2 ഓർഡർ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ:
(1) .
അതിൻ്റെ പരിഹാരം താഴെപ്പറയുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും പൊതു രീതിഓർഡർ കുറയ്ക്കൽ.

എന്നിരുന്നാലും, അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഉടനടി നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ് എൻരേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ പരിഹാരങ്ങളും അതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു പൊതു പരിഹാരം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുഴുവൻ പരിഹാര നടപടിക്രമവും ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു അടുത്ത ഘട്ടങ്ങൾ.

ഫോമിലെ സമവാക്യം (1) ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുകയാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം :
(2) .
ഇതിന് വേരുകളില്ല. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം (2) പരിഹരിക്കുകയും അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ സ്വഭാവ സമവാക്യം (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
(3) .
ഓരോ റൂട്ടും സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള (1) പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളിലൊന്നുമായി യോജിക്കുന്നു. പിന്നെ പൊതുവായ പരിഹാരം യഥാർത്ഥ സമവാക്യം(1) ഫോം ഉണ്ട്:
(4) .

യഥാർത്ഥ വേരുകൾ

നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ പരിഗണിക്കാം. റൂട്ട് ഒറ്റയായിരിക്കട്ടെ. അതായത്, ഘടകം സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൽ (3) ഒരിക്കൽ മാത്രം പ്രവേശിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഈ റൂട്ട് പരിഹാരവുമായി യോജിക്കുന്നു
.

ബഹുത്വത്തിൻ്റെ ഒരു മൾട്ടിപ്പിൾ റൂട്ട് ആകട്ടെ p. അതാണ്
. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണനം p തവണയാണ്:
.
ഈ ഒന്നിലധികം (തുല്യ) വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:
; ; ; ...; .

സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ

സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ പരിഗണിക്കുക. യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് പ്രകടിപ്പിക്കാം:
.
ഒറിജിനലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ യഥാർത്ഥമായതിനാൽ, റൂട്ടിന് പുറമേ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സംയോജിത റൂട്ടും ഉണ്ട്
.

സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് ഒന്നിലധികം ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ ഒരു ജോടി വേരുകൾ രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു:
; .

ബഹുത്വത്തിൻ്റെ ഒന്നിലധികം സങ്കീർണ്ണമായ റൂട്ട് p. അപ്പോൾ സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത മൂല്യം ഗുണിത p എന്ന സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും ഗുണിതം p സമയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നു:
.
ഈ 2pവേരുകൾ യോജിക്കുന്നു 2pരേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾ:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, നമുക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരം ലഭിക്കും.

പ്രശ്ന പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
.

പരിഹാരം

.
നമുക്ക് അതിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
;
;
.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നോക്കാം. ഗുണിതം 2 ൻ്റെ നാല് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ നമുക്ക് ലഭിച്ചു:
; .
അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നാല് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:
; ; ; .

മൾട്ടിപ്പിൾ 3 ൻ്റെ മൂന്ന് യഥാർത്ഥ റൂട്ടുകളും ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്:
.
അവ മൂന്ന് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:
; ; .

പൊതുവായ തീരുമാനംയഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 2

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം

ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തിരയുകയാണ്. ഞങ്ങൾ സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:
.
ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു.
.

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ലഭിച്ചു:
.
അവ രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു:
.
സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം:
.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ, പ്രക്രിയയെ വിവരിക്കുന്ന അളവുകൾ തമ്മിൽ നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കാൻ സാധ്യമല്ല. എന്നാൽ പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു തുല്യത നേടാൻ കഴിയും. ഇങ്ങനെയാണ് അവ ഉണ്ടാകുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഅജ്ഞാതമായ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവ പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയും.

അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമായ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം നേരിടുന്നവർക്കായി ഈ ലേഖനം ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവില്ലാതെ, നിങ്ങളുടെ ചുമതലയെ നേരിടാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിലാണ് സിദ്ധാന്തം ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യവും സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കും പ്രശ്നങ്ങൾക്കും വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉള്ള ഒരു പരിഹാര രീതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക, സമാനമായ വിശകലനം ചെയ്ത ഉദാഹരണം കണ്ടെത്തുകയും സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുക.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ സെറ്റ് കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവും ആവശ്യമാണ് ( അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ) വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ആവശ്യമെങ്കിൽ, വിഭാഗം റഫർ ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ആദ്യം, ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ രണ്ടാം-ഓർഡർ ODE-കളിലേക്ക് പോകും, ​​തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഉയർന്ന ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങളിൽ താമസിക്കുകയും സിസ്റ്റങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുകയും ചെയ്യും. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

y എന്നത് ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ ഓർക്കുക.

ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഫോമിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

അത്തരം റിമോട്ട് കൺട്രോളിൻ്റെ ഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ എഴുതാം .

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും f(x) കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f(x) ≠ 0 ൻ്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു. അത്തരം ODE കളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

f(x), g(x) എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഒരേസമയം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അധിക പരിഹാരങ്ങൾ ദൃശ്യമാകും. സമവാക്യത്തിനുള്ള അധിക പരിഹാരങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന x എന്നത് ഈ ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷനുകളാണ്. അത്തരം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള എൽഡിഇ വളരെ സാധാരണമായ ഒരു തരം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ്. അവരുടെ പരിഹാരം പ്രത്യേകിച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല. ആദ്യം, സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തി . വ്യത്യസ്ത p, q എന്നിവയ്‌ക്ക്, മൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവും യഥാർത്ഥവും യാദൃശ്ചികവുമാകാം. അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനങ്ങൾ. സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു , അഥവാ , അല്ലെങ്കിൽ യഥാക്രമം.

ഉദാഹരണത്തിന്, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം-ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. അതിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ k 1 = -3, k 2 = 0 എന്നിവയാണ്. വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്, അതിനാൽ, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള LODE ൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്


സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ y ഉള്ള ഒരു രണ്ടാം-ഓർഡർ LDDE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം ബന്ധപ്പെട്ട LDDE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയുടെ രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥമായതിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം അല്ല ഏകതാനമായ സമവാക്യം, അതാണ്, . മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡിക സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപത്തിനായുള്ള അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ രീതിയോ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്തമായ ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ രീതിയോ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാം ഓർഡർ എൽഡിഡിഇകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളായി ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു


സിദ്ധാന്തം മനസിലാക്കുന്നതിനും ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ പരിചയപ്പെടുന്നതിനും, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പേജിൽ നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (LODE) രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകളും (LNDEs).

ഈ തരത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള LODE, LDDE എന്നിവയാണ്.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ y 1, y 2 എന്നീ രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു രേഖീയ സംയോജനമാണ് ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിലെ LODE ൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്, അതായത്, .

ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലാണ് പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട്. സാധാരണയായി, ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റങ്ങളിൽ നിന്ന് പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു സ്വതന്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങൾ:


എന്നിരുന്നാലും, പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഈ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല.

ഒരു LOD യുടെ ഉദാഹരണമാണ് .

എൽഡിഡിഇയുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോമിലാണ് അന്വേഷിക്കുന്നത്, എവിടെയാണ് അനുബന്ധ എൽഡിഡിഇയുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം, ഇത് യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരമാണ്. ഞങ്ങൾ ഇത് കണ്ടെത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു, പക്ഷേ വ്യത്യസ്ത അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

LNDU യുടെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം .

ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങൾ.

ക്രമം കുറയ്ക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം , ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും k-1 ഓർഡർ വരെയുള്ള അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്തത്, മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ n-k ആയി കുറയ്ക്കാം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ആയി കുറയും. അതിൻ്റെ പരിഹാരം p(x) കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലേക്ക് മടങ്ങുകയും അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ y നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിനുശേഷം, അത് വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമായി മാറും, അതിൻ്റെ ക്രമം മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിലേക്ക് കുറയും.

ഈ ഖണ്ഡിക ചർച്ച ചെയ്യും പ്രത്യേക കേസ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾരണ്ടാമത്തെ ക്രമം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്, അവ സംഖ്യകളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേകിച്ചും വിശാലമായ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തുന്നു.

1. ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമം

സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ സ്ഥിരമാണ്. സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളെയും വിഭജിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു

ഈ സമവാക്യം ഫോമിൽ എഴുതാം

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, അതിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം അറിയാൻ ഇത് മതിയാകും. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായി ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. ഫോമിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ രണ്ടുതവണ വ്യത്യസ്‌തമാക്കുകയും സമവാക്യങ്ങൾക്ക് (59) പകരമായി പദപ്രയോഗങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

മുതൽ, കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, k യുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുള്ള ഫംഗ്ഷൻ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കും (59).

ഗുണകം k നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിത സമവാക്യം (61) ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (59) സ്വഭാവ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്വഭാവ സമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ ഇതിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ വേരുകൾ ഒന്നുകിൽ യഥാർത്ഥ വ്യതിരിക്തവും യഥാർത്ഥവും തുല്യവും അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനവും ആകാം.

ഈ കേസുകളിൽ ഓരോന്നിനും പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഏത് രൂപത്തിലാണ് ഉള്ളതെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

1. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല (60) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഈ രണ്ട് പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ മുഴുവൻ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലും ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമായി മാറുന്നു, കാരണം Wronski determinant എവിടെയും അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല:

തൽഫലമായി, ഫോർമുല (48) അനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

2. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകളും യഥാർത്ഥമായിരിക്കും. ഫോർമുല (60) ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം മാത്രമേ ലഭിക്കൂ

രണ്ടാമത്തെ പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന്, ആദ്യത്തേതുമായി ചേർന്ന് ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന് രൂപം ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം

ഒന്നാമതായി, ഫംഗ്ഷൻ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം (59). ശരിക്കും,

പക്ഷേ, സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളതിനാൽ (61). കൂടാതെ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അതിനാൽ . തത്ഫലമായി, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ തീർച്ചയായും സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് (59).

കണ്ടെത്തിയ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമായി മാറുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കാണിക്കാം. ശരിക്കും,

അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

3. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണ വേരുകൾ സംയോജിതമാണ് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, അതായത് അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾക്ക് (59), ഫോർമുല (60) അനുസരിച്ച്, ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും:

യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് (അദ്ധ്യായം XI, § 5, ഖണ്ഡിക 3 കാണുക), ഇതിനായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഈ പരിഹാരങ്ങൾ സമഗ്രമാണ്. സാധുവായ പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കാൻ, പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുക

അവ പരിഹാരങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്, അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (59) പരിഹാരങ്ങളാണ് (§ 3, ഇനം 2, സിദ്ധാന്തം 1 കാണുക).

ഈ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള Wronski ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമാണ്.

അതിനാൽ, സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

ഉപസംഹാരമായി, സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ തരം അനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ (59) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകളുടെ ഒരു പട്ടിക അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ (പിസി) ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സെക്കൻഡ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ (എൽഎൻഡിഇ-2) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനങ്ങൾ

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ $p$, $q$ എന്നിവയുള്ള ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ LDDE ന് $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $f\left(x \right)$ എന്നത് ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്.

PC ഉള്ള LNDU 2 സംബന്ധിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്.

ചില ഫംഗ്‌ഷൻ $U$ ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഭാഗിക പരിഹാരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ചില ഫംഗ്‌ഷൻ $Y$ എന്നത് അനുബന്ധ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ്റെ (HLDE) പൊതു പരിഹാരമാണ് (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. തുടർന്ന് GR-ൻ്റെ GR LHDE-2 എന്നത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സ്വകാര്യവും പൊതുവായതുമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് $y=U+Y$.

ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ LMDE യുടെ വലത് വശം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ഓരോ ഫംഗ്ഷനുകളിലേക്കും $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, അതിനു ശേഷം $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ എന്ന ഫോമിൽ CR LNDU-2 എഴുതുക.

പിസിക്കൊപ്പം രണ്ടാം ഓർഡർ എൽപിഡിഇയുടെ പരിഹാരം

തന്നിരിക്കുന്ന LNDU-2-ൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ PD $U$ അതിൻ്റെ വലത് വശത്തെ $f\ഇടത്(x\right)$ ൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട രൂപത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. PD LNDU-2 നായി തിരയുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് നിയമങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

റൂൾ #1.

വലത് ഭാഗം LNDU-2-ന് $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, അതായത്, അതിനെ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം എന്ന് വിളിക്കുന്നു $ n$. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n) \left(x\right)$ എന്നത് മറ്റൊന്നാണ്. $P_(n) \left(x\right)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം, കൂടാതെ $r$ എന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ LODE-2 ൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ (UK) രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.

റൂൾ നമ്പർ 2.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ എന്ന രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \ഇടത്(x\വലത്)$ എന്നത് $n$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n ) \ left(x\right)$ എന്നത് $P_(n) \left(x\right)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ മറ്റൊരു ബഹുപദമാണ്, കൂടാതെ $r$ എന്നത് അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha $ ന് തുല്യമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതിയാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്.

റൂൾ നമ്പർ 3.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) എന്ന രൂപമുണ്ട്. \right) $, $a$, $b$, $\beta$ എന്നിവ എവിടെയാണ് അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു. \right )\cdot x^(r) $, ഇവിടെ $A$, $B$ എന്നിവ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളാണ്, $r$ എന്നത് $i\cdot-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണ്. \beta $. $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ നോൺ-ഡിസ്ട്രക്റ്റീവ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

റൂൾ നമ്പർ 4.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)$ ആണ് ഡിഗ്രി $ n$ എന്ന ബഹുപദവും $P_(m) \left(x\right)$ എന്നത് $m$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(s) \left(x\right)$ ഒപ്പം $ R_(s) \left(x\right)$ എന്നത് $s$ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദങ്ങളാണ്, $s$ എന്നത് $n$, $m$ എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പരമാവധി ആണ്, $r$ എന്നത് വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha +i\cdot \beta $-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ. $Q_(s) \left(x\right)$, $R_(s) \left(x\right)$ എന്നീ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

NK രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായ LNDU-2 ൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഭാഗമായ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• എഴുതിയിരിക്കുന്ന PD $U$ പകരം വയ്ക്കുക പൊതുവായ കാഴ്ച, വി ഇടത് വശം LNDU-2;
• LNDU-2 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്, അതേ ശക്തികൾ $x$ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമാക്കലും ഗ്രൂപ്പ് നിബന്ധനകളും നടത്തുക;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ, ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ $x$ എന്ന അതേ ശക്തികളുമായി പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുക;
• അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾക്കായുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

ടാസ്‌ക്: കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD യും കണ്ടെത്തുക , $x=0$-ന് $y=6$, $x=0$-ന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ LOD-2 എഴുതുന്നു: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

സ്വഭാവ സമവാക്യം: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവയാണ്: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ഈ വേരുകൾ സാധുതയുള്ളതും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അങ്ങനെ, അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ OR ന് ഫോം ഉണ്ട്: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ഈ LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്. $\alpha =3$ എന്ന ഘാതകത്തിൻ്റെ ഗുണകം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ഗുണകം സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വേരുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഈ LNDU-2 ൻ്റെ PD ന് $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്.

NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾക്കായി തിരയും.

ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$U"=\ഇടത്(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$U""=\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

നൽകിയിരിക്കുന്ന NLDE-2 $y""-3\cdot y" എന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ $y""$, $y"$, $y$ എന്നിവയ്ക്ക് പകരം $U""$, $U"$, $U$ എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ മാത്രമല്ല, $e^(3\cdot x) $ ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എല്ലാ ഘടകങ്ങളിലും, അത് നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ഞങ്ങൾ NDT രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ഈ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിനായുള്ള OR $y=Y+U$ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ഇടത് (-2\cdot x-1\വലത്)\cdot e^(3\cdot x) $.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു PD തിരയുന്നതിനായി, OP-യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് $y"$ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\ഇടത്(-2\cdot x-1\വലത്)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

$x=0$ എന്നതിന് $y=6$, $x=0$ എന്നതിന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ $y$, $y"$ എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിച്ചു:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം. ക്രാമർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $C_(1) $ കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടാതെ $C_(2) $ ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ തുടക്കം(അറേ)(സിസി) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ അവസാനം(അറേ)\ വലത്|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

അങ്ങനെ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പിഡിക്ക് ഫോം ഉണ്ട്: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ലാഗ്രാഞ്ച് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കും. വിശദമായ വിവരണംഅനിയന്ത്രിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി പേജിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു
ലഗ്രാഞ്ച് രീതി >>> വഴി ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 1

Lagrange സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രണ്ടാം ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
(1)

പരിഹാരം

ആദ്യം നമ്മൾ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:
(2)

ഇതൊരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:
.
ഒന്നിലധികം വേരുകൾ: . അടിസ്ഥാന സംവിധാനംസമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
(3) .
ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കും (2):
(4) .

സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം C 1 കൂടാതെ സി 2 . അതായത്, (4) ലെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
.
ഫോമിലെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം (1) ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തേടുകയാണ്:
(5) .

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും സമവാക്യവും ബന്ധിപ്പിക്കാം:
(6) .
പിന്നെ
.

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ (1) പകരം വയ്ക്കുക:
(1) ;



.
ഏകതാനമായ സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ, അവസാന മൂന്ന് വരികളിലെയും ഓരോ നിരയിലെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യം നൽകുന്നു, മുമ്പത്തെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു:
(7) .
ഇവിടെ .

സമവാക്യത്തോടൊപ്പം (6) ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും കൂടാതെ:
(6) :
(7) .

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (6-7) പരിഹരിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ എഴുതാം കൂടാതെ:
.
അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (6-7) പരിഹരിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

.
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി:
;
.
നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം (വേരുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ കാണുക). ഒരു പകരക്കാരൻ ഉണ്ടാക്കുന്നു
; ; ; .

.
.

;
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 2

ലഗ്രാഞ്ച് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
(8)

പരിഹാരം

ഘട്ടം 1. ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

(9)
ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തിരയുകയാണ്. ഞങ്ങൾ സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

ഈ സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്:
.
ഈ വേരുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
(10) .
ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (9):
(11) .

ഘട്ടം 2. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനം - സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ C വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്നു 1 കൂടാതെ സി 2 . അതായത്, (11) ലെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
.
ഫോമിലെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് (8) ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്:
(12) .

കൂടാതെ, പരിഹാര പുരോഗതി ഉദാഹരണം 1-ലേതിന് സമാനമാണ്. ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു അടുത്ത സിസ്റ്റംഫംഗ്ഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കൂടാതെ:
(13) :
(14) .
ഇവിടെ .

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാം. ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം കൂടാതെ:
.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (13-14) പരിഹരിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്:

.
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

.
എന്നതിനാൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള മോഡുലസ് ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഇപ്രകാരം ഗുണിക്കുക:
.
പിന്നെ
.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം:


.