ഉള്ളത് സാധാരണ കാഴ്ച$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, ഇതിൽ ഇടത് വശംചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു $F\left(x,y\right)$, ഒരു സമവാക്യം പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യം എപ്പോഴും $dF\left(x,y\right)=0$ എന്ന് മാറ്റിയെഴുതാം, ഇവിടെ $F\left(x,y\right)$ എന്നത് $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

$dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $ എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം. പൂജ്യത്തിൻ്റെ വലത് വശത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യ ഘടകം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമായ $C$ ന് തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ, പൊതുവായ തീരുമാനംഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സൂക്ഷ്‌മ രൂപത്തിന് $F\left(x,y\right)=C$ എന്ന രൂപമുണ്ട്.

തന്നിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു സമവാക്യമാകുന്നതിന്, വ്യവസ്ഥ $\frac(\ഭാഗിക പി)(\ഭാഗിക y) =\frac(\ഭാഗിക Q)(\ഭാഗിക x) $ എന്നത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്. തൃപ്തിപ്പെടുക. നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, $F\left(x,y\right)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്, അതിനായി നമുക്ക് എഴുതാം: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് രണ്ട് ബന്ധങ്ങൾ ലഭിക്കും : $\frac(\ partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$, $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\ഇടത്(x,y\right )$.

ഞങ്ങൾ ആദ്യ ബന്ധമായ $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ $x$-നേക്കാൾ സമന്വയിപ്പിച്ച് $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, ഇവിടെ $U\left(y\right)$ എന്നത് $y$ ൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പ്രവർത്തനമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ബന്ധമായ $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$ തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ നമുക്ക് അത് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, $F\left(x,y\right)$ എന്നതിനായുള്ള തത്ഫലമായ ബന്ധത്തെ $y$ മായി ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുകയും ഫലം $Q\left(x,y\right)$ എന്നതിന് തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\ഇടത് (x,y\വലത്)$.

കൂടുതൽ പരിഹാരം ഇതാണ്:

• അവസാന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് $U"\ഇടത്(y\വലത്)$;
• $U"\ഇടത്(y\right)$ സംയോജിപ്പിച്ച് $U\ഇടത്(y\right)$ കണ്ടെത്തുക;
• $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) എന്ന തുല്യതയിലേക്ക് $U\left(y\right)$ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക $, അവസാനം നമുക്ക് $F\left(x,y\right)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും.

\

ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഞങ്ങൾ $U"\left(y\right)$ എന്നതിനെ $y$-നേക്കാൾ സംയോജിപ്പിച്ച് $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$ കണ്ടെത്തുക.

ഫലം കണ്ടെത്തുക: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരം $F\left(x,y\right)=C$ എന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു, അതായത്:

ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, ഇവിടെ $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

ഭാഗിക പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

നിർവ്വചനം 8.4.ഫോമിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

എവിടെ
മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക
.

പൊതുവേ, സമവാക്യം (8.4) ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

സമവാക്യത്തിന് പകരം (8.5), നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം

,

ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രമാണ് (8.4). അതിനാൽ, സമവാക്യം (8.4) പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
. സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി (8.4), നമുക്ക് ഉണ്ട്

(8.6)

ഫംഗ്ഷൻ
ഈ വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് (8.6) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി ഞങ്ങൾ നോക്കും:

എവിടെ - സ്വതന്ത്രമായ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പ്രവർത്തനം .

ഫംഗ്ഷൻ
നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ (8.6) തൃപ്തികരമാണ്

(8.7)

എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് (8.7) ഫംഗ്ഷൻ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു
. എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
കൂടാതെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത നേടുക.

പ്രശ്നം 8.3.സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക

ഇവിടെ
.

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരത്തിൽ പെടുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ
ഞങ്ങൾ അത് രൂപത്തിൽ നോക്കും

.

മറുവശത്ത്,

.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അവസ്ഥ
നിവൃത്തിയില്ലായിരിക്കാം.

അപ്പോൾ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രേറ്റിംഗ് ഫാക്ടർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഗുണനത്തിലൂടെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന തരത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു. പൊതുവായ കേസ്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മാത്രമാണ് അഥവാ .

ചില സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു സംയോജിത ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു , പിന്നെ അത് ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

എവിടെയാണ് ബന്ധം ഒരു ചടങ്ങ് മാത്രമായിരിക്കണം .

അതുപോലെ, ഏകീകരണ ഘടകം മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു , ഫോർമുലയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്

എവിടെയാണ് ബന്ധം
ഒരു ചടങ്ങ് മാത്രമായിരിക്കണം .

തന്നിരിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങളിലെ അഭാവം, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, വേരിയബിളിൻ്റെ , രണ്ടാമത്തേതിൽ - വേരിയബിൾ , നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു സമന്വയ ഘടകത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ അടയാളമാണ്.

പ്രശ്നം 8.4.ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു സമവാക്യമായി കുറയ്ക്കുക.

.

ബന്ധം പരിഗണിക്കുക:

.

വിഷയം 8.2. ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

നിർവ്വചനം 8.5. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം
ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ലീനിയർ ആണെങ്കിൽ അതിനെ ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു , അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കൂടാതെ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉൽപ്പന്നവും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്താൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

(8.8)

ബന്ധത്തിലാണെങ്കിൽ (8.8) വലത് വശം
, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വലത് ഭാഗം
, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യം (8.8) ക്വാഡ്രേച്ചറുകളിൽ സംയോജിപ്പിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്നു.

അത്തരമൊരു സമവാക്യം വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്. ശരിക്കും,

;

/

അവസാന ബന്ധം ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ അതേ രൂപത്തിലാണ്, എന്നാൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ് എന്നതാണ് രീതിയുടെ ആശയം. ചില ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു
ഉറച്ചു നിൽക്കുക. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

(8.9)

അനുബന്ധമായി (8.8) അനുബന്ധ പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
ഒപ്പം
, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

റിലേഷൻ (8.9) എന്നതിലേക്ക് അവസാന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ലീനിയർ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം രണ്ട് ക്വാഡ്രേച്ചറുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവും ഒരു ലീനിയർ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവും.

പ്രശ്നം 8.5.സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കുക

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരത്തിൽ പെടുന്നു.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തും.

;

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, രൂപത്തിൽ കാണപ്പെടുന്ന ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

,

എവിടെ
- നിർണ്ണയിക്കേണ്ട പ്രവർത്തനം.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

ബന്ധങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഒപ്പം യഥാർത്ഥ രേഖീയ അസന്തുലിതമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് ലഭിക്കും:

;

;

.

ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും:

.

ഈ വിഷയത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യലിൽ നിന്ന് പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന രീതി ഞങ്ങൾ നോക്കും, പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക പൂർണ്ണ വിശകലനംപരിഹാരങ്ങൾ.

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ (DE) ഇടത് വശത്തുള്ള ചില ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം. ഫംഗ്‌ഷനെ അതിൻ്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിൽ നിന്ന് പുനർനിർമ്മിച്ചാൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

ഉദാഹരണം 1

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇടത് വശത്ത് ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു U(x, y) = 0. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x എന്ന അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കണം.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെ വ്യത്യാസം U (x, y) = 0 ന് d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y എന്ന രൂപമുണ്ട്. അവസ്ഥ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x നമുക്ക് ലഭിക്കും:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

മുമ്പ് ലഭിച്ച സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ φ (y) കണ്ടെത്താം:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

ഇങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ U (x, y) = 0 കണ്ടെത്തിയത്.

ഉദാഹരണം 2

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0.

പരിഹാരം

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

വ്യവസ്ഥ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

ഞങ്ങളുടെ അവസ്ഥ നിറവേറ്റിയിരിക്കുന്നു.

കണക്കുകൂട്ടലുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒറിജിനൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ചില ഫംഗ്‌ഷൻ U (x, y) = 0 ൻ്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ആണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഈ പ്രവർത്തനം നമുക്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

(x 2 - y 2) d x - 2 x y d y എന്നത് U (x, y) = 0 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യൽ ആയതിനാൽ

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

x മായി ബന്ധപ്പെട്ട് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഫലത്തെ y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേർതിരിക്കുന്നു:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ∂ U ∂ y = - 2 x y . അതിനർത്ഥം അതാണ്
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

ഇവിടെ C ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം x 3 3 - x y 2 + C = 0 ആണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി നോക്കാം. ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (x 0, y 0) വേരിയബിൾ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള (x, y) ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ഒരു കർവിലീനിയർ ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു:

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) d y + C

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സമഗ്രതയുടെ മൂല്യം സംയോജനത്തിൻ്റെ പാതയെ ഒരു തരത്തിലും ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു തകർന്ന ലൈൻ നമുക്ക് ഒരു ഏകീകരണ പാതയായി എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം 3

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ചില ഫംഗ്‌ഷൻ U (x, y) = 0 ൻ്റെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പോയിൻ്റിൻ്റെ ലൈൻ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (1 ; 1) മുമ്പ് (x, y). സംയോജനത്തിൻ്റെ പാതയായി നമുക്ക് ഒരു തകർന്ന രേഖ എടുക്കാം, അതിൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ കടന്നുപോകുന്നു y = 1പോയിൻ്റ് (1, 1) മുതൽ (x, 1) വരെയും തുടർന്ന് പോയിൻ്റ് (x, 1) മുതൽ (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

x y - x y 2 + C = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടിയിട്ടുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 4

y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.

∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x ആയതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകില്ല. ഇതിനർത്ഥം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഫംഗ്ഷൻ്റെ പൂർണ്ണമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ അല്ല എന്നാണ്. വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണിത്, ഇത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് മറ്റ് പരിഹാരങ്ങൾ അനുയോജ്യമാണ്.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

നിർവ്വചനം: ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യലാണ് ഇടത് വശം, അതിനെ മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ F(x,y) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ സമവാക്യം (9) dF(x,y) = 0 എന്ന് പുനരാലേഖനം ചെയ്യാം, ഈ സമവാക്യത്തിന് F(x,y) = C ഒരു പൊതു പരിഹാരമുണ്ട്.

ഫോമിൻ്റെ (9) ഒരു സമവാക്യം നൽകാം. ഇത് മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, എക്സ്പ്രഷൻ ആണോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആകെ വ്യത്യാസം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ തുല്യത പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്

തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന് (10), സമത്വം (11) എന്നത് ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ (S) തൃപ്‌തികരമാണെന്നും അതിനാൽ, (10) എന്നത് (S) ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ F(x,y) മൊത്തത്തിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്നും നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ).

ഈ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന രീതി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ F(x,y) കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്

അവിടെ ഫംഗ്‌ഷൻ (y) ചുവടെ നിർവചിക്കും. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (12) അത് പിന്തുടരുന്നു

മേഖലയിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും (എസ്). ഇനി നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ (y) തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ സമത്വം നിലനിൽക്കും

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സൂത്രവാക്യം (12) അനുസരിച്ച് F(x,y) ന് പകരം അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് നമുക്ക് ആവശ്യമായ സമത്വം (14) ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള y യെ സംബന്ധിച്ച് നമുക്ക് വേർതിരിക്കാം (ഇത് P(x,y) കൂടാതെ - തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾരണ്ട് വേരിയബിളുകൾ):

(11) അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സൈൻ ഇൻ (16) എന്നതിന് കീഴിലുള്ളത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:

y യിൽ സംയോജിപ്പിച്ച്, സമത്വം (14) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വിധത്തിൽ നിർമ്മിച്ച ഫംഗ്ഷൻ (y) തന്നെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. തുല്യതകൾ (13), (14) ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ അത് കാണുന്നു

പ്രദേശത്ത് (എസ്). (18)

ഉദാഹരണം 5. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണിത്. വാസ്തവത്തിൽ, നിയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ അത് ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു

പദപ്രയോഗം എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് ഇത് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ ഒരു വ്യവസ്ഥയാണ്

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെ ഡിഫറൻഷ്യലാണ് U(x,y). മാത്രമല്ല, ഇവ R-ൽ തുടർച്ചയായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

അതിനാൽ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ ആയ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ U(x,y) ആയിരിക്കട്ടെ

x ന് മുകളിൽ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

q(y) കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വസ്തുത ഉപയോഗിക്കുന്നു

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം μ(y) പകരം (*), നമുക്ക് അവസാനം ഫംഗ്ഷൻ U(x,y) ലഭിക്കും:

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രതയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന തരങ്ങൾ (തുടരും).

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

നിർവ്വചനം: ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്

y" + P(x)y = f(x), (21)

ഇവിടെ P(x), f(x) എന്നിവ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

y" എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പേര് വിശദീകരിക്കുന്നു രേഖീയ പ്രവർത്തനം y-ൽ നിന്ന്, അതായത്, നമ്മൾ സമവാക്യം (21) y" = - P(x) + f(x) എന്ന രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുകയാണെങ്കിൽ, വലതുവശത്ത് ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് മാത്രം y അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

f(x) = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം

yґ+ P(x) y = 0 (22)

ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ സമവാക്യം. വ്യക്തമായും, വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ് ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യം:

y" +P(x)y = 0; ,

f(x) ആണെങ്കിൽ? 0, പിന്നെ സമവാക്യം

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പൊതുവേ, സമവാക്യത്തിലെ വേരിയബിളുകൾ (21) വേർതിരിക്കാനാവില്ല.

സമവാക്യം (21) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു: U(x), V(x) എന്നീ രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കും:

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

y" = U"V + UV" (25)

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

ഇടത് വശത്തുള്ള നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം:

U"V + U = f(x). (26)

ഘടകങ്ങളിലൊന്നിൽ (24) നമുക്ക് ഒരു നിബന്ധന ചുമത്താം, അതായത്, V(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ചതുര ബ്രാക്കറ്റിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തെ (26) പൂജ്യമായി മാറ്റുന്ന തരത്തിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അതായത്. അത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണെന്ന്

V" + P(x)V = 0. (27)

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ V(x) കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ U(x) കണ്ടെത്താം, അതായത് V(x) ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, U V എന്ന ഉൽപ്പന്നം സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് (26). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, U(x) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമാകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്

ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ

കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ (28), (30) ഫോർമുല (4) ആയി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന് (21) ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും:

അങ്ങനെ, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന രീതി (ബെർണൂലി രീതി) പരിഹാരം കുറയ്ക്കുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം(21) വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക്.

ഉദാഹരണം 6. സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുക.

ഈ സമവാക്യം y, y എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് രേഖീയമല്ല, പക്ഷേ x-നെ ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്‌ഷനായും y യെ ആർഗ്യുമെൻ്റായും കണക്കാക്കിയാൽ അത് രേഖീയമായി മാറുന്നു. തീർച്ചയായും, കടന്നുപോകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി (ബെർണൂലി) ഉപയോഗിക്കുന്നു. x(y)=U(y)V(y) എന്ന ഫോമിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് നമ്മൾ പരിഹാരം തേടും. നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

നമുക്ക് V(y) ഫംഗ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാം. പിന്നെ

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:
(1) ,
ഇവിടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം ചില ഫംഗ്‌ഷൻ U യുടെ ആകെ വ്യത്യാസമാണ് (x, y)വേരിയബിളുകളിൽ നിന്ന് x, y:
.
.

അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ യു കണ്ടെത്തിയാൽ (x, y), അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു:
dU (x, y) = 0.
അതിൻ്റെ പൊതുവായ സമഗ്രത ഇതാണ്:
യു (x, y) = സി,
ഇവിടെ C ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

ഒരു ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:
,
അപ്പോൾ അതിനെ രൂപത്തിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് (1) . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യത്തെ dx കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. പിന്നെ . തൽഫലമായി, വ്യത്യാസങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:
(1) .

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി

സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടി (1) മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു സമവാക്യം ആയിരുന്നു, അത് ബന്ധത്തിന് ആവശ്യമായതും പര്യാപ്തവുമാണ്:
(2) .

തെളിവ്

പ്രൂഫിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെന്നും x, y എന്നീ വേരിയബിളുകളുടെ ചില ശ്രേണിയിലുള്ള മൂല്യങ്ങളിൽ അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടെന്നും ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് x 0, y 0എന്നതും ഈ പ്രദേശത്തിൻ്റേതാണ്.

വ്യവസ്ഥയുടെ ആവശ്യകത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം (2).
സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം അനുവദിക്കുക (1) ചില ഫംഗ്‌ഷൻ U യുടെ വ്യത്യാസമാണ് (x, y):
.
പിന്നെ
;
.
രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ക്രമത്തെ ആശ്രയിക്കാത്തതിനാൽ
;
.
അത് പിന്തുടരുന്നു. ആവശ്യമായ അവസ്ഥ (2) തെളിയിച്ചു.

വ്യവസ്ഥയുടെ പര്യാപ്തത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം (2).
വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടട്ടെ (2) :
(2) .
അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ യു കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം (x, y)അതിൻ്റെ വ്യത്യാസം ഇതാണ്:
.
അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ യു ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം (x, y), ഇത് സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:
(3) ;
(4) .
നമുക്ക് അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം (3) x-ൽ നിന്ന് x 0 x ലേക്ക്, y ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെന്ന് കരുതുക:
;
;
(5) .
x ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണെന്നും ബാധകമാണെന്നും അനുമാനിച്ച് y യെ സംബന്ധിച്ച് ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു (2) :

.
സമവാക്യം (4) എങ്കിൽ വധിക്കപ്പെടും
.
y-ൽ നിന്ന് y-യെ സംയോജിപ്പിക്കുക 0 y ലേക്ക്:
;
;
.
പകരം വയ്ക്കുക (5) :
(6) .
അതിനാൽ, വ്യത്യസ്തമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി
.
പര്യാപ്തത തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഫോർമുലയിൽ (6) , യു (x 0, y 0)ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ് - യു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം (x, y)പോയിൻ്റ് x-ൽ 0, y 0. ഇതിന് ഏത് മൂല്യവും നൽകാം.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയാം

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1) .
ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് (2) :
(2) .
അത് നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലിലാണ്. ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമല്ല.

ഉദാഹരണം

സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:
.

പരിഹാരം

ഇവിടെ
, .
x സ്ഥിരാങ്കം കണക്കിലെടുത്ത്, y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു:


.
നമുക്ക് വേർതിരിക്കാം


.
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്:
,
അപ്പോൾ തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യം മൊത്തം വ്യത്യാസങ്ങളിലാണ്.

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

തുടർച്ചയായ ഡിഫറൻഷ്യൽ എക്സ്ട്രാക്ഷൻ രീതി

മിക്കതും ലളിതമായ രീതിമൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ തുടർച്ചയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പിൻ്റെ രീതിയാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ, u, v എന്നിവ വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും സംയോജനത്തിൽ നിർമ്മിച്ച അനിയന്ത്രിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്.

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
.

പരിഹാരം

ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. നമുക്ക് അതിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
(P1) .
ഡിഫറൻഷ്യലിനെ തുടർച്ചയായി വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.
;
;
;
;

.
പകരം വയ്ക്കുക (P1):
;
.

ഉത്തരം

തുടർച്ചയായ സംയോജന രീതി

ഈ രീതിയിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ യു തിരയുകയാണ് (x, y), സമവാക്യങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:
(3) ;
(4) .

നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം (3) x-ൽ, y സ്ഥിരാങ്കം പരിഗണിച്ച്:
.
ഇവിടെ φ (y)- നിർണ്ണയിക്കേണ്ട y യുടെ അനിയന്ത്രിതമായ പ്രവർത്തനം. ഇത് ഏകീകരണത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കമാണ്. സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക (4) :
.
ഇവിടെ നിന്ന്:
.
സംയോജിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ φ കണ്ടെത്തുന്നു (y)അങ്ങനെ, യു (x, y).

ഉദാഹരണം 2

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
.

പരിഹാരം

ഈ സമവാക്യം മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയിരുന്നു. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കാം:
, .
ഫംഗ്ഷൻ യു തിരയുന്നു (x, y), ഇതിൻ്റെ വ്യത്യാസം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണ്:
.
അപ്പോൾ:
(3) ;
(4) .
നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം (3) x-ൽ, y സ്ഥിരാങ്കം പരിഗണിച്ച്:
(P2)
.
y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വേർതിരിക്കുക:

.
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം (4) :
;
.
നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:
.
നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം (P2):

.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം:
യു (x, y) = കോൺസ്റ്റ്.
ഞങ്ങൾ രണ്ട് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഒന്നായി കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു.

ഉത്തരം

ഒരു വളവിലൂടെയുള്ള സംയോജന രീതി

ഫംഗ്ഷൻ യു ബന്ധത്താൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്:
dU = പി (x, y) dx + q(x, y) dy,
പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വക്രത്തിൽ ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും (x 0, y 0)ഒപ്പം (x, y):
(7) .
എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്
(8) ,
അപ്പോൾ ഇൻ്റഗ്രൽ ഇനീഷ്യലിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (x 0, y 0)അന്തിമവും (x, y)പോയിൻ്റുകൾ കൂടാതെ വക്രത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. നിന്ന് (7) ഒപ്പം (8) ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
(9) .
ഇവിടെ x 0 കൂടാതെ വൈ 0 - സ്ഥിരമായ. അതുകൊണ്ട് യു (x 0, y 0)- സ്ഥിരവും.

യു എന്നതിൻ്റെ അത്തരമൊരു നിർവചനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം തെളിവിൽ ലഭിച്ചു:
(6) .
ഇവിടെ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് y അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിലൂടെയാണ് ആദ്യം ഏകീകരണം നടത്തുന്നത് (x 0, y 0)വിഷയത്തിലേക്ക് (x 0 , y). തുടർന്ന് പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിലൂടെ സംയോജനം നടത്തുന്നു (x 0 , y)വിഷയത്തിലേക്ക് (x, y) .

കൂടുതൽ പൊതുവായി, നിങ്ങൾ ഒരു കർവ് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x 0, y 0)ഒപ്പം (x, y)പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ:
x 1 = s(t 1); വൈ 1 = r (t 1);
x 0 = സെ(t 0); വൈ 0 = r (t 0);
x = സെ (ടി); y = ആർ (ടി);
ടി മേൽ സംയോജിപ്പിക്കുക 1 ടിയിൽ നിന്ന് 0 ടി.

സംയോജനം നടത്താനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പ മാർഗം ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് കണക്റ്റിംഗ് പോയിൻ്റുകൾക്ക് മുകളിലൂടെയാണ് (x 0, y 0)ഒപ്പം (x, y). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; വൈ 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
ടി 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിനുശേഷം, t യുടെ സമഗ്രത നമുക്ക് ലഭിക്കും 0 മുമ്പ് 1 .
ഈ രീതി, എന്നിരുന്നാലും, ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

റഫറൻസുകൾ:
വി.വി. സ്റ്റെപനോവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ കോഴ്സ്, "LKI", 2015.