ഒരു സമവാക്യത്തിൽ പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം. വിഷയം: സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ബിസി അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, പുരാതന ഗ്രീക്ക് തത്ത്വചിന്തകനായ എലിയയിലെ സെനോ തന്റെ പ്രശസ്തമായ അപ്പോറിയകൾ രൂപപ്പെടുത്തി, അതിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത് "അക്കില്ലസും ആമയും" അപ്പോറിയയാണ്. ഇത് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് ഇതാ:

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം ചുവടുകൾ പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ ദൂരം ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു, അങ്ങനെ. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഹിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയയെ പരിഗണിച്ചു. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " വിരോധാഭാസങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിൽ എത്തിച്ചേരാനുള്ള ചർച്ചകൾ ഇന്നും തുടരുന്നു ശാസ്ത്ര സമൂഹംഇതുവരെ അത് സാധ്യമായിട്ടില്ല... ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ പഠനത്തിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നു ഗണിത വിശകലനം, സെറ്റ് സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, സെനോ തന്റെ അപ്പോറിയയിൽ അളവിൽ നിന്ന് എന്നതിലേക്കുള്ള മാറ്റം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരമായവയ്ക്ക് പകരം പ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിന്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തി പ്രയോഗിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ നിഷ്ക്രിയത്വം കാരണം, പരസ്പര മൂല്യത്തിന് സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഭൗതിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ ഇത് പൂർണ്ണമായും നിർത്തുന്നത് വരെ സമയം മന്ദഗതിയിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ നമ്മുടെ പതിവ് യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് കൂടെ ഓടുന്നു സ്ഥിരമായ വേഗത. അവന്റെ പാതയുടെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ സെഗ്‌മെന്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ “അനന്തം” എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, “അക്കില്ലസ് ആമയെ അനന്തമായി വേഗത്തിൽ പിടിക്കും” എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയാണ്.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിന്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, പരസ്പര യൂണിറ്റുകളിലേക്ക് മാറരുത്. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായ അടുത്ത ഇടവേളയിൽ, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറോളം പടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അങ്ങനെയല്ല പൂർണ്ണമായ പരിഹാരംപ്രശ്നങ്ങൾ. പ്രകാശവേഗത്തിന്റെ അപ്രതിരോധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീന്റെ പ്രസ്താവന സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ആമ" യുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്നം നമ്മൾ ഇനിയും പഠിക്കുകയും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ രസകരമായ മറ്റൊരു അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അസ്ത്രം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും ഒരു പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിന്റെ വിവിധ പോയിന്റുകളിൽ നിശ്ചലമാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ മറ്റൊരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിന്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ചലനത്തിന്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാർ നീങ്ങുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിന്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമയത്ത് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചലനത്തിന്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ). ഞാൻ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിന്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ ഗവേഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് കാണാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധ യുക്തികൾ യുക്തിസഹമായ ജീവികൾ ഒരിക്കലും മനസ്സിലാക്കുകയില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിയില്ലാത്ത, സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും നിലവാരമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിന്റെ പരീക്ഷണ വേളയിൽ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിലിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തന്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ മറഞ്ഞാലും, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. ബാധകമാണ് ഗണിത സിദ്ധാന്തംഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ സജ്ജമാക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ കണക്ക് നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നൽകി ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ ഇരിക്കുകയാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തന്റെ പണത്തിനായി ഞങ്ങളുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ തുകയും അവനു കണക്കാക്കി വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിന്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവന്റെ "ഗണിത ശമ്പളത്തിന്റെ സെറ്റ്" നൽകുന്നു. സമാന മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്ന ബില്ലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിക്കൂ എന്ന് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനോട് വിശദീകരിക്കാം. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് ബാധകമാക്കാം, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" അപ്പോൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലുള്ള ബില്ലുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബിൽ നമ്പറുകളുണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതായത് അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, നമുക്ക് ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഭ്രാന്തമായി ഓർക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള അഴുക്കുകൾ ഉണ്ട്, ആറ്റങ്ങളുടെ ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ക്രമീകരണവും ഓരോ നാണയത്തിനും അദ്വിതീയമാണ് ...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും രസകരമായ ഒരു ചോദ്യമുണ്ട്: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും എന്നതിനപ്പുറം ലൈൻ എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു വരി നിലവിലില്ല - എല്ലാം ജമാന്മാരാണ് തീരുമാനിക്കുന്നത്, ശാസ്ത്രം ഇവിടെ കള്ളം പറയാൻ പോലും അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയയിൽ. വയലുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് - അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ നോക്കിയാൽ നമുക്ക് പലതും ലഭിക്കും, കാരണം പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ കൂട്ടം ഘടകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. ഏതാണ് ശരി? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷാർപിസ്റ്റ് തന്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ട്രംപിന്റെ ഒരു ഏസ് പുറത്തെടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു ടാംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതുകൊണ്ടാണ് അവർ ജമാന്മാർ, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന പേജ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: “ഏത് സംഖ്യയെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.” ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യുമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ നമ്പർ ചിഹ്നമാക്കി മാറ്റി. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയ നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാർ പഠിപ്പിക്കുന്ന "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകാൽക്കുലസിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യ 12345 എന്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 നോക്കാം. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഞങ്ങൾ ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഓരോ ഘട്ടവും നോക്കില്ല; ഞങ്ങൾ അത് ഇതിനകം ചെയ്തുകഴിഞ്ഞു. ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെന്റിമീറ്ററിലും നിർണ്ണയിച്ചതിന് സമാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ചോദ്യം: ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്ത ഒന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അനുവദിക്കില്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിന്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്‌ത യൂണിറ്റുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ താരതമ്യപ്പെടുത്തിയ ശേഷം വ്യത്യസ്‌ത ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഫലം, സംഖ്യയുടെ വലിപ്പം, ഉപയോഗിച്ച അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ്, ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നവർ എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

വാതിലിൽ ഒപ്പിടുക അവൻ വാതിൽ തുറന്ന് പറയുന്നു:

ഓ! ഇത് സ്ത്രീകളുടെ വിശ്രമമുറിയല്ലേ?
- യുവതി! സ്വർഗ്ഗാരോഹണ വേളയിൽ ആത്മാക്കളുടെ അവിഭാജ്യമായ വിശുദ്ധിയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിനുള്ള ഒരു പരീക്ഷണശാലയാണിത്! മുകളിൽ ഹാലോ, അമ്പടയാളം. വേറെ ഏത് ടോയ്‌ലറ്റ്?

സ്ത്രീ... മുകളിലെ പ്രഭാവലയവും താഴേക്കുള്ള അമ്പും പുരുഷനാണ്.

അത്തരമൊരു ഡിസൈൻ ആർട്ട് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിൽ ദിവസത്തിൽ പല തവണ മിന്നിമറയുന്നുവെങ്കിൽ,

നിങ്ങളുടെ കാറിൽ പെട്ടെന്ന് ഒരു വിചിത്ര ഐക്കൺ കണ്ടെത്തിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല:

വ്യക്തിപരമായി, മലമൂത്രവിസർജ്ജനം നടത്തുന്ന ഒരാളിൽ മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി കാണാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കുന്നു (ഒരു ചിത്രം) (നിരവധി ചിത്രങ്ങളുടെ ഒരു രചന: ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം, നമ്പർ നാല്, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പദവി). പിന്നെ ഈ പെൺകുട്ടി ഫിസിക്‌സ് അറിയാത്ത ഒരു വിഡ്ഢിയാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നില്ല. ഗ്രാഫിക് ഇമേജുകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു സ്റ്റീരിയോടൈപ്പ് അവൾക്കുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു. ഇതാ ഒരു ഉദാഹരണം.

1A എന്നത് "മൈനസ് നാല് ഡിഗ്രി" അല്ലെങ്കിൽ "വൺ എ" അല്ല. ഇതാണ് "പൂപ്പിംഗ് മാൻ" അല്ലെങ്കിൽ ഹെക്സാഡെസിമൽ നൊട്ടേഷനിൽ "ഇരുപത്തിയാറ്" എന്ന സംഖ്യ. ഈ നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൽ നിരന്തരം പ്രവർത്തിക്കുന്ന ആളുകൾ ഒരു സംഖ്യയും അക്ഷരവും ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നമായി യാന്ത്രികമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.

ഈ വീഡിയോയിൽ, ഒരേ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു കൂട്ടം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - അതിനാലാണ് അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

ആദ്യം, നമുക്ക് നിർവചിക്കാം: എന്താണ് രേഖീയ സമവാക്യംഅവയിൽ ഏതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായത്?

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം, അതിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, ആദ്യ ഡിഗ്രി വരെ മാത്രം.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിർമ്മാണം:

മറ്റെല്ലാ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

1. പരാൻതീസിസുകളുണ്ടെങ്കിൽ വികസിപ്പിക്കുക;
2. വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ പദങ്ങൾ തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഒരു വശത്തേക്കും വേരിയബിളില്ലാത്ത നിബന്ധനകൾ മറ്റൊന്നിലേക്കും നീക്കുക;
3. തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടത്തും വലത്തും സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക;
4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ $x$ എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

തീർച്ചയായും, ഈ അൽഗോരിതം എല്ലായ്പ്പോഴും സഹായിക്കില്ല. ചിലപ്പോൾ ഈ കുതന്ത്രങ്ങൾക്കെല്ലാം ശേഷം $x$ വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി മാറുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്:

1. സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, $0\cdot x=8$ പോലെയുള്ള ഒന്ന് മാറുമ്പോൾ, അതായത്. ഇടതുവശത്ത് പൂജ്യം, വലതുവശത്ത് പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യ. ഈ സാഹചര്യം സാധ്യമാകുന്നതിനുള്ള നിരവധി കാരണങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള വീഡിയോയിൽ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും.
2. എല്ലാ സംഖ്യകളുമാണ് പരിഹാരം. സമവാക്യം $0\cdot x=0$ എന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയാൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. നമ്മൾ എന്ത് $x$ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും അത് "പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്" എന്നത് തികച്ചും യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്. ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇതെല്ലാം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നോക്കാം.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇന്ന് നമ്മൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഏറ്റവും ലളിതമായവ മാത്രം. പൊതുവേ, ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് കൃത്യമായ ഒരു വേരിയബിൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏതെങ്കിലും തുല്യതയാണ്, അത് ആദ്യ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് മാത്രം പോകുന്നു.

അത്തരം നിർമ്മാണങ്ങൾ ഏകദേശം ഒരേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

1. ഒന്നാമതായി, പരാൻതീസിസുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ (ഞങ്ങളുടെ അവസാന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) നിങ്ങൾ വിപുലീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്;
2. എന്നിട്ട് സമാനമായി യോജിപ്പിക്കുക
3. അവസാനമായി, വേരിയബിളിനെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുക, അതായത്. വേരിയബിളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാം - അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദങ്ങൾ - ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുക, കൂടാതെ ബാക്കിയുള്ളതെല്ലാം മറുവശത്തേക്ക് നീക്കുക.

അപ്പോൾ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിന്റെ ഓരോ വശത്തും നിങ്ങൾ സമാനമായവ നൽകേണ്ടതുണ്ട്, അതിനുശേഷം "x" ന്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിക്കും.

സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഇത് മനോഹരവും ലളിതവുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, പരിചയസമ്പന്നരായ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും വളരെ ലളിതമായി കുറ്റകരമായ തെറ്റുകൾ വരുത്താൻ കഴിയും. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ. സാധാരണയായി, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോഴോ "പ്ലസുകൾ", "മൈനസുകൾ" എന്നിവ കണക്കാക്കുമ്പോഴോ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു.

കൂടാതെ, ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരം മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത്. ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ ഈ സൂക്ഷ്മതകൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും ലളിതമായ ജോലികൾ.

ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം

ആദ്യം, ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ സ്കീമും ഒരിക്കൽ കൂടി എഴുതട്ടെ:

1. എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.
2. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു, അതായത്. "എക്സ്" അടങ്ങിയ എല്ലാം ഞങ്ങൾ ഒരു വശത്തേക്കും "എക്സ്" ഇല്ലാത്തതെല്ലാം മറ്റൊന്നിലേക്കും നീക്കുന്നു.
3. ഞങ്ങൾ സമാന നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
4. നമ്മൾ എല്ലാം "x" എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

തീർച്ചയായും, ഈ സ്കീം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കില്ല; അതിൽ ചില സൂക്ഷ്മതകളും തന്ത്രങ്ങളും ഉണ്ട്, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവ അറിയും.

ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ അവ ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇല്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കുന്നു. രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് വ്യക്തിഗത നിബന്ധനകളെക്കുറിച്ചാണ്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ഇടതും വലതും സമാന പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ഇതിനകം ഇവിടെ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു: ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ നമുക്ക് പരാൻതീസിസുകൾ കാണാൻ കഴിയും, അതിനാൽ നമുക്ക് അവ വികസിപ്പിക്കാം:

ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഞങ്ങൾ ഏകദേശം ഒരേ ഡിസൈൻ കാണുന്നു, എന്നാൽ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാം, അതായത്. വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

ഏത് വേരിലാണ് ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്? ഉത്തരം: ഏതിനും. അതിനാൽ, നമുക്ക് $x$ എന്നത് ഏത് സംഖ്യയാണെന്ന് എഴുതാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3

മൂന്നാമത്തെ രേഖീയ സമവാക്യം കൂടുതൽ രസകരമാണ്:

\[\ഇടത്(6-x \വലത്)+\ഇടത്(12+x \വലത്)-\ഇടത്(3-2x \വലത്)=15\]

ഇവിടെ നിരവധി ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉണ്ട്, പക്ഷേ അവ ഒന്നും കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിട്ടില്ല, അവയ്ക്ക് മുമ്പായി വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളാണുള്ളത്. നമുക്ക് അവയെ തകർക്കാം:

ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

നമുക്ക് കണക്ക് ചെയ്യാം:

ഞങ്ങൾ അവസാന ഘട്ടം നടപ്പിലാക്കുന്നു - എല്ലാം "x" ന്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഓർക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ

വളരെ ലളിതമായ ജോലികൾ ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

• ഞാൻ മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, എല്ലാ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഒരു പരിഹാരമില്ല - ചിലപ്പോൾ വേരുകളില്ല;
• വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ പോലും, അവയിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടാകാം - അതിൽ തെറ്റൊന്നുമില്ല.

പൂജ്യം മറ്റുള്ളവയുടെ അതേ സംഖ്യയാണ്; നിങ്ങൾ അതിനോട് ഒരു തരത്തിലും വിവേചനം കാണിക്കരുത് അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചാൽ നിങ്ങൾ എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ചെയ്തുവെന്ന് കരുതരുത്.

മറ്റൊരു സവിശേഷത ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ തുറക്കലുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അവരുടെ മുന്നിൽ ഒരു "മൈനസ്" ഉള്ളപ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അത് നീക്കംചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ പരാൻതീസിസിൽ ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു എതിർവശത്ത്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് തുറക്കാൻ കഴിയും: മുകളിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നമ്മൾ കണ്ടത് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ ലളിതമായ വസ്‌തുത മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഹൈസ്‌കൂളിൽ മണ്ടത്തരവും ഉപദ്രവകരവുമായ തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ സഹായിക്കും, അത്തരം കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത് നിസ്സാരമായി കാണപ്പെടും.

സങ്കീർണ്ണമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. ഇപ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാകും, വിവിധ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ ദൃശ്യമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല, കാരണം, രചയിതാവിന്റെ പദ്ധതി അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിവർത്തന പ്രക്രിയയിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയ എല്ലാ മോണോമിയലുകളും തീർച്ചയായും റദ്ദാക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

വ്യക്തമായും, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി. നമുക്ക് ഇത് വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചെയ്യാം:

ഇനി നമുക്ക് സ്വകാര്യത നോക്കാം:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഉത്തരത്തിൽ എഴുതാം:

\[\varno\]

അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

ഞങ്ങൾ സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു. ആദ്യത്തെ പടി:

നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാം ഇടത്തോട്ടും അതില്ലാതെ - വലത്തോട്ടും നീക്കാം:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

വ്യക്തമായും, ഈ രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

\[\വർണ്ണമില്ല\],

അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

പരിഹാരത്തിന്റെ സൂക്ഷ്മതകൾ

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചു. ഈ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉദാഹരണമായി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിൽ പോലും എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ബോധ്യപ്പെട്ടു: ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ നിരവധി വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു, രണ്ടിനും വേരുകളില്ല.

എന്നാൽ മറ്റൊരു വസ്തുതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: പരാൻതീസിസുകളിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണം, അവയ്ക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ എങ്ങനെ തുറക്കണം. ഈ പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക:

തുറക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ എല്ലാം "X" കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഗുണിക്കുന്നു ഓരോ വ്യക്തിഗത പദവും. ഉള്ളിൽ രണ്ട് പദങ്ങളുണ്ട് - യഥാക്രമം, രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിച്ചതും.

പ്രാഥമികമായി തോന്നുന്ന, എന്നാൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും അപകടകരവുമായ ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ പൂർത്തിയായതിനുശേഷം മാത്രമേ, അതിന് ശേഷം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന വസ്തുതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കാൻ കഴിയൂ. അതെ, അതെ: ഇപ്പോൾ മാത്രം, പരിവർത്തനങ്ങൾ പൂർത്തിയാകുമ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം ചുവടെയുള്ളതെല്ലാം അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു എന്നാണ്. അതേ സമയം, ബ്രാക്കറ്റുകൾ സ്വയം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ഫ്രണ്ട് "മൈനസ്" അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു:

ഈ ചെറിയ, നിസ്സാരമെന്ന് തോന്നുന്ന വസ്തുതകളിലേക്ക് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് യാദൃശ്ചികമല്ല. കാരണം, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, അവിടെ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യക്തമായും കാര്യക്ഷമമായും ചെയ്യാനുള്ള കഴിവില്ലായ്മ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ എന്റെ അടുക്കൽ വരികയും അത്തരം ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വീണ്ടും പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഈ കഴിവുകളെ യാന്ത്രികതയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ദിവസം വരും. നിങ്ങൾ ഇനി ഓരോ തവണയും വളരെയധികം പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതില്ല; നിങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു വരിയിൽ എഴുതും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ പ്രവർത്തനവും പ്രത്യേകം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പരിഹരിക്കാൻ പോകുന്നതിനെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലി എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അർത്ഥം അതേപടി തുടരുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

\[\ഇടത്(7x+1 \വലത്)\ഇടത്(3x-1 \വലത്)-21((x)^(2))=3\]

ആദ്യ ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നമുക്ക് ഗുണിക്കാം:

നമുക്ക് കുറച്ച് സ്വകാര്യത ചെയ്യാം:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

നമുക്ക് അവസാന ഘട്ടം പൂർത്തിയാക്കാം:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

ഞങ്ങളുടെ അവസാന ഉത്തരം ഇതാ. കൂടാതെ, പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അവ പരസ്പരം റദ്ദാക്കി, ഇത് സമവാക്യത്തെ രേഖീയമാക്കുന്നു, ചതുരാകൃതിയിലല്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

\[\ഇടത്(1-4x \വലത്)\ഇടത്(1-3x \വലത്)=6x\ഇടത്(2x-1 \വലത്)\]

നമുക്ക് ആദ്യ ഘട്ടം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചെയ്യാം: ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഓരോ ഘടകവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ആകെ നാല് പുതിയ നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം:

ഇനി നമുക്ക് ഓരോ പദത്തിലും ഗുണനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നടത്താം:

നമുക്ക് “X” ഉള്ള നിബന്ധനകൾ ഇടത്തോട്ടും ഇല്ലാത്തവ വലത്തോട്ടും നീക്കാം:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

സമാന നിബന്ധനകൾ ഇതാ:

ഒരിക്കൽ കൂടി ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

പരിഹാരത്തിന്റെ സൂക്ഷ്മതകൾ

ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കുറിപ്പ് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്: ഒന്നിലധികം പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമമനുസരിച്ചാണ് ചെയ്യുന്നത്: ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് ആദ്യ പദം എടുത്ത് അതിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക രണ്ടാമത്തെ; തുടർന്ന് നമ്മൾ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഘടകം എടുക്കുകയും അതുപോലെ തന്നെ രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്ക് നാല് ടേമുകൾ ഉണ്ടാകും.

ബീജഗണിത തുകയെ കുറിച്ച്

ഈ അവസാന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ, ബീജഗണിത തുക എന്താണെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ക്ലാസിക്കൽ മാത്തമാറ്റിക്സിൽ, $1-7$ കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ലളിതമായ നിർമ്മാണമാണ്: ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏഴ് കുറയ്ക്കുക. ബീജഗണിതത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്: “ഒന്ന്” എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു സംഖ്യ ചേർക്കുന്നു, അതായത് “മൈനസ് ഏഴ്”. ഒരു ബീജഗണിത തുക ഒരു സാധാരണ ഗണിത തുകയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാകുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും, ഓരോ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും നടത്തുമ്പോൾ, മുകളിൽ വിവരിച്ചതിന് സമാനമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ നിങ്ങൾ കാണാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ബീജഗണിതത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

അവസാനമായി, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ നോക്കിയതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങളുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

അത്തരം ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതത്തിലേക്ക് ഒരു ഘട്ടം കൂടി ചേർക്കേണ്ടിവരും. എന്നാൽ ആദ്യം, ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

1. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.
2. വേരിയബിളുകൾ.
3. സമാനമായവ കൊണ്ടുവരിക.
4. അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

അയ്യോ, ഈ അത്ഭുതകരമായ അൽഗോരിതം, അതിന്റെ എല്ലാ ഫലപ്രാപ്തിക്കും, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ പൂർണ്ണമായും ഉചിതമല്ലെന്ന് മാറുന്നു. നമ്മൾ താഴെ കാണുന്ന കാര്യങ്ങളിൽ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും നമുക്ക് ഇടത്തും വലത്തും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്.

ഈ കേസിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണം? അതെ, ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്! ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അൽഗോരിതത്തിലേക്ക് ഒരു ഘട്ടം കൂടി ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ആദ്യ പ്രവർത്തനത്തിന് മുമ്പും ശേഷവും ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക. അതിനാൽ അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമായിരിക്കും:

1. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക.
2. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.
3. വേരിയബിളുകൾ.
4. സമാനമായവ കൊണ്ടുവരിക.
5. അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

"ഭിന്നങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുക" എന്നതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ആദ്യ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഘട്ടത്തിന് ശേഷവും മുമ്പും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും അവയുടെ വിഭാഗത്തിൽ സംഖ്യാപരമായവയാണ്, അതായത്. എല്ലായിടത്തും ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇല്ലാതാകും.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: എല്ലാം ഒരിക്കൽ "നാല്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പരാൻതീസിസുകൾ ഉള്ളതിനാൽ ഓരോന്നിനെയും "നാല്" കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. നമുക്ക് എഴുതാം:

\[\ഇടത്(2x+1 \വലത്)\ഇടത്(2x-3 \വലത്)=\ഇടത്(((x)^(2))-1 \വലത്)\cdot 4\]

ഇനി നമുക്ക് വിപുലീകരിക്കാം:

ഞങ്ങൾ വേരിയബിളിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമാന നിബന്ധനകൾ കുറയ്ക്കുന്നു:

\[-4x=-1\ഇടത്| :\ഇടത്(-4 \വലത്) \വലത്.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു അവസാന തീരുമാനം, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങളെല്ലാം ചെയ്യുന്നു:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

സത്യത്തിൽ, ഇന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയാൻ ആഗ്രഹിച്ചത് അതാണ്.

പ്രധാന പോയിന്റുകൾ

പ്രധാന കണ്ടെത്തലുകൾ ഇവയാണ്:

• രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം അറിയുക.
• ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാനുള്ള കഴിവ്.
• കണ്ടാൽ വിഷമിക്കേണ്ട ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, മിക്കവാറും, കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രക്രിയയിൽ അവ കുറയും.
• ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളിൽ മൂന്ന് തരം വേരുകളുണ്ട്, ഏറ്റവും ലളിതമായത് പോലും: ഒരൊറ്റ റൂട്ട്, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയും ഒരു റൂട്ടാണ്, കൂടാതെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രങ്ങളെയും കുറിച്ച് കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ലളിതവും എന്നാൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു വിഷയം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഈ പാഠം നിങ്ങളെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, സൈറ്റിലേക്ക് പോയി അവിടെ അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക. തുടരുക, കൂടുതൽ രസകരമായ കാര്യങ്ങൾ നിങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നു!

സമവാക്യത്തിന്റെ ആ ഭാഗമാണ് പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം. പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കാൻ, പരാൻതീസിസിന് മുന്നിലുള്ള ചിഹ്നം നോക്കുക. ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷനിലെ പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നത് ഒന്നും മാറ്റില്ല: പരാൻതീസിസുകൾ നീക്കം ചെയ്യുക. ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഉണ്ടായിരുന്ന എല്ലാ അടയാളങ്ങളും വിപരീതമായി മാറ്റണം. ഉദാഹരണത്തിന്, -(2x-3)=-2x+3.

രണ്ട് പരാൻതീസിസുകളെ ഗുണിക്കുക.
സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനനുസരിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് റൂൾ. ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിലെ ഓരോ പദവും രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിലെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് "പ്ലസുകൾ" അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് "മൈനസ്" എന്നിവയുടെ ഗുണനം ഈ പദത്തിന് ഒരു "പ്ലസ്" ചിഹ്നം നൽകുന്നു, കൂടാതെ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ, തുടർന്ന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ലഭിക്കുന്നു.
നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നതിലൂടെ, ചിലപ്പോൾ എന്നതിലേക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗം ഉയർത്തുന്നു. സ്ക്വയറിംഗിനും ക്യൂബ് ചെയ്യുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയുകയും ഓർമ്മിക്കുകയും വേണം.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
പാസ്കലിന്റെ ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ച് മൂന്നിൽ കൂടുതൽ പദപ്രയോഗം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചെയ്യാവുന്നതാണ്.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• പരാന്തീസിസ് എക്സ്പാൻഷൻ ഫോർമുല

പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾവേരിയബിളുകളും എക്സ്പ്രഷനുകളും അടങ്ങിയിരിക്കാം മാറുന്ന അളവിൽബുദ്ധിമുട്ടുകൾ. അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടേണ്ടതുണ്ട് പൊതുവായ കാഴ്ച, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ഫലം ലളിതമാക്കുന്നു. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളോടെ മാത്രം, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഉപയോക്താവിന് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഉറവിടങ്ങളിലേക്ക് പ്രവേശനമുണ്ട് - എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുന്നതിനേക്കാൾ അവ ഉപയോഗിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

നിങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ഫലം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, ഒരു ബ്രാക്കറ്റിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഓരോന്നിനെയും (അല്ലെങ്കിൽ മൈന്യൂഎൻഡ് ഉപയോഗിച്ച്) മറ്റെല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളുടെയും ഉള്ളടക്കം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതട്ടെ: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). തുടർന്ന് തുടർച്ചയായ ഗുണനം (അതായത്, പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നത്) ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം നൽകും: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

എക്സ്പ്രഷനുകൾ ചുരുക്കി ഫലം ലളിതമാക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലളിതമാക്കാം: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗ 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

നിങ്ങൾക്ക് x 4.75 തുല്യമായി ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുക, അതായത് (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2). ഈ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, Google അല്ലെങ്കിൽ Nigma തിരയൽ എഞ്ചിൻ വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് പോയി അന്വേഷണ ഫീൽഡിൽ അതിന്റെ യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുക. ഒരു ബട്ടണിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യാതെ തന്നെ Google ഉടൻ 82.265625 കാണിക്കും, എന്നാൽ നിഗ്മയ്ക്ക് ഒരു ബട്ടണിന്റെ ക്ലിക്കിലൂടെ സെർവറിലേക്ക് ഡാറ്റ അയയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം മാറ്റുക എന്നതാണ് പരാൻതീസിസിന്റെ പ്രധാന പ്രവർത്തനം. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗത്തിൽ \(5·3+7\) ഗുണനം ആദ്യം കണക്കാക്കും, തുടർന്ന് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ: \(5·3+7 =15+7=22\). എന്നാൽ \(5·(3+7)\) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ ആദ്യം ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കണക്കാക്കും, അതിനുശേഷം മാത്രമേ ഗുണനം: \(5·(3+7)=5·10=50\).

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റ് വികസിപ്പിക്കുക: \(-(4m+3)\).
പരിഹാരം : \(-(4m+3)=-4m-3\).

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റ് തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ \(5-(3x+2)+(2+3x)\) നൽകുക.
പരിഹാരം : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക \(5(3-x)\).
പരിഹാരം : ബ്രാക്കറ്റിൽ നമുക്ക് \(3\) ഒപ്പം \(-x\) ഉണ്ട്, ബ്രാക്കറ്റിന് മുമ്പ് അഞ്ച് ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം ബ്രാക്കറ്റിലെ ഓരോ അംഗവും \(5\) കൊണ്ട് ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ് - ഞാൻ അത് നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു ഒരു സംഖ്യയും പരാന്തീസിസും തമ്മിലുള്ള ഗുണന ചിഹ്നം എൻട്രികളുടെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കുന്നതിന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എഴുതിയിട്ടില്ല..

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക \(-2(-3x+5)\).
പരിഹാരം : മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, പരാന്തീസിസിലെ \(-3x\), \(5\) എന്നിവ \(-2\) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക: \(5(x+y)-2(x-y)\).
പരിഹാരം : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

അവസാന സാഹചര്യം പരിഗണിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു.

ഒരു ബ്രാക്കറ്റിനെ ഒരു ബ്രാക്കറ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ബ്രാക്കറ്റിന്റെ ഓരോ പദവും രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക \((2-x)(3x-1)\).
പരിഹാരം : ഞങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമുണ്ട്, മുകളിലുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അത് ഉടനടി വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ, നമുക്ക് എല്ലാം ഘട്ടം ഘട്ടമായി ചെയ്യാം.
ഘട്ടം 1. ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റ് നീക്കം ചെയ്യുക - അതിന്റെ ഓരോ നിബന്ധനകളും രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക:

ഘട്ടം 2. മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ ബ്രാക്കറ്റുകളുടെയും ഘടകത്തിന്റെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുക:
- ആദ്യ കാര്യങ്ങൾ ആദ്യം ...

പിന്നെ രണ്ടാമത്തേത്.

ഘട്ടം 3. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഗുണിച്ച് സമാന പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും വിശദമായി വിവരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല; നിങ്ങൾക്ക് അവ ഉടനടി വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കാൻ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിശദമായി എഴുതുക, തെറ്റുകൾ വരുത്താനുള്ള സാധ്യത കുറവായിരിക്കും.

മുഴുവൻ വിഭാഗത്തിനും ശ്രദ്ധിക്കുക.വാസ്തവത്തിൽ, നിങ്ങൾ നാല് നിയമങ്ങളും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതില്ല, ഒന്ന് മാത്രം ഓർത്താൽ മതി, ഇതാണ്: \(c(a-b)=ca-cb\) . എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം സിക്ക് പകരം ഒരെണ്ണം നൽകിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് \((a-b)=a-b\) റൂൾ ലഭിക്കും. മൈനസ് ഒന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് \(-(a-b)=-a+b\) റൂൾ ലഭിക്കും. ശരി, നിങ്ങൾ സിക്ക് പകരം മറ്റൊരു ബ്രാക്കറ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അവസാന നിയമം ലഭിക്കും.

ഒരു പരാൻതീസിസിനുള്ളിലെ പരാൻതീസിസ്

ചിലപ്പോൾ പ്രായോഗികമായി മറ്റ് ബ്രാക്കറ്റുകൾക്കുള്ളിൽ നെസ്റ്റ് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. അത്തരമൊരു ടാസ്ക്കിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: \(7x+2(5-(3x+y))\) എന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

അത്തരം ജോലികൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്:
- ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ കൂടുകെട്ടൽ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം മനസ്സിലാക്കുക - ഏതാണ്;
- ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുടർച്ചയായി തുറക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും ഉള്ളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക.

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഒന്ന് തുറക്കുമ്പോൾ അത് പ്രധാനമാണ് ബാക്കിയുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ തൊടരുത്, അത് അതേപടി മാറ്റിയെഴുതുക.
ഉദാഹരണമായി മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ടാസ്ക് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാന പദങ്ങൾ നൽകുക \(7x+2(5-(3x+y))\).
പരിഹാരം:

ഉദാഹരണം. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാന പദങ്ങൾ നൽകുക \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
പരിഹാരം :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		ഇവിടെ പരാൻതീസിസിന്റെ ട്രിപ്പിൾ നെസ്റ്റിംഗ് ഉണ്ട്. നമുക്ക് ഏറ്റവും ഉള്ളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം (പച്ചയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്). ബ്രാക്കറ്റിന് മുന്നിൽ ഒരു പ്ലസ് ഉണ്ട്, അതിനാൽ അത് വെറുതെ വരുന്നു.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഇന്റർമീഡിയറ്റ് ഒന്ന്. എന്നാൽ അതിനുമുമ്പ്, ഈ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിലെ പ്രേതത്തെപ്പോലെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആവിഷ്കാരം ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കും.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കുന്നു (നീലയിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു). ബ്രാക്കറ്റിന് മുമ്പ് ഒരു ഘടകമാണ് - അതിനാൽ ബ്രാക്കറ്റിലെ ഓരോ പദവും അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		ഒപ്പം അവസാനത്തെ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കുക. ബ്രാക്കറ്റിന് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്, അതിനാൽ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും വിപരീതമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന വൈദഗ്ധ്യമാണ് പരാൻതീസിസ് വികസിപ്പിക്കുന്നത്. ഈ വൈദഗ്ധ്യം കൂടാതെ, 8, 9 ഗ്രേഡുകളിൽ ഒരു C ന് മുകളിലുള്ള ഗ്രേഡ് അസാധ്യമാണ്. അതിനാൽ, ഈ വിഷയം നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സിലെ അത്തരം ഒരു പ്രധാന വിഷയത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ തുറക്കുന്ന പരാൻതീസിസുകൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കും. പരാൻതീസിസുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവ തുറക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

ചേർക്കുമ്പോൾ പരാൻതീസിസ് എങ്ങനെ ശരിയായി തുറക്കാം

"+" ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക

ഇതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസ്, കാരണം ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ അവയ്ക്കുള്ളിലെ അടയാളങ്ങൾ മാറില്ല. ഉദാഹരണം:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

"-" ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള പരാൻതീസിസ് എങ്ങനെ വികസിപ്പിക്കാം

IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽനിങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ബ്രാക്കറ്റുകളില്ലാതെ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടതുണ്ട്, എന്നാൽ അതേ സമയം അവയ്ക്കുള്ളിലെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും വിപരീതമായവയിലേക്ക് മാറ്റുക. "-" എന്ന ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള നിബന്ധനകൾക്ക് മാത്രമേ അടയാളങ്ങൾ മാറുകയുള്ളൂ. ഉദാഹരണം:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

ഗുണിക്കുമ്പോൾ പരാൻതീസിസ് എങ്ങനെ തുറക്കാം

ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുമ്പ് ഒരു മൾട്ടിപ്ലയർ നമ്പർ ഉണ്ട്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഓരോ പദത്തെയും ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാതെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും വേണം. ഗുണനത്തിന് “-” ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ, ഗുണന സമയത്ത് പദങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ വിപരീതമായിരിക്കും. ഉദാഹരണം:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

രണ്ട് പരാൻതീസിസുകൾക്കിടയിൽ ഗുണന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ തുറക്കാം

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഓരോ പദവും രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഓരോ പദവും ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കുക. ഉദാഹരണം:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

ഒരു ചതുരത്തിൽ എങ്ങനെ പരാൻതീസിസ് തുറക്കാം

രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം സമചതുരമാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കണം:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

ബ്രാക്കറ്റിനുള്ളിൽ ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഫോർമുല മാറില്ല. ഉദാഹരണം:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

പരാൻതീസിസ് മറ്റൊരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് എങ്ങനെ വികസിപ്പിക്കാം

പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം ഉയർത്തിയാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 3-ആം അല്ലെങ്കിൽ 4-ആം ശക്തിയിലേക്ക്, നിങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റിന്റെ ശക്തിയെ "സ്ക്വയറുകളായി" തകർക്കേണ്ടതുണ്ട്. സമാന ഘടകങ്ങളുടെ ശക്തികൾ ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ, ഡിവിഡൻറിന്റെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് വിഭജനത്തിന്റെ ശക്തി കുറയ്ക്കുന്നു. ഉദാഹരണം:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 ബ്രാക്കറ്റുകൾ എങ്ങനെ തുറക്കാം

ഒരേസമയം 3 ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഗുണിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ആദ്യത്തെ രണ്ട് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ നിബന്ധനകൾ ഒരുമിച്ച് ഗുണിക്കണം, തുടർന്ന് ഈ ഗുണനത്തിന്റെ ആകെത്തുക മൂന്നാം ബ്രാക്കറ്റിന്റെ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണം:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

പരാൻതീസിസ് തുറക്കുന്നതിനുള്ള ഈ നിയമങ്ങൾ ലീനിയർ, ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായി ബാധകമാണ്.