ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് സൗജന്യമായി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ഗൗസ് രീതി ഓൺലൈനിൽ വലിയ വലിപ്പങ്ങൾസങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകളിൽ വളരെ വിശദമായ പരിഹാരം. ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്ററിന് ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സാധാരണ നിശ്ചിതവും അനിശ്ചിതവുമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് സ്വതന്ത്രമായവയിലൂടെ ചില വേരിയബിളുകളുടെ ആശ്രിതത്വം ലഭിക്കും. ഗാസിയൻ സൊല്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഓൺലൈനിൽ സ്ഥിരതയ്ക്കായി സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിശോധിക്കാനും കഴിയും.

മെട്രിക്സ് വലുപ്പം: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 35 34 34 34 34 34 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 7819 88 88 85 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 28 29 30 31 32 353 341 349 34 34 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8420 89 86 89 89 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

രീതിയെക്കുറിച്ച്

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഓൺലൈൻ രീതിഗാസ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നു.

1. ഞങ്ങൾ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതുന്നു.
2. വാസ്തവത്തിൽ, പരിഹാരം ഗാസിയൻ രീതിയുടെ മുന്നോട്ടും പിന്നോട്ടും ഘട്ടങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള സമീപനം ഒരു മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്. ഒരു പ്രത്യേക ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കുന്നതാണ് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം. എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, സംശയാസ്‌പദമായ മൂലകത്തിന് മുകളിലും താഴെയുമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ഉടനടി പൂജ്യമാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാൽക്കുലേറ്റർ ഈ സമീപനം കൃത്യമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.
3. ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യമല്ല, കുറഞ്ഞത് ഒരു പൂജ്യം വരിയുടെ മാട്രിക്സിലെ സാന്നിധ്യം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വലത് വശം(സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ നിര) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊരുത്തക്കേടിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പരിഹാരം ലീനിയർ സിസ്റ്റംഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് നിലവിലില്ല.

ഗൗസിയൻ അൽഗോരിതം ഓൺലൈനിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, ഏതെങ്കിലും ഉദാഹരണം നൽകുക, "വളരെ വിശദമായ പരിഹാരം" തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഓൺലൈനിൽ കാണുക.

ഗാസ് രീതി, രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനംഅജ്ഞാതർ ഇപ്രകാരമാണ്. പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് ആയി മാറുന്ന തരത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. ട്രപസോയ്ഡൽ (ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ളതോ പടികളുള്ളതോ ആയതുപോലെ) അല്ലെങ്കിൽ ട്രപസോയ്ഡലിന് അടുത്ത് (ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള സ്ട്രോക്ക്, ഇനി മുതൽ നേരായ സ്ട്രോക്ക്). അത്തരമൊരു സംവിധാനത്തിൻ്റെയും അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിൻ്റെയും ഉദാഹരണം മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണാം.

അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിൽ, അവസാന സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതിൻ്റെ മൂല്യം അവ്യക്തമായി കണ്ടെത്താനാകും. ഈ വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ( ഗാസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം , പിന്നെ വെറും റിവേഴ്സ്), അതിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തി, തുടങ്ങിയവ.

ഒരു ട്രപസോയിഡൽ (ത്രികോണ) സിസ്റ്റത്തിൽ, നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഇനി വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല വൈഒപ്പം x, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം വേരിയബിളാണ് x .

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ഒരു ട്രപസോയ്ഡൽ രൂപമെടുത്ത ശേഷം, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യതയുടെ പ്രശ്നം മനസിലാക്കാനും പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാനും പരിഹാരങ്ങൾ സ്വയം കണ്ടെത്താനും ഇനി പ്രയാസമില്ല.

രീതിയുടെ പ്രയോജനങ്ങൾ:

1. മൂന്നിൽ കൂടുതൽ സമവാക്യങ്ങളും അജ്ഞാതങ്ങളുമുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗോസ് രീതി ക്രാമർ രീതി പോലെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, കാരണം ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിന് കുറച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്;
2. ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ അനിശ്ചിതകാല സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, പൊതു തീരുമാനം(ഞങ്ങൾ ഈ പാഠത്തിൽ അവ നോക്കും), എന്നാൽ ക്രാമറിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, സിസ്റ്റം അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണെന്ന് മാത്രമേ നമുക്ക് പ്രസ്താവിക്കാനാകൂ;
3. അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും (ഞങ്ങൾ അവ ഈ പാഠത്തിൽ വിശകലനം ചെയ്യും);
4. ഈ രീതി പ്രാഥമിക (സ്കൂൾ) രീതികളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് - അജ്ഞാതരെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന രീതിയും സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്ന രീതിയും, അനുബന്ധ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്പർശിച്ചു.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ട്രപസോയ്ഡൽ (ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള, ഘട്ടം) സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ലാളിത്യം എല്ലാവർക്കും മനസിലാക്കാൻ, റിവേഴ്സ് മോഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. പെട്ടെന്നുള്ള തീരുമാനംപാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഈ സംവിധാനം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.വിപരീതം ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം. ഈ ട്രപസോയിഡൽ സിസ്റ്റത്തിൽ വേരിയബിൾ zമൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അദ്വിതീയമായി കണ്ടെത്താനാകും. ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ മൂല്യം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം നേടുന്നു വൈ:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയാം - zഒപ്പം വൈ. ഞങ്ങൾ അവയെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം നേടുന്നു x:

മുമ്പത്തെ ഘട്ടങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം എഴുതുന്നു:

ഞങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ച ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ അത്തരമൊരു ട്രപസോയിഡൽ സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നതിന്, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഫോർവേഡ് സ്ട്രോക്ക് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതും വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ

ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ബീജഗണിതമായി ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സ്കൂൾ രീതി ആവർത്തിക്കുന്നതിലൂടെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു സമവാക്യം ചേർക്കാമെന്നും ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും ചില സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. തൽഫലമായി, ഇതിന് തുല്യമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതിൽ, ഒരു സമവാക്യത്തിൽ ഇതിനകം ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതിൻ്റെ മൂല്യം മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റി, ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരത്തിലേക്ക് വരുന്നു. അത്തരം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ തരങ്ങളിലൊന്നാണ്. ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് പല തരത്തിലുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം.

മുകളിലെ ആനിമേഷൻ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം എങ്ങനെയാണ് ക്രമേണ ട്രപസോയിഡൽ ഒന്നായി മാറുന്നതെന്ന് കാണിക്കുന്നു. അതായത്, ആദ്യ ആനിമേഷനിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടതും അതിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതരായ എല്ലാവരുടെയും മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണെന്ന് സ്വയം ബോധ്യപ്പെടുത്തിയ ഒന്ന്. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം എങ്ങനെ നടത്താം, തീർച്ചയായും, ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടുതൽ ചർച്ചചെയ്യും.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിലും എത്രയോ സമവാക്യങ്ങളും അജ്ഞാതങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കഴിയും:

1. വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുക (ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഇത് സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നു);
2. മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങൾ തുല്യമായതോ ആനുപാതികമായതോ ആയ വരികളിൽ കലാശിച്ചാൽ, ഒന്നൊഴികെ അവ ഇല്ലാതാക്കാം;
3. എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ "പൂജ്യം" വരികൾ നീക്കം ചെയ്യുക;
4. ഏതെങ്കിലും സ്ട്രിംഗിനെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക;
5. ഏതെങ്കിലും വരിയിലേക്ക് മറ്റൊരു വരി ചേർക്കുക, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ഇതിന് തുല്യമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ചതുര മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതവും ഉദാഹരണങ്ങളും

അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം. അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ചതുരമാണ്, അതായത്, അതിലെ വരികളുടെ എണ്ണം നിരകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 2.ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

സ്കൂൾ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ടേം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, അങ്ങനെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലെ ആദ്യ വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വിപരീത സംഖ്യകളായിരുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, ഈ വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കപ്പെടും. ഗാസ് രീതി സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ലളിതമാക്കാൻ രൂപംപരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം:

ഈ മാട്രിക്സിൽ, അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ ലംബ വരയ്ക്ക് മുമ്പായി ഇടതുവശത്തും സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ ലംബ വരയ്ക്ക് ശേഷം വലതുവശത്തും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഗുണകങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള സൗകര്യത്തിനായി (ഐക്യം അനുസരിച്ച് വിഭജനം നേടുന്നതിന്) നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

പുതിയ ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതാക്കുക xരണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്നും തുടർന്നുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരി ഗുണിച്ചാൽ (നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ ), മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് - ആദ്യ വരി ഗുണിച്ചാൽ (നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ ) ചേർക്കുന്നു.

കാരണം ഇത് സാധ്യമാണ്

നമ്മുടെ സമവാക്യ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിൽ മൂന്നിൽ കൂടുതൽ, തുടർന്നുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്ത അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തൽഫലമായി, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പുതിയ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഈ സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമായ ഒരു മാട്രിക്സ് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കരുത് x :

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വരി ലളിതമാക്കാൻ, അതിനെ ഗുണിച്ച് വീണ്ടും ഈ സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് നേടുക:

ഇപ്പോൾ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം മാറ്റമില്ലാതെ നിലനിർത്തുന്നു, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ വേരിയബിൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു വൈ തുടർന്നുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് ഗുണിച്ച് (നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ ).

ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ മൂന്നിൽ കൂടുതൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, തുടർന്നുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും ഒരു രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കേണ്ടിവരും, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്ത അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

തൽഫലമായി, ഈ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും നേടുന്നു:

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യമായ ട്രപസോയിഡൽ സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു:

സമവാക്യങ്ങളുടെയും വേരിയബിളുകളുടെയും എണ്ണം നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങളുടെ ഡെമോ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് ട്രപസോയ്ഡൽ ആകുന്നതുവരെ വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയ തുടരും.

"അവസാനം മുതൽ" ഞങ്ങൾ പരിഹാരം കണ്ടെത്തും - വിപരീത നീക്കം. ഇതിനായി അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു z:
.
ഈ മൂല്യം മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും വൈ:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും x:

ഉത്തരം: ഈ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരം .

: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ അതേ ഉത്തരം നൽകും. സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇത് ഉത്തരമായിരിക്കും, ഈ പാഠത്തിൻ്റെ അഞ്ചാം ഭാഗത്തിൻ്റെ വിഷയമാണിത്.

ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സ്വയം പരിഹരിക്കുക, തുടർന്ന് പരിഹാരം നോക്കുക

സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സ്ഥിരവും നിശ്ചിതവുമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇവിടെയും നമുക്കുണ്ട്. അൽഗോരിതത്തിൽ നിന്നുള്ള ഞങ്ങളുടെ ഡെമോ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം, ഇതിനകം നാല് സമവാക്യങ്ങളും നാല് അജ്ഞാതങ്ങളും ഉണ്ട് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം 4.ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

തുടർന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം തയ്യാറെടുപ്പ് ജോലി. ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാക്കുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ ഒന്ന് നേടേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ടാമത്തെ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഇനി നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഉന്മൂലനം നടത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഗുണിച്ചാൽ , മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക്, രണ്ടാമത്തേത്, നാലാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ഗുണിക്കുക.

ഇപ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നാലാമത്തെ വരിയിലേക്ക് മൂന്നാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, ഗുണിച്ചാൽ . നമുക്ക് ഒരു വിപുലീകൃത ട്രപസോയ്ഡൽ മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും.

ഇതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം നമുക്ക് ലഭിച്ചു ഈ സംവിധാനം:

തത്ഫലമായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്നതും നൽകിയിരിക്കുന്നതുമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ അനുയോജ്യവും വ്യക്തവുമാണ്. അവസാന തീരുമാനംഞങ്ങൾ "അവസാനം" കണ്ടെത്തുന്നു. നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് "x-four" എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം നേരിട്ട് പ്രകടിപ്പിക്കാം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു

,

,

അവസാനമായി, മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ

ആദ്യ സമവാക്യം നൽകുന്നു

,

എവിടെയാണ് നമ്മൾ "x ഫസ്റ്റ്" കണ്ടെത്തുന്നത്:

ഉത്തരം: ഈ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് .

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കാനും കഴിയും: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ അതേ ഉത്തരം നൽകും.

അലോയ്കളിലെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഭൗതിക ലോകത്തിലെ യഥാർത്ഥ വസ്തുക്കളെ മാതൃകയാക്കാൻ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം - അലോയ്കൾ. സമാനമായ പ്രശ്നങ്ങൾ - മിശ്രിതങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ, ചെലവ് അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേക ഗുരുത്വാകർഷണം വ്യക്തിഗത സാധനങ്ങൾഒരു ഉൽപ്പന്ന ഗ്രൂപ്പിലും മറ്റും.

ഉദാഹരണം 5.മൂന്ന് അലോയ് കഷണങ്ങൾ മൊത്തം 150 കിലോഗ്രാം പിണ്ഡമുണ്ട്. ആദ്യത്തെ അലോയ്യിൽ 60% ചെമ്പ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - 30%, മൂന്നാമത്തേത് - 10%. മാത്രമല്ല, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും അലോയ്കളിൽ ഒന്നിച്ചെടുത്താൽ ആദ്യത്തെ അലോയ്യേക്കാൾ 28.4 കിലോഗ്രാം കുറവാണ്, മൂന്നാമത്തെ അലോയ്യിൽ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ 6.2 കിലോഗ്രാം കുറവാണ്. അലോയ്‌യുടെ ഓരോ ഭാഗത്തിൻ്റെയും പിണ്ഡം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളെ 10 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യമായ സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് സൃഷ്ടിക്കുന്നു:

ശ്രദ്ധ, നേരെ മുന്നോട്ട്. ഒരു വരിയെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, കുറയ്ക്കുന്നത്) ചേർക്കുന്നതിലൂടെ (ഞങ്ങൾ ഇത് രണ്ട് തവണ പ്രയോഗിക്കുന്നു), സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നു:

നേരിട്ടുള്ള നീക്കം അവസാനിച്ചു. വിപുലീകരിച്ച ട്രപസോയിഡൽ മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് മൂവ് പ്രയോഗിക്കുന്നു. അവസാനം മുതൽ ഞങ്ങൾ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് -

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കാനും കഴിയും: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ അതേ ഉത്തരം നൽകും.

ജർമ്മൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസിന് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാൻ 15 മിനിറ്റ് മാത്രമേ എടുത്തിട്ടുള്ളൂ എന്നത് ഗൗസിൻ്റെ രീതിയുടെ ലാളിത്യത്തിന് തെളിവാണ്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലുള്ള രീതിക്ക് പുറമേ, "നമുക്ക് അവിശ്വസനീയവും അസ്വാഭാവികവുമാണെന്ന് തോന്നുന്നത് തികച്ചും അസാധ്യമായ കാര്യങ്ങളുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്" എന്ന ചൊല്ല് ഗോസിൻ്റെ കൃതികളിൽ നിന്ന് അറിയാം - ഒരുതരം ഹ്രസ്വ നിർദ്ദേശങ്ങൾകണ്ടെത്തലുകൾ നടത്താൻ.

പ്രായോഗികമായ പല പ്രശ്നങ്ങളിലും മൂന്നാമതൊരു പരിമിതി ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, അതായത്, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യങ്ങളേക്കാൾ കുറച്ച് അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട്. നമ്മൾ ഇപ്പോൾ അത്തരം സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങും.

ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഏതെങ്കിലും സിസ്റ്റം അനുയോജ്യമാണോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും എൻരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻവേരിയബിളുകൾ.

ഗാസ് രീതിയും അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളും

അടുത്ത ഉദാഹരണം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സ്ഥിരതയുള്ളതും എന്നാൽ അനിശ്ചിതത്വമുള്ളതുമായ ഒരു സംവിധാനമാണ്, അതായത്, അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയ ശേഷം (വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുക, വരികൾ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക, ഒരു വരിയിലേക്ക് മറ്റൊന്ന് ചേർക്കുക) ഫോമിൻ്റെ വരികൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ

സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റം അനിശ്ചിതകാലമാണ്, അതായത്, ഇതിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ “അമിതമാണ്”, ഞങ്ങൾ അവയെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 6.

പരിഹാരം. നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കാം. തുടർന്ന്, ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, തുടർന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിൽ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുക, ഗുണിച്ചാൽ:

ഇനി രണ്ടാമത്തെ വരി മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തേയും കൂട്ടിച്ചേർക്കാം.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

അവസാന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളായി മാറി. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ അജ്ഞാതരുടെ ഏത് മൂല്യത്തിനും സംതൃപ്തമാണ്, അവ നിരസിക്കാൻ കഴിയും.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന്, നമുക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് മൂല്യം അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും: . ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മൂല്യവും അദ്വിതീയമായി കണ്ടെത്തി: .

നൽകിയിരിക്കുന്നതും അവസാനത്തെ സംവിധാനങ്ങളും സ്ഥിരതയുള്ളതും എന്നാൽ അനിശ്ചിതത്വമുള്ളതും ഫോർമുലകളുമാണ്

അനിയന്ത്രിതമായി, തന്നിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും ഞങ്ങൾക്ക് നൽകുക.

ഗാസ് രീതിയും പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളും

അടുത്ത ഉദാഹരണം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംവിധാനമാണ്, അതായത്, പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത ഒന്ന്. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള ഉത്തരം ഈ രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു: സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ആദ്യ ഉദാഹരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഫോമിൻ്റെ വരികൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൽ ദൃശ്യമാകും.

ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു

അവയിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഫ്രീ ടേം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ (അതായത്), ഈ സമവാക്യ സമ്പ്രദായം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്, അതായത്, അതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതിൻ്റെ പരിഹാരം പൂർണ്ണവുമാണ്.

ഉദാഹരണം 7.ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് രചിക്കുന്നു. ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, തുടർന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഗുണിച്ച ആദ്യ വരി ചേർക്കുക, ആദ്യ വരി മൂന്നാം വരി കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ആദ്യ വരി നാലാമത്തെ വരി കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

തുടർന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഗുണകങ്ങളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ അനുപാതം ലഭിക്കുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ ഞങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നു.

മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, രണ്ടാമത്തേത് ഗുണിച്ചാൽ , മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്കും രണ്ടാമത്തേത് , നാലാമത്തെ വരിയിലേക്കും ചേർക്കുക.

ഇപ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിളിനെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നാലാമത്തെ വരിയിലേക്ക് മൂന്നാമത്തെ വരി ചേർക്കുക, ഗുണിച്ചാൽ .

അതിനാൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്, കാരണം അതിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യം അജ്ഞാതരുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ കൊണ്ട് തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഈ സംവിധാനത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഗാസ് രീതിലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAEs) സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അത്യുത്തമം. മറ്റ് രീതികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇതിന് നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

• ഒന്നാമതായി, സ്ഥിരതയ്ക്കായി സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ആദ്യം പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല;
• രണ്ടാമതായി, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒത്തുപോകുന്നതും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ലാത്തതുമായ SLAE-കൾ മാത്രമല്ല, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഗാസ് രീതിക്ക് കഴിയും. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്;
• മൂന്നാമതായി, ഗൗസിയൻ രീതി താരതമ്യേന കുറഞ്ഞ എണ്ണം കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഓപ്പറേഷനുകളുള്ള ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ലേഖനത്തിൻ്റെ സംക്ഷിപ്ത അവലോകനം.

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും നൊട്ടേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അടുത്തതായി, ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിനായി ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതിയുടെ അൽഗോരിതം വിവരിക്കും, അതായത്, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണവും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. സമവാക്യങ്ങളുടെ അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗാസ് രീതിയുടെ സാരാംശം വളരെ വ്യക്തമായി കാണാം, ഇത് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനം ആണ്. അതിനാൽ, ഗൗസിയൻ രീതിയെ അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ഉപസംഹാരമായി, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം പരിഗണിക്കും, ഇതിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരാകൃതിയിലോ ഏകവചനമോ ആണ്. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് ചില സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും നൊട്ടേഷനുകളും.

n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള p ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക (p n ന് തുല്യമായിരിക്കും):

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ എവിടെയാണ്, സംഖ്യകൾ (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) അവ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളാണ്.

എങ്കിൽ , അപ്പോൾ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അല്ലാത്തപക്ഷം - വൈവിധ്യമാർന്ന.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു SLAU യുടെ തീരുമാനം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത, അല്ലാത്തപക്ഷം - നോൺ-ജോയിൻ്റ്.

ഒരു SLAE-ക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്. ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനിശ്ചിതത്വം.

സിസ്റ്റം എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു കോർഡിനേറ്റ് ഫോം, അതിന് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ
.

ഈ സംവിധാനം മാട്രിക്സ് ഫോംറെക്കോർഡുകൾക്ക് ഫോം ഉണ്ട്, എവിടെ - SLAE യുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, - അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ നിരയുടെ മാട്രിക്സ്, - സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്.

(n+1)ആം നിരയായി മാട്രിക്സ് A-ലേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് കോളം ചേർത്താൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ്രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് T എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിരയെ ശേഷിക്കുന്ന നിരകളിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബ വരയാൽ വേർതിരിക്കുന്നു, അതായത്,

സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കുന്നു അധഃപതിക്കുക, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ. എങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത.

ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിൻ്റ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രകടനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ

• രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക,
• ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും അനിയന്ത്രിതവും പൂജ്യമല്ലാത്തതുമായ യഥാർത്ഥ (അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ) സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക,
• ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ,

അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരിഹാരങ്ങളുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥമായത് പോലെ, പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത) ഒരു തുല്യമായ സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിനായി, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വരികൾക്കൊപ്പം പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

• രണ്ട് വരികൾ മാറ്റി,
• മാട്രിക്സ് T യുടെ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക,
• ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വരിയുടെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക് മറ്റൊരു വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ വിവരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ല, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല ഞങ്ങളെ ഏൽപ്പിച്ചാൽ ഞങ്ങൾ സ്കൂളിൽ എന്തുചെയ്യും? .

ചിലർ അത് ചെയ്യുമായിരുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ചേർക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഇടത് വശംആദ്യം, വലതുവശത്ത് - വലത്, നിങ്ങൾക്ക് x 2, x 3 എന്നീ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഒഴിവാക്കാനും ഉടനടി x 1 കണ്ടെത്താനും കഴിയും:

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം x 1 =1 സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അവയെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x 3 വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കി x 2 കണ്ടെത്താനാകും:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം x 2 = 2 മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

മറ്റുള്ളവർ വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യുമായിരുന്നു.

അജ്ഞാതമായ x 1 എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം, കൂടാതെ ഈ വേരിയബിളിനെ അവയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ഇനി നമുക്ക് x 2-നുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ x 2 വേരിയബിൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് ലഭിച്ച ഫലം മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 3 =3 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു , ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

പരിചിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ, അല്ലേ?

ഇവിടെ ഏറ്റവും രസകരമായ കാര്യം, രണ്ടാമത്തെ പരിഹാര രീതി പ്രധാനമായും അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതിയാണ്, അതായത്, ഗാസിയൻ രീതി. ഞങ്ങൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ (ആദ്യം x 1, അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ x 2) പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അവ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒഴിവാക്കി. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിൾ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നത് വരെ ഞങ്ങൾ എലിമിനേഷൻ നടത്തി. അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേരിട്ടുള്ള ഗൗസിയൻ രീതി. പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം മുന്നോട്ട് സ്ട്രോക്ക്അവസാന സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ അവസരമുണ്ട്. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു ഗാസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ x 2, x 3 എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്:

വാസ്തവത്തിൽ, അത്തരമൊരു നടപടിക്രമം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്തപ്പോൾ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന സൂക്ഷ്മതകൾ ഉണ്ടാകുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, SLAU-ൽ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ x 1 എന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ഇല്ല (മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിന് മുന്നിലുള്ള ഗുണകം പൂജ്യമാണ്). അതിനാൽ, ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നമുക്ക് x 1-നുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാനുള്ള വഴി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക എന്നതാണ്. പ്രധാന മെട്രിക്സുകളുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വേരിയബിൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്, ഈ സമവാക്യം നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള സ്ഥാനത്തേക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ മതി , തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് x 1 നുള്ള ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഒഴിവാക്കാനും കഴിയും (രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x 1 ഇനി ഇല്ലെങ്കിലും).

നിങ്ങൾക്ക് സംഗ്രഹം ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

നമുക്ക് വിവരിക്കാം ഗൗസിയൻ രീതി അൽഗോരിതം.

n അജ്ഞാതമായ n ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക. രൂപത്തിൻ്റെ വേരിയബിളുകൾ , കൂടാതെ അതിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കട്ടെ.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് നേടാനാകുമെന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഒഴിവാക്കാം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത്, ഗുണിച്ചാൽ , മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , അങ്ങനെ അങ്ങനെ, n-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത്, ഗുണിച്ച് . അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ ഒപ്പം .

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ മറ്റ് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നെങ്കിൽ നമ്മൾ ഇതേ ഫലത്തിൽ എത്തുമായിരുന്നു. അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 1 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.

അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ സമാനമായ രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു, പക്ഷേ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രം, അത് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , അങ്ങനെ അങ്ങനെ, n-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ച് . അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ ഒപ്പം . അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 2 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ.

അടുത്തതായി, ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഭാഗവുമായി ഞങ്ങൾ സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അജ്ഞാത x 3 ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു.

അതിനാൽ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതി തുടരുന്നു

ഈ നിമിഷം മുതൽ ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം ആരംഭിക്കുന്നു: അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x n കണക്കാക്കുന്നു, x n ൻ്റെ ലഭിച്ച മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n-1 കണ്ടെത്തുന്നു, അങ്ങനെ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 1 കണ്ടെത്തുന്നു. .

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് അൽഗോരിതം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ഗാസ് രീതി.

പരിഹാരം.

കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് a 11 പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഗാസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതിയിലേക്ക് പോകാം, അതായത്, ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാതമായ x 1 വേരിയബിളിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക്, യഥാക്രമം യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ ചേർക്കുക. ഒപ്പം :

അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കി, നമുക്ക് x 2 ഒഴിവാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ യഥാക്രമം ഗുണിച്ച് ചേർക്കുന്നു. ഒപ്പം :

ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ മുന്നോട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കാൻ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഇല്ലാതാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് യഥാക്രമം ചേർക്കാം, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ, ഗുണിച്ചാൽ :

നിങ്ങൾക്ക് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം ആരംഭിക്കാം.

നമുക്കുള്ള അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ,
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്,
രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന്,
ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന്.

പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്നു, ഇത് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തിയെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

ഇപ്പോൾ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിലെ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അതേ ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നൽകാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക ഗാസ് രീതി.

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് . ഓരോ നിരയുടെയും മുകളിൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്.

ഇവിടെ ഗാസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള സമീപനം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു ട്രപസോയ്ഡൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്ത അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ് ഈ പ്രക്രിയ. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇത് കാണും.

നമുക്ക് മാട്രിക്സ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അങ്ങനെ ആദ്യ നിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും രണ്ടാമത്തേത് മുതൽ പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു , അതനുസരിച്ച്:

അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകും. ഇത് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 2 ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ ഒപ്പം :

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ അവസാന വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ :

ഈ മാട്രിക്സ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

ഒരു മുന്നേറ്റത്തിന് ശേഷം നേരത്തെ ലഭിച്ചതാണ്.

പിന്തിരിയാൻ സമയമായി. മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിൽ, ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിനെ ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന തരത്തിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഡയഗണൽ ആയി, അതായത്, രൂപം സ്വീകരിച്ചു

ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്.

ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് അവസാനത്തേയ്ക്കല്ല, അവസാനത്തേത് മുതൽ ആദ്യത്തേത് വരെ.

മൂന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യ വരികളിലെയും ഘടകങ്ങളിലേക്ക് അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളെ ഗുണിച്ച് ചേർക്കുക , പിന്നെയും പിന്നെയും യഥാക്രമം:

ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യ വരികളിലെയും ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ:

റിവേഴ്സ് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു , എവിടെ നിന്നാണ് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത്.

ഉത്തരം:

കുറിപ്പ്.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കണം, കാരണം ഇത് പൂർണ്ണമായും തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ദശാംശങ്ങൾ റൗണ്ട് ചെയ്യരുതെന്ന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിന്ന് നല്ലത് ദശാംശങ്ങൾപോകുക സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

ഉദാഹരണം.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത പദവിയുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക (x 1, x 2, x 3 അല്ല, x, y, z). നമുക്ക് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് പോകാം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x ഒഴിവാക്കാം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിൾ y രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഇല്ല, എന്നാൽ y മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം:

ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കുന്നു (ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ, മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y ഒഴിവാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല).

നമുക്ക് വിപരീത നീക്കം ആരംഭിക്കാം.

അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ,
അവസാനഘട്ടത്തിൽ നിന്ന്


നമുക്കുള്ള ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്

ഉത്തരം:

X = 10, y = 5, z = -20.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമാണ്, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതോ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതോ ആയ ഏകവചനമായ പ്രധാന മാട്രിക്സിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, ഒരൊറ്റ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊരുത്തമോ പൊരുത്തക്കേടോ സ്ഥാപിക്കാൻ ഗോസ് രീതി ഞങ്ങളെ എങ്ങനെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മനസ്സിലാകും, കൂടാതെ അതിൻ്റെ അനുയോജ്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും (അല്ലെങ്കിൽ ഒരൊറ്റ പരിഹാരം) നിർണ്ണയിക്കുക.

തത്വത്തിൽ, അത്തരം SLAE-കളുടെ കാര്യത്തിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയ അതേപടി തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഉണ്ടാകാനിടയുള്ള ചില സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി പരിശോധിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

നമുക്ക് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം.

അതിനാൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം, ഗോസ് രീതിയുടെ മുന്നോട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, രൂപമെടുക്കുമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ഒരു സമവാക്യം പോലും കുറച്ചില്ല (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റം അനുയോജ്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും). ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണം"?

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ആദ്യം വരുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ നമുക്ക് എഴുതാം:

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇവ x 1, x 4, x 5 എന്നിവയാണ്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത്, എഴുതിയ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 1, x 4, x 5 എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുന്നു:

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം, എവിടെ - അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ:

ഇതിനുശേഷം, ഞങ്ങളുടെ SLAE യുടെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും വലതുവശത്ത് സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ഗോസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതത്തിലേക്ക് പോകാം.

നമുക്കുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്ന അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നു വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് വ്യത്യസ്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്, നമ്മുടെ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

എവിടെ - അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം.

തീരുമാനിക്കുക ഏകതാനമായ സംവിധാനംരേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ ഗാസ് രീതി.

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക്, ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഇടത്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശങ്ങൾ, ഗുണിച്ചാൽ:

ഇപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y ഒഴിവാക്കാം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന SLAE സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് .

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x, y എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം വിടുന്നു, കൂടാതെ z എന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളിനൊപ്പം പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക:

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ രണ്ട് സിസ്റ്റങ്ങളെ അവയുടെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഒരു കൂട്ടം ഒത്തുവന്നാൽ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഇവയാണ്:

1. സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് നിസ്സാരമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു, അതായത്. എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായവ;
2. ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തെ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക;
3. ഏതെങ്കിലും i-th സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുമ്പോൾ ഏതെങ്കിലും j-th സമവാക്യം ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

ഈ വേരിയബിൾ അനുവദനീയമല്ലെങ്കിൽ ഒരു വേരിയബിളിനെ x i എന്ന് വിളിക്കുന്നു, എന്നാൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ സിസ്റ്റവും അനുവദനീയമാണ്.

സിദ്ധാന്തം. പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ തുല്യമായ ഒന്നാക്കി മാറ്റുന്നു.

ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ അർത്ഥം സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ വ്യവസ്ഥയെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും തുല്യമായ പരിഹരിച്ച അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യമായ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റം നേടുക എന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ഗാസിയൻ രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ആദ്യ സമവാക്യം നോക്കാം. നമുക്ക് ആദ്യത്തെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഗുണകം തിരഞ്ഞെടുത്ത് മുഴുവൻ സമവാക്യവും ഹരിക്കാം. ചില വേരിയബിൾ x i 1 ൻ്റെ ഗുണകത്തിൽ പ്രവേശിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും;
2. ബാക്കിയുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലെ x i എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യമാകുന്ന തരത്തിൽ അത്തരം സംഖ്യകളാൽ ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം മറ്റെല്ലാതിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കാം. x i വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ചതും യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യവുമായ ഒരു സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു;
3. നിസ്സാരമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നുവെങ്കിൽ (അപൂർവ്വമായി, പക്ഷേ അത് സംഭവിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, 0 = 0), ഞങ്ങൾ അവയെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് മറികടക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു കുറവ് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്;
4. ഞങ്ങൾ മുമ്പത്തെ ഘട്ടങ്ങൾ n തവണയിൽ കൂടുതൽ ആവർത്തിക്കില്ല, ഇവിടെ n എന്നത് സിസ്റ്റത്തിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ "പ്രോസസ്സിംഗ്" എന്നതിനായി ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, 0 = 8), സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്.

തൽഫലമായി, കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം നമുക്ക് പരിഹരിച്ച ഒരു സിസ്റ്റം (ഒരുപക്ഷേ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ ഉള്ളത്) അല്ലെങ്കിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്ത ഒന്ന് ലഭിക്കും. അനുവദനീയമായ സിസ്റ്റങ്ങൾ രണ്ട് കേസുകളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു:

1. വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റം നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നാണ്;
2. വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതൽ എണ്ണംസമവാക്യങ്ങൾ. വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ ഫ്രീ വേരിയബിളുകളും ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു - അനുവദനീയമായ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഫോർമുലകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

അത്രയേയുള്ളൂ! രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിച്ചു! ഇത് വളരെ ലളിതമായ അൽഗോരിതം ആണ്, ഇത് മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ ഒരു ഉയർന്ന മാത്തമാറ്റിക്സ് അദ്ധ്യാപകനെ ബന്ധപ്പെടേണ്ടതില്ല. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

ഘട്ടങ്ങളുടെ വിവരണം:

1. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക - നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 1 ലഭിക്കും;
2. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ (-3) കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു - നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും, അതിൽ വേരിയബിൾ x 2 1 ൻ്റെ ഗുണകത്തിൽ പ്രവേശിക്കുന്നു;
3. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേതിലേക്ക് ചേർക്കുകയും മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 2 ലഭിക്കുന്നു;
4. അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു - നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 3 ലഭിക്കും;
5. ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അംഗീകൃത സംവിധാനം ലഭിച്ചു, പ്രതികരണം എഴുതുക.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരേസമയത്തുള്ള സംവിധാനത്തിനുള്ള പൊതു പരിഹാരം പുതിയ സംവിധാനം, ഒറിജിനൽ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ അനുവദനീയമായ എല്ലാ വേരിയബിളുകളും സ്വതന്ത്രമായവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

എപ്പോൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം? നിങ്ങൾ k-നേക്കാൾ കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ (k എന്നത് എത്ര സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്). എന്നിരുന്നാലും, പ്രക്രിയ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്നതിൻ്റെ കാരണങ്ങൾ l< k , может быть две:

1. l-ആം ഘട്ടത്തിന് ശേഷം, സംഖ്യ (l + 1) ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് നല്ലതാണ്, കാരണം ... അംഗീകൃത സിസ്റ്റം ഇപ്പോഴും ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട് - കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾ മുമ്പ് പോലും.
2. lth ഘട്ടത്തിന് ശേഷം, വേരിയബിളുകളുടെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര ഗുണകം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇതൊരു വൈരുദ്ധ്യ സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്.

ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവിർഭാവം പൊരുത്തക്കേടിനുള്ള മതിയായ അടിസ്ഥാനമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. അതേ സമയം, lth ഘട്ടത്തിൻ്റെ ഫലമായി, നിസ്സാരമായ സമവാക്യങ്ങളൊന്നും നിലനിൽക്കില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു - അവയെല്ലാം പ്രക്രിയയിൽ തന്നെ മറികടക്കുന്നു.

ഘട്ടങ്ങളുടെ വിവരണം:

1. രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ സമവാക്യം മൂന്നാമത്തേതിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു - നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 1 ലഭിക്കും;
2. രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക - നമുക്ക് 0 = -5 എന്ന വൈരുദ്ധ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, പൊരുത്തമില്ലാത്ത സമവാക്യം കണ്ടെത്തിയതിനാൽ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്.

ടാസ്ക്. അനുയോജ്യത പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുകയും സിസ്റ്റത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക:

ഘട്ടങ്ങളുടെ വിവരണം:

1. നമ്മൾ ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു (രണ്ടുകൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം) മൂന്നാമത്തേത് - നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 1 ലഭിക്കും;
2. മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക. ഈ സമവാക്യങ്ങളിലെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം നിസ്സാരമായിത്തീരും. അതേ സമയം, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക;
3. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക - നമുക്ക് അനുവദനീയമായ വേരിയബിൾ x 2 ലഭിക്കും. സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ സംവിധാനവും ഇപ്പോൾ പരിഹരിച്ചു;
4. x 3, x 4 എന്നീ വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, അനുവദനീയമായ വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ അവയെ വലത്തേക്ക് നീക്കുന്നു. ഇതാണ് ഉത്തരം.

അതിനാൽ, അനുവദനീയമായ രണ്ട് വേരിയബിളുകളും (x 1, x 2) രണ്ട് സ്വതന്ത്രമായവയും (x 3, x 4) ഉള്ളതിനാൽ സിസ്റ്റം സ്ഥിരവും അനിശ്ചിതത്വവുമാണ്.