ഏത് വശങ്ങളിലെ കോണുകൾ മറ്റൊന്നിന്റെ വശങ്ങളുടെ തുടർച്ചയാണ്. ലംബവും അടുത്തുള്ളതുമായ കോണുകൾ

പാഠം 8. ലംബ കോണുകൾ. ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മറ്റൊന്നിന്റെ വശങ്ങളുടെ തുടർച്ചയാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം. ലംബ കോണുകൾ തുല്യമാണ്. തെളിവ്: = = 180 അതുപോലെ = = = 3 2 = 4 പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരം: 64, 66 ഹോം വർക്ക്: ഖണ്ഡിക 11, 66, 67

ഗണിതശാസ്ത്ര നിർദ്ദേശം. ഓപ്ഷൻ 1. 1. വാക്യം പൂർത്തിയാക്കുക: "1, 2 കോണുകൾ തൊട്ടടുത്താണെങ്കിൽ, അവയുടെ ആകെത്തുക..." 2. 30 ഡിഗ്രി കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ആംഗിൾ നിശിതമോ മങ്ങിയതോ വലതോ ആയിരിക്കുമോ? 3. രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിയാണ്. ഈ കോണുകൾ അനിവാര്യമായും തൊട്ടടുത്താണോ? 4. AM, CE എന്നീ വരികൾ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള പോയിന്റ് O യിൽ വിഭജിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ലംബ കോണുകൾ ലഭിച്ചോ? ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയ്ക്ക് പേരിടുക. 5. അതിനൊപ്പം ലംബകോണ് 34 ഡിഗ്രി ആണെങ്കിൽ ഏത് കോണാണ്? 6. രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നാല് കോണുകളിൽ ഒന്ന് 140 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്. ശേഷിക്കുന്ന കോണുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? 7. രണ്ട് കോണുകൾക്ക് ഒരു പൊതു ശീർഷം ഉണ്ട്, ആദ്യ കോൺ 40 ഡിഗ്രി ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് 140 ഡിഗ്രി ആണ്. ഈ കോണുകൾ ലംബമാണോ? ഓപ്ഷൻ 2. 1. വാചകം പൂർത്തിയാക്കുക: "ഒരു വശം പൊതുവായതാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ തൊട്ടടുത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റൊന്ന് ..." 2. 130 ഡിഗ്രി കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ഒരു കോണിൽ നിശിതമോ മങ്ങിയതോ വലതോ ആയിരിക്കുമോ? 3. 180 ഡിഗ്രി പൊതു വശമുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക. ഈ കോണുകൾ അനിവാര്യമായും തൊട്ടടുത്താണോ? 4. വിദ്യാർത്ഥി 2 ലംബ കോണുകൾ നിർമ്മിച്ചു. ഇത് എത്ര ജോഡി ലൈനുകൾ സൃഷ്ടിച്ചു? 5. രണ്ട് കോണുകൾക്ക് ഒരു പൊതു ശീർഷമുണ്ട്, ഈ കോണുകൾ ഓരോന്നും 60 ഡിഗ്രിയാണ്. ഈ കോണുകൾ ലംബമായിരിക്കേണ്ടതുണ്ടോ? 6. രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നാല് കോണുകളിൽ ഒന്ന് 80 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്. ശേഷിക്കുന്ന കോണുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? 7. 120 ഡിഗ്രിയോടുകൂടിയ ലംബകോണ് ആണെങ്കിൽ ഏത് കോണാണ്?

ഉത്തരങ്ങൾ. 1. 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യം 2. ഒബ്‌റ്റ്യൂസ് ആംഗിൾ 3. നമ്പർ 4. കോണുകൾ AOC, EOM, AOE, COM ഡിഗ്രികളും 40 ഡിഗ്രികളും 7. അതെ 1. അധിക കിരണങ്ങൾ 2. അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ 3. ഇല്ല 4. ഒരു ജോഡി 5. ഇല്ല, 100 ഡിഗ്രി ഡിഗ്രികൾ

ജ്യാമിതി വളരെ ബഹുമുഖ ശാസ്ത്രമാണ്. ഇത് യുക്തി, ഭാവന, ബുദ്ധി എന്നിവ വികസിപ്പിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, അതിന്റെ സങ്കീർണ്ണത കാരണം വലിയ തുകസിദ്ധാന്തങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും, സ്കൂൾ കുട്ടികൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. കൂടാതെ, പൊതുവായി അംഗീകരിച്ച മാനദണ്ഡങ്ങളും നിയമങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ നിഗമനങ്ങൾ നിരന്തരം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

തൊട്ടടുത്തുള്ളതും ലംബവുമായ കോണുകൾ ജ്യാമിതിയുടെ അവിഭാജ്യ ഘടകമാണ്. തീർച്ചയായും പല സ്കൂൾ കുട്ടികളും അവരുടെ സ്വത്തുക്കൾ വ്യക്തവും തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ് എന്ന കാരണത്താൽ അവരെ ആരാധിക്കുന്നു.

കോണുകളുടെ രൂപീകരണം

രണ്ട് നേർരേഖകൾ മുറിച്ചോ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് രണ്ട് കിരണങ്ങൾ വരച്ചോ ആണ് ഏത് കോണും രൂപപ്പെടുന്നത്. അവയെ ഒരു അക്ഷരമോ മൂന്നോ എന്ന് വിളിക്കാം, അത് ആംഗിൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളെ തുടർച്ചയായി നിയോഗിക്കുന്നു.

കോണുകൾ ഡിഗ്രിയിൽ അളക്കുന്നു, അവയെ (അവയുടെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്) വ്യത്യസ്തമായി വിളിക്കാം. അതിനാൽ, ഒരു വലത് കോണുണ്ട്, നിശിതവും മങ്ങിയതും തുറന്നതുമാണ്. ഓരോ പേരുകളും ഒരു നിശ്ചിത അളവിലോ അതിന്റെ ഇടവേളയിലോ യോജിക്കുന്നു.

90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടാത്ത ഒരു കോണാണ് അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ.

90 ഡിഗ്രിയിൽ കൂടുതലുള്ള കോണാണ് ചരിഞ്ഞ ആംഗിൾ.

ഡിഗ്രി അളവ് 90 ആയിരിക്കുമ്പോൾ ഒരു കോണിനെ വലത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തുടർച്ചയായ ഒരു നേർരേഖയാൽ രൂപപ്പെടുകയും അതിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് 180 ആകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, അതിനെ വികസിപ്പിച്ചത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പൊതു വശം ഉള്ള കോണുകൾ, അതിന്റെ രണ്ടാം വശം പരസ്പരം തുടരുന്നു, അവയെ തൊട്ടടുത്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവ മൂർച്ചയുള്ളതോ മൂർച്ചയുള്ളതോ ആകാം. വരിയുടെ വിഭജനം അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

1. അത്തരം കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമായിരിക്കും (ഇത് തെളിയിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്). അതിനാൽ, അവയിലൊന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ഒരാൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.
2. ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന്, രണ്ട് ചരിഞ്ഞ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് നിശിത കോണുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയില്ല.

ഈ ഗുണങ്ങൾക്ക് നന്ദി, മറ്റൊരു കോണിന്റെ മൂല്യം അല്ലെങ്കിൽ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള അനുപാതം നൽകിയിട്ടുള്ള ഒരു കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് കണക്കാക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

ലംബ കോണുകൾ

വശങ്ങൾ പരസ്പരം തുടർച്ചയായിരിക്കുന്ന കോണുകളെ ലംബം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവരുടെ ഏതെങ്കിലും ഇനങ്ങൾക്ക് അത്തരമൊരു ജോഡിയായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും. ലംബ കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

നേർരേഖകൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ രൂപം കൊള്ളുന്നു. അവയ്‌ക്കൊപ്പം, അടുത്തുള്ള കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും നിലവിലുണ്ട്. ഒരു കോണിന് ഒരേസമയം ഒന്നിന് തൊട്ടടുത്തും മറ്റൊന്നിന് ലംബമായും ആകാം.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ രേഖ കടക്കുമ്പോൾ, മറ്റ് നിരവധി തരം കോണുകളും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. അത്തരമൊരു രേഖയെ സെക്കന്റ് ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് അനുബന്ധവും ഏകപക്ഷീയവും ക്രോസ്-ലൈയിംഗ് കോണുകളും ഉണ്ടാക്കുന്നു. അവർ പരസ്പരം തുല്യരാണ്. ലംബവും അടുത്തുള്ളതുമായ കോണുകളുടെ ഗുണങ്ങളുടെ വെളിച്ചത്തിൽ അവ കാണാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, കോണുകളുടെ വിഷയം വളരെ ലളിതവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. അവരുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഓർമ്മിക്കാനും തെളിയിക്കാനും എളുപ്പമാണ്. കോണുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നിടത്തോളം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി തോന്നുന്നില്ല സംഖ്യാ മൂല്യം. പിന്നീട് പാപവും ദോഷവും പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ ഒരുപാട് മനഃപാഠമാക്കേണ്ടി വരും സങ്കീർണ്ണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, അവരുടെ നിഗമനങ്ങളും അനന്തരഫലങ്ങളും. അതുവരെ, നിങ്ങൾക്ക് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ട എളുപ്പമുള്ള പസിലുകൾ ആസ്വദിക്കാം.

അധ്യായം I.

അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ.

§പതിനൊന്ന്. തൊട്ടടുത്തുള്ളതും ലംബവുമായ കോണുകൾ.

1. അടുത്തുള്ള കോണുകൾ.

ഏതെങ്കിലും കോണിന്റെ വശം അതിന്റെ ശീർഷത്തിനപ്പുറം നീട്ടുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് കോണുകൾ ലഭിക്കും (ചിത്രം 72): / ഒപ്പം സൂര്യനും / SVD, അതിൽ ഒരു വശം BC സാധാരണമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് A, BD എന്നിവ ഒരു നേർരേഖയായി മാറുന്നു.

ഒരു വശം പൊതുവായതും മറ്റ് രണ്ടെണ്ണം നേർരേഖയുണ്ടാക്കുന്നതുമായ രണ്ട് കോണുകളെ അടുത്തുള്ള കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളും ഈ രീതിയിൽ ലഭിക്കും: ഒരു വരിയിൽ ചില പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു കിരണം വരച്ചാൽ (ഒരു നിശ്ചിത വരിയിൽ കിടക്കുന്നില്ല), നമുക്ക് അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ലഭിക്കും.
ഉദാഹരണത്തിന്, / എ.ഡി.എഫും / FDВ - അടുത്തുള്ള കോണുകൾ (ചിത്രം 73).

അടുത്തുള്ള കോണുകൾക്ക് വൈവിധ്യമാർന്ന സ്ഥാനങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം (ചിത്രം 74).

അടുത്തുള്ള കോണുകൾ ഒരു നേർകോണിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, അങ്ങനെ അടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ഉമ്മ തുല്യമാണ് 2ഡി.

അതിനാൽ, ഒരു വലത് കോണിനെ അതിന്റെ അടുത്തുള്ള കോണിന് തുല്യമായ കോണായി നിർവചിക്കാം.

തൊട്ടടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ ഒന്നിന്റെ വലിപ്പം അറിഞ്ഞാൽ, അതിനോട് ചേർന്നുള്ള മറ്റൊരു കോണിന്റെ വലിപ്പം കണ്ടെത്താം.

ഉദാഹരണത്തിന്, അടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ ഒന്ന് 3/5 ആണെങ്കിൽ ഡി, അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ആംഗിൾ ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

2ഡി- 3 / 5 ഡി= l 2/5 ഡി.

2. ലംബ കോണുകൾ.

കോണിന്റെ വശങ്ങൾ അതിന്റെ ശീർഷത്തിനപ്പുറം നീട്ടിയാൽ, നമുക്ക് ലംബ കോണുകൾ ലഭിക്കും. ഡ്രോയിംഗ് 75 ൽ, EOF, AOC എന്നീ കോണുകൾ ലംബമാണ്; AOE, COF എന്നീ കോണുകളും ലംബമാണ്.

ഒരു കോണിന്റെ വശങ്ങൾ മറ്റൊരു കോണിന്റെ വശങ്ങളുടെ തുടർച്ചയാണെങ്കിൽ രണ്ട് കോണുകളെ ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അനുവദിക്കുക / 1 = 7 / 8 ഡി(ചിത്രം 76). അതിനോട് ചേർന്ന് / 2 എന്നത് 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും ഡി- 7 / 8 ഡി, അതായത് 1 1/8 ഡി.

അതേ രീതിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് അവ തുല്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കാം / 3 ഒപ്പം / 4.
/ 3 = 2ഡി - 1 1 / 8 ഡി = 7 / 8 ഡി; / 4 = 2ഡി - 7 / 8 ഡി = 1 1 / 8 ഡി(ചിത്രം 77).

ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു / 1 = / 3 ഒപ്പം / 2 = / 4.

നിങ്ങൾക്ക് സമാനമായ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഫലം ലഭിക്കും: ലംബ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, ലംബ കോണുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, വ്യക്തിഗതമായി പരിഗണിക്കുന്നത് മതിയാകില്ല സംഖ്യാ ഉദാഹരണങ്ങൾ, പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എടുക്കുന്ന നിഗമനങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ തെറ്റായിരിക്കാം.

ന്യായവാദത്തിലൂടെയും തെളിവിലൂടെയും ലംബ കോണുകളുടെ ഗുണങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

തെളിവ് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നടപ്പിലാക്കാം (ചിത്രം 78):

/ a+/ സി = 2ഡി;
/ b+/ സി = 2ഡി;

(അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 2 ആയതിനാൽ ഡി).

/ a+/ സി = / b+/ സി

(കൂടാതെ ഇടത് വശംഈ സമത്വം 2 ന് തുല്യമാണ് ഡി, അതിന്റെ വലതുഭാഗവും 2 ന് തുല്യമാണ് ഡി).

ഈ സമത്വത്തിൽ ഒരേ കോണും ഉൾപ്പെടുന്നു കൂടെ.

നമ്മൾ തുല്യ അളവിൽ നിന്ന് തുല്യ തുകകൾ കുറച്ചാൽ, തുല്യ തുകകൾ നിലനിൽക്കും. ഫലം ഇതായിരിക്കും: / എ = / ബി, അതായത് ലംബ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

ലംബ കോണുകളുടെ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുമ്പോൾ, ഏത് കോണുകളെയാണ് ലംബമെന്ന് വിളിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യം വിശദീകരിച്ചു, അതായത്. നിർവചനംലംബ കോണുകൾ.

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ലംബ കോണുകളുടെ തുല്യതയെക്കുറിച്ച് ഒരു വിധി (പ്രസ്താവന) നടത്തുകയും തെളിവിലൂടെ ഈ വിധിയുടെ സാധുതയെക്കുറിച്ച് ബോധ്യപ്പെടുകയും ചെയ്തു. അത്തരം വിധിന്യായങ്ങൾ, അതിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കപ്പെടണം, വിളിക്കപ്പെടുന്നു സിദ്ധാന്തങ്ങൾ. അതിനാൽ, ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ലംബ കോണുകളുടെ ഒരു നിർവചനം നൽകി, കൂടാതെ അവയുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു സിദ്ധാന്തം പ്രസ്താവിക്കുകയും തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തു.

ഭാവിയിൽ, ജ്യാമിതി പഠിക്കുമ്പോൾ, സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങളും തെളിവുകളും നമുക്ക് നിരന്തരം നേരിടേണ്ടിവരും.

3. ഒരു പൊതു ശീർഷം ഉള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക.

ഡ്രോയിംഗിൽ 79 / 1, / 2, / 3 ഒപ്പം / 4 വരിയുടെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, ഈ വരിയിൽ ഒരു പൊതു ശീർഷകമുണ്ട്. മൊത്തത്തിൽ, ഈ കോണുകൾ ഒരു നേർകോണാണ്, അതായത്.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2ഡി.

ഡ്രോയിംഗിൽ 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ഒപ്പം / 5 ന് ഒരു പൊതു ശീർഷമുണ്ട്. ചുരുക്കത്തിൽ, ഈ കോണുകൾ ഒരു പൂർണ്ണ കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്നു, അതായത്. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4ഡി.

വ്യായാമങ്ങൾ.

1. അടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ ഒന്ന് 0.72 ആണ് ഡി.ഈ അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ രൂപംകൊണ്ട കോണിനെ കണക്കാക്കുക.

2. അടുത്തടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകൾ ഒരു വലത് കോണായി മാറുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. രണ്ട് കോണുകൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അടുത്തുള്ള കോണുകളും തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

4. ഡ്രോയിംഗ് 81-ൽ എത്ര ജോഡി കോണുകൾ ഉണ്ട്?

5. ഒരു ജോടി അടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ രണ്ട് നിശിത കോണുകൾ ഉണ്ടാകുമോ? രണ്ട് മങ്ങിയ കോണുകളിൽ നിന്ന്? വലത്, മങ്ങിയ കോണുകളിൽ നിന്ന്? വലത് നിശിത കോണിൽ നിന്ന്?

6. അടുത്തുള്ള കോണുകളിൽ ഒന്ന് ശരിയാണെങ്കിൽ, അതിനോട് ചേർന്നുള്ള കോണിന്റെ വലുപ്പത്തെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?

7. രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ കവലയിൽ ഒരു കോണി ശരിയാണെങ്കിൽ, മറ്റ് മൂന്ന് കോണുകളുടെ വലുപ്പത്തെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?