ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. മട്ട ത്രികോണം

വിവിധ വഴികൾപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്

ഒമ്പതാം "എ" ക്ലാസ്സിലെ വിദ്യാർത്ഥി

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 8

ശാസ്ത്ര ഉപദേഷ്ടാവ്:

ഗണിത അധ്യാപകൻ,

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 8

കല. നൊവൊരൊജ്ഹ്ദെസ്ത്വെംസ്കയ

ക്രാസ്നോദർ മേഖല.

കല. നൊവൊരൊജ്ഹ്ദെസ്ത്വെംസ്കയ

വ്യാഖ്യാനം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ ഗതിയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അത് വളരെ ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു. നിരവധി ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം, ഭാവിയിൽ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ ജ്യാമിതി കോഴ്സുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം. ഈ സിദ്ധാന്തം അതിൻ്റെ രൂപവും തെളിവുകളുടെ രീതികളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചരിത്രപരമായ വസ്തുക്കളുടെ ഒരു സമ്പത്തിനാൽ ചുറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ജ്യാമിതിയുടെ വികാസത്തിൻ്റെ ചരിത്രം പഠിക്കുന്നത് ഈ വിഷയത്തോടുള്ള സ്നേഹം വളർത്തുന്നു, വൈജ്ഞാനിക താൽപ്പര്യം, പൊതു സംസ്കാരം, സർഗ്ഗാത്മകത എന്നിവയുടെ വികസനം പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഗവേഷണ കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

തിരയൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിറയ്ക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതായിരുന്നു സൃഷ്ടിയുടെ ലക്ഷ്യം. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് വിവിധ തെളിവുകളുടെ രീതികൾ കണ്ടെത്താനും പരിഗണിക്കാനും വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആഴത്തിലാക്കാനും സാധിച്ചു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ ഒരു മഹത്തായ സിദ്ധാന്തമാണെന്നും അതിന് വലിയ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നും ശേഖരിച്ച മെറ്റീരിയൽ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു.

ആമുഖം. ചരിത്രപരമായ പരാമർശം 5 പ്രധാന ഭാഗം 8

3. ഉപസംഹാരം 19

4. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യം 20
1. ആമുഖം. ചരിത്രപരമായ റഫറൻസ്.

സത്യത്തിൻ്റെ സാരാംശം അത് എന്നേക്കും നമുക്കുവേണ്ടിയാണ്,

ഒരിക്കലെങ്കിലും അവളുടെ ഉൾക്കാഴ്ചയിൽ നാം വെളിച്ചം കാണുമ്പോൾ,

പിന്നെ വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം

ഞങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അത് നിഷേധിക്കാനാവാത്തതും കുറ്റമറ്റതുമാണ്.

സന്തോഷിക്കാനായി, പൈതഗോറസ് ദേവന്മാരോട് ഒരു നേർച്ച നേർന്നു:

അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തെ സ്പർശിച്ചതിന്,

അവൻ നൂറു കാളകളെ അറുത്തു, നിത്യതയ്ക്ക് നന്ദി;

ഇരയ്ക്ക് ശേഷം അദ്ദേഹം പ്രാർത്ഥനകളും സ്തുതികളും നൽകി.

അന്നുമുതൽ, കാളകൾ മണക്കുമ്പോൾ, അവർ തള്ളുന്നു,

ആ പാത വീണ്ടും ഒരു പുതിയ സത്യത്തിലേക്ക് ആളുകളെ നയിക്കുന്നു,

അവർ ക്രോധത്തോടെ അലറുന്നു, അതിനാൽ കേൾക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല,

അത്തരം പൈതഗോറസ് എന്നെന്നേക്കുമായി അവരിൽ ഭീതി ജനിപ്പിച്ചു.

പുതിയ സത്യത്തെ ചെറുക്കാൻ ശക്തിയില്ലാത്ത കാളകൾ,

എന്താണ് അവശേഷിക്കുന്നത്? - നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾ അടയ്ക്കുക, അലറുക, വിറയ്ക്കുക.

പൈതഗോറസ് തൻ്റെ സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെ തെളിയിച്ചുവെന്ന് അറിയില്ല. ഈജിപ്ഷ്യൻ ശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ശക്തമായ സ്വാധീനത്തിലാണ് അദ്ദേഹം അത് കണ്ടെത്തിയത് എന്നത് ഉറപ്പാണ്. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് - 3, 4, 5 വശങ്ങളുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ - പൈതഗോറസിൻ്റെ ജനനത്തിന് വളരെ മുമ്പുതന്നെ പിരമിഡുകളുടെ നിർമ്മാതാക്കൾക്ക് അറിയാമായിരുന്നു, അദ്ദേഹം തന്നെ ഈജിപ്ഷ്യൻ പുരോഹിതന്മാരുമായി 20 വർഷത്തിലേറെ പഠിച്ചു. തൻ്റെ പ്രസിദ്ധമായ സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച പൈതഗോറസ് ദേവന്മാർക്ക് ഒരു കാളയെ ബലിയർപ്പിച്ചുവെന്നും മറ്റ് സ്രോതസ്സുകൾ പ്രകാരം 100 കാളകളെ പോലും ബലിയർപ്പിച്ചുവെന്നും ഒരു ഐതിഹ്യം സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് പൈതഗോറസിൻ്റെ ധാർമ്മികവും മതപരവുമായ വീക്ഷണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. സാഹിത്യ സ്രോതസ്സുകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് വായിക്കാൻ കഴിയും, "മൃഗങ്ങളെ കൊല്ലുന്നത് പോലും അദ്ദേഹം വിലക്കി, അവയ്ക്ക് ഭക്ഷണം നൽകുന്നത് വളരെ കുറവാണ്, കാരണം മൃഗങ്ങൾക്കും നമ്മെപ്പോലെ ആത്മാക്കൾ ഉണ്ട്." പൈതഗോറസ് തേൻ, റൊട്ടി, പച്ചക്കറികൾ, ഇടയ്ക്കിടെ മത്സ്യം എന്നിവ മാത്രം കഴിച്ചു. ഇതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാം: "... ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഹൈപ്പോടെനസ് കാലുകളുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ പോലും, അദ്ദേഹം ഗോതമ്പ് കുഴച്ചുകൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച കാളയെ ബലിയർപ്പിച്ചു."

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജനപ്രീതി വളരെ വലുതാണ്, അതിൻ്റെ തെളിവുകൾ ഫിക്ഷനിൽ പോലും കാണപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് എഴുത്തുകാരനായ ഹക്സ്ലിയുടെ "യംഗ് ആർക്കിമിഡീസ്" എന്ന കഥയിൽ. അതേ തെളിവ്, എന്നാൽ ഒരു ഐസോസിലിസ് വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക കേസിന്, പ്ലേറ്റോയുടെ ഡയലോഗ് "മെനോ" ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

യക്ഷിക്കഥ "വീട്".

“വിമാനങ്ങൾ പോലും പറക്കാത്ത ദൂരെ, ദൂരെയാണ് ജ്യാമിതിയുടെ രാജ്യം. ഈ അസാധാരണ രാജ്യത്ത് ഒരു അത്ഭുതകരമായ നഗരം ഉണ്ടായിരുന്നു - ടിയോറെം നഗരം. ഒരു ദിവസം ഞാൻ ഈ നഗരത്തിൽ വന്നു മനോഹരിയായ പെൺകുട്ടി Hypotenuse എന്ന് പേരിട്ടു. അവൾ ഒരു മുറി വാടകയ്ക്ക് എടുക്കാൻ ശ്രമിച്ചു, പക്ഷേ അവൾ എവിടെ അപേക്ഷിച്ചിട്ടും അവൾ നിരസിച്ചു. അവസാനം അവൾ പൊളിഞ്ഞ വീടിൻ്റെ അടുത്തെത്തി മുട്ടി. സ്വയം വലത് ആംഗിൾ എന്ന് സ്വയം വിളിക്കുന്ന ഒരാൾ അവൾക്ക് വാതിൽ തുറന്നു, അവൻ തന്നോടൊപ്പം ജീവിക്കാൻ ഹൈപ്പോടെനസിനെ ക്ഷണിച്ചു. റൈറ്റ് ആംഗിളും കാറ്റെറ്റ്സ് എന്നു പേരുള്ള അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ രണ്ട് ചെറിയ ആൺമക്കളും താമസിച്ചിരുന്ന വീട്ടിൽ ഹൈപ്പോടെൻസ് തുടർന്നു. അതിനുശേഷം, റൈറ്റ് ആംഗിൾ വീട്ടിലെ ജീവിതം ഒരു പുതിയ രീതിയിൽ മാറി. ജനാലയിൽ പൂക്കൾ നട്ടുപിടിപ്പിച്ച ഹൈപ്പോട്ടെനസ് മുൻവശത്തെ പൂന്തോട്ടത്തിൽ ചുവന്ന റോസാപ്പൂക്കൾ നട്ടു. വീടിന് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആകൃതി ലഭിച്ചു. രണ്ട് കാലുകളും ഹൈപ്പോടെനസിനെ ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടുകയും അവരുടെ വീട്ടിൽ എന്നേക്കും താമസിക്കാൻ അവളോട് ആവശ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. വൈകുന്നേരങ്ങളിൽ, ഈ സൗഹൃദ കുടുംബം കുടുംബ മേശയിൽ ഒത്തുകൂടുന്നു. ചിലപ്പോൾ റൈറ്റ് ആംഗിൾ തൻ്റെ കുട്ടികളുമായി ഒളിച്ചു കളിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും അവൻ നോക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഹൈപ്പോടെനസ് വളരെ സമർത്ഥമായി മറയ്ക്കുന്നു, അത് കണ്ടെത്താൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഒരു ദിവസം, കളിക്കുമ്പോൾ, റൈറ്റ് ആംഗിൾ രസകരമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ശ്രദ്ധിച്ചു: കാലുകൾ കണ്ടെത്താൻ അയാൾക്ക് കഴിഞ്ഞാൽ, ഹൈപ്പോടെനസ് കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ റൈറ്റ് ആംഗിൾ ഈ പാറ്റേൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഞാൻ പറയണം, വളരെ വിജയകരമായി. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഈ വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

(എ. ഒകുനെവിൻ്റെ പുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് "പാഠത്തിന് നന്ദി, കുട്ടികൾ").

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു തമാശ രൂപീകരണം:

നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണം നൽകിയാൽ

കൂടാതെ, ഒരു വലത് കോണിൽ,

അതാണ് ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ചതുരം

ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

ഞങ്ങൾ കാലുകൾ ചതുരമാക്കുന്നു,

ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു -

അത്രയും ലളിതമായ രീതിയിൽ

ഞങ്ങൾ ഫലത്തിലേക്ക് വരും.

പത്താം ക്ലാസിൽ ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെയും ജ്യാമിതിയുടെയും തുടക്കവും പഠിക്കുമ്പോൾ, എട്ടാം ക്ലാസിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കുന്ന രീതിക്ക് പുറമേ, മറ്റ് തെളിവ് രീതികളും ഉണ്ടെന്ന് എനിക്ക് ബോധ്യമായി. നിങ്ങളുടെ പരിഗണനയ്ക്കായി ഞാൻ അവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
2. പ്രധാന ഭാഗം.

സിദ്ധാന്തം. ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ ഒരു ചതുരം ഉണ്ട്

ഹൈപ്പോടെനസ് കാലുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

1 രീതി.

ബഹുഭുജങ്ങളുടെ മേഖലകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോട്ടീനസും കാലുകളും തമ്മിൽ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു ബന്ധം ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കും.

തെളിവ്.

എ, സിഹൈപ്പോടെൻസും കൂടെ(ചിത്രം 1, എ).

അത് തെളിയിക്കട്ടെ c²=a²+b².

തെളിവ്.

നമുക്ക് ത്രികോണം വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിലേക്ക് പൂർത്തിയാക്കാം a + bചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് പോലെ. 1, ബി. ഈ ചതുരത്തിൻ്റെ S ഏരിയ (a + b)² ആണ്. മറുവശത്ത്, ഈ ചതുരം നാല് തുല്യ വലത് കോണുകളുള്ള ത്രികോണങ്ങളാൽ നിർമ്മിതമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ½ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട് ഓ, വശമുള്ള ഒരു ചതുരം കൂടെ,അതുകൊണ്ട് എസ് = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

അങ്ങനെ,

(a + b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.
2 രീതി.

"സമാന ത്രികോണങ്ങൾ" എന്ന വിഷയം പഠിച്ച ശേഷം, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിൽ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനത പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കണ്ടെത്തി. അതായത്, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാൽ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ശരാശരി ആനുപാതികമാണ് എന്ന പ്രസ്താവന ഞാൻ ഉപയോഗിച്ചു വലത് കോൺ.

വലത് ആംഗിൾ സി, സിഡി - ഉയരം (ചിത്രം 2) ഉള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക. അത് തെളിയിക്കട്ടെ എ.സി² +NE² = എബി² .

തെളിവ്.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലിനെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി:

AC = , SV = .

നമുക്ക് സ്ക്വയർ ചെയ്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ ചേർക്കാം:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), ഇവിടെ AD+DB=AB, തുടർന്ന്

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.
3 രീതി.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിശിതകോണിൻ്റെ കോസൈനിൻ്റെ നിർവചനം പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ചിത്രം നോക്കാം. 3.

തെളിവ്:

ABC എന്നത് വലത് കോണുള്ള C ഉള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ. C. വലത് കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഉയരമുള്ള CD വരയ്ക്കാം.

ഒരു കോണിൻ്റെ കോസൈൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം:

cos A = AD/AC = AC/AB. അതിനാൽ AB * AD = AC²

അതുപോലെ,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

അതിനാൽ AB * BD = BC².

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ ടേം പ്രകാരം ചേർത്ത്, AD + DB = AB എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എ.സി² + സൂര്യൻ² = AB (AD + DB) = എബി²

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.
4 രീതി.

"ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം" എന്ന വിഷയം പഠിച്ച ശേഷം, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മറ്റൊരു രീതിയിൽ തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണം പരിഗണിക്കുക എ, സിഹൈപ്പോടെൻസും കൂടെ. (ചിത്രം 4).

അത് തെളിയിക്കട്ടെ c²=a²+b².

തെളിവ്.

പാപം B=ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളത് ; കോസ് B= a/c , തുടർന്ന്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതകൾ വർഗ്ഗീകരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².

അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പാപം² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², എവിടെ sin² IN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², അതിനാൽ,

c²= a² + b².

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

5 രീതി.

ഈ തെളിവ് കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങൾ മുറിച്ച് (ചിത്രം 5) ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭാഗങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

6 രീതി.

വശത്ത് തെളിവിനായി സൂര്യൻഞങ്ങൾ പണിയുകയാണ് ബി.സി.ഡി എബിസി(ചിത്രം 6). സമാന രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ അവയുടെ സമാന രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരങ്ങളായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം:

ആദ്യത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

7 രീതി.

നൽകിയത്(ചിത്രം 7):

എബിസി,= 90° , സൂര്യൻ= a, AC=b, AB = c.

തെളിയിക്കുക:c2 = a2 +b2.

തെളിവ്.

കാല് അനുവദിക്കുക ബി എ.നമുക്ക് സെഗ്മെൻ്റ് തുടരാം NEഓരോ പോയിൻ്റിനും INകൂടാതെ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക ബിഎംഡിഅങ്ങനെ പോയിൻ്റുകൾ എംഒപ്പം എനേർരേഖയുടെ ഒരു വശത്ത് കിടന്നു സി.ഡികൂടാതെ, BD =b, ബി.ഡി.എം= 90°, ഡിഎം= എ, അപ്പോൾ ബിഎംഡി= എബിസിരണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിലും. പോയിൻ്റുകൾ എ ഒപ്പം എംസെഗ്മെൻ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുക എ.എം.നമുക്ക് ഉണ്ട് എം.ഡി. സി.ഡിഒപ്പം എ.സി. സിഡി,അതിനർത്ഥം അത് നേരായതാണ് എ.സിവരയ്ക്ക് സമാന്തരമായി എം.ഡി.കാരണം എം.ഡി.< АС, പിന്നെ നേരെ സി.ഡിഒപ്പം എ.എം.സമാന്തരമല്ല. അതുകൊണ്ടു, AMDC-ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രപസോയിഡ്.

വലത് ത്രികോണങ്ങളിൽ ABC ഉം ബിഎംഡി 1 + 2 = 90°, 3 + 4 = 90°, എന്നാൽ = = എന്നതിനാൽ 3 + 2 = 90°; പിന്നെ എ.വി.എം=180° - 90° = 90°. ട്രപസോയിഡ് ആണെന്ന് തെളിഞ്ഞു എഎംഡിസിമൂന്ന് ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത വലത് ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് ഏരിയ ആക്സിയോമുകൾ പ്രകാരം

(a+b)(a+b)

അസമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

എb + c2 + ab = (a +b) , 2 എബി+ c2 = a2+ 2aബി+ b2,

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

8 രീതി.

ഈ രീതി ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസും കാലുകളും അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് എബിസി.അവൻ അനുബന്ധ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയും ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 8).

തെളിവ്.

1) ഡിബിസി= FBA= 90 °;

DBC+ എബിസി= FBA+ എബിസി,അർത്ഥമാക്കുന്നത്, FBC = DBA.

അങ്ങനെ, FBC=എബിഡി(രണ്ട് വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിലും).

2) , ഇവിടെ AL DE, BD ഒരു പൊതു അടിത്തറയായതിനാൽ, DL-ആകെ ഉയരം.

3) , FB ഒരു അടിത്തറയായതിനാൽ, എബി- ആകെ ഉയരം.

4)

5) അതുപോലെ, അത് തെളിയിക്കാനാകും

6) ടേം അനുസരിച്ച് ടേം ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

, BC2 = AB2 + AC2 . തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

9 രീതി.

തെളിവ്.

1) അനുവദിക്കുക എബിഡിഇ- ഒരു ചതുരം (ചിത്രം 9), അതിൻ്റെ വശം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിന് തുല്യമാണ് എബിസി= s, BC = a, AC =b).

2) അനുവദിക്കുക ഡി.കെ ബി.സി.ഒപ്പം DK = സൂര്യൻ, 1 + 2 = 90° (ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂർച്ചയുള്ള കോണുകൾ പോലെ), 3 + 2 = 90° (ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ കോൺ പോലെ), എബി= BD(ചതുരത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ).

അർത്ഥമാക്കുന്നത്, എബിസി= ബി.ഡി.കെ(ഹൈപ്പോടെന്യൂസും അക്യൂട്ട് ആംഗിളും വഴി).

3) അനുവദിക്കുക EL ഡി.കെ., എ.എം. ഇ.എൽ. ABC = BDK = DEL = EAM (കാലുകളോടെ) എന്ന് എളുപ്പത്തിൽ തെളിയിക്കാനാകും എഒപ്പം b).പിന്നെ കെ.എസ്= സെമി= എം.എൽ.= എൽ.കെ.= എ -ബി.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (എ - ബി),കൂടെ2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

10 രീതി.

"പൈതഗോറിയൻ പാൻ്റ്സ്" (ചിത്രം 10) എന്ന് തമാശയായി വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ചിത്രത്തിൽ തെളിവ് നടത്താം. വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളെ തുല്യ ത്രികോണങ്ങളാക്കി മാറ്റുക എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ ആശയം, അത് ഒരുമിച്ച് ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ചതുരം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

എബിസിഅമ്പടയാളം കാണിക്കുന്നതുപോലെ അത് നീക്കുക, അത് സ്ഥാനം പിടിക്കുന്നു കെ.ഡി.എൻ.ബാക്കിയുള്ള ചിത്രം എകെഡിസിബിസമചതുരത്തിൻ്റെ തുല്യ വിസ്തീർണ്ണം എ.കെ.ഡി.സിഇതൊരു സമാന്തരരേഖയാണ് എ.കെ.എൻ.ബി.

ഒരു പാരലലോഗ്രാം മോഡൽ നിർമ്മിച്ചു എ.കെ.എൻ.ബി. സൃഷ്ടിയുടെ ഉള്ളടക്കത്തിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഞങ്ങൾ സമാന്തരചലനം പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു. ഒരു സമാന്തര ത്രികോണത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനം കാണിക്കാൻ, വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മുന്നിൽ, ഞങ്ങൾ മോഡലിൽ ഒരു ത്രികോണം മുറിച്ച് താഴേക്ക് നീക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എ.കെ.ഡി.സിദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായി മാറി. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

ഒരു വശത്ത് നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിന് ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം എ(ചിത്രം 11,എ):

a) സമചതുരം തുല്യ സമാന്തരമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 11.6):

b) സമാന്തരരേഖ ഒരു പാദത്തിൽ കറങ്ങുന്നു (ചിത്രം 12):

c) സമാന്തരരേഖ ഒരു തുല്യ ദീർഘചതുരമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 13): 11 രീതി.

തെളിവ്:

PCL -നേരായ (ചിത്രം 14);

KLOA= എ.സി.പി.എഫ്= എസിഇഡി= a2;

എൽജിബിഒ= SVMR =CBNQ= ബി 2;

എ.കെ.ജി.ബി= AKLO +എൽജിബിഒ= c2;

c2 = a2 + b2.

തെളിവ് തീർന്നു .

12 രീതി.

അരി. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു യഥാർത്ഥ തെളിവ് ചിത്രം 15 വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഇവിടെ: വലത് ആംഗിൾ C ഉള്ള ABC ത്രികോണം; ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ് ബി.എഫ്.ലംബമായി NEഅതിന് തുല്യമായ, സെഗ്മെൻ്റ് BEലംബമായി എബിഅതിന് തുല്യമായ, സെഗ്മെൻ്റ് എ.ഡിലംബമായി എ.സിഅതിന് തുല്യവും; പോയിൻ്റുകൾ എഫ്, സി,ഡിഒരേ വരിയിൽ പെട്ടതാണ്; ചതുർഭുജങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ്.ബിഒപ്പം ASVEവലിപ്പത്തിൽ തുല്യമാണ്, മുതൽ ABF = ECB;ത്രികോണങ്ങൾ എ.ഡി.എഫ്ഒപ്പം എസിഇവലിപ്പത്തിൽ തുല്യമാണ്; രണ്ട് തുല്യ ചതുർഭുജങ്ങളിൽ നിന്നും അവ പങ്കിടുന്ന ത്രികോണം കുറയ്ക്കുക എബിസി,നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

, c2 = a2 + b2.

തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

13 രീതി.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം, ഒരു വശത്ത്, തുല്യമാണ് , മറ്റൊന്നിനൊപ്പം, ,

3. ഉപസംഹാരം.

തിരയൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിറയ്ക്കുകയും സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതായിരുന്നു സൃഷ്ടിയുടെ ലക്ഷ്യം. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ പേജുകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് അത് തെളിയിക്കാനും വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആഴത്തിലാക്കാനും വിവിധ മാർഗങ്ങൾ കണ്ടെത്താനും പരിഗണിക്കാനും സാധിച്ചു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ജ്യാമിതിയുടെ മഹത്തായ സിദ്ധാന്തമാണെന്നും അതിന് വലിയ സൈദ്ധാന്തികവും പ്രായോഗികവുമായ പ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നും ഞാൻ ശേഖരിച്ച മെറ്റീരിയൽ എന്നെ കൂടുതൽ ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നു. ഉപസംഹാരമായി, ഞാൻ പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു: പൈതഗോറിയൻ ത്രിമൂർത്തി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജനപ്രീതിക്ക് കാരണം അതിൻ്റെ സൗന്ദര്യവും ലാളിത്യവും പ്രാധാന്യവുമാണ്!

4. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യം.

1. വിനോദ ബീജഗണിതം. . മോസ്കോ "സയൻസ്", 1978.

2. 24/2001 "സെപ്റ്റംബർ ആദ്യം" എന്ന പത്രത്തിന് പ്രതിവാര വിദ്യാഭ്യാസപരവും രീതിശാസ്ത്രപരവുമായ സപ്ലിമെൻ്റ്.

3. ജ്യാമിതി 7-9. തുടങ്ങിയവ.

4. ജ്യാമിതി 7-9. തുടങ്ങിയവ.

(ബെർലിൻ മ്യൂസിയത്തിൻ്റെ പാപ്പിറസ് 6619 പ്രകാരം). കാൻ്ററിൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, 3, 4, 5 എന്നീ വശങ്ങളുള്ള വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് കോണുകൾ നിർമ്മിച്ചതാണ് ഹാർപിഡോനാപ്റ്റസ് അല്ലെങ്കിൽ "കയർ പുള്ളറുകൾ".

അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. നമുക്ക് 12 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു കയർ എടുത്ത് ഒരറ്റത്ത് നിന്ന് 3 മീറ്ററും മറ്റേ അറ്റത്ത് നിന്ന് 4 മീറ്ററും അകലത്തിൽ നിറമുള്ള ഒരു സ്ട്രിപ്പ് കെട്ടാം. വലത് കോൺ 3 മുതൽ 4 മീറ്റർ വരെ നീളമുള്ള വശങ്ങൾക്കിടയിലായിരിക്കും. എല്ലാ മരപ്പണിക്കാരും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു തടി ചതുരം ഉപയോഗിച്ചാൽ അവരുടെ നിർമ്മാണ രീതി അതിരുകടന്നതായി ഹാർപെഡോനാപ്ഷ്യൻമാരെ എതിർക്കാം. തീർച്ചയായും, ഈജിപ്ഷ്യൻ ഡ്രോയിംഗുകൾ അറിയപ്പെടുന്നു, അതിൽ അത്തരമൊരു ഉപകരണം കാണപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു മരപ്പണി വർക്ക്ഷോപ്പ് ചിത്രീകരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗുകൾ.

ബാബിലോണിയക്കാർക്കിടയിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് കുറച്ചുകൂടി അറിയാം. ഹമ്മുറാബിയുടെ കാലം മുതൽ, അതായത് ബിസി 2000 വരെയുള്ള ഒരു വാചകത്തിൽ. ഇ. , ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയയിൽ അവർക്ക് ചില സന്ദർഭങ്ങളിലെങ്കിലും വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ കഴിഞ്ഞു. ഒരു വശത്ത്, ഈജിപ്ഷ്യൻ, ബാബിലോണിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിലവിലെ അറിവിൻ്റെ നിലവാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, മറുവശത്ത്, ഗ്രീക്ക് സ്രോതസ്സുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിമർശനാത്മക പഠനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വാൻ ഡെർ വേർഡൻ (ഒരു ഡച്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ) ഉയർന്ന സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് നിഗമനം ചെയ്തു. ഹൈപ്പോടെന്യൂസിൻ്റെ ചതുരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം ബിസി പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ തന്നെ ഇന്ത്യയിൽ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നു. ഇ.

ഏകദേശം 400 ബി.സി. ബിസി, പ്രോക്ലസ് അനുസരിച്ച്, ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതിയും സംയോജിപ്പിച്ച് പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്പിൾസ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി പ്ലേറ്റോ നൽകി. ഏകദേശം 300 ബി.സി. ഇ. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പഴയ അച്ചുതണ്ട് തെളിവ് യൂക്ലിഡിൻ്റെ മൂലകങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.

ഫോർമുലേഷനുകൾ

ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം:

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഇപ്രകാരമാണ്:

ബീജഗണിത രൂപീകരണം:

അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഒപ്പം കാലുകളുടെ നീളം:

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്; ഇതിന് ഏരിയ എന്ന ആശയം ആവശ്യമില്ല. അതായത്, പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക:

തെളിവ്

ഓൺ ഈ നിമിഷംഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ അത്തരം വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയിലുള്ള തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

അനുവദിക്കുക എബിസിവലത് കോണുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് സി. നമുക്ക് ഉയരം വരയ്ക്കാം സിഅതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം സൂചിപ്പിക്കുക എച്ച്. ത്രികോണം ACHഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിസിരണ്ട് മൂലകളിൽ. അതുപോലെ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്സമാനമായ എബിസി. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

അത് കൂട്ടിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടും

, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്

ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള തെളിവുകൾ

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവാണ് അവയെല്ലാം പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

സജ്ജീകരണത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

1. ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമുക്ക് നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ക്രമീകരിക്കാം.
2. വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സിരണ്ട് നിശിത കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90° ആയതിനാൽ ഒരു ചതുരം ആണ്, നേർകോണ് 180° ആണ്.
3. മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്, വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുക ആന്തരിക ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം.

ക്യു.ഇ.ഡി.

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ്

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് വിസ്തീർണ്ണം വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C വലത്കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI, HAKJ, യഥാക്രമം. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

DECA ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കും: ഒരേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തന്നിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി നിർവചിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA യുടെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (ത്രികോണ BDA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). ഈ സമത്വം വ്യക്തമാണ്: ത്രികോണങ്ങൾ ഇരുവശത്തും തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും. അതായത് - AB=AK, AD=AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK 90° ത്രികോണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ചോദ്യം ഒത്തുചേരും (ചതുരത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിലെ കോൺ 90° ആയതിനാൽ).

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG യുടെയും BHJI ചതുരത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്.

അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. ഈ തെളിവിന് പിന്നിലെ ആശയം മുകളിലെ ആനിമേഷനിലൂടെ കൂടുതൽ ചിത്രീകരിക്കുന്നു.

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്ന ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കാം, സെഗ്മെൻ്റ് ചതുരത്തെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (നിർമ്മാണത്തിൽ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ).

പോയിൻ്റിന് ചുറ്റും 90-ഡിഗ്രി എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ഭ്രമണം ഉപയോഗിച്ച്, ഷേഡുള്ള രൂപങ്ങളുടെ തുല്യത ഞങ്ങൾ കാണുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചെറിയ ചതുരങ്ങളുടെ (കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ചത്) പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിനും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് വലിയ ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ചത്) കൂടാതെ യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണവും. അതിനാൽ, ചെറിയ ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ പകുതി തുക വലിയ ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഹൈപ്പോടെനസ്.

അനന്തമായ രീതിയിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവുകൾ പലപ്പോഴും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന പ്രശസ്ത ഇംഗ്ലീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഹാർഡിക്ക് കാരണമാകുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗിലേക്ക് നോക്കുകയും വശത്തെ മാറ്റം നിരീക്ഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എ, അനന്തമായ സൈഡ് ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾക്കായി നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം എഴുതാം കൂടെഒപ്പം എ(ത്രികോണ സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച്):

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

കൂടുതൽ പൊതുവായ പദപ്രയോഗംരണ്ട് കാലുകളുടെയും വർദ്ധനവുണ്ടായാൽ ഹൈപ്പോടെനസ് മാറ്റാൻ

ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അങ്ങനെ നമ്മൾ ആഗ്രഹിച്ച ഉത്തരത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളതുപോലെ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും തമ്മിലുള്ള രേഖീയ ആനുപാതികത കാരണം അന്തിമ ഫോർമുലയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആശ്രിതത്വം ദൃശ്യമാകുന്നു, അതേസമയം തുക വ്യത്യസ്ത കാലുകളുടെ വർദ്ധനവിൽ നിന്നുള്ള സ്വതന്ത്ര സംഭാവനകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

കാലുകളിലൊന്നിൽ വർദ്ധനവ് അനുഭവപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ലഭിക്കും (ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽകാല്). അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഏകീകരണ സ്ഥിരാങ്കം

വ്യതിയാനങ്ങളും പൊതുവൽക്കരണങ്ങളും

മൂന്ന് വശങ്ങളിലും സമാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ

സമാന ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം, പച്ച ആകൃതികളുടെ വിസ്തീർണ്ണം A + B = നീല C യുടെ വിസ്തീർണ്ണം

സമാനമായ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം

യൂക്ലിഡ് തൻ്റെ കൃതിയിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ സാമാന്യവൽക്കരിച്ചു തുടക്കം, വശങ്ങളിലെ ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം സമാനമായ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകളിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ സമാനമായ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ(യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി കാണുക) ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ, അപ്പോൾ രണ്ട് ചെറിയ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വലിയ രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഈ സാമാന്യവൽക്കരണത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം, അത്തരമൊരു ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഏത് വശത്തിൻ്റെയും നീളത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന്. അതിനാൽ, പ്രദേശങ്ങളുമായി സമാനമായ കണക്കുകൾക്കായി എ, ബിഒപ്പം സിനീളമുള്ള വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു എ, ബിഒപ്പം സി, നമുക്ക് ഉണ്ട്:

പക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, എ 2 + ബി 2 = സി 2 പിന്നെ എ + ബി = സി.

നേരെമറിച്ച്, നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ എ + ബി = സിപൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാതെ സമാനമായ മൂന്ന് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾക്കായി, നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം തന്നെ തെളിയിക്കാനാകും, വിപരീത ദിശയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആരംഭ കേന്ദ്ര ത്രികോണം ഒരു ത്രികോണമായി വീണ്ടും ഉപയോഗിക്കാം സിഹൈപ്പോടെനസിലും സമാനമായ രണ്ട് വലത് ത്രികോണങ്ങളിലും ( എഒപ്പം ബി), മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, അവ കേന്ദ്ര ത്രികോണത്തെ അതിൻ്റെ ഉയരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് രൂപപ്പെടുന്നത്. രണ്ട് ചെറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക മൂന്നാമത്തേതിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. എ + ബി = സികൂടാതെ, മുമ്പത്തെ തെളിവ് നിറവേറ്റുന്നു റിവേഴ്സ് ഓർഡർ, നമുക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം a 2 + b 2 = c 2 ലഭിക്കും.

കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തമാണ് പ്രത്യേക കേസ്ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിലെ വശങ്ങളുടെ നീളവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന കോസൈനുകളുടെ കൂടുതൽ പൊതുവായ സിദ്ധാന്തം:

ഇവിടെ θ എന്നത് വശങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോണാണ് എഒപ്പം ബി.

θ 90 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ കോസ് θ = 0, സൂത്രവാക്യം സാധാരണ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കുന്നു.

സ്വതന്ത്ര ത്രികോണം

വശങ്ങളുള്ള ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുത്ത ഏതെങ്കിലും കോണിലേക്ക് എ, ബി, സിനമുക്ക് ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണം ആലേഖനം ചെയ്യാം, അതിൻ്റെ ബേസ് θ ലെ തുല്യ കോണുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത കോണിന് തുല്യമാണ്. തിരഞ്ഞെടുത്ത ആംഗിൾ θ നിയുക്ത വശത്തിന് എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം സി. തൽഫലമായി, വശത്തിന് എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ആംഗിൾ θ ഉള്ള ABD ത്രികോണം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു എപാർട്ടികളും ആർ. രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നത് കോണിൻ്റെ θ ആണ്, അത് വശത്തിന് എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ബിപാർട്ടികളും കൂടെനീളം എസ്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ. ഈ മൂന്ന് ത്രികോണങ്ങളിലെ വശങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് താബിത് ഇബ്‌നു ഖുറ വാദിച്ചു:

θ ആംഗിൾ π/2 നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിൻ്റെ അടിഭാഗം ചെറുതായിത്തീരുകയും r, s എന്നീ രണ്ട് വശങ്ങളും പരസ്പരം ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. θ = π/2 ആകുമ്പോൾ, ADB ഒരു വലത് ത്രികോണമായി മാറുന്നു, ആർ + എസ് = സിനമുക്ക് പ്രാരംഭ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ലഭിക്കും.

വാദങ്ങളിൽ ഒന്ന് പരിഗണിക്കാം. ട്രയാംഗിൾ എബിസിക്ക് എബിഡി ത്രികോണത്തിൻ്റെ അതേ കോണുകൾ ഉണ്ട്, എന്നാൽ വിപരീത ക്രമത്തിലാണ്. (രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുണ്ട് പൊതുവായ കോൺ B ശീർഷത്തിൽ, രണ്ടിനും θ കോണും ഒരേ മൂന്നാം കോണും ഉണ്ട്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക) അതനുസരിച്ച്, ABC താഴത്തെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, DBA ത്രികോണത്തിൻ്റെ ABD പ്രതിഫലനത്തിന് സമാനമാണ്. എതിർവശങ്ങളും കോണിനോട് ചേർന്നുള്ളവയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നമുക്ക് എഴുതാം θ,

മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രതിഫലനവും,

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിച്ച് ഈ രണ്ട് അനുപാതങ്ങൾ ചേർക്കാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

സമാന്തരരേഖകൾ വഴിയുള്ള അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം

അനിയന്ത്രിതമായ ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള സാമാന്യവൽക്കരണം,
ഹരിത പ്രദേശം പ്ലോട്ട് = ഏരിയനീല

മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന തീസിസിൻ്റെ തെളിവ്

സമചതുരങ്ങൾക്ക് പകരം മൂന്ന് വശങ്ങളിൽ സമാന്തരചലനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് അല്ലാത്ത ത്രികോണങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സാമാന്യവൽക്കരണം നടത്താം. (ചതുരങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.) ഒരു നിശിത ത്രികോണത്തിന്, നീളമുള്ള വശത്തുള്ള സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളിലെ സമാന്തരചലനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് മുകളിലെ ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ വശം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു (അമ്പടയാളങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അളവുകൾ സമാനമാണ് കൂടാതെ താഴത്തെ സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു). സമാന്തരചലനങ്ങളുള്ള സമാന്തരങ്ങളുടെ ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലിന് പൈതഗോറസിൻ്റെ പ്രാരംഭ സിദ്ധാന്തവുമായി വ്യക്തമായ സാമ്യമുണ്ട്, ഇത് എഡി 4-ൽ അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ പപ്പസ് രൂപപ്പെടുത്തിയതാണെന്ന് കരുതപ്പെടുന്നു. ഇ.

താഴെയുള്ള ചിത്രം തെളിവിൻ്റെ പുരോഗതി കാണിക്കുന്നു. ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം നോക്കാം. ഇടത് പച്ച സമാന്തരരേഖയ്ക്ക് സമാനമായ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട് ഇടത് വശംഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ നീല സമാന്തരരേഖ ബിഉയരവും എച്ച്. കൂടാതെ, ഇടത് പച്ച സമാന്തരരേഖയ്ക്ക് മുകളിലെ ചിത്രത്തിലെ ഇടത് പച്ച സമാന്തരരേഖയുടെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്, കാരണം അവ ഒരു പൊതു അടിത്തറ പങ്കിടുന്നു (മുകളിൽ ഇടതു വശംത്രികോണം) കൂടാതെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ആ വശത്തേക്ക് ലംബമായി ആകെ ഉയരം. ത്രികോണത്തിൻ്റെ വലത് വശത്തിന് സമാനമായ ന്യായവാദം ഉപയോഗിച്ച്, താഴത്തെ സമാന്തരചലനത്തിന് രണ്ട് പച്ച സമാന്തരചലനങ്ങളുടെ അതേ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

സങ്കീർണ്ണമായ സംഖ്യകൾ

ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്താൻ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഈ സിദ്ധാന്തം എല്ലാ യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്: ദൂരം: എസ്രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ( എ, ബി) ഒപ്പം ( സി, ഡി) തുല്യമാണ്

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെ യഥാർത്ഥ ഘടകങ്ങളുള്ള വെക്റ്ററുകളായി കണക്കാക്കിയാൽ ഫോർമുലയിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല x + ഞാൻ വൈ = (x, വൈ). . ഉദാഹരണത്തിന്, ദൂരം എസ് 0 + 1 ന് ഇടയിൽ ഐകൂടാതെ 1 + 0 ഐവെക്റ്ററിൻ്റെ മോഡുലസ് ആയി കണക്കാക്കുന്നു (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), അഥവാ

എന്നിരുന്നാലും, സങ്കീർണ്ണമായ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്ററുകളുമായുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, പൈതഗോറിയൻ ഫോർമുലയിൽ ചില മെച്ചപ്പെടുത്തലുകൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കൂടെ പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ (എ, ബി) ഒപ്പം ( സി, ഡി); എ, ബി, സി, ഒപ്പം ഡിഎല്ലാം സങ്കീർണ്ണമാണ്, നമുക്ക് ഉപയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്താം കേവല മൂല്യങ്ങൾ. ദൂരം എസ്വെക്റ്റർ വ്യത്യാസത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (എ − സി, ബി − ഡി) ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ: വ്യത്യാസം അനുവദിക്കുക എ − സി = പി+i q, എവിടെ പി- വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഭാഗം, qസാങ്കൽപ്പിക ഭാഗമാണ്, i = √(−1). അതുപോലെ, അനുവദിക്കുക ബി − ഡി = ആർ+ ഐ എസ്. അപ്പോൾ:

എന്നതിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണ സംയോജന സംഖ്യ എവിടെയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം (എ, ബി) = (0, 1) ഒപ്പം (സി, ഡി) = (ഐ, 0) , നമുക്ക് വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാം (എ − സി, ബി − ഡി) = (−ഐ, 1) സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചില്ലെങ്കിൽ ഫലം 0 ആയിരിക്കും. അതിനാൽ, മെച്ചപ്പെട്ട ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

മൊഡ്യൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു:

സ്റ്റീരിയോമെട്രി

ത്രിമാന സ്ഥലത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന സാമാന്യവൽക്കരണം ജെ.-പിയുടെ പേരിലുള്ള ഡി ഗോയിയുടെ സിദ്ധാന്തമാണ്. de Gois: ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിന് വലത് കോണുണ്ടെങ്കിൽ (ഒരു ക്യൂബിലെന്നപോലെ), വലത് കോണിന് എതിർവശത്തുള്ള മുഖത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ചതുരം മറ്റ് മൂന്ന് മുഖങ്ങളിലെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഈ നിഗമനം ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം " എൻ-ഡൈമൻഷണൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം":

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം ത്രിമാന സ്ഥലംഡയഗണൽ എഡിയെ മൂന്ന് വശങ്ങളിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു.

മറ്റൊരു സാമാന്യവൽക്കരണം: സ്റ്റീരിയോമെട്രിയിൽ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമാന്തര പൈപ്പ് പരിഗണിക്കുക. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഡയഗണൽ ബിഡിയുടെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താം:

ഇവിടെ മൂന്ന് വശങ്ങളും ഒരു വലത് ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഡയഗണൽ എഡിയുടെ നീളം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ തിരശ്ചീന ഡയഗണൽ ബിഡിയും ലംബമായ എഡ്ജും എബി ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അല്ലെങ്കിൽ, നമ്മൾ എല്ലാം ഒരു സമവാക്യത്തിൽ എഴുതുകയാണെങ്കിൽ:

ഈ ഫലം വെക്റ്ററിൻ്റെ വ്യാപ്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ത്രിമാന പദപ്രയോഗമാണ് വി(ഡയഗണൽ എഡി), അതിൻ്റെ ലംബ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ( വി k) (പരസ്പരം ലംബമായ മൂന്ന് വശങ്ങൾ):

ഈ സമവാക്യം മൾട്ടിഡൈമൻഷണൽ സ്പേസിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരണമായി കണക്കാക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഫലം യഥാർത്ഥത്തിൽ തുടർച്ചയായി ലംബമായ തലങ്ങളിൽ വലത് ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രയോഗമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

വെക്റ്റർ സ്പേസ്

വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ഓർത്തോഗണൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു സമത്വമുണ്ട്, അതിനെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം എന്നും വിളിക്കുന്നു:

എങ്കിൽ - ഇവ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണെങ്കിൽ, ഈ സൂത്രവാക്യം യൂക്ലിഡിയൻ ദൂരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു - കൂടാതെ വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നു.

അനന്തമായ വെക്‌ടറുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ അനലോഗിനെ പാർസെവലിൻ്റെ സമത്വം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതി

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, വാസ്തവത്തിൽ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ യൂക്ലിഡിയൻ ഇതര ജ്യാമിതിക്ക് സാധുതയില്ല. (അതായത്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം യൂക്ലിഡിൻ്റെ സമാന്തരത്വത്തിൻ്റെ ഒരു തരത്തിന് തുല്യമായി മാറുന്നു) മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു രൂപത്തിലായിരിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് വശങ്ങളും (പറയുക എ, ബിഒപ്പം സി), യൂണിറ്റ് ഗോളത്തിൻ്റെ ഒക്ടൻ്റ് (എട്ടാം ഭാഗം) പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിരുദ്ധമായ π/2 നീളമുണ്ട്, കാരണം എ 2 + ബി 2 ≠ സി 2 .

നോൺ-യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ രണ്ട് കേസുകൾ നമുക്ക് ഇവിടെ പരിഗണിക്കാം - ഗോളാകൃതിയും ഹൈപ്പർബോളിക് ജ്യാമിതിയും; രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, വലത് ത്രികോണങ്ങൾക്കുള്ള യൂക്ലിഡിയൻ സ്ഥലത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഫലം, കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഹൈപ്പർബോളിക്, എലിപ്റ്റിക് ജ്യാമിതിക്ക് സാധുതയുള്ളതായി തുടരുന്നു, ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നാമത്തേതിന് തുല്യമായിരിക്കണം എന്ന വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണം ചതുരാകൃതിയിലായിരിക്കണമെന്ന വ്യവസ്ഥ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. എ+ബി = സി. അപ്പോൾ വശങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: വ്യാസമുള്ള സർക്കിളുകളുടെ മേഖലകളുടെ ആകെത്തുക എഒപ്പം ബിവ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് സി.

ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ജ്യാമിതി

ആരമുള്ള ഒരു ഗോളത്തിലെ ഏത് വലത് ത്രികോണത്തിനും ആർ(ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ത്രികോണത്തിലെ കോൺ γ വലത് ആണെങ്കിൽ) വശങ്ങളുമായി എ, ബി, സികക്ഷികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഈ സമത്വം ഇങ്ങനെ ഉരുത്തിരിയാം ഒരു പ്രത്യേക കേസ്എല്ലാ ഗോളാകൃതിയിലുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്കും സാധുതയുള്ള ഗോളാകൃതിയിലുള്ള കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം:

ഇവിടെ കോഷ് എന്നത് ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ ആണ്. ഈ ഫോർമുല ഹൈപ്പർബോളിക് കോസൈൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, ഇത് എല്ലാ ത്രികോണങ്ങൾക്കും സാധുവാണ്:

ഇവിടെ γ എന്നത് വശത്തിന് എതിർവശത്തുള്ള കോണാണ് സി.

എവിടെ ജി ijഒരു മെട്രിക് ടെൻസർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് സ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനമായിരിക്കാം. അത്തരം വളഞ്ഞ ഇടങ്ങളിൽ റീമാനിയൻ ജ്യാമിതി ഉൾപ്പെടുന്നു പൊതു ഉദാഹരണം. കർവിലീനിയർ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ യൂക്ലിഡിയൻ സ്ഥലത്തിനും ഈ ഫോർമുലേഷൻ അനുയോജ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പോളാർ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക്:

വെക്റ്റർ ആർട്ട് വർക്ക്

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഒരു വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിക്കായി രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനത്തിന് അത് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്:

ഈ ഫോർമുല ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. വലത് വശംസമവാക്യത്തെ ഗ്രാം ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഒപ്പം ബി, ഇത് ഈ രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രൂപം കൊള്ളുന്ന സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ ആവശ്യകതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾക്ക് ലംബമായിരിക്കണമെന്ന ആവശ്യകതയും എഒപ്പം ബി 0-, 1-ഡൈമൻഷണൽ സ്‌പെയ്‌സിൽ നിന്നുള്ള നിസ്സാര കേസുകൾ ഒഴികെ, ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം മൂന്ന്, ഏഴ് അളവുകളിൽ മാത്രമേ നിർവ്വചിച്ചിട്ടുള്ളൂ. കോണിൻ്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എൻ-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ്:

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഈ ഗുണം അതിൻ്റെ വ്യാപ്തി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകുന്നു:

പൈതഗോറസിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റിയിലൂടെ നമുക്ക് അതിൻ്റെ മൂല്യം എഴുതുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രൂപം ലഭിക്കും:

ഒരു ക്രോസ് ഉൽപ്പന്നം നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ബദൽ സമീപനം അതിൻ്റെ വ്യാപ്തിക്കായി ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്. തുടർന്ന്, വിപരീത ക്രമത്തിൽ ന്യായവാദം ചെയ്താൽ, സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നവുമായി ഞങ്ങൾ ഒരു കണക്ഷൻ നേടുന്നു:

ഇതും കാണുക

കുറിപ്പുകൾ

1. ചരിത്ര വിഷയം: ബാബിലോണിയൻ ഗണിതത്തിലെ പൈതഗോറസിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം
2. (, പേജ്. 351) പേജ് 351
3. (, വാല്യം I, പേജ് 144)
4. ചർച്ച ചരിത്ര വസ്തുതകൾ(, പേജ് 351) പേജ് 351 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു
5. കുർട്ട് വോൺ ഫ്രിറ്റ്സ് (ഏപ്രിൽ, 1945). "ദി ഡിസ്കവറി ഓഫ് ഇൻകമെൻസറബിലിറ്റി ബൈ ഹിപ്പാസസ് ഓഫ് മെറ്റാപോണ്ടം". ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വാർഷികം, രണ്ടാം പരമ്പര(ഗണിതത്തിൻ്റെ വാർഷികം) 46 (2): 242–264.
6. ലൂയിസ് കരോൾ, "ദി സ്റ്റോറി വിത്ത് നോട്ട്സ്", എം., മിർ, 1985, പേ. 7
7. അസ്ഗർ ആബോഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ആദ്യകാല ചരിത്രത്തിൽ നിന്നുള്ള എപ്പിസോഡുകൾ. - മാത്തമാറ്റിക്കൽ അസോസിയേഷൻ ഓഫ് അമേരിക്ക, 1997. - പി. 51. - ISBN 0883856131
8. പൈത്തൺ നിർദ്ദേശംഎലിഷ സ്കോട്ട് ലൂമിസ്
9. യൂക്ലിഡിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ: പുസ്തകം VI, പ്രൊപ്പോസിഷൻ VI 31: "വലത് കോണുള്ള ത്രികോണങ്ങളിൽ, വലത് കോണിനെ കീഴ്പ്പെടുത്തുന്ന വശത്തെ ചിത്രം വലത് കോണിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വശങ്ങളിലെ സമാനവും സമാനമായി വിവരിച്ചതുമായ രൂപങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്."
10. ലോറൻസ് എസ്. ലെഫ് ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട ജോലി. - ബാരൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ പരമ്പര - പി. 326. - ISBN 0764128922
11. ഹോവാർഡ് വിറ്റ്ലി ഈവ്സ്§4.8:...പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പൊതുവൽക്കരണം // ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ മഹത്തായ നിമിഷങ്ങൾ (1650-ന് മുമ്പ്). - മാത്തമാറ്റിക്കൽ അസോസിയേഷൻ ഓഫ് അമേരിക്ക, 1983. - പി. 41. - ISBN 0883853108
12. യൂക്ലിഡിൻ്റെ മൂലകങ്ങളെക്കുറിച്ചും മറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചും വിപുലമായി എഴുതിയ ബാഗ്ദാദിൽ താമസിക്കുന്ന ഒരു വൈദ്യനായിരുന്നു താബിത് ഇബ്ൻ ഖോറ (മുഴുവൻ പേര് താബിത് ഇബ്ൻ ഖുറ ഇബ്ൻ മർവാൻ അൽ-ഹാബി അൽ-ഹറാനി) (എഡി 826-901).
13. അയ്ദിൻ സായിലി (മാർച്ച് 1960). "താബിത് ഇബ്നു ഖുറയുടെ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരണം." ഐസിസ് 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
14. ജൂഡിത്ത് ഡി സാലി, പോൾ സാലിവ്യായാമം 2.10 (ii) // ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട വർക്ക്. - പി. 62. - ISBN 0821844032
15. അത്തരമൊരു നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ വിശദാംശങ്ങൾക്ക്, കാണുക ജോർജ് ജെന്നിംഗ്സ്ചിത്രം 1.32: സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം // പ്രയോഗങ്ങളുള്ള ആധുനിക ജ്യാമിതി: 150 അക്കങ്ങൾ. - മൂന്നാമത്തേത്. - സ്പ്രിംഗർ, 1997. - പി. 23. - ISBN 038794222X
16. ആർലെൻ ബ്രൗൺ, കാൾ എം. പിയർസിഇനം സി: ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു മാനദണ്ഡം എൻ-tuple ... // വിശകലനത്തിന് ഒരു ആമുഖം. - സ്പ്രിംഗർ, 1995. - പി. 124. - ISBN 0387943692 47-50 പേജുകളും കാണുക.
17. ആൽഫ്രഡ് ഗ്രേ, എൽസ അബ്ബേന, സൈമൺ സാലമൺഗണിതശാസ്ത്രത്തോടൊപ്പം വളവുകളുടെയും പ്രതലങ്ങളുടെയും ആധുനിക ഡിഫറൻഷ്യൽ ജ്യാമിതി. - മൂന്നാമത്തേത്. - CRC പ്രസ്സ്, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
18. രാജേന്ദ്ര ഭാട്ടിയമാട്രിക്സ് വിശകലനം. - സ്പ്രിംഗർ, 1997. - പി. 21. - ISBN 0387948465
19. സ്റ്റീഫൻ ഡബ്ല്യു ഹോക്കിംഗ് ഉദ്ധരിക്കപ്പെട്ട ജോലി. - 2005. - പി. 4. - ISBN 0762419229
20. എറിക് ഡബ്ല്യു. വെയ്സ്സ്റ്റീൻ CRC സംക്ഷിപ്ത വിജ്ഞാനകോശം ഗണിതശാസ്ത്രം. - 2nd. - 2003. - പി. 2147. - ISBN 1584883472
21. അലക്സാണ്ടർ ആർ. പ്രസ്

നിങ്ങൾ ആദ്യമായി വർഗ്ഗമൂലങ്ങളെ കുറിച്ചും യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയപ്പോൾ (റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു അജ്ഞാതൻ ഉൾപ്പെടുന്ന തുല്യതകൾ), അവയുടെ പ്രായോഗിക ഉപയോഗങ്ങളുടെ ആദ്യ രുചി നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചിരിക്കാം. വേർതിരിച്ചെടുക്കാനുള്ള കഴിവ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ആവശ്യമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തം ഏതെങ്കിലും വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ ദൈർഘ്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലുകളുടെ നീളം (വലത് കോണുകളിൽ കൂടിച്ചേരുന്ന രണ്ട് വശങ്ങളും) അക്ഷരങ്ങളാൽ നിയോഗിക്കട്ടെ കത്ത്. അപ്പോൾ അനുബന്ധ ദൈർഘ്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെ നീളം അറിയുമ്പോൾ അതിൻ്റെ വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്താൻ ഈ സമവാക്യം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. കൂടാതെ, സംശയാസ്പദമായ ത്രികോണം ഒരു വലത് ത്രികോണമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, മൂന്ന് വശങ്ങളുടെയും നീളം മുൻകൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നു:

1. കാലുകളിലൊന്നിൻ്റെ നീളം 48 ആണ്, ഹൈപ്പോടെനസ് 80 ആണ്.
2. കാലിൻ്റെ നീളം 84 ആണ്, ഹൈപ്പോടെനസ് 91 ആണ്.

നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് കടക്കാം:

a) മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഡാറ്റ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു:

48 2 + ബി 2 = 80 2

2304 + ബി 2 = 6400

ബി 2 = 4096

ബി= 64 അല്ലെങ്കിൽ ബി = -64

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ നീളം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ സ്വയമേവ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടും.

ആദ്യ ചിത്രത്തിനുള്ള ഉത്തരം: ബി = 64.

b) രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാലിൻ്റെ നീളം ഇതേ രീതിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു:

84 2 + ബി 2 = 91 2

7056 + ബി 2 = 8281

ബി 2 = 1225

ബി= 35 അല്ലെങ്കിൽ ബി = -35

മുമ്പത്തെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് തീരുമാനം തള്ളിക്കളയുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ചിത്രത്തിനുള്ള ഉത്തരം: ബി = 35

ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു:

1. ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചെറിയ വശങ്ങളുടെ നീളം യഥാക്രമം 45 ഉം 55 ഉം ആണ്, വലിയ വശങ്ങൾ 75 ഉം ആണ്.
2. ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചെറിയ വശങ്ങളുടെ നീളം യഥാക്രമം 28 ഉം 45 ഉം ആണ്, വലിയ വശങ്ങൾ 53 ഉം ആണ്.

നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം:

a) തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചെറിയ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വലിയതിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

അതിനാൽ, ആദ്യത്തെ ത്രികോണം ഒരു വലത് ത്രികോണമല്ല.

b) സമാന പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ത്രികോണം ഒരു വലത് ത്രികോണമാണ്.

ആദ്യം, കോർഡിനേറ്റുകൾ (-2, -3), (5, -2) ഉള്ള പോയിൻ്റുകളാൽ രൂപപ്പെട്ട ഏറ്റവും വലിയ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണ്ടെത്താം. ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്താൻ:

അതുപോലെ, കോർഡിനേറ്റുകൾ (-2, -3), (2, 1) എന്നിവയുള്ള പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

അവസാനമായി, കോർഡിനേറ്റുകൾ (2, 1), (5, -2) ഉള്ള പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

സമത്വം നിലനിൽക്കുന്നതിനാൽ:

അപ്പോൾ അനുബന്ധ ത്രികോണം വലത് കോണാണ്.

അതിനാൽ, നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും: ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ നീളമുള്ള വശങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഏറ്റവും നീളം കൂടിയ വശത്തിൻ്റെ ചതുരത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, പോയിൻ്റുകൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളാണ്.

അടിസ്ഥാനം (കർശനമായി തിരശ്ചീനമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു), ജാംബ് (കർശനമായി ലംബമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു), കേബിൾ (വികർണ്ണമായി നീട്ടി) എന്നിവ യഥാക്രമം ഒരു വലത് ത്രികോണം ഉണ്ടാക്കുന്നു, കേബിളിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്താൻ പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം:

അങ്ങനെ, കേബിളിൻ്റെ നീളം ഏകദേശം 3.6 മീറ്ററായിരിക്കും.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: പോയിൻ്റ് R മുതൽ പോയിൻ്റ് P വരെയുള്ള ദൂരം (ത്രികോണത്തിൻ്റെ കാൽ) 24 ആണ്, പോയിൻ്റ് R മുതൽ പോയിൻ്റ് Q വരെയുള്ള (ഹൈപ്പോട്ടെനസ്) 26 ആണ്.

അതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ വീറ്റയെ സഹായിക്കാം. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണം രൂപപ്പെടുത്തേണ്ടതായതിനാൽ, മൂന്നാം വശത്തിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം:

അതിനാൽ, കുളത്തിൻ്റെ വീതി 10 മീറ്ററാണ്.

സെർജി വലേരിവിച്ച്

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തംയൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയുടെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലൊന്ന്, ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങൾക്കിടയിൽ.

ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ പൈതഗോറസാണ് ഇത് തെളിയിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പേരിലാണ് ഇത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ രൂപീകരണം.

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഇപ്രകാരമാണ്:

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്,

കാലുകളിൽ പണിതു.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത രൂപീകരണം.

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു സി, ഒപ്പം കാലുകളുടെ നീളവും എഒപ്പം ബി:

രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തംതുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്, അത് അങ്ങനെയല്ല

പ്രദേശം എന്ന ആശയം ആവശ്യമാണ്. അതായത്, രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന പ്രദേശത്തെ കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും പരിശോധിക്കാം

ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെ.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക.

ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്തിൻ്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ,

മട്ട ത്രികോണം.

അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ:

ഓരോ ട്രിപ്പിൾ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും എ, ബിഒപ്പം സി, അത്തരം

കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് എഒപ്പം ബിഹൈപ്പോടെൻസും സി.

ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിനായുള്ള പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം.

പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവുകൾ.

നിലവിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ സിദ്ധാന്തം

ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഒരേയൊരു സിദ്ധാന്തമാണ് പൈതഗോറസ്. അത്തരം വൈവിധ്യം

ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.

തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായത്:

തെളിവ് ഏരിയ രീതി, അച്ചുതണ്ട്ഒപ്പം വിദേശ തെളിവുകൾ(ഉദാഹരണത്തിന്,

ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ).

1. സമാനമായ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്

സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.

അനുവദിക്കുക എബിസിവലത് കോണുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട് സി. നമുക്ക് ഉയരം വരയ്ക്കാം സിസൂചിപ്പിക്കുന്നു

അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം വഴി എച്ച്.

ത്രികോണം ACHഒരു ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ് എബിരണ്ട് കോണുകളിൽ സി. അതുപോലെ, ത്രികോണം സി.ബി.എച്ച്സമാനമായ എബിസി.

നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ:

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

,

ഏതാണ് യോജിക്കുന്നത് -

മടക്കി എ 2 ഒപ്പം ബി 2, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അല്ലെങ്കിൽ, തെളിയിക്കപ്പെടേണ്ട കാര്യമാണ്.

2. ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. അവരെല്ലാവരും

പ്രദേശത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുക, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവുകളേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവുകൾ.

• സമപൂരകതയിലൂടെയുള്ള തെളിവ്.

നമുക്ക് നാല് തുല്യ ചതുരാകൃതിയിൽ ക്രമീകരിക്കാം

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ത്രികോണം

വലതുവശത്ത്.

വശങ്ങളുള്ള ചതുരാകൃതി സി- സമചതുരം Samachathuram,

രണ്ട് നിശിതകോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90° ആയതിനാൽ, ഒപ്പം

മടക്കാത്ത ആംഗിൾ - 180°.

മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്,

വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ( a+b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തൃതികളുടെ ആകെത്തുക

ക്യു.ഇ.ഡി.

3. അനന്തമായ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്.

​

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗ് നോക്കുന്നു ഒപ്പം

സൈഡ് മാറുന്നത് നിരീക്ഷിക്കുന്നുഎ, നമുക്ക് കഴിയും

അനന്തമായി ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം എഴുതുക

ചെറിയ സൈഡ് ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾകൂടെഒപ്പം എ(സാദൃശ്യം ഉപയോഗിച്ച്

ത്രികോണങ്ങൾ):

വേരിയബിൾ വേർതിരിക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇരുവശത്തുമുള്ള ഇൻക്രിമെൻ്റുകളുടെ കാര്യത്തിൽ ഹൈപ്പോടെൻസിലെ മാറ്റത്തിന് കൂടുതൽ പൊതുവായ പദപ്രയോഗം:

ഈ സമവാക്യം സംയോജിപ്പിച്ച് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ഉത്തരത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളത് പോലെ, അന്തിമ ഫോർമുലയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആശ്രിതത്വം രേഖീയമായതിനാൽ ദൃശ്യമാകുന്നു

ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളും ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും തമ്മിലുള്ള ആനുപാതികത, അതേസമയം തുക സ്വതന്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

വ്യത്യസ്ത കാലുകളുടെ വർദ്ധനവിൽ നിന്നുള്ള സംഭാവനകൾ.

കാലുകളിലൊന്നിൽ വർദ്ധനവ് അനുഭവപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചാൽ ലളിതമായ ഒരു തെളിവ് ലഭിക്കും

(ഈ സാഹചര്യത്തിൽ കാൽ ബി). സംയോജന സ്ഥിരാങ്കത്തിനായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പൈത്തഗോറസ് സിദ്ധാന്തം

മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെയും വിധി സവിശേഷമാണ്... ഉദാഹരണത്തിന്, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രേമികളുടെയും ഭാഗത്തുനിന്നുള്ള അസാധാരണമായ ശ്രദ്ധയെ എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കാം? എന്തുകൊണ്ടാണ് അവരിൽ പലരും ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന തെളിവുകളിൽ തൃപ്തരായില്ല, പക്ഷേ സ്വന്തമായി കണ്ടെത്തി, തെളിവുകളുടെ എണ്ണം താരതമ്യേന മുൻകൂട്ടിക്കാണാൻ കഴിയുന്ന നൂറിലധികം ഇരുപത്തിയഞ്ച് നൂറ്റാണ്ടുകളായി കൊണ്ടുവന്നു?
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് വരുമ്പോൾ, അസാധാരണമായത് അതിൻ്റെ പേരിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ആദ്യം രൂപപ്പെടുത്തിയത് പൈതഗോറസ് അല്ലെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇതിന് തെളിവ് നൽകിയതും സംശയാസ്പദമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പൈതഗോറസ് ഒരു യഥാർത്ഥ വ്യക്തിയാണെങ്കിൽ (ചിലർ ഇത് സംശയിക്കുന്നു!), അവൻ മിക്കവാറും 6-5 നൂറ്റാണ്ടുകളിൽ ജീവിച്ചിരിക്കാം. ബി.സി ഇ. അദ്ദേഹം തന്നെ ഒന്നും എഴുതിയില്ല, സ്വയം ഒരു തത്ത്വചിന്തകൻ എന്ന് വിളിച്ചു, അതിനർത്ഥം "ജ്ഞാനത്തിനായി പരിശ്രമിക്കുക" എന്നാണ്, കൂടാതെ പൈതഗോറിയൻ യൂണിയൻ സ്ഥാപിച്ചു, അതിൽ അംഗങ്ങൾ സംഗീതം, ജിംനാസ്റ്റിക്സ്, ഗണിതം, ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നിവ പഠിച്ചു. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, അദ്ദേഹം ഒരു മികച്ച പ്രാസംഗികൻ കൂടിയായിരുന്നു, ക്രോട്ടൺ നഗരത്തിലെ അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ താമസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇനിപ്പറയുന്ന ഐതിഹ്യത്തിന് തെളിവ്: “ക്രോട്ടണിലെ ആളുകൾക്ക് മുമ്പാകെ പൈതഗോറസിൻ്റെ ആദ്യ രൂപം യുവാക്കളോട് ഒരു പ്രസംഗത്തോടെ ആരംഭിച്ചു, അതിൽ അദ്ദേഹം അങ്ങനെയായിരുന്നു. കർശനമായ, എന്നാൽ അതേ സമയം യുവാക്കളുടെ കടമകൾ വളരെ ആകർഷകമായി വിവരിച്ചു, നഗരത്തിലെ മുതിർന്നവർ അവരെ ഉപദേശമില്ലാതെ ഉപേക്ഷിക്കരുതെന്ന് ആവശ്യപ്പെട്ടു. ഈ രണ്ടാമത്തെ പ്രസംഗത്തിൽ അദ്ദേഹം കുടുംബത്തിൻ്റെ അടിത്തറയായി ധാർമ്മികതയുടെ നിയമപരതയും വിശുദ്ധിയും ചൂണ്ടിക്കാട്ടി; അടുത്ത രണ്ടിൽ അദ്ദേഹം കുട്ടികളെയും സ്ത്രീകളെയും അഭിസംബോധന ചെയ്തു. ആഡംബരത്തെ അദ്ദേഹം പ്രത്യേകിച്ച് അപലപിച്ച അവസാന പ്രസംഗത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലം, ആയിരക്കണക്കിന് വിലയേറിയ വസ്ത്രങ്ങൾ ഹേരയുടെ ക്ഷേത്രത്തിലേക്ക് എത്തിച്ചു എന്നതാണ്, കാരണം ഒരു സ്ത്രീ പോലും തെരുവിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ ധൈര്യപ്പെട്ടില്ല. ”എന്നിരുന്നാലും. രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ട്, അതായത്, 700 വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, അവർ പൂർണ്ണമായും ജീവിക്കുകയും പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്തു യഥാർത്ഥ ആളുകൾ, പൈതഗോറിയൻ സഖ്യം വ്യക്തമായി സ്വാധീനിച്ച അസാധാരണ ശാസ്ത്രജ്ഞർ, ഐതിഹ്യമനുസരിച്ച്, പൈതഗോറസ് സൃഷ്ടിച്ചതിൽ വലിയ ബഹുമാനമുണ്ടായിരുന്നു.
ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ കേന്ദ്രസ്ഥാനങ്ങളിലൊന്ന് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വസ്തുതയും, റോമൻ കവി ക്വിൻ്റസ് ഹോറസ് ഫ്ലാക്കസിൻ്റെ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ തരണം ചെയ്ത തെളിവുകളുടെ രചയിതാക്കളുടെ സംതൃപ്തിയും ഈ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള താൽപ്പര്യത്തിന് കാരണമാകുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ല. നമ്മുടെ യുഗത്തിന് മുമ്പ് ജീവിച്ചിരുന്ന അദ്ദേഹം നന്നായി പറഞ്ഞു: "അറിയപ്പെടുന്ന വസ്തുതകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്."
തുടക്കത്തിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിലും കാലുകളിലും നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ മേഖലകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിച്ചു:
.
ബീജഗണിത രൂപീകരണം:
ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൽ, ഹൈപ്പോടെനസിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം കാലുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.
അതായത്, ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഹൈപ്പോടെൻസിൻ്റെ നീളം c കൊണ്ടും കാലുകളുടെ നീളം a, b എന്നിവ കൊണ്ടും സൂചിപ്പിക്കുന്നു: a 2 + b 2 =c 2. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഫോർമുലേഷനുകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ കൂടുതൽ പ്രാഥമികമാണ്; ഇതിന് ഏരിയ എന്ന ആശയം ആവശ്യമില്ല. അതായത്, പ്രദേശത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയാതെയും ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുടെ നീളം മാത്രം അളക്കുന്നതിലൂടെയും രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും.
പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാറ്റുക. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ എ, ബി, സി
a 2 + b 2 = c 2, a, b എന്നീ കാലുകളുള്ള ഒരു വലത് ത്രികോണമുണ്ട്, കൂടാതെ ഹൈപ്പോട്ടീനസ് c.

തെളിവ്

നിലവിൽ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 367 തെളിവുകൾ ശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഒരുപക്ഷേ, പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തം മാത്രമാണ് ഇത്രയും ശ്രദ്ധേയമായ തെളിവുകളുള്ള ഏക സിദ്ധാന്തം. ജ്യാമിതിയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനപരമായ പ്രാധാന്യത്താൽ മാത്രമേ അത്തരം വൈവിധ്യത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ കഴിയൂ.
തീർച്ചയായും, ആശയപരമായി അവയെല്ലാം ഒരു ചെറിയ എണ്ണം ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധമായത്: ഏരിയ രീതിയിലുള്ള തെളിവുകൾ, ആക്സിയോമാറ്റിക്, എക്സോട്ടിക് തെളിവുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്).

സമാനമായ ത്രികോണങ്ങളിലൂടെ

ബീജഗണിത രൂപീകരണത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തെളിവ് സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് നിർമ്മിച്ച തെളിവുകളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, ഇത് ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല.
ABC വലത് കോണുള്ള ഒരു ത്രികോണമായിരിക്കട്ടെ C. C യിൽ നിന്ന് ഉയരം വരച്ച് അതിൻ്റെ അടിത്തറയെ H കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. ACH രണ്ട് കോണുകളിൽ ABC ത്രികോണത്തിന് സമാനമാണ്.
അതുപോലെ, ത്രികോണം CBH എബിസിക്ക് സമാനമാണ്. നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

എന്താണ് തുല്യം

അത് കൂട്ടിയാൽ നമുക്ക് കിട്ടും

അഥവാ

ഏരിയ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള തെളിവുകൾ

ചുവടെയുള്ള തെളിവുകൾ, അവയുടെ വ്യക്തമായ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അത്ര ലളിതമല്ല. പൈതഗോറിയൻ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണമായ തെളിവാണ് അവയെല്ലാം പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

സജ്ജീകരണത്തിലൂടെയുള്ള തെളിവ്

1. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നാല് തുല്യ വലത് ത്രികോണങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുക.
2. രണ്ട് നിശിതകോണുകളുടെ ആകെത്തുക 90° ആയതിനാൽ c വശങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുർഭുജം ഒരു ചതുരമാണ്, കൂടാതെ നേർകോണ് 180° ആണ്.
3. മുഴുവൻ രൂപത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ്, ഒരു വശത്ത്, വശമുള്ള ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം (a + b), മറുവശത്ത്, നാല് ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവും അകത്തെ ചതുരം.



ക്യു.ഇ.ഡി.

തുല്യത വഴിയുള്ള തെളിവുകൾ

അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു തെളിവിൻ്റെ ഉദാഹരണം വലതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, അവിടെ ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് ചതുരങ്ങളാക്കി പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു.

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവ്

യൂക്ലിഡിൻ്റെ തെളിവിൻ്റെ ആശയം ഇപ്രകാരമാണ്: ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് വിസ്തീർണ്ണം വലുതും രണ്ട് ചെറുതുമായ സമചതുരങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ഇടതുവശത്തുള്ള ഡ്രോയിംഗ് നോക്കാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ചതുരങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച്, AB എന്ന ഹൈപ്പോട്ടീനസിന് ലംബമായി C വലത്കോണിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണങ്ങൾ വരച്ചു, അത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ABIK ചതുരത്തെ രണ്ട് ദീർഘചതുരങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു - BHJI, HAKJ, യഥാക്രമം. ഈ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ അനുബന്ധ കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. DECA ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ദീർഘചതുരം AHJK യുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ നിരീക്ഷണം ഉപയോഗിക്കും: ഒരേ ഉയരവും അടിത്തറയുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തന്നിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നൽകിയിരിക്കുന്ന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും ഉയരത്തിൻ്റെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നമായി നിർവചിക്കുന്നതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണിത്. ഈ നിരീക്ഷണത്തിൽ നിന്ന്, ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല), ഇത് AHJK ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ACK ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം DECA യുടെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ തെളിയിക്കാം. ഇതിനായി ചെയ്യേണ്ട ഒരേയൊരു കാര്യം ACK, BDA എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക എന്നതാണ് (ത്രികോണ BDA യുടെ വിസ്തീർണ്ണം മുകളിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച് ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ). സമത്വം വ്യക്തമാണ്, ത്രികോണങ്ങൾ ഇരുവശത്തും തുല്യമാണ്, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും. അതായത് - AB=AK, AD=AC - CAK, BAD എന്നീ കോണുകളുടെ സമത്വം ചലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഞങ്ങൾ CAK 90° ത്രികോണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ തിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെയും അനുബന്ധ വശങ്ങൾ വ്യക്തമാണ്. ചോദ്യം ഒത്തുചേരും (ചതുരത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിലെ കോൺ 90° ആയതിനാൽ). ചതുരാകൃതിയിലുള്ള BCFG യുടെയും BHJI ചതുരത്തിൻ്റെയും സമത്വത്തിൻ്റെ ന്യായവാദം പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്. അങ്ങനെ, ഹൈപ്പോടെനസിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു ചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.

ലിയോനാർഡോ ഡാവിഞ്ചിയുടെ തെളിവ്

തെളിവിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ സമമിതിയും ചലനവുമാണ്.

സമമിതിയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്ന ഡ്രോയിംഗ് പരിഗണിക്കാം, സെഗ്മെൻ്റ് CI ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ABHJ-യെ രണ്ട് സമാന ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു (നിർമ്മാണത്തിൽ ABC, JHI ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ). 90-ഡിഗ്രി എതിർ ഘടികാരദിശയിലുള്ള ഭ്രമണം ഉപയോഗിച്ച്, CAJI, GDAB എന്നീ ഷേഡുള്ള കണക്കുകളുടെ തുല്യത ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഞങ്ങൾ ഷേഡുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കാലുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരങ്ങളുടെ പകുതി ഭാഗങ്ങളുടെയും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തൃതിയുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്. മറുവശത്ത്, ഇത് ഹൈപ്പോടെൻസിൽ നിർമ്മിച്ച ചതുരത്തിൻ്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിനും യഥാർത്ഥ ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണ്. തെളിവിൻ്റെ അവസാന ഘട്ടം വായനക്കാരന് വിടുന്നു.