വീട് പ്രതിരോധം വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ക്രാമർ രീതി. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ

പ്രതിരോധം

വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ക്രാമർ രീതി. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ

ഈ ഖണ്ഡികയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടുന്നതിന്, "രണ്ട് ബൈ ടു", "ത്രീ ബൈ ത്രീ" എന്നീ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയണം. യോഗ്യതയുള്ളവരിൽ നിങ്ങൾ മോശമാണെങ്കിൽ, ദയവായി പാഠം പഠിക്കുക ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ആദ്യം നമ്മൾ രണ്ടിൻ്റെ സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമർ റൂൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾരണ്ട് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം. എന്തിനുവേണ്ടി? - എല്ലാത്തിനുമുപരി ഏറ്റവും ലളിതമായ സിസ്റ്റംപരിഹരിക്കാൻ കഴിയും സ്കൂൾ രീതി, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി പ്രകാരം!

ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായി രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ അത്തരമൊരു ചുമതല സംഭവിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. രണ്ടാമതായി, ക്രാമർ റൂൾ എങ്ങനെ കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും സങ്കീർണ്ണമായ കേസ്- മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ.

കൂടാതെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്, അവ ക്രാമർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമാണ്!

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ്.

ഗാസ് രീതി.

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമ്മൾ രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
ഒപ്പം

പ്രായോഗികമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞ യോഗ്യതകളും സൂചിപ്പിക്കാം ലാറ്റിൻ അക്ഷരം.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
,

ഉദാഹരണം 7

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, വലതുവശത്ത് ഉണ്ട് ദശാംശങ്ങൾഒരു കോമ ഉപയോഗിച്ച്. കോമ ഒരു അപൂർവ അതിഥിയാണ് പ്രായോഗിക ജോലികൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ഇക്കണോമെട്രിക് പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നാണ് ഞാൻ ഈ സിസ്റ്റം എടുത്തത്.

അത്തരമൊരു സംവിധാനം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തിക്കാൻ അങ്ങേയറ്റം അസൗകര്യമുള്ള ഭയാനകമായ ഫാൻസി ഭിന്നസംഖ്യകളാൽ അവസാനിക്കും, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന ഭയങ്കരമായി കാണപ്പെടും. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് പദത്തെ ടേം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം, എന്നാൽ ഇവിടെയും അതേ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകും.

എന്തുചെയ്യും? അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്രാമർ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

;

ഉത്തരം: ,

രണ്ട് വേരുകൾക്കും അനന്തമായ വാലുകളുണ്ട്, അവ ഏകദേശം കാണപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇക്കോണോമെട്രിക്സ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ് (സാധാരണമായത് പോലും).

ഇവിടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക്ക് പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു മുന്നറിയിപ്പ് ഉണ്ട്. ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നിർബന്ധിതംടാസ്‌ക് ഡിസൈനിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ശകലമാണ്: "ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്നാണ്". അല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള അനാദരവിന് നിരൂപകൻ നിങ്ങളെ ശിക്ഷിച്ചേക്കാം.

പരിശോധിക്കുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല, ഇത് ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്: ഞങ്ങൾ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഇടത് വശംസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും. തൽഫലമായി, ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറുകൾ ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണം 8

സാധാരണ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുക. ഒരു പരിശോധന നടത്തുക.

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം(പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർത്തിയാക്കുന്നതിൻ്റെയും ഉത്തരത്തിൻ്റെയും ഉദാഹരണം).

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം പരിഗണിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അസ്ഥിരമാണ് (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്രാമർ റൂൾ സഹായിക്കില്ല; നിങ്ങൾ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
, ,

അവസാനമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, “മൂന്ന് മൂന്ന്” കേസ് അടിസ്ഥാനപരമായി “രണ്ട് ബൈ ടു” കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല; സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിര പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ നിരകളിലൂടെ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് തുടർച്ചയായി “നടക്കുന്നു”.

ഉദാഹരണം 9

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം.

, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

ഉത്തരം: .

യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇവിടെ വീണ്ടും പ്രത്യേകമായി അഭിപ്രായം പറയാൻ ഒന്നുമില്ല, കാരണം പരിഹാരം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഒന്നുരണ്ടു കമൻ്റുകൾ ഉണ്ട്.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, "മോശം" കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
ഇനിപ്പറയുന്ന "ചികിത്സ" അൽഗോരിതം ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ചെയ്യുക:

1) കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശക് ഉണ്ടാകാം. നിങ്ങൾ ഒരു "മോശം" ഭിന്നസംഖ്യയെ കണ്ടുമുട്ടിയ ഉടൻ, നിങ്ങൾ ഉടൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് വ്യവസ്ഥ തിരുത്തിയെഴുതിയത് ശരിയാണോ?. വ്യവസ്ഥ പിശകുകളില്ലാതെ മാറ്റിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വരിയിലെ (നിര) വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

2) പരിശോധനയുടെ ഫലമായി പിശകുകളൊന്നും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, മിക്കവാറും ടാസ്‌ക് വ്യവസ്ഥകളിൽ അക്ഷരത്തെറ്റുണ്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവസാനം വരെ ശാന്തമായും ശ്രദ്ധയോടെയും ജോലി ചെയ്യുക പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുകതീരുമാനത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ക്ലീൻ ഷീറ്റിൽ വരയ്ക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് അസുഖകരമായ ഒരു ജോലിയാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോലെയുള്ള ഏത് ബുൾഷിറ്റിനും ഒരു മൈനസ് നൽകാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന അധ്യാപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് നിരായുധീകരണ വാദമായിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് ഉദാഹരണം 8-ൻ്റെ ഉത്തരത്തിൽ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക, അത് പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം. വഴിയിൽ, പ്രോഗ്രാം ഉടനടി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലാഭകരമാണ് (പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പുതന്നെ); നിങ്ങൾ തെറ്റ് ചെയ്ത ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടം നിങ്ങൾ ഉടൻ കാണും! അതേ കാൽക്കുലേറ്റർ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരം യാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്നു മാട്രിക്സ് രീതി.

രണ്ടാമത്തെ പരാമർശം. കാലാകാലങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്‌ടമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ സിസ്റ്റങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇവിടെ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിളില്ല, രണ്ടാമത്തേതിൽ വേരിയബിളില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ശരിയായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്:
- കാണാതായ വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
വഴിയിൽ, പൂജ്യം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരി (നിര) അനുസരിച്ച് പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തുറക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ കുറവാണ്.

ഉദാഹരണം 10

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തെ ഉത്തരവും).

4 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾക്കനുസൃതമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്ന പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തത്സമയ ഉദാഹരണം കാണാൻ കഴിയും. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നു - അഞ്ച് നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തികച്ചും പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. ഒരു ഭാഗ്യശാലിയായ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നെഞ്ചിൽ ഒരു പ്രൊഫസറുടെ ഷൂവിനെ ഈ ചുമതല ഇതിനകം വളരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നതാണെങ്കിലും.

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി പ്രധാനമായും ആണ് പ്രത്യേക കേസ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം(നിർദ്ദിഷ്ട പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക).

ഈ വിഭാഗം പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്താനും മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താനും കഴിയണം. വിശദീകരണങ്ങൾ പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ പ്രസക്തമായ ലിങ്കുകൾ നൽകും.

ഉദാഹരണം 11

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
, എവിടെ

സമവാക്യങ്ങളുടെയും മെട്രിക്സിൻ്റെയും സിസ്റ്റം നോക്കുക. ഘടകങ്ങളെ മെട്രിക്സുകളായി എഴുതുന്ന തത്വം എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ഒരേയൊരു അഭിപ്രായം: സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിലെ അനുബന്ധ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു:
, മാട്രിക്സിൻ്റെ അനുബന്ധ മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ്.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോക്കാം:

ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധ! എങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല, കൂടാതെ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി (Gauss രീതി) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 9 പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുകയും അവയെ മൈനേഴ്സ് മാട്രിക്സിൽ എഴുതുകയും വേണം

റഫറൻസ്:ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകളുടെ അർത്ഥം അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയുടെ സംഖ്യയാണ് ആദ്യ അക്കം. രണ്ടാമത്തെ അക്കം മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരയുടെ സംഖ്യയാണ്:

അതായത്, ഒരു ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഘടകം ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകം 3 വരിയിലും 2 കോളത്തിലുമാണ്.

പരിഹാര സമയത്ത്, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ വിശദമായി വിവരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്നിരുന്നാലും കുറച്ച് അനുഭവം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വാക്കാലുള്ള പിശകുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവരെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.

ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ചില സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കൾ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി, അതുപോലെ തന്നെ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി എന്നിവ പരിശോധിച്ചു. ഈ പേജ് വഴി സൈറ്റ് ആക്സസ് ചെയ്ത എല്ലാവരോടും ആദ്യ ഭാഗം വായിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ചില സന്ദർശകർ മെറ്റീരിയൽ വളരെ ലളിതമായി കണ്ടെത്തും, പക്ഷേ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, പൊതുവെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി അഭിപ്രായങ്ങളും നിഗമനങ്ങളും നടത്തി.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം വിശകലനം ചെയ്യും, അതുപോലെ തന്നെ വിപരീത മാട്രിക്സ് (മാട്രിക്സ് രീതി) ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കും. എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ലളിതമായും വിശദമായും വ്യക്തമായും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു; മുകളിലുള്ള രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മിക്കവാറും എല്ലാ വായനക്കാർക്കും പഠിക്കാൻ കഴിയും.

ആദ്യം, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളിലുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കും. എന്തിനുവേണ്ടി? - എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനം സ്കൂൾ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി!

ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായി രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ അത്തരമൊരു ചുമതല സംഭവിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. രണ്ടാമതായി, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കേസിനായി ക്രാമർ റൂൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും - മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക

ഗാസ് രീതി.

പ്രായോഗികമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞ യോഗ്യതകൾ ഒരു ലാറ്റിൻ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
,

ഉദാഹരണം 7

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു; വലതുവശത്ത് കോമയുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ കോമ വളരെ അപൂർവമായ അതിഥിയാണ്; ഒരു ഇക്കണോമെട്രിക് പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നാണ് ഞാൻ ഈ സിസ്റ്റം എടുത്തത്.

;

ഉത്തരം: ,

ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സൗകര്യപ്രദമായി നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന പരിശോധിക്കുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറുകൾ ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണം 8

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു ഉദാഹരണവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും).

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അവസാനമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 9

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: .

നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക, അത് പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം. വഴിയിൽ, പ്രോഗ്രാം ഉടനടി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലാഭകരമാണ് (പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പുതന്നെ); നിങ്ങൾ തെറ്റ് ചെയ്ത ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടം നിങ്ങൾ ഉടൻ കാണും! അതേ കാൽക്കുലേറ്റർ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം യാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 10

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി പ്രധാനമായും ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം(നിർദ്ദിഷ്ട പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക).

ഉദാഹരണം 11

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
, എവിടെ

ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോക്കാം:

ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

2. മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ (ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച്).
3. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗാസ് രീതി.

ക്രാമർ രീതി.

ലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ (SLAU).

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ.
നൽകിയത്:ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

വേരിയബിളുകളെ സംബന്ധിച്ച് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്.
പരിഹാരം:
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്താം ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ. :

നമുക്ക് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുകയും വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:
ഒപ്പം .
ഉദാഹരണം 1:
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

വേരിയബിളുകൾ സംബന്ധിച്ച് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്.
പരിഹാരം:

ഈ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലെ ആദ്യ നിരയെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു നിര ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി അതിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം സമാനമായ പ്രവർത്തനം, ആദ്യ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലെ രണ്ടാമത്തെ നിര മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ബാധകമാണ് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾകൂടാതെ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:
ഒപ്പം .
ഉത്തരം:
അഭിപ്രായം:ഈ രീതിക്ക് ഉയർന്ന അളവിലുള്ള സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

അഭിപ്രായം:അത് മാറുകയാണെങ്കിൽ , എന്നാൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പിന്നെ അവർ പറയുന്നു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒന്നുകിൽ അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 2(പരിഹാരങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം):

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

വേരിയബിളുകൾ സംബന്ധിച്ച് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്.
പരിഹാരം:
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത്, വേരിയബിളുകളുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും ശരിയായ ഒരു തുല്യതയാണ് (കാരണം 4 എല്ലായ്പ്പോഴും 4 ന് തുല്യമാണ്). ഇതിനർത്ഥം ഒരു സമവാക്യം മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണിത്.
തുല്യതയാൽ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും ജോഡി മൂല്യങ്ങളാണ് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.
പൊതുവായ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതപ്പെടും:
y യുടെ അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ കണക്ഷൻ തുല്യതയിൽ നിന്ന് x കണക്കാക്കി പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

തുടങ്ങിയവ.
അത്തരം നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
ഉത്തരം: പൊതു തീരുമാനം
സ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉദാഹരണം 3(പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, സിസ്റ്റം പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല):

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം:
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാം

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഒരു സമത്വമാണ്, അത് വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് ശരിയല്ല (തീർച്ചയായും, കാരണം -15 2 ന് തുല്യമല്ല). വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ശരിയല്ലെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിനും പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉത്തരം:പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അത്രയും സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കട്ടെ, അതായത്. പോലെ തോന്നുന്നു

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ അത്തരം സംവിധാനങ്ങളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്വതന്ത്രത്തിനായുള്ള ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് സിസ്റ്റം വേരിയബിളുകൾ(1.5) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ അതിനെ ഗ്രീക്ക് അക്ഷരമായ D കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും. അങ്ങനെ,

. (1.6)

പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ( ജെ th) കോളം, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സൗജന്യ നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക (1.5), അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും എൻസഹായ യോഗ്യതകൾ:

(ജെ = 1, 2, …, എൻ). (1.7)

ക്രാമർ റൂൾരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഡി (1.5) പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, അത് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും:

(1.8)

ഉദാഹരണം 1.5.ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

D¹0 മുതൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, അത് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും (1.8):

അങ്ങനെ,

മെട്രിക്സുകളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

1. ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

2. ഒരു മാട്രിക്സിനെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതാണ്

. (1.9)

ഉദാഹരണം 1.6. .

മാട്രിക്സ് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.

ഈ ഓപ്പറേഷൻ ഒരേ ഓർഡറിൻ്റെ മെട്രിക്സുകൾക്കായി മാത്രമാണ് അവതരിപ്പിക്കുന്നത്.

രണ്ട് മെട്രിക്സുകൾ ചേർക്കുന്നതിന്, ഒരു മെട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മറ്റൊരു മാട്രിക്സിൻ്റെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

(1.10)
മാട്രിക്സ് കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് അസോസിയേറ്റിവിറ്റി, കമ്യൂട്ടാറ്റിവിറ്റി എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1.7. .

മാട്രിക്സ് ഗുണനം.

മാട്രിക്സ് നിരകളുടെ എണ്ണം ആണെങ്കിൽ എമാട്രിക്സ് വരികളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു IN, അത്തരം മെട്രിക്സുകൾക്കായി ഗുണന പ്രവർത്തനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

അങ്ങനെ, ഒരു മാട്രിക്സ് ഗുണിക്കുമ്പോൾ എഅളവുകൾ എം´ എൻമാട്രിക്സിലേക്ക് INഅളവുകൾ എൻ´ കെനമുക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും കൂടെഅളവുകൾ എം´ കെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ കൂടെഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

പ്രശ്നം 1.8.സാധ്യമെങ്കിൽ, മെട്രിക്സുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക എബിഒപ്പം ബി.എ.:

പരിഹാരം. 1) ഒരു ജോലി കണ്ടെത്തുന്നതിന് എബി, നിങ്ങൾക്ക് മാട്രിക്സ് വരികൾ ആവശ്യമാണ് എമാട്രിക്സ് നിരകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക ബി:

2) ജോലി ബി.എ.നിലവിലില്ല, കാരണം മാട്രിക്സ് നിരകളുടെ എണ്ണം ബിമാട്രിക്സ് വരികളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല എ.

വിപരീത മാട്രിക്സ്. മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ

മാട്രിക്സ് എ- 1 നെ ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എ, സമത്വം തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ:

എവിടെ വഴി ഐമാട്രിക്സിൻ്റെ അതേ ക്രമത്തിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ:

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിന് വിപരീതം ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കണം. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നത്:

, (1.13)

എവിടെ എ ഐജെ - ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഒരു ijമെട്രിക്സ് എ(മാട്രിക്സ് വരികളിലേക്കുള്ള ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക എഅനുബന്ധ നിരകളുടെ രൂപത്തിൽ വിപരീത മാട്രിക്സിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു).

ഉദാഹരണം 1.9.വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുക എ- 1 മുതൽ മാട്രിക്സ് വരെ

സൂത്രവാക്യം (1.13) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു, ഇത് കേസിനായി എൻ= 3 ഫോം ഉണ്ട്:

നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം എ = | എ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. യഥാർത്ഥ മെട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോൺസീറോ ആയതിനാൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലുണ്ട്.

1) ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എ ഐജെ:

വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൗകര്യാർത്ഥം, യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ അനുബന്ധ നിരകളിൽ സ്ഥാപിച്ചു.

ലഭിച്ച ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ മാട്രിക്സ് രചിക്കുകയും അതിനെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഡെറ്റ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എ. അങ്ങനെ, നമുക്ക് വിപരീത മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും:

നോൺ സീറോ പ്രിൻസിപ്പൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സിസ്റ്റങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റം (1.5) മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

എവിടെ

സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും (1.14) ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് ഗുണിക്കുക എ- 1, നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നു:

, എവിടെ

അതിനാൽ, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുകയും അതിനെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ കോളം മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്ത് ഗുണിക്കുകയും വേണം.

പ്രശ്നം 1.10.രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

എവിടെ - സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, - അജ്ഞാതരുടെ നിരയും - സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിരയും. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മുതൽ , പിന്നെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് എഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ട് എ-1. വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്താൻ എ-1, മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു എ:

ലഭിച്ച സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു മാട്രിക്സ് (മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളിലേക്ക് ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ) രചിക്കും. എഉചിതമായ നിരകളിൽ ഇത് എഴുതുകയും ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഡി കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുക. അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തി:

ഫോർമുല (1.15) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു:

അങ്ങനെ,

സാധാരണ ജോർദാൻ എലിമിനേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ (ആവശ്യമില്ല ക്വാഡ്രാറ്റിക്) സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ:

(1.16)

സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ തുല്യതകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അത്തരം ഒരു കൂട്ടം വേരിയബിളുകൾ (1.16). IN പൊതുവായ കേസ്സിസ്റ്റത്തിന് (1.16) ഒരു പരിഹാരം മാത്രമല്ല, എണ്ണമറ്റ പരിഹാരങ്ങളും ഉണ്ടാകും. അതിനും പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലായിരിക്കാം.

അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അറിയപ്പെടുന്നത് സ്കൂൾ കോഴ്സ്അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി, ഇതിനെ സാധാരണ ജോർദാൻ എലിമിനേഷൻ രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. സാരാംശം ഈ രീതിസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ (1.16) വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റ് വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയിലാണ്. ഈ വേരിയബിൾ പിന്നീട് സിസ്റ്റത്തിലെ മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തേക്കാൾ ഒരു സമവാക്യവും ഒരു വേരിയബിളും അടങ്ങുന്ന ഒരു സിസ്റ്റമാണ് ഫലം. വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിച്ച സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ അവസാനത്തെ ഒരു സമവാക്യം നിലനിൽക്കുന്നതുവരെ ഈ പ്രക്രിയ ആവർത്തിക്കുന്നു. അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലൂടെ, ചില സമവാക്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറിയേക്കാം, ഉദാ. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, കാരണം അവ വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങളിൽ സംതൃപ്തരാണ്, അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തെ ബാധിക്കില്ല. അജ്ഞാതങ്ങളെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു സമവാക്യമെങ്കിലും വേരിയബിളുകളുടെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ കഴിയാത്ത ഒരു സമത്വമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്), സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

പരിഹാര സമയത്ത് പരസ്പരവിരുദ്ധമായ സമവാക്യങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകുന്നില്ലെങ്കിൽ, അതിൽ അവശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തും. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂവെങ്കിൽ, അത് ഒരു സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. മറ്റ് വേരിയബിളുകൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ പാരാമീറ്ററുകളായി കണക്കാക്കുന്നു, അവയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന വേരിയബിൾ ഈ പരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും. അപ്പോൾ വിളിക്കപ്പെടുന്ന " റിവേഴ്സ് സ്ട്രോക്ക്" കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിൾ അവസാനമായി ഓർമ്മിച്ച സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, രണ്ടാമത്തെ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തി. പിന്നീട് കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ അവസാനത്തെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തിയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, മൂന്നാമത്തെ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അങ്ങനെ, ആദ്യത്തെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തിയ സമവാക്യം വരെ.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നേടുന്നു. കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിളുകൾ അക്കങ്ങളാണെങ്കിൽ ഈ പരിഹാരം അദ്വിതീയമായിരിക്കും. ആദ്യത്തെ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തിയാൽ, ബാക്കിയുള്ളവയെല്ലാം പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും (ഓരോ സെറ്റ് പാരാമീറ്ററുകളും ഒരു പുതിയ പരിഹാരവുമായി യോജിക്കുന്നു). ഒരു പ്രത്യേക പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഫോർമുലകളെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.11.

ആദ്യത്തെ സമവാക്യം മനഃപാഠമാക്കിയ ശേഷം രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്ന് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

പ്രകടിപ്പിക്കാം വൈരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അതിനെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഓർമ്മിക്കാം, ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും z:

പിന്നോട്ട് പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു വൈഒപ്പം z. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം ഓർത്തിരിക്കുന്ന അവസാന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അവിടെ നിന്ന് വൈ:

തുടർന്ന് നമ്മൾ അത് ആദ്യം ഓർമ്മിച്ച സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും നമുക്ക് അത് എവിടെ കണ്ടെത്താനാകും x:

പ്രശ്നം 1.12.അജ്ഞാതമായവ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

. (1.17)

പരിഹാരം.ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം xരണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഓർക്കാം

ഈ സംവിധാനത്തിൽ, ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ പരസ്പരം വിരുദ്ധമാണ്. തീർച്ചയായും, പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു വൈ , നമുക്ക് 14 = 17 ലഭിക്കുന്നു. ഈ സമത്വം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു മൂല്യത്തിനും ബാധകമല്ല x, വൈ, ഒപ്പം z. തൽഫലമായി, സിസ്റ്റം (1.17) അസ്ഥിരമാണ്, അതായത്. ഒരു പരിഹാരവുമില്ല.

യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1.17) പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണോ എന്ന് സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങൾ വായനക്കാരെ ക്ഷണിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് (1.17) ഒരു സ്വതന്ത്ര പദത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

പ്രശ്നം 1.13.അജ്ഞാതമായവ ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

. (1.18)

പരിഹാരം.മുമ്പത്തെപ്പോലെ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു xരണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഓർക്കാം രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക. ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു വൈആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു , നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി 14 = 14 ലഭിക്കുന്നു, അത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തെ ബാധിക്കില്ല, അതിനാൽ, ഇത് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

അവസാനം ഓർത്തിരിക്കുന്ന സമത്വത്തിൽ, വേരിയബിൾ zഞങ്ങൾ അത് ഒരു പരാമീറ്ററായി പരിഗണിക്കും. നാം വിശ്വസിക്കുന്നു. പിന്നെ

നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം വൈഒപ്പം zആദ്യം ഓർമ്മിച്ച സമത്വത്തിലേക്കും കണ്ടെത്തലിലേക്കും x:

അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന് (1.18) അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഫോർമുലകൾ (1.19) ഉപയോഗിച്ച് ഏത് പരിഹാരവും കണ്ടെത്താനാകും. ടി:

(1.19)
അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന വേരിയബിളുകൾ (1; 2; 0), (2; 26; 14) മുതലായവയാണ്. ഫോർമുലകൾ (1.19) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊതുവായ (ഏതെങ്കിലും) പരിഹാരം (1.18) പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ).

യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന് (1.16) ആവശ്യത്തിന് ധാരാളം സമവാക്യങ്ങളും അജ്ഞാതങ്ങളും ഉള്ള സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണ ജോർദാൻ ഉന്മൂലനത്തിൻ്റെ സൂചിപ്പിച്ച രീതി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി തോന്നുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അങ്ങനെയല്ല. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കാൻ ഒരു അൽഗോരിതം ഉരുത്തിരിഞ്ഞാൽ മതിയാകും. പൊതുവായ കാഴ്ചപ്രത്യേക ജോർദാൻ പട്ടികകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം രൂപപ്പെടുത്തുക.

രേഖീയ രൂപങ്ങളുടെ (സമവാക്യങ്ങൾ) ഒരു സിസ്റ്റം നൽകാം:

, (1.20)
എവിടെ x ജെ- സ്വതന്ത്ര (തേടുന്ന) വേരിയബിളുകൾ, ഒരു ij- സ്ഥിരമായ സാധ്യതകൾ
(ഞാൻ = 1, 2,…, എം; ജെ = 1, 2,…, എൻ). സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശരിയായ ഭാഗങ്ങൾ യീ (ഞാൻ = 1, 2,…, എം) വേരിയബിളുകൾ (ആശ്രിതം) അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ആകാം. അജ്ഞാതമായവ ഒഴിവാക്കി ഈ സംവിധാനത്തിന് പരിഹാരം കാണേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇനി മുതൽ "സാധാരണ ജോർദാൻ ഉന്മൂലനത്തിൻ്റെ ഒരു ഘട്ടം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സ്വേച്ഛാധിപത്യത്തിൽ നിന്ന് ( ആർ th) സമത്വം ഞങ്ങൾ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ( xs) കൂടാതെ മറ്റെല്ലാ തുല്യതകളിലേക്കും പകരം വയ്ക്കുക. തീർച്ചയായും, ഇത് ഉണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ ഒരു രൂപ¹ 0. ഗുണകം ഒരു രൂപപരിഹരിക്കുന്ന (ചിലപ്പോൾ ഗൈഡിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന) ഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ലഭിക്കും ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം:

. (1.21)

നിന്ന് എസ്- സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ തുല്യത (1.21), ഞങ്ങൾ പിന്നീട് വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നു xs(ബാക്കിയുള്ള വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം). എസ്-th ലൈൻ ഓർമ്മിക്കുകയും പിന്നീട് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തേക്കാൾ ഒരു സമവാക്യവും ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും അടങ്ങിയിരിക്കും.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1.21) ഗുണകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1.20) ഗുണകങ്ങളിലൂടെ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് തുടങ്ങാം ആർ th സമവാക്യം, അത് വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിച്ചതിന് ശേഷം xsശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളിലൂടെ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

അങ്ങനെ, പുതിയ ഗുണകങ്ങൾ ആർസമവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

(1.23)
നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പുതിയ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കാം b ij(ഐ¹ ആർ) ഏകപക്ഷീയമായ സമവാക്യം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് (1.22) ൽ പ്രകടിപ്പിച്ച വേരിയബിളിന് പകരം വയ്ക്കാം. xsവി ഐസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യം (1.20):

സമാന നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(1.24)
സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (1.24) നമുക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു, അതിലൂടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ (1.21) കണക്കാക്കുന്നു (ഒഴിവാക്കൽ ആർസമവാക്യം):

(1.25)
സാധാരണ ജോർദാൻ എലിമിനേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം പട്ടികകളുടെ (മാട്രിക്സ്) രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ പട്ടികകളെ "ജോർദാൻ പട്ടികകൾ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പ്രശ്നം (1.20) ഇനിപ്പറയുന്ന ജോർദാൻ പട്ടികയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

പട്ടിക 1.1

	x 1	x 2	…	x ജെ	…	xs	…	x n
വൈ 1 =	എ 11	എ 12		എ 1ജെ		എ 1എസ്		എ 1എൻ
…………………………………………………………………..
യീ=	ഒരു ഐ 1	ഒരു ഐ 2		ഒരു ij		a ആണ്		ഒരു ഇൻ
…………………………………………………………………..
വൈ ആർ=	ഒരു ആർ 1	ഒരു ആർ 2		ഒരു ആർജെ		ഒരു രൂപ		arn
………………………………………………………………….
വൈ എൻ=	ഒരു എം 1	ഒരു എം 2		ഒരു എംജെ		ഒരു എം.എസ്		ഒരു മി

ജോർദാൻ പട്ടിക 1.1-ൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വലത് ഭാഗങ്ങൾ (1.20) എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഇടത് തലക്കെട്ട് നിരയും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ എഴുതിയ മുകളിലെ തലക്കെട്ടും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

പട്ടികയുടെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് (1.20). നിങ്ങൾ മാട്രിക്സ് ഗുണിച്ചാൽ എമുകളിലെ ശീർഷക വരിയുടെ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന മാട്രിക്സിലേക്ക്, ഇടത് ശീർഷക നിരയുടെ ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്, ജോർദാൻ പട്ടിക രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എഴുതുന്നതിനുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപമാണ്: . സിസ്റ്റം (1.21) ഇനിപ്പറയുന്ന ജോർദാൻ പട്ടികയുമായി യോജിക്കുന്നു:

പട്ടിക 1.2

	x 1	x 2	…	x ജെ	…	വൈ ആർ	…	x n
വൈ 1 =	ബി 11	ബി 12		ബി 1 ജെ		ബി 1 എസ്		ബി 1 എൻ
…………………………………………………………………..
y i =	ബി ഐ 1	ബി ഐ 2		b ij		b ആണ്		ബി ഇൻ
…………………………………………………………………..
x s =	ബി ആർ 1	ബി ആർ 2		ബി ആർജെ		ബി ആർഎസ്		ബ്രൺ
………………………………………………………………….
y n =	ബി എം 1	ബി എം 2		ബി എംജെ		ബിഎംഎസ്		ബി എംഎൻ

അനുവദനീയമായ ഘടകം ഒരു രൂപ ഞങ്ങൾ അവയെ ബോൾഡായി ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യും. ജോർദാൻ ഉന്മൂലനത്തിൻ്റെ ഒരു ഘട്ടം നടപ്പിലാക്കാൻ, പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം പൂജ്യമല്ലാത്തതായിരിക്കണം എന്നത് ഓർക്കുക. പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കുന്ന ഘടകം അടങ്ങിയ പട്ടിക നിരയെ പ്രവർത്തനക്ഷമമായ വരി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രവർത്തനക്ഷമമായ ഘടകം അടങ്ങിയ നിരയെ പ്രവർത്തനക്ഷമമായ കോളം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് അടുത്ത പട്ടികയിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ, ഒരു വേരിയബിൾ ( xs) പട്ടികയുടെ മുകളിലെ തലക്കെട്ട് വരിയിൽ നിന്ന് ഇടത് തലക്കെട്ട് നിരയിലേക്ക് നീക്കി, സിസ്റ്റത്തിലെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളിൽ ഒരാൾ വൈ ആർ) പട്ടികയുടെ ഇടത് തല നിരയിൽ നിന്ന് മുകളിലെ തല വരിയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (1.23), (1.25) എന്നിവയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന ജോർദാൻ ടേബിളിൽ (1.1) നിന്ന് പട്ടികയിലേക്ക് (1.2) നീങ്ങുമ്പോൾ ഗുണകങ്ങൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം നമുക്ക് വിവരിക്കാം.

1. പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം വിപരീത സംഖ്യ കൊണ്ട് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

2. പരിഹരിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകമായി വിഭജിക്കുകയും ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു:

3. റെസലൂഷൻ കോളത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ റെസലൂഷൻ ഘടകമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

4. അനുവദനീയമായ വരിയിലും അനുവദിക്കുന്ന കോളത്തിലും ഉൾപ്പെടുത്താത്ത ഘടകങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് വീണ്ടും കണക്കാക്കുന്നു:

അംശം ഉണ്ടാക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ അവസാന ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് , കവലയിലാണ് ഐ-ഓ ഒപ്പം ആർമത്തെ വരികൾ ഒപ്പം ജെ th ഒപ്പം എസ് th നിരകൾ (പരിഹരിക്കുന്ന വരി, പരിഹരിക്കുന്ന നിര, വീണ്ടും കണക്കാക്കിയ ഘടകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന കവലയിലെ വരിയും നിരയും). കൂടുതൽ കൃത്യമായി, ഫോർമുല മനഃപാഠമാക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡയഗ്രം ഉപയോഗിക്കാം:

-21 -26 -13 -37

ജോർദാൻ ഒഴിവാക്കലുകളുടെ ആദ്യ ഘട്ടം നിർവ്വഹിക്കുമ്പോൾ, നിരകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന പട്ടിക 1.3 ൻ്റെ ഏത് ഘടകവും പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകമായി നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. x 1 ,…, x 5 (നിർദിഷ്ട ഘടകങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യമല്ല). അവസാന നിരയിലെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കുന്ന ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കരുത്, കാരണം നിങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് x 1 ,…, x 5 . ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഗുണകം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു 1 വേരിയബിളിനൊപ്പം xപട്ടിക 1.3 ൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ 3 (പ്രാപ്തമാക്കുന്ന ഘടകം ബോൾഡിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു). പട്ടിക 1.4-ലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, വേരിയബിൾ xമുകളിലെ തലക്കെട്ട് വരിയിൽ നിന്നുള്ള 3 ഇടത് തലക്കെട്ട് നിരയുടെ (മൂന്നാം വരി) സ്ഥിരമായ 0 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരിയബിൾ x 3 ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

സ്ട്രിംഗ് x 3 (പട്ടിക 1.4) മുൻകൂട്ടി ഓർമ്മിച്ചതിന് ശേഷം, പട്ടിക 1.4 ൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്. മുകളിലെ ശീർഷക വരിയിൽ പൂജ്യമുള്ള മൂന്നാമത്തെ നിരയും പട്ടിക 1.4-ൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന നിരയുടെ ഗുണകങ്ങൾ പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ എന്നതാണ് കാര്യം ബി ഐ 3 ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും എല്ലാ അനുബന്ധ നിബന്ധനകളും 0 ബി ഐ 3 സിസ്റ്റങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, ഈ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതില്ല. ഒരു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു x 3 സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, പട്ടിക 1.4 ന് അനുയോജ്യമായ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു (രേഖ മുറിച്ചുകടന്ന്. x 3). ഒരു പരിഹാര ഘടകമായി പട്ടിക 1.4 ൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു ബി 14 = -5, പട്ടിക 1.5 ലേക്ക് പോകുക. പട്ടിക 1.5 ൽ, ആദ്യ വരി ഓർമ്മിക്കുക, നാലാം നിരയ്‌ക്കൊപ്പം പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക (മുകളിൽ പൂജ്യത്തോടെ).

പട്ടിക 1.5 പട്ടിക 1.6

അവസാന പട്ടിക 1.7 ൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: x 1 = - 3 + 2x 5 .

ഓർമ്മിച്ച വരികളിൽ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിളുകൾ സ്ഥിരമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ശേഷിക്കുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. വേരിയബിൾ x 5, അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം. ഈ വേരിയബിൾ ഒരു പരാമീറ്ററായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു x 5 = ടി. ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യത തെളിയിക്കുകയും അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തു:

x 1 = - 3 + 2ടി

x 2 = - 1 - 3ടി

x 3 = - 2 + 4ടി . (1.27)
x 4 = 4 + 5ടി

x 5 = ടി

പരാമീറ്റർ നൽകുന്നു ടിവ്യത്യസ്‌ത മൂല്യങ്ങൾ, ഒറിജിനൽ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നമുക്ക് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന വേരിയബിളുകൾ (- 3; - 1; - 2; 4; 0) ആണ്.

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റിനൊപ്പം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അതേ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളോടെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ (അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, ഒന്ന് മാത്രമേയുള്ളൂ).

ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്നും അതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്നും അത് കണ്ടെത്താനാകും ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ:

എവിടെ Δ - സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്,

Δ ഐസിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആണ്, അതിൽ പകരം ഐമത്തെ നിരയിൽ വലത് വശങ്ങളുടെ നിര അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, അതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് സഹകരണമോ പൊരുത്തക്കേടോ ആകാം എന്നാണ്.

ഈ രീതി സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു ചെറിയ സംവിധാനങ്ങൾവോള്യൂമെട്രിക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കൊപ്പം, അജ്ഞാതങ്ങളിലൊന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ. പല ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും കണക്കുകൂട്ടേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ് രീതിയുടെ സങ്കീർണ്ണത.

ക്രാമർ രീതിയുടെ വിവരണം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്:

2 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായി മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് 3 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രചിക്കുന്നു:

ഇത് ഇങ്ങനെയായിരിക്കും സിസ്റ്റം ഡിറ്റർമിനൻ്റ്. എപ്പോൾ D≠0, അതായത് സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്. ഇനി നമുക്ക് 3 അധിക ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ സൃഷ്ടിക്കാം:

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ:

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 1.

നൽകിയിരിക്കുന്ന സംവിധാനം:

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാം.

ആദ്യം നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

കാരണം Δ≠0, അതായത് ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതും അതിന് ഒരു പരിഹാരവുമുണ്ടെന്നാണ്. ഞങ്ങൾ അധിക ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് Δ 1 അതിൻ്റെ ആദ്യ നിരയെ സ്വതന്ത്ര ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു നിര ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് Δ ൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതുപോലെ, രണ്ടാമത്തെ നിരയെ സ്വതന്ത്ര ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു നിര ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ Δ 2 ൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നേടുന്നു: