"ജ്യോമെട്രിക് അൽഗോരിതങ്ങൾ" എന്ന പരമ്പരയിൽ നിന്നുള്ള പാഠം

ഹലോ പ്രിയ വായനക്കാരൻ!

ഇന്ന് നമ്മൾ ജ്യാമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അൽഗോരിതം പഠിക്കാൻ തുടങ്ങും. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൽ ധാരാളം ഒളിമ്പ്യാഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നതാണ് വസ്തുത, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു.

നിരവധി പാഠങ്ങൾക്കിടയിൽ, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയിലെ മിക്ക പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള നിരവധി പ്രാഥമിക ഉപടാസ്കുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രോഗ്രാം സൃഷ്ടിക്കും ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നു, നൽകിയിരിക്കുന്നത് കടന്നുപോകുന്നു രണ്ട് പോയിൻ്റ്. ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ച് കുറച്ച് അറിവ് ആവശ്യമാണ്. അവരെ അറിയാൻ ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം നീക്കിവയ്ക്കും.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയിൽ നിന്നുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം പഠിക്കുന്ന കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിൻ്റെ ഒരു ശാഖയാണ് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതി.

അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു കൂട്ടം പോയിൻ്റുകൾ, ഒരു കൂട്ടം സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ, ഒരു ബഹുഭുജം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടികാരദിശയിൽ അതിൻ്റെ ലംബങ്ങളുടെ പട്ടിക പ്രകാരം വ്യക്തമാക്കിയത്) മുതലായവ ആകാം.

ഫലം ഒന്നുകിൽ ചില ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരമാകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിന്ദു ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ഭാഗമാണോ, രണ്ട് സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ വിഭജിക്കുന്നുണ്ടോ, ...), അല്ലെങ്കിൽ ചില ജ്യാമിതീയ വസ്തു (ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ കോൺവെക്സ് ബഹുഭുജം, വിസ്തീർണ്ണം ഒരു ബഹുഭുജം മുതലായവ) .

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ വിമാനത്തിലും കാർട്ടിസിയൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലും മാത്രം ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

വെക്റ്ററുകളും കോർഡിനേറ്റുകളും

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയുടെ രീതികൾ പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, ജ്യാമിതീയ ചിത്രങ്ങൾ അക്കങ്ങളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിമാനത്തിന് ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും, അതിൽ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ കറങ്ങുന്ന ദിശയെ പോസിറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ വസ്തുക്കൾക്ക് ഒരു വിശകലന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും: ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ (x; y). ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റ് അതിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കിയുകൊണ്ട് വ്യക്തമാക്കാം; ഒരു ജോടി പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കി ഒരു നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കാം.

എന്നാൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ പ്രധാന ഉപകരണം വെക്റ്ററുകളായിരിക്കും. അതിനാൽ അവരെക്കുറിച്ചുള്ള ചില വിവരങ്ങൾ ഞാൻ ഓർക്കട്ടെ.

ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ് എബി, ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ട് എആരംഭം (പ്രയോഗത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ്), പോയിൻ്റ് എന്നിവയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു IN- അവസാനം, വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എബിഒന്നുകിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ബോൾഡ് ചെറിയക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന് എ .

ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സൂചിപ്പിക്കാൻ (അതായത്, അനുബന്ധ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം), ഞങ്ങൾ മോഡുലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, ).

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ വെക്റ്ററിന് അതിൻ്റെ അവസാനത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൻ്റെയും അനുബന്ധ കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും:

,

പോയിൻ്റുകൾ ഇതാ എഒപ്പം ബി കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് യഥാക്രമം.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ ആശയം ഉപയോഗിക്കും ഓറിയൻ്റഡ് ആംഗിൾ, അതായത്, വെക്റ്ററുകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം കണക്കിലെടുക്കുന്ന ഒരു കോൺ.

വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ഓറിയൻ്റഡ് കോൺ എ ഒപ്പം ബി ഭ്രമണം വെക്റ്ററിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് എ വെക്റ്ററിലേക്ക് ബി ഒരു പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ (എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ) നടത്തുന്നു, മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ നെഗറ്റീവ്. Fig.1a, Fig.1b കാണുക. ഒരു ജോടി വെക്റ്ററുകൾ എന്നും പറയപ്പെടുന്നു എ ഒപ്പം ബി പോസിറ്റീവായി (നെഗറ്റീവായി) ഓറിയൻ്റഡ്.

അതിനാൽ, ഓറിയൻ്റഡ് കോണിൻ്റെ മൂല്യം വെക്റ്ററുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്‌തിരിക്കുന്ന ക്രമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഇടവേളയിൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാനും കഴിയും.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും വെക്റ്ററുകളുടെ വെക്റ്റർ (സ്ക്യൂ അല്ലെങ്കിൽ സ്യൂഡോസ്കലാർ) ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വെക്‌ടറുകളുടെ എ, ബി എന്നിവയുടെ വെക്‌റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെയും അവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ സൈനിൻ്റെയും ഫലമാണ്:

.

കോർഡിനേറ്റുകളിലെ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ്:

വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റാണ്:

അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് ഒരു സ്കെയിലർ ആണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അടയാളം പരസ്പരം ആപേക്ഷികമായി വെക്റ്ററുകളുടെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

എ ഒപ്പം ബി പോസിറ്റീവ് ഓറിയൻ്റഡ്.

മൂല്യം ആണെങ്കിൽ, ഒരു ജോടി വെക്‌ടറുകൾ എ ഒപ്പം ബി നെഗറ്റീവ് ഓറിയൻ്റഡ്.

നോൺ സീറോ വെക്റ്ററുകളുടെ ക്രോസ് പ്രൊഡക്റ്റ് പൂജ്യമാണ്, അവ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ മാത്രം ( ). ഇതിനർത്ഥം അവ ഒരേ രേഖയിലോ സമാന്തര വരകളിലോ കിടക്കുന്നു എന്നാണ്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ആവശ്യമായ കുറച്ച് ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ നോക്കാം.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വ്യക്തമാക്കിയ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം.

രണ്ട് നോൺ-കോൺസിഡിങ്ങ് പോയിൻ്റുകൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ നൽകട്ടെ: കോർഡിനേറ്റുകൾ (x1; y1), കോർഡിനേറ്റുകൾ (x2; y2). അതനുസരിച്ച്, ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആരംഭവും ഒരു ബിന്ദുവിൽ അവസാനവുമുള്ള വെക്‌ടറിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (x2-x1, y2-y1). P(x, y) എന്നത് നമ്മുടെ വരിയിലെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റാണെങ്കിൽ, വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (x-x1, y - y1) തുല്യമാണ്.

വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച്, വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റിയുടെ വ്യവസ്ഥയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ആ. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

അവസാന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

അതിനാൽ, ഫോമിൻ്റെ (1) സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കാം.

പ്രശ്നം 1. രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ax + by + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൽ അതിൻ്റെ പ്രാതിനിധ്യം കണ്ടെത്തുക.

ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ചില വിവരങ്ങൾ പഠിച്ചു. രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു.

അടുത്ത പാഠത്തിൽ, നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന രണ്ട് വരികളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രോഗ്രാം സൃഷ്ടിക്കും.

ഈ ലേഖനം ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിഷയം തുടരുന്നു: ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം ഒരു വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യമായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. നമുക്ക് സിദ്ധാന്തം നിർവചിച്ച് അതിൻ്റെ തെളിവ് നൽകാം; ഒരു വരിയുടെ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം എന്താണെന്നും ഒരു പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയുടെ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്നും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾക്കുള്ള ചിത്രീകരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തത്തെയും ശക്തിപ്പെടുത്തും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം O x y വിമാനത്തിൽ വ്യക്തമാക്കട്ടെ.

സിദ്ധാന്തം 1

A x + B y + C = 0 എന്ന ഫോം ഉള്ള ഒന്നാം ഡിഗ്രിയിലെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം, ഇവിടെ A, B, C ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ് (A, B എന്നിവ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല), ഒരു നേർരേഖ നിർവചിക്കുന്നു ഒരു വിമാനത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം. അതാകട്ടെ, ഒരു വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഏതെങ്കിലും നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് A, B, C എന്ന നിശ്ചിത മൂല്യങ്ങൾക്ക് A x + B y + C = 0 രൂപമുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്.

തെളിവ്

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; അവ ഓരോന്നും ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

1. A x + B y + C = 0 എന്ന സമവാക്യം വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

A x + B y + C = 0 എന്ന സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ M 0 (x 0 , y 0) ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. അങ്ങനെ: A x 0 + B y 0 + C = 0. A x + B y + C = 0 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക, A x 0 + B y 0 + C = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ, നമുക്ക് A (x) പോലെ തോന്നിക്കുന്ന ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും. - x 0) + B (y - y 0) = 0 . ഇത് A x + B y + C = 0 ന് തുല്യമാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ആവശ്യമാണ് മതിയായ അവസ്ഥവെക്‌ടറുകളുടെ ലംബത n → = (A, B), M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). അങ്ങനെ, പോയിൻ്റുകളുടെ കൂട്ടം M (x, y) വെക്റ്റർ n → = (A, B) ൻ്റെ ദിശയിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു. ഇത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, എന്നാൽ n → = (A, B), M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) വെക്‌ടറുകൾ ലംബമായിരിക്കില്ല, തുല്യത A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ശരിയാകില്ല.

തൽഫലമായി, A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 എന്ന സമവാക്യം വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത രേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു, അതിനാൽ A x + B y + C = 0 എന്ന തുല്യ സമവാക്യം നിർവചിക്കുന്നു. ഒരേ വരി. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യഭാഗം ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.

1. ഒരു വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും ഒന്നാം ഡിഗ്രി A x + B y + C = 0 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിൻ്റെ തെളിവ് നമുക്ക് നൽകാം.

ഒരു വിമാനത്തിലെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർവ്വചിക്കാം; ഈ വരി കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് M 0 (x 0 , y 0), അതുപോലെ ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ n → = (A, B) .

ചില പോയിൻ്റ് M (x, y) - ഒരു വരിയിൽ ഫ്ലോട്ടിംഗ് പോയിൻ്റ് കൂടി ഉണ്ടാകട്ടെ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വെക്റ്ററുകൾ n → = (A, B), M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) പരസ്പരം ലംബമാണ്, അവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

നമുക്ക് A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 എന്ന സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം, C: C = - A x 0 - B y 0 നിർവചിക്കുക, അന്തിമഫലമായി നമുക്ക് A x + B y + C = സമവാക്യം ലഭിക്കും. 0.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം തെളിയിച്ചു, കൂടാതെ ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ സിദ്ധാന്തവും മൊത്തത്തിൽ തെളിയിച്ചു.

നിർവ്വചനം 1

രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം A x + B y + C = 0 - ഈ ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യംഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു വിമാനത്തിൽഓക്സി.

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു നിശ്ചിത ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു തലത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയും അതിൻ്റെ പൊതു സമവാക്യവും അഭേദ്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ വരി അതിൻ്റെ പൊതു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു; ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം തന്നിരിക്കുന്ന വരിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവിൽ നിന്ന്, x, y വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള ഗുണകങ്ങൾ A, B എന്നിവ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്, ഇത് A x + B y + C = എന്ന വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം നൽകുന്നു. 0.

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണം നോക്കാം.

2 x + 3 y - 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകട്ടെ, ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയോട് യോജിക്കുന്നു. ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ വെക്റ്റർ ആണ് n → = (2 , 3) ​​. ഡ്രോയിംഗിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖ വരയ്ക്കാം.

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവയും പ്രസ്താവിക്കാം: ഡ്രോയിംഗിൽ നമ്മൾ കാണുന്ന നേർരേഖ 2 x + 3 y - 2 = 0 എന്ന പൊതു സമവാക്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 എന്ന സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ പൊതു സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, ഇത് വിമാനത്തിലെ അതേ നേർരേഖയെ വിവരിക്കും.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം പൂർത്തിയാക്കുക- A x + B y + C = 0 എന്ന നേർരേഖയുടെ അത്തരമൊരു പൊതു സമവാക്യം, അതിൽ A, B, C സംഖ്യകൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം അപൂർണ്ണമായ.

ഒരു വരിയുടെ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളും നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം.

1. A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, പൊതു സമവാക്യം B y + C = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു. അത്തരമൊരു അപൂർണ്ണമായ പൊതുസമവാക്യം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ O x y ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു, അത് O x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്, കാരണം x ൻ്റെ ഏത് യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിനും വേരിയബിൾ y മൂല്യം എടുക്കും. - സി ബി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, A x + B y + C = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം, A = 0, B ≠ 0, പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം (x, y) വ്യക്തമാക്കുന്നു, അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഒരേ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. - സി ബി.
2. A = 0, B ≠ 0, C = 0 ആണെങ്കിൽ, പൊതു സമവാക്യം y = 0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു. ഈ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം abscissa അക്ഷം O x നിർവചിക്കുന്നു.
3. A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 ആകുമ്പോൾ, ഓർഡിനേറ്റിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്ന A x + C = 0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
4. A ≠ 0, B = 0, C = 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം x = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും, ഇത് കോർഡിനേറ്റ് ലൈൻ O y യുടെ സമവാക്യമാണ്.
5. അവസാനമായി, A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, അപൂർണ്ണമായ പൊതുസമവാക്യം A x + B y = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യം ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയെ വിവരിക്കുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, A · 0 + B · 0 = 0 എന്നതിനാൽ, സംഖ്യകളുടെ ജോടി (0, 0) A x + B y = 0 എന്ന തുല്യതയുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയുടെ മേൽപ്പറഞ്ഞ എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യങ്ങളും നമുക്ക് ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെന്നും പോയിൻ്റ് 2 7, - 11 ലൂടെ കടന്നുപോകുമെന്നും അറിയാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖ A x + C = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം നൽകുന്നു, അതിൽ A ≠ 0. ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും വ്യവസ്ഥ വ്യക്തമാക്കുന്നു, കൂടാതെ ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യമായ A x + C = 0 വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു, അതായത്. സമത്വം സത്യമാണ്:

A 2 7 + C = 0

അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത ചില മൂല്യങ്ങൾ A നൽകിയാൽ C നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, A = 7. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. A, C എന്നീ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും ഞങ്ങൾക്കറിയാം, അവയെ A x + C = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, ആവശ്യമായ നേർരേഖ സമവാക്യം നേടുക: 7 x - 2 = 0

ഉത്തരം: 7 x - 2 = 0

ഉദാഹരണം 2

ഡ്രോയിംഗ് ഒരു നേർരേഖ കാണിക്കുന്നു; നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ എളുപ്പത്തിൽ എടുക്കാൻ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഡ്രോയിംഗ് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖ O x അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമാണെന്നും പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതായും ഞങ്ങൾ ഡ്രോയിംഗിൽ കാണുന്നു (0, 3).

അബ്‌സിസ്സയ്ക്ക് സമാന്തരമായ നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അപൂർണ്ണമായ പൊതു സമവാക്യം B y + C = 0 ആണ്. നമുക്ക് ബിയുടെയും സിയുടെയും മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (0, 3), തന്നിരിക്കുന്ന വരി അതിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതിനാൽ, B y + C = 0 എന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, അപ്പോൾ തുല്യത സാധുവാണ്: B · 3 + C = 0. പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും മൂല്യത്തിലേക്ക് ബി സെറ്റ് ചെയ്യാം. നമുക്ക് B = 1 എന്ന് പറയാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ B · 3 + C = 0 എന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് C: C = - 3 കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾബിയും സിയും, നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: y - 3 = 0.

ഉത്തരം: y - 3 = 0 .

ഒരു തലത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം

നൽകിയിരിക്കുന്ന വരി M 0 (x 0, y 0) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകട്ടെ, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്. സമത്വം ശരിയാണ്: A x 0 + B y 0 + C = 0. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ പൊതുവായതിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കുറയ്ക്കാം സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യംഋജുവായത്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ പൊതുവായ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, M 0 (x 0, y 0) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ഒരു നോർമൽ ഉണ്ട് വെക്റ്റർ n → = (A, B) .

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ച ഫലം നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം എഴുതുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾഒരു വരിയുടെ സാധാരണ വെക്‌ടറും ഈ വരിയിലെ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു രേഖ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് M 0 (- 3, 4) കൂടാതെ ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയിരിക്കുന്നു n → = (1 , - 2) . തന്നിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഡാറ്റ നേടുന്നതിന് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. അപ്പോൾ:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

പ്രശ്നം വ്യത്യസ്തമായി പരിഹരിക്കാമായിരുന്നു. ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം A x + B y + C = 0 ആണ്. നൽകിയിരിക്കുന്ന സാധാരണ വെക്റ്റർ എ, ബി എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നേടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, തുടർന്ന്:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

നേർരേഖ കടന്നുപോകുന്ന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ പോയിൻ്റ് M 0 (- 3, 4) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് C യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം. ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x - 2 · y + C = 0 എന്ന സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്. - 3 - 2 4 + C = 0. അതിനാൽ C = 11. ആവശ്യമായ നേർരേഖ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു: x - 2 · y + 11 = 0.

ഉത്തരം: x - 2 y + 11 = 0 .

ഉദാഹരണം 4

ഈ വരിയിൽ 2 3 x - y - 1 2 = 0 എന്ന ഒരു വരിയും M 0 എന്ന പോയിൻ്റും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്സിസ്സ മാത്രമേ അറിയൂ, അത് - 3 ന് തുല്യമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് പോയിൻ്റ് M 0 ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ x 0, y 0 എന്നിങ്ങനെ നിശ്ചയിക്കാം. ഉറവിട ഡാറ്റ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് x 0 = - 3 എന്നാണ്. പോയിൻ്റ് ഒരു നിശ്ചിത രേഖയുടേതായതിനാൽ, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ സമത്വം സത്യമായിരിക്കും:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 നിർവ്വചിക്കുക

ഉത്തരം: - 5 2

ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വരിയുടെ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും തിരിച്ചും

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരേ നേർരേഖയ്ക്ക് നിരവധി തരം സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു; അത് പരിഹരിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സാധിക്കും. ഒരു തരത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തെ മറ്റൊരു തരത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റാനുള്ള വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഇവിടെ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

ആദ്യം, A x + B y + C = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x - x 1 a x = y - y 1 a y എന്ന കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം പരിഗണിക്കാം.

A ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ B y എന്ന പദം കൈമാറുന്നു വലത് വശംപൊതുവായ സമവാക്യം. ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എ എടുക്കുന്നു. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: A x + C A = - B y.

ഈ സമത്വം ഒരു അനുപാതമായി എഴുതാം: x + C A - B = y A.

B ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് A x എന്ന പദം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു, മറ്റുള്ളവ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: A x = - B y - C. നമ്മൾ എടുക്കുന്നു – B ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന്, പിന്നെ: A x = - B y + C B .

നമുക്ക് തുല്യത ഒരു അനുപാതത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം: x - B = y + C B A.

തീർച്ചയായും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഒരു പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം അറിഞ്ഞാൽ മതി.

ഉദാഹരണം 5

3 y - 4 = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു. അതിനെ ഒരു കാനോനിക്കൽ സമവാക്യമാക്കി മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് അത് എഴുതാം യഥാർത്ഥ സമവാക്യം 3 y - 4 = 0 പോലെ. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് മുന്നോട്ട് പോകുന്നു: 0 x എന്ന പദം ഇടതുവശത്ത് അവശേഷിക്കുന്നു; വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഇട്ടു - 3 ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന്; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 0 x = - 3 y - 4 3 .

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യത ഒരു അനുപാതമായി എഴുതാം: x - 3 = y - 4 3 0 . അങ്ങനെ, നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചു.

ഉത്തരം: x - 3 = y - 4 3 0.

ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, ആദ്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം.

ഉദാഹരണം 6

2 x - 5 y - 1 = 0 എന്ന സമവാക്യമാണ് നേർരേഖ നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഈ വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം

പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മാറ്റം വരുത്താം:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ഇപ്പോൾ λ ന് തുല്യമായ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, തുടർന്ന്:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

ഉത്തരം:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ, λ ∈ R

പൊതുവായ സമവാക്യം y = k · x + b ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്നാൽ B ≠ 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം. പരിവർത്തനത്തിനായി, ഞങ്ങൾ B y എന്ന പദം ഇടതുവശത്ത് വിടുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ വലത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: B y = - A x - C . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി B കൊണ്ട് ഹരിക്കാം: y = - A B x - C B.

ഉദാഹരണം 7

വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു: 2 x + 7 y = 0. നിങ്ങൾ ആ സമവാക്യത്തെ ഒരു ചരിവ് സമവാക്യമാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്.

പരിഹാരം

അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

ഉത്തരം: y = - 2 7 x .

ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, x a + y b = 1 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചാൽ മതി. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം നടത്താൻ, ഞങ്ങൾ C എന്ന സംഖ്യയെ തുല്യതയുടെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളെയും - C കൊണ്ട് ഹരിച്ച്, അവസാനം, x, y എന്നീ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ഗുണകങ്ങളെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലേക്ക് മാറ്റുന്നു:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ഉദാഹരണം 8

x - 7 y + 1 2 = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ വരിയുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് 1 2 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും നമുക്ക് -1/2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

ഉത്തരം: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .

പൊതുവേ, വിപരീത പരിവർത്തനവും എളുപ്പമാണ്: മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പൊതുവായതിലേക്ക്.

സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യവും ഒരു കോണീയ ഗുണകമുള്ള ഒരു സമവാക്യവും സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാ പദങ്ങളും ശേഖരിക്കുന്നതിലൂടെ എളുപ്പത്തിൽ പൊതുവായ ഒന്നാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയും:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം പൊതുവായ ഒന്നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B 0

പാരാമെട്രിക്കുകളിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ, ആദ്യം കാനോനിക്കൽ ഒന്നിലേക്കും തുടർന്ന് പൊതുവായതിലേക്കും നീങ്ങുക:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

ഉദാഹരണം 9

x = - 1 + 2 · λ y = 4 എന്ന വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നിന്ന് പരിവർത്തനം നടത്താം പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾകാനോനികത്തിലേക്ക്:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

നമുക്ക് കാനോനിക്കലിൽ നിന്ന് ജനറലിലേക്ക് പോകാം:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

ഉത്തരം: y - 4 = 0

ഉദാഹരണം 10

x 3 + y 1 2 = 1 വിഭാഗങ്ങളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഇതിലേക്ക് ഒരു പരിവർത്തനം നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പൊതുവായ രൂപംസമവാക്യങ്ങൾ

പരിഹാരം:

ആവശ്യമായ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

ഉത്തരം: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .

ഒരു രേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം വരയ്ക്കുന്നു

സാധാരണ വെക്‌ടറിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളും ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായ സമവാക്യം എഴുതാമെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞു. A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് അത്തരമൊരു നേർരേഖ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്. അവിടെ ഞങ്ങൾ അനുബന്ധ ഉദാഹരണവും വിശകലനം ചെയ്തു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ ആദ്യം നമ്മൾ സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 11

2 x - 3 y + 3 3 = 0 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു ലൈൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന ലൈൻ കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് M 0 (4, 1) എന്നതും അറിയപ്പെടുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

ലൈനുകൾ സമാന്തരമാണെന്ന് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ നമ്മോട് പറയുന്നു, തുടർന്ന്, വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ എന്ന നിലയിൽ, അതിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, ഞങ്ങൾ വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ എടുക്കുന്നു n → = (2, - 3): 2 x - 3 y + 3 3 = 0. വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

ഉത്തരം: 2 x - 3 y - 5 = 0 .

ഉദാഹരണം 12

നൽകിയിരിക്കുന്ന വരി x - 2 3 = y + 4 5 എന്ന വരിയിലേക്ക് ലംബമായി ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന വരികൾക്കായി ഒരു പൊതു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ x - 2 3 = y + 4 5 എന്ന വരിയുടെ ദിശ വെക്‌ടറായിരിക്കും.

അപ്പോൾ n → = (3, 5) . നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതായത്. പോയിൻ്റ് O (0, 0) വഴി. തന്നിരിക്കുന്ന വരികൾക്കായി നമുക്ക് ഒരു പൊതു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

ഉത്തരം: 3 x + 5 y = 0 .

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.
ദിശ വെക്റ്റർ നേരായതാണ്. സാധാരണ വെക്റ്റർ

ഒരു വിമാനത്തിലെ നേർരേഖ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഒന്നാണ് ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ, മുതൽ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമാണ് ജൂനിയർ ക്ലാസുകൾ, അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയുടെ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും. മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയണം; ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്ന സമവാക്യം എന്താണെന്ന് അറിയുക, പ്രത്യേകിച്ചും, കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ നേർരേഖകളുടെയും ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ. ഈ വിവരംമാനുവലിൽ കാണാം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും, ഞാൻ ഇത് മാത്തനു വേണ്ടി സൃഷ്ടിച്ചു, എന്നാൽ അതിനെ കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗം രേഖീയ പ്രവർത്തനംഇത് വളരെ വിജയകരവും വിശദവുമാണ്. അതിനാൽ, പ്രിയ ചായക്കോട്ടകളേ, ആദ്യം അവിടെ ചൂടാക്കുക. കൂടാതെ, നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം വെക്റ്ററുകൾ, അല്ലാത്തപക്ഷം മെറ്റീരിയലിൻ്റെ ധാരണ അപൂർണ്ണമായിരിക്കും.

ഈ പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയുന്ന വഴികൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും. പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ അവഗണിക്കരുതെന്ന് ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (ഇത് വളരെ ലളിതമാണെന്ന് തോന്നിയാലും), പ്രാഥമികവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ വസ്തുതകൾ, ഭാവിയിൽ ആവശ്യമായ സാങ്കേതിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മറ്റ് വിഭാഗങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ ഞാൻ അവർക്ക് നൽകും.

• ഒരു ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?
• എങ്ങനെ ?
• ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
• ഒരു പോയിൻ്റും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു:

ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ഒരു നേർരേഖ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന "സ്കൂൾ" രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം ഒരു നേർരേഖ നൽകിയാൽ, അതിൻ്റെ ചരിവ്: ഈ ഗുണകത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥവും അതിൻ്റെ മൂല്യം വരിയുടെ സ്ഥാനത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്നും നോക്കാം:

ഒരു ജ്യാമിതി കോഴ്സിൽ അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് നേർരേഖയുടെ ചരിവ് തുല്യമാണ് കോണിൻ്റെ സ്പർശനംപോസിറ്റീവ് അച്ചുതണ്ട് ദിശകൾക്കിടയിൽഈ വരിയും: , കൂടാതെ ആംഗിൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ "അഴിക്കുന്നു".

ഡ്രോയിംഗ് അലങ്കോലപ്പെടുത്താതിരിക്കാൻ, ഞാൻ രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കായി മാത്രം കോണുകൾ വരച്ചു. “ചുവപ്പ്” വരയും അതിൻ്റെ ചരിവും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. മുകളിൽ പറഞ്ഞതനുസരിച്ച്: ("ആൽഫ" ആംഗിൾ ഒരു പച്ച ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു). ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉള്ള "നീല" നേർരേഖയ്ക്ക്, തുല്യത ശരിയാണ് ("ബീറ്റ" ആംഗിൾ ഒരു തവിട്ട് ആർക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്നു). കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് അറിയാമെങ്കിൽ, ആവശ്യമെങ്കിൽ അത് കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ് മൂലയുംവിപരീത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു - ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റ്. അവർ പറയുന്നതുപോലെ, നിങ്ങളുടെ കൈയിൽ ഒരു ത്രികോണമിതി പട്ടിക അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ. അങ്ങനെ, കോണീയ ഗുണകം അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ അളവിനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് സാധ്യമാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ:

1) ചരിവ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ: ലൈൻ, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് പോകുന്നു. ഡ്രോയിംഗിലെ "നീല", "റാസ്ബെറി" എന്നീ നേർരേഖകൾ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

2) ചരിവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ: ലൈൻ താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പോകുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ - ഡ്രോയിംഗിലെ "കറുപ്പ്", "ചുവപ്പ്" നേർരേഖകൾ.

3) ചരിവ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ: , സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു, അനുബന്ധ നേർരേഖ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണ്. ഒരു ഉദാഹരണം "മഞ്ഞ" നേർരേഖയാണ്.

4) ഒരു അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരികളുടെ കുടുംബത്തിന് (ഡ്രോയിംഗിൽ ഒരു ഉദാഹരണവുമില്ല, അക്ഷം ഒഴികെ), കോണീയ ഗുണകം നിലവിലില്ല (90 ഡിഗ്രിയുടെ ടാൻജെൻ്റ് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല).

കേവല മൂല്യത്തിൽ ചരിവ് ഗുണകം കൂടുന്തോറും നേർരേഖ ഗ്രാഫ് കുത്തനെ ഉയരുന്നു..

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് നേർരേഖകൾ പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ, അതിനാൽ, നേർരേഖയ്ക്ക് കുത്തനെയുള്ള ചരിവുണ്ട്. അടയാളം അവഗണിക്കാൻ മൊഡ്യൂൾ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് കേവല മൂല്യങ്ങൾ കോണീയ ഗുണകങ്ങൾ.

അതാകട്ടെ, ഒരു നേർരേഖ നേർരേഖകളേക്കാൾ കുത്തനെയുള്ളതാണ് .

വിപരീതമായി: സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിൽ ചെറിയ ചരിവ് ഗുണകം, നേർരേഖ പരന്നതാണ്.

നേർരേഖകൾക്കായി അസമത്വം ശരിയാണ്, അതിനാൽ നേർരേഖ പരന്നതാണ്. കുട്ടികളുടെ സ്ലൈഡ്, അങ്ങനെ സ്വയം മുറിവുകളും പാലുണ്ണിയും നൽകരുത്.

എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്?

നിങ്ങളുടെ പീഡനം നീട്ടുക, മുകളിലുള്ള വസ്തുതകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിങ്ങളുടെ തെറ്റുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പിശകുകൾ ഉടനടി കാണാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു - ഡ്രോയിംഗ് "വ്യക്തമായും എന്തെങ്കിലും തെറ്റ്" ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ. നിങ്ങൾ അത് അഭികാമ്യമാണ് നേരിട്ട്ഉദാഹരണത്തിന്, നേർരേഖ വളരെ കുത്തനെയുള്ളതും താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പോകുന്നുവെന്നും നേർരേഖ വളരെ പരന്നതും അക്ഷത്തോട് ചേർന്ന് അമർത്തി മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് പോകുന്നതും വ്യക്തമായിരുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, നിരവധി നേർരേഖകൾ പലപ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ അവയെ എങ്ങനെയെങ്കിലും നിശ്ചയിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

പദവികൾ: നേർരേഖകൾ ചെറുതായി നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾക്കൊപ്പം: . സ്വാഭാവിക സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ നിയോഗിക്കുക എന്നതാണ് ജനപ്രിയമായ ഒരു ഓപ്ഷൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ നോക്കിയ അഞ്ച് വരികൾ സൂചിപ്പിക്കാം .

ഏതൊരു നേർരേഖയും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളാൽ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നതിനാൽ, അതിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിൻ്റുകളാൽ സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: തുടങ്ങിയവ. പോയിൻ്റുകൾ ലൈനിൻ്റേതാണെന്ന് പദവി വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ചെറുതായി ചൂടാക്കാനുള്ള സമയമാണിത്:

ഒരു ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഒരു നിശ്ചിത രേഖയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പോയിൻ്റും ഈ വരിയുടെ കോണീയ ഗുണകവും അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 1

പോയിൻ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയിൽ പെട്ടതാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ചരിവുള്ള ഒരു വരയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം: ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം . IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഉത്തരം:

പരീക്ഷലളിതമായി ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ആദ്യം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നോക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ ചരിവ് ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. രണ്ടാമതായി, പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം. നമുക്ക് അവയെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്യാം:

ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് പോയിൻ്റ് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉപസംഹാരം: സമവാക്യം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

എന്നതിന് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണം സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം:

ഉദാഹരണം 2

അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ , പോയിൻ്റ് ഈ നേർരേഖയുടേതാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽ വീണ്ടും വായിക്കുക. കൂടുതൽ കൃത്യമായി, കൂടുതൽ പ്രായോഗികമായി, ഞാൻ ധാരാളം തെളിവുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

അത് മുഴങ്ങി അവസാന വിളി, ഗ്രാജ്വേഷൻ പാർട്ടി കടന്നുപോയി, ഞങ്ങളുടെ നേറ്റീവ് സ്കൂളിൻ്റെ ഗേറ്റിന് പുറത്ത്, വിശകലന ജ്യാമിതി തന്നെ ഞങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നു. തമാശകൾ തീർന്നു... അല്ലെങ്കിൽ അവർ തുടങ്ങുകയായിരിക്കാം =)

ഞങ്ങൾ ഗൃഹാതുരതയോടെ നമ്മുടെ പേനയെ പരിചിതമായവയിലേക്ക് തിരിക്കുകയും ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം പരിചയപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. കാരണം അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ ഇത് കൃത്യമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: , ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്. അതേ സമയം, ഗുണകങ്ങൾ ഒരേസമയംസമവാക്യത്തിന് അതിൻ്റെ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടുന്നതിനാൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

നമുക്ക് ഒരു സ്യൂട്ട് ധരിച്ച് സ്ലോപ്പ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം ബന്ധിപ്പിക്കാം. ആദ്യം, നമുക്ക് എല്ലാ നിബന്ധനകളും നീക്കാം ഇടത് വശം:

"എക്സ്" എന്ന പദം ആദ്യം നൽകണം:

തത്വത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഇതിനകം ഒരു രൂപമുണ്ട്, എന്നാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര മര്യാദയുടെ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ആദ്യ പദത്തിൻ്റെ ഗുണകം (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ) പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം. മാറുന്ന അടയാളങ്ങൾ:

ഈ സാങ്കേതിക സവിശേഷത ഓർക്കുക!ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഗുണകം (മിക്കപ്പോഴും) പോസിറ്റീവ് ആക്കുന്നു!

അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ, ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം മിക്കവാറും എപ്പോഴും നൽകപ്പെടും പൊതു രൂപം. ശരി, ആവശ്യമെങ്കിൽ, അത് ഒരു കോണീയ ഗുണകം (ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖകൾ ഒഴികെ) ഉപയോഗിച്ച് "സ്കൂൾ" രൂപത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാം.

എന്താണെന്ന് നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം മതിഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ അറിയാമോ? രണ്ട് പോയിൻ്റ്. എന്നാൽ ഈ ബാല്യകാല സംഭവത്തെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ, ഇപ്പോൾ അമ്പടയാളങ്ങൾ ഭരിക്കുന്നു. ഓരോ നേർരേഖയ്ക്കും വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട ചരിവുണ്ട്, അത് "അഡാപ്റ്റുചെയ്യാൻ" എളുപ്പമാണ്. വെക്റ്റർ.

ഒരു രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിനെ ആ വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏതൊരു നേർരേഖയ്ക്കും അനന്തമായ ദിശ വെക്‌ടറുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അവയെല്ലാം കോളിനിയറായിരിക്കും (സഹ-ദിശയിലുള്ളതോ അല്ലയോ - അത് പ്രശ്നമല്ല).

ഞാൻ ദിശ വെക്‌ടറിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിക്കും:

എന്നാൽ ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ ഒരു വെക്റ്റർ മതിയാകില്ല; വെക്റ്റർ സ്വതന്ത്രമാണ്, വിമാനത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിട്ടില്ല. അതിനാൽ, വരിയുടെ ചില പോയിൻ്റുകൾ അറിയേണ്ടത് അധികമായി ആവശ്യമാണ്.

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഒരു വരിയുടെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റും ഈ വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്ററും അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കംപൈൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും:

ചിലപ്പോൾ വിളിക്കാറുണ്ട് വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം .

എപ്പോൾ എന്ത് ചെയ്യണം കോർഡിനേറ്റുകളിൽ ഒന്ന്പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ചുവടെയുള്ള പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. വഴിയിൽ, ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക - രണ്ടും ഒരേസമയംപൂജ്യം വെക്റ്റർ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ദിശ വ്യക്തമാക്കാത്തതിനാൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകില്ല.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക

പരിഹാരം: ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

അനുപാതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

ഉത്തരം:

ചട്ടം പോലെ, അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് നിർമ്മിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനായി:

ഡ്രോയിംഗിൽ നമ്മൾ ആരംഭ പോയിൻ്റ്, യഥാർത്ഥ ദിശ വെക്റ്റർ (വിമാനത്തിലെ ഏത് പോയിൻ്റിൽ നിന്നും ഇത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം) കൂടാതെ നിർമ്മിച്ച നേർരേഖയും കാണുന്നു. വഴിയിൽ, പല കേസുകളിലും ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നത് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമാണ്. നമ്മുടെ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാനും ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കാൻ മറ്റൊരു പോയിൻ്റ് എളുപ്പത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും എളുപ്പമാണ്.

ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് അനന്തമായ നിരവധി ദിശ വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ട്, അവയെല്ലാം കോളിനിയറാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞാൻ അത്തരം മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ വരച്ചു: . നമ്മൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഏത് ദിശയിലായാലും, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ നേർരേഖ സമവാക്യമായിരിക്കും.

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാം:

അനുപാതം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഇരുവശങ്ങളെയും -2 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് പരിചിതമായ സമവാക്യം നേടുക:

താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്ക് വെക്റ്ററുകൾ അതേ രീതിയിൽ പരിശോധിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റേതെങ്കിലും കോളിനിയർ വെക്റ്റർ.

ഇനി നമുക്ക് വിപരീത പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം:

ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

വളരെ ലളിതം:

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു പൊതു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഒരു വരി നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, വെക്റ്റർ ഈ വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ ആണ്.

നേർരേഖകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

അനന്തമായ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ മാത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രസ്താവന ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ ആവശ്യമില്ല. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ദിശ വെക്റ്ററുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കുറയ്ക്കുന്നത് ഉചിതമാണെങ്കിലും:

അങ്ങനെ, സമവാക്യം അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ സൗകര്യപ്രദമായി –2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, കൃത്യമായ അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററിനെ ദിശ വെക്റ്ററായി ലഭിക്കും. ലോജിക്കൽ.

അതുപോലെ, സമവാക്യം അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വ്യക്തമാക്കുന്നു, കൂടാതെ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ 5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററിനെ ദിശ വെക്റ്ററായി ലഭിക്കും.

ഇനി നമുക്കത് ചെയ്യാം ഉദാഹരണം 3 പരിശോധിക്കുന്നു. ഉദാഹരണം ഉയർന്നു, അതിനാൽ അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം സമാഹരിച്ചതായി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു.

ആദ്യം, നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ദിശ വെക്റ്റർ പുനർനിർമ്മിക്കുന്നു: - എല്ലാം ശരിയാണ്, ഞങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ വെക്റ്റർ ലഭിച്ചു (ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഫലം ഒറിജിനൽ ഒന്നിലേക്ക് ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്റർ ആയിരിക്കാം, ഇത് സാധാരണയായി ബന്ധപ്പെട്ട കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആനുപാതികതയാൽ ശ്രദ്ധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്).

രണ്ടാമതായി, പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം. ഞങ്ങൾ അവയെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ശരിയായ സമത്വം ലഭിച്ചു, അതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് സന്തോഷമുണ്ട്.

ഉപസംഹാരം: ടാസ്ക് ശരിയായി പൂർത്തിയാക്കി.

ഉദാഹരണം 4

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. പരിഹാരവും ഉത്തരവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്. ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്ത അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ ഉചിതമാണ്. എല്ലായ്പ്പോഴും (സാധ്യമെങ്കിൽ) ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റ് പരിശോധിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. 100% ഒഴിവാക്കാവുന്ന തെറ്റുകൾ വരുത്തുന്നത് മണ്ടത്തരമാണ്.

ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിലൊന്ന് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, വളരെ ലളിതമായി തുടരുക:

ഉദാഹരണം 5

പരിഹാരം: വലതുവശത്തുള്ള ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമായതിനാൽ ഫോർമുല അനുയോജ്യമല്ല. ഒരു എക്സിറ്റ് ഉണ്ട്! അനുപാതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഫോമിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ ഒരു ആഴത്തിലുള്ള റൂട്ടിൽ ഉരുട്ടി:

ഉത്തരം:

പരീക്ഷ:

1) നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ പുനഃസ്ഥാപിക്കുക:
- തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വെക്റ്റർ യഥാർത്ഥ ദിശ വെക്റ്ററുമായി കോളിനിയറാണ്.

2) പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു

ഉപസംഹാരം: ടാസ്ക് ശരിയായി പൂർത്തിയാക്കി

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഒരു സാർവത്രിക പതിപ്പ് ഉണ്ടെങ്കിൽ ഫോർമുലയെ എന്തിന് വിഷമിപ്പിക്കണം? രണ്ട് കാരണങ്ങളുണ്ട്. ആദ്യം, ഫോർമുല ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലാണ് വളരെ നന്നായി ഓർക്കുന്നു. രണ്ടാമതായി, ദോഷം സാർവത്രിക ഫോർമുലഅതാണ് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാനുള്ള സാധ്യത ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നുകോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ.

ഉദാഹരണം 6

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്.

നമുക്ക് സർവ്വവ്യാപിയായ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് മടങ്ങാം:

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമാഹരിക്കാം:

വാസ്തവത്തിൽ, ഇതൊരു തരം ഫോർമുലയാണ്, എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ഇതാ: രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും വെക്റ്റർ. പാഠത്തിൽ ഡമ്മികൾക്കുള്ള വെക്‌ടറുകൾഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലി- രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഈ പ്രശ്നം അനുസരിച്ച്, ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഇവയാണ്:

കുറിപ്പ് : പോയിൻ്റുകൾ "സ്വാപ്പ്" ചെയ്യാനും ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും . അത്തരമൊരു പരിഹാരം തുല്യമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 7

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക .

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു:

ഒപ്പം ഡെക്ക് ഷഫിൾ ചെയ്യുക:

ഇപ്പോൾ മോചനം നേടാനുള്ള സമയമാണ് ഭിന്നസംഖ്യകൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ രണ്ട് വശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമവാക്യം മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരിക:

ഉത്തരം:

പരീക്ഷവ്യക്തമായ - കോർഡിനേറ്റുകൾ ആരംഭ പോയിൻ്റുകൾതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം:

1) പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

യഥാർത്ഥ സമത്വം.

2) പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

യഥാർത്ഥ സമത്വം.

ഉപസംഹാരം: വരിയുടെ സമവാക്യം ശരിയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലുംപോയിൻ്റുകളുടെ സമവാക്യം തൃപ്തികരമല്ല, ഒരു പിശകിനായി നോക്കുക.

ഈ കേസിൽ ഗ്രാഫിക്കൽ സ്ഥിരീകരണം ബുദ്ധിമുട്ടാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിച്ച് പോയിൻ്റുകൾ അതിലാണോ എന്ന് നോക്കുക. , അത്ര ലളിതമല്ല.

പരിഹാരത്തിൻ്റെ രണ്ട് സാങ്കേതിക വശങ്ങൾ ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കും. ഒരുപക്ഷേ ഈ പ്രശ്നത്തിൽ മിറർ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ് ഒപ്പം, അതേ പോയിൻ്റുകളിൽ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുക:

കുറച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകൾ. നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അവസാനം വരെ പരിഹാരം നടപ്പിലാക്കാം, ഫലം ഒരേ സമവാക്യമായിരിക്കണം.

രണ്ടാമത്തെ കാര്യം അന്തിമ ഉത്തരം നോക്കുകയും അത് കൂടുതൽ ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്? ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് രണ്ടായി കുറയ്ക്കുന്നതാണ് ഉചിതം: - സമവാക്യം ഒരേ നേർരേഖയെ നിർവ്വചിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ഇതിനകം ഒരു സംഭാഷണ വിഷയമാണ് വരികളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം.

ഉത്തരം കിട്ടിയിട്ട് ഉദാഹരണം 7-ൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും 2, 3 അല്ലെങ്കിൽ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് ഞാൻ പരിശോധിച്ചു.

ഉദാഹരണം 8

പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക .

ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, ഇത് കണക്കുകൂട്ടൽ വിദ്യകൾ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാനും പരിശീലിക്കാനും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയ്ക്ക് സമാനമാണ്: ഫോർമുലയിലാണെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഒന്ന് (ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ്) പൂജ്യമായി മാറുന്നു, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അത് ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു. വീണ്ടും, അവൾ എത്ര വിചിത്രവും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലുമാണ് കാണപ്പെടുന്നതെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. കൊണ്ടുവരുന്നതിൽ വലിയ കാര്യമൊന്നും ഞാൻ കാണുന്നില്ല പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ അത്തരമൊരു പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചതിനാൽ (നമ്പർ 5, 6 കാണുക).

നേരിട്ടുള്ള സാധാരണ വെക്റ്റർ (സാധാരണ വെക്റ്റർ)

എന്താണ് സാധാരണ? ലളിതമായ വാക്കുകളിൽ, സാധാരണ ലംബമാണ്. അതായത്, ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ ഒരു നിശ്ചിത രേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്. വ്യക്തമായും, ഏതൊരു നേർരേഖയ്ക്കും അവയ്ക്ക് അനന്തമായ സംഖ്യയുണ്ട് (അതുപോലെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ), കൂടാതെ നേർരേഖയിലെ എല്ലാ സാധാരണ വെക്റ്ററുകളും കോളിനിയറായിരിക്കും (കോഡയറക്ഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ അല്ലാതെ, അതിൽ വ്യത്യാസമില്ല).

ഗൈഡ് വെക്റ്ററുകളേക്കാൾ എളുപ്പമായിരിക്കും അവ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്:

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു പൊതു സമവാക്യമാണ് ഒരു രേഖ നൽകിയതെങ്കിൽ, വെക്റ്റർ ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ ആണ്.

ദിശ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം “വലിച്ചെടുക്കണം” എങ്കിൽ, സാധാരണ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ലളിതമായി “നീക്കംചെയ്യാം”.

സാധാരണ വെക്റ്റർ എല്ലായ്പ്പോഴും ലൈനിൻ്റെ ദിശ വെക്റ്ററിന് ഓർത്തോഗണൽ ആണ്. ഉപയോഗിക്കുന്ന ഈ വെക്‌ടറുകളുടെ ഓർത്തോഗണാലിറ്റി പരിശോധിക്കാം ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം:

ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ അതേ സമവാക്യങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞാൻ നൽകും:

ഒരു പോയിൻ്റും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയുമോ? എൻ്റെ ഉള്ളിൽ എനിക്ക് തോന്നുന്നു, അത് സാധ്യമാണ്. സാധാരണ വെക്റ്റർ അറിയാമെങ്കിൽ, നേർരേഖയുടെ ദിശ തന്നെ വ്യക്തമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു - ഇത് 90 ഡിഗ്രി കോണുള്ള ഒരു "കർക്കശമായ ഘടന" ആണ്.

ഒരു പോയിൻ്റും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാം?

ഒരു വരിയുടെ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റും ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും അറിയാമെങ്കിൽ, ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

ഭിന്നസംഖ്യകളും മറ്റ് ആശ്ചര്യങ്ങളും ഇല്ലാതെ ഇവിടെ എല്ലാം പ്രവർത്തിച്ചു. ഇതാണ് നമ്മുടെ സാധാരണ വെക്റ്റർ. അവനെ സ്നേഹിക്കു. ബഹുമാനവും =)

ഉദാഹരണം 9

ഒരു പോയിൻ്റും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക. വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം: ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം ലഭിച്ചു, നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

1) സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് സാധാരണ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ "നീക്കം ചെയ്യുക": - അതെ, യഥാർത്ഥ വെക്റ്റർ വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ലഭിച്ചത് (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കോളിനിയർ വെക്റ്റർ ലഭിക്കണം).

2) പോയിൻ്റ് സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

യഥാർത്ഥ സമത്വം.

സമവാക്യം ശരിയായി രചിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യപ്പെട്ട ശേഷം, ടാസ്ക്കിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ എളുപ്പമുള്ള ഭാഗം ഞങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കും. ഞങ്ങൾ നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ പുറത്തെടുക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഡ്രോയിംഗിൽ സാഹചര്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

പരിശീലന ആവശ്യങ്ങൾക്കായി, സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് സമാനമായ ഒരു ചുമതല:

ഉദാഹരണം 10

ഒരു പോയിൻ്റും ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും നൽകിയ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതുക. വരിയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്തുക.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാന ഭാഗം ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു വരിയുടെ സാധാരണമല്ലാത്തതും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ സമവാക്യങ്ങൾക്കായി നീക്കിവയ്ക്കും.

സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം.
പാരാമെട്രിക് രൂപത്തിൽ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം

സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്, അവിടെ പൂജ്യമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ചില തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഈ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, നേരിട്ടുള്ള ആനുപാതികത (സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ വലതുവശത്ത് ഒരെണ്ണം ലഭിക്കാൻ വഴിയില്ല).

ഇത്, ആലങ്കാരികമായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു "സാങ്കേതിക" തരം സമവാക്യമാണ്. ഒരു വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തെ സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക എന്നതാണ് ഒരു പൊതു ചുമതല. ഇത് എങ്ങനെ സൗകര്യപ്രദമാണ്? സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുള്ള ഒരു വരിയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ചില പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ വളരെ പ്രധാനമാണ്.

അച്ചുതണ്ടുമായി രേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾ "y" പൂജ്യത്തിലേക്ക് പുനഃസജ്ജമാക്കുന്നു, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റ് സ്വയമേവ ലഭിക്കും: .

അച്ചുതണ്ടും അങ്ങനെ തന്നെ - നേർരേഖ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റ്.

നിർവ്വചനം.വിമാനത്തിലെ ഏത് നേർരേഖയും ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം

Ax + Wu + C = 0,

മാത്രമല്ല, എ, ബി എന്നീ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. ഈ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം.മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു സ്ഥിരമായ എ, ബികൂടാതെ C ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രത്യേക കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - നേർരേഖ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ നേർരേഖ

B = C = 0, A ≠0 - നേർരേഖ Oy അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു

A = C = 0, B ≠0 - നേർരേഖ ഓക്സ് അക്ഷവുമായി യോജിക്കുന്നു

ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കാം വിവിധ രൂപങ്ങളിൽഏതെങ്കിലും പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും സാധാരണ വെക്‌ടറിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

നിർവ്വചനം.കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഘടകങ്ങൾ (A, B) ഉള്ള ഒരു വെക്റ്റർ, Ax + By + C = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകുന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമാണ്.

ഉദാഹരണം. (3, -1) ന് ലംബമായി A(1, 2) പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. A = 3, B = -1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം: 3x – y + C = 0. കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് C കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് A യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 3 - 2 + C = 0, അതിനാൽ, C = -1 . ആകെ: ആവശ്യമായ സമവാക്യം: 3x – y – 1 = 0.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) എന്നിവ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകട്ടെ, തുടർന്ന് ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം ഇതാണ്:

ഏതെങ്കിലും ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അനുബന്ധ ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം. തലത്തിൽ, മുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

x 1 ≠ x 2 ഉം x = x 1 ഉം ആണെങ്കിൽ, x 1 = x 2 ആണെങ്കിൽ.

ഭിന്നസംഖ്യ = k എന്ന് വിളിക്കുന്നു ചരിവ്ഋജുവായത്.

ഉദാഹരണം. എ (1, 2), ബി (3, 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.മുകളിൽ എഴുതിയ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു പോയിൻ്റിൽ നിന്നും ചരിവിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ആകെ Ax + Bu + C = 0 ആണെങ്കിൽ, ഫോമിലേക്ക് നയിക്കുക:

നിയോഗിക്കുക , അപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു ചരിവുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യംകെ.

ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നും ഒരു ദിശ വെക്‌ടറിൽ നിന്നും ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം

ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറിലൂടെയുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുന്ന പോയിൻ്റുമായി സാമ്യമുള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെയും നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്‌ടറിലൂടെയും ഒരു നേർരേഖയുടെ നിർവചനം നൽകാം.

നിർവ്വചനം.ഓരോ നോൺ-സീറോ വെക്‌ടറും (α 1, α 2), എ α 1 + ബി α 2 = 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഘടകങ്ങളെ ലൈനിൻ്റെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

Ax + Wu + C = 0.

ഉദാഹരണം. ഒരു ദിശ വെക്റ്റർ (1, -1) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ പോയിൻ്റ് എ (1, 2) വഴി കടന്നുപോകുക.

പരിഹാരം.ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ നോക്കും: Ax + By + C = 0. നിർവചനത്തിന് അനുസൃതമായി, ഗുണകങ്ങൾ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കണം:

1 * A + (-1) * B = 0, അതായത്. എ = ബി.

അപ്പോൾ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: Ax + Ay + C = 0, അല്ലെങ്കിൽ x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 ഞങ്ങൾ C/ A = -3, അതായത്. ആവശ്യമായ സമവാക്യം:

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിൽ Ах + Ву + С = 0 С≠0 ആണെങ്കിൽ, –С കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: അഥവാ

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംകോ എഫിഷ്യൻ്റ്സ് ആണ് കോ എഫിഷ്യൻ്റ് എഓക്സ് അക്ഷത്തോടുകൂടിയ വരിയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ് ആണ്, കൂടാതെ ബി- Oy അക്ഷവുമായി നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റ്.

ഉദാഹരണം. x – y + 1 = 0 എന്ന വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം സെഗ്മെൻ്റുകളിൽ കണ്ടെത്തുക.

C = 1, , a = -1, b = 1.

ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം

Ax + By + C = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ വിളിക്കുന്നത് നോർമലൈസിംഗ് ഘടകം, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ഒരു വരിയുടെ സാധാരണ സമവാക്യം. നോർമലൈസിംഗ് ഘടകത്തിൻ്റെ ± ചിഹ്നം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ μ * സി< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ഉദാഹരണം. 12x – 5y – 65 = 0 എന്ന നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് വിവിധ തരംഈ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ.

സെഗ്മെൻ്റുകളിലെ ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം:

ചരിവുള്ള ഈ വരിയുടെ സമവാക്യം: (5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക)

; cos φ = 12/13; പാപം φ= -5/13; p = 5.

ഓരോ നേർരേഖയെയും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായ അല്ലെങ്കിൽ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകൾ.

ഉദാഹരണം. നേർരേഖ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിൽ തുല്യ പോസിറ്റീവ് സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ മുറിക്കുന്നു. ഈ ഖണ്ഡങ്ങളാൽ രൂപംകൊണ്ട ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 8 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം.നേർരേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

ഉദാഹരണം. പോയിൻ്റ് എ (-2, -3) വഴിയും ഉത്ഭവത്തിലൂടെയും കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം. നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഇതാണ്: , ഇവിടെ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

ഒരു വിമാനത്തിൽ നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

നിർവ്വചനം.രണ്ട് വരികൾ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 നൽകിയാൽ, ഈ വരികൾക്കിടയിലുള്ള നിശിത കോൺ ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കപ്പെടും

.

k 1 = k 2 ആണെങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണ്. k 1 = -1/ k 2 ആണെങ്കിൽ രണ്ട് വരികൾ ലംബമാണ്.

സിദ്ധാന്തം. A 1 = λA, B 1 = λB എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ആനുപാതികമാകുമ്പോൾ Ax + Bу + C = 0, A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 എന്നീ വരികൾ സമാന്തരമാണ്. C 1 = λC ആണെങ്കിൽ, വരികൾ യോജിക്കുന്നു. രണ്ട് വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ വരികളുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരമായി കാണപ്പെടുന്നു.

തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു വരിയിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം

നിർവ്വചനം. M 1 (x 1, y 1) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയെ y = kx + b എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം

സിദ്ധാന്തം.ഒരു പോയിൻ്റ് M(x 0, y 0) നൽകിയാൽ, Ax + Bу + C = 0 എന്ന വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരം ഇങ്ങനെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്

.

തെളിവ്.പോയിൻ്റ് M 1 (x 1, y 1) പോയിൻ്റ് M-ൽ നിന്ന് നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് ലംബമായി കുറയുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ എം, എം 1 പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം:

(1)

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ x 1, y 1 എന്നിവ കണ്ടെത്താനാകും:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യമാണ് ഈ പോയിൻ്റ്നൽകിയിരിക്കുന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് M 0 ലംബമാണ്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

തുടർന്ന്, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്:

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം. വരികൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുക: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

ഉദാഹരണം. 3x – 5y + 7 = 0, 10x + 6y – 3 = 0 എന്നീ വരികൾ ലംബമാണെന്ന് കാണിക്കുക.

പരിഹാരം. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, അതിനാൽ, വരികൾ ലംബമാണ്.

ഉദാഹരണം. A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ത്രികോണത്തിൻ്റെ ശീർഷകങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു. C ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് വരച്ച ഉയരത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. AB വശത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

ആവശ്യമായ ഉയരം സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: Ax + By + C = 0 അല്ലെങ്കിൽ y = kx + b. k = . അപ്പോൾ y = . കാരണം ഉയരം പോയിൻ്റ് C യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, തുടർന്ന് അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഈ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു: എവിടെ നിന്ന് b = 17. ആകെ: .

ഉത്തരം: 3 x + 2 y – 34 = 0.

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു രേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് കോളിനിയറിലൂടെ ദിശ വെക്റ്ററിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയെ നിർവചിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണ്.

ഒരു പോയിൻ്റും ദിശ വെക്‌ടറും നൽകട്ടെ. ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് ഒരു വരിയിൽ കിടക്കുന്നു എൽവെക്റ്ററുകളും കോളിനിയറും ആണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത്, അവയ്ക്ക് വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

.

മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾഋജുവായത്.

നമ്പറുകൾ എം , എൻഒപ്പം പികോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലേക്കുള്ള ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്. വെക്റ്റർ പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, എല്ലാ സംഖ്യകളും എം , എൻഒപ്പം പിഒരേസമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ അവയിൽ ഒന്നോ രണ്ടോ എണ്ണം പൂജ്യമായി മാറിയേക്കാം. അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതിയിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി അനുവദനീയമാണ്:

,

അച്ചുതണ്ടിലെ വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ എന്നാണ് അയ്യോഒപ്പം ഓസ്പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ നിർവചിച്ച വെക്‌ടറും നേർരേഖയും അക്ഷങ്ങൾക്ക് ലംബമാണ്. അയ്യോഒപ്പം ഓസ്, അതായത് വിമാനങ്ങൾ yOz .

ഉദാഹരണം 1.ഒരു വിമാനത്തിന് ലംബമായി ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു രേഖയ്ക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക അച്ചുതണ്ടുമായി ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു ഓസ് .

പരിഹാരം. ഈ വിമാനം അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം ഓസ്. അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് മുതൽ ഓസ്, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, അപ്പോൾ, വിമാനത്തിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൽ അനുമാനിക്കുന്നു x = y = 0, നമുക്ക് 4 ലഭിക്കും z- 8 = 0 അല്ലെങ്കിൽ z= 2 . അതിനാൽ, അച്ചുതണ്ടുമായി ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് ഓസ്കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (0; 0; 2) . ആവശ്യമുള്ള രേഖ വിമാനത്തിന് ലംബമായതിനാൽ, അത് അതിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന് സമാന്തരമാണ്. അതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ സാധാരണ വെക്റ്റർ ആകാം നൽകിയ വിമാനം.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം എ= (0; 0; 2) വെക്‌ടറിൻ്റെ ദിശയിൽ:

നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു നേർരേഖയെ അതിൽ കിടക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ കൊണ്ട് നിർവചിക്കാം ഒപ്പം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ വെക്റ്റർ ആകാം. അപ്പോൾ വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു

.

മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വരയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം. സൈദ്ധാന്തിക റഫറൻസിൽ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ നേർരേഖയുടെ ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം:

.

മുതൽ, ആവശ്യമുള്ള നേർരേഖ അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ് അയ്യോ .

വിമാനങ്ങളുടെ കവലയുടെ രേഖ പോലെ നേരെ

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു നേർരേഖയെ രണ്ട് സമാന്തരമല്ലാത്ത തലങ്ങളുടെ വിഭജന രേഖയായും, അതായത്, രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായും നിർവചിക്കാം.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെയും വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾനേരെ ബഹിരാകാശത്ത്.

ഉദാഹരണം 3.പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുക

പരിഹാരം. ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാൻ അല്ലെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വരിയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അവ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനുകളുമായി ഒരു നേർരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളാകാം, ഉദാഹരണത്തിന് yOzഒപ്പം xOz .

ഒരു ലൈനിൻ്റെയും ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് yOzഒരു abscissa ഉണ്ട് x= 0 . അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു x= 0, നമുക്ക് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു:

അവളുടെ തീരുമാനം വൈ = 2 , z= 6 കൂടെ x= 0 ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു എ(0; 2; 6) ആവശ്യമുള്ള വരി. അപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു വൈ= 0, നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും

അവളുടെ തീരുമാനം x = -2 , z= 0 കൂടെ വൈ= 0 ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു ബി(-2; 0; 0) ഒരു വിമാനത്തോടുകൂടിയ ഒരു വരിയുടെ വിഭജനം xOz .

ഇനി നമുക്ക് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാം എ(0; 2; 6) ഒപ്പം ബി (-2; 0; 0) :

,

അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ -2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചതിന് ശേഷം:

,