എന്താണ് ഒരു സമവാക്യം, ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യമാണ് ഫലം.

പൊതുവേ, ഏത് സമവാക്യവും ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകകപ്പ് സ്കെയിലുകൾ (ലിവർ, തുല്യ-കൈ, റോക്കർ - നിരവധി പേരുകൾ ഉണ്ട്), കണ്ടുപിടിച്ചത് പുരാതന ബാബിലോൺ 7000 വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് അല്ലെങ്കിൽ അതിനുമുമ്പ്. മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും പുരാതന ബസാറുകളിൽ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന കപ്പ് സ്കെയിലുകളാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രോട്ടോടൈപ്പായി മാറിയതെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം നോക്കുന്നത് രണ്ട് സമാന്തര സ്റ്റിക്കുകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന അക്കങ്ങളുടെയും അക്ഷരങ്ങളുടെയും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത സെറ്റായിട്ടല്ല, മറിച്ച് സ്കെയിലുകൾ പോലെയാണെങ്കിൽ, മറ്റെല്ലാ കാര്യങ്ങളിലും പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല:

ഏതൊരു സമവാക്യവും സമതുലിതമായ സ്കെയിലുകൾ പോലെയാണ്

ഓരോ ദിവസവും നമ്മുടെ ജീവിതത്തിൽ കൂടുതൽ കൂടുതൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു, എന്നാൽ ഒരു സമവാക്യം എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്നും മനസ്സിലാക്കുന്നത് കുറവാണ്. എന്തായാലും, ഒരു ലളിതമായ ഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം എൻ്റെ മൂത്ത മകളോട് വിശദീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ എനിക്ക് ഈ മതിപ്പ് ലഭിച്ചു:

x + 2 = 8 (500.1)

ആ. സ്കൂളിൽ, തീർച്ചയായും, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, കണ്ടെത്താനായി അവർ വിശദീകരിക്കുന്നു എക്സ്, നിങ്ങൾ വലതുവശത്ത് നിന്ന് 2 കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്:

x = 8 - 2 (500.3)

ഇത് തീർച്ചയായും, തികച്ചും ശരിയായ നടപടി, എന്നാൽ എന്തിനാണ് കുറയ്ക്കേണ്ടതും അല്ലാത്തതും, ഉദാഹരണത്തിന്, കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത്, സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ വിശദീകരണമില്ല. നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ട ഒരു നിയമം മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഒരു സമവാക്യത്തിലെ അംഗത്തെ ഒരു ഭാഗത്തുനിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറുന്നു.

ഒരു 10 വയസ്സുള്ള ഒരു സ്കൂൾ കുട്ടി ഈ നിയമം എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കണം, അതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ് എന്നതിനെക്കുറിച്ച്, ചിന്തിക്കുകയും തീരുമാനിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് നിങ്ങളാണ്. മാത്രമല്ല, എൻ്റെ അടുത്ത ബന്ധുക്കൾക്കും സമവാക്യങ്ങളുടെ അർത്ഥം ഒരിക്കലും മനസ്സിലായില്ല, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ളത് (പ്രത്യേകിച്ച് മുകളിൽ പറഞ്ഞ നിയമം) മനഃപാഠമാക്കി, അതിനുശേഷം മാത്രമേ അത് ദൈവത്തിൻ്റെ ഇഷ്ടാനുസരണം പ്രയോഗിക്കൂ. ഈ അവസ്ഥ എനിക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടില്ല, അതിനാൽ ഞാൻ ഈ ലേഖനം എഴുതാൻ തീരുമാനിച്ചു (എൻ്റെ ഇളയവൻ വളരുകയാണ്, കുറച്ച് വർഷത്തിനുള്ളിൽ അവൻ ഇത് വീണ്ടും വിശദീകരിക്കേണ്ടിവരും, ഇത് എൻ്റെ സൈറ്റിൻ്റെ കുറച്ച് വായനക്കാർക്കും ഉപയോഗപ്രദമാകും) .

ഞാൻ 10 വർഷം സ്കൂളിൽ പഠിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും സാങ്കേതിക വിഷയങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട നിയമങ്ങളോ നിർവചനങ്ങളോ പഠിച്ചിട്ടില്ലെന്ന് എനിക്ക് ഉടൻ തന്നെ പറയാൻ ആഗ്രഹമുണ്ട്. ആ. എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമാണെങ്കിൽ, അത് ഓർമ്മിക്കപ്പെടും, പക്ഷേ എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കാതെ, അത് എങ്ങനെയെങ്കിലും മറന്നുപോകുമെങ്കിൽ, അതിൽ എന്താണ് അർത്ഥം? കൂടാതെ, എനിക്ക് എന്തെങ്കിലും മനസ്സിലായില്ലെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം എനിക്ക് അത് ആവശ്യമില്ല എന്നാണ് (സ്കൂളിൽ എനിക്ക് എന്തെങ്കിലും മനസ്സിലായില്ലെങ്കിൽ, അത് എൻ്റെ തെറ്റല്ല, മറിച്ച് അധ്യാപകരുടെയും പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെയും തെറ്റുമാണെന്ന് ഞാൻ അടുത്തിടെയാണ് മനസ്സിലാക്കിയത്. പൊതുവെ വിദ്യാഭ്യാസ സമ്പ്രദായങ്ങൾ).

ഈ സമീപനം എനിക്ക് ധാരാളം ഒഴിവു സമയം നൽകി, കുട്ടിക്കാലത്ത് എല്ലാത്തരം ഗെയിമുകൾക്കും വിനോദങ്ങൾക്കും ഇത് കുറവായിരുന്നു. അതേ സമയം, ഞാൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും രസതന്ത്രത്തിലും വിവിധ ഒളിമ്പ്യാഡുകളിൽ പങ്കെടുക്കുകയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു പ്രാദേശിക മത്സരത്തിൽ പോലും വിജയിക്കുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ സമയം കടന്നുപോയി, അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന വിഷയങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിച്ചു, അതനുസരിച്ച്, എൻ്റെ ഗ്രേഡുകൾ കുറഞ്ഞു. ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൻ്റെ ആദ്യ വർഷത്തിൽ, അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന വിഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കേവലഭൂരിപക്ഷമായിരുന്നു, തീർച്ചയായും ഞാൻ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ സി വിദ്യാർത്ഥിയായിരുന്നു. എന്നാൽ പിന്നീട്, പല കാരണങ്ങളാൽ, പ്രഭാഷണങ്ങളുടെയും കുറിപ്പുകളുടെയും സഹായമില്ലാതെ മെറ്റീരിയലുകളുടെ ശക്തിയെ നേരിടേണ്ടി വന്നപ്പോൾ, ഞാൻ അത് മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ, കാര്യങ്ങൾ സുഗമമായി പോയി, ഓണേഴ്സ് ഡിപ്ലോമയിൽ അവസാനിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഇപ്പോൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് അല്ല, നിർദ്ദിഷ്ട സവിശേഷതകൾ കാരണം, എൻ്റെ ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിച്ചതിൽ നിന്ന് കാര്യമായ വ്യത്യാസമുണ്ടാകാം.

ഇനി നമുക്ക് തുടരാം

ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ, സ്കെയിലുകളുമായുള്ള സാമ്യം

വാസ്തവത്തിൽ, വ്യത്യസ്ത വസ്തുക്കളെ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കുട്ടികളെ നേരത്തെ തന്നെ പഠിപ്പിക്കുന്നു പ്രീസ്കൂൾ പ്രായംഅവർക്ക് ഇപ്പോഴും സംസാരിക്കാൻ അറിയാത്തപ്പോൾ. അവ സാധാരണയായി ജ്യാമിതീയ താരതമ്യങ്ങളിൽ തുടങ്ങുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കുട്ടിക്ക് രണ്ട് ക്യൂബുകൾ കാണിക്കുന്നു, ഏത് ക്യൂബ് വലുതും ചെറുതുമാണ് എന്ന് കുട്ടി നിർണ്ണയിക്കണം. അവ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, ഇത് വലുപ്പത്തിലുള്ള തുല്യതയാണ്. അപ്പോൾ ചുമതല കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാകും, കുട്ടിക്ക് വസ്തുക്കൾ കാണിക്കുന്നു വിവിധ രൂപങ്ങൾ, വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങളും ഒരേ ഇനങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതും ഒരു കുട്ടിക്ക് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ചുമതലയെ വളരെയധികം സങ്കീർണ്ണമാക്കില്ല, എന്നാൽ ഒരു തരത്തിലുള്ള തുല്യതയിൽ മാത്രം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും - പണ-ഭാരം.

സ്കെയിലുകൾ ഒരേ തിരശ്ചീന തലത്തിലായിരിക്കുമ്പോൾ (ചിത്രം 500.1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സ്കെയിലുകളുടെ അമ്പടയാളങ്ങൾ ഓറഞ്ചിലും നീല, സമാന്തരമായി, തിരശ്ചീന ലെവൽ ഒരു കറുത്ത ബോൾഡ് ലൈൻ കാണിക്കുന്നു), ഇതിനർത്ഥം സ്കെയിലിൻ്റെ വലത് ചട്ടിയിൽ ഇടത് ചട്ടിയിൽ ഉള്ള അതേ ഭാരം ഉണ്ടെന്നാണ്. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇവ 1 കിലോ ഭാരമുള്ളവയാകാം:

ചിത്രം 500.1.

തുടർന്ന് നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ 1 = 1 സമവാക്യം ലഭിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സമവാക്യം എനിക്ക് മാത്രമുള്ളതാണ്; ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, പക്ഷേ സാരാംശം മാറില്ല. സ്കെയിലുകളുടെ ഇടത് ചട്ടിയിൽ നിന്ന് ഭാരം നീക്കം ചെയ്യുകയും അതിൽ എന്തെങ്കിലും ഇടുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ആപ്പിൾ പോലും, നഖങ്ങൾ പോലും, ചുവന്ന കാവിയാർ പോലും, അതേ സമയം സ്കെയിലുകൾ ഒരേ തിരശ്ചീന തലത്തിലാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇപ്പോഴും 1 കിലോ എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. സ്കെയിലിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ശേഷിക്കുന്ന 1 കിലോ ഭാരത്തിന് തുല്യമായ ഏതെങ്കിലും സൂചിപ്പിച്ച ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ. വിൽപനക്കാരൻ നിശ്ചയിച്ച വിലയനുസരിച്ച് ഈ കിലോഗ്രാം നൽകിയാൽ മതിയാകും. മറ്റൊരു കാര്യം, നിങ്ങൾക്ക് വില ഇഷ്ടപ്പെട്ടേക്കില്ല, അല്ലെങ്കിൽ സ്കെയിലുകളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് സംശയം ഉണ്ടാകാം - എന്നാൽ ഇവ ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധമില്ലാത്ത സാമ്പത്തികവും നിയമപരവുമായ ബന്ധങ്ങളുടെ പ്രശ്നങ്ങളാണ്.

തീർച്ചയായും, ആ വിദൂര കാലങ്ങളിൽ, കപ്പ് സ്കെയിലുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടപ്പോൾ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമായിരുന്നു. ഒന്നാമതായി, ഒരു കിലോഗ്രാം പോലെയുള്ള ഭാരത്തിൻ്റെ അളവുകളൊന്നും ഉണ്ടായിരുന്നില്ല, എന്നാൽ ഭാരത്തിൻ്റെ അളവുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ പണ യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, കഴിവുകൾ, ഷെക്കലുകൾ, പൗണ്ട്, ഹ്രീവ്നിയകൾ മുതലായവ (വഴിയിൽ, ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ വളരെക്കാലമായി ആശ്ചര്യപ്പെട്ടു. ഒരു പൗണ്ട് - ഒരു മോണിറ്ററി യൂണിറ്റ്, ഒരു പൗണ്ട് - ഭാരത്തിൻ്റെ അളവുകോൽ, ഒരു ഹ്രിവ്നിയ ഉണ്ട് - ഒരു പണ യൂണിറ്റ്, ഒരിക്കൽ ഹ്രീവ്നിയ ഭാരത്തിൻ്റെ അളവുകോലായിരുന്നു, അടുത്തിടെയാണ്, കഴിവ് പണ യൂണിറ്റ് മാത്രമല്ലെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ പുരാതന യഹൂദന്മാർ, പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്നു പഴയ നിയമം, മാത്രമല്ല പുരാതന ബാബിലോണിൽ സ്വീകരിച്ച ഭാരത്തിൻ്റെ അളവും എല്ലാം ശരിയാക്കി).

കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യം തൂക്കത്തിൻ്റെ അളവുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, സാധാരണയായി ധാന്യങ്ങൾ ധാന്യവിളകൾ, അപ്പോൾ മാത്രമേ ഈ അളവുകോലുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന പണം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഉദാഹരണത്തിന്, 60 ധാന്യങ്ങൾ ഒരു ഷെക്കലിനോട് യോജിക്കുന്നു, 60 ഷെക്കൽ ഒരു മിനയോട് യോജിക്കുന്നു, 60 മിന ഒരു താലന്തിനോട് യോജിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വാഗ്ദാനം ചെയ്ത പണം വ്യാജമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ തുടക്കത്തിൽ സ്കെയിലുകൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ പണം, തൂക്കവും കണക്കുകൂട്ടലും, ഇലക്ട്രോണിക് സ്കെയിലുകൾ, പ്ലാസ്റ്റിക് കാർഡുകൾ എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായി തൂക്കങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, എന്നാൽ ഇത് കാര്യത്തിൻ്റെ സാരാംശം മാറ്റില്ല.

ആ വിദൂര സമയങ്ങളിൽ, ഒരു പ്രത്യേക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വില എത്രയാണെന്ന് വിൽപ്പനക്കാരന് നീളത്തിലും വിശദമായും വിശദീകരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. വിൽക്കുന്ന ഉൽപ്പന്നം സ്കെയിലിൻ്റെ ഒരു ചട്ടിയിൽ ഇട്ടാൽ മതിയായിരുന്നു, വാങ്ങുന്നയാൾ രണ്ടാമത്തേതിന് പണം ഇട്ടു - ഇത് വളരെ ലളിതവും വ്യക്തവുമാണ്, കൂടാതെ പ്രാദേശിക ഭാഷയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് പോലും ആവശ്യമില്ല, നിങ്ങൾക്ക് ലോകത്തെവിടെയും വ്യാപാരം നടത്താം. എന്നാൽ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം.

സ്കെയിലുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം (500.1) പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം സ്കെയിലുകളുടെ ഇടത് ചട്ടിയിൽ അജ്ഞാതമായ ഒരു കിലോഗ്രാമും മറ്റൊരു 2 കിലോഗ്രാമും വലത് ചട്ടിയിൽ 8 കിലോഗ്രാമും ഉണ്ടെന്നാണ്:

x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)

കുറിപ്പ്: IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഅടിവരയിടുന്നത് സ്കെയിലിൻ്റെ അടിയെ പ്രതീകപ്പെടുത്തുന്നു; പേപ്പറിൽ കണക്കുകൂട്ടുമ്പോൾ, ഈ വരി സ്കെയിലിൻ്റെ അടിഭാഗത്തെ കൂടുതൽ സാമ്യമുള്ളതാകാം. മാത്രമല്ല, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ വളരെക്കാലമായി പ്രത്യേക ചിഹ്നങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്നിട്ടുണ്ട് - ബ്രാക്കറ്റുകൾ, അതിനാൽ ഏത് ബ്രാക്കറ്റുകളും സ്കെയിലുകളുടെ വശങ്ങളായി കണക്കാക്കാം, കുറഞ്ഞത് സമവാക്യങ്ങളുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുന്ന ആദ്യ ഘട്ടത്തിലെങ്കിലും. എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി ഞാൻ അടിവരയിടുന്നു.

അതിനാൽ, കിലോഗ്രാമിൻ്റെ അജ്ഞാത എണ്ണം കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ശരിയാണ്! സ്കെയിലുകളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് 2 കിലോഗ്രാം നീക്കം ചെയ്യുക, തുടർന്ന് സ്കെയിലുകൾ ഒരേ തിരശ്ചീന തലത്തിൽ തന്നെ തുടരും, അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും തുല്യത ഉണ്ടായിരിക്കും:

x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)

യഥാക്രമം

x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)

x, = 6 കിലോ, (500.4.2)

ചിത്രം 500.2.

പലപ്പോഴും ഗണിതശാസ്ത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കിലോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചല്ല, മറിച്ച് ചില അമൂർത്ത അളവുകളില്ലാത്ത യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്, തുടർന്ന് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം (500.1) എഴുതുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ, ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x, = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

ഇത് ചിത്രം 500.2 ൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ്: ഔപചാരികമായി, കൂടുതൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, സമവാക്യം (500.2) ഫോമിൻ്റെ മറ്റൊരു സമവാക്യം പിന്തുടരണം: x + 2 - 2, = 8 - 2,പ്രവർത്തനം അവസാനിച്ചു, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഭാരമുള്ള സന്തുലിത പാത്രങ്ങളുമായി ഇടപെടുകയാണ്. എന്നിരുന്നാലും, എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, തീരുമാനത്തിൻ്റെ പൂർണമായ ഒരു റെക്കോർഡിംഗ് ആവശ്യമില്ല.

ശുദ്ധമായ പുസ്തകങ്ങളിൽ, ഒരു സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഒരു സംക്ഷിപ്ത നൊട്ടേഷൻ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിൽ എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ വളരെ ആവശ്യമുള്ള സ്കെയിലുകളുടെ ചിഹ്നങ്ങൾ മാത്രമല്ല, മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ (500.1) ഒരു സംക്ഷിപ്ത പതിപ്പ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

തൽഫലമായി, സ്കെയിലുകളുമായുള്ള സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച്, പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു അധിക സമവാക്യം (500.2) സമാഹരിച്ചു, ഒന്നുകിൽ പരിഹാര രീതിയിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ ഈ പരിഹാരം റെക്കോർഡുചെയ്യുന്ന രീതിയിലൂടെയോ. എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഇത് ഒരു സമവാക്യമാണ്, കൂടാതെ, ഏകദേശം ഈ രൂപത്തിൽ എഴുതിയതാണ്, അതായത്. സ്കെയിലുകളുടെ പ്രതീകാത്മക പദവിയോടെ - ഇത് നഷ്ടപ്പെട്ട ലിങ്കാണ്, സമവാക്യങ്ങളുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് പ്രധാനമാണ്.

ആ. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എതിർ ചിഹ്നമുള്ള ഒന്നും ഞങ്ങൾ എവിടെയും കൈമാറില്ല, എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലായി ഒരേ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക.

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ചുരുക്കരൂപത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം എഴുതുന്നത് ഇപ്പോൾ പതിവാണ്. സമവാക്യം (500.1.1) ഉടൻ തന്നെ സമവാക്യം (500.3.1) വരുന്നു, അതിനാൽ വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിയമം, എന്നിരുന്നാലും, സമവാക്യങ്ങളുടെ അർത്ഥം പരിശോധിക്കുന്നതിനേക്കാൾ പലർക്കും ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

കുറിപ്പ്: റെക്കോർഡിംഗിൻ്റെ ചുരുക്ക രൂപത്തിനെതിരെ എനിക്ക് ഒന്നുമില്ല, അതിലുപരി. വിപുലമായ ഉപയോക്താക്കൾക്ക് ഈ ഫോം കൂടുതൽ ചെറുതാക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം ഇതിനകം വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കിയതിനുശേഷം മാത്രമേ ഇത് ചെയ്യാവൂ.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന നിയമങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ വിപുലീകൃത നൊട്ടേഷൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

1. നമ്മൾ ഒരേ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇടതുവശത്തും ഒപ്പം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ വലത് വശംസമവാക്യങ്ങൾ, അപ്പോൾ സമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു.

2. പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യത്തിലെ ഏത് ഭാഗമാണ് ഇടത്, ഏതാണ് ശരി എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, നമുക്ക് അവ സ്വതന്ത്രമായി സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം.

ഈ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്തും ആകാം. മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലായി ഒരേ സംഖ്യ ചേർക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

x - 2, = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x, = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

നമുക്ക് രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

3x, = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x, = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6, = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3x, = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ വേർതിരിക്കാം. ഇടത് വലത് ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എന്ത് വേണമെങ്കിലും ചെയ്യാം, എന്നാൽ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സമത്വം നിലനിൽക്കും (സ്കെയിലുകൾ ഒരേ തിരശ്ചീന തലത്തിൽ തന്നെ തുടരും).

തീർച്ചയായും, അജ്ഞാതമായ അളവ് കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിലും ലളിതമായും നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ക്ലാസിക്കൽ രീതി ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ കുട്ടി ഇതുവരെ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പഠിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലോ? അതേസമയം, സമാഹരിച്ച സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്:

5 - x = 3 (500.8)

ആ. ക്ലാസിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഏറ്റവും ചെറിയ നൊട്ടേഷൻ നൽകുന്ന സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, സമവാക്യം (500.8.3) സമവാക്യത്തിന് (500.8.4) സമാനമാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് ഒരു കുട്ടിയോട് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കാനാകും?

ഇതിനർത്ഥം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ പോലും ക്ലാസിക്കൽ രീതിഎഴുതുന്നതിൽ ലാഭിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, ആദ്യം നിങ്ങൾ ഇടതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാത മൂല്യം ഒഴിവാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിന് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5 - 3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

പൂർണ്ണമായ എൻട്രി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5, = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x, = 5 - 3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

ഞാൻ അത് വീണ്ടും ചേർക്കും. പരിഹാരത്തിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ റെക്കോർഡ് അധ്യാപകർക്കല്ല, മറിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയെക്കുറിച്ച് നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അത് വാങ്ങുന്നയാളുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് വിൽപ്പനക്കാരൻ്റെ വീക്ഷണകോണിലേക്ക് സ്കെയിലിൻ്റെ വീക്ഷണം മാറ്റുന്നത് പോലെയാണ്, എന്നാൽ തുല്യത അതേപടി തുടരുന്നു.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഡ്രാഫ്റ്റുകളിൽ പോലും എൻ്റെ മകളെ പൂർണ്ണമായി പരിഹാരം എഴുതാൻ എനിക്ക് ഒരിക്കലും കഴിഞ്ഞില്ല. അവൾക്ക് ഒരു ഇരുമ്പുമൂടിയ വാദമുണ്ട്: "ഞങ്ങളെ അങ്ങനെ പഠിപ്പിച്ചിട്ടില്ല." ഇതിനിടയിൽ, സമാഹരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സങ്കീർണ്ണത വർദ്ധിക്കുന്നു, അജ്ഞാത അളവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ എന്ത് പ്രവർത്തനം നടത്തണം എന്ന് ഊഹിക്കുന്ന ശതമാനം കുറയുന്നു, ഗ്രേഡുകൾ കുറയുന്നു. ഇത് എന്ത് ചെയ്യണമെന്ന് എനിക്കറിയില്ല...

കുറിപ്പ്: ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സമത്വങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിൽ വേർതിരിച്ചറിയുന്നത് പതിവാണ്, അതായത്. 1 = 1 എന്നത് ഒരു സംഖ്യാ സമത്വം മാത്രമാണ്, സമത്വത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഇതിനകം ഒരു സമവാക്യമാണ്. എന്നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അർത്ഥങ്ങളുടെ അത്തരം വേർതിരിവ് വളരെയധികം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ധാരണയെ സങ്കീർണ്ണമാക്കുന്നു. ഏത് സമത്വത്തെയും ഒരു സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കാമെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു, ഏത് സമവാക്യവും സമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. കൂടാതെ, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: x = 6, ഇത് ഇതിനകം ഒരു സമത്വമാണോ അതോ ഇപ്പോഴും ഒരു സമവാക്യമാണോ?

ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ, സമയവുമായി സാമ്യം

തീർച്ചയായും, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്കെയിലുകളുമായുള്ള സാമ്യം ഒന്നിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതും ഒരു സമയ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് പരിഗണിക്കാം. അപ്പോൾ സമവാക്യം (500.1) വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന അവസ്ഥ ഇതുപോലെയാകും:

ഞങ്ങൾ ഒരു അജ്ഞാത അളവിൽ ചേർത്തതിന് ശേഷം എക്സ് 2 യൂണിറ്റുകൾ കൂടി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ 8 യൂണിറ്റുകൾ (നിലവിൽ) ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു കാരണത്താലോ മറ്റൊരു കാരണത്താലോ, എത്രയെണ്ണം ഉണ്ട് എന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമില്ല, മറിച്ച് ഭൂതകാലത്തിൽ എത്രപേർ ഉണ്ടായിരുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ സമാന യൂണിറ്റുകളിൽ എത്രയെണ്ണം ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിപരീത പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. 8 ൽ നിന്ന് 2 കുറയ്ക്കുക (സമവാക്യം 500.3). ഈ സമീപനം പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുമായി കൃത്യമായി യോജിക്കുന്നു, എന്നാൽ എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, സ്കെയിലുകളുമായുള്ള സാമ്യം പോലെ വ്യക്തമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ വിഷയത്തിൽ അഭിപ്രായങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായിരിക്കാം.

ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

വേനൽക്കാലത്ത് ഞാൻ ഈ ലേഖനം എഴുതി, എൻ്റെ മകൾ നാലാം ക്ലാസിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയപ്പോൾ, എന്നാൽ ആറ് മാസത്തിനുള്ളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സ്കൂളിൽ അവരോട് ആവശ്യപ്പെട്ടു:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

ക്ലാസിലെ ആർക്കും ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല, എന്നിട്ടും ഞാൻ നിർദ്ദേശിച്ച രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നതിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല, പക്ഷേ നൊട്ടേഷൻ്റെ പൂർണ്ണ രൂപം വളരെയധികം ഇടം എടുക്കും:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, = 50 - 5x, (500.10.11)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 50 - 25, (500.10.16)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x, = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഘട്ടത്തിൽ അത്തരം പൂർണ്ണ രൂപംറെക്കോർഡിംഗ് ആവശ്യമില്ല. ഞങ്ങൾ ഇരട്ട പരാൻതീസിസിൽ എത്തിയതിനാൽ, ഇടത്തും വലത്തും ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി ഒരു പ്രത്യേക സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അതിനാൽ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിൽ പരിഹാരം എഴുതുന്നത് ഇതുപോലെയാകാം:

97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, = 50 - 5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

മൊത്തത്തിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ യഥാർത്ഥമായത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് 14 സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒരു ശുദ്ധമായ പകർപ്പിൽ എഴുതുന്നത് ഇതുപോലെയാകാം:

97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)

75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)

25 = 50 - 5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50 - 25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x = 25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

ആ. നൊട്ടേഷൻ്റെ സംക്ഷിപ്ത രൂപം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഇനിയും 12 സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റെക്കോർഡിംഗിലെ സമ്പാദ്യം വളരെ കുറവാണ്, എന്നാൽ ഒരു അഞ്ചാം ക്ലാസുകാരന് ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടായേക്കാം.

പി.എസ്.ഇരട്ട ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ കാര്യം വരുമ്പോൾ മാത്രമാണ് ഞാൻ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിർദ്ദേശിച്ച രീതിയിൽ എൻ്റെ മകൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടായത്, എന്നാൽ അതേ സമയം, അവളുടെ എഴുത്ത് രൂപത്തിൽ, ഡ്രാഫ്റ്റിൽ പോലും, ഇപ്പോഴും 2 മടങ്ങ് കുറവ് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്, കാരണം അവൾ ഫൈനൽ ഒഴിവാക്കുന്നു. (500.10.4), (500.10. 7) തുടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ, റെക്കോർഡ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അടുത്തതിന് ഉടൻ ഇടം നൽകുന്നു ഗണിത പ്രവർത്തനം. തൽഫലമായി, അവളുടെ ഡ്രാഫ്റ്റിലെ എൻട്രി ഇതുപോലെയായിരുന്നു:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x) , - 97 = 100 , - 97 (500.10.5)

75: (50 - 5x), · (50 - 5x) = 3, · (50 - 5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് 8 സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ ലഭിച്ചുള്ളൂ, ഇത് ചുരുക്ക പരിഹാരത്തിന് ആവശ്യമായതിനേക്കാൾ കുറവാണ്. തത്വത്തിൽ, ഞാൻ കാര്യമാക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ അത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഒരു അജ്ഞാത അളവ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞാൻ പറയാൻ ആഗ്രഹിച്ചത് അതാണ്. രണ്ട് അജ്ഞാത അളവുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

തുല്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പൊതു ആശയം ലഭിക്കുകയും അവയുടെ തരങ്ങളിലൊന്ന് - സംഖ്യാ സമത്വം പരിചയപ്പെടുകയും ചെയ്ത ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു തരം തുല്യതകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ തുടങ്ങാം, അത് പ്രായോഗിക കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന് വളരെ പ്രധാനമാണ് - സമവാക്യങ്ങൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ നോക്കും എന്താണ് ഒരു സമവാക്യം, ഒപ്പം സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയും. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ നൽകും, അതുപോലെ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അവയുടെ വേരുകളുടെയും വിവിധ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

എന്താണ് ഒരു സമവാക്യം?

സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള ടാർഗെറ്റഡ് ആമുഖം സാധാരണയായി രണ്ടാം ക്ലാസിലെ ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ഈ സമയത്ത് താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു സമവാക്യ നിർവചനം:

നിർവ്വചനം.

സമവാക്യംഒരു അജ്ഞാത സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന തുല്യതയാണ്, അത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

സമവാക്യങ്ങളിലെ അജ്ഞാത സംഖ്യകളെ സാധാരണയായി ചെറിയ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും. ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, p, t, u മുതലായവ. എന്നാൽ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ x, y, z എന്നിവയാണ്.

അങ്ങനെ, എഴുത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നാണ് സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സമത്വം എന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട എഴുത്ത് നിയമങ്ങൾ അനുസരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സമവാക്യമാണ് - അതിൽ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു കത്ത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തേതും ഏറ്റവും കൂടുതലുള്ളതുമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ. x=8, y=3, തുടങ്ങിയ രൂപങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. അക്കങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും സഹിതം അടയാളങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

പരിചിതമായതിന് ശേഷം സമവാക്യങ്ങളുടെ വൈവിധ്യം വർദ്ധിക്കുന്നു - ബ്രാക്കറ്റുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 2·(x−1)=18, x+3·(x+2·(x−2))=3. ഒരു സമവാക്യത്തിലെ ഒരു അജ്ഞാത അക്ഷരം നിരവധി തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, ഉദാഹരണത്തിന്, x+3+3·x−2−x=9, കൂടാതെ അക്ഷരങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തോ വലതുവശത്തോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് വശങ്ങളിലോ ആകാം. സമവാക്യം, ഉദാഹരണത്തിന്, x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 അല്ലെങ്കിൽ 3·x−4=2·(x+12) .

പഠനം കഴിഞ്ഞ് കൂടുതൽ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾപൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുമായുള്ള പരിചയം സംഭവിക്കുന്നു, പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര വസ്തുക്കൾ പഠിക്കപ്പെടുന്നു: ശക്തികൾ, വേരുകൾ, ലോഗരിതം മുതലായവ. അവയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ലേഖനത്തിൽ കാണാം അടിസ്ഥാന തരം സമവാക്യങ്ങൾസ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്നു.

ഏഴാം ക്ലാസ്സിൽ, അക്ഷരങ്ങൾക്കൊപ്പം, ചില നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്, വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന അക്ഷരങ്ങൾ അവർ പരിഗണിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു; അവയെ വേരിയബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലേഖനം കാണുക). അതേ സമയം, "വേരിയബിൾ" എന്ന വാക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു, അത് ഇതുപോലെയാകുന്നു:

നിർവ്വചനം.

സമവാക്യംമൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, x+3=6·x+7 എന്ന സമവാക്യം x എന്ന വേരിയബിളുമായുള്ള ഒരു സമവാക്യവും 3·z−1+z=0 എന്നത് z എന്ന വേരിയബിളുമായുള്ള ഒരു സമവാക്യവുമാണ്.

അതേ ഏഴാം ക്ലാസിലെ ബീജഗണിത പാഠങ്ങളിൽ, ഒന്നല്ല, രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു. അവയെ രണ്ട് വേരിയബിളുകളിൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഭാവിയിൽ, സമവാക്യങ്ങളിൽ മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ സാന്നിധ്യം അനുവദനീയമാണ്.

നിർവ്വചനം.

ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് മുതലായവ ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ. വേരിയബിളുകൾ– ഇവ യഥാക്രമം ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, ... അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ എന്നിവയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, 3.2 x+0.5=1 എന്നത് ഒരു വേരിയബിൾ x ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതാകട്ടെ, x−y=3 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം x, y എന്നീ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. അത്തരം ഒരു സമവാക്യം x, y, z എന്നീ മൂന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്താണ്?

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനവുമായി നേരിട്ട് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന ചില ന്യായവാദങ്ങൾ നടത്താം.

നമുക്ക് ഒരു അക്ഷരം (വേരിയബിൾ) ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എൻട്രിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു അക്ഷരത്തിനുപകരം, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഒരു സംഖ്യാ തുല്യതയായി മാറുന്നു. മാത്രമല്ല, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം ശരിയോ തെറ്റോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, a+1=5 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ a എന്ന അക്ഷരത്തിന് പകരം 2 എന്ന സംഖ്യ നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റായ സംഖ്യാ തുല്യത 2+1=5 ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിൽ a എന്നതിന് പകരം 4 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ, നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത 4+1=5 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗികമായി, ഭൂരിഭാഗം കേസുകളിലും, വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലാണ് താൽപ്പര്യം, അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരുന്നത് ശരിയായ തുല്യത നൽകുന്നു; ഈ മൂല്യങ്ങളെ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്- ഇത് അക്ഷരത്തിൻ്റെ (വേരിയബിൾ) മൂല്യമാണ്, അതിന് പകരമായി സമവാക്യം ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു.

ഒരു വേരിയബിളിലെ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടിനെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം എന്നും വിളിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരവും സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ഈ നിർവചനം നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് a+1=5 ന് മുകളിൽ എഴുതിയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടിൻ്റെ പ്രഖ്യാപിത നിർവചനം അനുസരിച്ച്, സംഖ്യ 4 ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്, കാരണം a എന്ന അക്ഷരത്തിന് പകരം ഈ സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ശരിയായ തുല്യത 4+1=5 ലഭിക്കും, കൂടാതെ നമ്പർ 2 ഇതല്ല. റൂട്ട്, കാരണം ഇത് 2+1= 5 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തെറ്റായ തുല്യതയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, നിരവധി സ്വാഭാവിക ചോദ്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു: "ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടോ, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ട്?" ഞങ്ങൾ അവർക്ക് ഉത്തരം നൽകും.

വേരുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളും വേരുകളില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, x+1=5 എന്ന സമവാക്യത്തിന് റൂട്ട് 4 ഉണ്ട്, എന്നാൽ 0 x=5 എന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഏത് സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും, നമുക്ക് തെറ്റായ തുല്യത ലഭിക്കും 0=5 .

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരു നിശ്ചിത പരിമിതമായ വേരുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളും (ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, മുതലായവ) അനന്തമായ എണ്ണം വേരുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, x−2=4 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് 6 ഉണ്ട്, x 2 =9 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ −3, 3 എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളാണ്, x·(x−1)·(x−2)=0 എന്ന സമവാക്യം 0, 1, 2 എന്നീ മൂന്ന് റൂട്ടുകളുണ്ട്, കൂടാതെ x=x എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ഏത് സംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഇതിന് അനന്തമായ വേരുകൾ ഉണ്ട്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി അംഗീകരിച്ച നൊട്ടേഷനെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് വാക്കുകൾ പറയണം. ഒരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെങ്കിൽ, അവർ സാധാരണയായി "സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല" എന്ന് എഴുതുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുക. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവ കോമകളാൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതുന്നു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾചുരുണ്ട ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ -1, 2, 4 എന്നീ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, −1, 2, 4 അല്ലെങ്കിൽ (−1, 2, 4) എഴുതുക. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ലളിതമായ സമത്വങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നതും അനുവദനീയമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ x എന്ന അക്ഷരവും ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 3 ഉം 5 ഉം ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് x=3, x=5 എന്നിങ്ങനെ എഴുതാം, കൂടാതെ x 1 =3, x 2 =5 എന്ന സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകൾ പലപ്പോഴും ചേർക്കാറുണ്ട്. വേരിയബിളിലേക്ക്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ സംഖ്യകളുടെ വേരുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതുപോലെ. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തമായ വേരുകൾ സാധാരണയായി രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു; സാധ്യമെങ്കിൽ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ N, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ Z, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ R എന്നിവയുടെ ഗണങ്ങളുടെ നൊട്ടേഷനും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, വേരിയബിൾ x ഉള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, എഴുതുക, കൂടാതെ y എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 1 മുതൽ 9 വരെയുള്ള ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, എഴുതുക.

രണ്ടോ മൂന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, ഒരു ചട്ടം പോലെ, "സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്" എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കില്ല; ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവർ "സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം" എന്ന് പറയുന്നു. നിരവധി വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എന്താണ്? നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

രണ്ട്, മൂന്ന്, മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. വേരിയബിളുകൾഒരു ജോഡി, മൂന്ന്, മുതലായവ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ, ഈ സമവാക്യത്തെ ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു.

നമുക്ക് വിശദീകരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കാം. x+y=7 എന്ന രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് x ന് പകരം 1 എന്ന സംഖ്യയും y ന് പകരം 2 എന്ന സംഖ്യയും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, നമുക്ക് 1+2=7 തുല്യതയുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ഇത് തെറ്റാണ്, അതിനാൽ, x=1, y=2 എന്നീ മൂല്യങ്ങളുടെ ജോടി എഴുതിയ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമല്ല. നമ്മൾ ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ x=4, y=3 എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിന് ശേഷം നമ്മൾ ശരിയായ തുല്യതയിൽ എത്തും 4+3=7, അതിനാൽ, ഈ ജോഡി വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു പരിഹാരമാണ്. x+y=7 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക്.

ഒരു വേരിയബിളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പോലെ നിരവധി വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, പരിമിതമായ എണ്ണം വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ജോഡികൾ, ട്രിപ്പിൾസ്, ക്വാഡ്രപ്പിൾസ് മുതലായവ. വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരാൻതീസിസിൽ കോമകളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എഴുതിയ സംഖ്യകൾ അക്ഷരമാലാക്രമത്തിലുള്ള വേരിയബിളുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. മുമ്പത്തെ x+y=7 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് ഈ പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കാം. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം x=4, y=3 (4, 3) എന്ന് ചുരുക്കി എഴുതാം.

ഗണിതശാസ്ത്രം, ബീജഗണിതം, വിശകലനത്തിൻ്റെ ആരംഭം എന്നിവയുടെ സ്കൂൾ കോഴ്സിലെ ഏറ്റവും വലിയ ശ്രദ്ധ ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ്. ഈ പ്രക്രിയയുടെ നിയമങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ലേഖനത്തിൽ വളരെ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ഗണിതം. 2 ക്ലാസുകൾ പാഠപുസ്തകം പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് adj ഉള്ള സ്ഥാപനങ്ങൾ. ഓരോ ഇലക്ട്രോണിനും വാഹകൻ. ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്ക് ഭാഗം 1 / [എം. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3rd ed. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2012. - 96 പേ.: അസുഖം. - (സ്കൂൾ ഓഫ് റഷ്യ). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം ഏഴാം ക്ലാസിന് പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 17-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 240 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• ബീജഗണിതം:ഒമ്പതാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2009. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-021134-5.

എന്താണ് സമവാക്യം

• ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്

• സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ.

• സമവാക്യങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം.

• ഒരു സമവാക്യം ഒരു സമത്വമാണ്, അതിൽ അജ്ഞാതനെ ഒരു അക്ഷരം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കുന്ന അക്ഷരത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

• സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക - അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക (അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഇല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക).

• അജ്ഞാത പദം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന പദം തുകയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട് (a + x = b ആണെങ്കിൽ, x = b – a)

• 7 + x = 23

• x = 23 - 7

• x = 16

• അജ്ഞാതമായ മൈനൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ സബ്ട്രഹെൻഡും വ്യത്യാസവും ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

• (x – a = d ആണെങ്കിൽ, x = a + d)

• x-8 =5

• x = 8+5

• x=13

• അജ്ഞാതമായ സബ്‌ട്രാഹെൻഡ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൈനൻഡിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസം കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്

• (a - x = b ആണെങ്കിൽ, x = a-b)

• 9's =1.3

• x = 9- 1.3

• x = 7.7

• ഒരു അജ്ഞാത ഘടകം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നത്തെ അറിയപ്പെടുന്ന ഘടകം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്

• (ax = b ആണെങ്കിൽ, x = b: a)

• 0.2x = 6

• x = 6: 0.2

• x=30

• അജ്ഞാതമായ ലാഭവിഹിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഘടകത്തെ ഹരിക്കൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x: a = b ആണെങ്കിൽ, x = ab)

• x: 0.3 = 4

• x = 4 * 0.3

• x = 1.2

• ഒരു അജ്ഞാത വിഭജനം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ലാഭവിഹിതം ഘടകത്താൽ ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്

• (a: x = b ആണെങ്കിൽ, x = a: b)

• 0.8:x=-5

• x=0.8(-5)

• x=-0.16

• ചില പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുകയും അതിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുകയും ചെയ്താൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ മാറില്ല.

• 3x – 8 = x – 14

• 3x –x = -14 + 8

• 2x = -6

• x = -3

• രണ്ട് വശങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ മാറില്ല.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം x = ആണ്

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം x = ആണ്

• സമവാക്യം (ഇവിടെ a 0, a എന്നത് f (x) = g (x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

• സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി ചുരുക്കുന്നു

• ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ ഒരു സമവാക്യത്തെ ലോഗരിഥമിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• ഫോമിൻ്റെ ഒരു ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

• അത്തരം ഒരു സമവാക്യം f(x)=g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് f(x)

• ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്,

• ഒരു അജ്ഞാതമായ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്:

• ഒരു അജ്ഞാതമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്

• ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം സംഖ്യയാണ്

• D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല

• D=0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്:

• D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്:

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്നത് ഒരു ഗുണകങ്ങളെങ്കിലും പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്. C=0-ൽ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

• കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതായത്, ആദ്യത്തെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക

വിയെറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം

• നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ ആകെത്തുക ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. –р, അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദമാണ് q.

• രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• വേരിയബിൾ രീതി മാറ്റുന്നതിലൂടെ അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് നിശ്ചയിക്കാം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും, അതായത് ഇത് ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.

• മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമമിതി സമവാക്യം എന്നത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, അത് ശ്രദ്ധിക്കുക

• ആ. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം സെറ്റിന് തുല്യമാണ്

• നാലാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമമിതി സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നാണ്:

• ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിക്കാൻ -

• വേരിയബിൾ നമുക്കുണ്ട്: അതായത്. സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

• ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസ്, അത് നെഗറ്റീവല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യ തന്നെയാണ്, അല്ലെങ്കിൽ x സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ സംഖ്യ -x ആണ്. പദവി:

• ഈ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഔപചാരിക നൊട്ടേഷൻ ഇതാണ്:

• സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല

• sin x=a() എന്നതിന് രൂപമുണ്ട്

• cos x=a

• ടാൻ x=a

• ctg x=a

• വേരിയബിൾ മാറ്റ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും

• രൂപത്തിൻ്റെ ത്രികോണമിതി സമവാക്യം

• സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരേ അളവിലുള്ള എല്ലാ നിബന്ധനകളെയും വിളിക്കുന്നു

• ഏകതാനമായ. ഒരു ഏകീകൃത സമവാക്യം അതിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ഒരു ആപേക്ഷിക സമവാക്യത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ചുരുക്കാം. മാത്രമല്ല, മൂല്യം സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്തതിനാൽ, അത്തരമൊരു വിഭജനം പരിഹാരങ്ങളുടെ നഷ്ടത്തിലേക്ക് നയിക്കില്ല. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കും.

• ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം എവിടെ എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

• വലതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത് വശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നതാണ് ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി; അതിനുശേഷം ഇടതുപക്ഷം

• ത്രികോണമിതി ഫംഗ്‌ഷനുകളെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാക്കി വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ബിരുദം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ ഒരു സിസ്റ്റമാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ

• ഒരു യുക്തിസഹമായ ബീജഗണിത സമവാക്യം എന്നത് പോളിനോമിയലുകൾ എവിടെയാണെന്നും ഉള്ള രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്.

• നിബന്ധന പാലിച്ചാൽ മാത്രമേ പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമുണ്ടാകൂ

• ഇതിനർത്ഥം യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിന് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിൽ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് എന്നാണ്

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ

• രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റാഡിക്കൽ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യമാണ് ഫലം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ലഭിച്ച വേരുകൾ നേരിട്ട് പരിശോധിക്കുന്നത് ബാഹ്യമായ വേരുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, അതായത്. പ്രാരംഭ സമവാക്യത്തിലേക്ക് വേരുകൾ മാറിമാറി പകരം വയ്ക്കുകയും സംഖ്യാ സമത്വം ശരിയാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

• രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം (ഘടകം) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

• രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കുറഞ്ഞത് ഒരു പദപ്രയോഗമെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, മറ്റൊന്ന് അർത്ഥവത്താണ്. ഔപചാരികമായി ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

• പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഔപചാരിക നൊട്ടേഷൻ:

• രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു റാഡിക്കലിൻ്റെ രണ്ട് (മൂന്ന്) അടയാളങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുക.

ആദ്യം, സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തണം, അങ്ങനെ റാഡിക്കലുകൾ ഒരു ഭാഗത്തിലും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ മറ്റൊന്നിലുമാണ്. സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് റാഡിക്കലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ഇത് ചെയ്യപ്പെടും. അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് അവശേഷിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. തുടർന്ന് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കുകയും ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്തതായി, റാഡിക്കലുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും വീണ്ടും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തേക്കും ശേഷിക്കുന്ന റാഡിക്കൽ (ഇപ്പോൾ ഒന്ന് മാത്രമേയുള്ളൂ!) മറ്റൊന്നിലേക്കും മാറ്റുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വീണ്ടും സ്ക്വയർ ചെയ്യുന്നു, ഫലം റാഡിക്കലുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യമാണ്.

മൂന്നാമത്തെയും ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളിലെയും റാഡിക്കലുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ.

• മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ റാഡിക്കലുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാകും:

• സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

• പരിഹാരം: ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുക:

• പരാൻതീസിസിലെ എക്സ്പ്രഷൻ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന 1 ന് തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇത് കണക്കിലെടുക്കുകയും സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

• നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ പദങ്ങൾ ചേർത്ത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം. ഇതിൻ്റെ വേരുകൾ x=5, x=-25/2 എന്നിവയാണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഒറ്റമൂലികൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് (നിർവചനപ്രകാരം) ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലഭിച്ച രണ്ട് സംഖ്യകളും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്.

• ഉത്തരം: 5.-25/2

എന്ത് മൂല്യങ്ങളിൽ എ

• എന്ത് മൂല്യങ്ങളിൽ എസമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടോ, അതിൽ ഒന്ന് 1 നേക്കാൾ വലുതും മറ്റൊന്ന് കുറവും ആണോ?

• പരിഹാരം: പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക:

• അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക. ചെയ്തത് a=0ഫംഗ്ഷൻ രേഖീയമായി മാറുകയും അച്ചുതണ്ടുമായി രണ്ട് കവലകൾ ഉണ്ടാവുകയും ചെയ്യുന്നു ഓ(സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ y=0) കൂടാതെസഹിക്കാൻ വയ്യ.

• ചെയ്തത് a>0ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു. വേരുകളുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമാണ് വ്യവസ്ഥ:

• എങ്കിൽ വ്യവസ്ഥയും, അതനുസരിച്ച്, (ചിത്രം.)

• അതിനാൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഔപചാരികമായി സെറ്റ് നൽകുന്നു:

• ഉത്തരം:

• സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രണ്ടോ അതിലധികമോ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

• സിസ്റ്റം പരിഹാരംവേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും ഒരു സംഖ്യാ അല്ലെങ്കിൽ അക്ഷരീയ ഐഡൻ്റിറ്റി ആക്കി മാറ്റുന്നു.

• സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക -അതിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല എന്ന് തെളിയിക്കുക.

സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

• സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ മാർഗം ഇപ്രകാരമാണ്:

• സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു;

• ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു;

• ഉത്തരം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്: നിർമ്മിച്ച ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

• മിക്ക കേസുകളിലും സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി സിസ്റ്റത്തിന് കൃത്യമായ പരിഹാരം നൽകുന്നില്ല, പക്ഷേ ന്യായവാദം ദൃശ്യപരമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

പരിഹാരം:

• പരിഹാരം:ഒന്നും മൂന്നും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നേരായതാണ്; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു ക്യൂബിക് പരവലയമാണ് (അത്തി). മൂന്ന് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ ഗ്രാഫുകൾക്കും പൊതുവായ ഒന്ന് മാത്രം.

• ഉത്തരം:(0;0)

സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യത

• ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും ആദ്യത്തേതിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളെ തുല്യ (തുല്യം) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഒരു തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്:

• 1) ഒരേ സമയം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ചേർക്കുന്നത് (പ്രത്യേകിച്ച്, ചിഹ്നത്തിലെ മാറ്റത്തോടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പദങ്ങൾ മാറ്റുന്നത്)

• 2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേസമയം പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (വിഭജിക്കുക).

• കൂടാതെ, യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ ഡൊമെയ്‌നിലെ സമവാക്യങ്ങൾക്കായി:

• 3) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഏതെങ്കിലും വിചിത്ര ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലൂടെ

• 4) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഉയർത്തുക, അവ നിഷേധാത്മകമല്ലെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും പോലും സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക്

Yu.N.Makarychev - "ആൾജിബ്ര. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിനായുള്ള അധിക അധ്യായങ്ങൾ. എട്ടാം ക്ലാസ്." 2003

Yu.N.Makarychev - "ആൾജിബ്ര. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിനായുള്ള അധിക അധ്യായങ്ങൾ. 9-ാം ക്ലാസ്സ്." 2003

അവതരണം തയ്യാറാക്കിയത്:

• ഷ്മനോവ വിക്ടോറിയ

• ദേവ അലക്സാണ്ട്ര

• ഗ്രേഡ് 11

• മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 1"

• ഷുമിക

• 2007

• വിശദ വിവരങ്ങൾ 83524521413 എന്ന നമ്പറിൽ അറിയിക്കണം

• സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 1 ലെ അധ്യാപകർക്ക് പ്രത്യേക നന്ദി:

• തെരെഗുലോവ ഐറിന വിക്ടോറോവ്ന

• ഷ്മാനോവ് അനറ്റോലി ഇവാനോവിച്ച്

ഒരു സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൽ, ഒരു കുട്ടി ആദ്യമായി "സമവാക്യം" എന്ന പദം കേൾക്കുന്നു. ഇത് എന്താണ്, നമുക്ക് ഒരുമിച്ച് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ പരിഹാരത്തിൻ്റെ തരങ്ങളും രീതികളും നോക്കും.

ഗണിതം. സമവാക്യങ്ങൾ

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ആശയം തന്നെ മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അതെന്താണ്? പല ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളും പറയുന്നതുപോലെ, ഒരു സമവാക്യം ചില പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്, അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു തുല്യ ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ അക്ഷരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, വേരിയബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ, അവയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തണം.

ഇത് അതിൻ്റെ മൂല്യം മാറ്റുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം ആട്രിബ്യൂട്ട് ആണ്. വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു നല്ല ഉദാഹരണം ഇവയാണ്:

• എയർ താപനില;
• കുട്ടിയുടെ ഉയരം;
• ഭാരം തുടങ്ങിയവ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവ അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, x, a, b, c... സാധാരണയായി ഒരു ഗണിത ടാസ്ക്ക് ഇതുപോലെയാണ്: സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. ഇതിനർത്ഥം ഈ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എന്നാണ്.

ഇനങ്ങൾ

സമവാക്യം (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ആകാം:

• രേഖീയമായ;
• സമചതുരം Samachathuram;
• ക്യൂബിക്;
• ബീജഗണിതം;
• അതീന്ദ്രിയമായ.

എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള കൂടുതൽ വിശദമായ പരിചയത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഓരോന്നും പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കും.

രേഖീയ സമവാക്യം

സ്കൂൾ കുട്ടികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്ന ആദ്യത്തെ ഇനം ഇതാണ്. അവ വളരെ വേഗത്തിലും ലളിതമായും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ, എന്താണ് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം? ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: ah=c. ഇത് പ്രത്യേകിച്ച് വ്യക്തമല്ല, അതിനാൽ നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം: 2x=26; 5x=40; 1.2x=6.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അറിയാവുന്ന എല്ലാ ഡാറ്റയും ഒരു വശത്തും അജ്ഞാതമായവ മറുവശത്തും ശേഖരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു: a*c=e, ഇതിൽ നിന്ന് c=e/a; a=e/c. സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വിഭജനം) x = 13; x=8; x=5. ഇവ ഗുണനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങളായിരുന്നു, ഇനി നമുക്ക് കുറയ്ക്കലും സങ്കലനവും നോക്കാം: x+3=9; 10x-5=15. ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റ ഒരു ദിശയിലേക്ക് കൈമാറുന്നു: x=9-3; x=20/10. അവസാന പ്രവർത്തനം നടത്തുക: x=6; x=2.

ഓപ്ഷനുകളും സാധ്യമാണ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ, ഒന്നിലധികം വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നിടത്ത്: 2x-2y=4. പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഓരോ ഭാഗത്തിനും 2y ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, നമുക്ക് 2x-2y + 2y = 4-2y ലഭിക്കും. ഇടത് വശം-2y, +2y എന്നീ തുല്യ ചിഹ്നങ്ങൾ റദ്ദാക്കി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ അവശേഷിക്കുന്നു: 2x=4-2y. അവസാന ഘട്ടം ഓരോ ഭാഗത്തെയും രണ്ടായി വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: x എന്നത് രണ്ട് മൈനസ് y ന് തുല്യമാണ്.

അഹ്മെസ് പാപ്പിരിയിൽ പോലും സമവാക്യങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ കാണപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്‌നമുണ്ട്: ഒരു സംഖ്യയും അതിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗവും 15 ആയി ചേർക്കുന്നു. അത് പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം എഴുതുന്നു: x പ്ലസ് വൺ-ഫോർത്ത് x തുല്യം പതിനഞ്ച്. പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം കാണുന്നു, നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: x=12. എന്നാൽ ഈ പ്രശ്നം മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത് ഈജിപ്ഷ്യൻ അല്ലെങ്കിൽ, അതിനെ വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കുന്നതുപോലെ, അനുമാന രീതി. പാപ്പിറസ് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരം ഉപയോഗിക്കുന്നു: അതിൽ നാലിലൊന്ന് എടുക്കുക, അതായത് ഒന്ന്. മൊത്തത്തിൽ അവർ അഞ്ച് നൽകുന്നു, ഇപ്പോൾ പതിനഞ്ച് തുക കൊണ്ട് ഹരിക്കണം, നമുക്ക് മൂന്ന് ലഭിക്കും, അവസാന ഘട്ടം മൂന്നിനെ നാലായി ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു: 12. എന്തുകൊണ്ടാണ് നമ്മൾ ലായനിയിൽ പതിനഞ്ച് അഞ്ച് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത്? അങ്ങനെ പതിനഞ്ചിൽ എത്ര തവണ, അതായത്, നമുക്ക് ലഭിക്കേണ്ട ഫലം അഞ്ചിൽ താഴെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. മധ്യകാലഘട്ടത്തിൽ ഈ രീതിയിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു; ഇത് തെറ്റായ സ്ഥാന രീതി എന്ന് അറിയപ്പെട്ടു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

മുമ്പ് ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് പുറമേ, മറ്റുള്ളവയും ഉണ്ട്. കൃത്യമായി ഏതാണ്? ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അതെന്താണ്? അവ കോടാലി 2 +bx+c=0 പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചില ആശയങ്ങളും നിയമങ്ങളും നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യം, നിങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: b 2 -4ac. തീരുമാനത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഫലങ്ങളുണ്ട്:

• വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്;
• പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്;
• പൂജ്യത്തിന് തുല്യം.

ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കാണപ്പെടുന്ന രണ്ട് വേരുകളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: -b+-ആദ്യ ഗുണകത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയായി ഹരിച്ച വിവേചനത്തിൻ്റെ റൂട്ട്, അതായത് 2a.

രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നത്: -b/2a.

കൂടുതൽ വിശദമായ ആമുഖത്തിനായി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: മൂന്ന് x സ്ക്വയർ മൈനസ് പതിനാല് x മൈനസ് അഞ്ച് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നേരത്തെ എഴുതിയതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു വിവേചനത്തിനായി തിരയുകയാണ്, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് 256 ന് തുല്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ, രണ്ട് വേരുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഉത്തരം നമുക്ക് ലഭിക്കണം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിവേചനത്തെ ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്കുള്ളത്: x അഞ്ച്, മൈനസ് മൂന്നിലൊന്ന്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലെ പ്രത്യേക കേസുകൾ

ചില മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യം (എ, ബി അല്ലെങ്കിൽ സി), ഒരുപക്ഷേ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉള്ള ഉദാഹരണങ്ങളാണിവ.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം എടുക്കാം, അത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്: രണ്ട് x സ്ക്വയർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ ബിയും സിയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് കാണാം. നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും രണ്ടായി വിഭജിക്കുന്നു, നമുക്ക്: x 2 =0. ഫലമായി, നമുക്ക് x=0 ലഭിക്കും.

മറ്റൊരു കേസ് 16x 2 -9=0 ആണ്. ഇവിടെ b=0 മാത്രം. നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം, ഫ്രീ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക: 16x 2 = 9, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ഭാഗവും പതിനാറ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു: x 2 = ഒൻപത് പതിനാറാം. നമുക്ക് x സ്ക്വയർ ഉള്ളതിനാൽ, 9/16 ൻ്റെ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു: x തുല്യം പ്ലസ്/മൈനസ് മുക്കാൽ ഭാഗമാണ്.

സാധ്യമായ മറ്റൊരു ഉത്തരം, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല എന്നതാണ്. നമുക്ക് ഈ ഉദാഹരണം നോക്കാം: 5x 2 +80=0, ഇവിടെ b=0. പരിഹരിക്കാൻ, സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ എറിയുക വലത് വശം, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 5x 2 = -80, ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ഭാഗത്തെയും അഞ്ച് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു: x 2 = മൈനസ് പതിനാറ്. നമ്മൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ വർഗ്ഗമാക്കിയാൽ, നമുക്ക് നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ലഭിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഇതാണ്: സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ട്രൈനോമിയൽ വികാസം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലെ ഒരു ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെയും തോന്നാം: വികസിപ്പിക്കുക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംഗുണിതങ്ങൾ വഴി. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാം: a(x-x 1)(x-x 2). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ചുമതലയുടെ മറ്റ് പതിപ്പിലെന്നപോലെ, ഒരു വിവേചനക്കാരനെ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക: 3x 2 -14x-5, ട്രിനോമിയൽ ഘടകം. ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു; അത് 256 ന് തുല്യമായി മാറുന്നു. 256 പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെന്നപോലെ ഞങ്ങൾ അവ കണ്ടെത്തുന്നു: x = അഞ്ച്, മൈനസ് മൂന്നിലൊന്ന്. ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്‌ടറിംഗിനായി നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: 3(x-5)(x+1/3). രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു തുല്യ ചിഹ്നം ലഭിച്ചു, കാരണം ഫോർമുലയിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. ലളിതമാക്കാൻ, ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിന് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങൾ ഗുണിക്കാം: (x-5)(x+1).

സമവാക്യങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി കുറയുന്നു

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഈ വിഭാഗത്തിൽ നമ്മൾ പഠിക്കും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഉടൻ ആരംഭിക്കാം:

(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. ആവർത്തിച്ചുള്ള ഘടകങ്ങൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം: (x 2 - 2x), ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് മറ്റൊരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് സൗകര്യപ്രദമാണ്, തുടർന്ന് സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉടനടി പരിഹരിക്കുക, അത്തരമൊരു ടാസ്ക്കിൽ ഞങ്ങൾക്ക് നാല് വേരുകൾ ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ഇത് നിങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്തരുത്. a എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ആവർത്തനത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a 2 -2a-3=0. ഞങ്ങളുടെ അടുത്ത പടിഒരു പുതിയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് 16 ലഭിക്കും, രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക: മൈനസ് ഒന്ന്, മൂന്ന്. ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, ഈ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. ആദ്യ ഉത്തരത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവ പരിഹരിക്കുന്നു: x ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേത്: x മൈനസ് ഒന്നും മൂന്ന്. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു: പ്ലസ്/മൈനസ് ഒന്ന്, മൂന്ന്. ചട്ടം പോലെ, ഉത്തരം ആരോഹണ ക്രമത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒന്നു കൂടി നോക്കാം സാധ്യമായ വേരിയൻ്റ്. അത് ഏകദേശംക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച്. അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ax 3 + b x 2 + cx + d =0. ചുവടെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും, എന്നാൽ ആദ്യം, ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം. അവയ്ക്ക് മൂന്ന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം, കൂടാതെ ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന് വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു സൂത്രവാക്യവുമുണ്ട്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: 3x 3 +4x 2 +2x=0. അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x ഇടുക: x(3x 2 +4x+2)=0. നമ്മൾ ചെയ്യേണ്ടത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ബ്രാക്കറ്റിൽ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്. ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പദപ്രയോഗത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്: x=0.

ബീജഗണിതം. സമവാക്യങ്ങൾ

നമുക്ക് അടുത്ത കാഴ്ചയിലേക്ക് കടക്കാം. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഹ്രസ്വമായി നോക്കും ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ. ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഒന്ന് ഇപ്രകാരമാണ്: ഘടകം 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗ്ഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രൂപ്പിംഗ് ആയിരിക്കും: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). 3x 2, 5x 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയായി ഞങ്ങൾ ആദ്യ എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് 8x 2 പ്രതിനിധീകരിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്നും പൊതുവായ ഘടകം 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1) എടുക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു: x സ്ക്വയർ പ്ലസ് വൺ, ഞങ്ങൾ അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്കും നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ഉള്ളതിനാൽ കൂടുതൽ വിപുലീകരണം സാധ്യമല്ല.

അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന തരം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എന്നിങ്ങനെ അതീന്ദ്രിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണിവ. ഉദാഹരണങ്ങൾ: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 തുടങ്ങിയവ. ത്രികോണമിതി കോഴ്സിൽ അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഫംഗ്ഷൻ

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന ആശയം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ് അവസാന ഘട്ടം. മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഈ തരം പരിഹരിച്ചിട്ടില്ല, പക്ഷേ അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യം നന്നായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നതും നിർമ്മാണത്തിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുന്നതും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതും മൂല്യവത്താണ്.