രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക തരം ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെയും ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെയും വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങൾ

ലീനിയർ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾകൂടെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ (LNDU-2). സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ(പിസി)

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ $p$, $q$ എന്നിവയുള്ള ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ LDDE ന് $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $f\left(x \right)$ എന്നത് ഒരു തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനമാണ്.

PC ഉള്ള LNDU 2 നെ സംബന്ധിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്.

ചില ഫംഗ്‌ഷൻ $U$ ഒരു അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഭാഗിക പരിഹാരമാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. ചില ഫംഗ്‌ഷൻ $Y$ എന്നത് അനുബന്ധ ലീനിയർ ഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷൻ്റെ (HLDE) പൊതു പരിഹാരമാണ് (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. തുടർന്ന് GR-ൻ്റെ GR LHDE-2 എന്നത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സ്വകാര്യവും പൊതുവായതുമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് $y=U+Y$.

എങ്കിൽ വലത് ഭാഗംരണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ LPDE എന്നത് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതായത്, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, തുടർന്ന് ആദ്യം നമുക്ക് $f_ ഓരോ ഫംഗ്ഷനുകളുമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്ന PD-കൾ $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ കണ്ടെത്താം. (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, അതിനുശേഷം CR LNDU-2 എഴുതുക ഫോം $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

പിസിക്കൊപ്പം രണ്ടാം ഓർഡർ എൽപിഡിഇയുടെ പരിഹാരം

തന്നിരിക്കുന്ന LNDU-2-ൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ PD $U$ അതിൻ്റെ വലത് വശത്തെ $f\ഇടത്(x\right)$ ൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട രൂപത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്. PD LNDU-2 നായി തിരയുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നാല് നിയമങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

റൂൾ #1.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ എന്ന ഫോം ഉണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, അതായത്, ഇതിനെ a എന്ന് വിളിക്കുന്നു. $n$ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n) \left(x\right)$ എന്നത് മറ്റൊന്നാണ്. $P_(n) \ഇടത്(x\വലത്)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം, കൂടാതെ $r$ എന്നത് വേരുകളുടെ എണ്ണം സ്വഭാവ സമവാക്യംപൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ LOD-2 ന് തുല്യമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങളുടെ (UK) രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.

റൂൾ നമ്പർ 2.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ എന്ന രൂപമുണ്ട്, ഇവിടെ $P_(n) \ഇടത്(x\വലത്)$ എന്നത് $n$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(n ) \ left(x\right)$ എന്നത് $P_(n) \left(x\right)$ യുടെ അതേ ഡിഗ്രിയുടെ മറ്റൊരു ബഹുപദമാണ്, കൂടാതെ $r$ എന്നത് അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha $ ന് തുല്യമാണ്. $Q_(n) \left(x\right)$ എന്ന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.

റൂൾ നമ്പർ 3.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) എന്ന രൂപമുണ്ട്. \right) $, $a$, $b$, $\beta$ എന്നിവ എവിടെയാണ് അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു. \right )\cdot x^(r) $, ഇവിടെ $A$, $B$ എന്നിവ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളാണ്, $r$ എന്നത് $i\cdot-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടുകളുടെ എണ്ണമാണ്. \beta $. $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ നോൺ-ഡിസ്ട്രക്റ്റീവ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

റൂൾ നമ്പർ 4.

LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, ഇവിടെ $P_(n) \left(x\right)$ ആണ് ഡിഗ്രി $ n$ എന്ന ബഹുപദവും $P_(m) \left(x\right)$ എന്നത് $m$ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ എന്ന രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു, ഇവിടെ $Q_(s) \left(x\right)$ ഒപ്പം $ R_(s) \left(x\right)$ എന്നത് $s$ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദങ്ങളാണ്, $s$ എന്നത് $n$, $m$ എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പരമാവധി ആണ്, $r$ എന്നത് വേരുകളുടെ എണ്ണമാണ്. $\alpha +i\cdot \beta $-ന് തുല്യമായ LODE-2-ൻ്റെ സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ. $Q_(s) \left(x\right)$, $R_(s) \left(x\right)$ എന്നീ ബഹുപദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തി.

NK രീതി ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അസമമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമായ LNDU-2 ൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഭാഗമായ പോളിനോമിയലിൻ്റെ അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• എഴുതിയിരിക്കുന്ന PD $U$ പകരം വയ്ക്കുക പൊതുവായ കാഴ്ച, വി ഇടത് വശം LNDU-2;
• LNDU-2 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്, അതേ ശക്തികൾ $x$ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമാക്കലും ഗ്രൂപ്പ് നിബന്ധനകളും നടത്തുക;
• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഐഡൻ്റിറ്റിയിൽ, ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ $x$ എന്ന അതേ ശക്തികളുമായി പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുക;
• അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾക്കായുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഉദാഹരണം 1

ടാസ്‌ക്: കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD യും കണ്ടെത്തുക , $x=0$-ന് $y=6$, $x=0$-ന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ LOD-2 എഴുതുന്നു: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

സ്വഭാവ സമവാക്യം: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവയാണ്: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ഈ വേരുകൾ സാധുതയുള്ളതും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അങ്ങനെ, അനുബന്ധ LODE-2 ൻ്റെ OR ന് ഫോം ഉണ്ട്: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

ഈ LNDU-2 ൻ്റെ വലതുവശത്ത് $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്. $\alpha =3$ എന്ന ഘാതകത്തിൻ്റെ ഗുണകം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ഗുണകം സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വേരുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഈ LNDU-2 ൻ്റെ PD ന് $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ എന്ന രൂപമുണ്ട്.

NC രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $A$, $B$ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾക്കായി തിരയും.

ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$U"=\ഇടത്(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^(") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ചെക്ക് റിപ്പബ്ലിക്കിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$U""=\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(") ) \cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\ഇടത്(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ഇടത്(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

നൽകിയിരിക്കുന്ന NLDE-2 $y""-3\cdot y" എന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ $y""$, $y"$, $y$ എന്നിവയ്ക്ക് പകരം $U""$, $U"$, $U$ എന്നീ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ മാത്രമല്ല, $e^(3\cdot x) $ ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എല്ലാ ഘടകങ്ങളിലും, അത് നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

ഞങ്ങൾ NDT രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

ഈ സംവിധാനത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇതാണ്: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിനായുള്ള OR $y=Y+U$ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ഇടത് (-2\cdot x-1\വലത്)\cdot e^(3\cdot x) $.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന ഒരു PD തിരയുന്നതിനായി, OP-യുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് $y"$ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\ഇടത്(-2\cdot x-1\വലത്)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

$x=0$ എന്നതിന് $y=6$, $x=0$ എന്നതിന് $y"=1$ എന്നീ പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ $y$, $y"$ എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിച്ചു:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം. ക്രാമർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ $C_(1) $ കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടാതെ $C_(2) $ ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ തുടക്കം(അറേ)(സിസി) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \ അവസാനം(അറേ)\ വലത്|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

അങ്ങനെ, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പിഡിക്ക് ഫോം ഉണ്ട്: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സെക്കൻഡ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ലാഗ്രാഞ്ച് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഞങ്ങൾ ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കും. വിശദമായ വിവരണംഅനിയന്ത്രിതമായ ക്രമത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി പേജിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു
ലഗ്രാഞ്ച് രീതി >>> വഴി ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 1

Lagrange സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രണ്ടാം ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
(1)

പരിഹാരം

ആദ്യം നമ്മൾ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:
(2)

ഇതൊരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:
.
ഒന്നിലധികം വേരുകൾ: . സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
(3) .
ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് പൊതുവായ പരിഹാരം ലഭിക്കും ഏകതാനമായ സമവാക്യം (2):
(4) .

സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം C 1 കൂടാതെ സി 2 . അതായത്, (4) ലെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
.
പരിഹാരം തേടുന്നു യഥാർത്ഥ സമവാക്യം(1) ഇങ്ങനെ:
(5) .

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:
.
നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും സമവാക്യവും ബന്ധിപ്പിക്കാം:
(6) .
പിന്നെ
.

രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ (1) പകരം വയ്ക്കുക:
(1) ;



.
ഏകതാനമായ സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിനാൽ, അവസാന മൂന്ന് വരികളിലെയും ഓരോ നിരയിലെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യം നൽകുന്നു, മുമ്പത്തെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു:
(7) .
ഇവിടെ .

സമവാക്യത്തോടൊപ്പം (6) ഫംഗ്‌ഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും കൂടാതെ:
(6) :
(7) .

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (6-7) പരിഹരിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ എഴുതാം കൂടാതെ:
.
അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (6-7) പരിഹരിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

.
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

അതിനാൽ, ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി:
;
.
നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം (വേരുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ കാണുക). ഒരു പകരക്കാരൻ ഉണ്ടാക്കുന്നു
; ; ; .

.
.

;
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 2

ലഗ്രാഞ്ച് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
(8)

പരിഹാരം

ഘട്ടം 1. ഏകതാനമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

(9)
ഫോമിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം തിരയുകയാണ്. ഞങ്ങൾ സ്വഭാവ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

ഈ സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്:
.
ഈ വേരുകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
(10) .
ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം (9):
(11) .

ഘട്ടം 2. സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനം - സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ C വ്യത്യാസപ്പെടുത്തുന്നു 1 കൂടാതെ സി 2 . അതായത്, (11) ലെ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
.
ഫോമിലെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് (8) ഒരു പരിഹാരം ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്:
(12) .

കൂടാതെ, പരിഹാര പുരോഗതി ഉദാഹരണം 1-ലേതിന് സമാനമാണ്. ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു അടുത്ത സിസ്റ്റംഫംഗ്ഷനുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കൂടാതെ:
(13) :
(14) .
ഇവിടെ .

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നു

നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാം. ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം കൂടാതെ:
.
ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (13-14) പരിഹരിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്:

.
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
;
.

.
എന്നതിനാൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള മോഡുലസ് ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഇപ്രകാരം ഗുണിക്കുക:
.
പിന്നെ
.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം:


.

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വൈ"" + പി(x)വൈ" + q(x)വൈ = എഫ്(x) ,

എവിടെ വൈകണ്ടുപിടിക്കേണ്ട പ്രവർത്തനമാണ്, കൂടാതെ പി(x) , q(x) ഒപ്പം എഫ്(x) - ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ( എ, ബി) .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ( എഫ്(x) = 0), അപ്പോൾ സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യം . ഈ പാഠത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക ഭാഗം പ്രധാനമായും അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കായി നീക്കിവച്ചിരിക്കും. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ ( എഫ്(x) ≠ 0), അപ്പോൾ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു.

പ്രശ്നങ്ങളിൽ നമ്മൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് വൈ"" :

വൈ"" = −പി(x)വൈ" − q(x)വൈ + എഫ്(x) .

രണ്ടാം ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് കോച്ചി പ്രശ്നങ്ങൾ .

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യവും അതിൻ്റെ പരിഹാരവും

ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

വൈ"" + പി(x)വൈ" + q(x)വൈ = 0 .

എങ്കിൽ വൈ1 (x) ഒപ്പം വൈ2 (x) ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളാണ്, തുടർന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്:

1) വൈ1 (x) + വൈ 2 (x) - ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരം കൂടിയാണ്;

2) സൈ1 (x) , എവിടെ സി- ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം (സ്ഥിരമായത്), ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരവുമാണ്.

ഈ രണ്ട് പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന് അത് ഫംഗ്ഷൻ പിന്തുടരുന്നു

സി1 വൈ 1 (x) + സി 2 വൈ 2 (x)

ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരവുമാണ്.

ന്യായമായ ഒരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഇതാണോ പരിഹാരം രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം , അതായത്, വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള അത്തരമൊരു പരിഹാരം സി1 ഒപ്പം സി2 സമവാക്യത്തിന് സാധ്യമായ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും നേടാൻ കഴിയുമോ?

ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതാണ്: ഒരുപക്ഷേ, പക്ഷേ ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ. ഈ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾക്ക് എന്ത് ഗുണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം എന്നതിൻ്റെ വ്യവസ്ഥ വൈ1 (x) ഒപ്പം വൈ2 (x) .

ഈ അവസ്ഥയെ അവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കുന്നു രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യംസ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങൾ.

സിദ്ധാന്തം. ഫംഗ്ഷൻ സി1 വൈ 1 (x) + സി 2 വൈ 2 (x) ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ആണെങ്കിൽ ഒരു ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് സെക്കൻഡ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ് വൈ1 (x) ഒപ്പം വൈ2 (x) രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ.

നിർവ്വചനം. പ്രവർത്തനങ്ങൾ വൈ1 (x) ഒപ്പം വൈ2 (x) അവയുടെ അനുപാതം സ്ഥിരമായ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ അവയെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു:

വൈ1 (x)/വൈ 2 (x) = കെ ; കെ = const ; കെ ≠ 0 .

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് നിർവചനം അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും വളരെ ശ്രമകരമാണ്. Wronski determinant ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സ്വാതന്ത്ര്യം സ്ഥാപിക്കാൻ ഒരു വഴിയുണ്ട് ഡബ്ല്യു(x) :

Wronski determinant പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായിരിക്കും . Wronski determinant പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ രണ്ട് തവണ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളത് പോലെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവും ഫംഗ്‌ഷനും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്നതിന്, പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയിരിക്കണം, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിന് തുല്യമാണ്. അതായത്, ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ എന്നിവയാണ്.

Wronski ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മുതൽ

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അപ്പോൾ ഈ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം

.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ: സിദ്ധാന്തവും പ്രയോഗവും

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വൈ"" + പൈ" + qy = 0 ,

എവിടെ പിഒപ്പം q- സ്ഥിരമായ മൂല്യങ്ങൾ.

ഇതൊരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യമാണെന്ന വസ്തുത, ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അതിൻ്റെ ഏകതാനത വലതുവശത്ത് പൂജ്യമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച മൂല്യങ്ങളെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലേക്ക് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക , നിങ്ങൾ ആദ്യം ഫോമിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം

കെ² + pq + q = 0 ,

കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, ഇത് ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തെ ആശ്രയിച്ച്, മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ , ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വിശകലനം ചെയ്യും. പൂർണ്ണമായ കൃത്യതയ്ക്കായി, എല്ലാ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളും Wronski determinant പരീക്ഷിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്നും ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. സംശയമുള്ളവർക്ക് ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യതിരിക്തവുമാണ്

മറ്റൊരു വാക്കിൽ, . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

.

ഉദാഹരണം 2. ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

.

പരിഹാരം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് രൂപവും അതിൻ്റെ വേരുകളും ഉണ്ട്, അവ യഥാർത്ഥവും വ്യതിരിക്തവുമാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഇവയാണ്: കൂടാതെ . ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

.

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും തുല്യവുമാണ്

അതാണ്, . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

.

ഉദാഹരണം 4. ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

.

പരിഹാരം. സ്വഭാവ സമവാക്യം തുല്യ വേരുകളുണ്ട്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഇവയാണ്: കൂടാതെ . ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഉദാഹരണം 5. ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

.

പരിഹാരം. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് തുല്യ വേരുകളുണ്ട്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഇവയാണ്: കൂടാതെ . ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ബെലാറഷ്യൻ സ്റ്റേറ്റ്

കാർഷിക അക്കാദമി"

ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം

മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ

കറസ്പോണ്ടൻസ് എഡ്യൂക്കേഷൻ്റെ (NISPO) അക്കൗണ്ടിംഗ് ഫാക്കൽറ്റിയിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾ "രണ്ടാം ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിക്കാൻ

ഗോർക്കി, 2013

ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമംഗുണകങ്ങൾ

ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ആ. ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഒന്നാം ഡിഗ്രി വരെ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമവാക്യം, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല. ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഒപ്പം
- ചില സംഖ്യകളും ഒരു ഫംഗ്‌ഷനും
ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു
.

എങ്കിൽ
ഇടവേളയിൽ
, അപ്പോൾ സമവാക്യം (1) ഫോം എടുക്കും

, (2)

എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു രേഖീയ ഏകതാനമായ . അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യം (1) വിളിക്കുന്നു രേഖീയ അസമമായ .

സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക

, (3)

എവിടെ
ഒപ്പം
- യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനങ്ങൾ. ഫംഗ്ഷൻ (3) സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) സങ്കീർണ്ണമായ പരിഹാരമാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ ഭാഗം
, ഒപ്പം സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം
പരിഹാരങ്ങൾ
വെവ്വേറെ ഒരേ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളാണ്. അങ്ങനെ, എല്ലാം സമഗ്രമായ പരിഹാരംസമവാക്യം (2) ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ പരിഹാരങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

ഏകതാനമായ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യംഗുണങ്ങളുണ്ട്:

എങ്കിൽ സമവാക്യം (2) ന് ഒരു പരിഹാരമാണ്, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ
, എവിടെ കൂടെ- ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കും (2);

എങ്കിൽ ഒപ്പം സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (2), തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ
സമവാക്യത്തിനും (2) ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കും;

എങ്കിൽ ഒപ്പം സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് (2), തുടർന്ന് അവയുടെ രേഖീയ സംയോജനം
സമവാക്യം (2), എവിടെ എന്നതിനുള്ള ഒരു പരിഹാരവും ആയിരിക്കും ഒപ്പം
- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത് ഇടവേളയിൽ
, അത്തരം സംഖ്യകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ ഒപ്പം
, ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, ഈ ഇടവേളയിൽ തുല്യത

സമത്വം (4) സംഭവിക്കുന്നത് എപ്പോൾ മാത്രമാണ്
ഒപ്പം
, പിന്നെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ ഇടവേളയിൽ
.

ഉദാഹരണം 1 . പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു, മുതൽ
മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ
.

ഉദാഹരണം 2 . പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
സമത്വം മുതൽ ഏത് ഇടവേളയിലും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്
എന്ന സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ
, ഒപ്പം
.

നിർമ്മാണം പൊതു പരിഹാരംരേഖീയ ഏകതാനമായ

സമവാക്യങ്ങൾ

സമവാക്യത്തിന് (2) ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ രണ്ട് രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഒപ്പം . ഈ പരിഹാരങ്ങളുടെ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ
, എവിടെ ഒപ്പം
ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം നൽകും.

ഫോമിലെ സമവാക്യം (2) ന് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ പരിഹാരങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ നോക്കും

, (5)

എവിടെ - ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ. പിന്നെ
,
. നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (2):

അഥവാ
.

കാരണം
, അത്
. അതിനാൽ പ്രവർത്തനം
എങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് (2) ഒരു പരിഹാരമാകും സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തും

. (6)

സമവാക്യം (6) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്വഭാവ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിന് (2). ഈ സമവാക്യം ഒരു ബീജഗണിത ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യമാണ്.

അനുവദിക്കുക ഒപ്പം ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ട്. അവ ഒന്നുകിൽ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവും അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണവും യഥാർത്ഥവും തുല്യവുമാകാം. ഈ കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

വേരുകൾ അനുവദിക്കുക ഒപ്പം സ്വഭാവ സമവാക്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളായിരിക്കും
ഒപ്പം
. സമത്വം മുതൽ ഈ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്
എപ്പോൾ മാത്രമേ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയൂ
, ഒപ്പം
. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

,

എവിടെ ഒപ്പം
- അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 3
.

പരിഹാരം . ഈ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം ആയിരിക്കും
. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഒപ്പം
. പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്
.

കോംപ്ലക്സ് നമ്പർ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു
, എവിടെ ഒപ്പം യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ
സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എങ്കിൽ
, പിന്നെ നമ്പർ
തികച്ചും സാങ്കൽപ്പികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എങ്കിൽ
, പിന്നെ നമ്പർ
ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് തിരിച്ചറിയുന്നു .

നമ്പർ ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ - സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗം. രണ്ട് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ സാങ്കൽപ്പിക ഭാഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ മാത്രം പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെട്ടാൽ, അവയെ സംയോജനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു:
,
.

ഉദാഹരണം 4 . ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
.

പരിഹാരം . വിവേചനപരമായ സമവാക്യം
. പിന്നെ. അതുപോലെ,
. അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുണ്ട്.

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്.
,
, എവിടെ
. സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങൾ ഫോമിൽ എഴുതാം
,
അഥവാ
,
. യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച്

,
.

പിന്നെ,. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങളാണ്. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളായിരിക്കും
ഒപ്പം
. സമത്വം മുതൽ

എങ്കിൽ മാത്രമേ എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയൂ
ഒപ്പം
, അപ്പോൾ ഈ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

എവിടെ ഒപ്പം
- അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 5 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . സമവാക്യം
തന്നിരിക്കുന്ന വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്. നമുക്ക് അത് പരിഹരിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ നേടാം
,
. പ്രവർത്തനങ്ങൾ
ഒപ്പം
ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും തുല്യവും ആയിരിക്കട്ടെ, അതായത്.
. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പരിഹാരങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്
ഒപ്പം
. ഈ പരിഹാരങ്ങൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്, കാരണം പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ മാത്രം
ഒപ്പം
. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
.

ഉദാഹരണം 6 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . സ്വഭാവ സമവാക്യം
തുല്യ വേരുകളുണ്ട്
. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളാണ്
ഒപ്പം
. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ അസമമായ രേഖീയ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

പ്രത്യേക വലതുവശവും

ലീനിയർ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പൊതുവായ പരിഹാരം പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്
അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യവും ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക പരിഹാരവും
അസമമായ സമവാക്യം:
.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം വലതുവശത്തെ രൂപത്തിൽ വളരെ ലളിതമായി കണ്ടെത്താനാകും.
സമവാക്യം (1). ഇത് സാധ്യമാകുന്ന സന്ദർഭങ്ങൾ നോക്കാം.

ആ. അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമാണ് എം. എങ്കിൽ
സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് അല്ല, അപ്പോൾ ഇൻഹോമോജീനിയസ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ബിരുദത്തിൻ്റെ ബഹുപദത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കണം. എം, അതായത്.

സാധ്യതകൾ
ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

എങ്കിൽ
സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആണ്, അപ്പോൾ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കണം

ഉദാഹരണം 7 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . ഈ സമവാക്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഏകതാനമായ സമവാക്യം
. അതിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം
വേരുകൾ ഉണ്ട്
ഒപ്പം
. ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
.

കാരണം
സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് അല്ല, അപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രൂപത്തിൽ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിനായി നോക്കും
. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
,
ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

അഥവാ . ഗുണകങ്ങളെ നമുക്ക് തുല്യമാക്കാം കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ:
തീരുമാനിച്ചു കഴിഞ്ഞു ഈ സംവിധാനം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
,
. അപ്പോൾ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് രൂപമുണ്ട്
, നൽകിയിരിക്കുന്ന അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം, അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെയും അസമമായ ഒന്നിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുകയാണ്:
.

അസമമായ സമവാക്യത്തിന് രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ

എങ്കിൽ
സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് അല്ല, അപ്പോൾ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കണം. എങ്കിൽ
സ്വഭാവ ഗുണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് കെ (കെ=1 അല്ലെങ്കിൽ കെ=2), അപ്പോൾ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അസമമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് രൂപം ഉണ്ടാകും .

ഉദാഹരണം 8 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം . അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
. അതിൻ്റെ വേരുകൾ
,
. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അനുബന്ധ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു
.

സംഖ്യ 3 സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ലാത്തതിനാൽ, അസമമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കണം.
. ഒന്നും രണ്ടും ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരാം:
+ +,
+,.

ഗുണകങ്ങളെ നമുക്ക് തുല്യമാക്കാം കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ:

ഇവിടെ നിന്ന്
,
. അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് രൂപം ഉണ്ട്
, പൊതുവായ പരിഹാരം

.

അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ലഗ്രാഞ്ച് രീതി

വലത് വശത്തിൻ്റെ തരം പരിഗണിക്കാതെ, സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഏത് അസമമായ രേഖീയ സമവാക്യത്തിലും വ്യത്യസ്ത അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ രീതി പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. അനുബന്ധ ഏകീകൃത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം അറിയാമെങ്കിൽ, അസമമായ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

അനുവദിക്കുക
ഒപ്പം
സമവാക്യത്തിൻ്റെ രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളാണ് (2). അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം
, എവിടെ ഒപ്പം
- അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വ്യത്യസ്‌ത രീതിയുടെ സാരം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പൊതുവായ പരിഹാരം രൂപത്തിൽ അന്വേഷിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

എവിടെ
ഒപ്പം
- കണ്ടെത്തേണ്ട പുതിയ അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ. രണ്ട് അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ ഫംഗ്ഷനുകൾ അടങ്ങിയ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുന്നു

ഇത് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു രേഖീയ ബീജഗണിത സമ്പ്രദായമാണ്
ഒപ്പം
. ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഒപ്പം
. ലഭിച്ച തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും സമന്വയിപ്പിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഒപ്പം
.

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ (9) എന്നതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, അസമമായ രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് (1) ഒരു പൊതു പരിഹാരം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം 9 . ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക
.

പരിഹാരം. തന്നിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം
. അതിൻ്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്
,
. കാരണം
ഒപ്പം
, അത്
,
, കൂടാതെ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് രൂപമുണ്ട്. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് എവിടെ എന്ന രൂപത്തിൽ ഒരു പൊതു പരിഹാരം തേടും
ഒപ്പം
- അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ഈ അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
,
. പിന്നെ

,
. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

ലാഗ്രാഞ്ച് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരമാണിത്.

അറിവിൻ്റെ ആത്മനിയന്ത്രണത്തിനുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ

ഏത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെയാണ് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഏത് ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ് ഹോമോജീനിയസ് എന്നും ഏതിനെ ഇൻഹോമോജീനിയസ് എന്നും വിളിക്കുന്നത്?

രേഖീയ ഏകതാനമായ സമവാക്യത്തിന് എന്ത് ഗുണങ്ങളുണ്ട്?

ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം എന്ന് വിളിക്കുന്ന സമവാക്യം എന്താണ്, അത് എങ്ങനെ ലഭിക്കും?

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത വേരുകളുടെ കാര്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഏത് രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്?

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യ വേരുകളുടെ കാര്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഏത് രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്?

സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കാര്യത്തിൽ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഏത് രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്?

ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എങ്ങനെയാണ് എഴുതുന്നത്?

സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ വ്യത്യസ്തവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമാണെങ്കിൽ ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിന് ഏത് രൂപത്തിലാണ് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം തേടുന്നത് എം?

സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കിടയിൽ ഒരു പൂജ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമാണെങ്കിൽ, ഒരു രേഖീയ അസന്തുലിത സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഏത് രൂപത്തിലാണ് തേടുന്നത്? എം?

ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ രീതിയുടെ സാരാംശം എന്താണ്?

ഈ ഖണ്ഡിക ചർച്ച ചെയ്യും പ്രത്യേക കേസ്രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ സ്ഥിരമായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത് അവ സംഖ്യകളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യേകിച്ചും വിശാലമായ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തുന്നു.

1. ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമം

സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ സ്ഥിരമാണ്. സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളെയും വിഭജിച്ച് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു

ഈ സമവാക്യം ഫോമിൽ എഴുതാം

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, അത് അറിഞ്ഞാൽ മതി. അടിസ്ഥാന സംവിധാനംസ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങൾ. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഒരു ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനായി ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. ഫോമിൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ നോക്കും

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ രണ്ടുതവണ വ്യത്യസ്‌തമാക്കുകയും സമവാക്യത്തിന് (59) പകരമായി പദപ്രയോഗങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

മുതൽ, കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, k യുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുള്ള ഫംഗ്ഷൻ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കും (59).

ഗുണകം k നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിത സമവാക്യം (61) ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (59) സ്വഭാവ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സ്വഭാവസമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ വേരുകൾ ഒന്നുകിൽ യഥാർത്ഥ വ്യതിരിക്തവും യഥാർത്ഥവും തുല്യവും അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനവും ആകാം.

ഈ കേസുകളിൽ ഓരോന്നിനും പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സമ്പ്രദായം എന്താണെന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥവും വ്യത്യസ്തവുമാണ്: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല (60) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഈ രണ്ട് പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ മുഴുവൻ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിലും ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമായി മാറുന്നു, കാരണം Wronski determinant എവിടെയും അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല:

തൽഫലമായി, ഫോർമുല (48) അനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

2. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകളും യഥാർത്ഥമായിരിക്കും. ഫോർമുല (60) ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം മാത്രമേ ലഭിക്കൂ

രണ്ടാമത്തെ പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന്, ആദ്യത്തേതിനൊപ്പം ഒരു അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന് രൂപം ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം

ഒന്നാമതായി, ഫംഗ്ഷൻ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം (59). ശരിക്കും,

പക്ഷേ, സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് ഉള്ളതിനാൽ (61). കൂടാതെ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അതിനാൽ . തത്ഫലമായി, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ തീർച്ചയായും സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ് (59).

കണ്ടെത്തിയ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമായി മാറുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കാണിക്കാം. ശരിക്കും,

അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഏകതാനമായ രേഖീയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

3. സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംയഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം സംയോജിതമാണ് സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ, അതായത് അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ (59), ഫോർമുല (60) അനുസരിച്ച്, ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും:

യൂലറുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് (അധ്യായം XI, § 5, ഖണ്ഡിക 3 കാണുക), ഇതിനായുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഈ പരിഹാരങ്ങൾ സമഗ്രമാണ്. സാധുവായ പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കാൻ, പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുക

അവ പരിഹാരങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്, അതിനാൽ അവ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ് (59) (§ 3, ഇനം 2, സിദ്ധാന്തം 1 കാണുക).

ഈ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള Wronski ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനമാണ്.

അതിനാൽ, സ്വഭാവസമവാക്യത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഏകതാനമായ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

ഉപസംഹാരമായി, സ്വഭാവ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ തരം അനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ (59) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകളുടെ ഒരു പട്ടിക അവതരിപ്പിക്കുന്നു.