ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഏത് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത്? ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം - പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്! *ഇനിമുതൽ "KU" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.സുഹൃത്തുക്കളേ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ലളിതമൊന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ പലർക്കും അവനുമായി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെന്ന് എന്തോ എന്നോട് പറഞ്ഞു. Yandex പ്രതിമാസം എത്ര ഓൺ-ഡിമാൻഡ് ഇംപ്രഷനുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് കാണാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് സംഭവിച്ചതെന്ന് ഇതാ, നോക്കൂ:

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം പ്രതിമാസം 70,000 പേർ തിരയുന്നുണ്ടെന്നാണ് ഈ വിവരം, ഈ വേനൽക്കാലത്ത് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ട്, ഇടയിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും അധ്യയനവർഷം- ഇരട്ടി അഭ്യർത്ഥനകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല, കാരണം വളരെക്കാലം മുമ്പ് സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയവരും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നവരുമായ ആൺകുട്ടികളും പെൺകുട്ടികളും ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, കൂടാതെ സ്കൂൾ കുട്ടികളും അവരുടെ മെമ്മറി പുതുക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയുന്ന ധാരാളം സൈറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, മെറ്റീരിയൽ സംഭാവന ചെയ്യാനും പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനും ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. ഒന്നാമതായി, ഈ അഭ്യർത്ഥനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സന്ദർശകർ എന്റെ സൈറ്റിലേക്ക് വരണമെന്ന് ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു; രണ്ടാമതായി, മറ്റ് ലേഖനങ്ങളിൽ, "KU" എന്ന വിഷയം വരുമ്പോൾ, ഈ ലേഖനത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ഞാൻ നൽകും; മൂന്നാമതായി, മറ്റ് സൈറ്റുകളിൽ സാധാരണയായി പ്രസ്താവിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കുറച്ചുകൂടി അവന്റെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം!ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:

എവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a,ബിc എന്നിവ a≠0 ഉള്ള അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളാണ്.

സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, മെറ്റീരിയൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങളെ മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. *ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ.

3. അവയ്ക്ക് വേരുകളില്ല. അവയ്ക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല എന്നത് ഇവിടെ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

വേരുകൾ എങ്ങനെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത്? വെറുതെ!

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു. ഈ "ഭയങ്കരമായ" വാക്കിന് കീഴിൽ വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ട്:

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

*ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി എഴുതി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം:

1. D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

3. ഡി എങ്കിൽ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

നമുക്ക് സമവാക്യം നോക്കാം:

എഴുതിയത് ഈ അവസരത്തിൽ, വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, സ്കൂൾ കോഴ്സ് ഫലം ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് പറയുന്നു, ഇവിടെ അത് ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്. എല്ലാം ശരിയാണ്, അങ്ങനെയാണ്, പക്ഷേ ...

ഈ ആശയം കുറച്ച് തെറ്റാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്. അതെ, അതെ, ആശ്ചര്യപ്പെടരുത്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് തുല്യ വേരുകൾ ലഭിക്കും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഉത്തരം രണ്ട് വേരുകൾ എഴുതണം:

x 1 = 3 x 2 = 3

എന്നാൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ് - ഒരു ചെറിയ വ്യതിചലനം. സ്‌കൂളിൽ അത് എഴുതിവെച്ച് ഒറ്റമൂലിയുണ്ടെന്ന് പറയാം.

ഇനി അടുത്ത ഉദാഹരണം:

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഇതിന്റെ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് നമ്പർഎക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്‌തിട്ടില്ല, അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഇൻ ചെയ്യുന്നു ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇല്ല.

അതാണ് മുഴുവൻ തീരുമാന പ്രക്രിയയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

ജ്യാമിതീയമായി പരിഹാരം എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. ഇത് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് (ഭാവിയിൽ, ഒരു ലേഖനത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും).

ഇത് ഫോമിന്റെ ഒരു പ്രവർത്തനമാണ്:

ഇവിടെ x, y എന്നിവ വേരിയബിളുകളാണ്

a, b, c - നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, ≠ 0

ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

അതായത്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ “y” ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, x അക്ഷവുമായി പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പോയിന്റുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം (വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്), ഒന്ന് (വിവേചനം കാണിക്കുന്നയാൾ പൂജ്യം) ഒന്നുമില്ല (വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്). സംബന്ധിച്ച വിശദാംശങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനം നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയുംഇന്ന ഫെൽഡ്മാന്റെ ലേഖനം.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1: പരിഹരിക്കുക 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

ഉത്തരം: x 1 = 8 x 2 = –12

*ഉടൻ തന്നെ പോകാനും സാധിച്ചു വലത് വശംസമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അതായത്, ലളിതമാക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമാകും.

ഉദാഹരണം 2: തീരുമാനിക്കുക x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ഉം x 2 = 11 ഉം ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി

ഉത്തരത്തിൽ x = 11 എന്ന് എഴുതുന്നത് അനുവദനീയമാണ്.

ഉത്തരം: x = 11

ഉദാഹരണം 3: തീരുമാനിക്കുക x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ പരിഹാരമില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരമില്ല

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്!

ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ലഭിക്കുമ്പോൾ കേസിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ഇവിടെ സംസാരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും അറിയാമോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ? എന്തുകൊണ്ടാണ്, എവിടെയാണ് അവ ഉണ്ടായത്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവരുടെ നിർദ്ദിഷ്ട പങ്കും ആവശ്യകതയും എന്താണെന്നും ഞാൻ ഇവിടെ വിശദമായി പറയുന്നില്ല; ഇത് ഒരു വലിയ പ്രത്യേക ലേഖനത്തിനുള്ള വിഷയമാണ്.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആശയം.

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z എന്നത് ഫോമിന്റെ ഒരു സംഖ്യയാണ്

z = a + bi

a, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, i സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

a+bi – ഇതൊരു സിംഗിൾ നമ്പറാണ്, ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കലല്ല.

സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് മൈനസ് ഒന്നിന്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്:

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ട് സംയോജിത വേരുകൾ ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

നമുക്ക് പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം, ഇത് "ബി" അല്ലെങ്കിൽ "സി" എന്ന ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). യാതൊരു വിവേചനവുമില്ലാതെ അവ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും.

കേസ് 1. ഗുണകം b = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:

ഉദാഹരണം:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

കേസ് 2. ഗുണകം c = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം:

*ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

കേസ് 3. ഗുണകങ്ങൾ b = 0, c = 0.

സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം എപ്പോഴും x = 0 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്.

ഗുണകങ്ങളുടെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഗുണങ്ങളും പാറ്റേണുകളും.

വലിയ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്.

എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ + ബി+ സി = 0,അത്

- സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾക്കാണെങ്കിൽ എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ+ സി =ബി, അത്

ഈ ഗുണങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക തരം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, അതായത്

ഉദാഹരണം 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എ+ സി =ബി, അർത്ഥമാക്കുന്നത്

ഗുണകങ്ങളുടെ ക്രമങ്ങൾ.

1. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, "c" എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

ഉദാഹരണം. 6x 2 + 37x + 6 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, “c” എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 15x 2 –226x +15 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. സമനിലയിലാണെങ്കിൽ. ax 2 + bx - c = 0 ഗുണകം "b" തുല്യമാണ് (a 2 - 1), കോഫിഫിഷ്യന്റ് "സി" സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ അതിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 17x 2 +288x – 17 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. ax 2 – bx – c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 – 1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, c ഗുണകം “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

ഉദാഹരണം. 10x 2 – 99x –10 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്കോയിസ് വിയറ്റയുടെ പേരിലാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അറിയപ്പെടുന്നത്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ KU-യുടെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

മൊത്തത്തിൽ, 14 എന്ന സംഖ്യ 5 ഉം 9 ഉം മാത്രം നൽകുന്നു. ഇവ വേരുകളാണ്. ഒരു പ്രത്യേക വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഉപയോഗിച്ച്, അവതരിപ്പിച്ച സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാമൊഴിയായി ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം, കൂടാതെ. പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം സൗകര്യപ്രദമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകൾ സാധാരണ രീതിയിൽ പരിശോധിക്കാം (ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ). ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഗതാഗത രീതി

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, "എ" എന്ന ഗുണകം സ്വതന്ത്ര പദത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു, അതിലേക്ക് "എറിഞ്ഞത്" പോലെയാണ്, അതിനാലാണ് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത്. "കൈമാറ്റം" രീതി.വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമ്പോൾ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, വിവേചനം ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ എ± ബി+സി≠ 0, തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫർ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

2എക്സ് 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => എക്സ് 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

സമവാക്യത്തിൽ (2) വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, x 1 = 10 x 2 = 1 എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഫലമായ വേരുകൾ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കണം (രണ്ടും x 2 ൽ നിന്ന് "എറിഞ്ഞത്"), നമുക്ക് ലഭിക്കും

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

എന്താണ് യുക്തി? എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കൂ.

സമവാക്യങ്ങളുടെ (1), (2) വിവേചനങ്ങൾ തുല്യമാണ്:

നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ, ഫലം കൃത്യമായി x 2 ന്റെ ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തേതിന് (പരിഷ്കരിച്ചത്) 2 മടങ്ങ് വലിയ വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫലം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

*മൂന്ന് റീറോൾ ചെയ്താൽ, ഫലം 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

ഉത്തരം: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ചതുരശ്ര. ur-ie, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ.

അതിന്റെ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് സംക്ഷിപ്തമായി പറയും - നിങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിലും ചിന്തിക്കാതെയും തീരുമാനിക്കാൻ കഴിയണം, വേരുകളുടെയും വിവേചനങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള പല പ്രശ്‌നങ്ങളും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു (ജ്യാമിതീയവും ഉൾപ്പെടുന്നു).

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം!

1. ഒരു സമവാക്യം എഴുതുന്നതിന്റെ രൂപം "വ്യക്തമായത്" ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി സാധ്യമാണ്:

15+ 9x 2 - 45x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 15x+42+9x 2 - 45x=0 അല്ലെങ്കിൽ 15 -5x+10x 2 = 0.

നിങ്ങൾ അവനെ കൊണ്ടുവരണം സാധാരണ കാഴ്ച(തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ).

2. x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാത അളവാണെന്നും അത് മറ്റേതെങ്കിലും അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കാമെന്നും ഓർക്കുക - t, q, p, h എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നോക്കും.

എന്നാൽ ആദ്യം, ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ചില സംഖ്യകളാണ്, a ≠ 0 എന്നിവയെ വിളിക്കുന്നു. സമചതുരം Samachathuram. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, x 2 ന്റെ ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലുണ്ട്:

1) b = 0, c ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, കോടാലി 2 + c = 0;

2) b ≠ 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 = 0.

• എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + c = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സി എന്ന സ്വതന്ത്ര പദം സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

കോടാലി 2 = ‒s. a ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് x 2 = ‒c/a.

‒с/а > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്

x = ±√(–c/a) .

എങ്കിൽ ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1 = - 4, x 2 = 4.

ഉദാഹരണം 2. 2x 2 + 8 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

• അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

ax 2 + bx = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നമുക്ക് അതിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുക്കുക, നമുക്ക് x(ax + b) = 0 ലഭിക്കും. കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിലേക്ക്. അപ്പോൾ ഒന്നുകിൽ x = 0, അല്ലെങ്കിൽ ax + b = 0. ax + b = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ax = - b, എവിടെ നിന്ന് x = - b/a ലഭിക്കും. ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിന് എപ്പോഴും x 1 = 0, x 2 = ‒ b/a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഡയഗ്രാമിൽ എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് കാണുക.

ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മുടെ അറിവ് ഏകീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3. 3x 2 - 12x = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 അല്ലെങ്കിൽ 3x – 12 = 0

ഉത്തരം: x 1 = 0, x 2 = 4.

• മൂന്നാമത്തെ തരം കോടാലി 2 = 0 ന്റെ സമവാക്യങ്ങൾവളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കോടാലി 2 = 0 ആണെങ്കിൽ, x 2 = 0. സമവാക്യത്തിന് x 1 = 0, x 2 = 0 എന്നീ രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ട്.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഡയഗ്രം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 4 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. 7x 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1, 2 = 0.

ഏത് തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും പെട്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശവും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, അതായത് 30 കൊണ്ട്

നമുക്ക് വെട്ടിമാറ്റാം

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

സമാനമായി നൽകാം

നമുക്ക് 99 സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലത്തോട്ട് നീക്കാം, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റാം

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കി. അത്തരം ജോലികളിൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വിജയിക്കും.

ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, എന്റെ പാഠങ്ങൾക്കായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക, ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ട്രൈനോമിയലിന് \(3x^2+2x-7\), വിവേചനം \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\) എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കും. കൂടാതെ ത്രിപദത്തിന് \(x^2-5x+11\), ഇത് \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\) തുല്യമായിരിക്കും.

വിവേചനം \(D\) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് പലപ്പോഴും പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൂടാതെ, വിവേചനം കാണിക്കുന്നയാളുടെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, ഗ്രാഫ് ഏകദേശം എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും (ചുവടെ കാണുക).

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനവും വേരുകളും

വിവേചന മൂല്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കാണിക്കുന്നു:
- \(D\) പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും;
- \(D\) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ - ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ;
- \(D\) നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇല്ല.

ഇത് പഠിപ്പിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, വിവേചനക്കാരിൽ നിന്ന് (അതായത് \(\sqrt(D)\) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്ന് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് അത്തരമൊരു നിഗമനത്തിലെത്താൻ പ്രയാസമില്ല. സമവാക്യം: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) കൂടാതെ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) ഓരോ കേസും കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിന്റെ റൂട്ട് ചില പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്, അതായത് \(x_(1)\) കൂടാതെ \(x_(2)\) എന്നിവയ്ക്ക് വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങളുണ്ടാകും, കാരണം ആദ്യ ഫോർമുലയിൽ \(\sqrt(D)\ ) ചേർക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ അത് കുറയ്ക്കുന്നു. കൂടാതെ നമുക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

ഉദാഹരണം : സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക \(x^2+2x-3=0\)
പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ

വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടാകും? നമുക്ക് ന്യായവാദം ചെയ്യാം.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ഒപ്പം \(x_(2)=\)\(\frac(-- b- \sqrt(D))(2a)\) . വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ മൂലവും പൂജ്യമാണ്. അപ്പോൾ അത് മാറുന്നു:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും, കാരണം പൂജ്യം കൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് ഒന്നും മാറ്റില്ല.

ഉദാഹരണം : സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക \(x^2-4x+4=0\)
പരിഹാരം :

\(x^2-4x+4=0\)		ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുന്നു:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		\(D=b^2-4ac\) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		ഞങ്ങൾക്ക് സമാനമായ രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ അവ വെവ്വേറെ എഴുതുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല - ഞങ്ങൾ അവ ഒന്നായി എഴുതുന്നു.

ഉത്തരം : \(x=2\)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങളും പഠിക്കുന്നു സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസർവകലാശാലകളിലും. അവർ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a*x^2 + b*x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളെയാണ് x-വേരിയബിൾ, എ, ബി, സി - സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ; എ<>0 . സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ (വേരുകൾ) അബ്സിസ്സ (x) അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകളാണ്. സാധ്യമായ മൂന്ന് കേസുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:
1) പരവലയത്തിന് abscissa അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളൊന്നുമില്ല. ഇതിനർത്ഥം മുകളിലെ തലത്തിൽ ശാഖകൾ മുകളിലോ താഴെ ശാഖകളോ ഉള്ളതാണ്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല (ഇതിന് രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്).

2) പരവലയത്തിന് കാള അച്ചുതണ്ടുമായി ഒരു പോയിന്റ് വിഭജനമുണ്ട്. അത്തരമൊരു പോയിന്റിനെ പരവലയത്തിന്റെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അല്ലെങ്കിൽ കൂടിയ മൂല്യം നേടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് സമാന വേരുകൾ) ഉണ്ട്.

3) അവസാന കേസ് പ്രായോഗികമായി കൂടുതൽ രസകരമാണ് - അബ്സിസ്സ അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിന്റെ വിഭജനത്തിന്റെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ഉണ്ട്. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

വേരിയബിളുകളുടെ ശക്തികളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പരവലയത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ച് രസകരമായ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.

1) ഗുണകം a പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരവലയത്തിന്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു; അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നു.

2) കോഫിഫിഷ്യന്റ് ബി പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശീർഷകം ഇടത് അർദ്ധ തലത്തിലാണ്, അത് നെഗറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, വലതുവശത്ത്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സ്ഥിരാങ്കം മാറ്റാം

തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും

ഇരുവശങ്ങളും 4a കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

ഇടത്തേക്ക് പോകാൻ തികഞ്ഞ ചതുരംരണ്ട് വശങ്ങളിലേക്കും b^2 ചേർത്ത് പരിവർത്തനം നടത്തുക

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനത്തിനും വേരുകൾക്കുമുള്ള ഫോർമുല

വിവേചനം എന്നത് സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്, അത് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് (രണ്ട് ഏകീകൃത വേരുകൾ), അത് D = 0 എന്നതിനായുള്ള മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. നെഗറ്റീവ് വിവേചനംയഥാർത്ഥ റൂട്ട് സമവാക്യങ്ങളൊന്നുമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ സങ്കീർണ്ണമായ തലത്തിൽ കാണപ്പെടുന്നു, അവയുടെ മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ പരിഗണിക്കുകയും അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം തന്നെ നൊട്ടേഷനിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ പിന്തുടരുന്നു: നമുക്ക് ഫോമിന്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ അപ്പോൾ അതിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക അതിൽ നിന്ന് എടുത്ത ഗുണകമായ p ന് തുല്യമാണ് വിപരീത ചിഹ്നം, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഗുണനം q എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ക്ലാസിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ a പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ മുഴുവൻ സമവാക്യവും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക.

ഫാക്‌ടറിംഗ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ ഷെഡ്യൂൾ

ചുമതല സജ്ജീകരിക്കട്ടെ: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഘടകം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു (വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക). അടുത്തതായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിപുലീകരണ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ പ്രശ്നങ്ങൾ

ടാസ്ക് 1. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

x^2-26x+120=0 .

പരിഹാരം: ഗുണകങ്ങൾ എഴുതി അവയെ വിവേചന ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റുക

ഈ മൂല്യത്തിന്റെ റൂട്ട് 14 ആണ്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പതിവ് ഉപയോഗത്തോടെ ഓർമ്മിക്കുക, എന്നിരുന്നാലും, സൗകര്യാർത്ഥം, ലേഖനത്തിന്റെ അവസാനം ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് നൽകും. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ.
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

നമുക്കും കിട്ടും

ടാസ്ക് 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

2x 2 +x-3=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്, ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക


എഴുതിയത് അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ടാസ്ക് 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

9x 2 -12x+4=0.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ട്. വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

വേരുകൾ ഒത്തുപോകുന്ന ഒരു കേസ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക

ടാസ്ക് 4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

x^2+x-6=0 .

പരിഹാരം: x ന് ചെറിയ ഗുണകങ്ങൾ ഉള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. അതിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും

രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നം -6 ന് തുല്യമായിരിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാധ്യമായ ജോഡി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (-3;2), (3;-2) . ആദ്യ വ്യവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ജോഡി പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിരസിക്കുന്നു.
സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

പ്രശ്നം 5. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് 18 സെന്റിമീറ്ററും അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 77 സെ.മീ 2 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ പകുതി ചുറ്റളവ് അതിന്റെ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് x നെ വലിയ വശമായി സൂചിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് 18-x അതിന്റെ ചെറിയ വശമാണ്. ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഈ ദൈർഘ്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:
x(18-x)=77;
അഥവാ
x 2 -18x+77=0.
സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്താം

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നു

എങ്കിൽ x=11,അത് 18's=7 ,വിപരീതവും ശരിയാണ് (x=7 എങ്കിൽ, 21's=9).

പ്രശ്നം 6. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 10x 2 -11x+3=0 ഫാക്ടർ ചെയ്യുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് നമ്മൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി കണക്കാക്കുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം വേരുകളാൽ വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഐഡന്റിറ്റി ലഭിക്കും.

പരാമീറ്ററുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം

ഉദാഹരണം 1. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: a=3 മൂല്യത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ അതിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് നമുക്ക് കാണാം. അടുത്തതായി, ഒരു പൂജ്യം വിവേചനത്തോടെ സമവാക്യത്തിന് ഗുണിതം 2 ന്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് വിവേചനം എഴുതാം

നമുക്ക് ഇത് ലളിതമാക്കി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം

പരാമീറ്ററുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതിന്റെ പരിഹാരം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 12 ആണ്. ലളിതമായ തിരയലിലൂടെ, 3,4 അക്കങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ തുടക്കത്തിൽ a=3 എന്ന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നിരസിച്ചതിനാൽ, ശരിയായത് ഇതായിരിക്കും - a=4.അങ്ങനെ, a=4 ന് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളിൽ എ,സമവാക്യം a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടോ?

പരിഹാരം: നമുക്ക് ആദ്യം ഏകവചന പോയിന്റുകൾ പരിഗണിക്കാം, അവ a=0, a=-3 എന്നീ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കും. a=0 ആകുമ്പോൾ, സമവാക്യം 6x-9=0 രൂപത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കും; x=3/2, ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടാകും. a= -3 ന് നമുക്ക് 0=0 എന്ന ഐഡന്റിറ്റി ലഭിക്കും.
നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം

പോസിറ്റീവ് ആയ ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

ആദ്യ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു>3 ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തേതിന്, സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനവും വേരുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു


ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഇടവേളകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. പോയിന്റ് a=0 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കും 3>0 . അതിനാൽ, ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് (-3;1/3) പ്രവർത്തനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. കാര്യം മറക്കരുത് a=0,കാരണം അത് ഒഴിവാക്കണം യഥാർത്ഥ സമവാക്യംഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.
തൽഫലമായി, പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് ഇടവേളകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പ്രായോഗികമായി സമാനമായ നിരവധി ജോലികൾ ഉണ്ടാകും, ചുമതലകൾ സ്വയം കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പരസ്പരവിരുദ്ധമായ വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കാൻ മറക്കരുത്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നന്നായി പഠിക്കുക; വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളിലും ശാസ്ത്രങ്ങളിലും കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് അവ പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പോലെയുള്ള വിവേചനം എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെയും വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന രീതിയും വിവേചനപരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ വിദ്യാഭ്യാസത്തിലെ പല കാര്യങ്ങളും പോലെ സ്കൂൾ കുട്ടികളെ പഠിപ്പിക്കുന്നത് പരാജയപ്പെട്ടു. അതിനാൽ അവർ കടന്നുപോകുന്നു സ്കൂൾ വർഷങ്ങൾ, 9-11 ഗ്രേഡുകളിലെ വിദ്യാഭ്യാസം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു " ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസം"എല്ലാവരും വീണ്ടും നോക്കുന്നു - "ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?", "സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?", "വിവേചനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?" ഒപ്പം...

വിവേചന സൂത്രവാക്യം

a*x^2+bx+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനപരമായ D, D=b^2–4*a*c ന് തുല്യമാണ്.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ (പരിഹാരങ്ങൾ) വിവേചനത്തിന്റെ (D) ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:
D>0 - സമവാക്യത്തിന് 2 വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്;
D=0 - സമവാക്യത്തിന് 1 റൂട്ട് ഉണ്ട് (2 പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വേരുകൾ):
ഡി<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല വളരെ ലളിതമാണ്, അതിനാൽ പല വെബ്‌സൈറ്റുകളും ഒരു ഓൺലൈൻ വിവേചന കാൽക്കുലേറ്റർ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ല, അതിനാൽ ഇത് എങ്ങനെ നടപ്പിലാക്കണമെന്ന് ആർക്കെങ്കിലും അറിയാമെങ്കിൽ, ദയവായി ഞങ്ങൾക്ക് ഇമെയിൽ വഴി എഴുതുക ഈ ഇമെയിൽ വിലാസം സ്പാംബോട്ടുകളിൽ നിന്ന് സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത് കാണുന്നതിന് നിങ്ങൾ JavaScript പ്രാപ്തമാക്കിയിരിക്കണം. .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പൊതു സൂത്രവാക്യം:

സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകം ജോടിയാക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിവേചനമല്ല, അതിന്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം കണക്കാക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.
അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു

വേരുകൾ കണ്ടെത്താനുള്ള രണ്ടാമത്തെ മാർഗ്ഗം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമല്ല, പോളിനോമിയലുകൾക്കും സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വിക്കിപീഡിയയിലോ മറ്റ് ഇലക്ട്രോണിക് ഉറവിടങ്ങളിലോ വായിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ലളിതമാക്കുന്നതിന്, മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ, അതായത്, ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങളെ (a=1) സംബന്ധിക്കുന്ന ഭാഗം പരിഗണിക്കാം.
വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ സാരം, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക, വിപരീത ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുത്ത വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതാണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഫോർമുലകളിൽ എഴുതാം.
വിയറ്റയുടെ ഫോർമുലയുടെ ഉത്ഭവം വളരെ ലളിതമാണ്. ലളിതമായ ഘടകങ്ങളിലൂടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതാം
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സമർത്ഥമായ എല്ലാം ഒരേ സമയം ലളിതമാണ്. വേരുകളുടെ മോഡുലസിലെ വ്യത്യാസമോ വേരുകളുടെ മൊഡ്യൂളിലെ വ്യത്യാസമോ 1, 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ വിയറ്റയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഫലപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വേരുകളുണ്ട്.




സമവാക്യം 4 വരെ, വിശകലനം ഇതുപോലെ ആയിരിക്കണം. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഗുണനം 6 ആണ്, അതിനാൽ വേരുകൾ (1, 6), (2, 3) എന്നീ മൂല്യങ്ങളോ വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളുള്ള ജോഡികളോ ആകാം. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ് (വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകം). ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ x=2 ആണെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു; x=3.
വിയറ്റ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിറവേറ്റുന്നതിനായി അവയുടെ ചിഹ്നം ക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട് സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ വിഭജനങ്ങൾക്കിടയിൽ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ആദ്യം, ഇത് ചെയ്യാൻ പ്രയാസമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ പരിശീലിക്കുന്നതിലൂടെ, വിവേചനാധികാരം കണക്കാക്കുന്നതിനേക്കാളും ക്ലാസിക്കൽ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനേക്കാളും ഈ സാങ്കേതികവിദ്യ കൂടുതൽ ഫലപ്രദമാകും.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള വിവേചനവും രീതികളും പഠിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ സിദ്ധാന്തത്തിന് പ്രായോഗിക അർത്ഥമില്ല - "സ്‌കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് എന്തുകൊണ്ട് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ആവശ്യമാണ്?", "വിവേചനത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം എന്താണ്?"

നമുക്ക് അത് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം വിവേചനക്കാരൻ എന്താണ് വിവരിക്കുന്നത്?

ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ അവർ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പഠിക്കുന്നതിനും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുമുള്ള സ്കീമുകൾ എന്നിവ പഠിക്കുന്നു. എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളിലും, പരവലയത്തിന് ഒരു പ്രധാന സ്ഥാനമുണ്ട്, അതിന്റെ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതാം
അതിനാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം പരവലയത്തിന്റെ പൂജ്യങ്ങളാണ്, അതായത്, അബ്‌സിസ്സ ആക്‌സിസ് ഓക്സുമായി ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ
താഴെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന പരാബോളകളുടെ സവിശേഷതകൾ ഓർമ്മിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പരീക്ഷകളോ പരീക്ഷകളോ പ്രവേശന പരീക്ഷകളോ എടുക്കാനുള്ള സമയം വരും, റഫറൻസ് മെറ്റീരിയലിന് നിങ്ങൾ നന്ദിയുള്ളവരായിരിക്കും. സ്ക്വയർ വേരിയബിളിന്റെ അടയാളം ഗ്രാഫിലെ പരവലയത്തിന്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് പോകുമോ എന്നതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു (a>0),

അല്ലെങ്കിൽ ശാഖകളുള്ള ഒരു പരവലയം (a<0) .

പരവലയത്തിന്റെ ശീർഷകം വേരുകൾക്കിടയിൽ നടുവിലാണ്

വിവേചനക്കാരന്റെ ഭൗതിക അർത്ഥം:

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ (D>0) പരവലയത്തിന് ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടുമായി രണ്ട് കവലകൾ ഉണ്ട്.
വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ (D=0) ശീർഷത്തിലെ പരവലയം x-അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
അവസാന കേസ്, വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമ്പോൾ (ഡി<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ