്ടാക്കാം:

4) y=uv ആയതിനാൽ, u, v എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

3) x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0 എന്ന സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x²(x-1)≠0 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് y² ഉള്ള പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം:

ഇതാണ് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം

1) പകരം വയ്ക്കൽ y=uv, y'=u'v+v'u. പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) അതിനാൽ x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². v (v² - തൊടരുത്):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, അതിനാൽ x²(x-1)u'=x(x-2)u. സമവാക്യത്തിൽ നമ്മൾ വേരിയബിളുകൾ u, x, u'=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u എന്നിവ വേർതിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും x²(x-1)u≠0 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു ടേബിൾ ഇൻ്റഗ്രൽ ആണ്. യുക്തിസഹമായ അംശംവലതുവശത്ത് നിങ്ങൾ ലളിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

x=1-ൽ: 1-2=A·0+B·1, എവിടെനിന്ന് B=-1.

x=0-ൽ: 0-2=A(0-1)+B·0, എവിടെ നിന്ന് A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണഗണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, എവിടെ നിന്ന് u=x²/(x-1).

3) സമത്വത്തിൽ (III) നമ്മൾ =0, u=x²/(x-1) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v'=dv/dx, പകരക്കാരൻ:

സിക്ക് പകരം, ഞങ്ങൾ - സി എടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് മൈനസുകൾ ഒഴിവാക്കാം:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി v കണ്ടെത്താം:

4) y=uv ആയതിനാൽ, കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ u, v എന്നിവയ്ക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

സ്വയം പരിശോധന ഉദാഹരണങ്ങൾ:

1) ഇത് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം. ഇരുവശങ്ങളെയും x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്കുള്ളത്:

1) പകരം y=uv, y'=u'v+v'u എവിടെ നിന്ന്. ഞങ്ങൾ ഈ y, y എന്നിവയെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

2) നിബന്ധനകൾ v ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക:

ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്നും ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ കണ്ടെത്തണമെന്നും ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം:

3) സമവാക്യത്തിൽ (*) നമ്മൾ =0, u=1/x² എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം.

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ 1st ഓർഡർ
ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യവും

ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും സംബന്ധിച്ച് രേഖീയമായ ഒരു സമവാക്യമാണ് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ. അത് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

ഇവിടെ p(x), q(x) എന്നിവയ്ക്ക് x ൻ്റെ ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, (1) സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കേണ്ട മേഖലയിൽ തുടർച്ചയായി.

q(x)\equiv0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (1) വിളിക്കുന്നു രേഖീയ ഏകതാനമായ. വേരിയബിളുകൾ ഉള്ളതും ഉള്ളതുമായ ഒരു സമവാക്യമാണിത് പൊതുവായ തീരുമാനം

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

പൊതുവായ തീരുമാനം അല്ല ഏകതാനമായ സമവാക്യംകണ്ടുപിടിക്കാവുന്നതാണ് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), ഇവിടെ C(x) എന്നത് x ൻ്റെ ഒരു പുതിയ അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

ഉദാഹരണം 1.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y"+2xy=2xe^(-x^2).

പരിഹാരം.നമുക്ക് സ്ഥിരമായ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഈ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ y"+2xy=0 എന്ന ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് y=Ce^(-x^2) എന്ന രൂപമുണ്ട്.

y=C(x)e^(-x^2) രൂപത്തിലുള്ള അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കുന്നു, ഇവിടെ C(x) എന്നത് x ൻ്റെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷനാണ്. പകരമായി, നമുക്ക് C"(x)=2x ലഭിക്കും, എവിടെ നിന്ന് C(x)=x^2+C. അതിനാൽ, അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതായിരിക്കും y=(x^2+C)e^(-x^2), ഇവിടെ C എന്നത് ഏകീകരണത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

അഭിപ്രായം.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം y യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി x-ൽ രേഖീയമാണെന്ന് ഇത് മാറിയേക്കാം. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ സാധാരണ രൂപം

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

പരിഹാരം. x നെ y യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി കണക്കാക്കിയാൽ ഈ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആദ്യം നമ്മൾ അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

y യുടെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷനാണ് C(y) എന്ന ഫോമിലെ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം തേടുന്നു. പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yഅഥവാ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

ഇവിടെ നിന്ന്, ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

ഈ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x=C(y)e^(\sin(y)), യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നു, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന്:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

യഥാർത്ഥ സമവാക്യവും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം. നാം വിശ്വസിക്കുന്നു

y=u(x)v(x),

ഇവിടെ u(x), v(x) എന്നിവ x ൻ്റെ അജ്ഞാതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ്, അവയിലൊന്ന്, ഉദാഹരണത്തിന് v(x), സ്വേച്ഛാപരമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

y=u(x)v(x) എന്നത് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നത് പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് v(x) നിർണ്ണയിക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത് vu"+(pv+v")u=q(x)ഫംഗ്‌ഷൻ u(x) കൂടാതെ, സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരം y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) എന്ന നിലയിൽ, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏത് പതിവ് പരിഹാരവും എടുക്കാം v"+pv=0,~v\not\equiv0.

ഉദാഹരണം 3.കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

പരിഹാരം. y=u(x)v(x) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം തേടുകയാണ്; ഞങ്ങൾക്ക് y"=u"v+uv" ഉണ്ട്. y, y" എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം പദപ്രയോഗം നൽകുക യഥാർത്ഥ സമവാക്യം, ഉണ്ടായിരിക്കും

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)അഥവാ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

x(x-1)v"+v=0 എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ v=v(x) ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പരിഹാരം എടുക്കുമ്പോൾ, ഉദാഹരണത്തിന് v=\frac(x)(x-1) കൂടാതെ അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് u"=2x-1 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് u(x)=x^2-x+C എന്ന ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ചെയ്യും

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),അഥവാ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ y|_(x=2)=4 ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് C കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സമവാക്യം ലഭിക്കും. 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, എവിടെ നിന്ന് C=0 ; അതിനാൽ പ്രസ്താവിച്ച Cauchy പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം y=x^2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 4.പ്രതിരോധം R ഉം സെൽഫ്-ഇൻഡക്‌ടൻസ് L ഉം ഉള്ള ഒരു സർക്യൂട്ടിലെ നിലവിലെ i-യും ഇലക്ട്രോമോട്ടീവ് ഫോഴ്‌സ് E-യും തമ്മിൽ ബന്ധമുണ്ടെന്ന് അറിയാം. E=Ri+L\frac(di)(dt), ഇവിടെ R, L എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. E എന്നത് സമയ t യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആയി കണക്കാക്കിയാൽ, നിലവിലെ ശക്തിക്ക് ഒരു രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

എപ്പോൾ എന്നതിൻ്റെ നിലവിലെ ശക്തി i(t) കണ്ടെത്തുക E=E_0=\text(const)ഒപ്പം i(0)=I_0 .

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട് \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ (13) ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് C=I_0-\frac(E_0)(R), അതിനാൽ ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം ആയിരിക്കും

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

ഇത് കാണിക്കുന്നത് t\to+\infty-ൽ നിലവിലെ ശക്തി i(t) ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യം \frac(E_0)(R) .

ഉദാഹരണം 5. y"+p(x)y=q(x) എന്ന രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യ കർവുകളുടെ ഒരു കുടുംബം C_\ ആൽഫ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

രേഖീയ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന C_\alpha വളവുകളോട് ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകളിലെ ടാൻജെൻ്റുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക (ചിത്രം 13).

പരിഹാരം. M(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ ഏതെങ്കിലും വക്രമായ C_\alphaയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് പരിഗണിക്കുക

\eta-q(x)(\xi-x)=y, ഇവിടെ \xi,\eta ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളിൽ x സ്ഥിരവും y വേരിയബിളുമാണ്. C_\alpha എന്ന വരികളിലേക്ക് അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സ്പർശനങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ കവലയിലെ പോയിൻ്റ് S ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കായി, നമുക്ക് ലഭിക്കും

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

C_\alpha എന്ന വക്രതകളിലേക്കുള്ള എല്ലാ സ്പർശനങ്ങളും അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളിൽ (x സ്ഥിരമാണ്) ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു.

എസ്\!\ഇടത്(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\ വലത്).

സിസ്റ്റത്തിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ഒഴിവാക്കുന്നതിലൂടെ, പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും S\colon f(\xi,\eta)=0.

ഉദാഹരണം 6.സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y"-y=\cos(x)-\sin(x), വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു: y y\to+\infty യിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=Ce^x+\sin(x) ആണ്. C\ne0-നുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഏത് സമവാക്യവും പരിധിയില്ലാത്തതായിരിക്കും, കാരണം x\to+\infty എന്നതിന് \sin(x) ഫംഗ്‌ഷൻ e^x\to+\infty . ഈ സമവാക്യത്തിന് y=\sin(x) , x\to+\infty എന്നതിൽ അതിരുകളുള്ള ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് C=0 ലെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം

ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംപോലെ തോന്നുന്നു

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, ഇവിടെ n\ne0;1 (n=0, n=1 എന്നിവയ്‌ക്ക് ഈ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്).

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു z=\frac(1)(y^(n-1))ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി ചുരുക്കുകയും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 7.ബെർണൂലിയുടെ y"-xy=-xy^3 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും y^3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റം വരുത്തുന്നു \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", എവിടെ \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). പകരത്തിനു ശേഷം, അവസാന സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു

-\frac(z")(2)-xz=-xഅല്ലെങ്കിൽ z"+2xz=2x, ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം z=1+Ce^(-x^2) ആണ്.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത ലഭിക്കും

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)അഥവാ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

അഭിപ്രായം.ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പോലെയുള്ള ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാന രീതിയിലൂടെയും y(x)=u(x)v(x) എന്ന പകരം വയ്ക്കൽ ഉപയോഗിച്ചും ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം.

ഉദാഹരണം 8.ബെർണൂലിയുടെ xy"+y=y^2\ln(x) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാം. xy"+y=0 എന്ന ഏകജാത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് y=\frac(C)(x) എന്ന രൂപമുണ്ട്. y=\frac(C(x)) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു. (x) , ഇവിടെ C(x) - യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) ഫംഗ്‌ഷൻ കണ്ടെത്താൻ, വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ചിലത് അല്ല രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾഫസ്റ്റ് ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ, വേരിയബിളുകളുടെ വിജയകരമായി കണ്ടെത്തിയ മാറ്റത്തിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കോ ബെർണൂലി സമവാക്യങ്ങളിലേക്കോ ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 9.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു 2\cos^2\frac(y)(2), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ഓപ്പറേറ്റർനാമം(tg)\frac(y)(2)+x=0.

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ഈ സമവാക്യത്തെ രേഖീയമായി കുറയ്ക്കുന്നു \frac(dz)(dx)+z=-x, ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം z=1-x+Ce^(-x) ആണ്.

y യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ z അതിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത നമുക്ക് ലഭിക്കും \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ചില സമവാക്യങ്ങളിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ y(x) അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കാം. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഈ സമവാക്യം ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ വഴി ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായി കുറയ്ക്കാൻ ചിലപ്പോൾ സാധ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 10.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

പരിഹാരം.ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x മായി വേർതിരിക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)അഥവാ \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x നെ സംബന്ധിച്ച് വീണ്ടും വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, y(x)\colon മായി ബന്ധപ്പെട്ട് നമുക്ക് ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യം ഉണ്ടാകും

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)അഥവാ x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). ഈ പരിഹാരം, എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:
, എവിടെ n ≠ 0 , n ≠ 1 , p, q എന്നിവ x ൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

ബെർണൂലി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1) ,
എവിടെ n ≠ 0 , n ≠ 1 , p, q എന്നിവ x ൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.
അതിനെ y n കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. എപ്പോൾ y ≠ 0 അല്ലെങ്കിൽ എൻ< 0 നമുക്ക് ഉണ്ട്:
(2) .
വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം:
.
കാണിച്ചു തരാം. ഒരു സങ്കീർണ്ണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം അനുസരിച്ച്:
;
.
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം (2) രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും:
;
.
ഇതൊരു രേഖീയമാണ്, z ന് ആപേക്ഷികമാണ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. അത് പരിഹരിച്ച ശേഷം, n > എന്നതിനായി 0 , നമ്മൾ കേസ് y = പരിഗണിക്കണം 0 . എപ്പോൾ n > 0 , y = 0 സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരവുമാണ് (1) എന്നിവയും ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തണം.

ബെർണൂലി രീതിയിലുള്ള പരിഹാരം

ചോദ്യത്തിലെ സമവാക്യം (1) ബെർണൂലിയുടെ രീതിയിലൂടെയും പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു:
y = u·v,
ഇവിടെ u, v എന്നിവ x ൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. x നെ സംബന്ധിച്ച് വേർതിരിക്കുക:
y′ = u′ v + u v′.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക (1) :
;
(3) .
v ആയി നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം എടുക്കുന്നു:
(4) .
സമവാക്യം (4) വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കുകയും ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം v = v കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു (x). ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം പകരം വയ്ക്കുന്നു (3) . ഇത് സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ (4) , അപ്പോൾ പരാൻതീസിസിലെ എക്സ്പ്രഷൻ പൂജ്യമാകും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
;
.
ഇവിടെ v എന്നത് x ൻ്റെ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്. വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു, അതോടൊപ്പം യഥാർത്ഥ സമവാക്യമായ y = uv യുടെ പരിഹാരം.

ബെർണൂലി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യവുമായി സാമ്യമുള്ളതായി തോന്നുന്നില്ല. x എന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും y എന്നത് ആശ്രിത വേരിയബിളും ആയി കണക്കാക്കുന്നുവെങ്കിൽ (അതായത്, y എന്നത് x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനാണെങ്കിൽ), ഇത് ശരിയാണ്. എന്നാൽ y എന്നത് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും x എന്നത് ആശ്രിത വേരിയബിളും ആയി കണക്കാക്കിയാൽ, ഇത് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യമാണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

അതിനാൽ, x എന്നത് y യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യാം:
;
;
(പി.1) .
ഇതാണ് n = എന്നതുമായുള്ള ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം 2 . മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യത്യസ്തമാണ് (1) , വേരിയബിളുകളുടെ നൊട്ടേഷൻ വഴി മാത്രം (y ന് പകരം x). ഞങ്ങൾ ബെർണൂലിയുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം:
x = u v,
ഇവിടെ u, v എന്നിവ y യുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേർതിരിക്കുക:
.
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം (പി.1):
;
(P.2) .
ഞങ്ങൾ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ v തിരയുകയാണ് (y), സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:
(P.3) .
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:
;
;
.
നമുക്ക് C = എന്ന് ഇടാം 0 , നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന് എന്തെങ്കിലും പരിഹാരം ആവശ്യമുള്ളതിനാൽ (P.3).
;
.
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം (P.2)ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (കാരണം (P.3)):
;
;
.
വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം. എപ്പോൾ നിങ്ങൾ ≠ 0 നമുക്ക് ഉണ്ട്:
;
(P.4) ;
.
രണ്ടാമത്തെ ഇൻ്റഗ്രലിൽ ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നത്:
;
.

ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും സംബന്ധിച്ച് രേഖീയമായ ഒരു സമവാക്യമാണ് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ. അത് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

ഇവിടെ p(x), q(x) എന്നിവയ്ക്ക് x ൻ്റെ ഫംഗ്ഷനുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, (1) സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കേണ്ട മേഖലയിൽ തുടർച്ചയായി.

q(x)\equiv0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (1) വിളിക്കുന്നു രേഖീയ ഏകതാനമായ. ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്, ഇതിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരവുമുണ്ട്

Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

അസമമായ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്താനാകും അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു

Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), ഇവിടെ C(x) എന്നത് x ൻ്റെ ഒരു പുതിയ അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷനാണ്.

ഉദാഹരണം 1. y"+2xy=2xe^(-x^2) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.നമുക്ക് സ്ഥിരമായ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിക്കാം. ഈ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ y"+2xy=0 എന്ന ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് y=Ce^(-x^2) എന്ന രൂപമുണ്ട്.

y=C(x)e^(-x^2) രൂപത്തിലുള്ള അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കുന്നു, ഇവിടെ C(x) എന്നത് x ൻ്റെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷനാണ്. പകരമായി, നമുക്ക് C"(x)=2x ലഭിക്കും, എവിടെ നിന്ന് C(x)=x^2+C. അതിനാൽ, അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=(x^2+C)e^(-x^ 2), എവിടെ സി - സംയോജനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കം.

അഭിപ്രായം.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം y യുടെ ഫംഗ്‌ഷനായി x-ൽ രേഖീയമാണെന്ന് ഇത് മാറിയേക്കാം. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ സാധാരണ രൂപം

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

പരിഹാരം. x നെ y യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി കണക്കാക്കിയാൽ ഈ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആദ്യം നമ്മൾ അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

x=C(y)e^(\sin(y)) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കുന്നു, ഇവിടെ C(y) എന്നത് y യുടെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്. പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yഅഥവാ C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

ഇവിടെ നിന്ന്, ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\അവസാനം(വിന്യസിച്ചു)

അതിനാൽ,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

ഈ സമവാക്യം x=C(y)e^(\sin(y)) എന്നാക്കി മാറ്റി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനും അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിനും നമുക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

യഥാർത്ഥ സമവാക്യവും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം. നാം വിശ്വസിക്കുന്നു

Y=u(x)v(x),

ഇവിടെ u(x) ഉം v(x) ഉം x ൻ്റെ അജ്ഞാതമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ്, അവയിലൊന്ന്, ഉദാഹരണത്തിന് v(x), ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

y=u(x)v(x) എന്നത് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നത് പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് v(x) നിർണ്ണയിക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമ്മൾ vu"+(pv+v")u=q(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് u(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനും അതിൻ്റെ ഫലമായി y=uv എന്ന പരിഹാരവും കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യം \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) എന്ന നിലയിൽ നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏത് പതിവ് പരിഹാരവും എടുക്കാം v"+pv=0,~v\not\equiv0.

ഉദാഹരണം 3.കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

പരിഹാരം. y=u(x)v(x) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം തേടുകയാണ്; നമുക്ക് y"=u"v+uv" ഉണ്ട്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് y, y" എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള പദപ്രയോഗം പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)അഥവാ x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

x(x-1)v"+v=0 എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ v=v(x) ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പരിഹാരം എടുക്കുമ്പോൾ, ഉദാഹരണത്തിന് v=\frac(x)(x-1) കൂടാതെ അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് u"=2x-1 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് u(x)=x^2-x+C എന്ന ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)ചെയ്യും

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),അഥവാ y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ y|_(x=2)=4 ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് C കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സമവാക്യം ലഭിക്കും. 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, എവിടെ നിന്ന് C=0 ; അതിനാൽ പ്രസ്താവിച്ച Cauchy പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം y=x^2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 4.പ്രതിരോധം R ഉം സെൽഫ്-ഇൻഡക്‌ടൻസ് L ഉം ഉള്ള ഒരു സർക്യൂട്ടിൽ നിലവിലെ i, ഇലക്‌ട്രോമോട്ടീവ് ഫോഴ്‌സ് E എന്നിവ തമ്മിൽ ബന്ധമുണ്ടെന്ന് അറിയാം. E=Ri+L\frac(di)(dt), ഇവിടെ R, L എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. E എന്നത് സമയ t യുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആയി കണക്കാക്കിയാൽ, നിലവിലെ ശക്തിക്ക് ഒരു രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും i:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

എപ്പോൾ എന്നതിൻ്റെ നിലവിലെ ശക്തി i(t) കണ്ടെത്തുക E=E_0=\text(const)ഒപ്പം i(0)=I_0 .

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട് \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ (13) ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് C=I_0-\frac(E_0)(R), അതിനാൽ ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം ആയിരിക്കും

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

t\to+\infty യിൽ നിലവിലെ ശക്തി i(t) സ്ഥിരമായ മൂല്യം \frac(E_0)(R) ലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 5. y"+p(x)y=q(x) എന്ന രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യ കർവുകളുടെ ഒരു കുടുംബം C_\ ആൽഫ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

രേഖീയ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന C_\alpha വളവുകളോട് ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകളിലെ ടാൻജെൻ്റുകൾ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുക (ചിത്രം 13).

പരിഹാരം. M(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിലെ ഏതെങ്കിലും വക്രമായ C_\alphaയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് പരിഗണിക്കുക

\eta-q(x)(\xi-x)=y, ഇവിടെ \xi,\eta ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളിൽ x സ്ഥിരവും y വേരിയബിളുമാണ്. C_\alpha എന്ന വരികളിലേക്ക് അനുബന്ധ പോയിൻ്റുകളിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് സ്പർശനങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ കവലയിലെ പോയിൻ്റ് S ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കായി, നമുക്ക് ലഭിക്കും

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകളിലെ C_\alpha വക്രങ്ങളിലേക്കുള്ള എല്ലാ സ്പർശനങ്ങളും ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നതായി ഇത് കാണിക്കുന്നു.

എസ്\!\ഇടത്(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\ വലത്).

സിസ്റ്റത്തിലെ ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ഒഴിവാക്കുന്നതിലൂടെ, പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും S\colon f(\xi,\eta)=0.

ഉദാഹരണം 6.സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y"-y=\cos(x)-\sin(x), വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു: y y\to+\infty യിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=Ce^x+\sin(x) ആണ്. C\ne0-നുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഏത് സമവാക്യവും പരിധിയില്ലാത്തതായിരിക്കും, കാരണം x\to+\infty എന്നതിന് \sin(x) ഫംഗ്‌ഷൻ e^x\to+\infty . ഈ സമവാക്യത്തിന് y=\sin(x) , x\to+\infty എന്നതിൽ അതിരുകളുള്ള ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, ഇത് C=0 ലെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം

ബെർണൂലിയുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംപോലെ തോന്നുന്നു

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, ഇവിടെ n\ne0;1 (n=0, n=1 എന്നിവയ്‌ക്ക് ഈ സമവാക്യം രേഖീയമാണ്).

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു z=\frac(1)(y^(n-1))ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി ചുരുക്കുകയും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 7.ബെർണൂലിയുടെ y"-xy=-xy^3 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും y^3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റം വരുത്തുന്നു \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", എവിടെ \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). പകരത്തിനു ശേഷം, അവസാന സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു

-\frac(z")(2)-xz=-xഅല്ലെങ്കിൽ z"+2xz=2x, ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം z=1+Ce^(-x^2) ആണ്.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത ലഭിക്കും

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)അഥവാ y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

അഭിപ്രായം.ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പോലെയുള്ള ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാന രീതിയിലൂടെയും y(x)=u(x)v(x) എന്ന പകരം വയ്ക്കൽ ഉപയോഗിച്ചും ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം.

ഉദാഹരണം 8.ബെർണൂലിയുടെ xy"+y=y^2\ln(x) എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാം. xy"+y=0 എന്ന ഏകജാത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് y=\frac(C)(x) എന്ന രൂപമുണ്ട്. y=\frac(C(x)) എന്ന രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു. (x) , ഇവിടെ C(x) - യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) ഫംഗ്‌ഷൻ കണ്ടെത്താൻ, വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

ചില ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ നോൺ-ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ വേരിയബിളുകളുടെ വിജയകരമായി കണ്ടെത്തിയ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കോ ബെർണൂലി സമവാക്യങ്ങളിലേക്കോ ചുരുക്കാം.

ഉദാഹരണം 9.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു 2\cos^2\frac(y)(2), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ഓപ്പറേറ്റർനാമം(tg)\frac(y)(2)+x=0.

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))ഈ സമവാക്യത്തെ രേഖീയമായി കുറയ്ക്കുന്നു \frac(dz)(dx)+z=-x, ഇതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം z=1-x+Ce^(-x) ആണ്.

y യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ z അതിൻ്റെ എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത നമുക്ക് ലഭിക്കും \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

ചില സമവാക്യങ്ങളിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ y(x) അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായിരിക്കാം. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഈ സമവാക്യം ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ വഴി ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായി കുറയ്ക്കാൻ ചിലപ്പോൾ സാധ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 10.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

പരിഹാരം.ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x മായി വേർതിരിക്കുന്നത് നമുക്ക് ലഭിക്കും

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)അല്ലെങ്കിൽ വിവരങ്ങളുടെ ഉറവിടം

ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യംഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ ഒന്നാണ് ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ രേഖീയമല്ലാത്ത ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്

എവിടെ എ(x) ഒപ്പം ബി(x) തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. എങ്കിൽ എം= 0, അപ്പോൾ ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഒരു രേഖീയ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായി മാറുന്നു. എപ്പോൾ കേസിൽ എം= 1, സമവാക്യം വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യമായി മാറുന്നു. പൊതുവേ, എപ്പോൾ എം≠ 0.1, സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു

പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള പുതിയ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം z(x) ഫോം ഉണ്ട്

കൂടാതെ പേജിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ബർനൂലി രീതി.

പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യം ബെർണൂലിയുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു: എവിടെ യു, വി- നിന്നുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ x. വേർതിരിക്കുക: യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (1) പകരം വയ്ക്കുക: (2) പോലെ വിസമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം എടുക്കാം: (3) സമവാക്യം (3) വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം v = v(x), അതിനെ (2) എന്നാക്കി മാറ്റുക. ഇത് സമവാക്യം (3) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ, പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം പൂജ്യമായി മാറുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ഇതും വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യമാണ്. അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവും അതോടൊപ്പം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു y = uv.

64. മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യം. സംയോജിപ്പിക്കുന്ന ഘടകം. പരിഹാര രീതികൾ

ഫോമിൻ്റെ ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

വിളിച്ചു സമവാക്യം പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ , എങ്കിൽ ഇടത് വശംചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതായത്.

സിദ്ധാന്തം.സമവാക്യം (1) മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു സമവാക്യമാകുന്നതിന്, വേരിയബിളുകളുടെ മാറ്റത്തിൻ്റെ ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രലിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ

ഉദാഹരണം 1. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം. ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

അങ്ങനെയാണ് വ്യവസ്ഥ (2) തൃപ്തികരമാണ്. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം മൊത്തം വ്യത്യാസങ്ങളിലുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്

അതിനാൽ, ഇപ്പോഴും നിർവചിക്കാത്ത ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ എവിടെയാണ്.

സംയോജിപ്പിക്കൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവ് തുല്യമായിരിക്കണം, അത് എവിടെ നിന്ന് നൽകുന്നു, അങ്ങനെ,.

യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം.

ചില ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ, എളുപ്പത്തിൽ സംയോജിപ്പിക്കാവുന്ന കോമ്പിനേഷനുകൾ ലഭിക്കുന്ന രീതിയിൽ പദങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാനാകും.

65. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ: ഏകതാനവും അസമവും. ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഓപ്പറേറ്റർ, അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ (തെളിവോടെ).

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഓപ്പറേറ്ററും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും.ഇടവേളയിൽ ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കൂട്ടം ( എ , ബി ) കുറവില്ല എൻ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഒരു രേഖീയ ഇടം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഓപ്പറേറ്ററെ പരിഗണിക്കുക എൽ എൻ (വൈ ), ഇത് ഫംഗ്ഷൻ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു വൈ (x ), ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉള്ളത്, ഒരു ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് കെ - എൻ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ.