ആദ്യം, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ കാര്യം നോക്കാം. $M_0(x_0;y_0)$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള $z=f(x,y)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം ആണ് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം, $x$, $y$ എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഈ പോയിൻ്റിന് സമീപം കണക്ഷൻ സമവാക്യം $\ varphi (x,y)=0$ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
$\varphi(x,y)=0$ എന്ന അധിക നിബന്ധന വേരിയബിളുകളിൽ അടിച്ചേൽപ്പിക്കുന്നതിനാലാണ് "സോപാധികം" എന്ന പേര് വന്നത്. ഒരു വേരിയബിൾ കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സാധാരണ എക്സ്ട്രീം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, കണക്ഷൻ സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $y=\psi(x)$ ആണെങ്കിൽ, $y=\psi(x)$ എന്നതിനെ $z=f(x,y)$ എന്നാക്കി മാറ്റി, $z എന്ന ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും. =f\ഇടത് (x,\psi(x)\വലത്)$. IN പൊതു കേസ്എന്നിരുന്നാലും, ഈ രീതി വളരെ ഉപയോഗപ്രദമല്ല, അതിനാൽ ഒരു പുതിയ അൽഗോരിതം അവതരിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി.
Lagrange മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഒരു സോപാധിക എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഒരു Lagrange ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ ($\lambda$ പരാമീറ്ററിനെ വിളിക്കുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ). സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്താൽ എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു:
$$ \ഇടത് \( \begin(വിന്യസിച്ചു) & \frac(\ഭാഗിക F)(\ഭാഗിക x)=0;\\ & \frac(\ഭാഗിക F)(\ഭാഗിക y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0 \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചു) \ വലത്.
$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) എന്ന ചിഹ്നമാണ് എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന മതിയായ വ്യവസ്ഥ. ^("" )dy^2$. ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റിലാണെങ്കിൽ $d^2F > 0$, $z=f(x,y)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കും, എന്നാൽ $d^2F ആണെങ്കിൽ< 0$, то условный максимум.
തീവ്രതയുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട്. കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, അതിനാൽ ഏത് നിശ്ചല പോയിൻ്റിലും നമുക്കുണ്ട്:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\ഇടത്(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\ഇടത്(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \ വലത്)$$
രണ്ടാമത്തെ ഘടകം (ബ്രാക്കറ്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്) ഈ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
$\left| ൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end (അറേ)\ വലത്|$, ഇത് ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഹെസ്സിയൻ ആണ്. $H > 0$ ആണെങ്കിൽ, $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, അതായത്. ഞങ്ങൾക്ക് $z=f(x,y)$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു സോപാധികമായ മിനിമം ഉണ്ട്.
$H$ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ നൊട്ടേഷനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു കുറിപ്പ്. കാണിക്കുക മറയ്ക്കുക
$$ H=-\ഇടത്|\ആരംഭിക്കുക(അറേ) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ അവസാനം(അറേ) \ വലത്| $$
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ റൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറും: $H > 0$ ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കും, കൂടാതെ $H ആണെങ്കിൽ< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
ഒരു സോപാധിക എക്സ്ട്രീമിനായി രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
- ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുക $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0 \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചു) \വലത്.$
- മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ കാണപ്പെടുന്ന ഓരോ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളിലും അഗ്രഭാഗത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഏതെങ്കിലും രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുക:
- $H$ ൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രചിക്കുകയും അതിൻ്റെ അടയാളം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക
- കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം കണക്കിലെടുത്ത്, $d^2F$ എന്നതിൻ്റെ അടയാളം കണക്കാക്കുക
n വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി
നമുക്ക് $n$ വേരിയബിളുകൾ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $m$ കംപ്ലിംഗ് സമവാക്യങ്ങൾ ($n > m$) എന്നിവയുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം:
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Lagrange ഗുണിതങ്ങളെ $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
ഒരു സോപാധിക എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്, അതിൽ നിന്ന് സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നു:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ ഓവർലൈൻ(1,മീറ്റർ)) \അവസാനം(വിന്യസിച്ചു) \വലത്.$$
$d^2F$ എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റിൽ സോപാധികമായ മിനിമം ഉണ്ടോ അല്ലെങ്കിൽ സോപാധികമായ മാക്സിമം ഉണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റിൽ $d^2F > 0$ ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കും, എന്നാൽ $d^2F ആണെങ്കിൽ< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
$\left| മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് \begin(array) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\ഭാഗിക x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ഭാഗിക x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\ഭാഗിക x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( അറേ) \right|$, മാട്രിക്സ് $L$-ൽ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഹെസ്സിയൻ ആണ്. ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
- കോണീയ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ മെട്രിക്‌സുകൾ $L$ $(-1)^m$ എന്ന ചിഹ്നവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് പഠനത്തിലുള്ള സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- കോണീയ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ അടയാളങ്ങൾ $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ ഇതര, കൂടാതെ മൈനർ $H_(2m+1)$ ൻ്റെ ചിഹ്നം $(-1)^(m+1) എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു )$, അപ്പോൾ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ പരമാവധി പോയിൻ്റാണ്.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 1
$x^2+y^2=10$ എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള $z(x,y)=x+3y$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുക.
ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഇപ്രകാരമാണ്: $x^2+y സിലിണ്ടറുമായുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റുകൾക്കായി വിമാനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ $z=x+3y$ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ^2=10$.
കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതും $z(x,y)=x+3y$ എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നതും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ Lagrange രീതി ഉപയോഗിക്കും.
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\ഭാഗികം) F)(\ഭാഗിക x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എഴുതാം:
$$ \ഇടത് \( \begin(വിന്യസിച്ചു) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചു)\വലത്.$$
നമ്മൾ $\lambda=0$ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ സമവാക്യം: $1=0$. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വൈരുദ്ധ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് $\lambda\neq 0$ എന്നാണ്. വ്യവസ്ഥയിൽ $\lambda\neq 0$, ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക്: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(വിന്യസിച്ചു) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$, $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. ഓരോ നിശ്ചല പോയിൻ്റിലെയും എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: $M_1(1;3)$, $M_2(-1;-3)$. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഓരോ പോയിൻ്റിലും $H$ ൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ഇടത്| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
പോയിൻ്റിൽ $M_1(1;3)$ നമുക്ക് ലഭിക്കും: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, അങ്ങനെ പോയിൻ്റ് $M_1(1;3)$ ഫംഗ്‌ഷന് $z(x,y)=x+3y$ ഒരു സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
അതുപോലെ, പോയിൻ്റിൽ $M_2(-1,-3)$ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. $H മുതൽ< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
ഓരോ പോയിൻ്റിലും $H$ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം, അത് വികസിപ്പിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. പൊതുവായ കാഴ്ച. വിശദാംശങ്ങളുള്ള വാചകം അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഞാൻ ഈ രീതി ഒരു കുറിപ്പിന് കീഴിൽ മറയ്ക്കും.
ഡിറ്റർമിനൻ്റ് $H$ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു. കാണിക്കുക മറയ്ക്കുക
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
തത്വത്തിൽ, $H$ എന്താണെന്ന് ഇതിനകം വ്യക്തമാണ്. $M_1$ അല്ലെങ്കിൽ $M_2$ പോയിൻ്റുകളൊന്നും ഉത്ഭവവുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്തതിനാൽ, $y^2+x^2>0$. അതിനാൽ, $H$ എന്ന ചിഹ്നം $\lambda$ എന്ന ചിഹ്നത്തിന് വിപരീതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \അവസാനം (വിന്യസിച്ചു) $$
$M_1(1;3)$, $M_2(-1;-3)$ എന്നീ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളിലെ എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം ഡിറ്റർമിനൻ്റ് $H$ ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഓരോ നിശ്ചല പോയിൻ്റിലും നമുക്ക് $d^2F$ എന്ന ചിഹ്നം കണ്ടെത്താം:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\വലത്) $$
$dx^2$ എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത് കൃത്യമായി $dx$ രണ്ടാമത്തെ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയതാണെന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കട്ടെ, അതായത്. $\ഇടത്(dx \right)^2$. അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: $dx^2+dy^2>0$, അതിനാൽ, $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് $d^2F ലഭിക്കും< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
ഉത്തരം: പോയിൻ്റിൽ $(-1;-3)$ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്, $z_(\min)=-10$. പോയിൻ്റിൽ $(1;3)$ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്, $z_(\max)=10$
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2
$x+y=0$ എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുക.
ആദ്യ രീതി (ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി)
$\varphi(x,y)=x+y$ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുന്നു: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ ലാംഡ=0;
സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$, $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളുണ്ട്: $M_1(0;0)$, $M_2 \ഇടത്(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \വലത്)$. $H$ എന്ന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ നിശ്ചല ബിന്ദുവിലെയും എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.
$$H=\ഇടത്| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \ഇടത്| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
പോയിൻ്റിൽ $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, അതിനാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
$d^2F$ എന്ന ചിഹ്നത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വ്യത്യസ്ത രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഓരോ പോയിൻ്റിലെയും എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്നു:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് $x+y=0$ നമുക്ക് ഉണ്ട്: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
$ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$ ആയതിനാൽ, $z(x,y)=3y^3+ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധിക കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് $M_1(0;0)$ 4x^ 2-xy$. അതുപോലെ, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
രണ്ടാമത്തെ വഴി
കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് $x+y=0$ നമുക്ക് ലഭിക്കും: $y=-x$. $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ എന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് $y=-x$ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ, $x$ എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ചില ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ ഫംഗ്‌ഷനെ നമുക്ക് $u(x)$ എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
അങ്ങനെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തെ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമായി ഞങ്ങൾ ചുരുക്കി.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(9) \;
ഞങ്ങൾക്ക് $M_1(0;0)$, $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$ എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ ലഭിച്ചു. ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിൻ്റെ ഗതിയിൽ നിന്നാണ് കൂടുതൽ ഗവേഷണം അറിയപ്പെടുന്നത്. ഓരോ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിലും $u_(xx)^("")$ എന്നതിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റുകളിൽ $u_(x)^(")$ ൻ്റെ ചിഹ്നത്തിലെ മാറ്റം പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെയോ, എപ്പോഴുള്ള അതേ നിഗമനങ്ങളാണ് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്. ആദ്യ രീതി പരിഹരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ $u_(xx)^("")$ എന്ന ചിഹ്നം പരിശോധിക്കും.
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
$u_(xx)^("")(M_1)>0$ ആയതിനാൽ, $u(x)$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് $M_1$, കൂടാതെ $u_(\min)=u(0)=0 $ മുതൽ $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
തന്നിരിക്കുന്ന കണക്ഷൻ വ്യവസ്ഥയ്‌ക്കായുള്ള $u(x)$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ $z(x,y)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്. $u(x)$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ തീവ്രതയാണ് $z(x,y)$ എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമ.
ഉത്തരം: $(0;0)$ എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്, $z_(\min)=0$. പോയിൻ്റിൽ $\ഇടത്(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \വലത്)$ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
$d^2F$ എന്നതിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിച്ചുകൊണ്ട് അതിരിൻ്റെ സ്വഭാവം വ്യക്തമാക്കുന്ന മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 3
$x$, $y$ എന്നീ വേരിയബിളുകൾ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ $z=5xy-4$ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, ഒപ്പം $\frac(x^2)(8)+\frac(. y^2)(2) -1=0$.
നമുക്ക് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \ഇടത് \( \ആരംഭിച്ചു(വിന്യസിച്ചു) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;
എല്ലാ കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങളും $x > 0 കണക്കിലെടുത്താണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്; \; y > 0$ (ഇത് പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്). രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ $\lambda=-\frac(5x)(y)$ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $x=2y$ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
$y=1$ മുതൽ, തുടർന്ന് $x=2$, $\lambda=-10$. $d^2F$ എന്ന ചിഹ്നത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി $(2;1)$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
$\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ മുതൽ:
$$ d\ഇടത്(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\വലത്)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
തത്വത്തിൽ, ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് $x=2$, $y=1$ എന്ന സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും $\lambda=-10$ എന്ന പരാമീറ്ററും ഉടൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
എന്നിരുന്നാലും, സോപാധികമായ അതിരിലെ മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ നിരവധി നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകാം. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പൊതു രൂപത്തിൽ $d^2F$ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, തുടർന്ന് കണ്ടെത്തിയ ഓരോ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\ഇടത്(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
$d^2F=-10\cdot dx^2 മുതൽ< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
ഉത്തരം: പോയിൻ്റിൽ $(2;1)$ ഫംഗ്‌ഷന് സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്, $z_(\max)=6$.
അടുത്ത ഭാഗത്ത് കൂടുതൽ വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി ലഗ്രാഞ്ച് രീതിയുടെ പ്രയോഗം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.
നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എക്സ്ട്രീമ. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ അവസ്ഥ. സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം. ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി. ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
പ്രഭാഷണം 5.
നിർവ്വചനം 5.1.ഡോട്ട് M 0 (x 0, y 0)വിളിച്ചു പരമാവധി പോയിൻ്റ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ z = f (x, y),എങ്കിൽ f (x o , y o) > f(x,y)എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും (x, y) എം 0.
നിർവ്വചനം 5.2.ഡോട്ട് M 0 (x 0, y 0)വിളിച്ചു മിനിമം പോയിൻ്റ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ z = f (x, y),എങ്കിൽ f (x o , y o) < f(x,y)എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും (x, y)ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് എം 0.
കുറിപ്പ് 1. പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾനിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
പരാമർശം 2. എത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
സിദ്ധാന്തം 5.1(ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ). എങ്കിൽ M 0 (x 0, y 0)- ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് z = f (x, y),ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.
തെളിവ്.
നമുക്ക് വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ശരിയാക്കാം ചെയ്തത്, എണ്ണുന്നു y = y 0. തുടർന്ന് ചടങ്ങ് f (x, y 0)ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും എക്സ്, അതിനായി x = x 0എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആണ്. അതിനാൽ, ഫെർമാറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. അതേ പ്രസ്താവന സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം 5.3.ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾഈ പ്രവർത്തനം.
അഭിപ്രായം. അതിനാൽ, നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ എക്സ്ട്രീം എത്താൻ കഴിയൂ, പക്ഷേ അവ ഓരോന്നിലും അത് നിരീക്ഷിക്കപ്പെടണമെന്നില്ല.
സിദ്ധാന്തം 5.2(ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ). പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ അനുവദിക്കുക M 0 (x 0, y 0), ഇത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റാണ് z = f (x, y),ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ മൂന്നാം ഓർഡർ ഉൾപ്പെടെ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. അപ്പോൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:
1) f(x,y)പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ട് എം 0പരമാവധി എങ്കിൽ എസി–ബി² > 0, എ < 0;
2) f(x,y)പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ട് എം 0കുറഞ്ഞത് എങ്കിൽ എസി–ബി² > 0, എ > 0;
3) എങ്കിൽ നിർണ്ണായക ഘട്ടത്തിൽ തീവ്രത ഇല്ല എസി–ബി² < 0;
4) എങ്കിൽ എസി–ബി² = 0, കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.
തെളിവ്.
ചടങ്ങിനായി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല എഴുതാം f(x,y),ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൽ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർക്കുന്നു:
എവിടെ 
സെഗ്മെൻ്റ് തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണെങ്കിൽ എം 0 എം, എവിടെ എം (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ചെയ്തത്), O അക്ഷവും എക്സ്φ സൂചിപ്പിക്കുക, തുടർന്ന് Δ x =Δ ρ
കോസ് φ,
Δ y =Δρsinφ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടെയ്‌ലറുടെ ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും: . അപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റിലെ എക്സ്പ്രഷൻ വിഭജിച്ച് ഗുണിക്കാം എ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
ഇനി നമുക്ക് നാലെണ്ണം പരിഗണിക്കാം സാധ്യമായ കേസുകൾ:
1) എസി-ബി² > 0, എ < 0. Тогда , и 
ആവശ്യത്തിന് ചെറിയ Δρ. അതിനാൽ, ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), അതാണ് എം 0- പരമാവധി പോയിൻ്റ്.
2) അനുവദിക്കുക എസി–ബി² > 0, എ > 0.പിന്നെ 
, ഒപ്പം എം 0- മിനിമം പോയിൻ്റ്.
3) അനുവദിക്കുക എസി-ബി² < 0, എ> 0. റേ φ = 0 സഹിതമുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ വർദ്ധനവ് പരിഗണിക്കുക. തുടർന്ന് (5.1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു 
, അതായത്, ഈ കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു. നമ്മൾ ഒരു കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ tg φ 0 = -A/B,അത് 
അതിനാൽ, ഈ കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. അതിനാൽ, കാലഘട്ടം എം 0ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് അല്ല.
3`) എപ്പോൾ എസി–ബി² < 0, എ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായത്.
3``) എങ്കിൽ എസി–ബി² < 0, എ= 0, അപ്പോൾ . . അപ്പോൾ വേണ്ടത്ര ചെറിയ φ എന്ന പദപ്രയോഗം 2 ബി cosφ + സി sinφ 2-ന് അടുത്താണ് IN, അതായത്, അത് ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു, എന്നാൽ sinφ പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്തെ അടയാളം മാറ്റുന്നു എം 0.ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവിന് സമീപമുള്ള ചിഹ്നത്തെ മാറ്റുന്നു എന്നാണ്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല.
4) എങ്കിൽ എസി–ബി² = 0, ഒപ്പം 
, 
, അതായത്, ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ അടയാളം 2α 0 എന്ന ചിഹ്നത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അതേ സമയം, ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.
ഉദാഹരണം. ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം z = x² - 2 xy + 2വൈ² + 2 x.സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു 
. അതിനാൽ, സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് (-2,-1) ആണ്. അതിൽ എ = 2, IN = -2, കൂടെ= 4. പിന്നെ എസി–ബി² = 4 > 0, അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവിൽ ഒരു തീവ്രത എത്തുന്നു, അതായത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് (മുതൽ എ > 0).
നിർവ്വചനം 5.4.ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ f (x 1 , x 2 ,…, x n)ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു അധിക വ്യവസ്ഥകൾപോലെ എംസമവാക്യങ്ങൾ ( എം< n) :
φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ മീറ്റർ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)
ഫംഗ്‌ഷനുകൾ φ i തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉള്ളിടത്ത്, സമവാക്യങ്ങൾ (5.2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ.
നിർവ്വചനം 5.5.പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അതിരുകടന്ന ഭാഗം f (x 1 , x 2 ,…, x n)വ്യവസ്ഥകൾ (5.2) പാലിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം.
അഭിപ്രായം. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നമുക്ക് നൽകാം: ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ അനുവദിക്കുക f(x,y)φ എന്ന സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (x,y)= 0, O വിമാനത്തിലെ ചില വക്രങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു xy. ഈ വക്രത്തിൻ്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിൽ നിന്നും O വിമാനത്തിലേക്ക് ലംബമായി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു xyഅത് ഉപരിതലവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ z = f (x,y),വക്രം φ ന് മുകളിൽ ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു സ്പേഷ്യൽ കർവ് നമുക്ക് ലഭിക്കും (x,y)= 0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കർവിൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ടാസ്‌ക്, ഇത് പൊതുവേ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. f(x,y).
താഴെ പറയുന്ന നിർവചനം ആദ്യം അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം:
നിർവ്വചനം 5.6.ഫംഗ്ഷൻ L (x 1 , x 2 ,..., x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +
+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)
എവിടെ λi -ചിലത് സ്ഥിരമാണ്, വിളിക്കപ്പെടുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ, കൂടാതെ അക്കങ്ങളും λi– നിർണ്ണയിക്കപ്പെടാത്ത ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങൾ.
സിദ്ധാന്തം 5.3(ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ). ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത z = f (x, y)കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ φ ( x, y)= 0 ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ നേടാനാകൂ L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).
തെളിവ്. കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം ഒരു അവ്യക്തമായ ബന്ധത്തെ വ്യക്തമാക്കുന്നു ചെയ്തത്നിന്ന് എക്സ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും ചെയ്തത്നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് എക്സ്: y = y(x).പിന്നെ zഇതുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനംനിന്ന് എക്സ്, അതിൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ വ്യവസ്ഥയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: 
. (5.4) കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു 
. (5.5)
നമുക്ക് സമത്വത്തെ (5.5) ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് (5.4) ലേക്ക് ചേർക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
, അഥവാ .
അവസാനത്തെ തുല്യത നിശ്ചലമായ പോയിൻ്റുകളിൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം, അതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു:
(5.6)
മൂന്ന് അജ്ഞാതർക്കായി മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും: x, yകൂടാതെ λ, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളാണ്. സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് (5.6) സഹായകമായ അജ്ഞാത λ ഒഴിവാക്കുന്നതിലൂടെ, യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനത്തിന് സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടായിരിക്കാവുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
പരാമർശം 1. സിദ്ധാന്തം 5.2 മായി സാമ്യമുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാം-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിച്ചുകൊണ്ട് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റിൽ ഒരു സോപാധികമായ അഗ്രഭാഗത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.
പരാമർശം 2. ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിലെത്താൻ കഴിയുന്ന പോയിൻ്റുകൾ f (x 1 , x 2 ,…, x n)വ്യവസ്ഥകൾ (5.2) പാലിക്കപ്പെടുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളായി നിർവചിക്കാം 
(5.7)
ഉദാഹരണം. ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം z = xyഅത് നൽകി x + y= 1. നമുക്ക് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). സിസ്റ്റം (5.6) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
എവിടെ -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 അതിൽ L(x,y)രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, അതിനാൽ കണ്ടെത്തിയ നിശ്ചല പോയിൻ്റിൽ L(x,y)പരമാവധി ഉണ്ട് z = xy -സോപാധിക പരമാവധി.
നിർവ്വചനം1: ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിനുള്ള ഒരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു പോയിൻ്റിൽ ലോക്കൽ മാക്സിമം ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എംകോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x, y)അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ്< 0.
നിർവ്വചനം2: ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റിന് അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എംകോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x, y)അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്> 0.
നിർവ്വചനം 3: ലോക്കൽ മിനിമം, മാക്സിമം എന്നീ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾ.
സോപാധിക അതിരുകൾ
പല വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രതയ്ക്കായി തിരയുമ്പോൾ, വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ടാകാറുണ്ട് സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം.രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ആശയം വിശദീകരിക്കാം.
ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഒരു വരിയും നൽകട്ടെ എൽഉപരിതലത്തിൽ 0xy. ലൈനിൽ കയറുക എന്നതാണ് ചുമതല എൽഅത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക P(x, y),ലൈനിലെ പോയിൻ്റുകളിലെ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആണ് എൽ, പോയിൻ്റിന് സമീപം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു പി. അത്തരം പോയിൻ്റുകൾ പിവിളിക്കുന്നു സോപാധിക എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾഓൺ ലൈനിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എൽ. സാധാരണ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നത് അതിൻ്റെ അയൽപക്കത്തുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും അല്ല, മറിച്ച് ലൈനിൽ കിടക്കുന്നവയിൽ മാത്രമാണ്. എൽ.
സാധാരണ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റ് (അവരും പറയുന്നു നിരുപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം) ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏതൊരു രേഖയ്ക്കും സോപാധികമായ ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് കൂടിയാണ്. വിപരീതം തീർച്ചയായും ശരിയല്ല: സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് സാധാരണ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കില്ല. ഞാൻ പറഞ്ഞത് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് മുകളിലെ അർദ്ധഗോളമാണ് (അനുബന്ധം 3 (ചിത്രം 3)).
ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഉത്ഭവത്തിൽ പരമാവധി ഉണ്ട്; ശീർഷകം അതിനോട് യോജിക്കുന്നു എംഅർദ്ധഗോളങ്ങൾ. വരി എങ്കിൽ എൽപോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുണ്ട് എഒപ്പം IN(അവളുടെ സമവാക്യം x+y-1=0), അപ്പോൾ ഈ വരിയുടെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് ജ്യാമിതീയമായി വ്യക്തമാണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംപോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ മധ്യത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൽ പ്രവർത്തനം കൈവരിക്കുന്നു എഒപ്പം IN.ഈ ലൈനിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം (പരമാവധി) പോയിൻ്റ് ഇതാണ്; ഇത് അർദ്ധഗോളത്തിലെ പോയിൻ്റ് M 1 നോട് യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഇവിടെ ഒരു സാധാരണ തീവ്രതയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസാന ഭാഗത്ത് ശ്രദ്ധിക്കുക അടച്ച പ്രദേശംഈ പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ചില വരികളിൽ, അതുവഴി സോപാധികമായ അതിരുകടന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക.
Z= f(x, y) ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾക്കായുള്ള പ്രായോഗിക തിരയലിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ (x, y) = 0 എന്ന സമവാക്യത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധത്തെ നമ്മൾ വിളിക്കും കണക്ഷൻ സമവാക്യം. കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y എന്നത് x: y=(x) എന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, Z= f(x, (x)) = Ф(x) എന്ന ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും.
ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു തീവ്രതയിലെത്തുന്ന മൂല്യം x കണ്ടെത്തി, തുടർന്ന് കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ y മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.
അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, x+y-1=0 എന്ന ബന്ധ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് y=1-x ഉണ്ട്. ഇവിടെ നിന്ന്
z അതിൻ്റെ പരമാവധി x = 0.5-ൽ എത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്; എന്നാൽ കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y = 0.5, ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റ് P കൃത്യമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും.
കണക്ഷൻ സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമ്പോഴും സോപാധികമായ അതിരിൻ്റെ പ്രശ്നം വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ x=x(t), y=y(t). ഈ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് x, y എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും വരുന്നു.
കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപംഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനോ അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനോ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല, തുടർന്ന് ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. z= f(x, y) ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ വേരിയബിൾ (x, y) = 0. z= f(x, y) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നത് തുടരും:
ഇംപ്ലിസിറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് y` എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ. സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ, കണ്ടെത്തിയ മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം; ഇത് x, y എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമവാക്യം നൽകുന്നു. അവ കപ്ലിംഗ് സമവാക്യവും തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതിനാൽ, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു അനുപാതത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതി ഒരു പുതിയ സഹായക അജ്ഞാത അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഈ സിസ്റ്റത്തെ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒന്നാക്കി മാറ്റാം:
(മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നം സൗകര്യാർത്ഥമാണ്). ഈ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നത് എളുപ്പമാണ്:
f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),
കണക്ഷൻ സമവാക്യം (x, y) = 0 എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം, അജ്ഞാതമായ x, y കൂടാതെ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുന്നു.
ഈ സമവാക്യങ്ങൾ (*) ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളാകാവുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്
Z= f(x, y) കണക്ഷൻ സമവാക്യം (x, y) = 0, നിങ്ങൾ ഒരു സഹായ ഫംഗ്ഷൻ രൂപീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്
F(x,y)=f(x,y)+(x,y)
ചില സ്ഥിരതകൾ എവിടെയാണ്, ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കുക.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സൂചിപ്പിച്ച സിസ്റ്റം, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ മാത്രം നൽകുന്നു, അതായത്. ഈ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x, y മൂല്യങ്ങളുടെ ഓരോ ജോഡിയും ഒരു സോപാധികമായ ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. സോപാധിക തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് ഞാൻ മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകില്ല; മിക്കപ്പോഴും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉള്ളടക്കം തന്നെ കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റ് എന്താണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സോപാധികമായ അതിരിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിവരിച്ച സാങ്കേതികതയെ ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം
അത് നൽകിയ ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്ബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: . ജ്യാമിതീയമായി, പ്രശ്നം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്: ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൽ 
വിമാനം 
.
ഈ പ്രശ്നം ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
എക്സ്:
എന്ന് നൽകി 
, ഇടവേളയിൽ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു 
.
ജ്യാമിതീയമായി, പ്രശ്നം അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്: ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൽ 
, സിലിണ്ടർ കടക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു 
വിമാനം 
, നിങ്ങൾ അപേക്ഷകൻ്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് 
(ചിത്രം 9). ഈ പ്രശ്നം ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും: സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
. y യുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും എക്സ്:
അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം 
എന്ന് നൽകി 
, ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം- ഇത് വസ്തുനിഷ്ഠമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നമാണ് 
, വേരിയബിളുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്നിയന്ത്രണത്തിന് വിധേയമാണ് 
, വിളിച്ചു കണക്ഷൻ സമവാക്യം.
അത് പറയട്ടെ ഡോട്ട്
, കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, പ്രാദേശിക സോപാധികമായ പരമാവധി പോയിൻ്റാണ് (കുറഞ്ഞത്), ഒരു അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ 
ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റുകൾക്കായി 
, ആരുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്ഷൻ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അസമത്വം തൃപ്തികരമാണ്.
കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്താം ചെയ്തത്, തുടർന്ന്, ഈ പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷനാക്കി മാറ്റുന്നു. എക്സ്.
സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു രീതി ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി. നമുക്ക് ഒരു ഓക്സിലറി ഫംഗ്ഷൻ സൃഷ്ടിക്കാം, എവിടെ 
─ കുറച്ച് നമ്പർ. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ, എ 
─ ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ. അങ്ങനെ, സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല, ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ലോക്കൽ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 3 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നിങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് x, yഒപ്പം.
അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു തീവ്രതയ്ക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന മതിയായ വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിക്കണം.
സിദ്ധാന്തം.
ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ സാധ്യമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്താണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം 
ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ രണ്ടാം ക്രമത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് 
ഒപ്പം 
. സൂചിപ്പിക്കാം
എങ്കിൽ എങ്കിൽ 
, അത് 
─ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് 
കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് 
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എങ്കിൽ 
, അത് 
─ സോപാധിക കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ 
, അത് 
─ സോപാധിക പരമാവധി പോയിൻ്റ്.
§8. ഗ്രേഡിയൻ്റ്, ദിശാസൂചന ഡെറിവേറ്റീവ്
പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ 
ചില (തുറന്ന) മേഖലയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് പരിഗണിക്കുക 
ഈ പ്രദേശവും ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയും (അക്ഷം) 
, ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 1). അനുവദിക്കുക 
- ഈ അക്ഷത്തിൽ മറ്റ് ചില പോയിൻ്റുകൾ, 
- തമ്മിലുള്ള സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം 
ഒപ്പം 
, ദിശയാണെങ്കിൽ പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചാണ് എടുത്തത് 
അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു 
, കൂടാതെ അവയുടെ ദിശകൾ വിപരീതമാണെങ്കിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം.
അനുവദിക്കുക 
അനിശ്ചിതമായി സമീപിക്കുന്നു 
. പരിധി
വിളിച്ചു ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 
നേരെ
(അല്ലെങ്കിൽ അച്ചുതണ്ടിൽ 
) കൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:
.
ഈ ഡെറിവേറ്റീവ് പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ "മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്" വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു 
നേരെ 
. പ്രത്യേകിച്ചും, സാധാരണ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ 
,
"ദിശയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്" ഡെറിവേറ്റീവുകളായി കണക്കാക്കാം.
നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ആ പ്രവർത്തനം എന്ന് അനുമാനിക്കാം 
പരിഗണനയിലുള്ള മേഖലയിൽ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. അച്ചുതണ്ട് അനുവദിക്കുക 
കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോണുകൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു 
ഒപ്പം 
. അനുമാനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ദിശാസൂചന ഡെറിവേറ്റീവ് 
നിലവിലുണ്ട്, സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു
.
വെക്റ്റർ ആണെങ്കിൽ 
അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയത് 
, പിന്നെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 
വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിൽ 
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:
.
കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്റർ 
വിളിച്ചു ഗ്രേഡിയൻ്റ് വെക്റ്റർപ്രവർത്തനങ്ങൾ 
പോയിൻ്റിൽ 
. ഗ്രേഡിയൻ്റ് വെക്റ്റർ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്ഷനിലെ ഏറ്റവും വേഗതയേറിയ വർദ്ധനവിൻ്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, പോയിൻ്റ് A(1, 1), വെക്‌ടർ 
. കണ്ടെത്തുക: 1)ഗ്രേഡ് z പോയിൻ്റ് എയിൽ; 2) വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയിലുള്ള പോയിൻ്റ് എ-ൽ ഡെറിവേറ്റീവ് 
.
ഒരു പോയിൻ്റിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ 
:
;
.
അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രേഡിയൻ്റ് വെക്റ്റർ ഇതാണ്: 
. വെക്റ്റർ വിഘടനം ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രേഡിയൻ്റ് വെക്റ്റർ എഴുതാനും കഴിയും 
ഒപ്പം 
:
. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് 
വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശയിൽ 
:
അതിനാൽ, 
,
.◄
സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.
നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീമ
ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി.
ലോക്കൽ എക്സ്ട്രീംഎഫ്.എൻ.പി
ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ ഒപ്പം= എഫ്(പി), РÎDÌR എൻപോയിൻ്റ് P 0 ( എ 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) –ആന്തരികംപോയിൻ്റ് ഓഫ് സെറ്റ് ഡി.
നിർവ്വചനം 9.4.
1) പോയിൻ്റ് P 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു പരമാവധി പോയിൻ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(P), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ U(P 0) М D ഏത് പോയിൻ്റിനും P( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n)О U(P 0), Р¹Р 0 , വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ് എഫ്(പി) £ എഫ്(പി 0) . അർത്ഥം എഫ്(P 0) പരമാവധി പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരമാവധി നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എഫ്(P0) = പരമാവധി എഫ്(പി)
2) പോയിൻ്റ് P 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു മിനിമം പോയിൻ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(P), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ U(P 0)Ì D ഏത് പോയിൻ്റിനും P( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ് എഫ്(പി)³ എഫ്(പി 0) . അർത്ഥം എഫ്(P 0) മിനിമം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനം നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എഫ്(P 0) = മിനിറ്റ് എഫ്(പി).
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു തീവ്ര പോയിൻ്റുകൾ, എക്സ്ട്രീമ പോയിൻ്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രത.
നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, അസമത്വങ്ങൾ എഫ്(പി) £ എഫ്(പി 0), എഫ്(പി)³ എഫ്(P 0) പോയിൻ്റ് P 0 ൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ മാത്രമേ തൃപ്‌തിപ്പെടാവൂ, അല്ലാതെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും അല്ല, അതായത് ഫംഗ്‌ഷന് ഒരേ തരത്തിലുള്ള നിരവധി എക്‌സ്‌ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം (നിരവധി മിനിമ, നിരവധി മാക്‌സിമ) . അതിനാൽ, മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന എക്സ്ട്രീമയെ വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശികമായ(പ്രാദേശിക) അങ്ങേയറ്റം.
സിദ്ധാന്തം 9.1.( ആവശ്യമായ അവസ്ഥ FNP യുടെ തീവ്രത)
ചടങ്ങാണെങ്കിൽ ഒപ്പം= എഫ്(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n) P 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അതിൻ്റെ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.
തെളിവ്.പോയിൻ്റ് P 0 ( എ 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) പ്രവർത്തനം ഒപ്പം= എഫ്(P) ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, പരമാവധി. നമുക്ക് വാദങ്ങൾ ശരിയാക്കാം എക്സ് 2 , ..., x n, ഇടുന്നു എക്സ് 2 =എ 2 ,..., x n = ഒരു പി. പിന്നെ ഒപ്പം= എഫ്(പി) = എഫ് 1 ((എക്സ് 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) എന്നത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ് 1 . ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഉള്ളതിനാൽ എക്സ് 1 = എ 1 എക്സ്ട്രീം (പരമാവധി), പിന്നെ എഫ് 1 ¢=0 അല്ലെങ്കിൽ എപ്പോൾ നിലവിലില്ല എക്സ് 1 =എ 1 (ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ). പക്ഷേ, അതിനർത്ഥം P 0 - എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൽ നിലവിലില്ല എന്നാണ്. അതുപോലെ, മറ്റ് വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സി.ടി.ഡി.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിൻ്റുകൾ, ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഈ പ്രവർത്തനം.
സിദ്ധാന്തം 9.1-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിൽ എഫ്എൻപിയുടെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ അന്വേഷിക്കണം. പക്ഷേ, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, എല്ലാ നിർണായക പോയിൻ്റും ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല.
സിദ്ധാന്തം 9.2 (FNP യുടെ തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ അവസ്ഥ)
P 0 ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ ഒപ്പം= എഫ്(പി) ഒപ്പം 
ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ആണ്. പിന്നെ
എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P 0) > 0 at , അപ്പോൾ P 0 ഒരു പോയിൻ്റാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(പി);
b) എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P0)< 0 при , то Р 0 – точка പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(പി);
സി) എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P 0) ചിഹ്നത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, പിന്നെ P 0 ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല;
തെളിവില്ലാതെ ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കും.
എപ്പോൾ എന്നത് സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഡി 2 യു(P 0) = 0 അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. ഇതിനർത്ഥം, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ പോയിൻ്റ് പി 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം തുറന്നിരിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് അധിക ഗവേഷണം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് പഠിക്കുന്നു.
കൂടുതൽ വിശദമായ ഗണിത കോഴ്‌സുകളിൽ അത് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും പ്രവർത്തനത്തിന് z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോമിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ്
പി 0 എന്ന നിർണായക പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ലളിതമാക്കാം.
നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം, , . നമുക്ക് ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രചിക്കാം
.
മാറുന്നത്:
ഡി 2 z> 0 പോയിൻ്റ് P 0, അതായത്. പി 0 - മിനിമം പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ എ(P 0) > 0, D(P 0) > 0;
ഡി 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если എ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
D(P 0) ആണെങ്കിൽ< 0, то ഡി 2 zപോയിൻ്റ് P 0 ന് സമീപം അത് അടയാളം മാറ്റുന്നു, പോയിൻ്റ് P 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല;
D(Р 0) = 0 ആണെങ്കിൽ, നിർണായക പോയിൻ്റ് Р 0 ന് സമീപമുള്ള പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അധിക പഠനങ്ങളും ആവശ്യമാണ്.
അങ്ങനെ, ചടങ്ങിനായി z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉണ്ട് (ഇതിനെ "അൽഗോരിതം ഡി" എന്ന് വിളിക്കാം).
1) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക D( എഫ്) പ്രവർത്തനങ്ങൾ.
2) നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. ഡി( എഫ്), ഇവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.
3) ഓരോ നിർണായക പോയിൻ്റിലും പി 0, എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ പരിശോധിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തുക , എവിടെ , , കൂടാതെ D(P 0) കൂടാതെ കണക്കാക്കുക എ(പി 0). തുടർന്ന്:
D(P 0) >0 ആണെങ്കിൽ, P 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, എങ്കിൽ എ(P 0) > 0 – അപ്പോൾ ഇതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്, എങ്കിൽ എ(പി 0)< 0 – максимум;
D(P 0) ആണെങ്കിൽ< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
D(P 0) = 0 ആണെങ്കിൽ, അധിക ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.
4) കണ്ടെത്തിയ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.
ഉദാഹരണം 1.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക z = x 3 + 8വൈ 3 – 3xy .
പരിഹാരം.ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ കോർഡിനേറ്റ് തലമാണ്. നമുക്ക് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം.
, 
, 
Þ പി 0 (0,0), .
എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും
6എക്സ്, = -3, = 48ചെയ്തത്ഒപ്പം 
= 288xy – 9.
അപ്പോൾ D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - പോയിൻ്റ് Р 1-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, മുതൽ എ(P 1) = 3 >0, അപ്പോൾ ഈ എക്സ്ട്രീം ഒരു മിനിമം ആണ്. അതിനാൽ മിനി z=z(പി 1) = 
.
ഉദാഹരണം 2.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം: ഡി( എഫ്) =R 2 . നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ: 
; എപ്പോൾ നിലവിലില്ല ചെയ്തത്= 0, അതായത് P 0 (0,0) ആണ് ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റ്.
2, = 0, = , = , എന്നാൽ D(P 0) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, അതിനാൽ അതിൻ്റെ അടയാളം പഠിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.
അതേ കാരണത്താൽ, സിദ്ധാന്തം 9.2 നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ് - ഡി 2 zഈ ഘട്ടത്തിൽ നിലവിലില്ല.
പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം എഫ്(x, വൈ) പോയിൻ്റ് P 0 ൽ. എങ്കിൽ ഡി എഫ് =എഫ്(പി) - എഫ്(P 0)>0 "P, അപ്പോൾ P 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, എന്നാൽ D ആണെങ്കിൽ എഫ് < 0, то Р 0 – точка максимума.
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്
ഡി എഫ് = എഫ്(x, വൈ) – എഫ്(0, 0) = എഫ്(0+D x,0+D വൈ) – എഫ്(0, 0) = .
ഡിയിൽ x= 0.1, ഡി വൈ= -0.008 നമുക്ക് ഡി ലഭിക്കുന്നു എഫ് = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1, ഡി വൈ= 0.001 ഡി എഫ്= 0.01 + 0.1 > 0, അതായത്. പോയിൻ്റ് P 0 ൻ്റെ പരിസരത്ത് ഒരു വ്യവസ്ഥയും D തൃപ്തികരമല്ല എഫ് <0 (т.е. എഫ്(x, വൈ) < എഫ്(0, 0) അതിനാൽ P 0 ഒരു പരമാവധി പോയിൻ്റല്ല), അല്ലെങ്കിൽ വ്യവസ്ഥ D അല്ല എഫ്>0 (അതായത് എഫ്(x, വൈ) > എഫ്(0, 0) തുടർന്ന് P 0 ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റല്ല). അതിനാൽ, ഒരു തീവ്രതയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ പ്രവർത്തനംഅതിരുകളില്ല.
സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.
ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എക്സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു നിരുപാധികം, കാരണം ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും (വ്യവസ്ഥകൾ) ചുമത്തപ്പെട്ടിട്ടില്ല.
നിർവ്വചനം 9.2.പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അതിരുകടന്ന ഭാഗം ഒപ്പം = എഫ്(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n), അതിൻ്റെ വാദങ്ങൾ എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ കണ്ടെത്തി എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x nസമവാക്യങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക j 1 ( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0,…, ജെ ടി(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0, എവിടെ പി ( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) ഒ ഡി( എഫ്), വിളിച്ചു സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം .
സമവാക്യങ്ങൾ ജ കെ(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0 , കെ = 1, 2,..., എം, വിളിക്കുന്നു കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ.
നമുക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നോക്കാം z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ. കണക്ഷൻ സമവാക്യം ഒന്നാണെങ്കിൽ, അതായത്. , പിന്നെ സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും അല്ല, മറിച്ച് D( D() യിൽ കിടക്കുന്ന ചില വക്രങ്ങളിലാണ്. എഫ്) (അതായത്, ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ ആയ പോയിൻ്റുകളല്ല അന്വേഷിക്കുന്നത് z = f(x,വൈ), കൂടാതെ സിലിണ്ടറുമായി ഈ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ ആയ പോയിൻ്റുകൾ, ചിത്രം 5).
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം ( ഉന്മൂലനം രീതി). സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി പ്രകടിപ്പിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുക) കൂടാതെ, വേരിയബിളിൻ്റെ ഈ മൂല്യം ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റി, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി എഴുതുക (പരിഗണിച്ച സാഹചര്യത്തിൽ 
). ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.
