നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എക്സ്ട്രീമ. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ. ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ അവസ്ഥ. സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം. ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി. ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

പ്രഭാഷണം 5.

നിർവ്വചനം 5.1.ഡോട്ട് M 0 (x 0, y 0)വിളിച്ചു പരമാവധി പോയിൻ്റ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ z = f (x, y),എങ്കിൽ f (x o , y o) > f(x,y)എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും (x, y) എം 0.

നിർവ്വചനം 5.2.ഡോട്ട് M 0 (x 0, y 0)വിളിച്ചു മിനിമം പോയിൻ്റ്പ്രവർത്തനങ്ങൾ z = f (x, y),എങ്കിൽ f (x o , y o) < f(x,y)എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും (x, y)ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കത്ത് നിന്ന് എം 0.

കുറിപ്പ് 1. പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾനിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പരാമർശം 2. എത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റ് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 5.1 (ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾഎക്സ്ട്രീം). എങ്കിൽ M 0 (x 0, y 0)- ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് z = f (x, y),ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

തെളിവ്.

നമുക്ക് വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ശരിയാക്കാം ചെയ്തത്, എണ്ണുന്നു y = y 0. തുടർന്ന് ചടങ്ങ് f (x, y 0)ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും എക്സ്, അതിനായി x = x 0എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആണ്. അതിനാൽ, ഫെർമാറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. അതേ പ്രസ്താവന സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 5.3.ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾഈ പ്രവർത്തനം.

അഭിപ്രായം. അതിനാൽ, നിശ്ചല പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ എക്സ്ട്രീം എത്താൻ കഴിയൂ, പക്ഷേ അവ ഓരോന്നിലും അത് നിരീക്ഷിക്കപ്പെടണമെന്നില്ല.

സിദ്ധാന്തം 5.2(ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ). പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ അനുവദിക്കുക M 0 (x 0, y 0), ഇത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റാണ് z = f (x, y),ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ മൂന്നാം ഓർഡർ ഉൾപ്പെടെ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. അപ്പോൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം:

1) f(x,y)പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ട് എം 0പരമാവധി എങ്കിൽ എസി–ബി² > 0, എ < 0;

2) f(x,y)പോയിൻ്റിൽ ഉണ്ട് എം 0കുറഞ്ഞത് എങ്കിൽ എസി–ബി² > 0, എ > 0;

3) എങ്കിൽ നിർണ്ണായക ഘട്ടത്തിൽ തീവ്രതയില്ല എസി–ബി² < 0;

4) എങ്കിൽ എസി–ബി² = 0, കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.

തെളിവ്.

ചടങ്ങിനായി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല എഴുതാം f(x,y),ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൽ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർക്കുന്നു:

എവിടെ സെഗ്മെൻ്റ് തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണെങ്കിൽ എം 0 എം, എവിടെ എം (x 0 +Δ x, y 0 +Δ ചെയ്തത്), O അക്ഷവും എക്സ്φ സൂചിപ്പിക്കുക, തുടർന്ന് Δ x =Δ ρ കോസ് φ, Δ y=Δρsinφ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടെയ്‌ലറുടെ ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും: . അപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റിലെ എക്സ്പ്രഷൻ വിഭജിച്ച് ഗുണിക്കാം എ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇനി നമുക്ക് നാലെണ്ണം പരിഗണിക്കാം സാധ്യമായ കേസുകൾ:

1) എസി-ബി² > 0, എ < 0. Тогда , и ആവശ്യത്തിന് ചെറിയ Δρ. അതിനാൽ, ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), അതാണ് എം 0- പരമാവധി പോയിൻ്റ്.

2) അനുവദിക്കുക എസി–ബി² > 0, എ > 0.പിന്നെ , ഒപ്പം എം 0- മിനിമം പോയിൻ്റ്.

3) അനുവദിക്കുക എസി-ബി² < 0, എ> 0. റേ φ = 0 സഹിതമുള്ള ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ വർദ്ധനവ് പരിഗണിക്കുക. തുടർന്ന് (5.1) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു , അതായത്, ഈ കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു. നമ്മൾ ഒരു കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ tg φ 0 = -A/B,അത് അതിനാൽ, ഈ കിരണത്തിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. അതിനാൽ, കാലഘട്ടം എം 0ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് അല്ല.

3`) എപ്പോൾ എസി–ബി² < 0, എ < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായത്.

3``) എങ്കിൽ എസി–ബി² < 0, എ= 0, അപ്പോൾ . . അപ്പോൾ വേണ്ടത്ര ചെറിയ φ എന്ന പദപ്രയോഗം 2 ബി cosφ + സി sinφ 2-ന് അടുത്താണ് IN, അതായത്, അത് ഒരു സ്ഥിരമായ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു, എന്നാൽ sinφ പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്തെ അടയാളം മാറ്റുന്നു എം 0.ഇതിനർത്ഥം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവിൻ്റെ സമീപത്തുള്ള അടയാളത്തെ മാറ്റുന്നു, അതിനാൽ ഇത് ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല.

4) എങ്കിൽ എസി–ബി² = 0, ഒപ്പം , , അതായത്, ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെ അടയാളം 2α 0 എന്ന ചിഹ്നത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അതേ സമയം, ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം. നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം z = x² - 2 xy + 2വൈ² + 2 x.സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു . അതിനാൽ, സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് (-2,-1) ആണ്. അതിൽ എ = 2, IN = -2, കൂടെ= 4. പിന്നെ എസി–ബി² = 4 > 0, അതിനാൽ, ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവിൽ ഒരു തീവ്രത എത്തുന്നു, അതായത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് (മുതൽ എ > 0).

നിർവ്വചനം 5.4.ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ f (x 1 , x 2 ,…, x n)ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു അധിക വ്യവസ്ഥകൾപോലെ എംസമവാക്യങ്ങൾ ( എം< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0,…, φ മീറ്റർ ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ φ i തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉള്ളിടത്ത്, സമവാക്യങ്ങൾ (5.2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം 5.5.പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അതിരുകടന്ന ഭാഗം f (x 1 , x 2 ,…, x n)വ്യവസ്ഥകൾ (5.2) പാലിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം.

അഭിപ്രായം. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം നമുക്ക് നൽകാം: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ അനുവദിക്കുക f(x,y)φ എന്ന സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (x,y)= 0, O വിമാനത്തിലെ ചില വക്രങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു xy. ഈ വക്രത്തിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റിൽ നിന്നും O വിമാനത്തിലേക്ക് ലംബമായി പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു xyഅത് ഉപരിതലവുമായി വിഭജിക്കുന്നത് വരെ z = f (x,y),φ കർവിന് മുകളിലുള്ള ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു സ്പേഷ്യൽ കർവ് നമുക്ക് ലഭിക്കും (x,y)= 0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വക്രത്തിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല, തീർച്ചയായും, പൊതുവായ കേസ്ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടരുത് f(x,y).

താഴെ പറയുന്ന നിർവചനം ആദ്യം അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം:

നിർവ്വചനം 5.6.ഫംഗ്ഷൻ L (x 1 , x 2 ,..., x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

എവിടെ λi -ചിലത് സ്ഥിരമാണ്, വിളിക്കപ്പെടുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ, കൂടാതെ അക്കങ്ങളും ഐ– അനിശ്ചിത ലഗ്രാഞ്ച് ഗുണിതങ്ങൾ.

സിദ്ധാന്തം 5.3(ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ). ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രത z = f (x, y)കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ φ ( x, y)= 0 ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ നേടാനാകൂ L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

തെളിവ്. കപ്ലിംഗ് സമവാക്യം ഒരു അവ്യക്തമായ ബന്ധത്തെ വ്യക്തമാക്കുന്നു ചെയ്തത്നിന്ന് എക്സ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും ചെയ്തത്നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് എക്സ്: y = y(x).പിന്നെ zമുതൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം ഉണ്ട് എക്സ്, അതിൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ വ്യവസ്ഥയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: . (5.4) കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു . (5.5)

നമുക്ക് സമത്വത്തെ (5.5) ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് (5.4) കൂടെ ചേർക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

, അഥവാ .

അവസാനത്തെ തുല്യത നിശ്ചലമായ പോയിൻ്റുകളിൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം, അതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു:

(5.6)

മൂന്ന് അജ്ഞാതർക്കായി മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും: x, yകൂടാതെ λ, കൂടാതെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളാണ്. സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് (5.6) സഹായകമായ അജ്ഞാത λ ഒഴിവാക്കുന്നതിലൂടെ, യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനത്തിന് സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടായിരിക്കാവുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

പരാമർശം 1. സിദ്ധാന്തം 5.2 മായി സാമ്യമുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാം-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിച്ചുകൊണ്ട് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റിൽ ഒരു സോപാധികമായ അഗ്രഭാഗത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യം പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്.

പരാമർശം 2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ തീവ്രതയിൽ എത്താൻ കഴിയുന്ന പോയിൻ്റുകൾ f (x 1 , x 2 ,…, x n)വ്യവസ്ഥകൾ (5.2) പാലിക്കപ്പെടുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങളായി നിർവചിക്കാം (5.7)

ഉദാഹരണം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം z = xyഅത് നൽകി x + y= 1. നമുക്ക് Lagrange ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). സിസ്റ്റം (5.6) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

എവിടെ -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5 അതിൽ L(x,y)രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0.5 ≤ 0.5, അതിനാൽ കണ്ടെത്തിയ നിശ്ചല പോയിൻ്റിൽ L(x,y)പരമാവധി ഉണ്ട് z = xy -സോപാധിക പരമാവധി.

സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീമ

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി.

FNP യുടെ പ്രാദേശിക തീവ്രത

ഫങ്ഷൻ കൊടുക്കട്ടെ ഒപ്പം= എഫ്(പി), РÎDÌR എൻപോയിൻ്റ് P 0 ( എ 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) –ആന്തരികംപോയിൻ്റ് ഓഫ് സെറ്റ് ഡി.

നിർവ്വചനം 9.4.

1) പോയിൻ്റ് P 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു പരമാവധി പോയിൻ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(P), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ U(P 0) М D ഏത് പോയിൻ്റിനും P( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n)О U(P 0), Р¹Р 0 , വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ് എഫ്(പി)£ എഫ്(പി 0) . അർത്ഥം എഫ്(P 0) പരമാവധി പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരമാവധി നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എഫ്(P0) = പരമാവധി എഫ്(പി)

2) പോയിൻ്റ് P 0 എന്ന് വിളിക്കുന്നു മിനിമം പോയിൻ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(P), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ U(P 0)Ì D ഏത് പോയിൻ്റിനും P( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ് എഫ്(പി)³ എഫ്(പി 0) . അർത്ഥം എഫ്(P 0) മിനിമം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പ്രവർത്തനം നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എഫ്(P 0) = മിനിറ്റ് എഫ്(പി).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു തീവ്ര പോയിൻ്റുകൾ, എക്സ്ട്രീമ പോയിൻ്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രത.

നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, അസമത്വങ്ങൾ എഫ്(പി)£ എഫ്(പി 0), എഫ്(പി)³ എഫ്(P 0) പോയിൻ്റ് P 0 ൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ മാത്രമേ തൃപ്‌തിപ്പെടാവൂ, അല്ലാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും അല്ല, അതായത് ഫംഗ്‌ഷന് ഒരേ തരത്തിലുള്ള നിരവധി എക്‌സ്‌ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം (നിരവധി മിനിമ, നിരവധി മാക്‌സിമ) . അതിനാൽ, മുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന തീവ്രതയെ വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശികമായ(പ്രാദേശിക) അങ്ങേയറ്റം.

സിദ്ധാന്തം 9.1 (FNP യുടെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ)

ചടങ്ങാണെങ്കിൽ ഒപ്പം= എഫ്(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ..., x n) P 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അതിൻ്റെ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

തെളിവ്.പോയിൻ്റ് P 0 ( എ 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) പ്രവർത്തനം ഒപ്പം= എഫ്(പി) ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, പരമാവധി. നമുക്ക് വാദങ്ങൾ ശരിയാക്കാം എക്സ് 2 , ..., x n, ഇടുന്നു എക്സ് 2 =എ 2 ,..., x n = ഒരു പി. പിന്നെ ഒപ്പം= എഫ്(പി) = എഫ് 1 ((എക്സ് 1 , എ 2 , ..., ഒരു പി) എന്നത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ് 1 . ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഉള്ളതിനാൽ എക്സ് 1 = എ 1 എക്സ്ട്രീം (പരമാവധി), പിന്നെ എഫ് 1 ¢=0 അല്ലെങ്കിൽ എപ്പോൾ നിലവിലില്ല എക്സ് 1 =എ 1 (ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ). പക്ഷേ, അതിനർത്ഥം P 0 - എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൽ നിലവിലില്ല എന്നാണ്. അതുപോലെ, മറ്റ് വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സി.ടി.ഡി.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലെ പോയിൻ്റുകൾ, ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഈ പ്രവർത്തനം.

സിദ്ധാന്തം 9.1-ൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നതുപോലെ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിൽ എഫ്എൻപിയുടെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ അന്വേഷിക്കണം. പക്ഷേ, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, എല്ലാ നിർണായക പോയിൻ്റും ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല.

സിദ്ധാന്തം 9.2 (FNP യുടെ തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ അവസ്ഥ)

P 0 ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ ഒപ്പം= എഫ്(പി) ഒപ്പം ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ആണ്. പിന്നെ

എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P 0) > 0 at , അപ്പോൾ P 0 ഒരു പോയിൻ്റാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(പി);

b) എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P0)< 0 при , то Р 0 – точка പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒപ്പം= എഫ്(പി);

സി) എങ്കിൽ ഡി 2 യു(P 0) ചിഹ്നത്താൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, പിന്നെ P 0 ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റല്ല;

തെളിവില്ലാതെ ഞങ്ങൾ ഈ സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കും.

എപ്പോൾ എന്നത് സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഡി 2 യു(P 0) = 0 അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. ഇതിനർത്ഥം അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ പോയിൻ്റ് പി 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം തുറന്നിരിക്കുന്നു - ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് അധിക ഗവേഷണം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് പഠിക്കുന്നു.

കൂടുതൽ വിശദമായ ഗണിത കോഴ്‌സുകളിൽ അത് തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും പ്രവർത്തനത്തിന് z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫോമിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ്

പി 0 എന്ന നിർണായക പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം സാന്നിധ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ലളിതമാക്കാം.

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം, , . നമുക്ക് ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റ് രചിക്കാം

.

മാറുന്നത്:

ഡി 2 z> 0 പോയിൻ്റിൽ P 0, അതായത്. പി 0 - മിനിമം പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ എ(P 0) > 0, D(P 0) > 0;

ഡി 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если എ(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

D(P 0) ആണെങ്കിൽ< 0, то ഡി 2 zപോയിൻ്റ് P 0 ന് സമീപം അത് അടയാളം മാറ്റുന്നു, പോയിൻ്റ് P 0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല;

D(Р 0) = 0 ആണെങ്കിൽ, നിർണായക പോയിൻ്റ് Р 0 ന് സമീപമുള്ള പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അധിക പഠനങ്ങളും ആവശ്യമാണ്.

അങ്ങനെ, ചടങ്ങിനായി z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉണ്ട് (ഇതിനെ "അൽഗോരിതം ഡി" എന്ന് വിളിക്കാം).

1) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക D( എഫ്) പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

2) നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത്. ഡി( എഫ്), ഇവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല.

3) ഓരോ നിർണായക പോയിൻ്റിലും പി 0, എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ പരിശോധിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തുക , എവിടെ , , കൂടാതെ D(P 0) കൂടാതെ കണക്കാക്കുക എ(പി 0). തുടർന്ന്:

D(P 0) >0 ആണെങ്കിൽ, P 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, എങ്കിൽ എ(P 0) > 0 – അപ്പോൾ ഇതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്, എങ്കിൽ എ(പി 0)< 0 – максимум;

D(P 0) ആണെങ്കിൽ< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

D(P 0) = 0 ആണെങ്കിൽ, അധിക ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്.

4) കണ്ടെത്തിയ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളിൽ, ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

ഉദാഹരണം 1.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക z = x 3 + 8വൈ 3 – 3xy .

പരിഹാരം.ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ കോർഡിനേറ്റ് തലമാണ്. നമുക്ക് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം.

, , Þ പി 0 (0,0), .

എക്സ്ട്രീമിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും

6എക്സ്, = -3, = 48ചെയ്തത്ഒപ്പം = 288xy – 9.

അപ്പോൾ D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 - പോയിൻ്റ് Р 1-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, മുതൽ എ(P 1) = 3 >0, അപ്പോൾ ഈ എക്സ്ട്രീം ഒരു മിനിമം ആണ്. അതിനാൽ മിനി z=z(പി 1) = .

ഉദാഹരണം 2.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം: ഡി( എഫ്) =R 2 . നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ: ; എപ്പോൾ നിലവിലില്ല ചെയ്തത്= 0, അതായത് P 0 (0,0) ആണ് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റ്.

2, = 0, = , = , എന്നാൽ D(P 0) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, അതിനാൽ അതിൻ്റെ അടയാളം പഠിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്.

അതേ കാരണത്താൽ, സിദ്ധാന്തം 9.2 നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ് - ഡി 2 zഈ ഘട്ടത്തിൽ നിലവിലില്ല.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം എഫ്(x, വൈ) പോയിൻ്റ് P 0 ൽ. എങ്കിൽ ഡി എഫ് =എഫ്(പി) - എഫ്(P 0)>0 "P, അപ്പോൾ P 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, എന്നാൽ D ആണെങ്കിൽ എഫ് < 0, то Р 0 – точка максимума.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

ഡി എഫ് = എഫ്(x, വൈ) – എഫ്(0, 0) = എഫ്(0+D x,0+D വൈ) – എഫ്(0, 0) = .

ഡിയിൽ x= 0.1, ഡി വൈ= -0.008 നമുക്ക് ഡി ലഭിക്കുന്നു എഫ് = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1, ഡി വൈ= 0.001 ഡി എഫ്= 0.01 + 0.1 > 0, അതായത്. പോയിൻ്റ് P 0 ന് സമീപം, ഒരു വ്യവസ്ഥയും D തൃപ്തികരമല്ല എഫ് <0 (т.е. എഫ്(x, വൈ) < എഫ്(0, 0) അതിനാൽ P 0 ഒരു പരമാവധി പോയിൻ്റല്ല), അല്ലെങ്കിൽ വ്യവസ്ഥ D അല്ല എഫ്>0 (അതായത് എഫ്(x, വൈ) > എഫ്(0, 0) തുടർന്ന് P 0 ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റല്ല). ഇതിനർത്ഥം, ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ ഫംഗ്‌ഷന് എക്‌സ്‌ട്രീമ ഇല്ല.

സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.

ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന എക്സ്ട്രീം എന്ന് വിളിക്കുന്നു നിരുപാധികം, കാരണം ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ നിയന്ത്രണങ്ങൾ (വ്യവസ്ഥകൾ) ചുമത്തപ്പെട്ടിട്ടില്ല.

നിർവ്വചനം 9.2.പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അതിരുകടന്ന ഭാഗം ഒപ്പം = എഫ്(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n), അതിൻ്റെ വാദങ്ങൾ എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ കണ്ടെത്തി എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x nസമവാക്യങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക j 1 ( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0,…, ജെ ടി(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0, എവിടെ പി ( എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) ഒ ഡി( എഫ്), വിളിച്ചു സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം .

സമവാക്യങ്ങൾ ജ കെ(എക്സ് 1 , എക്സ് 2 , ... , x n) = 0 , കെ = 1, 2,..., എം, വിളിക്കുന്നു കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ.

നമുക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നോക്കാം z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ. കണക്ഷൻ സമവാക്യം ഒന്നാണെങ്കിൽ, അതായത്. , പിന്നെ സോപാധികമായ ഒരു എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും അല്ല, മറിച്ച് D( D() യിൽ കിടക്കുന്ന ചില വക്രങ്ങളിലാണ്. എഫ്) (അതായത്, ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ ആയ പോയിൻ്റുകളല്ല അന്വേഷിക്കുന്നത് z = f(x,വൈ), കൂടാതെ സിലിണ്ടറുമായി ഈ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നതോ താഴ്ന്നതോ ആയ പോയിൻ്റുകൾ, ചിത്രം 5).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം z = f(x,വൈ) രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം ( ഉന്മൂലനം രീതി). സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി പ്രകടിപ്പിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുക) കൂടാതെ, വേരിയബിളിൻ്റെ ഈ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റി, രണ്ടാമത്തേത് ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനായി എഴുതുക (പരിഗണിച്ച സാഹചര്യത്തിൽ ). ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക.

നിർവ്വചനം1: ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിനുള്ള ഒരു അയൽപക്കം ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു പോയിൻ്റിൽ ലോക്കൽ മാക്സിമം ഉണ്ടെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എംകോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x, y)അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ്< 0.

നിർവ്വചനം2: ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റിന് അയൽപക്കമുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷനിൽ ഒരു പ്രാദേശിക മിനിമം ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു എംകോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (x, y)അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്> 0.

നിർവ്വചനം 3: ലോക്കൽ മിനിമം, മാക്സിമം എന്നീ പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾ.

സോപാധിക അതിരുകൾ

പല വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, പലപ്പോഴും വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നു സോപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം.രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ ആശയം വിശദീകരിക്കാം.

ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഒരു വരിയും നൽകട്ടെ എൽഉപരിതലത്തിൽ 0xy. ലൈനിൽ കയറുക എന്നതാണ് ചുമതല എൽഅത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക P(x, y),ലൈനിലെ പോയിൻ്റുകളിലെ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഏറ്റവും വലുതോ ചെറുതോ ആണ് എൽ, പോയിൻ്റിന് സമീപം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു പി. അത്തരം പോയിൻ്റുകൾ പിവിളിക്കുന്നു സോപാധിക എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾഓൺ ലൈനിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എൽ. സാധാരണ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നത് അതിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും അല്ല, മറിച്ച് ലൈനിൽ കിടക്കുന്നവയിൽ മാത്രമാണ്. എൽ.

സാധാരണ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റ് (അവരും പറയുന്നു നിരുപാധികമായ അങ്ങേയറ്റം) ഈ പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഏതൊരു രേഖയ്ക്കും സോപാധികമായ ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് കൂടിയാണ്. വിപരീതം തീർച്ചയായും ശരിയല്ല: സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് സാധാരണ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കില്ല. ഞാൻ പറഞ്ഞത് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ വിശദീകരിക്കാം. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് മുകളിലെ അർദ്ധഗോളമാണ് (അനുബന്ധം 3 (ചിത്രം 3)).

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉത്ഭവത്തിൽ പരമാവധി ഉണ്ട്; ശീർഷകം അതിനോട് യോജിക്കുന്നു എംഅർദ്ധഗോളങ്ങൾ. വരി എങ്കിൽ എൽപോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുണ്ട് എഒപ്പം IN(അവളുടെ സമവാക്യം x+y-1=0), അപ്പോൾ ഈ വരിയുടെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് ജ്യാമിതീയമായി വ്യക്തമാണ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംപോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ മധ്യത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൽ പ്രവർത്തനം കൈവരിക്കുന്നു എഒപ്പം IN.ഈ ലൈനിലെ ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം (പരമാവധി) പോയിൻ്റ് ഇതാണ്; ഇത് അർദ്ധഗോളത്തിലെ പോയിൻ്റ് M 1 നോട് യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഇവിടെ ഒരു സാധാരണ തീവ്രതയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഒരു അടഞ്ഞ മേഖലയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസാന ഭാഗത്ത്, ഈ പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ചില വരികളിൽ, അതുവഴി സോപാധികമായ അതിരുകടന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക.

Z= f(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾക്കായുള്ള പ്രായോഗിക തിരയലിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾ (x, y) = 0 എന്ന സമവാക്യത്താൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധത്തെ നമ്മൾ വിളിക്കും കണക്ഷൻ സമവാക്യം. കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y എന്നത് x: y=(x) എന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, Z= f(x, (x)) = Ф(x) എന്ന ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു തീവ്രതയിലെത്തുന്ന മൂല്യം x കണ്ടെത്തി, തുടർന്ന് കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ y മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, x+y-1=0 എന്ന ബന്ധ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് y=1-x ഉണ്ട്. ഇവിടെ നിന്ന്

z അതിൻ്റെ പരമാവധി x = 0.5-ൽ എത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്; എന്നാൽ കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y = 0.5, ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റ് P കൃത്യമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും.

കണക്ഷൻ സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമ്പോഴും സോപാധികമായ അതിരിൻ്റെ പ്രശ്നം വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ x=x(t), y=y(t). x, y എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഈ പ്രവർത്തനം, ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും വരുന്നു.

കപ്ലിംഗ് സമവാക്യത്തിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപംഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാനോ അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനോ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല, തുടർന്ന് ഒരു സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. z= f(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ വേരിയബിൾ (x, y) = 0. z= f(x, y) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് ഇതിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നത് തുടരും:

ഇംപ്ലിസിറ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് y` എന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ. സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ, കണ്ടെത്തിയ മൊത്തം ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം; ഇത് x, y എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമവാക്യം നൽകുന്നു. അവ കപ്ലിംഗ് സമവാക്യവും തൃപ്തിപ്പെടുത്തേണ്ടതിനാൽ, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു അനുപാതത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതി ഒരു പുതിയ സഹായക അജ്ഞാത അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഈ സിസ്റ്റത്തെ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒന്നാക്കി മാറ്റാം:

(മുന്നിലുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നം സൗകര്യാർത്ഥമാണ്). ഈ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

കണക്ഷൻ സമവാക്യം (x, y) = 0 എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം, അജ്ഞാതമായ x, y കൂടാതെ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ (*) ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളാകാവുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്

Z= f(x, y) കണക്ഷൻ സമവാക്യം (x, y) = 0, നിങ്ങൾ ഒരു സഹായ ഫംഗ്ഷൻ രൂപീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

ചില സ്ഥിരതകൾ എവിടെയാണ്, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കുക.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സൂചിപ്പിച്ച സിസ്റ്റം, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ മാത്രം നൽകുന്നു, അതായത്. ഈ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x, y മൂല്യങ്ങളുടെ ഓരോ ജോഡിയും ഒരു സോപാധികമായ ഒരു തീവ്ര പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. സോപാധികമായ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് ഞാൻ മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ നൽകില്ല; മിക്കപ്പോഴും പ്രശ്നത്തിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉള്ളടക്കം തന്നെ കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റ് എന്താണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സോപാധികമായ അറ്റത്ത് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വിവരിച്ച സാങ്കേതികതയെ ലാഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ z - /(x, y) ചില ഡൊമെയ്‌നുകളിൽ നിർവചിക്കട്ടെ, കൂടാതെ Mo(xo, Vo) ഈ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ ഒരു ഇൻ്റീരിയർ പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ. നിർവ്വചനം. എല്ലാ വ്യവസ്ഥകൾക്കും അസമത്വം ശരിയാകുന്ന തരത്തിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ, Mo(xo, yo) എന്ന ബിന്ദുവിനെ /(x, y) എന്ന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രാദേശിക പരമാവധി പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു; എല്ലാ Dx, Du, വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു എങ്കിൽ | അപ്പോൾ Mo(xo,yo) എന്ന പോയിൻ്റിനെ നേർത്ത ലോക്കൽ മിനിമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പോയിൻ്റ് A/o(x0, y0) ൻ്റെ 6-അയൽപക്കം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, F(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് M0(x0, y0) അയൽപക്കത്തിൽ ഇതിൻ്റെ M(x, y) പോയിൻ്റുകൾ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് അതിൻ്റെ അടയാളം നിലനിർത്തുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ. 1. ഫംഗ്ഷൻ പോയിൻ്റിനായി - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് (ചിത്രം 17). 2. ഫംഗ്ഷനായി, പോയിൻ്റ് 0 (0,0) ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ് (ചിത്രം 18). 3. ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി, പോയിൻ്റ് 0(0,0) ഒരു പ്രാദേശിക പരമാവധി പോയിൻ്റാണ്. 4 തീർച്ചയായും, പോയിൻ്റ് 0(0, 0) ന് അയൽപക്കമുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, j ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തം (ചിത്രം 19 കാണുക), ഏത് പോയിൻ്റിലും, പോയിൻ്റ് 0(0,0) ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം /(x,y) 1-ൽ താഴെ = ചില പഞ്ചർ ചെയ്ത 6-അയൽപക്കത്തിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും M(x) y) കർശനമായ അസമത്വമോ കർശനമായ അസമത്വമോ തൃപ്തികരമാകുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കർശനമായ കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പോയിൻ്റുകൾ മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ. പോയിൻ്റ് Mq. പരമാവധി പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തെ പരമാവധി എന്നും, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യത്തെ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി, മിനിമം പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്നും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി, മിനിമം എന്നിവയെ അതിൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമ എന്നും വിളിക്കുന്നു. സിദ്ധാന്തം 11 (ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ). എക്‌സ്‌ട്രീം ഫംഗ്‌ഷൻ പലതിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനാണെങ്കിൽ വേരിയബിൾ ആശയംനിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത. ഒരു എക്‌സ്ട്രീം സോപാധിക തീവ്രതയ്‌ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ വ്യവസ്ഥകൾ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ബിന്ദുവിൽ ഒരു തീവ്രതയുണ്ട്, അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഓരോ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവും നിങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുകയോ നിലവിലില്ല. M0(x0, yо) എന്ന ബിന്ദുവിൽ z = f(x) y) ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടാകട്ടെ. y എന്ന വേരിയബിളിന് yo എന്ന മൂല്യം നൽകാം. അപ്പോൾ z = /(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആയിരിക്കും x\ x = xo-ൽ അതിന് ഒരു എക്‌സ്ട്രീം (പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം, ചിത്രം 20) ഉള്ളതിനാൽ, x = “o, മായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് | (*o,l>)" പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. അതുപോലെ, നമുക്ക് ബോധ്യപ്പെട്ടതാണ്) ഒന്നുകിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ല. = 0, χ = 0 അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലില്ലാത്ത പോയിൻ്റുകളെ ക്രിട്ടിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ z = Dx, y) 11 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിശ്ചല ബിന്ദുക്കൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന പോയിൻ്റുകൾ, അത് പര്യാപ്തമല്ല സ്ട്രോമിൻ്റെ imvat ന് ഫംഗ്ഷൻ നേർത്തതാണ്, 0(0,0) പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ പോയിൻ്റ് 0(0) ന് ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്ത് M(x,y) പോയിൻ്റുകളിൽ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. , 0), കൂടാതെ അതിനുള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ (0, y) അനിയന്ത്രിതമായ തരത്തിൽ പോയിൻ്റ് 0 (0,0) എന്നതിനെ മിനിമാക്സ് പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ചിത്രം 21). രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ). ), കൂടാതെ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ, പോയിൻ്റ് Mo ഉൾപ്പെടെ, ഫംഗ്‌ഷൻ /(r, y ) രണ്ടാം ക്രമം വരെ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട്. തുടർന്ന്". Mo(xo, V0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ D(xo, yo) ആണെങ്കിൽ /(xo, y) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്സ്ട്രീം നിലവിലില്ലായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കൂടുതൽ ഗവേഷണം ആവശ്യമാണ്. m സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ 1) ഉം 2) പ്രസ്‌താവനകൾ തെളിയിക്കുന്നതിലേക്ക് നമുക്ക് സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്താം. ഫംഗ്‌ഷൻ /(i, y): എവിടെ എന്നതിൻ്റെ രണ്ടാം ഓർഡർ ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല നമുക്ക് എഴുതാം. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഇൻക്രിമെൻ്റ് D/ ൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് (1) ൻ്റെ വലത് വശത്തുള്ള ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ അടയാളമാണ്, അതായത്, രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ d2f ൻ്റെ അടയാളം. സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി അതിനെ സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ സമത്വം (l) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: നമുക്ക് MQ(അങ്ങനെ, V0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ വരട്ടെ... കാരണം, വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, f(s, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാം-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുടർച്ചയായതാണ്, തുടർന്ന് അസമത്വം (3) M0(s0,yo) എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിലും നിലനിൽക്കും. വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ (ബിന്ദു А/0, തുടർച്ചയുടെ ബലത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് /,z(s,y) അതിൻ്റെ ചിഹ്നം Af0 പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ നിലനിർത്തും. А Ф 0 ഉള്ള മേഖലയിൽ, നമുക്കുണ്ട് M0(x0) y0 എന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ ЛС - В2 > 0 ആണെങ്കിൽ, ട്രിനോമിയൽ AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 എന്ന ചിഹ്നം ആ ബിന്ദുവിലെ A യുടെ ചിഹ്നവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. , V0) (അതുപോലെ തന്നെ C യുടെ ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം, AC - B2 > 0 A, C എന്നിവയ്‌ക്ക് വ്യത്യസ്‌ത ചിഹ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകാൻ പാടില്ലാത്തതിനാൽ). പോയിൻ്റിലെ AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 എന്ന തുകയുടെ ചിഹ്നം (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: ഫംഗ്‌ഷനാണെങ്കിൽ /(s,y) സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് (s0, V0) അവസ്ഥ, പിന്നെ ആവശ്യത്തിന് ചെറുത് || അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടും. അങ്ങനെ, പോയിൻ്റിൽ (sq, V0) ഫംഗ്‌ഷൻ /(s, y) ന് പരമാവധി ഉണ്ട്. സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൽ (s0, y0) വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, ആവശ്യത്തിന് ചെറുതായ എല്ലാത്തിനും |Dr| ഒപ്പം |ഡു| അസമത്വം ശരിയാണ്, അതായത് പോയിൻ്റിൽ (അങ്ങനെ,യോ) ഫംഗ്‌ഷൻ /(s, y) എന്നതിന് ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്. ഉദാഹരണങ്ങൾ. 1. ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിനായുള്ള ഫംഗ്‌ഷൻ അന്വേഷിക്കുക 4 ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾക്കായി തിരയുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ u കണ്ടെത്തി അവയെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു. നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു - ഒരു നിശ്ചല പോയിൻ്റ്. നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സിദ്ധാന്തം 12 ഉപയോഗിക്കാം. Ml എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. കാരണം ഇതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്. r എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, അത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് വലത് ഭാഗംഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കേവല മിനിമം ആയിരിക്കുമ്പോൾ (“) വളരെ കുറവായിരിക്കും. 2. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിക്കുന്നു, അതിനാൽ പോയിൻ്റ് നിശ്ചലമാണ്. കാരണം, സിദ്ധാന്തം 12 പ്രകാരം, പോയിൻ്റ് M-ൽ തീവ്രത ഇല്ല. * 3. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിശ്ചല പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും, അതിനാൽ പോയിൻ്റ് നിശ്ചലമാണ്. കൂടാതെ, നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം 12 ഒരു തീവ്രതയുടെ സാന്നിധ്യമോ അഭാവമോ സംബന്ധിച്ച ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നില്ല. നമുക്ക് ഇത് ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം. പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടേയും ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി, നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, പോയിൻ്റ് A/o(0,0) ഫംഗ്‌ഷൻ r ന് കേവലമായ ഒരു മിനിമം ഉണ്ട്. സമാന കണക്കുകൂട്ടലുകളാൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പോയിൻ്റിൽ പരമാവധി ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഫംഗ്ഷന് പോയിൻ്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല. n ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കട്ടെ. ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കുകയും ഫൈൻ Mt(xi...) യുടെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ രണ്ടാം ഓർഡറിൻ്റെ തുടർച്ചയായ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം (ഫൈനിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഇത് ഒരു നിശ്ചലമായ ഫൈൻ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. definite (negative definite), f എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് (യഥാക്രമം, ഫൈൻ മാക്സിമം) ഫൈൻ ആണെങ്കിൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം (4) ഒന്നിടവിട്ടാൽ, ഫൈൻ LG0-ൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം (4) പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, 15.2 സോപാധിക രൂപത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) മാനദണ്ഡം നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം പ്രാദേശിക അതിരുകൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ഏതെങ്കിലും അധിക വ്യവസ്ഥകളാൽ ബന്ധിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ, അതിൻ്റെ മുഴുവൻ നിർവചന ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ. അത്തരം തീവ്രതയെ നിരുപാധികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. D എന്ന ഡൊമെയ്‌നിൽ z =/(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ. ഈ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഒരു വക്രം L നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, കൂടാതെ f(x> y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. വക്രം L ൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ. അതേ തീവ്രതയെ L എന്ന വക്രത്തിൽ z = f(x) y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധിക എക്സ്ട്രീമ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിർവചനം L എന്ന വക്രത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൽ അവർ പറയുന്നു , M (s, y) y) കർവ് L എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും അസമത്വം തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, F(x, y) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് M0(x0, V0) എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ പെട്ടതും വ്യത്യസ്തവുമായ ഒരു സോപാധികമായ പരമാവധി (കുറഞ്ഞത്) ഉണ്ട്. M0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് (ഒരു സമവാക്യം കൊണ്ടാണ് L എന്ന വക്രം നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, കർവിലെ r - f(x,y) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്‌നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം: x ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക = /(z, y) മേഖലയിൽ, അങ്ങനെ, z = y ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, വൈൽഡ്‌ബീസ്റ്റിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകൾ ഇനി സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല: അവ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ബന്ധം y) = 0, ഇതിനെ കണക്ഷൻ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിരുപാധികവും സോപാധികവുമായ അതിരുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിരുപാധികമായ പരമാവധി (ചിത്രം 23) ഒന്നിന് തുല്യവും പോയിൻ്റിൽ (0,0) കൈവരിക്കുന്നതുമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. ഇത് pvvboloid എന്ന പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു - y = j എന്ന കണക്ഷൻ സമവാക്യം നമുക്ക് ചേർക്കാം. അപ്പോൾ സോപാധിക മാക്സിമം അതിന് തുല്യമായിരിക്കും, അത് പോയിൻ്റിൽ (o,|) എത്തുന്നു, അത് പന്തിൻ്റെ ശീർഷകമായ Afj യോട് യോജിക്കുന്നു, ഇത് y = j എന്ന തലത്തോടുകൂടിയ പന്തിൻ്റെ വിഭജന രേഖയാണ്. ഒരു നിരുപാധികമായ mvximum ആണെങ്കിൽ, ഉപരിതലത്തിലെ എല്ലാ vpplicvt കളിലും ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു mvximum ആപ്ലിക്കേഷൻ ഉണ്ട് * = 1 - l;2 ~ y1; summvv സോപാധിക - vllikvt പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ മാത്രം pvraboloidv, xOy തലം അല്ല, y = j എന്ന നേർരേഖയുടെ പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. സാന്നിധ്യത്തിലും കണക്ഷനിലും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികളിലൊന്ന് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്. കണക്ഷൻ സമവാക്യം y) - O ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വ്യതിരിക്തമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായി y നിർവചിക്കട്ടെ x: ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് y-യ്‌ക്ക് പകരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, കണക്ഷൻ അവസ്ഥ ഇതിനകം തന്നെ കണക്കിലെടുക്കുന്ന ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഫംഗ്ഷൻ്റെ (നിരുപാധികമായ) എക്സ്ട്രീം ആവശ്യമുള്ള സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം ആണ്. ഉദാഹരണം. നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം എന്ന അവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുക നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം എന്ന ആശയം. ഒരു എക്സ്ട്രീം സോപാധിക തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ വ്യവസ്ഥകൾ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ A കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (2") ഞങ്ങൾ y = 1-x കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ മൂല്യം y യെ (V) ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ് x ൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും: നമുക്ക് അത് എക്സ്ട്രീമിനായി പരിശോധിക്കാം: എവിടെ നിന്ന് x = 1 എന്നത് നിർണ്ണായക പോയിൻ്റാണ്; , അങ്ങനെ അത് ഫംഗ്ഷൻ r (ചിത്രം 24) ൻ്റെ സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം നൽകുന്നു. ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സോപാധികമായ എക്‌സ്ട്രീം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു വഴി നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. ഒരു കണക്ഷൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, xx എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക അയൽപക്കത്തിൽ കണക്ഷൻ സമവാക്യം ഒരു അദ്വിതീയമായ തുടർച്ചയായി വ്യത്യസ്‌തമായ പ്രവർത്തനത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. xq പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ /(r, ip(x)) ൻ്റെ x ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ ഇതിന് തുല്യമായത്, f(x, y) ൻ്റെ വ്യത്യാസം പോയിൻ്റ് Mo" O പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം ) നമുക്കുള്ള കണക്ഷൻ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (5) അവസാനത്തെ തുല്യതയെ ഇതുവരെ നിശ്ചയിച്ചിട്ടില്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യാ ഘടകം A കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, തുല്യതയ്‌ക്കൊപ്പം പദത്തിൻ്റെ പദവും ചേർക്കുമ്പോൾ (4), നമുക്ക് ലഭിക്കും (ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുന്നു ) തുടർന്ന്, dx ൻ്റെ ഏകപക്ഷീയത കാരണം, ലാഗ്രേഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിരുപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (6) ഒപ്പം (7). ഫംഗ്‌ഷൻ /(x, y) എന്നത് ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചല ബിന്ദുവാണെങ്കിൽ, A എന്നത് സോപാധികമായ തീവ്രത കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമം ഇവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും ഒരു കണക്ഷൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൊതുവായ എക്‌സ്‌ട്രീം: 1) ഞങ്ങൾ ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ രചിക്കുന്നു, 2) ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും U ഉം പൂജ്യത്തിലേക്ക് തുല്യമാക്കി, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് കണക്ഷൻ സമവാക്യം ചേർത്തുകൊണ്ട്, നമുക്ക് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും. അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ A യുടെ മൂല്യങ്ങളും x, y കോർഡിനേറ്റുകളും സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു. (8) ൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ x0, V0, A, കണക്കാക്കിയ സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഫറൻഷ്യലിൻ്റെ അടയാളം പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെയും സ്വഭാവത്തെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്. , തുടർന്ന് പോയിൻ്റിൽ (x0, V0) ഫംഗ്‌ഷൻ /(x, y ) ന് സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട്; d2F > 0 ആണെങ്കിൽ - സോപാധികമായ ഒരു മിനിമം. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റിൽ (xo, J/o) F(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് D പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പോയിൻ്റിൽ (®o, V0) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ പരമാവധി ഉണ്ട് x, y), ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ മിനിമം /(x, y), ഉദാഹരണമാണെങ്കിൽ. നമുക്ക് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെ വ്യവസ്ഥകളിലേക്ക് വീണ്ടും തിരിയാം: x + y = 1 എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക. Lagrange മൾട്ടിപ്ലയർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും. ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫോം ഉണ്ട് സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x = y ലഭിക്കും. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (കണക്ഷൻ സമവാക്യം) x - y = j എന്നത് സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ (A = -1 എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, Lagrange ഫംഗ്‌ഷൻ. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ് * = x2 + y2 എന്ന വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷന് നിരുപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം ഇല്ല. P(x, y ) ഒരു കണക്ഷൻ്റെ സാന്നിധ്യത്തിൽ /(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഒരു അഭാവത്തിൻ്റെ അഭാവം ഇതുവരെ അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല ഉദാഹരണം: y 4 വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം കണ്ടെത്തുക ഞങ്ങൾ ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ രചിക്കുകയും അതിനായി ഒരു സിസ്റ്റം എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു എയും സാധ്യമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും നിർണ്ണയിക്കുന്നു: ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x + y = 0 ലഭിക്കും, കൂടാതെ x = y = A = 0 എന്നതിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് വരുന്നത്. അതിനാൽ, അനുബന്ധ ലാഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്ഷന് പോയിൻ്റിൽ ഫോം ഉണ്ട്. (0,0), F(x, y; 0) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് നിരുപാധികമായ ഒരു തീവ്രതയില്ല, എന്നിരുന്നാലും, y = x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ ഒരു തീവ്രതയുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ r = x2. പോയിൻ്റിൽ (0,0) ഒരു സോപാധികമായ മിനിമം ഉണ്ടെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് വ്യക്തമാണ് "ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയറുകളുടെ രീതി ഏതെങ്കിലും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ കാര്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. സാന്നിധ്യത്തിൽ നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത നോക്കാം. കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങളുടെ A|, Az,..., A„, എന്നിവ അനിശ്ചിതകാല സ്ഥിരമായ ഘടകങ്ങളാണ്. F ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എല്ലാ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കി, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് കണക്ഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ (9) ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് n + m സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ Ab A3|..., At ഒപ്പം കോർഡിനേറ്റ് ചെയ്യുന്നു x \) x2). » സോപാധിക എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ സാധ്യമായ പോയിൻ്റുകളുടെ xn. Lagrange രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റുകൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു സോപാധികമായ തീവ്രതയുടെ പോയിൻ്റുകളാണോ എന്ന ചോദ്യം പലപ്പോഴും ശാരീരികമോ ജ്യാമിതീയമോ ആയ സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. 15.3 തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യം z =/(x, y), ചില അടഞ്ഞ ലിമിറ്റഡ് ഡൊമെയ്‌നിൽ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ഡൊമെയ്‌നിൽ തിയറിം 3 പ്രകാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യം എടുക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റാണ് (xo, V0). പോയിൻ്റ് (xo, y0) D മേഖലയ്ക്കുള്ളിലാണെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ / അതിൽ പരമാവധി (കുറഞ്ഞത്) ഉണ്ട്, അതിനാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള പോയിൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു /(x, y). എന്നിരുന്നാലും, /(x, y) ഫംഗ്‌ഷന് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യത്തിൽ പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയിൽ എത്താൻ കഴിയും. അതിനാൽ, പരിമിതമായ അടച്ച ഏരിയ 2-ൽ z =/(x, y) ഫംഗ്‌ഷൻ എടുത്ത ഏറ്റവും വലിയ (ഏറ്റവും ചെറിയ) മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ ഏരിയയ്ക്കുള്ളിൽ നേടിയ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി (മിനിമം) നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, ഈ പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യവും. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് (ഏറ്റവും ചെറുത്) 27-ലെ റീജിയണിലെ z =/(x,y) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ (ചെറിയ) മൂല്യമായിരിക്കും. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. Prmmr. റീജിയൻ 4 ൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. ഡി റീജിയനിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നിന്ന് x = y « 0 നേടുന്നു പോയിൻ്റ് 0 (0,0) എന്നത് ഫംഗ്‌ഷൻ x ൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റാണ്. D മേഖലയുടെ Г അതിർത്തിയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്താം = 1 + y2 ന് കുറഞ്ഞത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് Г", പോയിൻ്റുകളിൽ (, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്. സമമിതി പരിഗണനകൾ ഉപയോഗിച്ച്, അതിർത്തിയുടെ മറ്റ് ഭാഗങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ സമാന ഫലങ്ങൾ നേടുന്നു. അവസാനം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യംഫംഗ്‌ഷൻ z = x2+y2 "B എന്നത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് പ്രദേശത്തിൻ്റെ ആന്തരിക പോയിൻ്റ് 0(0, 0) ലാണ് കൈവരിക്കുന്നത്, കൂടാതെ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം, രണ്ടിന് തുല്യമാണ്, നാല് പോയിൻ്റുകളിൽ നേടുന്നു അതിർത്തിയുടെ (ചിത്രം 25) ചിത്രം 25 വ്യായാമങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ലെവൽ ലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുക: 9 മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ലെവൽ ഉപരിതലങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ പരിധികൾ കണക്കാക്കുക: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും അവയുടെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും കണ്ടെത്തുക പൂർണ്ണമായ വ്യത്യാസങ്ങൾ : സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക: 3 കണ്ടെത്തുക. ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീമിന് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ വ്യവസ്ഥകൾ സോപാധികമായ എക്‌സ്‌ട്രീം തുടർച്ചയായ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ 34. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു കോംപ്ലക്‌സ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, കണ്ടെത്തലും ഫംഗ്‌ഷനുകളും: 35. ഒരു കോംപ്ലക്‌സിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ, കണ്ടെത്തുക |J, ഫംഗ്‌ഷനുകൾ: പരോക്ഷമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന jj ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കണ്ടെത്തുക: 40. x = 3 എന്ന നേർരേഖയുമായുള്ള അതിൻ്റെ കവലയുടെ പോയിൻ്റിൽ ടാൻജെൻ്റ് കർവിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം കണ്ടെത്തുക. 41. ടാൻജെൻ്റ് ഉള്ള പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക x എന്ന വക്രം ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്. . ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ, കണ്ടെത്തുക, ടി: ടാൻജെൻ്റ് പ്ലെയിനിൻ്റെയും ഉപരിതലത്തിൻ്റെ സാധാരണയുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക: 49. x + 4y തലത്തിന് സമാന്തരമായി x2 + 2y2 + 3z2 = 21 ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് പ്ലെയിനുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക. + 6z = 0. ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ആദ്യ മൂന്നോ നാലോ നിബന്ധനകൾ കണ്ടെത്തുക: 50. y പോയിൻ്റിൻ്റെ സമീപത്ത് (0, 0). ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, എക്‌സ്‌ട്രീമിനായി ഇനിപ്പറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിശോധിക്കുക:). രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീമിന് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പരിശോധിക്കുക: 84. ഒരു അടഞ്ഞ സർക്കിളിൽ z = x2 - y2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക 85. ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ * = x2y(4-x-y) x = 0, y = 0, x + y = b എന്ന നേർരേഖകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണത്തിൽ. 88. ഏറ്റവും ചെറിയ പ്രതലമുള്ള ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള തുറന്ന കുളത്തിൻ്റെ അളവുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക, അതിൻ്റെ വോളിയം V ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ. ഉത്തരങ്ങൾ 1. ഒപ്പം | അതിൻ്റെ വശങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ x രേഖാ ഭാഗങ്ങളാൽ രൂപപ്പെട്ട ഒരു ചതുരം. 3. കേന്ദ്രീകൃത വളയങ്ങളുടെ കുടുംബം 2= 0,1,2,... .4. നേർരേഖകളിലെ പോയിൻ്റുകൾ ഒഴികെ മുഴുവൻ തലവും. പരവലയത്തിന് മുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ ഭാഗം y = -x?. 8. വൃത്തത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ x. നേർരേഖകൾ ഒഴികെയുള്ള മുഴുവൻ തലവും x രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഇത് യഥാക്രമം അസമത്വങ്ങളുടെ അനന്തമായ ശ്രേണിക്ക് തുല്യമാണ് (ചിത്രം 26); l അനന്തമായ ശ്രേണിക്ക് തുല്യമാണ് ഫംഗ്ഷൻ പോയിൻ്റുകളിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. a) നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായ നേർരേഖകൾ x b) ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ കേന്ദ്രീകൃത വൃത്തങ്ങൾ. 10. എ) പരാബോളസ് y) പരാബോളസ് വൈ എ) പരാബോളസ് ബി) ഹൈപ്പർബോളാസ് | .വിമാനങ്ങൾ xc. 13. പ്രിം - ഓസ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തിൻ്റെ സിംഗിൾ-കാവിറ്റി ഹൈപ്പർബോളോയിഡുകൾ; ഓസ് അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റുമുള്ള ഭ്രമണത്തിൻ്റെ രണ്ട്-ഷീറ്റ് ഹൈപ്പർബോളോയിഡുകൾ ആയിരിക്കുമ്പോൾ, പ്രതലങ്ങളുടെ രണ്ട് കുടുംബങ്ങളും ഒരു കോൺ കൊണ്ട് വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നു; പരിധിയില്ല, b) 0. 18. നമുക്ക് y = kxt സജ്ജീകരിക്കാം, തുടർന്ന് z lim z = -2, അതിനാൽ പോയിൻ്റിൽ (0,0) നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷന് പരിധിയില്ല. 19. എ) പോയിൻ്റ് (0,0); ബി) പോയിൻ്റ് (0,0). 20. a) ബ്രേക്ക് ലൈൻ - സർക്കിൾ x2 + y2 = 1; b) ബ്രേക്ക് ലൈൻ y = x എന്ന നേർരേഖയാണ്. 21. a) ബ്രേക്ക് ലൈനുകൾ - കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ Ox, Oy; b) 0 (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). 22. എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും (m, n), എവിടെ, n എന്നിവ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ എക്‌സ്ട്രീം ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് ആവശ്യമായതും മതിയായതുമായ വ്യവസ്ഥകൾ.പോയിൻ്റിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അയൽപക്കത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിക്കുകയും അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, ഒരു പോയിൻ്റിനെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (പരമാവധി) പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (യഥാക്രമം, പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ. ഒരു എക്‌സ്ട്രീം പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് ആദ്യ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവ ഈ ഘട്ടത്തിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകും. അത്തരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഈ വ്യവസ്ഥിതിയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവയിൽ പരമാവധി പോയിൻ്റുകൾ, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ, കൂടാതെ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ അല്ലാത്ത പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവയും ഉണ്ടാകാം.

ഒരു കൂട്ടം നിർണായക പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ മതിയായ എക്സ്ട്രീം അവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവ ചുവടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

നിർണ്ണായക ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് തുടർച്ചയായ രണ്ടാം ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ ഘട്ടത്തിലാണെങ്കിൽ

അവസ്ഥ അപ്പോൾ ഒരു മിനിമം പോയിൻ്റും പരമാവധി പോയിൻ്റ് ആണ് ഒരു നിർണായക പോയിൻ്റിലാണെങ്കിൽ അത് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് അല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിർണായക പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ സൂക്ഷ്മമായ പഠനം ആവശ്യമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് ഒരു എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അല്ലായിരിക്കാം.

മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എക്സ്ട്രീമ.മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകളുടെ നിർവചനങ്ങൾ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ പദാനുപദമായി ആവർത്തിക്കുന്നു. ഒരു എക്സ്ട്രീമിനായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരാൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തണം, തുടർന്ന് ഓരോ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിലും മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക.

മൂന്ന് അളവുകളും പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുന്ന നിർണായക പോയിൻ്റ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റാണ്; എങ്കിൽ ഈ നിർണായക പോയിൻ്റ് പരമാവധി പോയിൻ്റാണ്.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഒരു അയൽപക്കവും അതിൽ (യഥാക്രമം) കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും (യഥാക്രമം) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ മിനിമം (പരമാവധി) പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, Lagrange ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുക

അവിടെ സംഖ്യയെ ലഗ്രാഞ്ച് മൾട്ടിപ്ലയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു

ലഗ്രാഞ്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (അതുപോലെ സഹായ ഘടകം എയുടെ മൂല്യവും). ഈ നിർണായക ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു സോപാധികമായ അതിരുകൾ ഉണ്ടാകാം. മുകളിലുള്ള സിസ്റ്റം ഒരു എക്സ്ട്രീമിന് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾ മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ, എന്നാൽ പര്യാപ്തമല്ല: സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീമിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളല്ലാത്ത പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഇത് തൃപ്തിപ്പെടുത്താൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാരാംശത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിർണായക പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ പലപ്പോഴും സാധ്യമാണ്.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സോപാധികമായ എക്സ്ട്രീം.വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അവ സമവാക്യങ്ങളാൽ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു