ലോഗരിതങ്ങളുടെ സംക്ഷിപ്ത സവിശേഷതകൾ. ലോഗരിഥമിക് ഫോർമുലകൾ

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, വെറും 10-20 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ:

1. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ക്ലാസ് പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് ഒന്നും കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഗുണനപ്പട്ടികയും ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്നും മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും...

നിങ്ങൾക്ക് സംശയമുണ്ടെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു... ശരി, സമയം അടയാളപ്പെടുത്തൂ! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

ബന്ധപ്പെട്ട്

നൽകിയിട്ടുള്ള മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. a ഉം N ഉം നൽകിയാൽ, അവ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തും. x ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എടുത്ത് (അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തി) N ഉം a ഉം നൽകിയാൽ. ഇപ്പോൾ a, N എന്നിവ നൽകിയാൽ x കണ്ടെത്തേണ്ട സന്ദർഭം പരിഗണിക്കുക.

N എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ: a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ല: .

നിർവ്വചനം. N സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം ആണ്, N എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം; ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്

അങ്ങനെ, തുല്യതയിൽ (26.1) ഘാതം a അടിസ്ഥാനം N യുടെ ലോഗരിതം ആയി കാണപ്പെടുന്നു. പോസ്റ്റുകൾ

ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. സമത്വം (26.1) ചിലപ്പോൾ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ അത് ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം എപ്പോഴും പോസിറ്റീവും ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്; ലോഗരിഥമിക് നമ്പർ N പോസിറ്റീവ് ആണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പൂജ്യത്തിനും ലോഗരിതം ഇല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനാൽ സമത്വം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഇവിടെ വ്യവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക; അല്ലെങ്കിൽ, x, y എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കും തുല്യത ശരിയാണെന്നതിനാൽ, നിഗമനം ന്യായീകരിക്കപ്പെടില്ല.

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 2 പവർ ആയി ഉയർത്തണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:

ഉദാഹരണം 2. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ 1, 2 എന്നിവയിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബേസിൻ്റെ ശക്തിയായി ലോഗരിതം സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്തി. IN പൊതുവായ കേസ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി, മുതലായവ, ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ലോഗരിതത്തിന് യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യമുണ്ട്. ഈ പ്രസ്താവനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വിഷയം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഖണ്ഡിക 12 ൽ, തന്നിരിക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ നൽകി. ലോഗരിതം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമായിരുന്നു, പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, അവിവേക സംഖ്യകളാകാം.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്നാണ്

നേരെമറിച്ച്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് എന്ന് അനുവദിക്കുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ബേസിൻ്റെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിലൂടെ (ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിൻ്റെ പൂജ്യം പവർ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാണുക (10.1)). ഇവിടെ നിന്ന്

ക്യു.ഇ.ഡി.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, N = 1. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് .

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, a, b എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ c-യേക്കാൾ വലുതോ c-യിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ c യുടെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുമെന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് c-നേക്കാൾ വലുതും മറ്റേത് c-നേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, അവ c യുടെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നു എന്ന് നമ്മൾ പറയും.

പ്രോപ്പർട്ടി 3. സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് ആണ്; സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആധാരം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a യുടെ ശക്തി ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ൻ്റെ തെളിവ്. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലും ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഒന്നിൽ കുറവും ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ശക്തി ഒന്നിൽ കുറവാണ്.

പരിഗണിക്കേണ്ട നാല് കേസുകൾ ഉണ്ട്:

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും; ബാക്കിയുള്ളവ വായനക്കാരൻ സ്വന്തമായി പരിഗണിക്കും.

അപ്പോൾ തുല്യതയിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3. ചുവടെയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംഖ്യ 15 ഉം അടിസ്ഥാന 12 ഉം ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്തായതിനാൽ;

ബി) 1000 ഉം 2 ഉം യൂണിറ്റിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് നമ്പറിനേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് പ്രധാനമല്ല;

c) 3.1 ഉം 0.8 ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നതിനാൽ;

ജി) ; എന്തുകൊണ്ട്?

d) ; എന്തുകൊണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4-6 നെ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ചില സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം അറിയുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഘടകാംശം, ഓരോന്നിൻ്റെയും ഡിഗ്രി എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ അവ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി 4 (ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം നിയമം). നിരവധി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ അടിസ്ഥാനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക്.

തെളിവ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ.

അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന തുല്യത (26.1) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും

ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ തുല്യത ലഭിക്കും:

അവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; രണ്ടിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾഅർത്ഥമുണ്ട്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പൊതുവേ, നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 5 (ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം). പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് എടുക്കുന്നു. തെളിവ്. ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു

ക്യു.ഇ.ഡി.

പ്രോപ്പർട്ടി 6 (പവർ ലോഗരിതം റൂൾ). ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ആ സംഖ്യയുടെ ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി (26.1) വീണ്ടും എഴുതാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം, മൂലത്തിൻ്റെ ഘാതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ റാഡിക്കലിൻ്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 6 എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഉപയോഗിക്കാമെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അനന്തരഫലത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 4. a അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ ലോഗരിതം എടുക്കുക:

a) (എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും b, c, d, e എന്നിവ പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു);

b) (അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു).

പരിഹാരം, a) ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സമത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (26.5)-(26.7), നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

സംഖ്യകളേക്കാൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളിൽ നടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു, മുതലായവ.

അതുകൊണ്ടാണ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് (ഖണ്ഡിക 29 കാണുക).

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ അല്ല പ്രത്യേക പ്രവർത്തനം: ഇത് അടിത്തറയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു (സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യം). "പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദം "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദത്തിൻ്റെ പര്യായമായി കണക്കാക്കാം.

പൊട്ടൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം: ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പ്രത്യേകിച്ചും, മുന്നിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൻ്റെ, പിന്നെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് അത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഡിഗ്രികളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഉദാഹരണം 5. N എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന 2/3, 1/3 എന്നീ ഘടകങ്ങളെ ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വ ശൃംഖലയിലെ അവസാന അംശം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ മോചിപ്പിച്ചു (ക്ലോസ് 25).

പ്രോപ്പർട്ടി 7. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പിന്നെ വലിയ സംഖ്യഒരു വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറുതും ഉണ്ട്), അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറിയ ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരിക്കും (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് വലുത്).

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമമായും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇവയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അസമത്വങ്ങളെ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിഥിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഖണ്ഡിക 80-ഉം കാണുക).

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 3 ഉം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എങ്കിൽ , പിന്നെ, ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക

(എയും N/M ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണ്). ഇവിടെ നിന്ന്

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, വായനക്കാരൻ അത് സ്വയം കണ്ടെത്തും.

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിൻ്റെയും വ്യവകലനത്തിൻ്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിൻ്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിൻ്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പുരാതന ടേബിളുകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഇത് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ രൂപത്തിലുള്ള ശക്തികൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്കും പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. പുതിയത് സങ്കീർണ്ണമായ പട്ടികകൾസൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, അതുപോലെ സ്പർശനങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിന്. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അത് മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു. മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി പുതിയ പ്രവർത്തനംബീജഗണിതത്തിൽ അത് അതിൻ്റെ പൂർണ്ണ രൂപം കൈവരിച്ചു. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനം നൽകുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x എന്നത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദമെന്ന നിലയിൽ ഇത് ഇതായിരിക്കും: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), quotient ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് വരുത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല - ഒരു തുകയുടെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിച്ചു അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലപോളിനോമിയൽ വികാസത്തിൻ്റെ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തം:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതൽ, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത്.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് എല്ലാ ജോലികളും ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകം രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ലോഗരിതം ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ തിരയലിനെ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ നീണ്ട കാലംഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഉപകരണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷൻ്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കുകയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് നേടിയെടുത്തത് വലിയ പ്രാധാന്യംയഥാർത്ഥ ലോക വസ്തുക്കളെ വിവരിക്കാൻ. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മാനുഷിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പറയാം സംഖ്യാപരമായ ആശ്രിതത്വങ്ങൾ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾഗവേഷണവും അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിലാണ്. വിവരണങ്ങളുടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം ഭൗതിക നിയമങ്ങൾലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റോക്കറ്റിൻ്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിൻ്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ - എഞ്ചിൻ്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണ.
• M 1 - റോക്കറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിൻ്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിൻ്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിൻ്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തന മേഖലകളിൽ അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

ഇന്ന് നമ്മൾ സംസാരിക്കും ലോഗരിഥമിക് ഫോർമുലകൾഞങ്ങൾ സൂചന നൽകും പരിഹാര ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾക്കനുസൃതമായി അവ സ്വയം പരിഹാര പാറ്റേണുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പരിഹരിക്കാൻ ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, എല്ലാ ഗുണങ്ങളും നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം:

ഇപ്പോൾ, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (പ്രോപ്പർട്ടികൾ) അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ കാണിക്കും ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഫോർമുലകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ലോഗരിതം a (ലോഗ് a b കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു) ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ b എന്നത് b > 0, a > 0, 1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് b ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഒരു ഘാതം ആണ്.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, a b = x ലോഗ് ചെയ്യുക, അത് a x = b ന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ a a x = x ലോഗ് ചെയ്യുക.

ലോഗരിതംസ്, ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗ് 2 8 = 3, കാരണം 2 3 = 8

ലോഗ് 7 49 = 2, കാരണം 7 2 = 49

ലോഗ് 5 1/5 = -1, കാരണം 5 -1 = 1/5

ദശാംശ ലോഗരിതം- ഇതൊരു സാധാരണ ലോഗരിതം ആണ്, ഇതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം 10 ആണ്. ഇത് lg ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ലോഗ് 10 100 = 2, കാരണം 10 2 = 100

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം- ഒരു സാധാരണ ലോഗരിതം, ഒരു ലോഗരിതം, എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം e (e = 2.71828... - ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യ). ln എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളോ ഗുണങ്ങളോ ഓർമ്മിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്, കാരണം ലോഗരിതം, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ എന്നിവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് അവ പിന്നീട് ആവശ്യമായി വരും. നമുക്ക് ഓരോ സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വീണ്ടും പ്രവർത്തിക്കാം.

• അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി
  ഒരു ലോഗ് a b = b

  8 2ലോഗ് 8 3 = (8 2ലോഗ് 8 3) 2 = 3 2 = 9

• ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്
  ലോഗ് എ (ബിസി) = ലോഗ് എ ബി + ലോഗ് എ സി

  ലോഗ് 3 8.1 + ലോഗ് 3 10 = ലോഗ് 3 (8.1*10) = ലോഗ് 3 81 = 4

• ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്
  ലോഗ് എ (ബി/സി) = ലോഗ് എ ബി - ലോഗ് എ സി

  9 ലോഗ് 5 50/9 ലോഗ് 5 2 = 9 ലോഗ് 5 50- ലോഗ് 5 2 = 9 ലോഗ് 5 25 = 9 2 = 81

• ഒരു ലോഗരിഥമിക് സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെയും ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയുടെയും ഗുണവിശേഷതകൾ

  ലോഗരിതം ഘാതം ലോഗ് നമ്പറുകൾ a b m = mlog a b

  ലോഗരിതം ലോഗ് a n b =1/n*log a b യുടെ അടിത്തറയുടെ ഘാതം

  ലോഗ് a n b m = m/n*log a b,

  m = n ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് log a n b n = log a b ലഭിക്കും

  ലോഗ് 4 9 = ലോഗ് 2 2 3 2 = ലോഗ് 2 3

• ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം
  ലോഗ് എ ബി = ലോഗ് സി ബി/ലോഗ് സി എ,

  c = b ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലോഗ് b b = 1 ലഭിക്കും

  തുടർന്ന് a b = 1/log b a ലോഗ് ചെയ്യുക

  ലോഗ് 0.8 3*ലോഗ് 3 1.25 = ലോഗ് 0.8 3*ലോഗ് 0.8 1.25/ലോഗ് 0.8 3 = ലോഗ് 0.8 1.25 = ലോഗ് 4/5 5/4 = -1

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ തോന്നുന്നത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ഇപ്പോൾ, ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച ശേഷം, നമുക്ക് ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പോകാം. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ലേഖനത്തിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി പരിശോധിക്കും: "". നഷ്ടപ്പെടരുത്!

പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ലേഖനത്തിലെ അഭിപ്രായങ്ങളിൽ അവ എഴുതുക.

കുറിപ്പ്: ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ക്ലാസ് വിദ്യാഭ്യാസം നേടാനും ഒരു ഓപ്ഷനായി വിദേശത്ത് പഠിക്കാനും തീരുമാനിച്ചു.

a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) a (a>0, a 1 ന് തുല്യമല്ല) ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം c ഒരു സംഖ്യയാണ്. > 0)       

ഒരു പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൂടാതെ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം 1-ന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കണം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ -2 സ്ക്വയർ ചെയ്താൽ, നമുക്ക് നമ്പർ 4 ലഭിക്കും, എന്നാൽ 4-ൻ്റെ ബേസ് -2-ലേക്കുള്ള ലോഗരിതം എന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. 2 ന് തുല്യമാണ്.

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

ഒരു ലോഗ് a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

ഈ ഫോർമുലയുടെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വ്യത്യസ്തമാണെന്നത് പ്രധാനമാണ്. ഇടത് വശം b>0, a>0, a ≠ 1 എന്നിവയ്ക്ക് മാത്രം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. വലത് ഭാഗംഏത് b യ്ക്കും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ a യെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. അങ്ങനെ, സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് "ഐഡൻ്റിറ്റി" പ്രയോഗിക്കുന്നത് OD-യിൽ ഒരു മാറ്റത്തിന് ഇടയാക്കും.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ രണ്ട് വ്യക്തമായ അനന്തരഫലങ്ങൾ

ലോഗ് a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
ലോഗ് a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

വാസ്തവത്തിൽ, a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് അതേ സംഖ്യ ലഭിക്കും, അത് പൂജ്യം പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ഒന്ന് ലഭിക്കും.

ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം

ലോഗ് എ (ബി സി) = ലോഗ് എ ബി + ലോഗ് എ സി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0) (5)

ലോഗ് എ ബി സി = ലോഗ് എ ബി - ലോഗ് എ സി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0) (6)

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിന്താശൂന്യമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനെതിരെ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവ "ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്" ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ODZ ചുരുങ്ങുന്നു, കൂടാതെ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൽ നിന്ന് ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെയോ ഘടകത്തിൻ്റെയോ ലോഗരിതത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ, ODZ വികസിക്കുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, ലോഗ് a (f (x) g (x)) എന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളും കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ f(x), g(x) എന്നിവ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുമ്പോൾ.

ഈ പദപ്രയോഗത്തെ സം ലോഗ് a f (x) + log a g (x) ആക്കി മാറ്റുന്നത്, f(x)>0, g(x)>0 എന്നിവയിൽ മാത്രം പരിമിതപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾ നിർബന്ധിതരാകുന്നു. സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി കുറയുന്നു, ഇത് പ്രത്യേകമായി അസ്വീകാര്യമാണ്, കാരണം ഇത് പരിഹാരങ്ങളുടെ നഷ്ടത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നം ഫോർമുലയ്ക്ക് (6) നിലവിലുണ്ട്.

ലോഗരിതം എന്ന ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുക്കാം

ലോഗ് എ ബി പി = പി ലോഗ് എ ബി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0) (7)

വീണ്ടും ഞാൻ കൃത്യതയ്ക്കായി വിളിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

ലോഗ് a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള f(x) ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും തുല്യതയുടെ ഇടതുവശം വ്യക്തമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. വലതുഭാഗം f(x)>0-ന് മാത്രമുള്ളതാണ്! ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് ബിരുദം എടുക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ODZ ചുരുക്കുന്നു. വിപരീത നടപടിക്രമം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുടെ വികാസത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ അഭിപ്രായങ്ങളെല്ലാം പവർ 2 ന് മാത്രമല്ല, ഏത് ഇരട്ട ശക്തിക്കും ബാധകമാണ്.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

ലോഗ് എ ബി = ലോഗ് സി ബി ലോഗ് സി എ (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0, സി ≠ 1) (8)

പരിവർത്തന സമയത്ത് ODZ മാറാത്ത അപൂർവ സന്ദർഭം. നിങ്ങൾ ബേസ് c ബുദ്ധിപൂർവ്വം തിരഞ്ഞെടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (പോസിറ്റീവ്, 1 ന് തുല്യമല്ല), ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പൂർണ്ണമായും സുരക്ഷിതമാണ്.

പുതിയ ബേസ് സി ആയി ബി നമ്പർ തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, നമുക്ക് ഒരു പ്രധാനം ലഭിക്കും പ്രത്യേക കേസ്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (8):

ലോഗ് a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

ലോഗരിതം ഉള്ള ചില ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1. കണക്കാക്കുക: log2 + log50.
പരിഹാരം. log2 + log50 = log100 = 2. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം ഫോർമുലയുടെ ആകെത്തുകയും (5) ദശാംശ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനവും ഉപയോഗിച്ചു.

ഉദാഹരണം 2. കണക്കാക്കുക: lg125/lg5.
പരിഹാരം. log125/log5 = ലോഗ് 5 125 = 3. ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് (8) നീങ്ങുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചു.

ലോഗരിതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

ഒരു ലോഗ് a b = b (a > 0, a ≠ 1)

ലോഗ് a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

ലോഗ് a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

ലോഗ് എ (ബി സി) = ലോഗ് എ ബി + ലോഗ് എ സി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0)

ലോഗ് എ ബി സി = ലോഗ് എ ബി - ലോഗ് എ സി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0)

ലോഗ് എ ബി പി = പി ലോഗ് എ ബി (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0)

ലോഗ് എ ബി = ലോഗ് സി ബി ലോഗ് സി എ (എ > 0, എ ≠ 1, ബി > 0, സി > 0, സി ≠ 1)

ലോഗ് a b = 1 ലോഗ് b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)