രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഹരിക്കാം. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഓർക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ

ഈ വീഡിയോയിൽ, ഒരേ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു കൂട്ടം ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - അതിനാലാണ് അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

ആദ്യം, നമുക്ക് നിർവചിക്കാം: എന്താണ് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം, ഏതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായത്?

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം, അതിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, ആദ്യ ഡിഗ്രി വരെ മാത്രം.

ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിർമ്മാണം:

മറ്റെല്ലാ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

1. പരാൻതീസിസുകളുണ്ടെങ്കിൽ വികസിപ്പിക്കുക;
2. വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ പദങ്ങൾ തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തേക്കും വേരിയബിളില്ലാത്ത നിബന്ധനകൾ മറ്റൊന്നിലേക്കും നീക്കുക;
3. തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടത്തും വലത്തും സമാനമായ പദങ്ങൾ നൽകുക;
4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ $x$ എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

തീർച്ചയായും, ഈ അൽഗോരിതം എല്ലായ്പ്പോഴും സഹായിക്കില്ല. ചിലപ്പോൾ ഈ കുതന്ത്രങ്ങൾക്കെല്ലാം ശേഷം $x$ വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി മാറുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്:

1. സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, $0\cdot x=8$ പോലെയുള്ള ഒന്ന് മാറുമ്പോൾ, അതായത്. ഇടതുവശത്ത് പൂജ്യം, വലതുവശത്ത് പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റൊരു സംഖ്യ. ഈ സാഹചര്യം സാധ്യമാകുന്നതിനുള്ള നിരവധി കാരണങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള വീഡിയോയിൽ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കും.
2. എല്ലാ സംഖ്യകളുമാണ് പരിഹാരം. സമവാക്യം $0\cdot x=0$ എന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയാൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. നമ്മൾ എന്ത് $x$ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും അത് "പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്" എന്നത് തികച്ചും യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്. ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇതെല്ലാം എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നോക്കാം.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇന്ന് നമ്മൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു, ഏറ്റവും ലളിതമായവ മാത്രം. പൊതുവേ, ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് കൃത്യമായ ഒരു വേരിയബിൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏത് തുല്യതയാണ്, അത് ആദ്യ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് മാത്രം പോകുന്നു.

അത്തരം നിർമ്മാണങ്ങൾ ഏകദേശം ഒരേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

1. ഒന്നാമതായി, പരാൻതീസിസുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ (ഞങ്ങളുടെ അവസാന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) നിങ്ങൾ വിപുലീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്;
2. എന്നിട്ട് സമാനമായി യോജിപ്പിക്കുക
3. അവസാനമായി, വേരിയബിളിനെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുക, അതായത്. വേരിയബിളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാം - അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദങ്ങൾ - ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുക, കൂടാതെ ബാക്കിയുള്ളതെല്ലാം മറുവശത്തേക്ക് നീക്കുക.

അപ്പോൾ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തും നിങ്ങൾ സമാനമായവ കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്, അതിനുശേഷം "x" ൻ്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിക്കും.

സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഇത് മനോഹരവും ലളിതവുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, പരിചയസമ്പന്നരായ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും വളരെ ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിൽ കുറ്റകരമായ തെറ്റുകൾ വരുത്താൻ കഴിയും. സാധാരണയായി, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോഴോ "പ്ലസുകൾ", "മൈനസുകൾ" എന്നിവ കണക്കാക്കുമ്പോഴോ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു.

കൂടാതെ, ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരം മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്, അതായത്. ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ ഈ സൂക്ഷ്മതകൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും ലളിതമായ ജോലികൾ.

ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം

ആദ്യം, ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ സ്കീമും ഒരിക്കൽ കൂടി എഴുതട്ടെ:

1. എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക.
2. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു, അതായത്. "എക്സ്" അടങ്ങിയ എല്ലാം ഞങ്ങൾ ഒരു വശത്തേക്കും "എക്സ്" ഇല്ലാത്തതെല്ലാം മറ്റൊന്നിലേക്കും നീക്കുന്നു.
3. ഞങ്ങൾ സമാന നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
4. നമ്മൾ എല്ലാം "x" എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

തീർച്ചയായും, ഈ സ്കീം എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രവർത്തിക്കില്ല;

ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ അവ ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇല്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഈ ഘട്ടം ഒഴിവാക്കുന്നു. രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് വ്യക്തിഗത നിബന്ധനകളെക്കുറിച്ചാണ്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം:

ഞങ്ങൾ ഇടത്തും വലത്തും സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് ഇതിനകം ഇവിടെ ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു: ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

ഈ പ്രശ്നത്തിൽ നമുക്ക് പരാൻതീസിസുകൾ കാണാൻ കഴിയും, അതിനാൽ നമുക്ക് അവ വികസിപ്പിക്കാം:

ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഞങ്ങൾ ഏകദേശം ഒരേ ഡിസൈൻ കാണുന്നു, എന്നാൽ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാം, അതായത്. വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

ഏത് വേരിലാണ് ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്? ഉത്തരം: ഏതിനും. അതിനാൽ, നമുക്ക് $x$ എന്നത് ഏത് സംഖ്യയാണെന്ന് എഴുതാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3

മൂന്നാമത്തെ രേഖീയ സമവാക്യം കൂടുതൽ രസകരമാണ്:

\[\ഇടത്(6-x \വലത്)+\ഇടത്(12+x \വലത്)-\ഇടത്(3-2x \വലത്)=15\]

ഇവിടെ നിരവധി ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉണ്ട്, പക്ഷേ അവ ഒന്നും കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിട്ടില്ല, അവയ്ക്ക് മുമ്പായി വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളാണുള്ളത്. നമുക്ക് അവയെ തകർക്കാം:

ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

നമുക്ക് കണക്ക് ചെയ്യാം:

ഞങ്ങൾ അവസാന ഘട്ടം നടപ്പിലാക്കുന്നു - എല്ലാം "x" ൻ്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഓർക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ

വളരെ ലളിതമായ ജോലികൾ ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു:

• ഞാൻ മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, എല്ലാ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഒരു പരിഹാരമില്ല - ചിലപ്പോൾ വേരുകളില്ല;
• വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, അവയിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടാകാം - അതിൽ തെറ്റൊന്നുമില്ല.

പൂജ്യം മറ്റുള്ളവയുടെ അതേ സംഖ്യയാണ്; നിങ്ങൾ അതിനെ ഒരു തരത്തിലും വിവേചനം കാണിക്കരുത് അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിച്ചാൽ നിങ്ങൾ എന്തെങ്കിലും തെറ്റ് ചെയ്തുവെന്ന് കരുതരുത്.

മറ്റൊരു സവിശേഷത ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ തുറക്കലുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: അവരുടെ മുന്നിൽ ഒരു "മൈനസ്" ഉള്ളപ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അത് നീക്കംചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ പരാൻതീസിസിൽ ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു എതിർവശത്ത്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് തുറക്കാൻ കഴിയും: മുകളിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ നമ്മൾ കണ്ടത് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ ലളിതമായ വസ്‌തുത മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഹൈസ്‌കൂളിൽ മണ്ടത്തരവും ഉപദ്രവകരവുമായ തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നത് ഒഴിവാക്കാൻ സഹായിക്കും, അത്തരം കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത് നിസ്സാരമായി കാണപ്പെടും.

സങ്കീർണ്ണമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. ഇപ്പോൾ നിർമ്മാണങ്ങൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാകും, വിവിധ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ ദൃശ്യമാകും. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഇതിനെ ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല, കാരണം, രചയിതാവിൻ്റെ പദ്ധതി അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിവർത്തന പ്രക്രിയയിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ മോണോമിയലുകളും അനിവാര്യമായും റദ്ദാക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

വ്യക്തമായും, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി. നമുക്ക് ഇത് വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചെയ്യാം:

ഇനി നമുക്ക് സ്വകാര്യത നോക്കാം:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഉത്തരത്തിൽ എഴുതാം:

\[\varno\]

അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

ഞങ്ങൾ സമാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു. ആദ്യത്തെ പടി:

ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് എല്ലാം ഇടത്തോട്ടും അതില്ലാതെ - വലത്തോട്ടും നീക്കാം:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

വ്യക്തമായും, ഈ രേഖീയ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

\[\വർണ്ണമില്ല\],

അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സൂക്ഷ്മതകൾ

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചു. ഈ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളും ഒരു ഉദാഹരണമായി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏറ്റവും ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിൽ പോലും എല്ലാം അത്ര ലളിതമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ബോധ്യപ്പെട്ടു: ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ നിരവധി വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു, രണ്ടിനും വേരുകളില്ല.

എന്നാൽ മറ്റൊരു വസ്തുതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: പരാൻതീസിസുകളിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണം, അവയ്ക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉണ്ടെങ്കിൽ അവ എങ്ങനെ തുറക്കണം. ഈ പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക:

തുറക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ എല്ലാം "X" കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഗുണിക്കുന്നു ഓരോ വ്യക്തിഗത പദവും. ഉള്ളിൽ രണ്ട് പദങ്ങളുണ്ട് - യഥാക്രമം, രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിച്ചതും.

പ്രാഥമികമായി തോന്നുന്ന, എന്നാൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും അപകടകരവുമായ ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ പൂർത്തിയായതിനുശേഷം മാത്രമേ, അതിന് ശേഷം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന വസ്തുതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കാൻ കഴിയൂ. അതെ, അതെ: ഇപ്പോൾ മാത്രം, പരിവർത്തനങ്ങൾ പൂർത്തിയാകുമ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം ചുവടെയുള്ളതെല്ലാം അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു എന്നാണ്. അതേ സമയം, ബ്രാക്കറ്റുകൾ സ്വയം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, ഫ്രണ്ട് "മൈനസ്" അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു:

ഈ ചെറിയ, നിസ്സാരമെന്ന് തോന്നുന്ന വസ്തുതകളിലേക്ക് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് യാദൃശ്ചികമല്ല. കാരണം, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്, അവിടെ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യക്തമായും കാര്യക്ഷമമായും ചെയ്യാനുള്ള കഴിവില്ലായ്മ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ എൻ്റെ അടുക്കൽ വരികയും അത്തരം ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വീണ്ടും പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഈ കഴിവുകളെ യാന്ത്രികതയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ദിവസം വരും. ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടതില്ല; നിങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു വരിയിൽ എഴുതും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ പ്രവർത്തനവും പ്രത്യേകം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പരിഹരിക്കാൻ പോകുന്നത് ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലി എന്ന് വിളിക്കാനാവില്ല, പക്ഷേ അർത്ഥം അതേപടി തുടരുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1

\[\ഇടത്(7x+1 \വലത്)\ഇടത്(3x-1 \വലത്)-21((x)^(2))=3\]

ആദ്യ ഭാഗത്തിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും നമുക്ക് ഗുണിക്കാം:

നമുക്ക് കുറച്ച് സ്വകാര്യത ചെയ്യാം:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

നമുക്ക് അവസാന ഘട്ടം പൂർത്തിയാക്കാം:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

ഞങ്ങളുടെ അവസാന ഉത്തരം ഇതാ. കൂടാതെ, പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അവ പരസ്പരം റദ്ദാക്കി, ഇത് സമവാക്യത്തെ രേഖീയമാക്കുകയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2

\[\ഇടത്(1-4x \വലത്)\ഇടത്(1-3x \വലത്)=6x\ഇടത്(2x-1 \വലത്)\]

നമുക്ക് ആദ്യ ഘട്ടം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചെയ്യാം: ആദ്യ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഓരോ ഘടകവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ആകെ നാല് പുതിയ നിബന്ധനകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം:

ഇനി നമുക്ക് ഓരോ പദത്തിലും ഗുണനം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നടത്താം:

നമുക്ക് “X” ഉള്ള നിബന്ധനകൾ ഇടത്തോട്ടും ഇല്ലാത്തവ വലത്തോട്ടും നീക്കാം:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

സമാന നിബന്ധനകൾ ഇതാ:

ഒരിക്കൽ കൂടി ഞങ്ങൾക്ക് അന്തിമ ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ സൂക്ഷ്മതകൾ

ഈ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കുറിപ്പ് ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്: ഒന്നിലധികം പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമമനുസരിച്ചാണ് ചെയ്യുന്നത്: ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് ആദ്യ പദം എടുത്ത് അതിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക രണ്ടാമത്തെ; പിന്നെ നമ്മൾ ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഘടകം എടുക്കുകയും അതുപോലെ തന്നെ രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ഓരോ മൂലകവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. തൽഫലമായി, നമുക്ക് നാല് ടേമുകൾ ലഭിക്കും.

ബീജഗണിത തുകയെ കുറിച്ച്

ഈ അവസാന ഉദാഹരണത്തിലൂടെ, ബീജഗണിത തുക എന്താണെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ക്ലാസിക്കൽ മാത്തമാറ്റിക്സിൽ, $1-7$ കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ലളിതമായ നിർമ്മാണമാണ്: ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏഴ് കുറയ്ക്കുക. ബീജഗണിതത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ് ഞങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത്: “ഒന്ന്” എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു സംഖ്യ ചേർക്കുന്നു, അതായത് “മൈനസ് ഏഴ്”. ഒരു ബീജഗണിത തുക ഒരു സാധാരണ ഗണിത തുകയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാകുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും, ഓരോ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും നടത്തുമ്പോൾ, മുകളിൽ വിവരിച്ചതിന് സമാനമായ നിർമ്മാണങ്ങൾ നിങ്ങൾ കാണാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, ബഹുപദങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ബീജഗണിതത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നോക്കിയതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങളുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം ചെറുതായി വികസിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

അത്തരം ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതത്തിലേക്ക് ഒരു ഘട്ടം കൂടി ചേർക്കേണ്ടിവരും. എന്നാൽ ആദ്യം, ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

1. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.
2. വേരിയബിളുകൾ.
3. സമാനമായവ കൊണ്ടുവരിക.
4. അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

അയ്യോ, ഈ അത്ഭുതകരമായ അൽഗോരിതം, അതിൻ്റെ എല്ലാ ഫലപ്രാപ്തിക്കും, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ പൂർണ്ണമായും ഉചിതമല്ല. നമ്മൾ താഴെ കാണുന്ന കാര്യങ്ങളിൽ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും ഇടത്തും വലത്തും നമുക്ക് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്.

ഈ കേസിൽ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാം? അതെ, ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്! ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അൽഗോരിതത്തിലേക്ക് ഒരു ഘട്ടം കൂടി ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, അത് ആദ്യ പ്രവർത്തനത്തിന് മുമ്പും ശേഷവും ചെയ്യാൻ കഴിയും, അതായത്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക. അതിനാൽ അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമായിരിക്കും:

1. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക.
2. ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക.
3. വേരിയബിളുകൾ.
4. സമാനമായവ കൊണ്ടുവരിക.
5. അനുപാതം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

"ഭിന്നങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുക" എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ആദ്യ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഘട്ടത്തിന് ശേഷവും മുമ്പും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും അവയുടെ വിഭാഗത്തിൽ സംഖ്യാപരമായവയാണ്, അതായത്. എല്ലായിടത്തും ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇല്ലാതാകും.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

ഈ സമവാക്യത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: എല്ലാം ഒരിക്കൽ "നാല്" കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പരാൻതീസിസുകൾ ഉള്ളതിനാൽ ഓരോന്നിനെയും "നാല്" കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. നമുക്ക് എഴുതാം:

\[\ഇടത്(2x+1 \വലത്)\ഇടത്(2x-3 \വലത്)=\ഇടത്(((x)^(2))-1 \വലത്)\cdot 4\]

ഇനി നമുക്ക് വിപുലീകരിക്കാം:

ഞങ്ങൾ വേരിയബിളിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു:

സമാന പദങ്ങളുടെ കുറവ് ഞങ്ങൾ നിർവ്വഹിക്കുന്നു:

\[-4x=-1\ഇടത്| :\ഇടത്(-4 \വലത്) \വലത്.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു അവസാന തീരുമാനം, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങളെല്ലാം ചെയ്യുന്നു:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

സത്യത്തിൽ, ഇന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയാൻ ആഗ്രഹിച്ചത് അതാണ്.

പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ

പ്രധാന കണ്ടെത്തലുകൾ ഇവയാണ്:

• രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം അറിയുക.
• ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാനുള്ള കഴിവ്.
• കണ്ടാൽ വിഷമിക്കേണ്ട ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ, മിക്കവാറും, കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രക്രിയയിൽ അവ കുറയും.
• രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിൽ മൂന്ന് തരം വേരുകളുണ്ട്, ഏറ്റവും ലളിതമായത് പോലും: ഒരൊറ്റ റൂട്ട്, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയും ഒരു റൂട്ടാണ്, കൂടാതെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രവും കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കുന്നതിന് ലളിതവും എന്നാൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ ഒരു വിഷയം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഈ പാഠം നിങ്ങളെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ, സൈറ്റിലേക്ക് പോയി അവിടെ അവതരിപ്പിച്ച ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക. തുടരുക, കൂടുതൽ രസകരമായ കാര്യങ്ങൾ നിങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നു!

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ. പരിഹാരം, ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ- സ്കൂൾ ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയമല്ല. എന്നാൽ പരിശീലനം ലഭിച്ച ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയെപ്പോലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്ന ചില തന്ത്രങ്ങളുണ്ട്. നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം?)

സാധാരണയായി ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:

കോടാലി + ബി = 0 എവിടെ എ, ബി- ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ.

2x + 7 = 0. ഇവിടെ a=2, b=7

0.1x - 2.3 = 0 ഇവിടെ a=0.1, b=-2.3

12x + 1/2 = 0 ഇവിടെ a=12, b=1/2

സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നുമില്ല, അല്ലേ? നിങ്ങൾ വാക്കുകൾ ശ്രദ്ധിച്ചില്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേകിച്ചും: "എ, ബി എന്നിവ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ"... നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുകയും അശ്രദ്ധമായി അതിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുകയും ചെയ്താൽ?) എല്ലാത്തിനുമുപരി, എങ്കിൽ a=0, b=0(ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ സാധ്യമാണോ?), അപ്പോൾ നമുക്ക് രസകരമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും:

എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല! പറയുകയാണെങ്കിൽ, a=0,എ b=5,ഇത് തികച്ചും അസംബന്ധമായ ഒന്നായി മാറുന്നു:

ഇത് അലോസരപ്പെടുത്തുന്നതും ഗണിതത്തിലെ ആത്മവിശ്വാസം തകർക്കുന്നതുമാണ്, അതെ...) പ്രത്യേകിച്ച് പരീക്ഷാ സമയത്ത്. എന്നാൽ ഈ വിചിത്രമായ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ X കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്! നിലവിലില്ലാത്തത്. കൂടാതെ, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഈ X കണ്ടെത്താൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും. ഈ പാഠത്തിൽ.

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം അതിൻ്റെ രൂപം കൊണ്ട് എങ്ങനെ തിരിച്ചറിയാം? അത് എന്തിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു രൂപം.) രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെ മാത്രമല്ല രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നത് എന്നതാണ് തന്ത്രം കോടാലി + ബി = 0 , മാത്രമല്ല പരിവർത്തനങ്ങളും ലളിതവൽക്കരണങ്ങളും വഴി ഈ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളും. അത് ഇറങ്ങുമോ ഇല്ലയോ എന്ന് ആർക്കറിയാം?)

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം വ്യക്തമായി തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൽ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിലും അക്കങ്ങളിലും അജ്ഞാതർ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. കൂടാതെ സമവാക്യത്തിൽ ഇല്ല ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു അജ്ഞാതം , അതു പ്രധാനമാണ്! കൂടാതെ വിഭജനം നമ്പർ,അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യാ ഭാഗം - അത് സ്വാഗതാർഹമാണ്! ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇതൊരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്. ഇവിടെ ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട്, എന്നാൽ ചതുരം, ക്യൂബ് മുതലായവയിൽ x-കളില്ല, ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ x-കളില്ല, അതായത്. ഇല്ല x പ്രകാരമുള്ള വിഭജനം. പിന്നെ ഇവിടെ സമവാക്യം

രേഖീയമെന്ന് വിളിക്കാനാവില്ല. ഇവിടെ X കൾ എല്ലാം ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയിലാണ്, പക്ഷേ ഉണ്ട് എക്‌സ്‌പ്രഷൻ പ്രകാരമുള്ള വിഭജനം. ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾക്കും പരിവർത്തനങ്ങൾക്കും ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളതെന്തും ലഭിക്കും.

നിങ്ങൾ മിക്കവാറും അത് പരിഹരിക്കുന്നതുവരെ സങ്കീർണ്ണമായ ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ രേഖീയ സമവാക്യം തിരിച്ചറിയുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ഇത് അസ്വസ്ഥമാക്കുന്നു. എന്നാൽ അസൈൻമെൻ്റുകളിൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, അവർ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് ചോദിക്കുന്നില്ല, അല്ലേ? അസൈൻമെൻ്റുകൾ സമവാക്യങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടുന്നു തീരുമാനിക്കുക.ഇത് എന്നെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.)

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ പരിഹാരവും സമവാക്യങ്ങളുടെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. വഴിയിൽ, ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ (അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം!) പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനം ഗണിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും.മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പരിഹാരം ഏതെങ്കിലുംഈ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്നാണ് സമവാക്യം ആരംഭിക്കുന്നത്. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് (പരിഹാരം) ഈ പരിവർത്തനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കൂടാതെ ഒരു പൂർണ്ണ ഉത്തരത്തോടെ അവസാനിക്കുന്നു. ലിങ്ക് പിന്തുടരുന്നതിൽ അർത്ഥമുണ്ട്, അല്ലേ?) മാത്രമല്ല, അവിടെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഉണ്ട്.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഒരു കുഴപ്പവുമില്ലാതെ. നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക.

x - 3 = 2 - 4x

ഇതൊരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്. X കൾ എല്ലാം ആദ്യ ശക്തിയിലാണ്, X ൻ്റെ വിഭജനം ഇല്ല. പക്ഷേ, വാസ്തവത്തിൽ, അത് ഏത് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യമാണെന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നമല്ല. നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇവിടെ സ്കീം ലളിതമാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് X ഉള്ള എല്ലാം ശേഖരിക്കുക, വലതുവശത്ത് X (നമ്പറുകൾ) ഇല്ലാത്ത എല്ലാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ കൈമാറ്റം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട് - 4x ഇഞ്ച് ഇടത് വശം, അടയാളം മാറ്റത്തോടെ, തീർച്ചയായും, ഒപ്പം - 3 - വലത്തേക്ക്. വഴിയിൽ, ഇതാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ആദ്യത്തെ സമാന പരിവർത്തനം.ആശ്ചര്യപ്പെട്ടോ? നിങ്ങൾ ലിങ്ക് പിന്തുടർന്നില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം, പക്ഷേ വെറുതെ...) ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x + 4x = 2 + 3

സമാനമായവ ഇതാ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു:

പൂർണ്ണമായ സന്തോഷത്തിന് നമുക്ക് എന്താണ് വേണ്ടത്? അതെ, അങ്ങനെ ഇടതുവശത്ത് ഒരു ശുദ്ധമായ X ഉണ്ട്! അഞ്ച് വഴിയിലാണ്. സഹായത്തോടെ അഞ്ച് പേരെ ഒഴിവാക്കുന്നു സമവാക്യങ്ങളുടെ രണ്ടാമത്തെ സമാനമായ പരിവർത്തനം.അതായത്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഒരു തയ്യാറായ ഉത്തരം ലഭിക്കും:

ഒരു പ്രാഥമിക ഉദാഹരണം, തീർച്ചയായും. ഇത് ചൂടാക്കാനുള്ളതാണ്.) എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ ഇവിടെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഓർമ്മിച്ചത് എന്ന് വളരെ വ്യക്തമല്ല? ശരി. നമുക്ക് കാളയെ കൊമ്പിൽ പിടിക്കാം.) കൂടുതൽ ഉറച്ച എന്തെങ്കിലും തീരുമാനിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം ഇതാ:

നമ്മൾ എവിടെ തുടങ്ങും? X ൻ്റെ കൂടെ - ഇടത്തേക്ക്, X ഇല്ലാതെ - വലത്തേക്ക്? അങ്ങനെ ആവാം. നീണ്ട റോഡിലൂടെ ചെറിയ പടികൾ. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി, സാർവത്രികമായും ഒപ്പം ശക്തമായ രീതിയിൽ. തീർച്ചയായും, നിങ്ങളുടെ ആയുധപ്പുരയിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഞാൻ നിങ്ങളോട് ഒരു പ്രധാന ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നു: ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ഇഷ്ടപ്പെടാത്തത് എന്താണ്?

100 ൽ 95 പേർ ഉത്തരം നൽകും: ഭിന്നസംഖ്യകൾ ! ഉത്തരം ശരിയാണ്. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് അവരെ ഒഴിവാക്കാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉടൻ ആരംഭിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം. ഡിനോമിനേറ്റർ പൂർണ്ണമായും കുറയുന്നതിന് ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കാൻ എന്താണ് വേണ്ടത്? അത് ശരിയാണ്, 3-ന്. വലതുവശത്ത്? 4 കൊണ്ട്. എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്രം നമ്മെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു ഒരേ നമ്പർ. നമുക്ക് എങ്ങനെ പുറത്തുകടക്കാം? നമുക്ക് ഇരുവശങ്ങളെയും 12 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം! ആ. ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക്. അപ്പോൾ മൂന്നും നാലും രണ്ടും കുറയും. ഓരോ ഭാഗവും നിങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് മറക്കരുത് പൂർണ്ണമായും. ആദ്യ ഘട്ടം എങ്ങനെയിരിക്കുമെന്ന് ഇതാ:

ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുന്നു:

കുറിപ്പ്! ന്യൂമറേറ്റർ (x+2)ഞാൻ അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ ഇട്ടു! കാരണം, ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ന്യൂമറേറ്ററും ഗുണിക്കുന്നു! ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും:

ശേഷിക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക:

ഒരു ഉദാഹരണമല്ല, ശുദ്ധമായ ആനന്ദം!) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അക്ഷരത്തെറ്റ് ഓർക്കാം ജൂനിയർ ക്ലാസുകൾ: ഒരു X ഉപയോഗിച്ച് - ഇടത്തേക്ക്, ഒരു X ഇല്ലാതെ - വലത്തേക്ക്!ഈ പരിവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുക:

സമാനമായ ചിലത് ഇതാ:

രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അതായത്. രണ്ടാമത്തെ പരിവർത്തനം വീണ്ടും പ്രയോഗിക്കുക:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഉത്തരം: എക്സ്=0,16

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: യഥാർത്ഥ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്ന സമവാക്യം ഒരു നല്ല രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ഉപയോഗിച്ചു (രണ്ടെണ്ണം മാത്രം!) ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ- ഒരേ സംഖ്യകൊണ്ട് ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ചിഹ്നവും ഗുണനവും-വിഭജനവും ഉപയോഗിച്ച് വിവർത്തനം ഇടത്-വലത്. ഇതൊരു സാർവത്രിക രീതിയാണ്! ഞങ്ങൾ ഈ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കും ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങൾ! തികച്ചും ആരെങ്കിലും. അതുകൊണ്ടാണ് ഈ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഞാൻ മടുപ്പോടെ എല്ലായ്‌പ്പോഴും ആവർത്തിക്കുന്നത്.)

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം ലളിതമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം എടുത്ത് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമാക്കുന്നു. ഇവിടെ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലിലാണ്, പരിഹാരത്തിൻ്റെ തത്വത്തിലല്ല.

പക്ഷേ... ഏറ്റവും പ്രാഥമികമായ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ അത്തരം ആശ്ചര്യങ്ങളുണ്ട്, അവയ്ക്ക് നിങ്ങളെ ശക്തമായ ഒരു മയക്കത്തിലേക്ക് നയിക്കാൻ കഴിയും...) ഭാഗ്യവശാൽ, അത്തരം രണ്ട് ആശ്ചര്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ. നമുക്ക് അവയെ പ്രത്യേക കേസുകൾ എന്ന് വിളിക്കാം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക കേസുകൾ.

ആദ്യത്തെ ആശ്ചര്യം.

നിങ്ങൾ വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായ ഒരു സമവാക്യം കാണുന്നുവെന്ന് കരുതുക, ഇതുപോലുള്ള ഒന്ന്:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

ചെറുതായി വിരസതയോടെ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു X ഉപയോഗിച്ച് ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, ഒരു X ഇല്ലാതെ - വലത്തേക്ക്... അടയാളം മാറ്റുമ്പോൾ, എല്ലാം തികഞ്ഞതാണ്... നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2x-5x+3x=5-2-3

ഞങ്ങൾ എണ്ണുന്നു, ഒപ്പം... ശ്ശോ!!! നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ സമത്വം അതിൽത്തന്നെ പ്രതിഷേധാർഹമല്ല. പൂജ്യം ശരിക്കും പൂജ്യമാണ്. എന്നാൽ X കാണാനില്ല! ഞങ്ങൾ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതണം, x എന്താണ് തുല്യം?അല്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരം കണക്കാക്കില്ല, ശരി...) ഡെഡ്‌ലോക്ക്?

ശാന്തം! അത്തരം സംശയാസ്പദമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും സാധാരണമായ നിയമങ്ങൾ നിങ്ങളെ രക്ഷിക്കും. സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതിനർത്ഥം, x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക യഥാർത്ഥ സമവാക്യം, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമത്വം നൽകും.

എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമത്വമുണ്ട് ഇതിനകംസംഭവിച്ചു! 0=0, എത്രത്തോളം കൃത്യമാണ്?! x-ൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നത് എന്താണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. X ൻ്റെ എന്ത് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം ഒറിജിനൽഈ x ആണെങ്കിൽ സമവാക്യം അവ ഇനിയും പൂജ്യമായി കുറയുമോ?വരിക?)

അതെ!!! X കൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം ഏതെങ്കിലും!ഏതൊക്കെയാണ് നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത്? കുറഞ്ഞത് 5, കുറഞ്ഞത് 0.05, കുറഞ്ഞത് -220. അവ ഇനിയും ചുരുങ്ങും. നിങ്ങൾ എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്കത് പരിശോധിക്കാം.) X ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുക ഒറിജിനൽസമവാക്യവും കണക്കുകൂട്ടലും. എല്ലാ സമയത്തും നിങ്ങൾക്ക് ശുദ്ധമായ സത്യം ലഭിക്കും: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 തുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഇതാ: x - ഏതെങ്കിലും നമ്പർ.

ഉത്തരം വ്യത്യസ്ത ഗണിത ചിഹ്നങ്ങളിൽ എഴുതാം, സാരാംശം മാറില്ല. ഇത് തികച്ചും ശരിയും പൂർണ്ണവുമായ ഉത്തരമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ആശ്ചര്യം.

നമുക്ക് അതേ പ്രാഥമിക രേഖീയ സമവാക്യം എടുത്ത് അതിൽ ഒരു സംഖ്യ മാത്രം മാറ്റാം. ഇതാണ് ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുന്നത്:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, നമുക്ക് കൗതുകകരമായ എന്തെങ്കിലും ലഭിക്കുന്നു:

ഇതുപോലെ. ഞങ്ങൾ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് വിചിത്രമായ ഒരു സമത്വം നേടി. സംസാരിക്കുന്നു ഗണിത ഭാഷ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു തെറ്റായ സമത്വം.ഒപ്പം സംസാരിക്കുന്നു ലളിതമായ ഭാഷയിൽ, ഇത് സത്യമല്ല. രാവ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ അസംബന്ധം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ശരിയായ പരിഹാരത്തിന് വളരെ നല്ല കാരണമാണ്.)

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനമാക്കി ചിന്തിക്കുന്നു പൊതു നിയമങ്ങൾ. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരമായി x-കൾ നമുക്ക് എന്ത് നൽകും സത്യംസമത്വം? അതെ, ഒന്നുമില്ല! അത്തരം X-കൾ ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങൾ എന്ത് ഇട്ടാലും എല്ലാം കുറയും, അസംബന്ധം മാത്രം അവശേഷിക്കും.)

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഇതാ: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഇതും തികച്ചും പൂർണ്ണമായ ഉത്തരമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു.

ഇതുപോലെ. ഇപ്പോൾ, ഏതെങ്കിലും (ലീനിയർ മാത്രമല്ല) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ X ൻ്റെ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നത് നിങ്ങളെ ഒരു തരത്തിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഇത് ഇതിനകം പരിചിതമായ കാര്യമാണ്.)

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളിലെ എല്ലാ കുഴപ്പങ്ങളും കൈകാര്യം ചെയ്തു, അവ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ഈ പാഠത്തിൽ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു കോഴ്സിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പ്രത്യേക ടാസ്ക്കുകളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, "ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക", കൂടാതെ മറ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന ഘട്ടത്തിലും. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ ശാഖകളിലും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യം, ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം. എന്തിൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ"ലീനിയർ" എന്ന ഗണിത പദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു? ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നാണ് എല്ലാംവേരിയബിളുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ: പോലുള്ള ഫാൻസി സ്റ്റഫ് ഒന്നും ഇല്ലാതെ മുതലായവ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നവർ മാത്രം സന്തോഷിക്കുന്നു.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, വേരിയബിളുകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ കുട്ടിക്കാലം മുതൽ പരിചിതമായ അക്ഷരങ്ങൾ മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
സൂചികകളുള്ള വേരിയബിളുകളാണ് വളരെ ജനപ്രിയമായ ഓപ്ഷൻ: .
അല്ലെങ്കിൽ പ്രാരംഭ അക്ഷരങ്ങൾ ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാല, ചെറുതും വലുതും:
ഗ്രീക്ക് അക്ഷരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് അത്ര വിരളമല്ല: - "ആൽഫ, ബീറ്റ, ഗാമ" എന്ന് പലരും അറിയപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ സൂചികകളുള്ള ഒരു സെറ്റും, "mu" എന്ന അക്ഷരത്തിൽ പറയുക:

ഒന്നോ അതിലധികമോ അക്ഷരങ്ങളുടെ ഉപയോഗം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര വിഭാഗത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നേരിടുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾനൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത് പരമ്പരാഗതമാണ്

എന്നാൽ വേരിയബിളുകൾ എങ്ങനെ നിയുക്തമാക്കിയാലും, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങളും രീതികളും രീതികളും മാറില്ല. അതിനാൽ, ഭയപ്പെടുത്തുന്ന എന്തെങ്കിലും നിങ്ങൾ കണ്ടാൽ, ഭയന്ന് പ്രശ്ന പുസ്തകം അടയ്ക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്, എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിങ്ങൾക്ക് പകരം സൂര്യനെയും പകരം ഒരു പക്ഷിയെയും പകരം ഒരു മുഖം (അധ്യാപകനെ) വരയ്ക്കാം. കൂടാതെ, തമാശയായി തോന്നിയേക്കാം, ഈ നൊട്ടേഷനുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ലേഖനം വളരെ ദൈർഘ്യമേറിയതായിരിക്കുമെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു, അതിനാൽ ഒരു ചെറിയ ഉള്ളടക്ക പട്ടിക. അതിനാൽ, തുടർച്ചയായ "ഡീബ്രീഫിംഗ്" ഇതുപോലെയായിരിക്കും:

- സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു (" സ്കൂൾ രീതി») ;
- സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം സങ്കലനം (ഒഴിവാക്കൽ) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു;
- ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം;
- ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു;
- ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു.

സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സുകളിൽ നിന്നുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ എല്ലാവർക്കും പരിചിതമാണ്. അടിസ്ഥാനപരമായി, ഞങ്ങൾ ആവർത്തനത്തോടെ ആരംഭിക്കുന്നു.

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

ഈ രീതി"സ്കൂൾ രീതി" അല്ലെങ്കിൽ അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി എന്നും വിളിക്കാം. ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇതിനെ "പൂർത്തിയാകാത്ത ഗൗസിയൻ രീതി" എന്നും വിളിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ (അക്കങ്ങൾ 5 ഉം 7 ഉം) സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, അവർ എവിടെയാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല, ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ അവ പലപ്പോഴും അങ്ങനെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. അത്തരമൊരു റെക്കോർഡിംഗ് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിക്കരുത്, ആവശ്യമെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം എല്ലായ്പ്പോഴും "സാധാരണപോലെ" എഴുതാം: . ഒരു പദം ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ അടയാളം മാറ്റേണ്ടതുണ്ടെന്ന് മറക്കരുത്.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിൻ്റെ പല പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ വേരിയബിളുകളുടെയും മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളെയും ശരിയായ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. കൂടാതെ, സിസ്റ്റം ആകാം നോൺ-ജോയിൻ്റ് (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല).വിഷമിക്കേണ്ട, അത് പൊതു നിർവ്വചനം=) നമുക്ക് "x" എന്ന ഒരു മൂല്യവും "y" എന്ന ഒരു മൂല്യവും മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ, അത് ഓരോ c-we സമവാക്യവും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

നിലവിലുണ്ട് ഗ്രാഫിക് രീതിസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം, അത് ക്ലാസിൽ കണ്ടെത്താം ഒരു വരിയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ. അവിടെ ഞാൻ സംസാരിച്ചു ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ. എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഇത് ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ യുഗമാണ്, അക്കങ്ങൾ-അക്കങ്ങൾ, പ്രവർത്തനങ്ങൾ-പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം: ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാന നിബന്ധനകൾ ചേർത്ത് മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ നൃത്തം ചെയ്തത് ഓർക്കുന്നു:
ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം മൂല്യം അറിയാം, കണ്ടെത്തുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്:

ഉത്തരം:

ഏതെങ്കിലും രീതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം, പരിശോധിക്കാൻ ഞാൻ ശക്തമായി ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (വാമൊഴിയായി, ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിലോ കാൽക്കുലേറ്ററിലോ). ഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും ചെയ്യുന്നു.

1) കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരം ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കും.

2) കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കും.

അല്ലെങ്കിൽ, കൂടുതൽ ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, "എല്ലാം ഒരുമിച്ചു"

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന പരിഹാര മാർഗ്ഗം ഒന്നല്ല, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സാധിച്ചു, അല്ല.
നിങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാൻ കഴിയും - രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് എന്തെങ്കിലും പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുക. വഴിയിൽ, നാല് രീതികളിൽ ഏറ്റവും ദോഷകരമായത് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്:

ഫലം ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്, പക്ഷേ എന്തുകൊണ്ട്? കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്.

എന്നിരുന്നാലും, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ഭിന്നസംഖ്യകളില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഞാൻ എങ്ങനെയാണ് പദപ്രയോഗം എഴുതിയത് എന്നതിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇതുപോലെയല്ല: ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഇതുപോലെ: .

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു ഭിന്നസംഖ്യകൾ, തുടർന്ന് എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും സാധാരണ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

കൃത്യമായി, അല്ല അല്ലെങ്കിൽ!

ഒരു കോമ ചിലപ്പോൾ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാനാകൂ, പ്രത്യേകിച്ചും ചില പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള അന്തിമ ഉത്തരമാണെങ്കിൽ, ഈ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങളൊന്നും നടത്തേണ്ടതില്ല.

പല വായനക്കാരും ചിന്തിച്ചിരിക്കാം "എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്? വിശദമായ വിശദീകരണം, ഒരു തിരുത്തൽ ക്ലാസ്സിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്. അങ്ങനെയൊന്നുമില്ല, ഇത് വളരെ ലളിതമാണെന്ന് തോന്നുന്നു സ്കൂൾ ഉദാഹരണം, കൂടാതെ എത്ര പ്രധാനപ്പെട്ട നിഗമനങ്ങൾ! ഇതാ മറ്റൊന്ന്:

ഏത് ജോലിയും ഏറ്റവും യുക്തിസഹമായ രീതിയിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കണം. അത് സമയവും ഞരമ്പുകളും ലാഭിക്കുന്നതിനാലും ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത കുറയ്ക്കുന്നതിനാലും മാത്രം.

ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലെ ഒരു പ്രശ്‌നത്തിൽ രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നിങ്ങൾ കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കാം (സിസ്റ്റം മറ്റൊരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് സൂചിപ്പിച്ചില്ലെങ്കിൽ). "സ്കൂൾ രീതി" ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് കുറയ്‌ക്കുമെന്ന് കരുതുക.
മാത്രമല്ല, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ കൂടുതൽ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്.

ഉദാഹരണം 2

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

വിളിക്കപ്പെടുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ സമാനമായ ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം പലപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നു അനിശ്ചിത ഗുണകങ്ങൾഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ. പ്രസ്തുത സംവിധാനം ഞാൻ അവിടെ നിന്ന് എടുത്തതാണ്.

ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ലക്ഷ്യം വേഗംക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക വിപരീത മാട്രിക്സ്തുടങ്ങിയവ. അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി അനുയോജ്യമാണ്.

ഏതെങ്കിലും സമവാക്യ സംവിധാനം നൽകുമ്പോൾ, ആദ്യം അത് എങ്ങനെയെങ്കിലും ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നത് അഭികാമ്യമാണോ? സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതാണ് ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത്:

റഫറൻസ്:ഗണിതശാസ്ത്ര ചിഹ്നത്തിൻ്റെ അർത്ഥം "ഇതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു" എന്നാണ്, ഇത് പലപ്പോഴും പ്രശ്നപരിഹാരത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം; ഏത് സമവാക്യമാണ് ഞാൻ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത്? സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം എടുക്കുക എന്നതാണ് ഈ ആവശ്യത്തിനുള്ള എളുപ്പവഴിയെന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചിരിക്കാം:

ഇവിടെ, ഏത് വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കണമെന്നത് പ്രശ്നമല്ല, ഒരാൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും അല്ലെങ്കിൽ .

അടുത്തതായി, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരുകയും ചെയ്യുന്നു:

മിക്കവാറും എല്ലാം തയ്യാറാണ്, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്:
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്:

പരിശോധിക്കുക: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഇടതുവശത്തായി വേരിയബിളുകളുടെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

1)
2)
3)

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, അങ്ങനെ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

ഉദാഹരണം 3

4 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം(പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം).

സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം സങ്കലനം (ഒഴിവാക്കൽ) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ "സ്കൂൾ രീതി" അല്ല, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ (കുറയ്ക്കൽ) രീതി ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കണം. എന്തുകൊണ്ട്? ഇത് സമയം ലാഭിക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഇപ്പോൾ എല്ലാം വ്യക്തമാകും.

ഉദാഹരണം 4

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിലെ അതേ സിസ്റ്റം ഞാൻ എടുത്തു.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോൾ, വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കാന്തിമാനത്തിലും വിപരീത ചിഹ്നത്തിലും (-1 ഉം 1 ഉം) സമാനമാണെന്നും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങൾ ടേം അനുസരിച്ച് ചേർക്കാം:

ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാനസികമായി ചെയ്യുന്നു.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് വേരിയബിൾ നഷ്ടപ്പെട്ടു. വാസ്തവത്തിൽ, ഇതാണ് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ് രീതിയുടെ സാരം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ സ്‌കൂൾ ഗണിതത്തിലെ തികച്ചും നിരുപദ്രവകരവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായ വിഷയമാണ്. പക്ഷേ, വിചിത്രമെന്നു പറയട്ടെ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നീലയിൽ നിന്നുള്ള പിശകുകളുടെ എണ്ണം മറ്റ് വിഷയങ്ങളേക്കാൾ അല്പം കുറവാണ് - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ലോഗരിതം, ത്രികോണമിതി എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും. മിക്ക പിശകുകളുടെയും കാരണങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിസ്സാരമായ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്. ഒന്നാമതായി, ഇത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പദങ്ങൾ മാറ്റുമ്പോൾ അടയാളങ്ങളിലെ ആശയക്കുഴപ്പമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ ഭിന്നസംഖ്യകളിലും ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളിലും പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പിശകുകൾ. അതെ അതെ! രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിലും ഭിന്നസംഖ്യകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു! ചുറ്റുപാടും. അത്തരം ദുഷിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും വിശകലനം ചെയ്യും.)

ശരി, നമുക്ക് പൂച്ചയെ വാലിൽ വലിക്കരുത്, നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാൻ തുടങ്ങാം, അല്ലേ? എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ അത് വായിക്കുകയും പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.)

എന്താണ് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം? ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സാധാരണയായി രേഖീയ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

കോടാലി + ബി = 0,

എവിടെ a, b എന്നിവ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകളാണ്. ഏത് തരത്തിലും: പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ, നെഗറ്റീവ്, യുക്തിരഹിതം - എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടാകാം!

ഉദാഹരണത്തിന്:

7x + 1 = 0 (ഇവിടെ a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (ഇവിടെ a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (ഇവിടെ a = 1/2, b = -1.1)

പൊതുവേ, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു, ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.) എല്ലാം ലളിതമാണ്, ഒരു യക്ഷിക്കഥയിലെന്നപോലെ. തൽക്കാലം... പിന്നെ ax+b=0 എന്ന പൊതു നൊട്ടേഷൻ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ച് അൽപ്പം ചിന്തിച്ചാലോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, a, b എന്നിവയാണ് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ! നമുക്ക് a = 0 ഉം b = 0 ഉം ഉണ്ടെങ്കിൽ (ഏത് സംഖ്യകളും എടുക്കാം!), അപ്പോൾ നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും?

0 = 0

എന്നാൽ അതെല്ലാം രസകരമല്ല! a = 0, b = -10 എന്ന് പറയുകയാണെങ്കിൽ എന്ത് ചെയ്യും? അപ്പോൾ അത് ഒരുതരം അസംബന്ധമായി മാറുന്നു:

0 = 10.

വിയർപ്പിലൂടെയും രക്തത്തിലൂടെയും നാം നേടിയെടുത്ത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലുള്ള വിശ്വാസത്തെ വളരെ വളരെ അരോചകവും തുരങ്കം വയ്ക്കുന്നതും... പ്രത്യേകിച്ചും ടെസ്റ്റുകളിലും പരീക്ഷകളിലും. എന്നാൽ മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും വിചിത്രവുമായ ഈ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ X കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്! നിലവിലില്ലാത്തത്! ഇവിടെ, നന്നായി തയ്യാറെടുക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികൾ പോലും ചിലപ്പോൾ മന്ദബുദ്ധി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് വീഴാം... പക്ഷേ വിഷമിക്കേണ്ട! ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ അത്തരം എല്ലാ ആശ്ചര്യങ്ങളും നോക്കും. അത്തരം തുല്യതകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഒരു എക്സ് കണ്ടെത്തും.) മാത്രമല്ല, ഇതേ എക്സ് വളരെ ലളിതമായി കണ്ടെത്താനാകും. അതെ അതെ! ആശ്ചര്യകരവും എന്നാൽ സത്യവുമാണ്.)

ശരി, അത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ. എന്നാൽ ടാസ്‌ക്കിൻ്റെ രൂപഭാവം വച്ച് ഇത് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമാണെന്നും മറ്റേതെങ്കിലും സമവാക്യമല്ലെന്നും നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ പറയാൻ കഴിയും? നിർഭാഗ്യവശാൽ, കാഴ്ചയിൽ മാത്രം സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം തിരിച്ചറിയുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. കോടാലി + ബി = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെ മാത്രമല്ല, ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ, സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഈ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന മറ്റേതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളെയും ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എന്നതാണ് കാര്യം. ഇത് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അറിയാം? നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല വരെ - മിക്കവാറും ഇല്ല. ഇത് അസ്വസ്ഥമാക്കുന്നു. എന്നാൽ ചില തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, അത് രേഖീയമാണോ അല്ലയോ എന്ന് പെട്ടെന്ന് ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഏതെങ്കിലും രേഖീയ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ഘടനയിലേക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി നോക്കാം:

കോടാലി + ബി = 0

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: രേഖീയ സമവാക്യത്തിൽ എപ്പോഴുംവേരിയബിൾ x മാത്രമേ ഉള്ളൂ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിൽകൂടാതെ കുറച്ച് നമ്പറുകളും! അത്രയേയുള്ളൂ! മറ്റൊന്നുമല്ല. അതേ സമയം, ചതുരത്തിൽ, ക്യൂബിൽ, റൂട്ടിന് കീഴെ, ലോഗരിതത്തിന് കീഴിലും മറ്റ് വിദേശ കാര്യങ്ങളിലും X-കളില്ല. കൂടാതെ (ഏറ്റവും പ്രധാനമായി!) ഭിന്നസംഖ്യകളൊന്നുമില്ല ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ X കൂടെ!എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലോ ഡിവിഷനിലോ അക്കങ്ങളുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഓരോ സംഖ്യയും- എളുപ്പത്തിൽ!

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇതൊരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്. സമവാക്യത്തിൽ ആദ്യത്തെ ശക്തിയും സംഖ്യകളും X കൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. കൂടാതെ ഉയർന്ന ശക്തികളിൽ X-കളില്ല - ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതും ക്യൂബ് ചെയ്തതും മറ്റും. അതെ, ഇവിടെ ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട്, എന്നാൽ അതേ സമയം ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു അക്കങ്ങൾ മാത്രം.അതായത് - രണ്ടും മൂന്നും. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇല്ല x പ്രകാരമുള്ള വിഭജനം.

പിന്നെ ഇവിടെ സമവാക്യം

ഇതിനെ ഇനി ലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല, എന്നിരുന്നാലും ഇവിടെയും ആദ്യ ശക്തിക്ക് അക്കങ്ങളും X കളും മാത്രമേ ഉള്ളൂ. കാരണം, മറ്റ് കാര്യങ്ങളിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളും ഉണ്ട് ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ X ൻ്റെ കൂടെ. ലളിതവൽക്കരണങ്ങൾക്കും പരിവർത്തനങ്ങൾക്കും ശേഷം, അത്തരമൊരു സമവാക്യം എന്തും ആകാം: ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് - എന്തും.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഉദാഹരണങ്ങൾ.

അപ്പോൾ നിങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത്? വായിച്ച് ആശ്ചര്യപ്പെടുക.) രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ പരിഹാരവും രണ്ട് പ്രധാന കാര്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. നമുക്ക് അവരെ പട്ടികപ്പെടുത്താം.

1) ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും നിയമങ്ങളുടെയും ഒരു കൂട്ടം.

ഇവ പരാൻതീസിസുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുന്നു, ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഗുണന പട്ടികകൾ മുതലായവ. ഈ അറിവും നൈപുണ്യവും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മാത്രമല്ല, പൊതുവെ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനും ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, താഴ്ന്ന ഗ്രേഡുകൾ ഓർക്കുക. അല്ലാത്തപക്ഷം നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും...

2)

അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേയുള്ളൂ. അതെ അതെ! മാത്രമല്ല, ഈ അടിസ്ഥാന ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ ലീനിയർ മാത്രമല്ല, പൊതുവെ ഏതെങ്കിലും ഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് അടിവരയിടുന്നു! ഒരു വാക്കിൽ, മറ്റേതൊരു സമവാക്യത്തിനും പരിഹാരം - ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി, യുക്തിരഹിതം മുതലായവ. - ചട്ടം പോലെ, ഈ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഇത് ആരംഭിക്കുന്നത്. എന്നാൽ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം, വാസ്തവത്തിൽ, അവയിൽ (പരിവർത്തനങ്ങൾ) അവസാനിക്കുന്നു. ഉത്തരം തയ്യാറാണ്.) അതിനാൽ അലസത കാണിക്കാതെ ലിങ്ക് നോക്കുക.) മാത്രമല്ല, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും അവിടെ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നു.

ശരി, ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാൻ തുടങ്ങേണ്ട സമയമാണിതെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു സന്നാഹമെന്ന നിലയിൽ, നമുക്ക് ചില അടിസ്ഥാന കാര്യങ്ങൾ നോക്കാം. ഭിന്നസംഖ്യകളോ മറ്റ് മണികളും വിസിലുകളോ ഇല്ലാതെ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സമവാക്യം:

x – 2 = 4 – 5x

ഇതൊരു ക്ലാസിക് ലീനിയർ സമവാക്യമാണ്. എല്ലാ X കളും പരമാവധി ആദ്യ ശക്തിയിലാണ്, എവിടെയും X കൊണ്ട് വിഭജനം ഇല്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിലെ പരിഹാര സ്കീം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനവും ഭയങ്കര ലളിതവുമാണ്: X ൻ്റെ എല്ലാ പദങ്ങളും ഇടതുവശത്ത് ശേഖരിക്കണം, കൂടാതെ X-കളില്ലാത്ത എല്ലാ നിബന്ധനകളും (അതായത് നമ്പറുകൾ) വലതുവശത്ത് ശേഖരിക്കണം. അതിനാൽ നമുക്ക് ശേഖരിക്കാൻ തുടങ്ങാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം സമാരംഭിക്കുന്നു. നമുക്ക് -5x ഇടത്തോട്ട് നീക്കുകയും -2 വലത്തോട്ട് നീക്കുകയും വേണം. അടയാളം മാറ്റിക്കൊണ്ട്, തീർച്ചയായും.) അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു:

x + 5x = 4 + 2

ഇവിടെ ആരംഭിക്കുന്നു. പകുതി യുദ്ധം പൂർത്തിയായി: X കൾ ഒരു കൂമ്പാരമായി ശേഖരിച്ചു, അതുപോലെ തന്നെ അക്കങ്ങളും. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ സമാനമായവ ഇടതുവശത്ത് അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അവയെ വലതുവശത്ത് കണക്കാക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

6x = 6

സമ്പൂർണ്ണ സന്തോഷത്തിന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എന്താണ് കുറവ്? അതെ, അങ്ങനെ ശുദ്ധമായ X ഇടതുവശത്ത് നിലനിൽക്കും! ഒപ്പം ആറുപേരും വഴിമുട്ടി. അതിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ രക്ഷപ്പെടാം? ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു - സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഒപ്പം - voila! ഉത്തരം തയ്യാറാണ്.)

x = 1

തീർച്ചയായും, ഉദാഹരണം തികച്ചും പ്രാകൃതമാണ്. പൊതുവായ ആശയം ലഭിക്കുന്നതിന്. ശരി, നമുക്ക് കൂടുതൽ പ്രധാനപ്പെട്ട എന്തെങ്കിലും തീരുമാനിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം നോക്കാം:

നമുക്ക് അത് വിശദമായി നോക്കാം.) ഇവിടെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും ഇതും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ രണ്ടായി വിഭജനവും മൂന്നിനാൽ വിഭജനവും ഉണ്ട്, എന്നാൽ X ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്താൽ വിഭജനമില്ല! അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം. സമാന രൂപാന്തരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതെ.)

നമ്മൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? X ൻ്റെ കൂടെ - ഇടത്തേക്ക്, X ഇല്ലാതെ - വലത്തേക്ക്? തത്വത്തിൽ, ഇത് സാധ്യമാണ്. വ്ലാഡിവോസ്റ്റോക്ക് വഴി സോച്ചിയിലേക്ക് പറക്കുക.) അല്ലെങ്കിൽ സാർവത്രികവും ശക്തവുമായ ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ റൂട്ട് എടുക്കാം. ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും.)

ആദ്യം, ഞാൻ ഒരു പ്രധാന ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നു: ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നതും ഇഷ്ടപ്പെടാത്തതും എന്താണ്? 100-ൽ 99 പേർ പറയും: ഭിന്നസംഖ്യകൾ!അവർ ശരിയാകും.) അതിനാൽ നമുക്ക് ആദ്യം അവരെ ഒഴിവാക്കാം. സമവാക്യത്തിന് തന്നെ സുരക്ഷിതം.) അതിനാൽ, നമുക്ക് ഉടൻ ആരംഭിക്കാം രണ്ടാമത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം- ഗുണനത്തിൽ നിന്ന്. ഡിനോമിനേറ്റർ വിജയകരമായി കുറയുന്നതിന് ഇടത് വശം എന്ത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം? അത് ശരിയാണ്, രണ്ട്. എ വലത് വശം? ഒരു മൂന്നിന്! പക്ഷേ... ഗണിതം ഒരു കാപ്രിസിയസ് ലേഡിയാണ്. അവൾ, നിങ്ങൾ കാണുന്നു, രണ്ട് വശങ്ങളും മാത്രം വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഒരേ നമ്പറിന്!ഓരോ ഭാഗത്തെയും അതിൻ്റെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഫലമില്ല... നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യാൻ പോകുന്നത്? എന്തോ... ഒരു ഒത്തുതീർപ്പിനായി നോക്കൂ. നമ്മുടെ ആഗ്രഹങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ ( ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാനും) ഗണിതത്തെ വ്രണപ്പെടുത്താതിരിക്കാനും.) നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആറുകൊണ്ട് ഗുണിക്കാം!) അതായത്, സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പൊതുവായ ഘടകത്താൽ. അപ്പോൾ ഒറ്റയടിക്ക് രണ്ടും മൂന്നും കുറയും!)

അതിനാൽ നമുക്ക് വർദ്ധിപ്പിക്കാം. മുഴുവൻ ഇടതു വശവും മുഴുവൻ വലതു വശവും! അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. നടപടിക്രമം തന്നെ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇതേ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ, 6-നെ 6/1 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഇടതും വലതും ഉള്ള ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യകളും കൊണ്ട് നമുക്ക് ആറിനെ ഗുണിക്കാം. ഇത് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സാധാരണ ഗുണനമാണ്, പക്ഷേ അങ്ങനെയാകട്ടെ, ഞാൻ ഇത് വിശദമായി വിവരിക്കും:

ഇവിടെ - ശ്രദ്ധ! ഞാൻ ന്യൂമറേറ്റർ (x-3) ബ്രാക്കറ്റിൽ ഇട്ടു! ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്റർ പൂർണ്ണമായി, പൂർണ്ണമായി ഗുണിക്കുന്നു എന്നതിനാലാണിത്! കൂടാതെ x-3 എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു അവിഭാജ്യ ഘടനയായി പ്രവർത്തിക്കണം. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്റർ ഇതുപോലെ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ:

6x - 3,

എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാം ശരിയാണ്, അത് അന്തിമമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇനി എന്ത് ചെയ്യണം? ഇടതുവശത്തുള്ള ന്യൂമറേറ്ററിലെ പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കണോ? ഒരു സാഹചര്യത്തിലും! ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ നിങ്ങളും ഞാനും ഇരുവശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ആവശ്യമാണ് നമ്മുടെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുക.ആഴത്തിലുള്ള സംതൃപ്തിയോടെ, ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളും കുറയ്ക്കുകയും ഒരു ഭരണാധികാരിയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളില്ലാതെ ഒരു സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

ഇപ്പോൾ ശേഷിക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ കഴിയും:

3x – 9 + 6x = 30 – 4x

സമവാക്യം മെച്ചപ്പെടുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു! ഇപ്പോൾ ആദ്യത്തെ സമാന പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച് വീണ്ടും ഓർക്കാം. നേരായ മുഖത്തോടെ ഞങ്ങൾ ജൂനിയർ ക്ലാസുകളിൽ നിന്നുള്ള അക്ഷരത്തെറ്റ് ആവർത്തിക്കുന്നു: X ഉപയോഗിച്ച് - ഇടത്തേക്ക്, X ഇല്ലാതെ - വലത്തേക്ക്. ഈ പരിവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുക:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ ഇടതുവശത്ത് അവതരിപ്പിക്കുകയും വലതുവശത്ത് എണ്ണുകയും ചെയ്യുന്നു:

13x = 39

രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും 13 കൊണ്ട് വിഭജിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. അതായത്, രണ്ടാമത്തെ പരിവർത്തനം വീണ്ടും പ്രയോഗിക്കുക. ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുകയും ഉത്തരം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

x = 3

ജോലി കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തെ പരിവർത്തനം ഒരു തവണയും (പദങ്ങൾ കൈമാറുന്നു) രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടുതവണയും പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: പരിഹാരത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഗുണനം (6 കൊണ്ട്) ഉപയോഗിച്ചു, അവസാനം എക്‌സിന് മുന്നിലുള്ള കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒഴിവാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഡിവിഷൻ (13 കൊണ്ട്) ഉപയോഗിച്ചു. ഏതെങ്കിലും (അതെ, ഏതെങ്കിലും!) ലീനിയർ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒരു ശ്രേണിയിലോ മറ്റൊന്നിലോ ഇതേ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനമാണ്. കൃത്യമായി എവിടെ തുടങ്ങണം എന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട സമവാക്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ കൈമാറ്റം ആരംഭിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്, മറ്റുള്ളവയിൽ (ഈ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) ഗുണനം (അല്ലെങ്കിൽ വിഭജനം).

ഞങ്ങൾ ലളിതവും സങ്കീർണ്ണവുമായ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ക്രൂരതയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഒരു കൂട്ടം ഭിന്നസംഖ്യകളും പരാൻതീസിസും. സ്വയം എങ്ങനെ അമിതമായി ആയാസപ്പെടരുതെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും.)

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം ഇതാ:

ഞങ്ങൾ ഒരു മിനിറ്റ് സമവാക്യം നോക്കുന്നു, പരിഭ്രാന്തരായി, പക്ഷേ ഇപ്പോഴും നമ്മെത്തന്നെ വലിക്കുന്നു! എവിടെ തുടങ്ങണം എന്നതാണ് പ്രധാന പ്രശ്നം? നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്ത് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ചേർക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും എന്തെങ്കിലും കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. അതോ വിഭജിക്കണോ... അപ്പോൾ ഇനിയെന്ത് സാധ്യമാണ്? ഉത്തരം: എല്ലാം സാധ്യമാണ്! ലിസ്റ്റുചെയ്ത ഏതെങ്കിലും പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഗണിതശാസ്ത്രം നിരോധിക്കുന്നില്ല. നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും പരിവർത്തനങ്ങളുടെയും ക്രമം എന്തുതന്നെയായാലും, ഉത്തരം എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമായിരിക്കും - ശരിയായത്. തീർച്ചയായും, ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഐഡൻ്റിറ്റി ലംഘിക്കുകയും അതുവഴി പിശകുകൾ സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ...

കൂടാതെ, തെറ്റുകൾ വരുത്താതിരിക്കാൻ, ഇതുപോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, അതിൻ്റെ രൂപം വിലയിരുത്തുകയും നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏറ്റവും ഉപയോഗപ്രദമാണ്: ഉദാഹരണത്തിൽ എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും പരമാവധിഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഇത് ലളിതമാക്കണോ?

അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് അത് കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇടതുവശത്ത് ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ സിക്സറുകളാണ്. വ്യക്തിപരമായി, എനിക്ക് അവ ഇഷ്ടമല്ല, അവ നീക്കംചെയ്യുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഞാൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കട്ടെ! അപ്പോൾ ഇടതുവശത്തുള്ള സിക്സറുകൾ വിജയകരമായി കുറയ്ക്കും, ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇതുവരെ എവിടെയും പോകില്ല. ശരി, കുഴപ്പമില്ല. ഞങ്ങൾ അവയുമായി അൽപ്പം കഴിഞ്ഞ് ഇടപെടും.) എന്നാൽ വലതുവശത്ത്, 2, 3 എന്നീ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ റദ്ദാക്കുന്നു, ഈ പ്രവർത്തനത്തിലൂടെയാണ് (6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത്) ഞങ്ങൾ ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പരമാവധി ലളിതമാക്കുന്നത്!

ഗുണനത്തിനുശേഷം, നമ്മുടെ മുഴുവൻ ദുഷിച്ച സമവാക്യവും ഇതുപോലെയാകുന്നു:

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഉണ്ടായതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി മനസ്സിലാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ വിശകലനം നിങ്ങൾക്ക് നന്നായി മനസ്സിലായില്ല. ഞാൻ ശ്രമിച്ചു, വഴിയിൽ ...

അതിനാൽ, നമുക്ക് വെളിപ്പെടുത്താം:

ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും യുക്തിസഹമായ ഘട്ടം ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളെ വേർതിരിച്ച് വലതുവശത്തേക്ക് 5x അയയ്ക്കുക എന്നതാണ്. അതേ സമയം, വലതുവശത്ത് സമാനമായവ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇതിനകം വളരെ മികച്ചത്. ഇപ്പോൾ ഇടതുവശം ഗുണനത്തിനായി സ്വയം തയ്യാറായിക്കഴിഞ്ഞു. അഞ്ചും നാലും ഒരേസമയം കുറയാൻ ഇടത് വശം എന്ത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം? 20ന്! എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തും നമുക്ക് ദോഷങ്ങളുമുണ്ട്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 20 കൊണ്ടല്ല, -20 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും. അപ്പോൾ ഒറ്റയടിക്ക് രണ്ട് കുറവുകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും അപ്രത്യക്ഷമാകും.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു:

ഈ ഘട്ടം ഇപ്പോഴും മനസ്സിലാകാത്ത ആർക്കും പ്രശ്നം സമവാക്യങ്ങളിലല്ല എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. പ്രശ്‌നങ്ങൾ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിലാണ്! ഒന്നുകൂടി ഓർക്കാം സുവര്ണ്ണ നിയമംതുറക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ:

ഒരു സംഖ്യയെ ബ്രാക്കറ്റിലെ ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഓരോ പദവും ഈ സംഖ്യയെ തുടർച്ചയായി ഗുണിക്കണം. മാത്രമല്ല, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ വികാസത്തിന് ശേഷം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും. നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വിപരീതമായി മാറ്റുക:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

ഇരുവശങ്ങളെയും -20 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് ശേഷം ഞങ്ങളുടെ ദോഷങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമായി. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ബ്രാക്കറ്റുകളെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ 20. അതിനാൽ, ഈ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഉള്ളിലുണ്ടായിരുന്ന എല്ലാ അടയാളങ്ങളും സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളിലെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നത്, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞാൻ ഇതിനകം വിശദമായി വിശദീകരിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

ശേഷിക്കുന്ന ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക. വീണ്ടും, ഞങ്ങൾ അത് ശരിയായി വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. ആദ്യത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, അവ തുറക്കുമ്പോൾ എല്ലാ അടയാളങ്ങളും സംരക്ഷിക്കപ്പെടും. എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു നെഗറ്റീവ്നമ്പർ -5 ആണ്, അതിനാൽ, എല്ലാ അടയാളങ്ങളും വിപരീതമാണ്:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

നിസ്സാരകാര്യങ്ങൾ മാത്രം ബാക്കി. X-കൾ ഇടതുവശത്ത്, X ഇല്ലാതെ വലതുവശത്ത്:

-20x – 15x = 20 – 10 – 12

-35x = -2

ഏതാണ്ട് അത്രമാത്രം. ഇടതുവശത്ത് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ശുദ്ധമായ X ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ നമ്പർ -35 വഴിയിലാണ്. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇരുവശങ്ങളെയും (-35) കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഐഡൻ്റിറ്റി പരിവർത്തനം രണ്ട് വശങ്ങളെയും ഗുണിക്കാനും വിഭജിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ എന്തുതന്നെയായാലുംനമ്പർ. നെഗറ്റീവ് അടക്കം.) പൂജ്യം അല്ലാത്തിടത്തോളം! വിഭജിച്ച് ഉത്തരം നേടുന്നതിന് മടിക്കേണ്ടതില്ല:

X = 2/35

ഇത്തവണ എക്സ് ഫ്രാക്ഷണൽ ആയി മാറി. ഇത് ഒകെയാണ്. അത്തരമൊരു ഉദാഹരണം.)

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ (ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായവ പോലും) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം എടുക്കുകയും സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതുവരെ തുടർച്ചയായി ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾക്കൊപ്പം, തീർച്ചയായും! ഇവിടെയുള്ള പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ കൃത്യമായി അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നതിലെ പരാജയമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ഉണ്ട്, വികസിക്കുമ്പോൾ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാൻ അവർ മറന്നു), അതുപോലെ നിസ്സാര ഗണിതത്തിലും. അതിനാൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ അവഗണിക്കരുത്! അവയാണ് മറ്റെല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനം!

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ചെയ്യേണ്ട ചില രസകരമായ കാര്യങ്ങൾ. അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേക അവസരങ്ങൾ.

എല്ലാം ശരിയാകും. എന്നിരുന്നാലും... രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിൽ അത്തരം രസകരമായ രത്നങ്ങളും ഉണ്ട്, അവ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നിങ്ങളെ ശക്തമായ ഒരു മന്ദബുദ്ധിയിലേക്ക് നയിക്കും. ഒരു മികച്ച വിദ്യാർത്ഥി പോലും.)

ഉദാഹരണത്തിന്, നിരുപദ്രവകരമായ ഒരു സമവാക്യം ഇതാ:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

വ്യാപകമായും ചെറുതായി വിരസതയോടെയും ഞങ്ങൾ ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ X-കളും വലതുവശത്തുള്ള എല്ലാ അക്കങ്ങളും ശേഖരിക്കുന്നു:

7x-4x-3x = 5-2-3

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, എണ്ണുകയും നേടുകയും ചെയ്യുക:

0 = 0

അത്രയേയുള്ളൂ! ഞാൻ ഒരു തന്ത്രത്തിന് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി! ഈ സമത്വം തന്നെ എതിർപ്പുകളൊന്നും ഉന്നയിക്കുന്നില്ല: പൂജ്യം യഥാർത്ഥത്തിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ X കാണാനില്ല! ഒരു തുമ്പും ഇല്ലാതെ! ഞങ്ങൾ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതണം, എന്താണ് x തുല്യം. അല്ലെങ്കിൽ, തീരുമാനം കണക്കാക്കില്ല, അതെ.) എന്ത് ചെയ്യണം?

പരിഭ്രാന്തി വേണ്ട! അത്തരം നിലവാരമില്ലാത്ത കേസുകളിൽ, ഏറ്റവും പൊതു ആശയങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്ര തത്വങ്ങളും. എന്താണ് ഒരു സമവാക്യം? സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നാൽ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എല്ലാം x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ, അതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഒറിജിനൽസമവാക്യം നമുക്ക് ശരിയായ സമത്വം (ഐഡൻ്റിറ്റി) നൽകും!

എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമത്വമുണ്ട് അത് ഇതിനകം സംഭവിച്ചു! 0=0, അല്ലെങ്കിൽ, ഒരിടത്തും ഇല്ല!) ഈ തുല്യത എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ. ഏത് തരത്തിലുള്ള X-കൾ പകരം വയ്ക്കാം ഒറിജിനൽസമവാക്യം, അവയെല്ലാം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ അവ ഇനിയും പൂജ്യമായി കുറയുമോ?ഇതുവരെ മനസ്സിലായില്ലേ?

തീർച്ചയായും! X കൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം ഏതെങ്കിലും!!! തികച്ചും ഏതെങ്കിലും. നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നതെന്തും സമർപ്പിക്കുക. കുറഞ്ഞത് 1, കുറഞ്ഞത് -23, കുറഞ്ഞത് 2.7 - എന്തായാലും! അവ ഇപ്പോഴും കുറയുകയും അതിൻ്റെ ഫലമായി ശുദ്ധമായ സത്യം നിലനിൽക്കുകയും ചെയ്യും. ഇത് പരീക്ഷിക്കുക, പകരം വയ്ക്കുക, സ്വയം കാണുക.)

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ഇതാ:

x - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ.

IN ശാസ്ത്രീയ രേഖഈ സമത്വം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

ഈ എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "എക്സ് എന്നത് ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്."

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ, ഇടവേളകളിൽ:

നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ഇഷ്ടമുള്ള രീതിയിൽ ഇത് ഡിസൈൻ ചെയ്യുക. ഇത് ശരിയായതും പൂർണ്ണവുമായ ഉത്തരമാണ്!

ഇപ്പോൾ ഞാൻ നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സംഖ്യ മാറ്റാൻ പോകുന്നു. ഇനി നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ കൈമാറുകയും എണ്ണുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

7x – 4x – 3x = 5 – 2 – 2

0 = 1

ഈ തമാശയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്താണ് തോന്നുന്നത്? ഒരു സാധാരണ രേഖീയ സമവാക്യം ഉണ്ടായിരുന്നു, പക്ഷേ അത് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത സമത്വമായി മാറി

0 = 1…

ശാസ്ത്രീയമായി പറഞ്ഞാൽ നമുക്ക് കിട്ടി തെറ്റായ സമത്വം.എന്നാൽ റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ ഇത് ശരിയല്ല. ബുൾഷിറ്റ്. അസംബന്ധം.) കാരണം പൂജ്യം ഒരു തരത്തിലും ഒന്നിന് തുല്യമല്ല!

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വീണ്ടും കണ്ടുപിടിക്കാം, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ ഏത് തരത്തിലുള്ള X- കൾ നമുക്ക് നൽകും യഥാർത്ഥ സമത്വം?ഏതാണ്? പക്ഷേ ഒന്നുമില്ല! നിങ്ങൾ ഏത് X മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാലും, എല്ലാം ഇപ്പോഴും ചുരുക്കപ്പെടും, എല്ലാം ഭ്രാന്തമായി തുടരും.)

ഉത്തരം ഇതാ: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

IN ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻഅത്തരമൊരു പ്രതികരണം ഇതുപോലെയാണ് ഫോർമാറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്:

അത് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "എക്സ് ശൂന്യമായ സെറ്റിൻ്റേതാണ്."

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്: എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരു സമവാക്യത്തിനും തത്വത്തിൽ വേരുകളുണ്ടാകില്ല. ചില സമവാക്യങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ ഇല്ലായിരിക്കാം. എല്ലാം.

ഇവിടെ രണ്ട് അത്ഭുതങ്ങൾ ഉണ്ട്. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ് പെട്ടെന്ന് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നത് നിങ്ങളെ എന്നെന്നേക്കുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഇത് വളരെ പരിചിതമാണ്.)

എന്നിട്ട് ഞാൻ ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം കേൾക്കുന്നു: അവർ OGE അല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ആയിരിക്കുമോ? ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ തന്നെ ഒരു ചുമതലയായി - ഇല്ല. വളരെ ലളിതമാണ്. എന്നാൽ OGE അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രശ്നങ്ങളിൽ - എളുപ്പത്തിൽ! അതിനാൽ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പരിശീലിപ്പിച്ച് തീരുമാനിക്കാം:

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ): -2; -1; ഏതെങ്കിലും നമ്പർ; 2; പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; 7/13.

എല്ലാം പ്രവർത്തിച്ചോ? കൊള്ളാം! പരീക്ഷയിൽ നല്ല അവസരമുണ്ട്.

എന്തെങ്കിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നില്ലേ? ഹോ... ദുഃഖം, തീർച്ചയായും. ഇതിനർത്ഥം ഇപ്പോഴും എവിടെയെങ്കിലും വിടവുകൾ ഉണ്ടെന്നാണ്. ഒന്നുകിൽ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ അല്ലെങ്കിൽ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളിൽ. അല്ലെങ്കിൽ ഇത് ലളിതമായ അശ്രദ്ധയുടെ കാര്യം മാത്രമാണ്. പാഠം വീണ്ടും വായിക്കുക. കാരണം ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്ര എളുപ്പം പറഞ്ഞു കളയാവുന്ന വിഷയമല്ല...

നല്ലതുവരട്ടെ! അവൾ തീർച്ചയായും നിങ്ങളെ നോക്കി പുഞ്ചിരിക്കും, എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ!)