വീട് പല്ലിലെ പോട് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തി fsr എന്ന രീതിയിൽ എഴുതുക. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക, fsr

പല്ലിലെ പോട്

പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തി fsr എന്ന രീതിയിൽ എഴുതുക. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക, fsr

ഏകതാനമായ സംവിധാനം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾവയലിന് മുകളിലൂടെ

നിർവ്വചനം. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം (1) അതിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു ശൂന്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സ്വതന്ത്ര സംവിധാനമാണ്, ഇതിൻ്റെ ലീനിയർ സ്പാൻ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു (1).

പൂജ്യം പരിഹാരം മാത്രമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമായ പരിഹാര സംവിധാനമില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

നിർദ്ദേശം 3.11. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിലേക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനങ്ങൾ ഒരേ എണ്ണം പരിഹാരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

തെളിവ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) പരിഹാരങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അടിസ്ഥാന സംവിധാനങ്ങൾ തുല്യവും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രവുമാണ്. അതിനാൽ, പ്രൊപ്പോസിഷൻ 1.12 പ്രകാരം, അവരുടെ റാങ്കുകൾ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഒന്നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം അടിസ്ഥാന സംവിധാനം, മറ്റേതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) പ്രധാന മാട്രിക്സ് എ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഏത് വെക്റ്ററും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) പരിഹാരമാണ്; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏത് ശേഖരവും രേഖീയമാണ് സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകൾഎന്ന അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമാണ്. മാട്രിക്സ് A യുടെ നിരയുടെ റാങ്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (1) ഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ - പൂജ്യം; അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് (1) പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഇല്ല.

സിദ്ധാന്തം 3.12. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (1) പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമുണ്ട്.

തെളിവ്. ഹോമോജീനിയസ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) പ്രധാന മാട്രിക്സ് എയുടെ റാങ്ക് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ , ആ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെന്ന് മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അതിന് താഴെ അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, മാട്രിക്സ് എയുടെ ആദ്യ നിരകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് A എന്നത് ഒരു കുറച്ച സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് മാട്രിക്സിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റം (1) ഇനിപ്പറയുന്ന കുറച്ച സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്:

സ്വതന്ത്ര മൂല്യങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സിസ്റ്റം പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് സിസ്റ്റം വേരിയബിളുകൾ(2) സിസ്റ്റത്തിന് (2) ഒരേയൊരു പരിഹാരത്തിനും അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിനും (1) സമാനമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, സിസ്റ്റം (2), സിസ്റ്റം (1) എന്നിവയുടെ പൂജ്യം സൊല്യൂഷൻ മാത്രമേ പൂജ്യം മൂല്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുള്ളൂ.

സിസ്റ്റത്തിൽ (2) ഞങ്ങൾ സൗജന്യമായി ഒന്ന് നിയോഗിക്കും വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം, 1 ന് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾക്ക് പൂജ്യം മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. തൽഫലമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സ് സിയുടെ വരികളുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് (2) പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും:

ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരി സിസ്റ്റം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. തീർച്ചയായും, സമത്വത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സ്കെയിലറുകൾക്ക്

സമത്വം പിന്തുടരുന്നു

അതിനാൽ, സമത്വവും

മാട്രിക്സ് സിയുടെ വരികളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ലീനിയർ സ്പാൻ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം (1).

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിഹാരം (1). പിന്നെ വെക്റ്റർ

സിസ്റ്റം (1), കൂടാതെ

നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് വിശദമായ പരിഹാരം നിങ്ങൾക്ക് ഓർഡർ ചെയ്യാവുന്നതാണ്!!!

അത് എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ അടിസ്ഥാന തീരുമാന സംവിധാനംക്ലിക്ക് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഇതേ ഉദാഹരണത്തിനായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണാൻ കഴിയും. ഇനി നമുക്ക് മൊത്തത്തിലുള്ള വിവരണത്തിലേക്ക് പോകാം ആവശ്യമായ ജോലി. ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാരാംശം കൂടുതൽ വിശദമായി മനസ്സിലാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം എടുക്കാം:

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഈ ലീനിയർ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ നിങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് മാട്രിക്സ് എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

നമുക്ക് ഈ മാട്രിക്സ് ത്രികോണാകൃതിയിലേക്ക് മാറ്റാം.മാറ്റങ്ങളില്ലാതെ ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി വീണ്ടും എഴുതുന്നു. കൂടാതെ $a_(11)$-ന് താഴെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യങ്ങളാക്കണം. $a_(21)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം. $a_(31)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം. $a_(41)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, നാലാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും നാലാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം. $a_(31)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, അഞ്ചാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും അഞ്ചാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം.

ഞങ്ങൾ ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ മാറ്റമില്ലാതെ വീണ്ടും എഴുതുന്നു. കൂടാതെ $a_(22)$-ന് താഴെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യങ്ങളാക്കണം. $a_(32)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം. $a_(42)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, നാലാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും നാലാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം. $a_(52)$ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാക്കാൻ, അഞ്ചാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുകയും അഞ്ചാമത്തെ വരിയിൽ വ്യത്യാസം എഴുതുകയും വേണം.

ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു അവസാനത്തെ മൂന്ന് വരികൾ സമാനമാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ നാലാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും മൂന്നാമത്തേത് കുറച്ചാൽ അവ പൂജ്യമാകും.

ഈ മാട്രിക്സ് അനുസരിച്ച് എഴുതുക പുതിയ സംവിധാനംസമവാക്യങ്ങൾ.

നമുക്ക് മൂന്ന് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര സമവാക്യങ്ങളും അഞ്ച് അജ്ഞാതങ്ങളുമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ ഉൾക്കൊള്ളും. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവസാനത്തെ രണ്ട് അജ്ഞാതരെ നമുക്ക് വലത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഇപ്പോൾ, ഇടതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാതങ്ങളെ വലതുവശത്തുള്ളവയിലൂടെ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, ആദ്യം ഞങ്ങൾ $x_3$ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലത്തെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി $x_2$ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ $x_1$ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അജ്ഞാതങ്ങളെയും വലതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാതങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിച്ചു.

തുടർന്ന്, $x_4$, $x_5$ എന്നിവയ്‌ക്ക് പകരം, നമുക്ക് ഏത് നമ്പറുകളും മാറ്റി $x_1$, $x_2$, $x_3$ എന്നിവ കണ്ടെത്താനാകും. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഓരോന്നും നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയുടെ വേരുകളായിരിക്കും. ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് എഫ്എസ്ആർനമുക്ക് $x_4$-ന് പകരം 1-ഉം $x_5$-ന് പകരം 0-ഉം നൽകേണ്ടതുണ്ട്, $x_1$, $x_2$, $x_3$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് തിരിച്ചും $x_4=0$, $x_5=1$ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങളുടെ സാങ്കേതികവിദ്യയെ മിനുസപ്പെടുത്തുന്നത് ഞങ്ങൾ തുടരും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾഓൺ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റം.
ആദ്യ ഖണ്ഡികകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മെറ്റീരിയൽ വിരസവും മിതമായതുമായി തോന്നിയേക്കാം, എന്നാൽ ഈ മതിപ്പ് വഞ്ചനാപരമാണ്. സാങ്കേതിക സാങ്കേതിക വിദ്യകളുടെ കൂടുതൽ വികസനം കൂടാതെ, പലതും ഉണ്ടാകും പുതിയ വിവരങ്ങൾ, അതിനാൽ ഈ ലേഖനത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ അവഗണിക്കാതിരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം എന്താണ്?

ഉത്തരം സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര പദമാണെങ്കിൽ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഏകതാനമാണ് എല്ലാവരുംസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യം പൂജ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

അത് തികച്ചും വ്യക്തമാണ് ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം എപ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, അതായത്, അതിന് എപ്പോഴും ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. കൂടാതെ, ഒന്നാമതായി, നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നത് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ് നിസ്സാരമായപരിഹാരം . നിസ്സാരം, വിശേഷണത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഒട്ടും മനസ്സിലാകാത്തവർക്ക്, ഒരു ഷോ ഓഫ് ഇല്ലാതെ അർത്ഥമാക്കുന്നു. അക്കാദമികമായിട്ടല്ല, തീർച്ചയായും, ബുദ്ധിപരമായി =) ...എന്തുകൊണ്ടാണ് കുറ്റിക്കാട്ടിൽ ഇടിക്കുന്നത്, ഈ സംവിധാനത്തിന് മറ്റെന്തെങ്കിലും പരിഹാരങ്ങളുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

പരിഹാരം: ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം പരിഹരിക്കാൻ അത് എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ്പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ അതിനെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. ഇവിടെ ലംബ ബാറും സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ പൂജ്യം നിരയും എഴുതേണ്ട ആവശ്യമില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക - എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എന്ത് ചെയ്താലും അവ പൂജ്യങ്ങളായി തുടരും:

(1) ആദ്യത്തെ വരി രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു. ആദ്യത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

(2) രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു, അത് –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.

മൂന്നാമത്തെ വരിയെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിൽ വലിയ അർത്ഥമില്ല.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, തുല്യമായ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം ലഭിക്കുന്നു , കൂടാതെ, അപേക്ഷിക്കുന്നു റിവേഴ്സ് സ്ട്രോക്ക്ഗൗസിൻ്റെ രീതി, പരിഹാരം അദ്വിതീയമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ഉത്തരം:

നമുക്ക് വ്യക്തമായ ഒരു മാനദണ്ഡം രൂപപ്പെടുത്താം: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനമുണ്ട് ഒരു നിസ്സാര പരിഹാരം മാത്രം, എങ്കിൽ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് റാങ്ക്(വി ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 3) വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ - 3 കഷണങ്ങൾ).

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ തരംഗത്തിലേക്ക് നമ്മുടെ റേഡിയോ ചൂടാക്കി ട്യൂൺ ചെയ്യാം:

ഉദാഹരണം 2

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക

അന്തിമമായി അൽഗോരിതം ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് അന്തിമ ടാസ്ക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം:

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക, വെക്റ്റർ രൂപത്തിൽ ഉത്തരം എഴുതുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതിനെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

(1) ആദ്യ വരിയുടെ അടയാളം മാറ്റി. നിരവധി തവണ നേരിട്ട ഒരു സാങ്കേതികതയിലേക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു, ഇത് അടുത്ത പ്രവർത്തനത്തെ ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

(1) ആദ്യത്തെ വരി 2, 3 വരികളിൽ ചേർത്തു. 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി നാലാമത്തെ വരിയിൽ ചേർത്തു.

(3) അവസാനത്തെ മൂന്ന് വരികൾ ആനുപാതികമാണ്, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നീക്കം ചെയ്തു.

തൽഫലമായി, ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സ് ലഭിക്കുന്നു, കൂടാതെ പരിഹാരം വളഞ്ഞ ട്രാക്കിൽ തുടരുന്നു:

- അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ;
- സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ.

ഫ്രീ വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം. രണ്ടാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്:

- ഒന്നാം സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുക:

അങ്ങനെ, പൊതുവായ തീരുമാനം:

പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിൽ മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

മൂല്യങ്ങളുടെ ട്രിപ്പിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുകയും ഏകോപനങ്ങൾ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വെക്റ്റർ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. വീണ്ടും, ലഭിച്ച ഓരോ വെക്റ്ററും പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ ഉചിതമാണെന്ന് ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു - ഇതിന് കൂടുതൽ സമയമെടുക്കില്ല, പക്ഷേ ഇത് നിങ്ങളെ പിശകുകളിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായും സംരക്ഷിക്കും.

മൂല്യങ്ങളുടെ മൂന്നിരട്ടിക്ക് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക

ഒടുവിൽ മൂന്നുപേർക്കും നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ വെക്റ്റർ ലഭിക്കും:

ഉത്തരം:, എവിടെ

ഫ്രാക്ഷണൽ മൂല്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് ട്രിപ്പിൾസ് പരിഗണിക്കുകയും ഉത്തരം തുല്യമായ രൂപത്തിൽ നേടുകയും ചെയ്യാം:

ഭിന്നസംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു. പ്രശ്നത്തിൽ ലഭിച്ച മാട്രിക്സ് നോക്കാം നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം: ഇനിയുള്ള പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ആദ്യം അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ ഭിന്നസംഖ്യകളിലൂടെയും പിന്നീട് ഭിന്നസംഖ്യകളിലൂടെ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളും പ്രകടിപ്പിച്ചു, കൂടാതെ, ഈ പ്രക്രിയ ഏറ്റവും ലളിതവും മനോഹരവുമല്ലെന്ന് ഞാൻ പറയണം.

രണ്ടാമത്തെ പരിഹാരം:

ശ്രമിക്കണം എന്നതാണ് ആശയം മറ്റ് അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. നമുക്ക് മാട്രിക്സ് നോക്കാം, മൂന്നാമത്തെ കോളത്തിൽ രണ്ടെണ്ണം ശ്രദ്ധിക്കുക. എങ്കിൽ എന്തുകൊണ്ട് മുകളിൽ പൂജ്യം ആയിക്കൂടാ? നമുക്ക് ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം കൂടി നടത്താം:

എല്ലാ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ :

ഏതൊരു ഏകീകൃത സംവിധാനവും എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, കാരണം അത് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നു പൂജ്യം (നിസ്സാരമായ ) പരിഹാരം. ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് നിസ്സാരമായ പരിഹാരമുണ്ടാകുക എന്ന ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 5.2.അടിസ്ഥാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അതിൻ്റെ അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.

അനന്തരഫലം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു ചതുര ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു നോൺട്രിവിയൽ പരിഹാരമുണ്ടാകും.

ഉദാഹരണം 5.6.സിസ്റ്റത്തിന് നിസ്സാരമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ള പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക, കൂടാതെ ഈ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം. പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ടാകും:

അങ്ങനെ, l=3 അല്ലെങ്കിൽ l=2 ആകുമ്പോൾ സിസ്റ്റം നിസ്സാരമല്ല. l=3 ന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് 1 ആണ്. തുടർന്ന്, ഒരു സമവാക്യം മാത്രം ഉപേക്ഷിച്ച് അത് അനുമാനിക്കുക വൈ=എഒപ്പം z=ബി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x=b-a, അതായത്.

l=2 ന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്. തുടർന്ന്, മൈനറിനെ അടിസ്ഥാനമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക:

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ സംവിധാനം ലഭിക്കും

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു x=z/4, y=z/2. വിശ്വസിക്കുന്നു z=4എ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് വളരെ പ്രധാനമാണ് രേഖീയ സ്വത്ത് : X നിരകളാണെങ്കിൽ 1 കൂടാതെ എക്സ് 2 - ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ AX = 0, അപ്പോൾ അവയുടെ ഏതെങ്കിലും രേഖീയ സംയോജനംഎ എക്സ് 1 + ബി എക്സ് 2 ഈ സംവിധാനത്തിനും പരിഹാരമാകും. തീർച്ചയായും, മുതൽ AX 1 = 0 ഒപ്പം AX 2 = 0 , അത് എ(എ എക്സ് 1 + ബി എക്സ് 2) = എ AX 1 + ബി AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. ഒരു ലീനിയർ സിസ്റ്റത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ടാകും.

രേഖീയ സ്വതന്ത്ര നിരകൾ ഇ 1 , ഇ 2 , ഇ കെ, ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഈ നിരകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എഴുതാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റം:

ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനമുണ്ടെങ്കിൽ എൻവേരിയബിളുകൾ, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് തുല്യമാണ് ആർ, അത് കെ = എൻ-ആർ.

ഉദാഹരണം 5.7.പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം കണ്ടെത്തുക അടുത്ത സിസ്റ്റംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ:

പരിഹാരം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

അങ്ങനെ, ഈ സമവാക്യ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം അളവിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ ഉപസ്പേസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു എൻ-ആർ= 5 - 2 = 3. മൈനറിനെ അടിസ്ഥാനമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം

തുടർന്ന്, അടിസ്ഥാന സമവാക്യങ്ങളും (ബാക്കിയുള്ളവ ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായിരിക്കും) അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളും (ബാക്കിയുള്ളവ, ഫ്രീ വേരിയബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ വലത്തേക്ക് നീക്കുന്നു), നമുക്ക് ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിക്കും:

വിശ്വസിക്കുന്നു x 3 = എ, x 4 = ബി, x 5 = സി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

, .

വിശ്വസിക്കുന്നു എ= 1, ബി = സി= 0, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം നേടുന്നു; വിശ്വസിക്കുന്നു ബി= 1, a = c= 0, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ലഭിക്കും; വിശ്വസിക്കുന്നു സി= 1, a = b= 0, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം നേടുന്നു. തൽഫലമായി, പരിഹാരങ്ങളുടെ സാധാരണ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം രൂപംകൊള്ളും

അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം

എക്സ് = aE 1 + ബിഇ 2 + cE 3. എ

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ അസമമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ചില സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം AX=Bസമവാക്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ ഏകീകൃത സംവിധാനവുമായുള്ള അവരുടെ ബന്ധവും AX = 0.

ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരംഇത് അനുബന്ധ ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് AX = 0, ഏകപക്ഷീയമല്ലാത്ത ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം. തീർച്ചയായും, അനുവദിക്കുക വൈ 0 എന്നത് ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പ്രത്യേക പരിഹാരമാണ്, അതായത്. ആയ് 0 = ബി, ഒപ്പം വൈ- ഒരു വൈവിധ്യമാർന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം, അതായത്. AY=B. ഒരു സമത്വം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും
എ(വൈ-വൈ 0) = 0, അതായത്. വൈ-വൈ 0 എന്നത് അനുബന്ധ ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ് AX=0. അതിനാൽ, വൈ-വൈ 0 = എക്സ്, അഥവാ Y=Y 0 + എക്സ്. ക്യു.ഇ.ഡി.

ഇൻഹോമോജീനിയസ് സിസ്റ്റത്തിന് AX = B എന്ന ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ 1 + ബി 2 . അപ്പോൾ അത്തരം ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം X = X എന്ന് എഴുതാം 1 + എക്സ് 2 , എവിടെ AX 1 = ബി 1 കൂടാതെ എ.എക്സ് 2 = ബി 2. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഏതെങ്കിലും സാർവത്രിക സ്വത്ത് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു രേഖീയ സംവിധാനങ്ങൾ(ബീജഗണിതം, ഡിഫറൻഷ്യൽ, ഫങ്ഷണൽ മുതലായവ). ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ഈ സ്വഭാവത്തെ വിളിക്കുന്നു സൂപ്പർപോസിഷൻ തത്വം, ഇലക്ട്രിക്കൽ, റേഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ - സൂപ്പർപോസിഷൻ്റെ തത്വം. ഉദാഹരണത്തിന്, ലീനിയർ ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടുകളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഏത് സർക്യൂട്ടിലെയും വൈദ്യുതധാര ഓരോ ഊർജ്ജ സ്രോതസ്സും വെവ്വേറെയുള്ള വൈദ്യുതധാരകളുടെ ബീജഗണിത തുകയായി ലഭിക്കും.

ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരതയുള്ളതും നിസ്സാരമായ ഒരു പരിഹാരവുമാണ്
. നിസ്സാരമല്ലാത്ത ഒരു പരിഹാരം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് ആവശ്യമാണ് അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവായിരുന്നു:

പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഏകതാനമായ സംവിധാനം
കോളം വെക്റ്ററുകളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം വിളിക്കുക
, അത് കാനോനിക്കൽ അടിസ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനം
ഒന്നിന് തുല്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ പൂജ്യമായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

അപ്പോൾ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

എവിടെ
- അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, മൊത്തത്തിലുള്ള പരിഹാരം എന്നത് അടിസ്ഥാനപരമായ പരിഹാര സംവിധാനത്തിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ്.

അങ്ങനെ, സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതർക്ക് ഒന്നിൻ്റെ മൂല്യം നൽകിയാൽ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും, മറ്റെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം. സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം

നമുക്ക് സ്വീകരിക്കാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഫോമിൽ ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കും:

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനം നിർമ്മിക്കാം:

പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും:

ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും രേഖീയ സംയോജനം വീണ്ടും ഒരു പരിഹാരമാണ്.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലാണ് ആദ്യ ഫലങ്ങൾ ലഭിച്ചത്. 1750-ൽ, ജി. ക്രാമർ (1704-1752) ചതുര മാട്രിക്സ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള തൻ്റെ കൃതികൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം നിർദ്ദേശിക്കുകയും ചെയ്തു. 1809-ൽ, ഗൗസ് ഉന്മൂലനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള രീതി എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പുതിയ പരിഹാര രീതി രൂപപ്പെടുത്തി.

ഗൗസിയൻ രീതി, അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതരുടെ തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനം രീതി, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ഒരു ഘട്ടം (അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള) രൂപത്തിന് തുല്യമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ എല്ലാ അജ്ഞാതങ്ങളെയും തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ (1) എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം
(എപ്പോഴും സാധ്യമാണ്).

(1)

ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ ഒന്നൊന്നായി വിളിക്കുന്നത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക അനുയോജ്യമായ സംഖ്യകൾ

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളുമായി ഗുണനത്തിൻ്റെ ഫലം ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു തുല്യമായ സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും അജ്ഞാതമായത് ഉണ്ടാകില്ല. എക്സ് 1

(2)

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (2) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം അനുയോജ്യമായ സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കാം

താഴെയുള്ളവയ്‌ക്കൊപ്പം ചേർക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ.

ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നു, ശേഷം
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഘട്ടം:

(3)

സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് എങ്കിലും
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അപ്പോൾ അനുബന്ധ സമത്വം പരസ്പരവിരുദ്ധവും സിസ്റ്റം (1) പൊരുത്തമില്ലാത്തതുമാണ്. നേരെമറിച്ച്, ഏത് ജോയിൻ്റ് നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിനും
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. നമ്പർ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.