ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും

വിഷയം 1. മെട്രിക്സുകളും സിസ്റ്റങ്ങളും

മാട്രിക്സ് ആശയം

നിർവ്വചനം 1.മാട്രിക്സ്

.

ഇവിടെ, എ ഐ ജെ (ഐ=1,2,...,എം; ജെ=1,2,...എൻ) - മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ, ഐ- ലൈൻ നമ്പർ, ജെ m=nമാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuramഓർഡർ മാട്രിക്സ് എൻ.

i¹jപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഡയഗണൽ:

സിംഗിൾ

ശൂന്യംകൂടാതെ θ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

- മാട്രിക്സ് വരി; - മാട്രിക്സ് കോളം.

ഡിറ്റർമിനൻ്റ്(അഥവാ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്).

2nd ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ്

നിർവ്വചനം 2. കുറിച്ച് രണ്ടാം ഓർഡർ ലിമിറ്റർമെട്രിക്സ് , അതാണ്

. (3)

മറ്റ് പദവികൾ:, .

അങ്ങനെ, ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന ആശയം ഒരേസമയം അതിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടലിനുള്ള ഒരു രീതിയെ മുൻനിർത്തുന്നു. സംഖ്യകളെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂലകങ്ങളാൽ രൂപംകൊണ്ട ഡയഗണലിനെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാനംമൂലകങ്ങളും - വശം

ഉദാഹരണം 1.മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഇതിന് തുല്യമാണ്

.

മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ

നിർവ്വചനം 2. കുറിച്ച് മൂന്നാം ഓർഡർ ലിമിറ്റർചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയാണ്

,

സമത്വത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും

നമ്പറുകൾ - ഘടകങ്ങൾഡിറ്റർമിനൻ്റ്. മൂലകങ്ങളുടെ രൂപം വീട്ഡയഗണൽ, ഘടകങ്ങൾ - വശം.

ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള (4) ഏത് പദങ്ങളാണ് “+” ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്തതെന്നും “-” ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം ത്രികോണങ്ങളുടെ പ്രതീകാത്മക നിയമം (സാറസ് നിയമം) ഉപയോഗിക്കുമെന്നും ഓർമ്മിക്കാൻ:

"+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്, പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും പ്രധാന ഡയഗണലിന് സമാന്തരമായ അടിത്തറയുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബങ്ങളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങളും എടുക്കുന്നു; തുടർന്ന് "-" ചിഹ്നം - ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെയും ദ്വിതീയ ഡയഗണലിന് സമാന്തരമായ അടിത്തറകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബങ്ങളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നം.

കോളം അസൈൻമെൻ്റ് റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

1. ഞങ്ങൾ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നിരകൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വലതുവശത്ത് തുടർച്ചയായി നിയോഗിക്കുന്നു.

2. ഞങ്ങൾ മൂന്ന് മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്, മുകളിൽ നിന്ന് താഴെ നിന്ന് ഡയഗണലായി കണക്കാക്കുന്നു എ 11 മുതൽ എ 13 "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ എടുക്കുക. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്, താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് ഡയഗണലായി കണക്കാക്കുന്നു എ 31 മുതൽ എ 13 "-" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ എടുക്കുക.

(-) (-) (-) (+) (+) (+)

ഉദാഹരണം 2. കോളം അസൈൻമെൻ്റ് റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുക.

3. ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ് എൻ-ആം ഓർഡർ. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾ. വരി (നിര) വിപുലീകരണം വഴി ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ.

ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം n-ഉത്തരവില്ല. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് n-ഉയർന്ന ക്രമം എന്നത് മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയാണ് n-ഒരു നിശ്ചിത ക്രമം, ഒരു നിശ്ചിത നിയമം അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

,

ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ ഇതാ. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് വെളിപ്പെടുത്തുന്ന നിയമം കാണിക്കാൻ എൻആദ്യ ക്രമം, നമുക്ക് ചില ആശയങ്ങൾ നോക്കാം.

നിർവ്വചനം 4. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഘടകം എൻ-ആം ക്രമത്തെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ( എൻ- 1) ഈ ഘടകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന കവലയിൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വരിയും നിരയും മുറിച്ചുകടന്ന് ലഭിച്ച ഓർഡർ.

നിർവ്വചനം 5. ബീജഗണിത പൂരകംഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ചില ഘടകങ്ങൾ എൻ th ഓർഡറിനെ ഈ മൂലകത്തിൻ്റെ മൈനർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് .

ഒരു മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ ഒരാൾക്ക് പരിഗണിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്,

, .

, .

നിർവ്വചനം 6. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് n-ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ആദ്യ നിരയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ് ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ളത്.

ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഈ നിയമത്തെ വിളിക്കുന്നു ആദ്യ വരിയിൽ വിപുലീകരണം.

സിദ്ധാന്തം (ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ വികാസത്തെക്കുറിച്ച്).ഏതെങ്കിലും വരിയിലോ നിരയിലോ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം.

- 2-ാം നിരയുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളാൽ ഒന്നാം നിരയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

ഉദാഹരണം 3. നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുക .

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയെ (-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നാലാമത്തേതിലേക്ക് ചേർക്കുക, തുടർന്ന് നാലാമത്തെ വരിയിൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് വികസിപ്പിക്കുക:

മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വിപുലീകരിച്ചു.

ഗാസ് രീതി.

ഗാസ് രീതിഅജ്ഞാതമായതിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിലൂടെ യഥാർത്ഥ സംവിധാനം രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു എന്നതാണ് പടിപടിയായിമനസ്സ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിലെ വരികളിലാണ് പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നത്, കാരണം അജ്ഞാതരെ ഒഴിവാക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ മാട്രിക്സ് വരികളുടെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

ഗൗസിയൻ രീതി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു മുന്നോട്ട് സ്ട്രോക്ക് ഒപ്പം വിപരീതം. ഗോസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള സമീപനം, വരികൾക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ വഴി, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1) വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്. അതിനുശേഷം സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയ്ക്കും ഉറപ്പിനും വേണ്ടി പരിശോധിക്കുന്നു. അപ്പോൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു. ഈ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതമാണ്, അതിൽ അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് വലുത് സീരിയൽ നമ്പർ, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് A യുടെയും എക്സ്റ്റെൻഡഡ് മാട്രിക്സ് A´ യുടെയും റാങ്കുകൾ താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് ക്രോനെക്കർ-കാപെല്ലി സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് മുന്നോട്ട് നീങ്ങുന്നതിൻ്റെ അവസാനം ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പഠിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.

1) എങ്കിൽ , അപ്പോൾ സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ് (ക്രോനെക്കർ-കാപെല്ലി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്).

2) എങ്കിൽ, സിസ്റ്റം (1) വ്യക്തമാണ്, തിരിച്ചും (തെളിവില്ലാതെ).

3) എങ്കിൽ, സിസ്റ്റം (1) അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണെങ്കിൽ, തിരിച്ചും (തെളിവില്ലാതെ).

അസമത്വം മാട്രിക്സ് A മാട്രിക്സ് A´ ൻ്റെ ഭാഗമായതിനാൽ, അസമത്വം നിലനിൽക്കില്ല, കാരണം മാട്രിക്സ് A യുടെ നിരകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ് പി. മാത്രമല്ല, ഒരു സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് ഉള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്, അതായത്, എങ്കിൽ പി = ടി, തുല്യത എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റം അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണെങ്കിൽ, അതായത്, അത് നടപ്പിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിലെ ചില അജ്ഞാതങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി പ്രഖ്യാപിക്കുകയും ബാക്കിയുള്ളവ അവയിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സൗജന്യ അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം . ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം നടത്തുമ്പോൾ, അടുത്ത സമവാക്യത്തിൽ, മുമ്പ് കണ്ടെത്തിയ വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, ഒന്നിലധികം അജ്ഞാത അവശിഷ്ടങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നൊഴികെയുള്ള അജ്ഞാതങ്ങളെ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതരായി പ്രഖ്യാപിക്കും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗാസ് രീതി നടപ്പിലാക്കുന്നത് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതുകയും പ്രാഥമിക വരി പരിവർത്തനങ്ങൾ (ഡയറക്ട് മോഷൻ) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യാം.

~ ~ ~

~ ~ .

അതിനാൽ, സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരവുമാണ്, അതായത്. ഉറപ്പാണ്.

നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റെപ്പ്വൈസ് സിസ്റ്റം സൃഷ്ടിച്ച് അത് പരിഹരിക്കാം (റിവേഴ്സ്).

പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പരിശോധന എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാം.

ഉത്തരം: .

വിഷയം 2. വെക്റ്റർ ബീജഗണിതം.

ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ.

നിർവ്വചനം 2. വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻഓരോ അക്ഷത്തിനും എൽസെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യയാണ് എബിഈ അക്ഷം, വെക്‌ടറിൻ്റെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിൻ്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകൾക്കിടയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, സെഗ്‌മെൻ്റാണെങ്കിൽ “+” ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തതാണ് എബിഓറിയൻ്റഡ് (എണ്ണുന്നത് എലേക്ക് IN) വി നല്ല വശംഅക്ഷങ്ങൾ എൽകൂടാതെ അടയാളം "-" - അല്ലാത്തപക്ഷം (ചിത്രം 2 കാണുക).

പദവി: .

സിദ്ധാന്തം 1.ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ അതിൻ്റെ മോഡുലസിൻ്റെ ഗുണനത്തിനും വെക്‌ടറിനും അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും തുല്യമാണ് (ചിത്രം 3):

. (1)

ചിത്രം.3. ചിത്രം.4.

തെളിവ്. (ചിത്രം 3) ൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദിശ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ സമത്വം ശരിയാണ്. വിപരീത ഓറിയൻ്റേഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ (ചിത്രം 4) നമുക്ക് ഉണ്ട്. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

സ്വത്ത് 1. രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ ആകെത്തുകയും അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ഒരേ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള അവയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്.

ചിത്രം.5.

വെക്റ്ററുകളുടെ സാധ്യമായ ക്രമീകരണങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ കാര്യത്തിലെ തെളിവ് ചിത്രം 5-ൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. തീർച്ചയായും, നിർവചനം 2

പ്രോപ്പർട്ടി 1 എന്നത് വെക്റ്ററുകളുടെ ഏത് പരിമിതമായ പദങ്ങൾക്കും ശരിയാണ്.

സ്വത്ത് 2. ഒരു വെക്‌ടറിനെ l എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഈ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു

. (2)

നമുക്ക് സമത്വം തെളിയിക്കാം (2). വെക്റ്ററുകളും അച്ചുതണ്ടും ഒരേ കോണിൽ രൂപപ്പെടുമ്പോൾ. സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം

യഥാക്രമം വെക്റ്ററുകളും കോണുകളും രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അച്ചുതണ്ട്. സിദ്ധാന്തം 1

കാരണം, നമുക്ക് വ്യക്തമായ സമത്വം ലഭിക്കും

പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ നിന്നുള്ള ഫലം 1 ഒപ്പം 2. വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ അതേ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

വിഷയം 1. മെട്രിക്സുകളും സിസ്റ്റങ്ങളും

മാട്രിക്സ് ആശയം

നിർവ്വചനം 1.മാട്രിക്സ്ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന അക്കങ്ങളുടെയോ അക്ഷരമാലാ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയോ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പട്ടികയാണ് വലിപ്പം

.

ഇവിടെ, എ ഐ ജെ (ഐ=1,2,...,എം; ജെ=1,2,...എൻ) - മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ, ഐ- ലൈൻ നമ്പർ, ജെ- കോളം നമ്പർ. മെട്രിക്സുകളെ സാധാരണയായി വലിയ അക്ഷരങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിക്കും ലാറ്റിൻ അക്ഷരമാലഎ, ബി, സി മുതലായവ, അതുപോലെ അല്ലെങ്കിൽ . ചെയ്തത് m=nമാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു സമചതുരം Samachathuramഓർഡർ മാട്രിക്സ് എൻ.

എല്ലാ മൂലകങ്ങൾക്കും അസമമായ സൂചികകൾ ഉള്ള ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് i¹jപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഡയഗണൽ:

ഒരു ഡയഗണൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു സിംഗിൾ. ഐഡൻ്റിറ്റി മാട്രിക്സ് സാധാരണയായി E എന്ന അക്ഷരം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമായിരിക്കുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശൂന്യംകൂടാതെ θ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു വരിയോ ഒരു നിരയോ അടങ്ങുന്ന മെട്രിക്സുകളും ഉണ്ട്.

- മാട്രിക്സ് വരി; - മാട്രിക്സ് കോളം.

ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ സംഖ്യാ സ്വഭാവം ഡിറ്റർമിനൻ്റ്(അഥവാ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്).

2-ആം ഓർഡറിൻ്റെയും 3-ആം ഓർഡറിൻ്റെയും ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ്, അവയുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

2nd ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ്

നിർവ്വചനം 2. കുറിച്ച് രണ്ടാം ഓർഡർ ലിമിറ്റർമെട്രിക്സ് (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്) എന്നത് ഒരു ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുകയും തുല്യതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്. , അതാണ്

. (3)

മറ്റ് പദവികൾ:, .

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ 2-ഉം 3-ഉം ഓർഡറിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾക്ക് സാധുതയുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഫോർമുല

$ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(pmatrix) $ നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)\\a_(21)&a_(22) \end(vmatrix) = a_(11)\cdot a_(22) - a_(12)\ cdot a_(21) $$

പ്രധാന ഡയഗണലിലുള്ള $ a_(11)\cdot a_(22) $ എന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന്, $ a_(12)\cdot a_(21) $ എന്ന ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണനം കുറയ്ക്കുന്നു. ഈ നിയമം ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റിന് (!) മാത്രം ശരിയാണ്.

ഒരു മൂന്നാം ഓർഡർ മാട്രിക്സ് നൽകിയാൽ $ A = \begin(pmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32) &a_ (33) \end(pmatrix) $, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കണം:

$$ \Delta = \begin(vmatrix) a_(11)&a_(12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33) \end(vmatrix) = $$

$$ = a_(11)a_(22)a_(33) + a_(12)a_(23)a_(31)+a_(21)a_(32)a_(13) - a_(13)a_(22) a_(31)-a_(23)a_(32)a_(11)-a_(12)a_(21)a_(33) $$

പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

ഒരു മാട്രിക്സ് $ A = \begin(pmatrix) 1&2\\3&4 \end(pmatrix) $ നൽകട്ടെ, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം

ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? മാട്രിക്സ് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ ചതുരമാണ്, അതായത് നിരകളുടെ എണ്ണം വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്നും അവയിൽ 2 ഘടകങ്ങൾ വീതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നും നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് ആദ്യത്തെ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം. പ്രധാന ഡയഗണലിലെ മൂലകങ്ങളെ ഗുണിച്ച് അവയിൽ നിന്ന് ദ്വിതീയ ഡയഗണലിലെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം കുറയ്ക്കാം: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 1&2\\3&4 \end(vmatrix) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4-6 = -2 $$ നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഞങ്ങൾക്ക് അയയ്ക്കുക. ഞങ്ങൾ വിശദമായ പരിഹാരം നൽകും. നിങ്ങൾക്ക് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ പുരോഗതി കാണാനും വിവരങ്ങൾ നേടാനും കഴിയും. ഇത് കൃത്യസമയത്ത് നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് നേടാൻ സഹായിക്കും!

ഉത്തരം

$$ \Delta = -2 $$

ഉദാഹരണം 2

$ A = \begin(pmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(pmatrix) $ എന്ന മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം

പ്രശ്നം മൂന്നാം ഓർഡറിൻ്റെ ചതുര മാട്രിക്സ് ആയതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്തണം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ, ഫോർമുലയിലെ $ a_(ij) $ വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സിൽ നിന്നുള്ള മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതി: $$ \Delta = \begin(vmatrix) 2&2&1\\1&-3&-1\\3&4&-2 \end(vmatrix) = $$ $$ = 2\cdot (-3) \cdot (-2) + 2\cdot (-1) \cdot 3 + 1\cdot 4\cdot 1 - $$ $$ - 1\cdot (-3)\cdot 3 - (-1)\cdot 4\cdot 2 - 2\cdot 1\cdot (-2) = $$ $$ = 12 - 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$ ദ്വിതീയ ഡയഗണലിലും സമാനമായവയിലും മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം സ്ഥാപിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

ഉത്തരം

$$ \Delta = 31 $$

നിർവ്വചനം 6. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (1.4) മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്, D എന്ന സംഖ്യയാണ്.

തേർഡ്-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ, രണ്ട് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്കീമുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ലാതെ മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ഈ സ്കീമുകൾ അറിയപ്പെടുന്നത് " ത്രികോണ ഭരണം" (അല്ലെങ്കിൽ "നക്ഷത്ര ചിഹ്നം") കൂടാതെ " സാറസ് ഭരണം ".

ത്രികോണ നിയമം അനുസരിച്ച്, ഡയഗ്രാമിലെ വരികൾ ബന്ധിപ്പിച്ച മൂലകങ്ങൾ ആദ്യം ഗുണിക്കുകയും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

ആ. ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് ലഭിക്കും: a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32.

നേരായതോ തകർന്നതോ ആയ ഒരു വരിയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു.

തുടർന്ന് ഡയഗ്രാമിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ഗുണിച്ച് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു

ആ. ഞങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു തുക ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ലഭിക്കും a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32. അവസാനമായി, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ, രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യ തുകയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു. മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഒടുവിൽ ലഭിക്കും:

D=(a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 21 a 13 a 32)-(a 13 a 22 a 31 +a 12 a 21 a 33 +a 11 a 23 a 32).

സാറസിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച്, ആദ്യത്തെ രണ്ട് നിരകൾ വലതുവശത്തുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റിലേക്ക് ചേർക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഒരു ദിശയിലുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുകയും മറ്റൊരു ദിശയിലുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും കണക്കാക്കുന്നു. അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു (ഡയഗ്രം കാണുക):

ത്രികോണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഫലം സമാനമാകുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പിക്കാം.

ഉദാഹരണം. കമ്പ്യൂട്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റ്

പരിഹാരം. ആസ്ട്രിസ്ക് റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം

സർറസിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച്

ആ. രണ്ട് കംപ്യൂട്ടേഷണൽ സ്കീമുകൾക്കും ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിച്ചതുപോലെ ഒരേ ഫലം ലഭിക്കും.

സെക്കൻഡ് ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾക്കായി രൂപപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ പ്രോപ്പർട്ടികളും മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾക്ക് സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഏത് ഓർഡറിൻ്റെയും ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പ്രോപ്പർട്ടികൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഒരു ചതുര മാട്രിക്സ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ്:

a) ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം 1 ആണെങ്കിൽ, അതായത്. അതിൽ 1 സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്;

b) ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം 2 ആണെങ്കിൽ, അതായത്. അതിൽ 4 സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണനവും ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഗുണനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്;

c) ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിൻ്റെ ക്രമം 3 ആണെങ്കിൽ, അതായത്. അതിൽ 9 സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്പ്രധാന ഡയഗണലിൻ്റെയും ഈ ഡയഗണലിന് സമാന്തരമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, അതിൽ നിന്ന് ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൻ്റെയും ഈ ഡയഗണലിന് സമാന്തരമായ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും മൂലകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കുറച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

1. നിരകൾ നിരകളും നിരകൾ വരികളും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മാറില്ല

1. 2 സമാന ശ്രേണികളുള്ള ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്
2. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വരിയുടെ (വരി അല്ലെങ്കിൽ നിര) പൊതുവായ ഘടകം ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം

4. രണ്ട് സമാന്തര ശ്രേണികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു

5. ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങൾ രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രണ്ട് അനുബന്ധ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കാം.

6. ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങൾ ഒരു ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങളോട് ചേർത്താൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് മാറില്ല.

ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ചെറിയ മൂലകവും അതിൻ്റെ ബീജഗണിത പൂരകവും

ചെറിയ ഘടകം ഒരു IJ n-th ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്നത് i-th വരിയും j-th നിരയും മുറിച്ചുകടന്ന് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു n-1 ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റാണ്

IJ എന്ന മൂലകത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത പൂരകംഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്നത് അതിൻ്റെ മൈനർ (-1) i+ j കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി

ഉദാഹരണം

വിപരീത മാട്രിക്സ്

മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിനെ ഏകവചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു യൂണിയൻ, അത് അനുബന്ധ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുകയും ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്താൽ

മാട്രിക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു വിപരീതംതന്നിരിക്കുന്ന മെട്രിക്സിൻ്റെ അതേ ക്രമത്തിൻ്റെ ഐഡൻ്റിറ്റി മെട്രിക്സിന് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണെങ്കിൽ തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിലേക്ക്

അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തം വിപരീത മാട്രിക്സ്

ഈ മാട്രിക്‌സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചുള്ള അനുബന്ധ മാട്രിക്‌സിന് തുല്യമായ വിപരീത മാട്രിക്‌സിന് തുല്യമായ ഒരു വിപരീതമുണ്ട്.

വിപരീത മാട്രിക്സ് എ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. കമ്പ്യൂട്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റ്

1. ട്രാൻസ്പോസ് മാട്രിക്സ്

1. ഒരു യൂണിയൻ മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുക, ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്ത മാട്രിക്സിൻ്റെ എല്ലാ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളും കണക്കാക്കുക

1. ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

മെട്രിക്സ് മൈനർ mxn വലുപ്പമുള്ള തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത k വരികളുടെയും k നിരകളുടെയും കവലയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആണ്

മാട്രിക്സ് റാങ്ക്പൂജ്യമല്ലാത്ത മാട്രിക്സ് മൈനറിൻ്റെ ഉയർന്ന ക്രമമാണ്

നോട്ടേഷൻ r(A), rangA

റാങ്ക്സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം

സിസ്റ്റങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ.

m സമവാക്യങ്ങളും n അജ്ഞാതങ്ങളും അടങ്ങുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തെ ഫോം സിസ്റ്റം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അക്കങ്ങൾ എവിടെയാണ് എ IJ - സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങൾ, നമ്പറുകൾ b i - സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ

മാട്രിക്സ് റെക്കോർഡിംഗ് ഫോംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ

സിസ്റ്റം പരിഹാരംഅജ്ഞാതമായ c 1, c 2,…, c n മൂല്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു, അവ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും യഥാർത്ഥ തുല്യതകളായി മാറുന്നു. സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഒരു കോളം വെക്റ്റർ ആയി എഴുതാം.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത, അതിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒപ്പം നോൺ-ജോയിൻ്റ്, പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ.

ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം

പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു LU സിസ്റ്റം സ്ഥിരമായിരിക്കും.

ഒരു LU സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

1. ഗാസ് രീതി(എലിമെൻ്ററി ട്രാൻസ്ഫോർമേഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിലേക്കും പിന്നീട് കാനോനിക്കൽ ഒന്നിലേക്കും കുറയ്ക്കുക)

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

വരികൾ (നിരകൾ) പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു

ഒരു വരിയിലേക്ക് (നിര) മറ്റൊന്ന് ചേർക്കുന്നു, 0 അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

നമുക്ക് ഒരു വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സ് സൃഷ്ടിക്കാം:

നമുക്ക് ആദ്യ നിരയിലെയും ആദ്യ വരിയിലെയും മുൻനിര ഘടകം തിരഞ്ഞെടുത്ത്, എലമെൻ്റ് 1., അതിനെ ലീഡിംഗ് എന്ന് വിളിക്കാം. മുൻനിര ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വരി മാറില്ല. പ്രധാന ഡയഗണലിനു കീഴിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ പുനഃസജ്ജമാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യ വരി ചേർക്കുക, (-2) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് ആദ്യ വരി ചേർക്കുക, (-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ മാറ്റാം. ആദ്യ നിരയും ആദ്യ വരിയും മാനസികമായി മറികടന്ന് ശേഷിക്കുന്ന മാട്രിക്സിനായുള്ള അൽഗോരിതം തുടരുക. മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ 2-ആമത്തേത് ചേർക്കുക, 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഞങ്ങൾ വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, അവസാന വരിയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, അജ്ഞാതമായവ ഓരോന്നായി ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

2. മാട്രിക്സ് രീതി (AX=B, A -1 AX=A -1 B, X=A -1 B; പ്രധാന മാട്രിക്സിലേക്കുള്ള മാട്രിക്സ് വിപരീത പദങ്ങളുടെ കോളം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ)

3. ക്രാമർ രീതി.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

പരിഷ്കരിച്ച പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എവിടെയാണ്, അതിൽ i-th കോളം സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു നിരയിലേക്ക് മാറ്റി, അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആണ്.

വെക്‌ടറുകൾ.

വെക്റ്റർസംവിധാനം ചെയ്ത വിഭാഗമാണ്

ഏത് വെക്റ്ററും നീളവും (മോഡുലസ്) ദിശയും അനുസരിച്ചാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

പദവി: അല്ലെങ്കിൽ

എവിടെ വെക്‌ടറിൻ്റെ തുടക്കമാണ് A, വെക്‌ടറിൻ്റെ അവസാനമാണ് B, വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം.

വെക്റ്റർ വർഗ്ഗീകരണം

പൂജ്യം വെക്റ്റർനീളം പൂജ്യമായ വെക്‌ടറാണ്

യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർനീളം ഒന്നിന് തുല്യമായ വെക്റ്റർ ആണ്

തുല്യ വെക്റ്ററുകൾ- ഇവ ഒരേ നീളവും ദിശയും ഉള്ള രണ്ട് വെക്റ്ററുകളാണ്

വിപരീത വെക്റ്ററുകൾ- ഇവ രണ്ട് വെക്‌ടറുകളാണ്, അവയുടെ നീളം തുല്യവും ദിശകൾ വിപരീതവുമാണ്

കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ- ഒരേ രേഖയിലോ സമാന്തരരേഖയിലോ കിടക്കുന്ന രണ്ട് വെക്റ്ററുകളാണ് ഇവ

കോ-ഡയറക്ഷണൽവെക്‌ടറുകൾ ഒരേ ദിശയിലുള്ള രണ്ട് കോളിനിയർ വെക്‌റ്ററുകളാണ്

വിപരീതമായി സംവിധാനം ചെയ്തുവിപരീത ദിശകളുള്ള രണ്ട് കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളാണ് വെക്റ്ററുകൾ

കോപ്ലനാർഒരേ തലത്തിലോ സമാന്തര തലത്തിലോ കിടക്കുന്ന മൂന്ന് വെക്‌റ്ററുകളാണ് വെക്‌ടറുകൾ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സംവിധാനംഒരു തലത്തിലെ കോർഡിനേറ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ദിശയും ഉത്ഭവവുമുള്ള രണ്ട് പരസ്‌പര ലംബ വരകളാണ്, തിരശ്ചീന രേഖ abscissa axis എന്നും ലംബ രേഖയെ ഓർഡിനേറ്റ് ആക്‌സിസ് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും ഞങ്ങൾ രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകുന്നു: അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സംവിധാനംബഹിരാകാശത്തെ കോർഡിനേറ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ദിശയും ഉത്ഭവവുമുള്ള മൂന്ന് പരസ്‌പര ലംബമായ നേർരേഖകളാണ്, അതേസമയം നമുക്ക് നേരെയുള്ള തിരശ്ചീന നേർരേഖയെ അബ്‌സിസ്സ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, നമ്മുടെ വലതുവശത്തേക്ക് നയിക്കുന്ന തിരശ്ചീന നേർരേഖയെ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവും ലംബ നേർരേഖയുമാണ്. മുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നതിനെ ആപ്ലിക്കേഷൻ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിനും ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നമ്പറുകൾ നൽകുന്നു: abscissa, ordinate and applicate