പ്രഭാഷണത്തിൽ, എൽഎൻഡിഇകൾ പഠിക്കപ്പെടുന്നു - ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘടന പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച് എൽപിഡിഇയുടെ പരിഹാരം, എൽപിഡിഇയുടെ പരിഹാരം സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾഒരു പ്രത്യേക തരത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗവും. ഭൗതികശാസ്ത്രം, ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഇലക്ട്രോണിക്സ് എന്നിവയിലെ നിർബന്ധിത ആന്ദോളനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിലും ഓട്ടോമാറ്റിക് നിയന്ത്രണ സിദ്ധാന്തത്തിലും പരിഗണനയിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
1. 2-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘടന.
അനിയന്ത്രിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യം നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം:
നൊട്ടേഷൻ കണക്കിലെടുത്ത്, നമുക്ക് എഴുതാം:
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും വലതുവശത്തും ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും.
സിദ്ധാന്തം. ഒരു നിശ്ചിത ഡൊമെയ്‌നിലെ ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പരിഹാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും അനുബന്ധ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവുമാണ്.
തെളിവ്.ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിന് Y ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കട്ടെ.
തുടർന്ന്, ഈ പരിഹാരം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും:
അനുവദിക്കുക 
- അടിസ്ഥാന സംവിധാനംഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ 
. പിന്നെ പൊതു തീരുമാനംഏകതാനമായ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
പ്രത്യേകിച്ചും, 2-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്, പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘടനയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
എവിടെ 
അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനമാണ്, കൂടാതെ 
- ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പരിഹാരം.
അതിനാൽ, ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും എങ്ങനെയെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അസമമായ സമവാക്യം. സാധാരണയായി ഇത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യങ്ങളിൽ ഒരു സ്വകാര്യ പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.
2. വേരിയേഷൻ രീതി
പ്രായോഗികമായി, വ്യത്യസ്ത അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോമിലെ അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിന് ആദ്യം ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക:
തുടർന്ന്, ഗുണകങ്ങൾ ഇടുന്നു സി ഐമുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എക്സ്, അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം തേടുന്നു:
ഫംഗ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അത് തെളിയിക്കാനാകും സി ഐ (x) നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
ഉദാഹരണം.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു 
അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും:
നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കാം:
നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം:
ബന്ധത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുന്നു ഓ).
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു B(x).
അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
അന്തിമ ഉത്തരം: 
പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഏതെങ്കിലും രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അനുയോജ്യമാണ്. എന്നാൽ കാരണം അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണ്;
3. ഒരു പ്രത്യേക രൂപത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ
അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തെ തരം അനുസരിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെ തരം സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തോന്നുന്നു.
ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു:
I. ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശത്ത് ഈ രൂപമുണ്ട്:
ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം എവിടെയാണ് എം.
അപ്പോൾ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു:
ഇവിടെ ക്യു(x) - അതേ അളവിലുള്ള ബഹുപദം പി(x) , മൂക്ക് അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങൾ, എ ആർ- അനുബന്ധ രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് സംഖ്യ എത്ര മടങ്ങാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ.
ഉദാഹരണം.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
.
നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: 
ഇനി യഥാർത്ഥ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താം.
മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത വലതുവശത്തെ രൂപവുമായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശം താരതമ്യം ചെയ്യാം.
ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം തിരയുന്നു: 
, എവിടെ
ആ. 
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാം എഒപ്പം IN.
നമുക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ യഥാർത്ഥ അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കാം.
ആകെ, സ്വകാര്യ പരിഹാരം: 
അപ്പോൾ ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:
II. ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശത്ത് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
ഇവിടെ ആർ 1 (എക്സ്)ഒപ്പം ആർ 2 (എക്സ്)- ബിരുദത്തിൻ്റെ ബഹുപദങ്ങൾ എം 1 ഒപ്പം എം 2 യഥാക്രമം.
അപ്പോൾ അസമമായ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ടാകും:
നമ്പർ എവിടെയാണ് ആർഒരു സംഖ്യ എത്ര തവണ കാണിക്കുന്നു 
അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിനായുള്ള സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആണ്, കൂടാതെ ക്യു 1
(x)
ഒപ്പം
ക്യു 2
(x)
- ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദങ്ങൾ എം, എവിടെ എം- ഡിഗ്രികളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എം 1
ഒപ്പം എം 2
.
സ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെ സംഗ്രഹ പട്ടിക
വ്യത്യസ്ത തരത്തിലുള്ള വലത് വശങ്ങൾക്കായി
|
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശം |
സ്വഭാവ സമവാക്യം |
സ്വകാര്യ തരങ്ങൾ |
|
|
|
1. സംഖ്യ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമല്ല |
|
|
|
2. ഗുണിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് സംഖ്യ |
|
||
|
|
1. നമ്പർ |
|
|
|
2. നമ്പർ |
|
||
|
1. സംഖ്യകൾ |
|
||
|
2. സംഖ്യകൾ |
|
||
|
1. സംഖ്യകൾ | |||
|
2. സംഖ്യകൾ |
സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ടല്ല
ഗുണിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് 
ബഹുത്വത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ് 
സ്വഭാവ ഗുണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളല്ല 
ബഹുത്വത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ് 
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശം മുകളിൽ പരിഗണിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സംയോജനമാണെങ്കിൽ, സഹായ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സംയോജനമായാണ് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് അനുയോജ്യമായ വലത് വശമുണ്ട്. സംയോജനത്തിൽ.
ആ. സമവാക്യം ആണെങ്കിൽ: 
, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ആയിരിക്കും 
എവിടെ ചെയ്തത് 1
ഒപ്പം ചെയ്തത് 2
- സഹായ സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ
ഒപ്പം 
വിശദീകരിക്കുന്നതിന്, മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഉദാഹരണം മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാം.
ഉദാഹരണം.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗത്തെ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയായി നമുക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കാം എഫ് 1 (x) + എഫ് 2 (x) = x + (- പാപം x).
നമുക്ക് സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം:
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: I.e. 
ആകെ: 
ആ. ആവശ്യമായ പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: 
ഏകതാനമല്ലാത്ത ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം:
വിവരിച്ച രീതികളുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.
ഉദാഹരണം 1..സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
അനുബന്ധ ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായി നമുക്ക് ഒരു സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിക്കാം:
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ രൂപത്തിൽ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു:
നമുക്ക് അനിശ്ചിതകാല ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: 
ഒരു രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം: 
ഉദാഹരണം.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 
സ്വഭാവ സമവാക്യം:
ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം: 
അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം: 
.
ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തി അവയെ യഥാർത്ഥ അസമമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നു:
സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ (പിസി) ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സെക്കൻഡ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ (എൽഎൻഡിഇ-2) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനങ്ങൾ
സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ $p$, $q$ എന്നിവയുള്ള ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ LDDE ന് $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $f\left(x \right)$ എന്നത് ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്.
PC ഉള്ള LNDU 2 സംബന്ധിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്.
ചില ഫംഗ്ഷൻ $U$ ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഭാഗിക പരിഹാരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ചില ഫംഗ്ഷൻ $Y$ എന്നത് അനുബന്ധ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ്റെ (HLDE) പൊതു പരിഹാരമാണ് (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. തുടർന്ന് GR-ൻ്റെ GR LHDE-2 എന്നത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സ്വകാര്യവും പൊതുവായതുമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് $y=U+Y$.
ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ LMDE യുടെ വലത് വശം ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ഓരോ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കും $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, അതിനു ശേഷം $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ എന്ന ഫോമിൽ CR LNDU-2 എഴുതുക.
പിസിക്കൊപ്പം രണ്ടാം ഓർഡർ എൽപിഡിഇയുടെ പരിഹാരം
തന്നിരിക്കുന്ന LNDU-2-ൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ PD $U$ അതിൻ്റെ വലത് വശത്തെ $f\ഇടത്(x\right)$ ൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട രൂപത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. PD LNDU-2 നായി തിരയുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് നിയമങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
റൂൾ #1.
LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, അതായത്, ഇതിനെ a എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $n$ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n) \left(x\right)$ എന്നത് മറ്റൊന്നാണ്. $P_(n) \ഇടത്(x\വലത്)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം, കൂടാതെ $r$ എന്നത് വേരുകളുടെ എണ്ണം സ്വഭാവ സമവാക്യംപൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ LOD-2 ന് തുല്യമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ (UK) രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.
റൂൾ നമ്പർ 2.
LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ എന്ന രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \ഇടത്(x\വലത്)$ എന്നത് $n$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n ) \ left(x\right)$ എന്നത് $P_(n) \left(x\right)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ മറ്റൊരു ബഹുപദമാണ്, കൂടാതെ $r$ എന്നത് അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha $ ന് തുല്യമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതിയാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്.
റൂൾ നമ്പർ 3.
LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) എന്ന രൂപമുണ്ട്. \right) $, $a$, $b$, $\beta$ എന്നിവ എവിടെയാണ് അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു. \right )\cdot x^(r) $, ഇവിടെ $A$, $B$ എന്നിവ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളാണ്, $r$ എന്നത് $i\cdot-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണ്. \beta $. $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ നോൺ-ഡിസ്ട്രക്റ്റീവ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.
റൂൾ നമ്പർ 4.
LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)$ ആണ് ഡിഗ്രി $ n$ എന്ന ബഹുപദവും $P_(m) \left(x\right)$ എന്നത് $m$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(s) \left(x\right)$ ഒപ്പം $ R_(s) \left(x\right)$ എന്നത് $s$ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദങ്ങളാണ്, $s$ എന്നത് $n$, $m$ എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പരമാവധി ആണ്, $r$ എന്നത് വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha +i\cdot \beta $-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ. $Q_(s) \left(x\right)$, $R_(s) \left(x\right)$ എന്നീ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.
NK രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായ LNDU-2 ൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഭാഗമായ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:
- പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതിയ PD $U$ എന്നതിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുക ഇടത് വശം LNDU-2;
- LNDU-2 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്, അതേ ശക്തികൾ $x$ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമാക്കലും ഗ്രൂപ്പ് നിബന്ധനകളും നടത്തുക;
- തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ, ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ $x$ എന്ന അതേ ശക്തികളുമായി പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുക;
- തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾഅജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്.
ഉദാഹരണം 1
ടാസ്‌ക്: കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD യും കണ്ടെത്തുക , $x=0$-ന് $y=6$, $x=0$-ന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ LOD-2 എഴുതുന്നു: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
സ്വഭാവ സമവാക്യം: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവയാണ്: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ഈ വേരുകൾ സാധുതയുള്ളതും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അങ്ങനെ, അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ OR ന് ഫോം ഉണ്ട്: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.
ഈ LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്. $\alpha =3$ എന്ന ഘാതകത്തിൻ്റെ ഗുണകം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ഗുണകം സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വേരുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഈ LNDU-2 ൻ്റെ PD ന് $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്.
NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾക്കായി തിരയും.
ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
$U"=\ഇടത്(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$
$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
$U""=\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$
$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$
നൽകിയിരിക്കുന്ന NLDE-2 $y""-3\cdot y" എന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ $y""$, $y"$, $y$ എന്നിവയ്ക്ക് പകരം $U""$, $U"$, $U$ എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ മാത്രമല്ല, $e^(3\cdot x) $ ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എല്ലാ ഘടകങ്ങളിലും, അത് നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
ഞങ്ങൾ NDT രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
ഈ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്: $A=-2$, $B=-1$.
PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.
ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിനായുള്ള OR $y=Y+U$ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ഇടത് (-2\cdot x-1\വലത്)\cdot e^(3\cdot x) $.
നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു PD തിരയുന്നതിനായി, OP-യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് $y"$ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\ഇടത്(-2\cdot x-1\വലത്)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$
$x=0$ എന്നതിന് $y=6$, $x=0$ എന്നതിന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ $y$, $y"$ എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
$6=C_(1) +C_(2) -1; $
$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$
ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിച്ചു:
$C_(1) +C_(2) =7;$
$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$
നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം. ക്രാമർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $C_(1) $ കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടാതെ $C_(2) $ ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു:
$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ തുടക്കം(അറേ)(സിസി) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ അവസാനം(അറേ)\ വലത്|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$
അങ്ങനെ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പിഡിക്ക് ഫോം ഉണ്ട്: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.
|
സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള അസമമായ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ |
|
പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഘടന ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്: എവിടെ പി, q- സ്ഥിരമായ സംഖ്യകൾ (അത് യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ ആകാം). അത്തരം ഓരോ സമവാക്യത്തിനും നമുക്ക് അനുയോജ്യമായത് എഴുതാം ഏകതാനമായ സമവാക്യം:
സിദ്ധാന്തം: ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ് വൈ 0 (x) അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെയും പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെയും വൈ 1 (x) അസമമായ സമവാക്യം:
അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് വഴികൾ ഞങ്ങൾ ചുവടെ പരിഗണിക്കും. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി പൊതുവായ പരിഹാരമാണെങ്കിൽ വൈസംയോജിത ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ 0 അറിയപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് അസമമായ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം ഇത് ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും സ്ഥിരമായ വ്യതിയാന രീതി. ഒരു ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ: സ്ഥിരത്തിനു പകരം സി 1 ഒപ്പം സി 2 ഞങ്ങൾ സഹായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കും സി 1 (x) ഒപ്പം സി 2 (x). പരിഹാരമായ ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ നോക്കും വലതുവശത്തുള്ള അസമമായ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തി എഫ്(x). അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ സി 1 (x) ഒപ്പം സി 2 (x) രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:
അനിശ്ചിതത്വ ഗുണക രീതി വലത് ഭാഗം എഫ്(x) ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പലപ്പോഴും ഒരു പോളിനോമിയൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അല്ലെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ചില സംയോജനമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരിഹാരം തിരയുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ് അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി. നമുക്ക് അത് ഊന്നിപ്പറയാം ഈ രീതിവലതുവശത്തുള്ള പരിമിതമായ ക്ലാസ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു  രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തെ ഘടനയുമായി പൊരുത്തപ്പെടണം. കേസ് 1 ആണെങ്കിൽ, നമ്പർ α വി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻസ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൽ ഒരു അധിക ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കും x എസ്, എവിടെ എസ്- റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണിതം α സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൽ. കേസ് 2 ആണെങ്കിൽ, നമ്പർ α + βiസ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിനുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു അധിക ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കും x. ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിനായി കണ്ടെത്തിയ പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. സൂപ്പർപോസിഷൻ തത്വം അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗമാണെങ്കിൽ തുകഫോമിൻ്റെ നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ അപ്പോൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം വലതുവശത്തുള്ള ഓരോ പദത്തിനും പ്രത്യേകം നിർമ്മിച്ച ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും. |
|
ഉദാഹരണം 1 |
|
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y"" + y= പാപം (2 x). പരിഹാരം. ആദ്യം നമ്മൾ അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു y"" + y= 0.വി ഈ സാഹചര്യത്തിൽസ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തികച്ചും സാങ്കൽപ്പികമാണ്: തൽഫലമായി, ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയാണ് നൽകുന്നത് നമുക്ക് വീണ്ടും അസമമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഫോമിൽ അതിൻ്റെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച്. പ്രവർത്തനങ്ങൾ സി 1 (x) ഒപ്പം സി 2 (x) നിന്ന് കണ്ടെത്താം അടുത്ത സിസ്റ്റംസമവാക്യങ്ങൾ:
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കാം സി 1 " (x) ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്:
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് പകരമായി, ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു സി 2 " (x):
അത് പിന്തുടരുന്നു ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു സി 1 " (x) ഒപ്പം സി 2 " (x), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: എവിടെ എ 1 , എ 2 - ഏകീകരണത്തിൻ്റെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്ഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം സി 1 (x) ഒപ്പം സി 2 (x) ഫോർമുലയിലേക്ക് വൈ 1 (x) കൂടാതെ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എഴുതുക:
|
|
ഉദാഹരണം 2 |
|
സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y"" + y" −6വൈ = 36x. പരിഹാരം. നമുക്ക് അനിശ്ചിതകാല ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം രേഖീയ പ്രവർത്തനം എഫ്(x)= കോടാലി + ബി. അതിനാൽ, രൂപത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുല്യമാണ്:
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഇത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അവസാന സമവാക്യം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയാണ്, അതായത്, അത് എല്ലാവർക്കും സാധുതയുള്ളതാണ് x, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളെ ഒരേ ഡിഗ്രികളുമായി തുല്യമാക്കുന്നു xഇടത്തും വലത്തും: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: എ = −6, ബി= -1. തത്ഫലമായി, പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. സഹായ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: അതിനാൽ, അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു |
DE യുടെ പൊതുവായ സംയോജനം.
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
എന്നാൽ ഏറ്റവും രസകരമായ കാര്യം, ഉത്തരം ഇതിനകം തന്നെ അറിയാം: , കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, നമ്മൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കം കൂടി ചേർക്കണം: ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ.
അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
അനിയന്ത്രിതമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പാഠം വിഷയത്തിൽ ഇതിനകം കൂടുതലോ കുറവോ നന്നായി അറിയാവുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾക്കായി ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്. നിങ്ങൾ വിദൂര നിയന്ത്രണവുമായി പരിചയപ്പെടാൻ തുടങ്ങിയാൽ, അതായത്. നിങ്ങൾ ഒരു ചായക്കോപ്പയാണെങ്കിൽ, ആദ്യ പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. നിങ്ങൾ ഇതിനകം പൂർത്തിയാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ രീതി ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന മുൻധാരണ ഉപേക്ഷിക്കുക. കാരണം ഇത് ലളിതമാണ്.
ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത്?
1) ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം ഒന്നാം ഓർഡറിൻ്റെ ലീനിയർ അസമമായ DE. സമവാക്യം ആദ്യ ക്രമത്തിലുള്ളതിനാൽ, സ്ഥിരാങ്കവും ഒന്നാണ്.
2) ചിലത് പരിഹരിക്കാൻ അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു രേഖീയ അസമമായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ. ഇവിടെ രണ്ട് സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
പാഠത്തിൽ രണ്ട് ഖണ്ഡികകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമെന്ന് കരുതുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്... അതിനാൽ ഞാൻ ഈ വാചകം എഴുതി, പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് സുഗമമായ പരിവർത്തനത്തിനായി എനിക്ക് മറ്റെന്താണ് മിടുക്ക് ചേർക്കാൻ കഴിയുക എന്ന് ഏകദേശം 10 മിനിറ്റോളം ഞാൻ വേദനയോടെ ചിന്തിച്ചു. എന്നാൽ ചില കാരണങ്ങളാൽ അവധി കഴിഞ്ഞ് എനിക്ക് ഒരു ചിന്തയും ഇല്ല, ഞാൻ ഒന്നും ദുരുപയോഗം ചെയ്തതായി തോന്നുന്നില്ലെങ്കിലും. അതിനാൽ, നമുക്ക് നേരിട്ട് ആദ്യ ഖണ്ഡികയിലേക്ക് പോകാം.
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിന്
ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി പരിഗണിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, ലേഖനം പരിചയപ്പെടുന്നത് അഭികാമ്യമാണ് ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ആ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിശീലിച്ചു ആദ്യ പരിഹാരംഅസമമായ 1st ഓർഡർ DE. ഈ ആദ്യ പരിഹാരം, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, വിളിക്കപ്പെടുന്നു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതിഅഥവാ ബെർണൂലി രീതി(കുഴപ്പിക്കാൻ പാടില്ല ബെർണൂലിയുടെ സമവാക്യം!!!)
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും രണ്ടാമത്തെ പരിഹാരം- ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി. ഞാൻ മൂന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം നൽകും, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പാഠത്തിൽ നിന്ന് ഞാൻ അവ എടുക്കും. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത്ര കുറച്ച്? കാരണം വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ വഴിയിലുള്ള പരിഹാരം ആദ്യ രീതിയിലുള്ള പരിഹാരത്തിന് സമാനമായിരിക്കും. കൂടാതെ, എൻ്റെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതിയേക്കാൾ കുറവാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
ഉദാഹരണം 1
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 2-ൽ നിന്ന് വ്യത്യാസം 1-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ)
പരിഹാരം:ഈ സമവാക്യം രേഖീയ അസന്തുലിതവും പരിചിതമായ ഒരു രൂപവുമുണ്ട്:
ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: അതായത്, ഞങ്ങൾ മണ്ടത്തരമായി വലതുവശം പൂജ്യത്തിലേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കുന്നു - പകരം പൂജ്യം എഴുതുക. ഞാൻ സമവാക്യം വിളിക്കും സഹായ സമവാക്യം.
ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സഹായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
നമ്മുടെ മുമ്പിൽ വേർതിരിക്കാവുന്ന സമവാക്യം, ഇതിൻ്റെ പരിഹാരം (ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു) നിങ്ങൾക്ക് ഇനി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല:
അങ്ങനെ: - സഹായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം.
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുംചില സ്ഥിരം ഇപ്പോഴേക്ക്"x"-നെ ആശ്രയിക്കുന്ന അജ്ഞാത പ്രവർത്തനം:
അതിനാൽ രീതിയുടെ പേര് - ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു. പകരമായി, സ്ഥിരാങ്കം നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തേണ്ട ചില ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കാം.
IN ഒറിജിനൽഅസമമായ സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം:
നിയന്ത്രണ പോയിൻ്റ് - ഇടതുവശത്തുള്ള രണ്ട് നിബന്ധനകൾ റദ്ദാക്കുന്നു. ഇത് സംഭവിച്ചില്ലെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള പിശക് നിങ്ങൾ നോക്കണം.
മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിൻ്റെ ഫലമായി, വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചു. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു.
എന്തൊരു അനുഗ്രഹം, എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളും റദ്ദാക്കുന്നു:
കണ്ടെത്തിയ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഒരു “സാധാരണ” സ്ഥിരാങ്കം ചേർക്കുന്നു:
അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ പകരക്കാരനെ കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:
പ്രവർത്തനം ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തി!
അതിനാൽ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:
ഉത്തരം:പൊതു തീരുമാനം: 
നിങ്ങൾ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളും പ്രിൻ്റ് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ ഒരേ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണ്ടെത്തിയതായി നിങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കും. പരിഹാര അൽഗോരിതത്തിൽ മാത്രമാണ് വ്യത്യാസം.
ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കാര്യത്തിനായി, രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിലും ഞാൻ അഭിപ്രായമിടാം:
ഉദാഹരണം 2
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 8-ൽ നിന്ന് വ്യത്യാസം 1-ആം ഓർഡറിൻ്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ)
പരിഹാരം:നമുക്ക് സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:
നമുക്ക് വലതുവശം പുനഃസജ്ജമാക്കുകയും സഹായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം:
ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു: സഹായ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതു പരിഹാരം:
അസമമായ സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
ഉൽപ്പന്ന വ്യത്യാസ നിയമം അനുസരിച്ച്:
നമുക്ക് യഥാർത്ഥ അസമമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരാം:
ഇടതുവശത്തുള്ള രണ്ട് നിബന്ധനകൾ റദ്ദാക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ ശരിയായ പാതയിലാണ്: 
നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാം. പാർട്സ് ഫോർമുലയുടെ സംയോജനത്തിൽ നിന്നുള്ള രുചികരമായ കത്ത് ഇതിനകം തന്നെ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, "a", "be" എന്നീ അക്ഷരങ്ങൾ:
ഒടുവിൽ:
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നത് ഓർക്കാം:
ഉത്തരം:പൊതു തീരുമാനം:
അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിതമായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളോടെ
ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്ന രീതി എളുപ്പമുള്ള കാര്യമല്ല എന്ന അഭിപ്രായം ഞാൻ പലപ്പോഴും കേട്ടിട്ടുണ്ട്. എന്നാൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഞാൻ അനുമാനിക്കുന്നു: മിക്കവാറും, ഈ രീതി പലർക്കും ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു, കാരണം ഇത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ പ്രത്യേക ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഒന്നുമില്ല - തീരുമാനത്തിൻ്റെ ഗതി വ്യക്തവും സുതാര്യവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണ്. ഒപ്പം മനോഹരവും.
രീതി മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, വലതുവശത്തെ രൂപത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുത്ത് അസമമായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. ഈ രീതിലേഖനത്തിൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തു അസമമായ 2nd ഓർഡർ DEകൾ. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:
മുകളിലെ പാഠത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത തിരഞ്ഞെടുപ്പ് രീതി, വലതുവശത്ത് പോളിനോമിയലുകൾ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുകൾ, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ പരിമിതമായ കേസുകളിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. എന്നാൽ വലതുവശത്ത്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫ്രാക്ഷൻ, ലോഗരിതം, ടാൻജെൻ്റ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം? അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.
ഉദാഹരണം 4
രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക 
പരിഹാരം:ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്, അതിനാൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതി പ്രവർത്തിക്കില്ലെന്ന് നമുക്ക് ഉടൻ തന്നെ പറയാം. അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഇടിമിന്നലിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങളൊന്നുമില്ല; പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആരംഭം തികച്ചും സാധാരണമാണ്:
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും പൊതു തീരുമാനംഉചിതമായ ഏകതാനമായസമവാക്യങ്ങൾ:
നമുക്ക് സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം: 
സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:
പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ റെക്കോർഡ് ശ്രദ്ധിക്കുക - പരാൻതീസിസുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ തുറക്കുക.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ ട്രിക്ക് ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്നു, അവയെ അജ്ഞാതമായ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതാണ്, അസന്തുലിതാവസ്ഥയുടെ പൊതുവായ പരിഹാരംഞങ്ങൾ ഫോമിലെ സമവാക്യങ്ങൾക്കായി നോക്കും:
എവിടെ - ഇപ്പോഴേക്ക്അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
ഒരു മാലിന്യക്കൂമ്പാരം പോലെ തോന്നുന്നു ഗാർഹിക മാലിന്യങ്ങൾ, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എല്ലാം ക്രമീകരിക്കും.
അജ്ഞാതമായത് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളാണ്. ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം, കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം.
"ഗ്രീക്കുകാർ" എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു? കൊക്ക് അവരെ കൊണ്ടുവരുന്നു. ഞങ്ങൾ നേരത്തെ ലഭിച്ച പൊതുവായ പരിഹാരം നോക്കി എഴുതുക:
നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താം:
ഇടത് ഭാഗങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. വലതുവശത്ത് എന്താണ്?
- ഇതാണ് വലതുഭാഗം യഥാർത്ഥ സമവാക്യം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:
ഈ ലേഖനം സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തെ അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ സഹിതം സിദ്ധാന്തം ചർച്ച ചെയ്യും. വ്യക്തമല്ലാത്ത പദങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളെയും ആശയങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള വിഷയം പരാമർശിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
y "" + p · y " + q · y = f (x) രൂപത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം (LDE) പരിഗണിക്കാം, ഇവിടെ p, q എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യകളും നിലവിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ f (x) സംയോജന ഇടവേള x-ൽ തുടർച്ചയായതാണ്.
LNDE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം.
Yandex.RTB R-A-339285-1
LDNU-നുള്ള പൊതുവായ പരിഹാര സിദ്ധാന്തം
സിദ്ധാന്തം 1y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + എന്ന ഫോമിൻ്റെ അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ, ഇടവേള x-ൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന ഒരു പൊതു പരിഹാരം. . . + f 0 (x) · y = f (x) x ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായ സംയോജന ഗുണകങ്ങൾ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) കൂടാതെ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം f (x) എന്നത് y 0 എന്ന പൊതു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇത് LOD യോടും ചില പ്രത്യേക പരിഹാരമായ y ~ യോടും യോജിക്കുന്നു, ഇവിടെ യഥാർത്ഥ അസമമായ സമവാക്യം y = y 0 + y ~ ആണ്.
അത്തരമൊരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് y = y 0 + y ~ എന്ന രൂപമുണ്ടെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. y 0 കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ലേഖനത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. അതിനുശേഷം നമ്മൾ y ~ എന്നതിൻ്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് പോകണം.
LPDE-യിലേക്കുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തരത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
f (x) nth ഡിഗ്രി f (x) = P n (x) യുടെ ഒരു ബഹുപദമായി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, LPDE യുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം y ~ = Q n (x) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു. ) x γ, ഇവിടെ Q n (x) എന്നത് n ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമാണ്, r എന്നത് സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൂജ്യം വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. മൂല്യം y ~ എന്നത് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണ് y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , തുടർന്ന് പോളിനോമിയൽ നിർവചിക്കുന്ന ലഭ്യമായ ഗുണകങ്ങൾ
Q n (x), y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) എന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്നുള്ള അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഉദാഹരണം 1
കൗച്ചിയുടെ സിദ്ധാന്തം y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, y "" - 2 y " = x 2 + 1 എന്ന സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിലേക്ക് നീങ്ങേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് തന്നിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ y (0) തൃപ്തിപ്പെടുത്തും. = 2, y " (0) = 1 4 .
ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y 0 എന്ന സമവാക്യത്തിനോ അല്ലെങ്കിൽ y ~ എന്ന അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിനോ യോജിക്കുന്ന പൊതു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ്, അതായത്, y = y 0 + y ~.
ആദ്യം, LNDU-യ്‌ക്ക് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തും, തുടർന്ന് ഒരു പ്രത്യേക ഒന്ന്.
നമുക്ക് y 0 കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സ്വഭാവ സമവാക്യം എഴുതുന്നത് വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
വേരുകൾ വ്യത്യസ്തവും യഥാർത്ഥവുമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ, നമുക്ക് എഴുതാം
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.
നമുക്ക് y ~ കണ്ടെത്താം. തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്, അപ്പോൾ വേരുകളിൽ ഒന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇതിൽ നിന്നും y ~ എന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും
y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, ഇവിടെ A, B, C എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാത്ത ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു.
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അവയെ കണ്ടെത്താം.
അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
x ൻ്റെ അതേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുമായി ഗുണകങ്ങളെ സമീകരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലീനിയർ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും എഴുതുകയും ചെയ്യും: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4, y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
ഈ എൻട്രിയെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള യഥാർത്ഥ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
y (0) = 2, y "(0) = 1 4 വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് സി 1ഒപ്പം സി 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി.
ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.
കൗച്ചിയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഉണ്ട്
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
ഉത്തരം: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
f (x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ n ഡിഗ്രിയും f (x) = P n (x) · e a x എന്ന ഘാതകവും ഉള്ള ഒരു പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാം ഓർഡർ LPDE യുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഒരു ആയിരിക്കും എന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. y ~ = e a x · Q n ( x) x γ എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം, ഇവിടെ Q n (x) എന്നത് nth ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്, കൂടാതെ r എന്നത് α ന് തുല്യമായ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്.
Q n (x) ൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) എന്ന സമത്വത്താൽ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഉദാഹരണം 2
y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ഫോമിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം
സമവാക്യം പൊതുവായ കാഴ്ച y = y 0 + y ~ . സൂചിപ്പിച്ച സമവാക്യം LOD y "" - 2 y " = 0 യുമായി യോജിക്കുന്നു. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും k 1 = 0കൂടാതെ k 2 = 2, y 0 = C 1 + C 2 e 2 x എന്നിവ സ്വഭാവ സമവാക്യം വഴി.
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശം x 2 + 1 · e x ആണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. ഇവിടെ നിന്ന് LPDE y ~ = e a x · Q n (x) · x γ വഴി കണ്ടെത്തുന്നു, ഇവിടെ Q n (x) രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്, ഇവിടെ α = 1 ഉം r = 0 ഉം ആണ്, കാരണം സ്വഭാവ സമവാക്യം ഇല്ല. 1 ന് തുല്യമായ ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുക. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
A, B, C എന്നത് y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x എന്ന സമത്വത്താൽ കണ്ടെത്താനാകുന്ന അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളാണ്.
അത് മനസ്സിലായി
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ "" = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1
ഞങ്ങൾ സൂചകങ്ങളെ ഒരേ ഗുണകങ്ങളുമായി തുല്യമാക്കുകയും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ എ, ബി, സി കണ്ടെത്തുന്നു:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
ഉത്തരം: y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 എന്നത് LNDDE യുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണെന്നും y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ഒരു രണ്ടാം ക്രമത്തിലുള്ള അസന്തുലിത വ്യത്യാസം സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരം.
ഫംഗ്ഷൻ f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x എന്ന് എഴുതുമ്പോൾ, ഒപ്പം എ 1ഒപ്പം IN 1സംഖ്യകളാണ്, തുടർന്ന് LPDE യുടെ ഒരു ഭാഗിക പരിഹാരം y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ A, B എന്നിവ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ഗുണകങ്ങളായി കണക്കാക്കുന്നു, കൂടാതെ r എന്നത് ± i β ന് തുല്യമായ സ്വഭാവസമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സങ്കീർണ്ണ സംയോജന വേരുകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണകങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) തുല്യത ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്.
ഉദാഹരണം 3
y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം
സ്വഭാവ സമവാക്യം എഴുതുന്നതിന് മുമ്പ്, നമ്മൾ y 0 കണ്ടെത്തുന്നു. പിന്നെ
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
നമുക്ക് ഒരു ജോടി സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത വേരുകൾ ഉണ്ട്. നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം, നേടാം:
y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സംയോജിത ജോഡി ± 2 i ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). y ~ എന്നതിനായുള്ള തിരയൽ y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x എന്നതിൽ നിന്നായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ A, B എന്നീ ഗുണകങ്ങൾക്കായി നോക്കും.
നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
അപ്പോൾ അത് വ്യക്തമാണ്
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഫോമിൻ്റെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
ഇത് പിന്തുടരുന്നത് y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.
ഉത്തരം:സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള യഥാർത്ഥ രണ്ടാം ഓർഡർ LPDE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x
f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), തുടർന്ന് y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ എന്നത് α ± i β ന് തുല്യമായ, P n (x), Q k (x) എന്ന സ്വഭാവ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത ജോഡികളുടെ എണ്ണമാണ്. L m (x) ഒപ്പം Nm(x)ഡിഗ്രി n, k, m, m എന്ന ബഹുപദങ്ങളാണ്, എവിടെ m = m a x (n, k). ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു Lm(x)ഒപ്പം Nm(x) y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) എന്ന സമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.
ഉദാഹരണം 4
പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
പരിഹാരം
വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച് അത് വ്യക്തമാണ്
α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1
അപ്പോൾ m = m a x (n, k) = 1. ഫോമിൻ്റെ ഒരു സ്വഭാവസമവാക്യം എഴുതുന്നതിലൂടെ നമ്മൾ y 0 കണ്ടെത്തുന്നു:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2
വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. അടുത്തതായി, ഫോമിൻ്റെ y ~ എന്ന അസന്തുലിതമായ സമവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിനായി നോക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
α ± i β = 3 ± 5 · i ഉള്ള സ്വഭാവ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജോഡി സംയോജിത വേരുകൾ ഇല്ലാത്തതിനാൽ A, B, C ഗുണകങ്ങളാണ്, r = 0 എന്ന് അറിയാം. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
ഡെറിവേറ്റീവും സമാന പദങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നത് നൽകുന്നു
E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · പാപം (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))
ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കിയ ശേഷം, നമുക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ഡി = 1
എല്ലാത്തിൽ നിന്നും അത് പിന്തുടരുന്നു
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) പാപം (5 x))
ഉത്തരം:നൽകിയിരിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിച്ചു:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
LDNU പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
നിർവ്വചനം 1പരിഹാരത്തിനായി മറ്റേതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ f (x) സൊല്യൂഷൻ അൽഗോരിതം പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
- y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, ഇവിടെയുള്ള രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു y 1ഒപ്പം y 2 LODE ൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളാണ്, സി 1ഒപ്പം സി 2ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു;
- LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമായി സ്വീകരിക്കൽ;
- C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1" (x) x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , കൂടാതെ ഫംഗ്ഷനുകൾ കണ്ടെത്തൽ C 1 (x)ഒപ്പം സി 2 (x) സംയോജനത്തിലൂടെ.
ഉദാഹരണം 5
y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x എന്നതിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം
മുമ്പ് y 0, y "" + 36 y = 0 എന്ന് എഴുതിയിരുന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ സ്വഭാവ സമവാക്യം എഴുതാൻ പോകുന്നു. നമുക്ക് എഴുതി പരിഹരിക്കാം:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = പാപം (6 x)
നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) എന്ന് എഴുതപ്പെടും. ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് നീങ്ങേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് C 1 (x)ഒപ്പം C2(x)സമവാക്യങ്ങളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം അനുസരിച്ച്:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
എന്ന കാര്യത്തിൽ തീരുമാനമുണ്ടാകണം C 1" (x)ഒപ്പം C 2" (x)ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച്. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കണം. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x പാപം (6 x) + C 4
പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 പാപം (6 x)
ഉത്തരം: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)
ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക
