സേവനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം. SLAE-യ്ക്ക് നിസ്സാരമല്ലാത്തതും അടിസ്ഥാനപരവുമായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ് ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം ഒരു Word ഫയലിൽ സേവ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു (ഉദാഹരണ പരിഹാരം കാണുക).
നിർദ്ദേശങ്ങൾ. മാട്രിക്സ് അളവ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക:
രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
സിസ്റ്റം ഉണ്ടാകാൻ വേണ്ടി നിസ്സാരമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങൾ, അതിൻ്റെ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യവും മതിയായതുമാണ്.സിദ്ധാന്തം. ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം m=n എന്ന കേസിലെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് നോൺട്രിവിയൽ സൊല്യൂഷൻ ഉണ്ട്.
സിദ്ധാന്തം. ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഏത് രേഖീയ സംയോജനവും ആ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്.
നിർവ്വചനം. രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം, ഈ സെറ്റിൽ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ സൊല്യൂഷനുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഏത് പരിഹാരവും ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്.
സിദ്ധാന്തം. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് r അജ്ഞാതരുടെ n എന്ന സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, (n-r) പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമുണ്ട്.
രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം
- മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു.
- ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന മൈനർ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ആശ്രിത (അടിസ്ഥാന) സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരെ വേർതിരിക്കുന്നു.
- അടിസ്ഥാന മൈനറിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലാത്ത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മറികടക്കുന്നു, കാരണം അവ മറ്റുള്ളവയുടെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ് (മൈനർ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്).
- സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു വലത് വശം. തൽഫലമായി, r അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള r സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ നിർണ്ണയം പൂജ്യമല്ല.
- അജ്ഞാതമായവ ഇല്ലാതാക്കി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്രമായവയിലൂടെ ആശ്രിത വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
- മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.
- rang = n എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് നിസ്സാരമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.
ഉദാഹരണം. വെക്റ്ററുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുക (a 1, a 2,...,a m), അടിസ്ഥാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വെക്റ്ററുകളെ റാങ്ക് ചെയ്യുകയും പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക. ഒരു 1 =(0,0,1,-1), 2 =(1,1,2,0), കൂടാതെ 3 =(1,1,1,1), 4 =(3,2,1) ,4), കൂടാതെ 5 =(2,1,0,3).
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് എഴുതാം:
മൂന്നാമത്തെ വരിയെ (-3) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. നമുക്ക് നാലാമത്തെ വരി 3-ലേക്ക് ചേർക്കാം:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
നാലാമത്തെ വരിയെ (-2) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. നമുക്ക് അഞ്ചാമത്തെ വരി (3) കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. നമുക്ക് അഞ്ചാമത്തെ വരി 4-ലേക്ക് ചേർക്കാം:
നമുക്ക് 2-ആം വരി 1-ലേക്ക് ചേർക്കാം:
നമുക്ക് മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്താം.
ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുള്ള സിസ്റ്റം യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് കൂടാതെ ഫോം ഉണ്ട്:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
അജ്ഞാതങ്ങളെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു നിസ്സാര പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു:
x 1 , x 2 , x 3 എന്നീ ആശ്രിത വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായവ x 4 വഴി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, അതായത്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി പൊതുവായ തീരുമാനം:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
ഗൗസിയൻ രീതിക്ക് അനേകം പോരായ്മകളുണ്ട്: ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ ആവശ്യമായ എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും നടപ്പിലാക്കുന്നത് വരെ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണോ അല്ലയോ എന്ന് അറിയാൻ കഴിയില്ല; അക്ഷര ഗുണകങ്ങളുള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഗൗസിൻ്റെ രീതി അനുയോജ്യമല്ല.
ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ രീതികൾ മാട്രിക്സ് റാങ്ക് എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുകയും ക്രാമർ റൂൾ ബാധകമാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരതയുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉദാഹരണം 1.ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക അടുത്ത സിസ്റ്റംലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ, കുറഞ്ഞ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനവും അസമമായ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
1. ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാക്കുന്നു എവിപുലീകൃത സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് (1)
2. സിസ്റ്റം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക (1) ഐക്യത്തിന്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു എകൂടാതെ https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). അത് മാറുകയാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം (1) പൊരുത്തമില്ലാത്ത. അത് നമുക്ക് കിട്ടിയാൽ , അപ്പോൾ ഈ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, ഞങ്ങൾ അത് പരിഹരിക്കും. (ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് അനുയോജ്യതാ പഠനം).
എ. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു rA.
കണ്ടുപിടിക്കാൻ rA, മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ, രണ്ടാമത്തേത്, തുടങ്ങിയ ഓർഡറുകളുടെ സീറോ അല്ലാത്ത മൈനറുകൾ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കും. എഅവരെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും.
M1=1≠0 (മാട്രിക്സിൻ്റെ മുകളിൽ ഇടത് കോണിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ 1 എടുക്കുന്നു എ).
ഞങ്ങൾ അതിർത്തി M1ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയും രണ്ടാമത്തെ നിരയും. 
. ഞങ്ങൾ അതിർത്തിയിൽ തുടരുന്നു M1രണ്ടാമത്തെ വരിയും മൂന്നാമത്തെ നിരയും..gif" width="37" height="20 src=">. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൈനറിൻ്റെ അതിർത്തി M2′രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ.
നമുക്ക് ഉണ്ട്: 
(ആദ്യത്തെ രണ്ട് നിരകൾ ഒന്നായതിനാൽ)
(രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ ആനുപാതികമായതിനാൽ).
ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു rA=2, a ആണ് മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ എ.
ബി. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
തികച്ചും അടിസ്ഥാനപരമായ മൈനർ M2′മെട്രിക്സ് എസ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടേയും എല്ലാ വരികളുടേയും ഒരു നിരയുമായുള്ള അതിർത്തി (ഞങ്ങൾക്ക് അവസാന വരി മാത്രമേയുള്ളൂ).
. അത് പിന്തുടരുന്നു M3′′മാട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറായി തുടരുന്നു https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
കാരണം M2′- മാട്രിക്സിൻ്റെ മൈനറിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം എസംവിധാനങ്ങൾ (2) , അപ്പോൾ ഈ സിസ്റ്റം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് (3) , സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (2) (വേണ്ടി M2′മാട്രിക്സ് A യുടെ ആദ്യ രണ്ട് വരികളിലാണ്.
(3)
അടിസ്ഥാന മൈനർ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട് ( x2 ഒപ്പം x4 ). അതുകൊണ്ടാണ് എഫ്എസ്ആർ സംവിധാനങ്ങൾ (4) രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവരെ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ അജ്ഞാതരെ സൗജന്യമായി നിയോഗിക്കുന്നു (4) ആദ്യം മൂല്യങ്ങൾ x2=1 , x4=0 , തുടർന്ന് - x2=0 , x4=1 .
ചെയ്തത് x2=1 , x4=0 നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:
.
ഈ സംവിധാനം ഇതിനകം ഉണ്ട് ഒരേ ഒരു കാര്യം പരിഹാരം (ക്രാമർ റൂൾ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണ്ടെത്താനാകും). രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേത് കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അവളുടെ പരിഹാരം ആയിരിക്കും x1= -1 , x3=0 . മൂല്യങ്ങൾ നൽകി x2 ഒപ്പം x4 , ഞങ്ങൾ ചേർത്തത്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു (2) : .
ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു (4) x2=0 , x4=1 . നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
.
ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു:
.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു (2) : .
പരിഹാരങ്ങൾ β1 , β2 മേക്കപ്പും എഫ്എസ്ആർ സംവിധാനങ്ങൾ (2) . അപ്പോൾ അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാകും
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
ഇവിടെ C1 , C2 - അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.
4. ഒന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാം സ്വകാര്യം പരിഹാരം വൈവിധ്യമാർന്ന സിസ്റ്റം(1) . ഖണ്ഡികയിലെന്നപോലെ 3 , സിസ്റ്റത്തിന് പകരം (1) നമുക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംവിധാനം പരിഗണിക്കാം (5) , സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (1) .
(5)
സ്വതന്ത്രമായ അജ്ഞാതരെ നമുക്ക് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം x2ഒപ്പം x4.
(6)
അറിയാത്തവ സൗജന്യമായി നൽകാം x2 ഒപ്പം x4 അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, x2=2 , x4=1 അവരെ അകത്താക്കി (6) . നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം
ഈ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് (അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മുതൽ M2′0). അത് പരിഹരിക്കുന്നത് (ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം അല്ലെങ്കിൽ ഗൗസിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്), ഞങ്ങൾ നേടുന്നു x1=3 , x3=3 . സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകി x2 ഒപ്പം x4 , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം(1)α1=(3,2,3,1).
5. ഇനി അത് എഴുതുക മാത്രമാണ് ബാക്കിയുള്ളത് ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം α(1) : ഇത് തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് സ്വകാര്യ പരിഹാരംഈ സിസ്റ്റം ഒപ്പം അതിൻ്റെ കുറഞ്ഞ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
ഇതിനർത്ഥം: 
(7)
6. പരീക്ഷ.നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാൻ (1) , ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ആവശ്യമാണ് (7) പകരം (1) . ഓരോ സമവാക്യവും ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുകയാണെങ്കിൽ ( C1 ഒപ്പം C2 നശിപ്പിക്കണം), അപ്പോൾ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.
ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും (7) ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യം മാത്രം (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
എവിടെ –1=–1. നമുക്കൊരു ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടി. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുമായി ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു (1) .
അഭിപ്രായം.പരിശോധന സാധാരണയായി വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന "ഭാഗിക പരിശോധന" ശുപാർശ ചെയ്യാവുന്നതാണ്: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ (1) അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് ചില മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭാഗിക പരിഹാരം നിരസിച്ച സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് (അതായത്, ആ സമവാക്യങ്ങളിൽ) മാത്രം പകരം വയ്ക്കുക. (1) , അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (5) ). ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടിയാൽ പിന്നെ കൂടുതൽ സാധ്യത, സിസ്റ്റം പരിഹാരം (1) ശരിയായി കണ്ടെത്തി (എന്നാൽ അത്തരമൊരു പരിശോധന ശരിയായതിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ ഗ്യാരണ്ടി നൽകുന്നില്ല!). ഉദാഹരണത്തിന്, അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ (7) ഇട്ടു C2=- 1 , C1=1, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) അവസാന സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , അതായത് –1=–1. നമുക്കൊരു ഐഡൻ്റിറ്റി കിട്ടി.
ഉദാഹരണം 2.രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക (1) , അടിസ്ഥാന അജ്ഞാതങ്ങളെ സ്വതന്ത്രമായവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
പരിഹാരം.എന്നപോലെ ഉദാഹരണം 1, മെട്രിക്സ് രചിക്കുക എകൂടാതെ ഈ മെട്രിസുകളുടെ https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു (1) , ഈ അടിസ്ഥാന മൈനറിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ (അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്) അവ അടങ്ങുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുക, സിസ്റ്റത്തിന് (1) തുല്യമാണ്.
ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശത്തേക്ക് നമുക്ക് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളെ കൈമാറാം.
സിസ്റ്റം (9) വലത് വശങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളായി പരിഗണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
ഓപ്ഷൻ 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
ഓപ്ഷൻ 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
ഓപ്ഷൻ 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
ഓപ്ഷൻ 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
ഒരു ഫീൽഡിന് മുകളിലുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റം
നിർവ്വചനം. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം (1) അതിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു ശൂന്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സ്വതന്ത്ര സംവിധാനമാണ്, ഇതിൻ്റെ ലീനിയർ സ്പാൻ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു (1).
പൂജ്യം പരിഹാരം മാത്രമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമായ പരിഹാര സംവിധാനമില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
നിർദ്ദേശം 3.11. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിലേക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനങ്ങൾ ഒരേ എണ്ണം പരിഹാരങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
തെളിവ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) പരിഹാരങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് അടിസ്ഥാന സംവിധാനങ്ങൾ തുല്യവും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രവുമാണ്. അതിനാൽ, പ്രൊപ്പോസിഷൻ 1.12 പ്രകാരം, അവരുടെ റാങ്കുകൾ തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം മറ്റേതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) പ്രധാന മാട്രിക്സ് എ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഏത് വെക്റ്ററും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) പരിഹാരമാണ്; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏത് ശേഖരവും രേഖീയമാണ് സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകൾഎന്ന അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമാണ്. മാട്രിക്സ് A യുടെ നിരയുടെ റാങ്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (1) ഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ - പൂജ്യം; അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് (1) പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഇല്ല.
സിദ്ധാന്തം 3.12. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ (1) ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് (1) പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമുണ്ട്.
തെളിവ്. ഹോമോജീനിയസ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) പ്രധാന മാട്രിക്സ് എയുടെ റാങ്ക് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ , ആ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണെന്ന് മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അതിന് താഴെ അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, മാട്രിക്സ് എയുടെ ആദ്യ നിരകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് A എന്നത് ഒരു കുറച്ച സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് മാട്രിക്സിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റം (1) ഇനിപ്പറയുന്ന കുറച്ച സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്:
സ്വതന്ത്ര മൂല്യങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സിസ്റ്റം പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് സിസ്റ്റം വേരിയബിളുകൾ(2) സിസ്റ്റത്തിന് (2) ഒരേയൊരു പരിഹാരത്തിനും അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിനും (1) സമാനമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, സിസ്റ്റം (2), സിസ്റ്റം (1) എന്നിവയുടെ പൂജ്യം സൊല്യൂഷൻ മാത്രമേ പൂജ്യം മൂല്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുള്ളൂ.
സിസ്റ്റത്തിൽ (2) ഞങ്ങൾ സൗജന്യമായി ഒന്ന് നിയോഗിക്കും വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം, 1 ന് തുല്യമാണ്, ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾക്ക് പൂജ്യം മൂല്യങ്ങളുണ്ട്. തൽഫലമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സ് സിയുടെ വരികളുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് (2) പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും:
ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരി സിസ്റ്റം രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. തീർച്ചയായും, സമത്വത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സ്കെയിലറുകൾക്ക്
സമത്വം പിന്തുടരുന്നു
അതിനാൽ, സമത്വവും
മാട്രിക്സ് സിയുടെ വരികളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ലീനിയർ സ്പാൻ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും ഗണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം (1).
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിഹാരം (1). പിന്നെ വെക്റ്റർ
സിസ്റ്റം (1), കൂടാതെ
അനുവദിക്കുക എം 0 - ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള (4) പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം.
നിർവ്വചനം 6.12.വെക്‌ടറുകൾ കൂടെ 1 ,കൂടെ 2 , …, കൂടെ പി, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം(ചുരുക്കമുള്ള FNR), എങ്കിൽ
1) വെക്‌ടറുകൾ കൂടെ 1 ,കൂടെ 2 , …, കൂടെ പിരേഖീയമായി സ്വതന്ത്രം (അതായത്, അവയൊന്നും മറ്റുള്ളവരുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല);
2) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിനുള്ള മറ്റേതെങ്കിലും പരിഹാരം പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും കൂടെ 1 ,കൂടെ 2 , …, കൂടെ പി.
എങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക കൂടെ 1 ,കൂടെ 2 , …, കൂടെ പി- ഏതെങ്കിലും f.n.r., പിന്നെ എക്സ്പ്രഷൻ കെ 1× കൂടെ 1 + കെ 2× കൂടെ 2 + … + കെ പി× കൂടെ പിനിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ സെറ്റും വിവരിക്കാം എംസിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള 0 പരിഹാരങ്ങൾ (4), അതിനാൽ ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റം പരിഹാരത്തിൻ്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച (4).
സിദ്ധാന്തം 6.6.ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും അനിശ്ചിത ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
അടിസ്ഥാനപരമായ പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള മാർഗ്ഗം ഇപ്രകാരമാണ്:
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക;
നിർമ്മിക്കുക ( എൻ – ആർ) ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ, സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് രൂപപ്പെടുത്തണം;
എഴുതുക പൊതു രൂപംപരിഹാരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എം 0 .
ഉദാഹരണം 6.5.ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റത്തിനുള്ള അടിസ്ഥാന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം കണ്ടെത്തുക:
പരിഹാരം. ഈ സംവിധാനത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം നോക്കാം.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
ഈ സംവിധാനത്തിൽ അഞ്ച് അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട് ( എൻ= 5), അതിൽ രണ്ട് പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട് ( ആർ= 2), മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട് ( എൻ – ആർ), അതായത്, അടിസ്ഥാന പരിഹാര സെറ്റിൽ മൂന്ന് സൊല്യൂഷൻ വെക്റ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അവ നിർമ്മിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട് x 1 ഒപ്പം x 3 - പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങൾ, x 2 , x 4 , x 5 - സൗജന്യ അജ്ഞാതങ്ങൾ
സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ x 2 , x 4 , x 5 ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് രൂപപ്പെടുത്തുന്നു ഇമൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ. ആ വെക്‌ടറുകൾ ലഭിച്ചു കൂടെ 1 ,കൂടെ 2 , കൂടെ 3 ഫോം f.n.r. ഈ സംവിധാനത്തിൻ്റെ. അപ്പോൾ ഈ ഏകതാനമായ സംവിധാനത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം ആയിരിക്കും എം 0 = {കെ 1× കൂടെ 1 + കെ 2× കൂടെ 2 + കെ 3× കൂടെ 3 , കെ 1 , കെ 2 , കെ 3 ഒ ആർ).
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുടെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്താം, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങളുടെ നിലനിൽപ്പിനുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന് പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, അത് അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണ്.
1) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണ്;
2) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണ്;
3) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (അതായത് | എ| = 0).
ഉദാഹരണം 6.6. ഏത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യത്തിലാണ് എരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റം 
പൂജ്യമല്ലാത്ത പരിഹാരങ്ങളുണ്ടോ?
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് രചിച്ച് അതിൻ്റെ നിർണായക ഘടകം കണ്ടെത്താം: = = 1×(–1) 1+1 × = – എ- 4. ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എ = –4.
ഉത്തരം: –4.
7. ഗണിതശാസ്ത്രം എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്റർ സ്പേസ്
അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ
മുമ്പത്തെ വിഭാഗങ്ങളിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇത് ഒരു വരി മാട്രിക്സ് (അല്ലെങ്കിൽ കോളം മാട്രിക്സ്) ആണ് കൂടാതെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവുമാണ് എൻഅജ്ഞാതം. ഈ വിവരങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കാം.
നിർവ്വചനം 7.1. എൻ-ഡൈമൻഷണൽ അരിത്മെറ്റിക് വെക്റ്റർഒരു ഓർഡർ സെറ്റ് വിളിച്ചു എൻയഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ.
അർത്ഥമാക്കുന്നത് എ= (a 1 , a 2 , ..., a എൻ), എവിടെ എ ഐഒ ആർ, ഐ = 1, 2, …, എൻ- വെക്റ്ററിൻ്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച. നമ്പർ എൻവിളിച്ചു മാനംവെക്‌ടറുകൾ, സംഖ്യകൾ a ഐഅവൻ്റെ എന്നു വിളിക്കപ്പെടുന്നു കോർഡിനേറ്റുകൾ.
ഉദാഹരണത്തിന്: എ= (1, –8, 7, 4, ) - പഞ്ചമാന വെക്റ്റർ.
എല്ലാം സജ്ജമാക്കി എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകൾ സാധാരണയായി ഇങ്ങനെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് Rn.
നിർവ്വചനം 7.2.രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ എ= (a 1 , a 2 , ..., a എൻ) ഒപ്പം ബി= (b 1, b 2, ..., b എൻ) അതേ അളവിലുള്ളത് തുല്യമായഅവയുടെ അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത് a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a എൻ= ബി എൻ.
നിർവ്വചനം 7.3.തുകരണ്ട് എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്ററുകൾ എ= (a 1 , a 2 , ..., a എൻ) ഒപ്പം ബി= (b 1, b 2, ..., b എൻ) വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ + ബി= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a എൻ+ബി എൻ).
നിർവ്വചനം 7.4. ജോലിയഥാർത്ഥ സംഖ്യ കെവെക്റ്ററിലേക്ക് എ= (a 1 , a 2 , ..., a എൻ) വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കെ× എ = (കെ×എ 1, കെ×എ 2,…, കെ×എ എൻ)
നിർവ്വചനം 7.5.വെക്റ്റർ ഒ= (0, 0, ..., 0) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൂജ്യം(അഥവാ നൾ വെക്റ്റർ).
വെക്റ്ററുകൾ ചേർക്കുന്നതിനും അവയെ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് (പ്രവർത്തനങ്ങൾ) ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: " എ, ബി, സി Î Rn, " കെ, എൽഒ ആർ:
1) എ + ബി = ബി + എ;
2) എ + (ബി+ സി) = (എ + ബി) + സി;
3) എ + ഒ = എ;
4) എ+ (–എ) = ഒ;
5) 1× എ = എ, 1 О R;
6) കെ×( എൽ× എ) = എൽ×( കെ× എ) = (എൽ× കെ)× എ;
7) (കെ + എൽ)× എ = കെ× എ + എൽ× എ;
8) കെ×( എ + ബി) = കെ× എ + കെ× ബി.
നിർവ്വചനം 7.6.ഒരു കൂട്ടം Rnവെക്‌ടറുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും അതിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൊണ്ട് അവയെ ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത എൻ-ഡൈമൻഷണൽ വെക്റ്റർ സ്പേസ്.
