സ്പേഷ്യൽ ഡെലോനേ ത്രികോണം

ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങളിലൊന്നാണ്, ഇത് കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിലും ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ വിവര സംവിധാനങ്ങളിലും ഉപരിതല മോഡലിംഗിനും സ്പേഷ്യൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഓവർലാപ്പുചെയ്യാത്ത ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ആദ്യമായി 1934-ൽ സോവിയറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ബി.എൻ. ഡെലോണിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിൽ ഉയർന്നുവന്നു, അദ്ദേഹം അനുബന്ധ വ്യവസ്ഥകൾ രൂപപ്പെടുത്തി.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല, അവയെ വിഭജിക്കാത്ത ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ജോഡികളായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ജോലിയാണ്, അങ്ങനെ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല രൂപപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ (ചിത്രം 5.3): നോഡുകൾ (ത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബങ്ങൾ), അരികുകൾ (വശങ്ങൾ), മുഖങ്ങൾ (ത്രികോണങ്ങൾ സ്വയം). നിർമ്മിച്ച ത്രികോണം കുത്തനെയുള്ളതും (മോഡലിംഗ് ഏരിയയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ബഹുഭുജമാണെങ്കിൽ), നോൺ-കോൺവെക്സും (ത്രികോണം കുത്തനെയുള്ളതല്ലെങ്കിൽ) ഒപ്റ്റിമലും (എല്ലാ അരികുകളുടെയും നീളത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക കുറവാണെങ്കിൽ) ആകാം.

അത്തരം ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖലയെ ചില വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അതിനെ Delaunay triangulation എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

യഥാർത്ഥ പോയിൻ്റുകളൊന്നും ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ വീഴുന്നില്ല (ചിത്രം 5.3);

ത്രികോണം കുത്തനെയുള്ളതും മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഡെലോനേ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതുമാണ്;

എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക സാധ്യമായ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളുടെയും പരമാവധി ആണ്;

സാധ്യമായ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളിലും ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ ആരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വളരെ കുറവാണ്.

വൃത്താകൃതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന മാനദണ്ഡങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് പ്രധാനമായ ഒന്നാണ്, പൊതുവായ മുഖങ്ങളുള്ള ഏതെങ്കിലും ജോഡി ത്രികോണങ്ങൾ ഉണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു. മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര വ്യാഖ്യാനം ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. 5.3:

(5.2)

ഡെലോനേ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്, ഇത് ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ഒന്നാണ് ഈയിടെയായിഒരു ത്രികോണ മെഷ് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. റിലീഫ് മോഡലുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ പല ജിഐഎസ് സിസ്റ്റങ്ങളിലും ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ദ്വിമാന സ്ഥലത്ത് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു: രൂപപ്പെട്ട ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും സർക്കിളുകൾക്കുള്ളിൽ ലംബങ്ങളൊന്നും വീഴുന്നില്ലെങ്കിൽ, പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ച നോൺ-ഓവർലാപ്പിംഗ് ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഏറ്റവും ചെറിയ ചുറ്റളവുണ്ട് (ചിത്രം 5.4).

അരി. 5.4 ഡെലോനേ ത്രികോണം

ഇതിനർത്ഥം അത്തരം ത്രികോണങ്ങളുള്ള തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ സമഭുജത്തിന് കഴിയുന്നത്ര അടുത്താണ്, കൂടാതെ വിപരീത ശീർഷത്തിൽ നിന്നുള്ള ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ഓരോ വശവും അനുബന്ധ അർദ്ധ-തലത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നും പരമാവധി കോണിൽ ദൃശ്യമാകും. ഐസോലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് സാധാരണയായി ലീനിയർ ഇൻ്റർപോളേഷൻ നടത്തപ്പെടുന്ന അരികുകളിൽ ഇത് കൃത്യമായി ഒപ്റ്റിമൽ ത്രികോണമാണ്.

Delaunay ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പല അൽഗോരിതങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1. ഡിലോനേ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത തൊട്ടടുത്തുള്ള എബിസി, ബിസിഡി എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ ജോഡികൾ തുടർച്ചയായി പുനഃക്രമീകരിച്ച്, അതേ പോയിൻ്റ് സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിൽ നിന്നും ഡിലൗനേ ത്രികോണം ലഭിക്കും (ചിത്രം 5.5).

അരി. 5.5.. ഡിലോനേ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത ത്രികോണങ്ങളുടെ പുനർനിർമ്മാണം

ഈ പുനർനിർമ്മാണ പ്രവർത്തനത്തെ പലപ്പോഴും ഫ്ലിപ്പ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം ഒരാളെ ഡിലോനേ ത്രികോണം ക്രമാനുഗതമായി നിർമ്മിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു, ആദ്യം ചില ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അത് ഡെലോനേ അവസ്ഥയുടെ അർത്ഥത്തിൽ തുടർച്ചയായി മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു. അടുത്തുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ ജോഡികൾക്കായി Delaunay അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് നേരിട്ട് നിർവചനം ഉപയോഗിക്കാം, എന്നാൽ ചിലപ്പോൾ മുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി മറ്റ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഈ അവസ്ഥകളിൽ, ഒരു ഡെലൗനേ ത്രികോണം ലഭിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, മുഴുവൻ ത്രികോണത്തിൻ്റെയും മൊത്തത്തിലുള്ള സ്വഭാവം (കുറഞ്ഞ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ആരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക) ദൃശ്യമാകുന്നു.

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അതിലൊന്ന് നിർണായക പ്രവർത്തനങ്ങൾനൽകിയിരിക്കുന്ന ജോഡി ത്രികോണങ്ങൾക്കായി ഡെലൗനേ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നതാണ് ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ചെയ്യുന്നത്. Delaunay ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തെയും അനുബന്ധ വ്യവസ്ഥകളെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, പ്രായോഗികമായി നിരവധി സ്ഥിരീകരണ രീതികൾ സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

- സർക്കിൾ സമവാക്യത്തിലൂടെ പരിശോധിക്കുന്നു;

- മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കിയ ഒരു സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുക;

- വിപരീത കോണുകളുടെ ആകെത്തുക പരിശോധിക്കുന്നു;

- വിപരീത കോണുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ പരിഷ്കരിച്ച പരിശോധന.

പല സിസ്റ്റങ്ങളും ഒരു പ്രീ-കമ്പ്യൂട്ടഡ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിശോധന നടത്തുന്നത്. മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കിയ സർക്കിളുകളിലൂടെയുള്ള സ്ഥിരീകരണ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയം, നിർമ്മിച്ച ഓരോ ത്രികോണത്തിനും ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യവും ദൂരവും മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്, അതിനുശേഷം ഡെലോനേ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നത് മധ്യത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് കുറയ്ക്കും. ഈ വൃത്തത്തിൻ്റെ ഫലത്തെ ആരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു. ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യവും ആരവും , , , r 2 = (b 2 + c 2 - 4аd)/4а 2 എന്ന് കണ്ടെത്താം, ഇവിടെ മൂല്യങ്ങൾ എ ബി സി ഡിസൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു (5.3)

(5.3)

ഈ വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിനായുള്ള മറ്റൊരു എൻട്രി ഇതാണ്:

(5.5.)

(5.6)

മറ്റേതെങ്കിലും ത്രികോണ ബിന്ദുവിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഡെലോനേ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുകയുള്ളൂ:

(x 0 - x C) 2 + (y 0 - y C) 2 ≥ r 2 . (5.7)

നിലവിൽ, ഡെലോനേ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിന് നിരവധി അൽഗോരിതങ്ങൾ ഉണ്ട്. അറിയപ്പെടുന്ന പല അൽഗോരിതങ്ങളും ഒരു ദ്വിതീയ ത്രികോണ സവിശേഷതയായി Delaunay triangulation നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അത്തരം അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബലഹീനതകൾ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്:

- അൽഗോരിതങ്ങൾ നിരന്തരം കണക്കാക്കിയ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് പ്രക്രിയയെ നാടകീയമായി മന്ദഗതിയിലാക്കുന്നു;

- പോയിൻ്റുകളും അടിസ്ഥാന സെഗ്മെൻ്റും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പഠിക്കുമ്പോൾ, വളരെ ചെറിയ കോണുകൾ ഉണ്ടാകുന്നു, ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിലെ ഡാറ്റാ പ്രാതിനിധ്യത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ കൃത്യത കാരണം ക്രമം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതിനും 0 കൊണ്ട് വിഭജിക്കപ്പെടുന്നതിനും നിരന്തരമായ അപകടമുണ്ട്.

ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന, പ്രാഥമിക തത്വമായി ശൂന്യമായ ബോൾ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്ന സോഫ്റ്റ്‌വെയർ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഡെലോനേ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു. അൽഗോരിതം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

- പോയിൻ്റുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റും ത്രികോണങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ കോമ്പിനേഷനുകൾ സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു;

- ഓരോ കോമ്പിനേഷനും, ചുറ്റപ്പെട്ട വൃത്തവും അതിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും കണ്ടെത്തി;

- നിലവിലെ കോമ്പിനേഷൻ്റെ സർക്കിളിനുള്ളിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് പോലും അവശേഷിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ കോമ്പിനേഷൻ ഒരു ത്രികോണമാണ് - ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഭാഗം.

ഈ അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഇവ ഉൾപ്പെടുന്നു:

- ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ അഭാവം, ഇത് നിർമ്മാണ പ്രക്രിയയെ മന്ദഗതിയിലാക്കുന്നില്ല;

- പ്രാഥമിക നിർമ്മിതികളില്ലാതെ ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള നിർമ്മാണം;

- എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പരിവർത്തനങ്ങളുടെയും ലാളിത്യം;

- ഫലമായി, ത്രികോണ ഗ്രിഡ് വ്യക്തിഗത ലൈനുകളേക്കാൾ പല ത്രികോണങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ രീതിയിൽ നിർമ്മിച്ച ത്രികോണമാണ് ഐസോലൈനുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ജ്യാമിതീയ അടിസ്ഥാനം.

Delaunay triangulation നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ, ഉപയോഗിച്ച ഇൻപുട്ട് ഡാറ്റയുടെ ഘടന, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അളവ്, പ്രാരംഭ പരിസരം മുതലായവയിൽ വ്യത്യാസമുള്ള നിരവധി ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിക്കാം. അവയിൽ ചിലത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഒരു കൂട്ടം സോഴ്‌സ് പോയിൻ്റുകളെ ഉപസെറ്റുകളായി വിഭജിച്ച് അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുകയും തുടർന്ന് അവയെ ഒരൊറ്റ നെറ്റ്‌വർക്കിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് അൽഗരിതങ്ങൾ ലയിപ്പിക്കുന്നത്. ഈ അൽഗോരിതങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെ സാരാംശം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

പ്രാരംഭ പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം ലംബ വരകളാൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ ഭാഗങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം അവ ഓരോന്നും തിരശ്ചീനവും ലംബവുമായ വരകളാൽ ഏകദേശം തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ആരംഭ പോയിൻ്റുകളുടെ മുഴുവൻ പ്രദേശവും മൂന്നോ നാലോ പോയിൻ്റുകളുടെ (ചിത്രം 2.4) പ്രിമിറ്റീവുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതോടൊപ്പം ഒന്നോ രണ്ടോ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ ത്രികോണങ്ങളെ ഒരൊറ്റ ശൃംഖലയിലേക്ക് ലയിപ്പിക്കുന്നത് രണ്ട് അടിസ്ഥാനരേഖകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെയാണ് (P 0 P 1, P 2 P 3, അരി. 5.7.a), അടിസ്ഥാന രേഖയിലേക്ക് ലംബമായ ബൈസെക്ടറിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ച് വേരിയബിൾ ആരത്തിൻ്റെ സർക്കിളുകൾ വരയ്ക്കുന്നു (ചിത്രം 5.7, ബി), സർക്കിളിൽ വീഴുന്ന ഒരു നോഡിനായി തിരയുന്നു (പോയിൻ്റ് എ, അരി. 5.7 c) ഒരു പുതിയ ത്രികോണത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണവും (പി 0 പി 1 എ).ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിലവിലുള്ള ഒരു ത്രികോണം ഇല്ലാതാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, പി 0 എബി).

ഭാഗികമായി നിർമ്മിച്ച ഒരു ത്രികോണത്തിലേക്ക് തുടർച്ചയായി പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ആവർത്തന അൽഗോരിതങ്ങൾ, ഡെലോനേ മാനദണ്ഡങ്ങൾക്കനുസൃതമായി അതിൻ്റെ ഒരേസമയം മെച്ചപ്പെടുത്തലും പുനർനിർമ്മാണവും. IN പൊതുവായ കാഴ്ചഅവയിൽ നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, ആദ്യ മൂന്നിൽ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു ആരംഭ പോയിൻ്റുകൾഅടുത്ത പോയിൻ്റ് സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, മോഡലിംഗ് ഏരിയയുടെ അതിർത്തിക്ക് പുറത്ത്, നിലവിലുള്ള ഒരു നോഡിലേക്കോ അരികിലേക്കോ, ഒരു നിർമ്മിത ത്രികോണത്തിനകത്തേക്കോ വീഴുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഈ ഓപ്ഷനുകളിൽ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നു: ഒരു അഗ്രത്തെ രണ്ടായി വിഭജിച്ച്, മുഖങ്ങൾ മൂന്ന്, മുതലായവ; അതിനു ശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ ഡിലോനേ അവസ്ഥയും ആവശ്യമായ പുനർനിർമ്മാണങ്ങളും പാലിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നു.

രണ്ട്-പാസ് അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ആദ്യം ചില ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം ഉൾപ്പെടുന്നു, ഡെലോനേ അവസ്ഥകളെ അവഗണിച്ച്, ഈ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് അനുസൃതമായി അതിൻ്റെ പുനർനിർമ്മാണം. അൽഗോരിതം പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 5.8

സൃഷ്ടിച്ച റിലീഫ് മോഡലിനെ യഥാർത്ഥമായ ഒന്നിലേക്ക് അടുപ്പിക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ രേഖീയവും ഏരിയൽ ഘടനാപരവുമായ ഘടകങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുകയും പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ അധിക ഘടകങ്ങൾ അതിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു. "ആശ്വാസ അസ്ഥികൂടം" നിർവചിക്കുന്ന ഭൂപ്രകൃതിയിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഘടനാപരമായ വരികളാണ് അത്തരം അധിക ഘടകങ്ങൾ: നീർത്തടങ്ങൾ, താൽവെഗുകൾ, വരമ്പുകൾ, പാറക്കെട്ടുകൾ, ലെഡ്ജുകൾ, തടാകങ്ങൾ, മലയിടുക്കുകൾ, തീരപ്രദേശങ്ങൾ, കൃത്രിമ ഘടനകളുടെ അതിരുകൾ മുതലായവ. ഡിലോനേ ത്രികോണത്തിനുള്ള ഫ്രെയിം. ഈ ഘടനാപരമായ വരികൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ അരികുകളായി ത്രികോണത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ പൊതുവായ അസമത്വത്തിൻ്റെ പശ്ചാത്തലത്തിൽ യഥാർത്ഥ റിലീഫ് മൂലകങ്ങളുടെ മാതൃക കൈവരിക്കുന്നു. അത്തരം അരികുകളെ ഘടനാപരമായ (ഫിക്സഡ്, നോൺ-കോൺഫിഗർ ചെയ്യാവുന്ന) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റ് ത്രികോണങ്ങളുടെ അരികുകൾ വിഭജിക്കരുത്, പിന്നീട് മാറരുത്.

ബ്രേക്ക്‌ലൈനുകളാൽ വേർതിരിക്കപ്പെടാത്ത ഏതെങ്കിലും ജോഡി അടുത്തുള്ള ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ഡെലോനേ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, ബ്രേക്ക്‌ലൈനുകൾ കണക്കിലെടുത്ത് ഒരു ഉപരിതല മോഡൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്‌നത്തെ കൺസ്ട്രൈൻഡ് ഡെലൗനേ ട്രയാംഗുലേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആവർത്തന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അത്തരമൊരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും ഫലപ്രദമായ മാർഗം എന്ന് ഗവേഷകർ വിശ്വസിക്കുന്നു.

ഡിലോനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അധിക മൂലകങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 5.9, ഇവിടെ നോഡുകൾ, അരികുകൾ, അരികുകൾ, ഘടനാപരമായ ലൈനുകൾ എന്നിവ വലതുവശത്തും, ഭൂപ്രദേശത്തിൻ്റെ ഘടനാപരമായ ലൈനുകളും (തീരപ്രദേശങ്ങൾ, മലയിടുക്കുകളുടെ അരികുകൾ മുതലായവ) ഇടതുവശത്ത് അറിയപ്പെടുന്ന അടയാളങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകളും കാണിക്കുന്നു.

Delaunay triangulation നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ നോഡുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ യഥാർത്ഥ അല്ലെങ്കിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യ പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്നു, ഇത് പ്രോസസ്സിംഗിൻ്റെ വേഗതയും കൃത്യതയും ഗണ്യമായി വർദ്ധിപ്പിക്കും, പക്ഷേ പൊരുത്തപ്പെടുന്ന നോഡുകൾ തിരയുന്നതിലും ഒഴിവാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

ചലിക്കുന്ന നോഡുകൾ, പുതിയവ തിരുകുക, നിലവിലുള്ളവ ഇല്ലാതാക്കുക, ഒന്നോ അതിലധികമോ അരികുകളുടെ സ്ഥാനം മാറ്റുക, പുതിയ ഘടനാപരമായ ലൈനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുക തുടങ്ങിയവയിലൂടെ TIN മോഡൽ എളുപ്പത്തിൽ എഡിറ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. അത്തരം മാറ്റങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അടുത്തുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ചെറിയ ഗ്രൂപ്പിനെ ബാധിക്കുന്നു, പുനർനിർമ്മാണം ആവശ്യമില്ല. മുഴുവൻ നെറ്റ്‌വർക്കും, കഴ്‌സർ അനുബന്ധ ഘടകത്തിലേക്ക് ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ട് ഓൺലൈനായി നടപ്പിലാക്കുന്നു.

കൃത്യതയെക്കുറിച്ച്:

റിലീഫ് മൂലകങ്ങളിൽ പിക്കറ്റുകൾ സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ (ഉദാഹരണത്തിന്, നീർത്തടങ്ങളും താൽവെഗുകളും), വിടവുകളിലെ ചെറിയ ഘടകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുന്നു. ത്രികോണങ്ങളുടെ അത്തരം അരികുകളിൽ കോണ്ടൂർ ലൈനുകൾ 1 നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പിശക് സംഭവിക്കുന്നു, ഇത് ഭൂപ്രദേശത്തിൻ്റെ അസമത്വത്തിൻ്റെ അളവിനെയും ഭൂപ്രദേശത്തിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റിലീഫ് സർവേയിൽ ശരാശരി പിശക് 2 മുതൽ 10 ഡിഗ്രി വരെ ഉപരിതല ചെരിവ് കോണുകളിൽ റിലീഫ് ക്രോസ്-സെക്ഷൻ്റെ 1/3 കവിയാൻ പാടില്ല. 0.5 മീറ്റർ റിലീഫ് സെക്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, നഷ്ടപ്പെട്ട അസമത്വത്തിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം (അതായത്, അടുത്തുള്ള പിക്കറ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് ഭൂമിയുടെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനം) (0.5/3)*cos10° കവിയാൻ പാടില്ല എന്ന് കണക്കാക്കാം. =0.16 മീ.

കൊണ്ടുപോകുന്ന മണ്ണിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്യതയ്ക്ക്, കണക്കിൽപ്പെടാത്ത ദുരിതാശ്വാസ വിശദാംശങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പ്രദേശവും പ്രധാനമാണ്. രണ്ട് ജോഡി പിക്കറ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള 20x20 മീറ്റർ ചതുരത്തിൽ പരമാവധി 0.15 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു സിലിണ്ടർ കോൺവെക്‌സിറ്റി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ മാത്രമുള്ള ഈ ഉപരിതലത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ അത് കണക്കിലെടുക്കാതിരിക്കുക ഏകദേശം 40 m3 പിശക്. അത്രയൊന്നും അല്ല, ഒരു കുന്നിൻ മുകളിലോ അല്ലെങ്കിൽ ചരിവിൻ്റെ മുകളിലെ (സാധാരണയായി കുത്തനെയുള്ള) ഭാഗത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന 1 ഹെക്ടർ സ്ഥലത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 40 * 25 = 1000 m3 അധിക മണ്ണ് ലഭിക്കും. നിങ്ങൾ രണ്ടുതവണ പിക്കറ്റുകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ (അതായത്, ഓരോ 10 മീറ്ററിലും), പിശക് നാലിരട്ടിയായി കുറയുകയും ഹെക്ടറിന് 250 m3 ആയി കുറയുകയും ചെയ്യും. ഈ ഘടകം മുൻകൂട്ടി കണക്കിലെടുക്കാം, കാരണം ഫ്ലാറ്റ് റിലീഫിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് രൂപങ്ങൾക്ക് സാധാരണയായി ഒരു കുത്തനെയുള്ള രൂപമുണ്ട്, അതേസമയം നെഗറ്റീവ് രൂപങ്ങൾക്ക് കോൺകേവ് ആകൃതിയുണ്ട്. സർവേ ചെയ്യേണ്ട പ്രദേശത്തിന് ആശ്വാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഏകദേശ ഡാറ്റയുണ്ടെങ്കിൽ, ഉപരിതലത്തിൻ്റെ വക്രതയുടെ ആരവും പിക്കറ്റുകളുടെ ആവശ്യമായ സാന്ദ്രതയും കോണ്ടൂർ ലൈനുകളുടെയോ വ്യക്തിഗത എലവേഷനുകളുടെയോ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും ഗുണങ്ങളും

ഒരു ത്രികോണം എന്നത് ഒരു പ്ലാനർ ഗ്രാഫാണ്, അതിൻ്റെ ആന്തരിക മേഖലകളെല്ലാം ത്രികോണങ്ങളാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

· Delaunay ത്രികോണം ഒരേ പോയിൻ്റുകളുടെ വോറോനോയ് ഡയഗ്രാമുമായി ഒന്നിൽ നിന്ന് ഒന്നായി യോജിക്കുന്നു.

· അനന്തരഫലമായി: ഒരേ സർക്കിളിൽ നാല് പോയിൻ്റുകളൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ, ഡെലോനേ ത്രികോണം അദ്വിതീയമാണ്.

· Delaunay triangulation എല്ലാ നിർമ്മിത ത്രികോണങ്ങളുടെയും എല്ലാ കോണുകൾക്കിടയിലും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ കോണിനെ പരമാവധിയാക്കുന്നു, അതുവഴി "നേർത്ത" ത്രികോണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

· ഡെലോനേ ത്രികോണം ആലേഖനം ചെയ്ത ഗോളങ്ങളുടെ ആരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു.

· ഡിലൗനേ ത്രികോണം വ്യതിരിക്തമായ ഡിറിച്ലെറ്റ് ഫങ്ഷണൽ കുറയ്ക്കുന്നു.

· Delaunay triangulation ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ആംബിയൻ്റ് ഗോളത്തിൻ്റെ പരമാവധി ആരം കുറയ്ക്കുന്നു.

· വിമാനത്തിലെ ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിന് സാധ്യമായ എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളിലും ത്രികോണങ്ങൾക്ക് ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ ആരങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ തുകയുണ്ട്.

ചിത്രം 1. ത്രികോണം.

എല്ലാ ത്രികോണങ്ങളെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ബഹുഭുജം കുത്തനെയുള്ള ഒരു ത്രികോണമാണ് കോൺവെക്സ് ത്രികോണം. കോൺവെക്സ് അല്ലാത്ത ഒരു ത്രികോണത്തെ നോൺ-കോൺവെക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തെ കണക്ഷൻ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പോയിൻ്റുകൾ നൽകിവിഭജിക്കാത്ത ഭാഗങ്ങൾ അങ്ങനെ ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്നു.

നിർമ്മിത ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും വലയം ചെയ്തിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണ ബിന്ദുക്കളൊന്നും പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണം ഡെലോനേ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു ത്രികോണം കുത്തനെയുള്ളതും ഡിലൗനേ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതുമാണെങ്കിൽ അതിനെ ഡെലൗനേ ത്രികോണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിത്രം 2. ഡിലോനേ ത്രികോണം.

ഡെലോനയ് ശൂന്യമായ പന്ത് രീതി. പൊതു കേസിൽ നിർമ്മാണം

നമുക്ക് ഒരു ശൂന്യമായ പന്ത് ഉപയോഗിക്കാം, അത് ഞങ്ങൾ നീക്കും, അതിൻ്റെ വലുപ്പം മാറ്റുക, അങ്ങനെ അത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (എ) പോയിൻ്റുകളിൽ സ്പർശിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ എല്ലായ്പ്പോഴും ശൂന്യമായി തുടരും.

അതിനാൽ, നമുക്ക് പോയിൻ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ (എ) സ്ഥാപിക്കാം ഒഴിഞ്ഞ പന്ത്ഡെലോനേ. നിങ്ങൾ ഒരു ചെറിയ പന്ത് തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്. പന്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം ഉപേക്ഷിച്ച് അതിൻ്റെ ആരം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങാം. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ, പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (A) ചില പോയിൻ്റുമായി ചേരും. ഇത് തീർച്ചയായും സംഭവിക്കും, കാരണം നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ അനന്തമായ വലിയ ശൂന്യതകളൊന്നുമില്ല. ശൂന്യമായ പന്തിൻ്റെ ആരം ഞങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് തുടരും, അങ്ങനെ പോയിൻ്റ് i അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ തുടരും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പോയിൻ്റ് i-ൽ നിന്ന് പന്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം നീക്കേണ്ടതുണ്ട്. താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട്, പന്ത് അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിലെ മറ്റൊരു പോയിൻ്റിലെത്തും (എ).

ചിത്രം.3

വിടവുകളോ ഓവർലാപ്പുകളോ ഇല്ലാതെ ഡെലോനേ സിംപ്ലക്സുകൾ ഇടം നിറയ്ക്കുന്നു.

ഏതെങ്കിലും സിംപ്ലെക്സിൻ്റെ വിവരിച്ച ഗോളത്തിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റ് പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

ഇത് പോയിൻ്റ് j ആയിരിക്കട്ടെ. രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് നമ്മുടെ പന്തിൻ്റെ ആരം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് തുടരാം. പന്ത് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂന്നാം പോയിൻ്റിലെത്തും, പോയിൻ്റ് k. ദ്വിമാന കേസിൽ, നമ്മുടെ "ശൂന്യമായ സർക്കിൾ" ഈ നിമിഷത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും, അതായത്. സർക്കിൾ ശൂന്യമായി സൂക്ഷിക്കുമ്പോൾ അതിൻ്റെ ആരം ഇനിയും വർദ്ധിപ്പിക്കുക അസാധ്യമാകും. അതേ സമയം, ഒരു നിശ്ചിത ത്രികോണം നിർവചിക്കുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളുടെ (i, j, k) പ്രാഥമിക ദ്വിമാന കോൺഫിഗറേഷൻ ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിയുന്നു, അതിൻ്റെ വൃത്താകൃതിയിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (A) മറ്റ് പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ പ്രത്യേകത. ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്, ഒരു പന്ത് മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ കൊണ്ട് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നില്ല. അതിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൽ കാണപ്പെടുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളും നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട് നമുക്ക് അതിൻ്റെ ആരം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് തുടരാം. പന്തിൻ്റെ ഉപരിതലം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതുവരെ ഇത് സാധ്യമാകും. ഇതിനുശേഷം, ശൂന്യമായ പന്തിൻ്റെ ചലനവും വളർച്ചയും അസാധ്യമാകും. കണ്ടെത്തിയ നാല് പോയിൻ്റുകൾ (i,j,k,l) ​​ടെട്രാഹെഡ്രോണിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങളെ നിർവചിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ചുറ്റളവിലുള്ള ഗോളത്തിനുള്ളിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റ് പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല (എ) എന്നതാണ് ഇതിൻ്റെ സവിശേഷത. അത്തരമൊരു ടെട്രാഹെഡ്രോണിനെ ഡെലോനേ സിംപ്ലക്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു നിശ്ചിത അളവിലുള്ള സ്ഥലത്ത് ഏറ്റവും ലളിതമായ രൂപമാണ് സിംപ്ലക്സ്: ഒരു ടെട്രാഹെഡ്രോൺ - ത്രിമാന സ്ഥലത്ത്; ത്രികോണം - രണ്ട് അളവുകളിൽ. ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കാത്ത സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ മൂന്ന് (നാല്) പോയിൻ്റുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു നിശ്ചിത സിംപ്ലക്സ് നിർവചിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അതിൻ്റെ വിവരിച്ച ഗോളം ശൂന്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് ഒരു ഡെലോനേ സിംപ്ലക്സ് ആകുകയുള്ളൂ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സിസ്റ്റത്തിലെ (എ) പോയിൻ്റുകളുടെ ട്രിപ്പിൾ (നാലുമണികൾ) പ്രത്യേക ചോയ്‌സാണ് ഡെലൗനേ ലളിതങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

ഞങ്ങൾ ഒരു Delaunay simplex നിർമ്മിച്ചു, എന്നാൽ ശൂന്യമായ പന്ത് വ്യത്യസ്ത സ്ഥലങ്ങളിൽ സ്ഥാപിച്ച് അതേ നടപടിക്രമം ആവർത്തിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് മറ്റുള്ളവരെ നിർവചിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (എ) എല്ലാ ഡെലൗനേ സിംപ്ലിസുകളുടെയും സെറ്റ് ഓവർലാപ്പുകളും വിടവുകളും ഇല്ലാതെ ഇടം നിറയ്ക്കുന്നുവെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു, അതായത്. സ്ഥലത്തിൻ്റെ വിഭജനം നടപ്പിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത്തവണ ടെട്രാഹെഡ്രോണുകളായി. ഈ പാർട്ടീഷനെ വിളിക്കുന്നു ഡെലോനേ ടൈലിംഗ്(ചിത്രം 3).

Delaunay ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം

യൂക്ലിഡിയൻ ബഹിരാകാശത്ത് ഡെലോനേ ത്രികോണങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. യൂക്ലിഡിയൻ മിനിമം സ്പാനിംഗ് ട്രീ ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിൽ കിടക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുന്നു, അതിനാൽ ചില അൽഗോരിതങ്ങൾ ത്രികോണം ഉപയോഗിക്കുന്നു. കൂടാതെ, Delaunay triangulation വഴി, യൂക്ലിഡിയൻ ട്രാവലിംഗ് സെയിൽസ്മാൻ പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിച്ചു.

2D ഇൻ്റർപോളേഷനിൽ, ഡെലൗനേ ട്രയാംഗുലേഷൻ വിമാനത്തെ സാധ്യമായ ഏറ്റവും കട്ടിയുള്ള ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു, വളരെ മൂർച്ചയുള്ളതും വളരെ മൂർച്ചയുള്ളതുമായ കോണുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഈ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, ബിലീനിയർ ഇൻ്റർപോളേഷൻ.

ജിയോ ഇൻഫോർമാറ്റിക്സിൽ പതിവായി നേരിടുന്ന മറ്റൊരു പ്രശ്നം ചരിവ് എക്സ്പോഷറുകളുടെ നിർമ്മാണമാണ്. ഇവിടെ ചരിവുകളുടെ ആധിപത്യ ദിശകൾ കാർഡിനൽ ദിശയിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കുകയും ഉപരിതലത്തെ ഒരു പ്രത്യേക ദിശയിൽ ആധിപത്യം പുലർത്തുന്ന മേഖലകളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഉപരിതലത്തിൻ്റെ തിരശ്ചീന മേഖലകൾക്ക് എക്സ്പോഷർ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല എന്നതിനാൽ, തിരശ്ചീനമായതോ ചെറിയ ചരിവുള്ളതോ ആയ പ്രദേശങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പ്രദേശത്തേക്ക് നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

ചിത്രം.4.

ഭൂമിയുടെ പ്രകാശം വിശകലനം ചെയ്യാൻ സാധാരണയായി ചരിവ് എക്സ്പോഷറുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, പലപ്പോഴും സൂര്യൻ്റെ നിലവിലെ സ്ഥാനം കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയുണ്ട്, അതായത്. സാധാരണ ത്രികോണത്തിനും സൂര്യനിലേക്കുള്ള ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള ദിശയാണ് എക്സ്പോഷർ കണക്കാക്കുന്നത്.

അങ്ങനെ, ഓരോ ത്രികോണ ത്രികോണത്തെയും ഒരു പ്രത്യേക പ്രദേശത്തിൻ്റെ തത്വമനുസരിച്ച് തരം തിരിക്കാം. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ മേഖല തിരഞ്ഞെടുക്കൽ അൽഗോരിതം വിളിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ കൂടാത്ത ദൂരത്തിൽ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഫലകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാതൃകാ വസ്തുവിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഏകദേശ കണക്കാണ് ത്രികോണാകൃതി. അവയുടെ മുകൾഭാഗം ഉപരിതലത്തിൽ കിടക്കുന്നു. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം പൊതുവായ ഉപരിതലത്തേക്കാൾ പ്രവർത്തിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഫലകങ്ങളെ നമ്മൾ ത്രികോണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കും. ഒരു ത്രികോണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം അല്ലെങ്കിൽ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകിയിരിക്കുന്ന രേഖയുമായുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റ് വേഗത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നു. ജ്യാമിതീയ മോഡലിൻ്റെ വിഷ്വൽ പെർസെപ്സിനായി മുഖങ്ങളുടെ ത്രികോണം നടത്തുന്നു, അതിനാൽ കണ്ണിന് കിങ്കുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാൻ കഴിയാത്തവിധം ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

പ്രതലങ്ങളിലെ പാരാമെട്രിക് തലങ്ങളിൽ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കളെ ത്രികോണങ്ങളാൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ശരീരത്തിൻ്റെ മുഖങ്ങളുടെ ഒരു സ്പേഷ്യൽ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ബഹിരാകാശത്തെ ബിന്ദുക്കളുടെ ഒരു നിരയും ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ ശരീരത്തിൻ്റെ മുഖങ്ങളിലേക്കുള്ള നോർമലുകളുടെ ഒരു നിരയും കണക്കാക്കിയാണ്. ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകൾ വേഗത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നതിന്, ശരീരത്തിൻ്റെ മുഖങ്ങളുമായി ഇടപഴകുന്ന പ്രകാശകിരണങ്ങളുടെ സ്വഭാവം നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധാരണ പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്ലേറ്റുകൾ ആവശ്യമാണ്. മുൻ അധ്യായങ്ങളിലെയും ഈ അധ്യായത്തിലെയും ടോൺ ഡ്രോയിംഗുകൾ ത്രികോണാകൃതി ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ഉപരിതല ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു പാരാമെട്രിക് തലത്തിൽ ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു നിരയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ട്രിപ്പിൾസിൻ്റെ ഒരു ശ്രേണിയും ഉണ്ടായിരിക്കണം, അവ ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ച അറേയിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സംഖ്യകളാണ്. അങ്ങനെ, ഓരോ ത്രികോണത്തെയും പാരാമീറ്റർ അറേയിൽ അതിൻ്റെ മൂന്ന് അക്കങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കും. പാരാമെട്രിക് ഡൊമെയ്‌നിലെ ഓരോ ദ്വിമാന പോയിൻ്റിനും, ഉപരിതലത്തിലെ ഒരു സ്പേഷ്യൽ പോയിൻ്റും അതിൽ സാധാരണ ഉപരിതലവും കണക്കാക്കാം. ഒരു 2D പോയിൻ്റ് അറേയ്ക്ക് സമാനമായ അറേകളിൽ സ്പേഷ്യൽ പോയിൻ്റുകളും നോർമലുകളും സംഭരിക്കാൻ കഴിയും.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ചില രീതികൾ നോക്കാം. പരന്ന പ്രതലങ്ങൾക്ക്, ഉപരിതലത്തിൻ്റെ അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളിൽ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന ചെലവ് കുറഞ്ഞ ത്രികോണ രീതികളുണ്ട്, കൂടാതെ പാരാമെട്രിക് മേഖലയ്ക്കുള്ളിലെ പോയിൻ്റുകൾക്കായി തിരയേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

ഡെലോനേ ത്രികോണം.

വിമാനത്തിലെ ചില പ്രദേശങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അതിൻ്റെ അതിർത്തിയിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഒരു ദിശയിലേക്ക് മാത്രം (ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ മാത്രം) തിരിയേണ്ടി വന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രദേശത്തെ കോൺവെക്സ് എന്ന് വിളിക്കും. കോൺവെക്‌സ് പ്ലാനർ മേഖലകളെ ത്രികോണമാക്കാൻ ഡെലോനേ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാം. ഫ്രീ-ഫോം പ്രതലങ്ങളെ ത്രികോണമാക്കാൻ ഈ അൽഗോരിതം നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല, എന്നാൽ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിക്കും.

അരി. 9.7.1. ഉള്ളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുള്ള കോൺവെക്സ് മേഖല

അടഞ്ഞ തകർന്ന വരയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചില കോൺവെക്സ് ദ്വിമാന മേഖലയും ഈ മേഖലയ്ക്കുള്ളിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളും നൽകട്ടെ (ചിത്രം 9.7.1).

നിർദ്ദിഷ്‌ട പ്രദേശത്തെ ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ പ്രദേശത്തിനുള്ളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളും അതിനെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന തകർന്ന വരയുടെ ലംബങ്ങളുമാണ്. ത്രികോണങ്ങൾ പരസ്പരം ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യരുത്, അവയുടെ വശങ്ങൾ ലംബങ്ങളിൽ മാത്രമേ വിഭജിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്‌ട പ്രദേശം നിറയ്‌ക്കുന്നതിന് നിരവധി വ്യത്യസ്ത ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. എല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും, ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, ഇവിടെ K എന്നത് ബൗണ്ടിംഗ് പോളിലൈനിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്, I എന്നത് ഏരിയയ്ക്കുള്ളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണമാണ്.

അരി. 9.7.2. Delaunay അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

ഓരോ ത്രികോണത്തിനും ചുറ്റും വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ മറ്റ് ത്രികോണങ്ങളുടെ ലംബങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഒരു ത്രികോണം ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണമായിരിക്കും. Delaunay triangulation ത്രികോണങ്ങളെ കഴിയുന്നത്ര സമചതുരത്തോട് അടുക്കുന്നു (യുക്തിരഹിതമായി നീളമേറിയ ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം അനുവദിക്കുന്നില്ല).

അതിനെ സന്തുലിതമെന്ന് വിളിക്കാം. ഒരേ വൃത്തത്തിൽ നാല് ലംബങ്ങളൊന്നും കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണം അദ്വിതീയമായിരിക്കും.

നമുക്ക് ഡിലോനേ ത്രികോണം പരിഗണിക്കാം. മേഖലയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന പോളിലൈനിൻ്റെ ലംബങ്ങളെയും മേഖലയ്ക്കുള്ളിലെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെയും ഞങ്ങൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കും. ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളെ നമ്മൾ അരികുകൾ എന്ന് വിളിക്കും. അരികുകൾക്കിടയിൽ, ഞങ്ങൾ ബൗണ്ടിംഗ് പോളിലൈനിൻ്റെ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതിനെ ഞങ്ങൾ അതിർത്തി അരികുകൾ എന്ന് വിളിക്കും. നമുക്ക് എല്ലാ അതിർത്തി അരികുകളും ഓറിയൻ്റുചെയ്യാം, അങ്ങനെ കോൺവെക്സ് മേഖല ഓരോ അരികിൻ്റെയും ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്നു. ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായിരിക്കട്ടെ, അതിൻ്റെ വശം AB എന്ന അതിർവരമ്പാണ്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.2.

എ, ബി എന്നീ ശീർഷകങ്ങളിലൂടെയും അവയ്‌ക്കൊപ്പം ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കാത്ത ഏതെങ്കിലും ശീർഷകത്തിലൂടെയും ഒരു വൃത്തം വരയ്ക്കാം. ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ ശീർഷം എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് V എന്ന ശീർഷകം, അനുബന്ധ വൃത്തത്തിൽ AB സെഗ്‌മെൻ്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ മറ്റ് ശീർഷങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല, ഏത് പോയിൻ്റിലാണ് V സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ശീർഷകം കണ്ടെത്തും. ഞങ്ങൾ അതിനെ ഏറ്റവും അടുത്തത് എന്ന് വിളിക്കും. എ, ബി, വി പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യഭാഗം AB, BV, VA എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ലംബങ്ങളുടെ കവലയിലാണ്. വൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം MN എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ t എന്ന പാരാമീറ്റർ, AB യുടെ അരികിലേക്ക് ലംബമായി, നീളത്തിൽ തുല്യവും AB യുടെ നടുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതുമാണ്.

അരി. 9.7.3. ഡെലോനേ ത്രികോണ പ്രക്രിയ

AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന എല്ലാ ലംബങ്ങൾക്കും, ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷത്തിന് ഏറ്റവും ചെറിയ പാരാമീറ്റർ t ഉണ്ട്. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷകവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സർക്കിളിൽ AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള മറ്റ് ലംബങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല. എ, ബി, വി എന്നിവ യഥാക്രമം ദ്വിമാന റേഡിയസ് വെക്‌ടറുകളാൽ വിവരിക്കട്ടെ. AB, BV എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ മധ്യബിന്ദുക്കളുടെ ആരം വെക്‌ടറുകൾ തുല്യമായിരിക്കും

A, B, V എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സർക്കിളിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്തെ സ്ഥാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വരിയുടെ t എന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമാണ്.

AB സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷകത്തിന്, t എന്ന പരാമീറ്ററിന് കുറഞ്ഞ മൂല്യമുണ്ട്.

ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശം ഓരോന്നിൻ്റെയും ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന തരത്തിൽ എല്ലാ അതിർത്തി അരികുകളും ഓറിയൻ്റുചെയ്യാം. ഏത് അതിർത്തി അരികിൽ നിന്നും ഞങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. അതിനുള്ള ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷകം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അതിൻ്റെ അനുബന്ധ വൃത്തത്തിൽ മറ്റ് ലംബങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല. AB എന്ന അതിർത്തിയുടെ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷകം V കണ്ടെത്തട്ടെ, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണം ABV നിർമ്മിക്കുകയും അറ്റം AB നിർജ്ജീവമായ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു. ത്രികോണ അൽഗോരിതത്തിൽ പങ്കെടുക്കാത്ത നിഷ്‌ക്രിയ അറ്റങ്ങളെയും ലംബങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ വിളിക്കും. അതിർത്തിയുടെ അരികുകളിൽ എഡ്ജ് BV ഇല്ലെങ്കിൽ, VB സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ അതിർത്തി എഡ്ജ് നിർമ്മിക്കുന്നു. അതിർത്തി അരികുകൾക്കിടയിൽ ഒരു എഡ്ജ് ബിവി ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെയും വെർട്ടെക്സ് ബിയും നിഷ്ക്രിയ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. അതിർത്തിയുടെ അരികുകൾക്കിടയിൽ എഡ്ജ് VA ഇല്ലെങ്കിൽ, AV സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ അതിർത്തി എഡ്ജ് നിർമ്മിക്കും. അതിർത്തിയുടെ അരികുകളിൽ ഒരു എഡ്ജ് VA ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെയും വെർട്ടെക്സ് എയും നിഷ്ക്രിയ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. ത്രികോണ പ്രക്രിയ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.3.

അരി. 9.7.4. ഡെലോനേ ത്രികോണം

എല്ലാ ലംബങ്ങളും അരികുകളും നിർജ്ജീവമാകുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ത്രികോണാകൃതി പൂർത്തിയാക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിൻ്റെ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഫലം ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.4.

തിരുത്തൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണം.

പരാമീറ്ററുകൾ നിർവചിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു പ്രത്യേക ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ത്രികോണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, ഈ വരികൾ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോശങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. സമവാക്യം (9.4.7) അനുസരിച്ച് അടുത്തുള്ള വരികൾക്കിടയിലുള്ള പാരാമെട്രിക് ദൂരം നമുക്ക് എടുക്കാം.

സമവാക്യം (9.4.8) അനുസരിച്ച് അടുത്തുള്ള വരികൾക്കിടയിലുള്ള പാരാമീട്രിക് ദൂരം നമുക്ക് തുല്യമാക്കാം.

എല്ലാ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സെല്ലുകളിലും ഡയഗണലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കും (ആവശ്യങ്ങൾ നിറവേറ്റുന്ന ഒരു കൂട്ടം ത്രികോണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു). ചിത്രത്തിൽ. 9.7.5 വിവരിച്ച രീതി ഉപയോഗിച്ച് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ത്രികോണം കാണിക്കുന്നു.

അനിയന്ത്രിതമായ അതിർത്തിയുള്ള ഒരു ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ത്രികോണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. പരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രദേശം ഉപയോഗിച്ച് മുകളിൽ വിവരിച്ച ഉപരിതല ത്രികോണത്തിൻ്റെ അതിർത്തി രൂപരേഖകൾ വഴിയുള്ള തിരുത്തലിൽ ഞങ്ങൾ ത്രികോണ രീതി നിർമ്മിക്കും.

അരി. 9.7.5. പരാമീറ്ററുകൾ നിർവചിക്കുന്നതിനായി ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡൊമെയ്ൻ ഉള്ള ഒരു ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ത്രികോണം

പാരാമീറ്റർ ഡെഫനിഷൻ ഡൊമെയ്‌നിലെ ഉപരിതല അതിർത്തി പല നോൺ-വിഭജന ദ്വിമാന രൂപരേഖകളാൽ വിവരിക്കട്ടെ (2.12.7). ബാഹ്യരേഖകളിലൊന്ന് ബാഹ്യവും ശേഷിക്കുന്ന രൂപരേഖകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഓരോ കോണ്ടൂരിനുമുള്ള പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ദിശയെടുക്കും, അതിനൊപ്പം നീങ്ങുമ്പോൾ, ഉപരിതല നിർവചന പ്രദേശം എല്ലായ്പ്പോഴും കോണ്ടറിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണ്, സാധാരണ ഉപരിതലത്തിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ. ഉപരിതല നിർവചന പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തി രൂപരേഖകളുടെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നമുക്ക് ബഹുഭുജങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം. അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചില വേരിയബിൾ സ്റ്റെപ്പ് ഉപയോഗിച്ച് ഉപരിതലത്തിൻ്റെ അതിർത്തി രൂപരേഖയിലൂടെ നടക്കുകയും ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു നിര പൂരിപ്പിക്കുകയും വേണം, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകളാണ്. ഒരു പാരാമെട്രിക് തലത്തിലെ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പോളിഗോൺ നിർമ്മിക്കും, എന്നാൽ ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ ഘട്ടം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് സ്പേഷ്യൽ ജ്യാമിതിയിൽ നിന്നാണ്, അതായത്, അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള കർവ് ആർക്കിൻ്റെ വ്യതിചലനം നൽകിയിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതലല്ല എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്. മൂല്യം. ഫോർമുല (9.4.4) ഉപയോഗിച്ച് ഉപരിതല അതിർത്തി കോണ്ടൂർ കർവിന് ഒരു പോളിഗോൺ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പാരാമെട്രിക് ഘട്ടങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

ഓരോ ബഹുഭുജവും ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഞങ്ങൾ അത്തരം പ്രദേശങ്ങൾ അതിർത്തി അരികുകളായി ഉപയോഗിക്കും, കൂടാതെ അരികുകൾ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ബഹുഭുജങ്ങളുടെ പോയിൻ്റുകൾ ത്രികോണ ലംബങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കും. ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രദേശം അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്തായതിനാൽ, ഓരോ അതിർത്തി ത്രികോണാകൃതിയുടെ അരികിലും ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ ശീർഷകം അരികിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നോക്കണം.

ബൗണ്ടറി പോളിഗോണുകൾക്കുള്ളിൽ ഏതൊക്കെ നോഡുകൾ കിടക്കുന്നു, ഏത് ബോർഡറിലോ ഉപരിതല നിർവചന മേഖലയ്ക്ക് പുറത്തോ കിടക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. ഈ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഗ്രിഡ് സെല്ലുകളെ രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി അടുക്കുന്നു. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന പ്രദേശത്തിനുള്ളിൽ പൂർണ്ണമായും കിടക്കുന്ന സെല്ലുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു (സെല്ലുകൾ അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങളെ സ്പർശിക്കരുത്). രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ ശേഷിക്കുന്ന സെല്ലുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു (ഉപരിതല നിർവചന മേഖലയ്ക്ക് പുറത്ത് കിടക്കുന്നത് അല്ലെങ്കിൽ അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങളാൽ വിഭജിക്കപ്പെട്ടത്).

അരി. 9.7.6. പൂർത്തിയാകാത്ത ഉപരിതല ത്രികോണം

ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിലെ ഓരോ സെല്ലിലും, ഒരു ഡയഗണൽ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും. അങ്ങനെ നമുക്ക് പൂർത്തിയാകാത്ത ഒരു ത്രികോണം ലഭിക്കുന്നു. കോണ്ടറുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിപ്ലവത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിനായി ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിലെ സെല്ലുകളിൽ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.6.

രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ സെല്ലുകളുടെ വിഭജിക്കാത്ത വശങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ അതിർത്തി അരികുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും അവയെ നയിക്കുകയും ചെയ്യും, അങ്ങനെ അനുബന്ധ സെൽ അരികിൻ്റെ ഇടതുവശത്തായിരിക്കും. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ സെല്ലുകൾക്ക് ചുറ്റും, ഞങ്ങൾ ഒരു അടഞ്ഞ തകർന്ന രേഖ (ഒരുപക്ഷേ നിരവധി അടഞ്ഞ വരികൾ) നിർമ്മിക്കും, അതിലൂടെ നീങ്ങുമ്പോൾ, ഉപരിതലത്തിലേക്ക് നോക്കുമ്പോൾ, ത്രികോണങ്ങളായി വിഭജിക്കാത്ത പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഭാഗം ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്നു. . ഈ തകർന്ന വരയുടെ നേരായ ഭാഗങ്ങളും ഞങ്ങൾ അതിർത്തി അരികുകളായി ഉപയോഗിക്കും. എല്ലാ അറ്റങ്ങളും തുല്യമായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. ത്രികോണം പൂർത്തിയാക്കാൻ, അതിർത്തിയുടെ അരികുകൾക്കിടയിൽ നമുക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഓരോ അരികിലും ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു ശീർഷകത്തിനായി നോക്കും, അത് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം. അരികിൽ ഒരേ സെല്ലിൽ കിടക്കുന്ന ലംബങ്ങൾക്കിടയിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ഒരു ശീർഷകത്തിനായി തിരയുകയുള്ളൂ. ഒരു ശീർഷകം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന്, മുകളിൽ വിവരിച്ചതും ചിത്രത്തിൽ ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നതുമായ Delaunay രീതി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. 9.7.2. അത്തരമൊരു ശീർഷകം കണ്ടെത്തിയാൽ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് പുതിയ അറ്റങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും അതിർത്തി അരികുമായി വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കണം. AB എന്ന അതിർവരമ്പിന് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ശീർഷകം V കണ്ടെത്തട്ടെ, കൂടാതെ BV, VA എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ മറ്റ് അതിർത്തി അരികുകളെ വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്ന് പരിശോധിക്കുക. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ത്രികോണ ABV നിർമ്മിക്കുകയും എഡ്ജ് AB നിർജ്ജീവ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യും. ബൗണ്ടറി അരികുകൾക്കിടയിൽ എഡ്ജ് ബിവി ഇല്ലെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ വിബിയിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ ബൗണ്ടറി എഡ്ജ് നിർമ്മിക്കും, പക്ഷേ അതിർത്തി അരികുകൾക്കിടയിൽ ഒരു എഡ്ജ് ബിവി ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെയും വെർട്ടെക്സ് ബിയെയും നിഷ്‌ക്രിയ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റും. അതിർത്തിയുടെ അരികുകൾക്കിടയിൽ എഡ്ജ് VA ഇല്ലെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റ് AV-ൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ അതിർത്തി എഡ്ജ് നിർമ്മിക്കും, എന്നാൽ അതിർത്തിയുടെ അരികുകൾക്കിടയിൽ ഒരു എഡ്ജ് VA ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെയും വെർട്ടെക്സ് എയും നിഷ്ക്രിയ വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റും.

ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ VA മറ്റ് അതിർത്തി അരികുകളെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു അതിർത്തി അരികിനായി അടുത്തുള്ള ശീർഷകം തിരയുന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. എല്ലാ അരികുകളും ലംബങ്ങളും നിഷ്‌ക്രിയമായി തരംതിരിച്ചതിന് ശേഷം ത്രികോണം പൂർത്തിയാകും.

അരി. 9.7.7. തിരുത്തൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണം

ചിത്രത്തിൽ. 9.7.7 ബോർഡറി കോണ്ടറുകളാൽ വിഭജിക്കപ്പെട്ട സെല്ലുകളിലെ ത്രികോണങ്ങൾ ശരിയാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഉപരിതല ത്രികോണം കാണിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ. 9.7.8, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണം ഉപയോഗിച്ച്, ഉപരിതലം തന്നെ പ്രദർശിപ്പിക്കും.

അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങൾക്കും ഉപരിതലത്തിനും ചില സമമിതികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, തിരുത്തൽ രീതിയിലുള്ള ത്രികോണത്തിന് സമാനമായ സമമിതി ഉണ്ടായിരിക്കും.

ആഗിരണ രീതി വഴിയുള്ള ത്രികോണം.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ത്രികോണ രീതി പരിഗണിക്കാം. വേഗതയുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിനും അതിൻ്റെ പരിഷ്ക്കരണങ്ങൾക്കും താഴ്ന്നതാണ്. ത്രികോണ നടപടിക്രമം ആരംഭിക്കുന്നതിന്, അടച്ച ബഹുഭുജങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ ഉപരിതല അതിർത്തിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ത്രികോണ പ്രക്രിയയിൽ, ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ഘട്ടങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ചലനത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന ദിശയിൽ, ഈ ഘട്ടങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു (9.4.6). ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകൾക്കുള്ള ഏകദേശ ഘട്ടങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്താം. ഈ മേഖലയിലെ പോയിൻ്റ് മുതൽ പോയിൻ്റ് വരെയുള്ള ഏതെങ്കിലും സ്പേഷ്യൽ സെഗ്‌മെൻ്റ് ഉപരിതലത്തിൽ നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യം എസ് എന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതലാകാത്ത വിധത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിന് ചുറ്റുമുള്ള പാരാമീറ്റർ പ്ലെയിനിൽ ഒരു പ്രദേശം നിർവചിക്കാം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനുകളിൽ പാരാമീറ്ററുകളുടെ അനുവദനീയമായ ഇൻക്രിമെൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു

പോയിൻ്റിൽ ഉപരിതലത്തിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ്. ആവശ്യമുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ അതിർത്തി എന്ന നിലയിൽ, ഒരു ബിന്ദുവിലും അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളിലും കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു ദീർഘവൃത്തം ഞങ്ങൾ എടുക്കും. ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിന് സമവാക്യമുണ്ട്

അച്ചുതണ്ടും അക്ഷവും ഉള്ള കോണിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ദിശയിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിനടുത്തുള്ള ഒരു ബിന്ദു നിങ്ങൾക്ക് വിമാനത്തിൽ കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ഇതായിരിക്കും

ആദ്യം, ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ബാഹ്യ കോണ്ടറിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ലളിതമായ ഒരു കേസ് പരിഗണിക്കാം. പാരാമെട്രിക് ഡൊമെയ്‌നിലെ ഒരു അടഞ്ഞ പോളിഗോൺ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഉപരിതല അതിർത്തി കണക്കാക്കുന്നു. ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്ന പോളിഗോൺ ഉപയോഗിക്കും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ബാഹ്യ കോണ്ടറിൻ്റെ ബഹുഭുജമായി എടുക്കും. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ശ്രേണിയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പോളിഗോൺ പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കും. വർക്കിംഗ് ഏരിയയുടെ അരികിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും, വർക്കിംഗ് ഏരിയയിൽ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നതുവരെ അത് ഇടുങ്ങിയതാക്കും.

പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തിൽ ഒരു ശീർഷകം കണ്ടെത്താം, അത് മേഖലയായി മാറുന്നു. അത്തരമൊരു പോയിൻ്റ് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലവിലുണ്ട്, അതിലെ ഭ്രമണത്തിൻ്റെ കോൺ ചെറുതാണ്. നമുക്ക് ഈ പോയിൻ്റ് O കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ഈ പോയിൻ്റിന് സമീപം ഭ്രമണ കോണിനെ ആശ്രയിച്ച് ഒന്നോ രണ്ടോ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും. ആംഗിൾ ചെറുതാണെങ്കിൽ, ഈ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കും (ചിത്രം 9.7.9). അല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഇതിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും, രണ്ട് അയൽപക്കവും ഒരു പുതിയ പോയിൻ്റും (ചിത്രം 9.7.11). പുതിയ പോയിൻ്റ് നിയുക്തമാക്കിയത് P ആണ്. സമാന്തരചലനം B OS P യുടെ ഡയഗണലിൽ ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് P നായി നോക്കും. സമാന്തരചലനത്തിൻ്റെ ശീർഷകം ദീർഘവൃത്തത്തിനുള്ളിലാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 9.7.10), ഞങ്ങൾ അതിനെ പോയിൻ്റ് P ആയി എടുക്കും. അല്ലാത്തപക്ഷം, നമ്മൾ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വിഭജനവും സമാന്തരചർമ്മത്തിൻ്റെ ഡയഗണലും പോയിൻ്റ് പി ആയി എടുക്കും. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെയും സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെയും വിഭജനം നോക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

പോയിൻ്റ് P യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പോയിൻ്റ് O BC യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴിയാണ്

തിരശ്ചീനവുമായുള്ള സെഗ്മെൻ്റ് OP യുടെ കോൺ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് തുല്യതയാണ്

(9.7.8)

ദീർഘവൃത്തത്തിന് (9.7.5) ആപേക്ഷികമായി പോയിൻ്റ് പിയുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഈ ഡാറ്റ സാധ്യമാക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ. 9.7.9, നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാം (അതിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങളുടെ സംഖ്യകൾ ഓർക്കുക) കൂടാതെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ പോയിൻ്റ് O ഇല്ലാതാക്കുക. 9.7.11, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയും വർക്കിംഗ് ഏരിയയിൽ ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് O മാറ്റി പകരം പോയിൻ്റ് P ഉപയോഗിച്ച് രണ്ടാമത്തേത് പോയിൻ്റുകളുടെ ശ്രേണിയിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യും. ചിത്രത്തിൽ. ചിത്രം 9.7.12 രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച് പോയിൻ്റ് O ഇല്ലാതാക്കിയ ശേഷം ലഭിച്ച പോളിഗോൺ കാണിക്കുന്നു. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റ് O നീക്കം ചെയ്യപ്പെടുകയും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജം ചുരുങ്ങുകയും ചെയ്യും. ജോലിസ്ഥലം ഇടുങ്ങിയതിന് ശേഷം സ്വയം വിഭജിക്കാതിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അരി. 9.7.9. ഒരു ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നു

അരി. 9.7.10. ഫലം ബഹുഭുജം

അരി. 9.7.11. രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം

അരി. 9.7.12. ഫലം ബഹുഭുജം

അത്തരം സാഹചര്യങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.13. നിർമ്മിത ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ അവയോട് ചേർന്നല്ലാത്ത പ്രവർത്തന മേഖലയുടെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ സംഭവിക്കാം. ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരു പുതിയ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്. 9.7.9, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ. 9.7.11, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ബഹുഭുജം സ്വയം വിഭജിക്കുന്നില്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ ഒരു പരിശോധന നടത്തണം.

മാത്രമല്ല, പോയിൻ്റ് പി യുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ, അത് ജോലി ചെയ്യുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ മറ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മതിയായ അകലത്തിലാണെന്നും പ്രദേശത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റുകൾക്ക് അടുത്ത് വരാതിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഭാവിയിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകാം. അതിനാൽ, പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജം ഇടുങ്ങിയതാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ സ്വയം വിഭജനത്തിനായി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോളിഗോൺ പരിശോധിക്കണം. പോയിൻ്റ് O ന് സമീപം ഒരു ത്രികോണം (ത്രികോണങ്ങൾ) നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, പകരം പോളിഗോൺ മറ്റുള്ളവയേക്കാൾ കൂടുതൽ കോണ്ടറിനുള്ളിൽ പൊതിയുന്ന മറ്റൊരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുകയും അതിൽ വിവരിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും വേണം.

അടുത്തതായി, പരിഷ്കരിച്ച പ്രവർത്തന മേഖല ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ വിവരിച്ച അതേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചെയ്യും. പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താം, അത് മറ്റ് പോയിൻ്റുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഏരിയയ്ക്കുള്ളിൽ തിരിയുന്നു, ഒന്നോ രണ്ടോ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച് അതിൽ ബഹുഭുജത്തെ ചുരുക്കാനുള്ള സാധ്യത പരിശോധിക്കുക, ബഹുഭുജം ചുരുക്കുക.

അരി. 9.7.13. ഈ മൂലയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല

ഈ പ്രക്രിയ തുടരുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ശ്രേണിയും ത്രികോണങ്ങളുടെ ശ്രേണിയും വികസിപ്പിക്കും, അതേ സമയം ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തെ ചുരുക്കുകയും അത് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വിസ്തീർണ്ണവും അതിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണവും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യും. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നമുക്ക് മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു വർക്കിംഗ് പോളിഗോൺ ലഭിക്കും. ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ അവസാനത്തെ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാം, പ്രവർത്തന മേഖല ഒഴിവാക്കി ത്രികോണം പൂർത്തിയാക്കാം. വിവരിച്ച ത്രികോണാകൃതിയിൽ, ജോലി ചെയ്യുന്ന പ്രദേശം പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം, അതിൽ നിന്ന് ത്രികോണങ്ങൾ മുറിച്ച് ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ബാഹ്യ രൂപരേഖയും ബാഹ്യ കോണ്ടറിനുള്ളിൽ പൂർണ്ണമായും കിടക്കുന്ന നിരവധി ആന്തരിക രൂപരേഖകളും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് പൊതുവായ കേസ് പരിഗണിക്കാം. പാരാമെട്രിക് ഡൊമെയ്‌നിലെ അടഞ്ഞ ബഹുഭുജങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഉപരിതല അതിർത്തി കണക്കാക്കുന്നു. ഓരോ കോണ്ടറിനും ഞങ്ങൾ സ്വന്തം പോളിഗോൺ നിർമ്മിക്കും. ബാഹ്യരേഖകൾ പോലെ, അവയിൽ നിർമ്മിച്ച ബഹുഭുജങ്ങൾക്കും, അവയുടെ പരസ്പര ദിശാബോധത്തിൻ്റെ നിയമം പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അകത്തെ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ ഓറിയൻ്റേഷൻ ബാഹ്യ ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഓറിയൻ്റേഷന് എതിരായിരിക്കണം. ബാഹ്യ കോണ്ടൂർ പോളിഗോൺ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാൻ തുടങ്ങാം. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ദ്വിമാന പോയിൻ്റുകളുടെ ശ്രേണിയിലേക്ക് അതിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ബഹുഭുജത്തെ തന്നെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കുകയും ചെയ്യാം.

ലളിതമായി ബന്ധിപ്പിച്ച പ്രദേശത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ ഞങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും. നമുക്ക് വർക്കിംഗ് ഏരിയയിൽ പോയിൻ്റ് O കണ്ടെത്താം, അവിടെ ജോലി ചെയ്യുന്ന പ്രദേശം ഇടുങ്ങിയതാക്കാനുള്ള സാധ്യത പരിശോധിക്കുക, പ്രദേശം ചുരുക്കുക. ആന്തരിക രൂപരേഖകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു പോയിൻ്റിൽ ജോലിസ്ഥലം ചുരുക്കാനുള്ള സാധ്യത പരിശോധിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ജോലി ചെയ്യുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ വശങ്ങളുമായി ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നതിനുള്ള വിവരിച്ച പരിശോധനകൾക്ക് പുറമേ, എല്ലാ ആന്തരിക ബഹുഭുജങ്ങളുടെയും വശങ്ങളുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ വിഭജനം പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പോയിൻ്റ് O (ചിത്രം 9.7.11) ൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത പരിശോധിക്കാം, കൂടാതെ പുതിയ പോയിൻ്റ് P, ഒരിക്കൽ നിർമ്മിച്ചാൽ, ആന്തരിക ബഹുഭുജങ്ങളിലൊന്നിൽ വീഴുകയോ അല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ സെഗ്മെൻ്റുകൾക്ക് അസ്വീകാര്യമായ സാമീപ്യത്തിലായിരിക്കുകയോ ചെയ്യും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് P നിർമ്മിക്കില്ല, പകരം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചുകൊണ്ട് ഈ ആന്തരിക ബഹുഭുജത്തെ പ്രവർത്തന ബഹുഭുജത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും. 9.7.14.

പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തിലെ ഒരു ആന്തരിക ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ആന്തരിക ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് C (പോയിൻ്റ് O യോട് ചേർന്ന്) ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

OCF, CEF എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലും വർക്കിംഗ് ഏരിയയുടെ O, C പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലും ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം, ആന്തരിക ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ഇൻസേർട്ട് പോയിൻ്റുകൾ, പോയിൻ്റ് F ൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് പോയിൻ്റ് E യിൽ അവസാനിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സെഗ്‌മെൻ്റ് OS-ലെ പ്രവർത്തന മേഖലയെ ഞങ്ങൾ തകർക്കും. EF വിഭാഗത്തിലെ ആന്തരിക ബഹുഭുജം, അവയെ OF, EU എന്നീ വിഭാഗങ്ങളുമായി ഒന്നിപ്പിക്കുക.

അരി. 9.7.14. രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ നിർമ്മാണം

അരി. 9.7.15. ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ ബഹുഭുജങ്ങൾ ലയിപ്പിക്കുന്നു

ലയനത്തിൻ്റെ ഫലം ചിത്രം കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 9.7.15. തീർച്ചയായും, ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ ബഹുഭുജങ്ങൾ ലയിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ കൃത്യത ഉറപ്പാക്കാൻ പരിശോധനകൾ നടത്തണം.

അടുത്തതായി, മറ്റൊരു ആന്തരിക മേഖലയുമായി അടുത്ത് ഞങ്ങൾ സ്വയം കണ്ടെത്തുകയും അത് പ്രവർത്തന മേഖലയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ വിവരിച്ച രീതിയിൽ പ്രവർത്തന മേഖലയെ ചുരുക്കുന്നത് തുടരും. തൽഫലമായി, എല്ലാ ആന്തരിക ബഹുഭുജങ്ങളും പ്രവർത്തന ബഹുഭുജത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും, അത് അവസാനത്തെ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് ചുരുക്കണം. തൽഫലമായി, ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ ഗുണന ബന്ധിത മേഖലയും ത്രികോണങ്ങളാൽ മൂടപ്പെടും.

അരി. 9.7.16. ഈ മൂലയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയില്ല

നൽകിയിരിക്കുന്ന ബഹുഭുജങ്ങളിൽ ഒരൊറ്റ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നത് അസാധ്യമായ സാഹചര്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. ചിത്രത്തിൽ. ചിത്രം 9.7.16 രണ്ട് ബഹുഭുജങ്ങളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു പ്രദേശം കാണിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും നാല് സെഗ്മെൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ബാഹ്യ ബഹുഭുജത്തിന്, ആന്തരിക ബഹുഭുജം വഴിയിലായതിനാൽ നമുക്ക് ത്രികോണം തുടരാൻ കഴിയില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ പോളിഗോണിൻ്റെ രണ്ട് അയൽ പോയിൻ്റുകൾ B, C എന്നിവ കണ്ടെത്തും, അതിനായി നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണം HRV നിർമ്മിക്കാം. പോയിൻ്റ് പി ബിസിയുടെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു, പുതിയ ത്രികോണം ബഹുഭുജങ്ങളെ വിഭജിക്കാത്തവിധം അതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് രീതികൾ.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് വഴികളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഉപരിതല നിർവചന പ്രദേശത്തിൻ്റെ ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ രൂപരേഖകളുടെ ബഹുഭുജങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച ശേഷം, ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു തന്ത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ത്രികോണാകൃതി ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ബാഹ്യവും ആന്തരികവുമായ ബഹുഭുജങ്ങളെ ഒരു ബഹുഭുജമാക്കി സംയോജിപ്പിക്കുന്നതാണ് മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പാരാമീറ്റർ ഡെഫനിഷൻ ഏരിയയ്ക്കുള്ളിൽ പോയിൻ്റുകൾ "സ്കെച്ച്" ചെയ്യാനും അവയും അതിർത്തി കോണ്ടൂർ പോളിഗോണുകളുടെ പോയിൻ്റുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഡെലോനേ ത്രികോണം നടത്താനും കഴിയും. ആദ്യം വലിയ ത്രികോണങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയും പിന്നീട് അവയെ കൈകാര്യം ചെയ്യാവുന്ന വലുപ്പങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന അൽഗോരിതങ്ങളുണ്ട്.

ശരീര ത്രികോണം.

ഒരു ശരീരത്തിൻ്റെ ത്രികോണം എന്നത് അതിൻ്റെ മുഖങ്ങളുടെ പ്രതലങ്ങളെ ത്രികോണാകൃതിയിലാക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്. വ്യക്തിഗത പ്രതലങ്ങളുടെ ത്രികോണം ശരീര മുഖങ്ങളുടെ ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, അടുത്തുള്ള മുഖങ്ങൾക്കുള്ള അതിർത്തി ബഹുഭുജങ്ങൾ സ്ഥിരതയുള്ളതായിരിക്കണം (ചിത്രം 9.7.17).

അരി. 9.7.17. ബോഡി ഫെയ്സ് ബൗണ്ടറി പോളിഗോൺ സ്ഥിരത

പൊതുവായ അരികുകളിൽ കൂടി കടന്നുപോകുന്ന സമീപമുഖങ്ങളുടെ ബഹുഭുജങ്ങളുടെ വിഭാഗങ്ങൾ അവയുടെ പോയിൻ്റുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ സ്ഥിരതയുള്ളതായിരിക്കും.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം.

ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഫലമായി നിർമ്മിച്ച ത്രികോണങ്ങൾ ടോൺ ഇമേജുകൾ ലഭിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചിത്രത്തിൽ. 9.7.18, 9.7.19 എന്നിവ ഒരു ഷീറ്റ് ബോഡിയുടെ മുഖത്തിൻ്റെ ത്രികോണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ടോൺ ചിത്രം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 6.5.1.

അരി. 9.7.18. തിരുത്തൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശരീരത്തിൻ്റെ മുഖത്തിൻ്റെ ത്രികോണം

ശരീരങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷതകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഉപരിതല പാരാമീറ്ററുകൾ ത്രികോണങ്ങളായി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഡൊമെയ്ൻ വിഭജനം ഇൻ്റഗ്രലുകൾ (8.6.2), (8.6.3), (8.6.12), (8.7.17)-(8.7.22) ആയി ഉപയോഗിക്കാം. . സംഖ്യാ സംയോജന സമയത്ത്, വക്രങ്ങൾക്കുള്ള പാരാമെട്രിക് ഘട്ടം ഫോർമുല (8.11.5) ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കണം, കൂടാതെ ഉപരിതലങ്ങൾക്ക്, പാരാമെട്രിക് ഘട്ടങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (8.11.1), (8.11.2) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കണം.

പരിമിതമായ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾക്കുള്ള ത്രികോണം എന്നത് എസ് സെറ്റിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കോൺവെക്സ് ഹൾ CH(S) ത്രികോണാകൃതിയിലാക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രശ്നമാണ്. ത്രികോണത്തിലെ നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ വിഭജിക്കാനാവില്ല - അവയ്ക്ക് എസ് സെറ്റിൽ പെടുന്ന പൊതുവായ പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രമേ കണ്ടുമുട്ടാൻ കഴിയൂ. നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ ത്രികോണങ്ങൾ അടയ്ക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അവയെ വാരിയെല്ലുകളായി പരിഗണിക്കും. ചിത്രത്തിൽ. ഒരേ കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾക്കായി ത്രികോണത്തിൻ്റെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പതിപ്പുകൾ ചിത്രം 1 കാണിക്കുന്നു (ഈ കണക്കുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്ന സർക്കിളുകൾ ഞങ്ങൾ താൽക്കാലികമായി അവഗണിക്കും).

അരി. 1

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾക്കായി, എസ് സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളായി വിഭജിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും - കോൺവെക്സ് ഹൾ CH(S), ഇൻ്റീരിയർ പോയിൻ്റുകൾ - കോൺവെക്സിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നവ ഹൾ സിഎച്ച്(എസ്). എസ് എന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച അരികുകളെ നിങ്ങൾക്ക് തരം തിരിക്കാം ഷെൽ വാരിയെല്ലുകൾഒപ്പം ആന്തരിക വാരിയെല്ലുകൾ. ഹൾ അരികുകളിൽ കോൺവെക്‌സ് ഹൾ സിഎച്ച് (എസ്) അതിർത്തിയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അരികുകളും ആന്തരിക അരികുകളിൽ കോൺവെക്‌സ് ഹല്ലിനുള്ളിൽ ത്രികോണങ്ങളുടെ ശൃംഖല സൃഷ്ടിക്കുന്ന മറ്റെല്ലാ അരികുകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഓരോ ഷെൽ എഡ്ജും അടുത്തുള്ള രണ്ട് അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം ആന്തരിക അരികുകൾക്ക് ഏത് തരത്തിലുള്ള രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. പ്രത്യേകിച്ചും, ഒരു ആന്തരിക അറ്റം രണ്ട് അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് കോൺവെക്സ് ഹൾ CH (S) ൻ്റെ ഒരു കോർഡ് ആണ്. ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഓരോ അരികും രണ്ട് മേഖലകളുടെ അതിർത്തിയാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക: ഓരോ ആന്തരിക അറ്റവും രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾക്കിടയിലാണ്, ഷെല്ലിൻ്റെ ഓരോ അരികും ഒരു ത്രികോണത്തിനും അനന്തമായ തലത്തിനും ഇടയിലാണ്.

ചില നിസ്സാര സന്ദർഭങ്ങളിലൊഴികെ ഏത് പോയിൻ്റുകളും ഒന്നിലധികം ത്രികോണ രീതികൾ അനുവദിക്കുന്നു. എന്നാൽ ശ്രദ്ധേയമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ട്: തന്നിരിക്കുന്ന സെറ്റിന് ത്രികോണാകാരത്തിൻ്റെ ഏത് രീതിയും ഒരേ ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അത് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളുടെ ത്രികോണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു സിദ്ധാന്തം. S എന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഗണത്തിൽ n>3 പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടെന്നും അവയെല്ലാം കോളിനിയർ അല്ലെന്നും കരുതുക. കൂടാതെ, അവയിൽ നിന്നുള്ള i പോയിൻ്റുകൾ ആന്തരികമാണ് (അതായത്, കോൺവെക്‌സ് ഹൾ CH(S) ൻ്റെ ഉള്ളിൽ കിടക്കുന്നു. പിന്നെ, S സെറ്റിൻ്റെ ത്രികോണാകൃതിയുടെ ഏത് രീതിയും കൃത്യമായി n + i - 2 ത്രികോണങ്ങൾക്ക് കാരണമാകും.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം n-i അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളുടെ ത്രികോണം പരിഗണിക്കുന്നു. അവയെല്ലാം ഒരു കുത്തനെയുള്ള ബഹുഭുജത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളായതിനാൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ (n - i) - 2 ത്രികോണങ്ങളിൽ കലാശിക്കും. (ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ത്രികോണമുണ്ടെന്ന് കാണിക്കാം ഏകപക്ഷീയമായഒരു m-വശങ്ങളുള്ള ബഹുഭുജം - കോൺവെക്സ് അല്ലെങ്കിൽ നോൺ-കോൺവെക്സ് - m - 2 ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു). ഓരോ തവണയും ശേഷിക്കുന്ന i ഇൻ്റേണൽ പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ ത്രികോണത്തിന് എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. അത്തരം ഓരോ പോയിൻ്റും ചേർക്കുന്നത് ത്രികോണങ്ങളുടെ എണ്ണം രണ്ടായി വർദ്ധിപ്പിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അവകാശപ്പെടുന്നു. ഒരു ആന്തരിക പോയിൻ്റ് ചേർക്കുമ്പോൾ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. 2. ഒന്നാമതായി, പോയിൻ്റ് ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ആയിരിക്കാം, തുടർന്ന് അത്തരം ഒരു ത്രികോണം മൂന്ന് പുതിയ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. രണ്ടാമതായി, ഒരു പോയിൻ്റ് ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള അരികുകളിൽ ഒന്നുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, ഈ അരികിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നും രണ്ട് പുതിയ ത്രികോണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. എല്ലാ i പോയിൻ്റുകളും ചേർത്ത ശേഷം, ത്രികോണങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം (n - i - 2) + (2i), അല്ലെങ്കിൽ n + i - 2 ആയിരിക്കും.

അരി. 2

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, Delaunay triangulation എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രത്യേക തരം ത്രികോണം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കും. രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണങ്ങൾ സമകോണാകൃതിയിലായിരിക്കും എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ഈ ത്രികോണം നന്നായി സന്തുലിതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണം. 1a, Delaunay triangulation തരത്തിന് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാം, കൂടാതെ ചിത്രം. 1b ത്രികോണത്തിൽ വളരെ നീളമേറിയ നിരവധി ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവ ഡെലോനേ തരത്തിന് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ചിത്രത്തിൽ. ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു.

അരി. 3

ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണം രൂപീകരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് നിരവധി പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. സെറ്റിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും കിടക്കുന്ന ഒരു വൃത്തമുണ്ടെങ്കിൽ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾ വൃത്താകൃതിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. നൽകിയിരിക്കുന്ന ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾക്കായി അത്തരമൊരു വൃത്തം ചുറ്റപ്പെടും. ഒരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ വൃത്താകൃതിയിലുള്ള വൃത്തം അതിൻ്റെ മൂന്ന് (കോളിനിയർ അല്ലാത്ത) ലംബങ്ങളിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്നു. വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ S എന്ന സെറ്റിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റുകളൊന്നും ഇല്ലെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു സെറ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു വൃത്തം പോയിൻ്റ്-ഫ്രീ ആയിരിക്കുമെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു ഏറ്റവും പോയിൻ്റ്-ഫ്രീ.

ഓരോ ത്രികോണത്തിനുമുള്ള വൃത്തം പോയിൻ്റുകളില്ലാത്തതാണെങ്കിൽ S എന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ഒരു കൂട്ടം ത്രികോണം ഒരു Delaunay ത്രികോണമായിരിക്കും. ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള ഡയഗ്രാമിൽ ചിത്രം. ചിത്രം 1a രണ്ട് സർക്കിളുകൾ കാണിക്കുന്നു, അവയ്‌ക്കുള്ളിൽ മറ്റ് പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല (മറ്റ് ത്രികോണങ്ങൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് സർക്കിളുകൾ വരയ്ക്കാം, അവ സെറ്റിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നും മുക്തമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം). ചിത്രത്തിലെ ഡയഗ്രാമിൽ ഈ നിയമം നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നില്ല. 16 - മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു പോയിൻ്റ് വരച്ച വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ വീഴുന്നു, അതിനാൽ, ഈ ഗ്രിഅംഗുലേഷൻ ഡെലോനേ തരത്തിൽ പെടുന്നില്ല.

ത്രികോണ അൽഗോരിതം ലളിതമാക്കുന്നതിന് എസ് സെറ്റിലെ പോയിൻ്റുകളെക്കുറിച്ച് രണ്ട് അനുമാനങ്ങൾ നടത്താം. ആദ്യം, ത്രികോണം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, S സെറ്റിൽ കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നും അവ കോളിനിയർ അല്ലെന്നും അനുമാനിക്കണം. രണ്ടാമതായി, ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണം അദ്വിതീയമാകണമെങ്കിൽ, S സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള നാല് പോയിൻ്റുകളൊന്നും ഒരേ വൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്നത് ആവശ്യമാണ്. അത്തരമൊരു അനുമാനം കൂടാതെ ഡെലോനേ ത്രികോണം അദ്വിതീയമാകില്ലെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്, കാരണം ഒരു വൃത്താകൃതിയിലുള്ള 4 പോയിൻ്റുകൾ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഡെലോനേ ത്രികോണങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

നിലവിലെ ത്രികോണം ഒരു സമയം ഒരു ത്രികോണം തുടർച്ചയായി വളർത്തിക്കൊണ്ടാണ് ഞങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം പ്രവർത്തിക്കുന്നത്. തുടക്കത്തിൽ, നിലവിലെ ത്രികോണം അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ഷെല്ലിൻ്റെ ഒരു അറ്റം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, നിലവിലെ ത്രികോണം ഒരു ഡെലോനേ ത്രികോണമായി മാറുന്നു. ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും, അൽഗോരിതം ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പുതിയ ത്രികോണത്തിനായി തിരയുന്നു അതിർത്തിനിലവിലെ ത്രികോണം.

അതിർത്തിയുടെ നിർവചനം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു താഴെയുള്ള ഡയഗ്രംനിലവിലെ ത്രികോണവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഡെലോനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ അരികുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം. ഓരോ അരികും ആകാം ഉറങ്ങുന്നു, ജീവനോടെഅഥവാ മരിച്ചു:

• ഉറങ്ങുന്ന വാരിയെല്ലുകൾ: അൽഗോരിതം ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ഡെലൗനേ ത്രികോണത്തിൻ്റെ ഒരു അറ്റം പ്രവർത്തനരഹിതമാണ്;
• ലൈവ് വാരിയെല്ലുകൾ: വാരിയെല്ല് കണ്ടെത്തിയാൽ ജീവനുള്ളതാണ്, പക്ഷേ തൊട്ടടുത്തുള്ള ഒരു പ്രദേശം മാത്രമേ അറിയൂ;
• ചത്ത വാരിയെല്ലുകൾ: ഒരു അഗ്രം കണ്ടെത്തിയാൽ അത് ചത്തതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഒപ്പം അടുത്തുള്ള രണ്ട് പ്രദേശങ്ങളും അറിയപ്പെടുന്നു.

തുടക്കത്തിൽ, കോൺവെക്സ് ഐ ലോബിൻ്റെ ഒരേയൊരു അഗ്രം ജീവനുള്ളതാണ് - അതിരുകളില്ലാത്ത ഒരു തലം അതിനോട് ചേർന്നാണ്, മറ്റെല്ലാ അരികുകളും പ്രവർത്തനരഹിതമാണ്. അൽഗോരിതം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അരികുകൾ ഉറങ്ങുന്നതിൽ നിന്ന് ജീവനുള്ളതിലേക്ക് പോകുന്നു. ഓരോ ഘട്ടത്തിലെയും അതിർത്തി ഒരു കൂട്ടം ജീവനുള്ള അരികുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും, അതിർത്തിയുടെ ഏതെങ്കിലും ഒരു അരികുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അത് പ്രോസസ്സിംഗിന് വിധേയമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഈ പ്രദേശം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ത്രികോണം ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, e ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു അജ്ഞാത പ്രദേശത്തിനായി തിരയുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു അരികിലെ e യുടെ അവസാന പോയിൻ്റുകളും ചില മൂന്നാം ശീർഷം v, തുടർന്ന് e അരികുകൾ നിർജ്ജീവമാകുന്നു, കാരണം അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് പ്രദേശങ്ങളും ഇപ്പോൾ അറിയപ്പെടുന്നു. ടി ത്രികോണത്തിൻ്റെ മറ്റ് രണ്ട് അരികുകളിൽ ഓരോന്നും ഇനിപ്പറയുന്ന അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റുന്നു: ഉറങ്ങുന്നതിൽ നിന്ന് ജീവനിലേക്ക് അല്ലെങ്കിൽ ജീവിച്ചിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് മരിച്ചതിലേക്ക്. ഇവിടെ വെർട്ടെക്സ് v എന്ന് വിളിക്കപ്പെടും സംയോജിപ്പിക്കുകഅല്ലാത്തപക്ഷം, അജ്ഞാതമായ പ്രദേശം അനന്തമായ വിമാനമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, എഡ്ജ് e മരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എഡ്ജ് e ന് ഒരു സംയോജിത ശീർഷം ഇല്ല.

ചിത്രത്തിൽ. ചിത്രം 4 അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം കാണിക്കുന്നു, അവിടെ പ്രവർത്തനം മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്കും മഹത്വം വലത്തോട്ടും സംഭവിക്കുന്നു. ഓരോ ഘട്ടത്തിലെയും ബോർഡർ ഒരു കട്ടിയുള്ള വര ഉപയോഗിച്ച് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

delaunayTriangulate പ്രോഗ്രാമിൽ അൽഗോരിതം നടപ്പിലാക്കുന്നു. പ്രോഗ്രാമിന് n പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു അറേ നൽകുകയും ഡെലോനേ ത്രികോണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ത്രികോണങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. നടപ്പിലാക്കൽ റിംഗ് ലിസ്റ്റ് ക്ലാസും ജ്യാമിതീയ ഡാറ്റാ ഘടന വിഭാഗത്തിൽ നിന്നുള്ള ക്ലാസുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന ഏത് നിഘണ്ടുവും നിഘണ്ടു ക്ലാസ് ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് #define Dictionary RandomizedSearchTree അസാധുവാക്കാനാകും.

ലിസ്റ്റ് * (പോയിൻ്റ് s, int n) (പോയിൻ്റ് പി; ലിസ്റ്റ് *ത്രികോണങ്ങൾ = പുതിയ പട്ടിക ; നിഘണ്ടു അതിർത്തി (edgeCmp); Edge *e = hullEdge(s, n); frontier.insert(e); അതേസമയം (!frontier.isEmpty()) ( e = frontier.removeMin(); എങ്കിൽ (മേറ്റ്(*e, s, n, p)) ( updateFrontier(frontier, p, e->org); updateFrontier(frontier, e ->dest, p); )

അരി. 4

ഒരു ത്രികോണം രൂപപ്പെടുന്ന ത്രികോണങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അതിർത്തി ലിവിംഗ് എഡ്ജുകളുടെ ഒരു നിഘണ്ടുവാണ് അതിർത്തിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത്. ഓരോ അരികും സംവിധാനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ അതിനുള്ള അജ്ഞാത പ്രദേശം (നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത്) അരികിൻ്റെ വലതുവശത്ത് കിടക്കുന്നു. നിഘണ്ടു നോക്കാൻ എഡ്ജ്‌സിഎംപി താരതമ്യ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് രണ്ട് അരികുകളുടെ ആരംഭ പോയിൻ്റുകളെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു, അവ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ അവസാന പോയിൻ്റുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു:

Int edgeCmp (Edge *a, Edge *b) ( if (a->org< b->org) റിട്ടേൺ 1; എങ്കിൽ (a->org > b->org) റിട്ടേൺ 1; എങ്കിൽ (a->dest< b->dest) തിരികെ -1; എങ്കിൽ (a->dest > b->dest) റിട്ടേൺ 1; തിരികെ 0; )

ബോർഡർ എങ്ങനെയാണ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് മാറുന്നത്, ഈ മാറ്റങ്ങൾ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതിന് അപ്‌ഡേറ്റ് ഫ്രോണ്ടിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ ബോർഡറിൻ്റെ എഡ്ജ് നിഘണ്ടു എങ്ങനെ പരിഷ്‌ക്കരിക്കുന്നു? ഒരു പുതിയ ത്രികോണം t അതിർത്തിയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ത്രികോണത്തിൻ്റെ മൂന്ന് അരികുകളുടെയും അവസ്ഥകൾ മാറുന്നു. അതിർത്തിയോട് ചേർന്നുള്ള ത്രികോണത്തിൻ്റെ അറ്റം t ജീവനുള്ളതിൽ നിന്ന് മരണത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. updateFrontier ഫംഗ്‌ഷന് ഈ എഡ്ജ് അവഗണിക്കാൻ കഴിയും, കാരണം removeMin ഫംഗ്‌ഷൻ വിളിക്കുമ്പോൾ അത് നിഘണ്ടുവിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്‌തിരിക്കണം. ടി ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് അരികുകളിൽ ഓരോന്നും നിഘണ്ടുവിൽ മുമ്പ് രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ അഗ്രം ഇതിനകം നിഘണ്ടുവിൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഉറങ്ങുന്നതിൽ നിന്ന് ജീവനുള്ള അവസ്ഥയിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. ചിത്രത്തിൽ. 5 രണ്ട് കേസുകളും കാണിക്കുന്നു. ചിത്രം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ലൈവ് എഡ്ജ് af പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു, ബി അതിൻ്റെ സംയോജനമാണെന്ന് കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം, നിലവിലെ ത്രികോണത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ട്രയാംഗിൾ afb ചേർക്കുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ നിഘണ്ടുവിൽ fb എന്ന എഡ്ജ് തിരയുന്നു, അത് ഇതുവരെ ഇല്ലാത്തതിനാലും അത് ആദ്യമായി കണ്ടെത്തിയതിനാലും, അതിൻ്റെ അവസ്ഥ ഉറങ്ങുന്നതിൽ നിന്ന് ജീവനിലേക്ക് മാറുന്നു. നിഘണ്ടു എഡിറ്റുചെയ്യാൻ, ഞങ്ങൾ എഡ്ജ് fb തിരിക്കും, അതുവഴി അതിനോട് ചേർന്നുള്ള അജ്ഞാത പ്രദേശം അതിൻ്റെ വലതുവശത്ത് കിടക്കുന്നു കൂടാതെ ഈ എഡ്ജ് നിഘണ്ടുവിൽ എഴുതുക. അപ്പോൾ നമ്മൾ നിഘണ്ടുവിൽ എഡ്ജ് ba കണ്ടെത്തും - അതിൽ ഉള്ളതിനാൽ, അത് ഇതിനകം സജീവമാണ് (അതിനോട് ചേർന്നുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന പ്രദേശം ത്രികോണം abc ആണ്). ഇതിന് അജ്ഞാതമായ പ്രദേശം, ട്രയാംഗിൾ afb, ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, ഈ അഗ്രം നിഘണ്ടുവിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്തു.

അപ്‌ഡേറ്റ് ഫ്രോണ്ടിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ അതിർത്തി നിഘണ്ടു എഡിറ്റുചെയ്യുന്നു, അതിൽ പോയിൻ്റ് a മുതൽ പോയിൻ്റ് b വരെയുള്ള എഡ്ജിൻ്റെ അവസ്ഥ മാറുന്നു:

അരി. 5

അസാധുവായ അപ്ഡേറ്റ് ഫ്രോണ്ടിയർ (നിഘണ്ടു &frontier, Point &a, Point &b) ( Edge *e = new Edge (a, b); if (frontier.find (e)) frontier.remove(e); else ( e->flip(); frontier.insert( e);))

hullEdge ഫംഗ്‌ഷൻ അറേ s ലെ n പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരു ഹൾ എഡ്ജ് കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഇനീഷ്യലൈസേഷൻ സ്റ്റെപ്പും ഗിഫ്റ്റ് റാപ്പിംഗ് രീതിയുടെ ആദ്യ ആവർത്തനവും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

Edge *hullEdge (പോയിൻ്റ് s, int n) ( int m = 0; (int i = 1; i< n; i++) if (s[i] < s[m]) m = i; swap(s, s[m]); for (m = 1, i = 2; i < n; i++) { int с = s[i].classify (s, s[m]); if ((c == LEFT) || (C == BETWEEN)) m = i; } return new Edge(s, s[m]); }

ട്രയാംഗിൾ ഫംഗ്ഷൻ പാരാമീറ്ററുകളായി അതിലേക്ക് കൈമാറിയ മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾക്കായി ഒരു ബഹുഭുജം സൃഷ്ടിക്കുകയും തിരികെ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു:

ബഹുഭുജം *ത്രികോണം (പോയിൻ്റ് & എ, പോയിൻ്റ് & ബി, പോയിൻ്റ് & സി) ( പോളിഗോൺ * ടി = പുതിയ പോളിഗോൺ; ടി->ഇൻസേർട്ട് (എ); ടി->ഇൻസേർട്ട് (ബി); ടി->ഇൻസേർട്ട് (സി); റിട്ടേൺ ടി; )

GRID മോഡലുകൾ സാധാരണ സെല്ലുകളുടെ മാതൃകകളാണ്.

കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം കൊണ്ടുവരട്ടെ
ഒപ്പം ഒപ്പം
. ഉപയോക്തൃ സെറ്റുകൾ
ഒപ്പം സാമ്പിൾ സ്റ്റെപ്പുകളും
.

,

- പോയിൻ്റിൻ്റെ ഫിസിക്കൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു
ഒപ്പം
,
- ബിറ്റ് ഗ്രിഡ്.

- അളവ് മൂല്യങ്ങൾ. യഥാർത്ഥം:

- അൽഗോരിതം പാരാമീറ്റർ - പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം, - ഭാരം. പോയിൻ്റ് അടുക്കുന്തോറും ഭാരം കൂടും.

- ദൂരത്തിൻ്റെ അളവ് (1 അല്ലെങ്കിൽ 2).

നോർമലൈസേഷൻ ഘടകം:

എങ്ങനെ 1 ന് അടുത്ത്, ഉയർന്ന ഭാരമുള്ള കൂടുതൽ പോയിൻ്റുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

ഇതാണ് IDW രീതി - ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, ഓരോ ടിക്കും അയൽക്കാരെ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അയൽക്കാരുടെ കൂട്ടം കാര്യക്ഷമമായി കണ്ടെത്താൻ കഴിയും - ഏറ്റവും അടുത്തത്. ഓരോ പോയിൻ്റും ഒരു നിശ്ചിത ഉയരത്തിൽ ഒരു "കുറ്റി" ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് സജ്ജീകരിക്കുന്നതിൻ്റെ ക്രമക്കേടിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇതിനായി അവർ എടുക്കുന്നു
അഥവാ
ആ. സെക്ടറുകളായി വിഭജിക്കുകയും സമീപത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പ്രയോജനം- ലാളിത്യം

പോരായ്മ:

------ടിക്കറ്റ് 14. ടിൻ മോഡൽ. ഡെലോനേ ത്രികോണ അൽഗോരിതങ്ങൾ------

1) ത്രികോണം (ടിൻ).

ത്രികോണം- ഒരു കൂട്ടം പീസ്‌വൈസ് ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർമ്മാണം

ത്രികോണം- ഒരു കുത്തനെയുള്ള പ്രദേശത്തിനുള്ളിലെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ.

ത്രികോണം- ഒരു പ്ലാനർ ഗ്രാഫ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ ആന്തരിക അറ്റങ്ങളും ത്രികോണങ്ങളാണ്; ഓവർലാപ്പ് കൂടാതെ പരസ്പരം ചേർന്നുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ സ്ഥലത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു മാർഗം. ത്രികോണം പല തരത്തിൽ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒപ്റ്റിമൽ ട്രയാംഗുലേഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ്.

3 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനം.

1) ഒരു ത്രികോണം കണ്ടെത്തുക
;

2)
- വിമാനത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുക.

പോയിൻ്റുകൾ ത്രികോണത്തിനുള്ളിലാണോ അല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ, നിങ്ങൾ വരികളുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട് - ത്രികോണത്തിൻ്റെ അരികുകൾ. എല്ലാ 3 സമവാക്യങ്ങളും > 0 ആണെങ്കിൽ, അകത്ത്.

അവതരണ ഘടന:

ഓരോ ത്രികോണത്തിലും ഒരേ എണ്ണം ത്രികോണങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

, എവിടെ - ആന്തരിക പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം,
- പോയിൻ്റുകളുടെ അളവ്.

അത്യാഗ്രഹ ത്രികോണം.

ഞങ്ങൾ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അരികുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അവയെ ത്രികോണത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. അടുത്തതായി, മുമ്പത്തെവയുമായി വിഭജിക്കാത്ത അടുത്ത മിനിമം ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. അത്യാഗ്രഹ ത്രികോണമാണ് ഫലം.

ഡെലോനേ ത്രികോണം.

ഏതെങ്കിലും ത്രികോണത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ഉള്ളിൽ മറ്റ് ത്രികോണങ്ങളുടെ പോയിൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. ഒരേയൊരു രീതിയിലാണ് ഇത് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

അരികുകളുടെ കൈമാറ്റമാണ് ഫ്ലിപ്പ്. സാമ്പ്രദായിക ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന് ഡെലൗനേ ത്രികോണത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു പോയിൻ്റ് ഒരു സർക്കിളിൻ്റേതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ: എങ്കിൽ പകരം വയ്ക്കുക< R, то внутри.

ഡെലോനേ അവസ്ഥ.

മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം:

പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ബാഹ്യവും അല്ലെങ്കിൽ - ആന്തരികവും.

- ഡിലോനേ അവസ്ഥ.

ഡിലോനേ ത്രികോണം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1) അന്വേഷണത്തിലാണ് ഡോട്ടുകൾ ചേർക്കുന്നത്- ഒരു ലളിതമായ ആവർത്തന അൽഗോരിതം:

ഒരു സെറ്റ് ഉണ്ട്
ത്രികോണത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക, നിർമ്മാണം നടത്തുന്നു
ത്രികോണം പിളരുന്നു
പുനർനിർമ്മാണം. പൂജ്യം ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ 3-4 സാങ്കൽപ്പിക പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുന്നു, അത് ഞങ്ങളുടെ എൻവലപ്പ്, ഉള്ളിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് എറിയുന്നു, അത് ഏത് ത്രികോണത്തിൽ അടിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കുക, അതിനെ 3 ആയി വിഭജിക്കുക, ഓരോ ത്രികോണത്തിനും ഞങ്ങൾ Delaunay അവസ്ഥ പരിശോധിച്ച് അരികുകളുടെ ഒരു ഫ്ലിപ്പ് ട്രാൻസ്ഫർ നടത്തുന്നു. പാത മാറ്റങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം മൂന്നാണ്.

സൈദ്ധാന്തിക സങ്കീർണ്ണത

2) ആക്സിലറേഷൻ രീതികൾ.സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ആശ്രിത പോയിൻ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി. വിത്ത് ത്രികോണം എന്നത് മുമ്പത്തെ പോയിൻ്റ് വീണ ത്രികോണമാണ്. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു - മുമ്പത്തേതും പുതിയതും.

ഞങ്ങൾ ആദ്യ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.