ബീജഗണിതത്തെയും ജ്യാമിതിയെയും കുറിച്ചുള്ള പ്രഭാഷണങ്ങൾ. സെമസ്റ്റർ 1.

പ്രഭാഷണം 15. എലിപ്സ്.

അധ്യായം 15. എലിപ്സ്.

ക്ലോസ് 1. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം. ഒരു ദീർഘവൃത്തം എന്നത് ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ GMT ആണ്, വിമാനത്തിൻ്റെ രണ്ട് നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക, foci എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം. വിമാനത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് M-ൽ നിന്ന് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കസിലേക്കുള്ള ദൂരത്തെ M പോയിൻ്റിൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പദവികൾ:
- ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം,
- പോയിൻ്റ് എം ൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരം.

എഴുതിയത് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനം, പോയിൻ്റ് M എന്നത് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് എങ്കിൽ മാത്രം
- സ്ഥിരമായ മൂല്യം. ഈ സ്ഥിരാങ്കത്തെ സാധാരണയായി 2a ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

. (1)

ശ്രദ്ധിക്കുക, അത്
.

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ ഫോക്കുകൾ നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളാണ്, അതിനാൽ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരം ഒരു നിശ്ചിത ദീർഘവൃത്തത്തിന് സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്.

നിർവ്വചനം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തെ ഫോക്കൽ ലെങ്ത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പദവി:
.

ഒരു ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന്
അത് പിന്തുടരുന്നു
, അതായത്.

.

നമുക്ക് തുല്യമായ സംഖ്യ b കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം
, അതായത്.

. (2)

നിർവ്വചനം. മനോഭാവം

(3)

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ വിമാനത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം അവതരിപ്പിക്കാം, അതിനെ നമ്മൾ ദീർഘവൃത്തത്തിന് കാനോനിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കും.

നിർവ്വചനം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം കിടക്കുന്ന അക്ഷത്തെ ഫോക്കൽ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ദീർഘവൃത്തത്തിന് ഒരു കാനോനിക്കൽ PDSC നിർമ്മിക്കാം, ചിത്രം 2 കാണുക.

ഞങ്ങൾ ഫോക്കൽ അക്ഷം abscissa axis ആയി തിരഞ്ഞെടുത്ത് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യത്തിലൂടെ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷം വരയ്ക്കുന്നു.
ഫോക്കൽ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി.

അപ്പോൾ ഫോസിക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്
,
.

ക്ലോസ് 2. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം.

സിദ്ധാന്തം. ദീർഘവൃത്തത്തിനുള്ള കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

. (4)

തെളിവ്. ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായി തെളിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഏതൊരു ബിന്ദുവിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യം (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ (4) ഏത് പരിഹാരവും ദീർഘവൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും. ദീർഘവൃത്തത്തിൽ കിടക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളാൽ മാത്രം (4) സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് പിന്തുടരും. ഇതിൽ നിന്നും ഒരു വക്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും, സമവാക്യം (4) ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണെന്ന് പിന്തുടരും.

1) M(x, y) എന്ന ബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, അതായത്. അതിൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക 2a ആണ്:

.

കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരത്തിന് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ഫോക്കൽ റേഡി കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യാം:

,
, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും:

നമുക്ക് ഒരു റൂട്ട് സമത്വത്തിൻ്റെ വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കി അതിനെ സമചതുരമാക്കാം:

കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ അവതരിപ്പിക്കുന്നു, 4 കുറയ്ക്കുകയും റാഡിക്കൽ നീക്കം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു:

.

സ്ക്വയറിങ്ങ്

ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് ചുരുക്കുക
:

നമുക്ക് എവിടെ ലഭിക്കും:

സമത്വം (2) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അവസാനത്തെ സമത്വത്തെ വിഭജിക്കുന്നു
, നമുക്ക് തുല്യത (4) ലഭിക്കുന്നു.

2) ഇപ്പോൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ (x, y) സമവാക്യം (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തട്ടെ, കൂടാതെ M(x, y) ഓക്സി കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിലെ അനുബന്ധ പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ.

തുടർന്ന് (4) ൽ നിന്ന് ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്:

.

പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ഫോക്കൽ റേഡിയിലേക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ സമത്വം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

.

ഇവിടെ നമ്മൾ സമത്വം (2), (3) എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു.

അങ്ങനെ,
. അതുപോലെ,
.

സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (4) അത് പിന്തുടരുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക

അഥവാ
തുടങ്ങിയവ.
, അപ്പോൾ അസമത്വം താഴെ പറയുന്നു:

.

ഇവിടെ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു, അതാകട്ടെ

അഥവാ
ഒപ്പം

,
. (5)

തുല്യതകളിൽ നിന്ന് (5) അത് പിന്തുടരുന്നു
, അതായത്. M(x, y) എന്ന ബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

നിർവ്വചനം. സമവാക്യം (4) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ദീർഘവൃത്തത്തിനായുള്ള കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്ലോസ് 3. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

സിദ്ധാന്തം. (ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ.)

1. ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിനായുള്ള കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, എല്ലാം

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ദീർഘചതുരത്തിലാണ്

,
.

2. പോയിൻ്റുകൾ കിടക്കുന്നു

3. ദീർഘവൃത്തം എന്നത് ഒരു വക്രമാണ്, അത് സമമിതിയാണ്

അവരുടെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങൾ.

4. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം അതിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ്.

തെളിവ്. 1, 2) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു.

3, 4) M(x, y) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യം (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. എന്നാൽ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യവും (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളാണ്, അതിൽ നിന്ന് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവനകൾ പിന്തുടരുന്നു.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

നിർവ്വചനം. അളവ് 2a-യെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷം എന്നും a യെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-മേജർ അക്ഷം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ക്വാണ്ടിറ്റി 2 ബിയെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മൈനർ അക്ഷം എന്നും b ക്വാണ്ടിറ്റിയെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സെമിമൈനർ അക്ഷം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം. ഒരു ദീർഘവൃത്തം അതിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങളുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റുകളെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

അഭിപ്രായം. ഒരു ദീർഘവൃത്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാം. വിമാനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ "ഫോക്കൽ പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് ഒരു ആണി ചുറ്റിക" അവയിൽ ഒരു ത്രെഡ് നീളം ഉറപ്പിക്കുന്നു
. പിന്നെ ഞങ്ങൾ ഒരു പെൻസിൽ എടുത്ത് ത്രെഡ് നീട്ടാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ പെൻസിൽ ലെഡ് വിമാനത്തിനൊപ്പം നീക്കുന്നു, ത്രെഡ് മുറുകെ പിടിക്കുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുന്നു.

ഉത്കേന്ദ്രതയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു

നമുക്ക് a എന്ന സംഖ്യ ശരിയാക്കി c എന്ന സംഖ്യയെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കാം. അപ്പോൾ at
,
ഒപ്പം
. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന പരിധിയിൽ

അഥവാ
- ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

ഇനി നമുക്ക് ഡയറക്റ്റ് ചെയ്യാം
. പിന്നെ
,
പരിധിയിൽ ദീർഘവൃത്തം ഒരു നേർരേഖ സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്ക് അധഃപതിക്കുന്നതും നാം കാണുന്നു
ചിത്രം 3-ൻ്റെ നൊട്ടേഷനിൽ.

ക്ലോസ് 4. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

സിദ്ധാന്തം. അനുവദിക്കുക
- അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ. പിന്നെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം

,
(6)

ദീർഘവൃത്തത്തിനായുള്ള കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

തെളിവ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം (6) സമവാക്യത്തിന് (4) തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും, അതായത്. അവർക്ക് ഒരേ കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

1) (x, y) സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (6) ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കട്ടെ. ആദ്യ സമവാക്യത്തെ a കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, രണ്ടാമത്തേത് b കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിൽ ചേർക്കുക:

.

ആ. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ (6) ഏതെങ്കിലും പരിഹാരം (x, y) സമവാക്യം (4) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

2) നേരെമറിച്ച്, ജോഡി (x, y) സമവാക്യത്തിന് (4) ഒരു പരിഹാരമായിരിക്കട്ടെ, അതായത്.

.

ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ് പിന്തുടരുന്നു
യൂണിറ്റ് ദൂരത്തിൻ്റെ ഒരു സർക്കിളിൽ കേന്ദ്രം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതായത്. ഒരു ത്രികോണമിതി വൃത്തത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, അത് ഒരു നിശ്ചിത കോണുമായി യോജിക്കുന്നു
:

സൈൻ, കോസൈൻ എന്നിവയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു

,
, എവിടെ
, അതിൽ നിന്ന് ജോഡി (x, y) സിസ്റ്റം (6) മുതലായവയ്ക്കുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

അഭിപ്രായം. abscissa അക്ഷത്തിന് നേരെയുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകീകൃത "കംപ്രഷൻ" ഫലമായി ഒരു ദീർഘവൃത്തം ലഭിക്കും.

അനുവദിക്കുക
- ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം. അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ “കംപ്രഷൻ” ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമമനുസരിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. ഓരോ പോയിൻ്റിനും M(x, y) ഞങ്ങൾ ഒരേ തലത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് ബന്ധപ്പെടുത്തുന്നു
, എവിടെ
,
- കംപ്രഷൻ അനുപാതം.

ഈ പരിവർത്തനത്തിലൂടെ, സർക്കിളിലെ ഓരോ പോയിൻ്റും വിമാനത്തിലെ മറ്റൊരു പോയിൻ്റിലേക്ക് "പരിവർത്തനം" ചെയ്യുന്നു, അതിന് സമാന അബ്‌സിസ്സയുണ്ട്, എന്നാൽ ചെറിയ ഓർഡിനേറ്റ്. ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ പഴയ ഓർഡിനേറ്റ് പുതിയതിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

സമവാക്യത്തിലേക്ക് സർക്കിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

. (7)

ഇതിൽ നിന്ന് "കംപ്രഷൻ" പരിവർത്തനത്തിന് മുമ്പ് M(x, y) എന്ന പോയിൻ്റ് സർക്കിളിൽ കിടക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്. അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തി, തുടർന്ന് "കംപ്രഷൻ" പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം ഈ പോയിൻ്റ് "രൂപാന്തരപ്പെട്ടു"
, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യം (7) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം semiminor axisb ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, നമ്മൾ കംപ്രഷൻ ഘടകം എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്.

.

ക്ലോസ് 5. ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്.

സിദ്ധാന്തം. അനുവദിക്കുക
- ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ്

.

അപ്പോൾ ബിന്ദുവിലെ ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം
ഫോം ഉണ്ട്:

. (8)

തെളിവ്. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൻ്റെ ആദ്യ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാം പാദത്തിൽ സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് ഉള്ളപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിച്ചാൽ മതി:
. മുകളിലെ അർദ്ധതലത്തിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

. (9)

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം
പോയിൻ്റിൽ
:

എവിടെ
- ഒരു പോയിൻ്റിൽ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം
. ആദ്യ പാദത്തിലെ ദീർഘവൃത്തം ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആയി കണക്കാക്കാം (8). നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും അതിൻ്റെ മൂല്യവും സ്പർശന പോയിൻ്റിൽ കണ്ടെത്താം:

,

. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റ് എന്ന വസ്തുത പ്രയോജനപ്പെടുത്തി
ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു ബിന്ദുവാണ്, അതിനാൽ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യം (9) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അതായത്.

.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഞങ്ങൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (10):

,

നമുക്ക് എവിടെ ലഭിക്കും:

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വത്തെ നമുക്ക് വിഭജിക്കാം
:

.

അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്
, കാരണം ഡോട്ട്
ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റേതാണ്, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെയോ നാലാമത്തെയോ പാദത്തിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻസി പോയിൻ്റിൽ സമാനമായ രീതിയിൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം (8) തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അവസാനമായി, സമവാക്യം (8) പോയിൻ്റുകളിൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം നൽകുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാനാകും.
,
:

അഥവാ
, ഒപ്പം
അഥവാ
.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ക്ലോസ് 6. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മിറർ പ്രോപ്പർട്ടി.

സിദ്ധാന്തം. ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ ഫോക്കൽ റേഡിയുമായി തുല്യ കോണുകൾ ഉണ്ട്.

അനുവദിക്കുക
- കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റ്,
,
- ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരങ്ങൾ, പി, ക്യു - പോയിൻ്റിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റിലെ ഫോസിയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ
.

എന്ന് സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു

. (11)

ഈ സമത്വത്തെ അതിൻ്റെ ഫോക്കസിൽ നിന്ന് പുറത്തുവിടുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രകാശകിരണത്തിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെയും പ്രതിഫലനത്തിൻ്റെയും കോണുകളുടെ തുല്യതയായി വ്യാഖ്യാനിക്കാം. ഈ ഗുണത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മിറർ പ്രോപ്പർട്ടി എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കസിൽ നിന്ന് പ്രകാശത്തിൻ്റെ ഒരു കിരണം, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കണ്ണാടിയിൽ നിന്നുള്ള പ്രതിഫലനത്തിനുശേഷം, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്. കോണുകളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കാൻ (11), ഞങ്ങൾ ത്രികോണങ്ങളുടെ സമാനത തെളിയിക്കുന്നു
ഒപ്പം
, അതിൽ പാർട്ടികൾ
ഒപ്പം
സമാനമായിരിക്കും. ത്രികോണങ്ങൾ വലത് കോണായതിനാൽ സമത്വം തെളിയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും

നിർവ്വചനം. ഒരു ദീർഘവൃത്തം എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്, ഈ തലത്തിൻ്റെ രണ്ട് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്നുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, foci എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ് (ഈ മൂല്യം foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ) .

അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരത്തിലൂടെ നമുക്ക് foci സൂചിപ്പിക്കാം - വഴി , കൂടാതെ ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യം, തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഓരോ ബിന്ദുവിൽ നിന്നും foci യിലേക്കുള്ള ദൂരം, വഴി (അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്).

നമുക്ക് ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കാം, അങ്ങനെ foci abscissa അക്ഷത്തിലായിരിക്കും, കൂടാതെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗവുമായി യോജിക്കുന്നു (ചിത്രം 44). അപ്പോൾ ഫോസിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടാകും: ഇടത് ഫോക്കസും വലത് ഫോക്കസും. നമ്മൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പോയിൻ്റ് പരിഗണിക്കുക. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, ഈ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് foci വരെയുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഇതിന് തുല്യമാണ്:

രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അതിനാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഈ സമവാക്യം ലളിതമാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അത് ഫോമിൽ എഴുതുന്നു

അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ചതുരാകൃതിയിലാക്കിയാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

അല്ലെങ്കിൽ, വ്യക്തമായ ലഘൂകരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വീണ്ടും സമചതുരമാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം നമുക്ക്:

അല്ലെങ്കിൽ, സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം:

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിലെ വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ. നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം

അപ്പോൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുക്കളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യം (26) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. എന്നാൽ സമവാക്യം (29) സമവാക്യത്തിൻ്റെ (26) അനന്തരഫലമാണ്. തൽഫലമായി, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏത് ബിന്ദുവിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകളാലും ഇത് സംതൃപ്തമാണ്.

ദീർഘവൃത്തത്തിൽ കിടക്കാത്ത പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യം (29) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കാം. അങ്ങനെ, സമവാക്യം (29) ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്. ഇതിനെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാം.

ഒന്നാമതായി, ഈ സമവാക്യത്തിൽ മാത്രം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം ഡിഗ്രികൾ പോലും x, y എന്നിവ. ഇതിനർത്ഥം, ഏതെങ്കിലും ബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റേതാണെങ്കിൽ, അതിൽ അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവും ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ദീർഘവൃത്തത്തിന് രണ്ട് പരസ്‌പര ലംബമായ സമമിതി അക്ഷങ്ങൾ ഉണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. ഇനി മുതൽ നമ്മൾ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അക്ഷങ്ങൾ എന്നും അവയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ ബിന്ദുവിനെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം എന്നും വിളിക്കും. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന അക്ഷം (ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ x-axis) ഫോക്കൽ ആക്സിസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യ പാദത്തിൽ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി ആദ്യം നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, y എന്നതിനുള്ള സമവാക്യം (28) പരിഹരിക്കാം:

ഇവിടെ, y സാങ്കൽപ്പിക മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നതിനാൽ വ്യക്തമാണ്. നിങ്ങൾ 0-ൽ നിന്ന് a ആയി വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, y b-ൽ നിന്ന് 0-ലേക്ക് കുറയുന്നു. ആദ്യ പാദത്തിൽ കിടക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗം B (0; b) പോയിൻ്റുകളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ആർക്ക് ആയിരിക്കും (ചിത്രം 45). ഇപ്പോൾ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതി ഉപയോഗിച്ച്, ദീർഘവൃത്തത്തിന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ആകൃതി ഉണ്ടെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തി. 45.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുകൾ ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതിയിൽ നിന്ന്, ശീർഷകങ്ങൾക്ക് പുറമേ, ദീർഘവൃത്തത്തിന് രണ്ട് ലംബങ്ങൾ കൂടി ഉണ്ട് (ചിത്രം 45 കാണുക).

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങളും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വിപരീത ശീർഷങ്ങളും അവയുടെ നീളവും യഥാക്രമം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വലുതും ചെറുതുമായ അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എ, ബി എന്നീ സംഖ്യകളെ യഥാക്രമം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാനവും ചെറുതുമായ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-മേജർ അച്ചുതണ്ടും ഫോസിസും തമ്മിലുള്ള പകുതി ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് സാധാരണയായി അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത ഏകതയേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ: ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ ഉത്കേന്ദ്രത വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഫോർമുല (28) അനുസരിച്ച്, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത ചെറുതാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ അർദ്ധ-മൈനർ അക്ഷം b അർദ്ധ-മേജർ അക്ഷത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതായത്, ദീർഘവൃത്തം (ഫോക്കൽ അച്ചുതണ്ടിൽ) നീളം കുറഞ്ഞതാണ്.

പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, a: , അല്ലെങ്കിൽ ദൂരത്തിൻ്റെ ഒരു സർക്കിളാണ് ഫലം. അതേ സമയം, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ലയിക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു - വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം. വൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത പൂജ്യമാണ്:

ദീർഘവൃത്തവും വൃത്തവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം മറ്റൊരു വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് സ്ഥാപിക്കാവുന്നതാണ്. a, b എന്നീ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുള്ള ദീർഘവൃത്തം a ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനായി കണക്കാക്കാമെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

പി, ക്യു എന്നീ രണ്ട് തലങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, തങ്ങൾക്കിടയിൽ അത്തരമൊരു ആംഗിൾ രൂപീകരിക്കുന്നു a, അതിനായി (ചിത്രം 46). നമുക്ക് P പ്ലെയിനിൽ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കാം, കൂടാതെ Q പ്ലെയിനിൽ ഒരു പൊതു ഉത്ഭവം O ഉള്ള ഒരു സിസ്റ്റം Oxy ഉം ഒരു പൊതു abscissa അക്ഷവും വിമാനങ്ങളുടെ വിഭജന രേഖയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. പി വിമാനത്തിലെ ഒരു വൃത്തം പരിഗണിക്കുക

ഉത്ഭവത്തിൽ കേന്ദ്രവും a ന് തുല്യമായ ആരവും. സർക്കിളിൽ ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ, Q വിമാനത്തിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആകട്ടെ, കൂടാതെ Ox അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ആയിരിക്കട്ടെ. a, b എന്നീ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുള്ള ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിലാണ് ബിന്ദു കിടക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ വരികൾ.
ദീർഘവൃത്തവും അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും. വൃത്തം

വിശദമായ പഠനത്തിന് ശേഷം വിമാനത്തിൽ നേർരേഖകൾദ്വിമാന ലോകത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതി പഠിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു. ഓഹരികൾ ഇരട്ടിയായി, സാധാരണ പ്രതിനിധികളായ ദീർഘവൃത്തങ്ങൾ, ഹൈപ്പർബോളുകൾ, പരാബോളകൾ എന്നിവയുടെ മനോഹരമായ ഒരു ഗാലറി സന്ദർശിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു. രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈനുകൾ. ഉല്ലാസയാത്ര ഇതിനകം ആരംഭിച്ചു, ആദ്യം സംക്ഷിപ്ത വിവരങ്ങൾമ്യൂസിയത്തിൻ്റെ വിവിധ നിലകളിലെ മുഴുവൻ പ്രദർശനത്തെക്കുറിച്ചും:

ബീജഗണിതരേഖയുടെ ആശയവും അതിൻ്റെ ക്രമവും

ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു ലൈൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ബീജഗണിതം, അകത്തുണ്ടെങ്കിൽ അഫൈൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റംഅതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്, അവിടെ ഫോമിൻ്റെ പദങ്ങൾ (-യഥാർത്ഥ സംഖ്യ, - നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ) അടങ്ങുന്ന ഒരു ബഹുപദം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ബീജഗണിത രേഖയുടെ സമവാക്യത്തിൽ സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ലോഗരിതം, മറ്റ് ഫങ്ഷണൽ ബ്യൂ മോണ്ടെ എന്നിവ അടങ്ങിയിട്ടില്ല. X ഉം Y ഉം മാത്രം നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾഡിഗ്രികൾ.

ലൈൻ ഓർഡർഅതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകളുടെ പരമാവധി മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അനുബന്ധ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ബീജഗണിതരേഖയുടെ ആശയവും അതിൻ്റെ ക്രമവും തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. അഫൈൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റംഅതിനാൽ, നിലനിൽപ്പിൻ്റെ എളുപ്പത്തിനായി, തുടർന്നുള്ള എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും നടക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ.

പൊതുവായ സമവാക്യംരണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ലൈനിൽ ഫോം ഉണ്ട്, എവിടെ - അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ (രണ്ടിൻ്റെ ഘടകം കൊണ്ട് എഴുതുകയാണ് പതിവ്), കൂടാതെ ഗുണകങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

എങ്കിൽ, സമവാക്യം ലളിതമാക്കുന്നു , കൂടാതെ ഗുണകങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് കൃത്യമായി ഒരു "ഫ്ലാറ്റ്" വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം, ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ആദ്യ ഓർഡർ ലൈൻ.

പുതിയ പദങ്ങളുടെ അർത്ഥം പലരും മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്, എന്നിരുന്നാലും, 100% മെറ്റീരിയൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സോക്കറ്റിലേക്ക് വിരലുകൾ ഒട്ടിക്കുന്നു. ലൈൻ ഓർഡർ നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട് എല്ലാ നിബന്ധനകളുംഅതിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളും അവയിൽ ഓരോന്നിനും കണ്ടെത്തുക ഡിഗ്രികളുടെ ആകെത്തുകഇൻകമിംഗ് വേരിയബിളുകൾ.

ഉദാഹരണത്തിന്:

പദത്തിൽ "x" മുതൽ 1st പവർ വരെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;
പദത്തിൽ "Y" മുതൽ 1st പവർ വരെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;
പദത്തിൽ വേരിയബിളുകളൊന്നുമില്ല, അതിനാൽ അവയുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്.

സമവാക്യം രേഖയെ നിർവചിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം രണ്ടാമത്തേത്ഓർഡർ:

പദത്തിൽ "x" മുതൽ 2nd പവർ വരെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;
സംഗ്രഹത്തിന് വേരിയബിളുകളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുകയാണ്: 1 + 1 = 2;
പദത്തിൽ "Y" മുതൽ 2-ആം ശക്തി വരെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു;
മറ്റെല്ലാ നിബന്ധനകളും - കുറവ്ഡിഗ്രികൾ.

പരമാവധി മൂല്യം: 2

നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ അധികമായി ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഇതിനകം നിർണ്ണയിക്കും മൂന്നാം ഓർഡർ ലൈൻ. 3rd ഓർഡർ ലൈൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പദങ്ങളുടെ ഒരു "പൂർണ്ണ സെറ്റ്" അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്, വേരിയബിളുകളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക മൂന്നിന് തുല്യമാണ്:
, ഗുണകങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

നിങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒന്നോ അതിലധികമോ അനുയോജ്യമായ പദങ്ങൾ ചേർക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ , അപ്പോൾ നമ്മൾ ഇതിനകം സംസാരിക്കും നാലാമത്തെ ഓർഡർ ലൈനുകൾ, തുടങ്ങിയവ.

3, 4, ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ബീജഗണിത വരികൾ നമുക്ക് ഒന്നിലധികം തവണ നേരിടേണ്ടിവരും, പ്രത്യേകിച്ചും, പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം.

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് പൊതുവായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ സ്കൂൾ വ്യതിയാനങ്ങൾ ഓർക്കുകയും ചെയ്യാം. ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഒരു പരവലയം സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ സമവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ ചുരുക്കാൻ കഴിയും പൊതുവായ രൂപം, കൂടാതെ തത്തുല്യ സമവാക്യത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഹൈപ്പർബോളയും. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാം അത്ര സുഗമമല്ല ...

പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന പോരായ്മ അത് ഏത് രേഖയാണ് നിർവചിക്കുന്നതെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല എന്നതാണ്. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ പോലും, ഇത് ഒരു ഹൈപ്പർബോൾ ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പെട്ടെന്ന് മനസ്സിലാകില്ല. അത്തരം ലേഔട്ടുകൾ ഒരു മുഖംമൂടിയിൽ മാത്രം നല്ലതാണ്, അതിനാൽ വിശകലന ജ്യാമിതിയുടെ ഗതിയിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു സാധാരണ ചുമതല 2nd ഓർഡർ ലൈൻ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം എന്താണ്?

ഇത് പൊതുവെ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടതാണ് സാധാരണ കാഴ്ചസമവാക്യം, ഏത് ജ്യാമിതീയ വസ്തുവാണ് അത് നിർവചിക്കുന്നതെന്ന് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ വ്യക്തമാകും. കൂടാതെ, കാനോനിക്കൽ ഫോം പലതും പരിഹരിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ് പ്രായോഗിക ജോലികൾ. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം അനുസരിച്ച് "ഫ്ലാറ്റ്" നേരെ, ഒന്നാമതായി, ഇതൊരു നേർരേഖയാണെന്ന് ഉടനടി വ്യക്തമാണ്, രണ്ടാമതായി, അതിനുള്ള പോയിൻ്റും ദിശ വെക്റ്ററും എളുപ്പത്തിൽ ദൃശ്യമാകും.

ഏതെങ്കിലും എന്ന് വ്യക്തമാണ് 1st ഓർഡർ ലൈൻഒരു നേർരേഖയാണ്. രണ്ടാം നിലയിൽ, ഇനി ഞങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നത് കാവൽക്കാരനല്ല, ഒമ്പത് പ്രതിമകളുള്ള കൂടുതൽ വൈവിധ്യമാർന്ന കമ്പനിയാണ്:

രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈനുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ഉപയോഗിച്ച് പ്രത്യേക സമുച്ചയംപ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഒരു രണ്ടാം-ക്രമ വരിയുടെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമുകളിൽ ഒന്നായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

(പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്)

1) - ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം;

2) - ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം;

3) - ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം;

4) – സാങ്കൽപ്പികദീർഘവൃത്തം;

5) - ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ;

6) - ജോഡി സാങ്കൽപ്പികവിഭജിക്കുന്ന വരികൾ (ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് വിഭജനത്തിൻ്റെ ഒരൊറ്റ സാധുവായ പോയിൻ്റിനൊപ്പം);

7) - ഒരു ജോടി സമാന്തര വരികൾ;

8) - ജോഡി സാങ്കൽപ്പികസമാന്തര വരികൾ;

9) - ഒരു ജോടി യാദൃശ്ചിക വരികൾ.

ലിസ്റ്റ് അപൂർണ്ണമാണെന്ന ധാരണ ചില വായനക്കാർക്കുണ്ടാകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിൻ്റ് നമ്പർ 7 ൽ, സമവാക്യം ജോഡിയെ വ്യക്തമാക്കുന്നു നേരിട്ട്, അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ വരികൾ നിർണ്ണയിക്കുന്ന സമവാക്യം എവിടെയാണ്? ഇതിന് ഉത്തരം നൽകു കാനോനികമായി കണക്കാക്കില്ല. നേർരേഖകൾ 90 ഡിഗ്രി കൊണ്ട് തിരിക്കുന്ന അതേ സ്റ്റാൻഡേർഡ് കേസിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കൂടാതെ വർഗ്ഗീകരണത്തിലെ അധിക എൻട്രി അനാവശ്യമാണ്, കാരണം ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി പുതിയതൊന്നും കൊണ്ടുവരുന്നില്ല.

അങ്ങനെ ഒമ്പതും ഒമ്പതും മാത്രം വിവിധ തരംരണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൻ്റെ വരികൾ, പക്ഷേ പ്രായോഗികമായി അവ മിക്കപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരവലയം.

ആദ്യം ദീർഘവൃത്തം നോക്കാം. പതിവുപോലെ, ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ ഞാൻ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു വലിയ പ്രാധാന്യംപ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ വിശദമായ ഡെറിവേഷൻ, സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകൾ എന്നിവ ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, Bazylev/Atanasyan അല്ലെങ്കിൽ Aleksandrov എന്നിവരുടെ പാഠപുസ്തകം പരിശോധിക്കുക.

ദീർഘവൃത്തവും അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും

അക്ഷരവിന്യാസം... "ഒരു ദീർഘവൃത്തം എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം", "ഒരു ദീർഘവൃത്തവും ഓവലും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം", "ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത" എന്നിവയിൽ താൽപ്പര്യമുള്ള ചില Yandex ഉപയോക്താക്കളുടെ തെറ്റുകൾ ആവർത്തിക്കരുത്.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്, അവിടെ പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ . ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഞാൻ പിന്നീട് രൂപപ്പെടുത്തും, പക്ഷേ ഇപ്പോൾ സംസാരിക്കുന്ന കടയിൽ നിന്ന് ഇടവേള എടുത്ത് ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള സമയമാണിത്:

ഒരു ദീർഘവൃത്തം എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം?

അതെ, എടുത്ത് വരച്ചാൽ മതി. ചുമതല ഇടയ്ക്കിടെ സംഭവിക്കുന്നു, കൂടാതെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗം ഡ്രോയിംഗിനെ ശരിയായി നേരിടുന്നില്ല:

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യം നൽകുന്ന ദീർഘവൃത്തം നിർമ്മിക്കുക

പരിഹാരം: ആദ്യം, നമുക്ക് സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

എന്തിനാണ് കൊണ്ടുവരുന്നത്? കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഗുണം അത് നിങ്ങളെ തൽക്ഷണം നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു എന്നതാണ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾപോയിൻ്റുകളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നവ. ഈ ഓരോ പോയിൻ്റിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ :


ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ്വിളിച്ചു പ്രധാന അക്ഷംദീർഘവൃത്തം;
ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ് – ചെറിയ അക്ഷം;
നമ്പർ വിളിച്ചു സെമി-മേജർ ഷാഫ്റ്റ്ദീർഘവൃത്തം;
നമ്പർ – ചെറിയ അക്ഷം.
ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: .

ഒരു പ്രത്യേക ദീർഘവൃത്തം എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് പെട്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ, അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ "a", "be" എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നോക്കുക.

എല്ലാം മികച്ചതും സുഗമവും മനോഹരവുമാണ്, പക്ഷേ ഒരു മുന്നറിയിപ്പ് ഉണ്ട്: പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കി. കൂടാതെ ഏത് ആപ്ലിക്കേഷനും ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ കഠിനമായ യാഥാർത്ഥ്യംമേശപ്പുറത്ത് ഒരു ചെക്കർ പേപ്പർ ഉണ്ട്, എലികൾ ഞങ്ങളുടെ കൈകളിൽ വൃത്താകൃതിയിൽ നൃത്തം ചെയ്യുന്നു. കലാപരമായ കഴിവുള്ള ആളുകൾക്ക് തീർച്ചയായും വാദിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് എലികളുമുണ്ട് (ചെറിയവയാണെങ്കിലും). ഡ്രോയിംഗിനായി ഭരണാധികാരി, കോമ്പസ്, പ്രൊട്രാക്ടർ, മറ്റ് ലളിതമായ ഉപകരണങ്ങൾ എന്നിവ മാനവികത കണ്ടുപിടിച്ചത് വെറുതെയല്ല.

ഇക്കാരണത്താൽ, ശീർഷകങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഒരു ദീർഘവൃത്തം കൃത്യമായി വരയ്ക്കാൻ സാധ്യതയില്ല. ദീർഘവൃത്തം ചെറുതാണെങ്കിൽ എല്ലാം ശരിയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ. പകരമായി, നിങ്ങൾക്ക് സ്കെയിൽ കുറയ്ക്കാനും അതിനനുസരിച്ച് ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ അളവുകൾ കുറയ്ക്കാനും കഴിയും. എന്നാൽ അകത്ത് പൊതുവായ കേസ്അധിക പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ അഭികാമ്യമാണ്.

ദീർഘവൃത്തം നിർമ്മിക്കുന്നതിന് രണ്ട് സമീപനങ്ങളുണ്ട് - ജ്യാമിതീയവും ബീജഗണിതവും. ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിർമ്മാണം എനിക്ക് ഇഷ്ടമല്ല, കാരണം അൽഗോരിതം ചെറുതല്ല, ഡ്രോയിംഗ് ഗണ്യമായി അലങ്കോലപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അടിയന്തിര സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ദയവായി പാഠപുസ്തകം പരിശോധിക്കുക, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്. ഡ്രാഫ്റ്റിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പെട്ടെന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

സമവാക്യം പിന്നീട് രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളായി വിഭജിക്കുന്നു:
- ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മുകളിലെ ആർക്ക് നിർവചിക്കുന്നു;
- ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ താഴത്തെ ആർക്ക് നിർവചിക്കുന്നു.

കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ്, അതുപോലെ തന്നെ ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്. ഇത് വളരെ മികച്ചതാണ് - സമമിതി എല്ലായ്പ്പോഴും സൗജന്യങ്ങളുടെ ഒരു തുടക്കമാണ്. വ്യക്തമായും, 1st കോർഡിനേറ്റ് പാദത്തെ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് മതിയാകും, അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തനം ആവശ്യമാണ് . അബ്‌സിസ്സകളുള്ള അധിക പോയിൻ്റുകൾക്കായി ഇത് അഭ്യർത്ഥിക്കുന്നു . കാൽക്കുലേറ്ററിൽ മൂന്ന് SMS സന്ദേശങ്ങൾ ടാപ്പ് ചെയ്യാം:

തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഗുരുതരമായ തെറ്റ് സംഭവിച്ചാൽ, നിർമ്മാണ സമയത്ത് അത് ഉടനടി വ്യക്തമാകും എന്നതും സന്തോഷകരമാണ്.

ഡ്രോയിംഗിലെ പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക (ചുവപ്പ് നിറം), സമമിതി പോയിൻ്റുകൾശേഷിക്കുന്ന കമാനങ്ങളിൽ ( നീല നിറം) കൂടാതെ മുഴുവൻ കമ്പനിയെയും ഒരു വരി ഉപയോഗിച്ച് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ബന്ധിപ്പിക്കുക:


പ്രാരംഭ സ്കെച്ച് വളരെ നേർത്തതായി വരയ്ക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിനുശേഷം മാത്രമേ പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് സമ്മർദ്ദം ചെലുത്തൂ. ഫലം തികച്ചും മാന്യമായ ദീർഘവൃത്തം ആയിരിക്കണം. വഴിയിൽ, ഈ വളവ് എന്താണെന്ന് അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ?

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം. എലിപ്സ് ഫോസിയും എലിപ്സ് എക്സെൻട്രിസിറ്റിയും

എലിപ്സ് ആണ് പ്രത്യേക കേസ്ഓവൽ "ഓവൽ" എന്ന വാക്ക് ഫിലിസ്റ്റൈൻ അർത്ഥത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാൻ പാടില്ല ("കുട്ടി ഒരു ഓവൽ വരച്ചു" മുതലായവ). വിശദമായ സൂത്രവാക്യം ഉള്ള ഒരു ഗണിത പദമാണിത്. ഈ പാഠത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം അണ്ഡങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തവും അവയുടെ വിവിധ തരങ്ങളും പരിഗണിക്കുക എന്നതല്ല, അത് ഫലത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കപ്പെടാത്തവയാണ്. സാധാരണ കോഴ്സ്അനലിറ്റിക്കൽ ജ്യാമിതി. കൂടാതെ, കൂടുതൽ അനുസരിച്ച് നിലവിലെ ആവശ്യങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കർശനമായ നിർവചനത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു:

ദീർഘവൃത്തംവിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്, നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് ഓരോന്നിനും ഉള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തന്ത്രങ്ങൾദീർഘവൃത്തം, ഒരു സ്ഥിരമായ അളവാണ്, ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷത്തിൻ്റെ നീളത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്: .
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോക്കസുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ഈ മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്: .

ഇപ്പോൾ എല്ലാം വ്യക്തമാകും:

നീല ഡോട്ട് ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിലൂടെ "യാത്ര" ചെയ്യുന്നുവെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. അതിനാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏത് പോയിൻ്റ് എടുത്താലും, സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമായിരിക്കും:

നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ തുകയുടെ മൂല്യം യഥാർത്ഥത്തിൽ എട്ടിന് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വലത് ശീർഷത്തിൽ മാനസികമായി "ഉം" എന്ന പോയിൻ്റ് സ്ഥാപിക്കുക, തുടർന്ന്: , അതാണ് പരിശോധിക്കേണ്ടത്.

ഇത് വരയ്ക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം ചിലപ്പോൾ പിരിമുറുക്കത്തിനും സമ്മർദ്ദത്തിനും കാരണമാകുന്നു, അതിനാൽ മറ്റൊരു അൺലോഡിംഗ് സെഷൻ നടത്തേണ്ട സമയമാണിത്. ദയവായി വാട്ട്‌മാൻ പേപ്പറോ ഒരു വലിയ കടലാസോ എടുത്ത് രണ്ട് നഖങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മേശയിൽ പിൻ ചെയ്യുക. ഇതൊക്കെ തന്ത്രങ്ങളായിരിക്കും. നീണ്ടുനിൽക്കുന്ന നഖത്തിൻ്റെ തലയിൽ ഒരു പച്ച നൂൽ കെട്ടി ഒരു പെൻസിൽ ഉപയോഗിച്ച് വലിച്ചിടുക. പെൻസിൽ ലീഡ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിൽ അവസാനിക്കും. ഇപ്പോൾ പച്ച ത്രെഡ് മുറുകെപ്പിടിച്ചുകൊണ്ട് പേപ്പറിനൊപ്പം പെൻസിൽ നീക്കാൻ തുടങ്ങുക. നിങ്ങൾ മടങ്ങുന്നത് വരെ പ്രക്രിയ തുടരുക ആരംഭ സ്ഥാനം... കൊള്ളാം... ഡ്രോയിംഗ് ഒരു ഡോക്ടർക്കും അധ്യാപകനും പരിശോധിക്കാം =)

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞാൻ "റെഡിമെയ്ഡ്" ഫോക്കൽ പോയിൻ്റുകൾ ചിത്രീകരിച്ചു, ജ്യാമിതിയുടെ ആഴത്തിൽ നിന്ന് അവയെ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പഠിക്കും.

ഒരു ദീർഘവൃത്തം ഒരു കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നൽകിയാൽ, അതിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗങ്ങൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് , ഇത് എവിടെയാണ് ഓരോ ഫോക്കസിൽ നിന്നും ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതത്തേക്കാൾ ലളിതമാണ്:

! "tse" എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം ഉപയോഗിച്ച് foci യുടെ നിർദ്ദിഷ്ട കോർഡിനേറ്റുകൾ തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയില്ല!ഇതാണ് എന്ന് ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു ഓരോ ഫോക്കസിൽ നിന്നും കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള ദൂരം(പൊതു സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കൃത്യമായി സ്ഥാപിക്കേണ്ടതില്ല).
അതിനാൽ, foci തമ്മിലുള്ള ദൂരം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സ്ഥാനവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ദീർഘവൃത്തം മറ്റൊരു സ്ഥലത്തേക്ക് മാറ്റുകയും മൂല്യം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും ചെയ്യും, അതേസമയം foci സ്വാഭാവികമായും അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റും. ദയവായി പരിഗണിക്കുക ഈ നിമിഷംവിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ പഠന സമയത്ത്.

ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഉത്കേന്ദ്രതയും അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥവും

പരിധിക്കുള്ളിൽ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു അനുപാതമാണ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി അതിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയെ എങ്ങനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഇതിനായി ഇടത്, വലത് ശീർഷങ്ങൾ ശരിയാക്കുകപരിഗണനയിലുള്ള ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ, അതായത്, സെമിമേജർ അക്ഷത്തിൻ്റെ മൂല്യം സ്ഥിരമായി തുടരും. അപ്പോൾ ഉത്കേന്ദ്രത ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും: .

ഉത്കേന്ദ്രത മൂല്യത്തെ ഐക്യത്തിലേക്ക് അടുപ്പിക്കാൻ നമുക്ക് തുടങ്ങാം. എങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ... തന്ത്രങ്ങൾ ഓർക്കുക . ഇതിനർത്ഥം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം abscissa അച്ചുതണ്ടിലൂടെ വശത്തെ ലംബങ്ങളിലേക്ക് "അകലുന്നു" എന്നാണ്. കൂടാതെ, "പച്ച ഭാഗങ്ങൾ റബ്ബർ അല്ലാത്തതിനാൽ," ദീർഘവൃത്തം അനിവാര്യമായും പരന്നുപോകാൻ തുടങ്ങും, ഇത് ഒരു അച്ചുതണ്ടിൽ കെട്ടിയിരിക്കുന്ന കനം കുറഞ്ഞതും കനംകുറഞ്ഞതുമായ സോസേജായി മാറുന്നു.

അങ്ങനെ, എങ്ങനെ അടുത്ത മൂല്യംദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത ഏകത്വത്തിലേക്ക്, ദീർഘവൃത്തം കൂടുതൽ നീളമേറിയതാണ്.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിപരീത പ്രക്രിയയെ മാതൃകയാക്കാം: ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം പരസ്പരം നടന്നു, കേന്ദ്രത്തിനടുത്തെത്തി. ഇതിനർത്ഥം "ce" യുടെ മൂല്യം കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു, അതനുസരിച്ച്, ഉത്കേന്ദ്രത പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു: .
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, "പച്ച സെഗ്മെൻ്റുകൾ" നേരെമറിച്ച്, "തിരക്കേറിയതായിത്തീരും" കൂടാതെ അവർ ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള വരി മുകളിലേക്കും താഴേക്കും "തള്ളി" തുടങ്ങും.

അങ്ങനെ, ഉത്കേന്ദ്രത മൂല്യം പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും ദീർഘവൃത്തത്തിന് സമാനമാണ്... ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് foci വിജയകരമായി വീണ്ടും ഒന്നിക്കുമ്പോൾ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന കേസ് നോക്കുക:

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് വൃത്തം

തീർച്ചയായും, അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുടെ സമത്വത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഒരു രൂപമെടുക്കുന്നു, അത് "a" റേഡിയസിൻ്റെ ഉത്ഭവത്തിൽ ഒരു കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്രതിഫലനമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു, ഇത് സ്കൂളിൽ നിന്ന് നന്നായി അറിയാം.

പ്രായോഗികമായി, "എർ" എന്ന "സംസാരിക്കുന്ന" അക്ഷരമുള്ള നൊട്ടേഷൻ കൂടുതലായി ഉപയോഗിക്കുന്നു: . ആരം എന്നത് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളമാണ്, വൃത്തത്തിൻ്റെ ഓരോ ബിന്ദുവും കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ദൂരത്തിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുന്നു.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനം പൂർണ്ണമായും ശരിയാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക: foci ഒത്തുചേരുന്നു, കൂടാതെ സർക്കിളിലെ ഓരോ ബിന്ദുവിനുമുള്ള യാദൃശ്ചിക സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. foci തമ്മിലുള്ള ദൂരം ആയതിനാൽ, അപ്പോൾ ഏതൊരു വൃത്തത്തിൻ്റെയും ഉത്കേന്ദ്രത പൂജ്യമാണ്.

ഒരു സർക്കിൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പവും വേഗവുമാണ്, ഒരു കോമ്പസ് ഉപയോഗിക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ അതിൻ്റെ ചില പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിചിതമായ വഴിക്ക് പോകുന്നു - ഞങ്ങൾ സമവാക്യം സന്തോഷകരമായ മാറ്റനോവ് രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

- മുകളിലെ അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം;
- താഴ്ന്ന അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം.

അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ, വേർതിരിക്കുക, സംയോജിപ്പിക്കുകമറ്റ് നല്ല കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യുക.

ലേഖനം, തീർച്ചയായും, റഫറൻസിനായി മാത്രമുള്ളതാണ്, എന്നാൽ സ്നേഹമില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ലോകത്ത് ജീവിക്കാനാകും? സൃഷ്ടിപരമായ ചുമതല സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം

ഉദാഹരണം 2

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം രചിക്കുക, അതിൻ്റെ ഫോസിസും അർദ്ധ-മൈനർ അക്ഷവും അറിയാമെങ്കിൽ (കേന്ദ്രം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണ്). ഡ്രോയിംഗിൽ ലംബങ്ങൾ, അധിക പോയിൻ്റുകൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തി ഒരു വര വരയ്ക്കുക. ഉത്കേന്ദ്രത കണക്കാക്കുക.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പരിഹാരവും ഡ്രോയിംഗും

നമുക്ക് ഒരു പ്രവർത്തനം ചേർക്കാം:

ഒരു ദീർഘവൃത്തം തിരിക്കുകയും സമാന്തരമായി വിവർത്തനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം, അതായത്, അവസ്ഥയിലേക്ക്, ഈ വക്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ പരാമർശം മുതൽ അന്വേഷണാത്മക മനസ്സുകളെ വേദനിപ്പിച്ച രഹസ്യം. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്ക് നോക്കി , എന്നാൽ സമവാക്യം പാലിക്കുന്നത് പ്രായോഗികമായി സാധ്യമല്ലേ ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇവിടെ, എന്നിരുന്നാലും, അതും ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണെന്ന് തോന്നുന്നു!

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം അപൂർവമാണ്, പക്ഷേ അത് കടന്നുപോകുന്നു. അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു. നമുക്ക് നിന്ദിക്കാം:

നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഞങ്ങളുടെ നേറ്റീവ് ദീർഘവൃത്തം ലഭിച്ചു, 90 ഡിഗ്രി കറങ്ങി. അതാണ്, - ഈ കാനോനിക്കൽ അല്ലാത്ത പ്രവേശനംദീർഘവൃത്തം . റെക്കോർഡ്!- സമവാക്യം ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അക്ഷത്തിൽ പോയിൻ്റുകളൊന്നും (foci) ഇല്ലാത്തതിനാൽ, മറ്റേതെങ്കിലും ദീർഘവൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നില്ല.

11.1 അടിസ്ഥാന സങ്കൽപങ്ങൾ

നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട വരികൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, എന്നാൽ എ, ബി അല്ലെങ്കിൽ സി സംഖ്യകളിൽ ഒരെണ്ണം പൂജ്യമല്ല. അത്തരം വരികളെ രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ വരികൾ (വളവുകൾ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമവാക്യം (11.1) വിമാനത്തിലെ ഒരു വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള അല്ലെങ്കിൽ പരാബോള എന്നിവയെ നിർവചിക്കുന്നതായി താഴെ സ്ഥാപിക്കും. ഈ പ്രസ്താവനയിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ലിസ്റ്റുചെയ്ത വക്രങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പഠിക്കാം.

11.2 വൃത്തം

ഏറ്റവും ലളിതമായ രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് ഒരു വൃത്തമാണ്. ഒരു ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ R റേഡിയസിൻ്റെ ഒരു വൃത്തം, അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തലത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും M എന്ന ഗണമാണ് എന്ന് ഓർക്കുക. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ x 0, y 0 എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ - സർക്കിളിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് (ചിത്രം 48 കാണുക).

അപ്പോൾ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

(11.2)

സമവാക്യം (11.2) ഒരു നിശ്ചിത വൃത്തത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തുന്നു, കൂടാതെ സർക്കിളിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ തൃപ്തിപ്പെടുന്നില്ല.

സമവാക്യം (11.2) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം

പ്രത്യേകിച്ചും, ക്രമീകരണം കൂടാതെ, ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും .

ലളിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സർക്കിൾ സമവാക്യം (11.2) രൂപമെടുക്കും. ഈ സമവാക്യത്തെ ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ കർവിൻ്റെ പൊതു സമവാക്യവുമായി (11.1) താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ സംതൃപ്തമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

1) x 2, y 2 എന്നിവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം തുല്യമാണ്;

2) നിലവിലെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം xy അടങ്ങിയ ഒരു അംഗവുമില്ല.

നമുക്ക് വിപരീത പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം. മൂല്യങ്ങളും സമവാക്യവും (11.1) നൽകുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

(11.4)

സമവാക്യം (11.3) വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഒരു വൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു . അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം പോയിൻ്റിലാണ് , ആരം

.

എങ്കിൽ , അപ്പോൾ സമവാക്യം (11.3) ഫോം ഉണ്ട്

.

ഒരൊറ്റ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ ഇത് സംതൃപ്തമാണ് . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവർ പറയുന്നു: "വൃത്തം ഒരു ബിന്ദുവായി അധഃപതിച്ചു" (പൂജ്യം ആരം ഉണ്ട്).

എങ്കിൽ , പിന്നെ സമവാക്യം (11.4), അതിനാൽ തുല്യമായ സമവാക്യം(11.3) ഒരു വരിയും നിർവ്വചിക്കുന്നില്ല, കാരണം വലത് ഭാഗംസമവാക്യം (11.4) നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഇടത് നെഗറ്റീവ് അല്ല (പറയുക: "വൃത്തം സാങ്കൽപ്പികമാണ്").

11.3 ദീർഘവൃത്തം

കാനോനിക്കൽ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യം

ദീർഘവൃത്തം ഒരു പ്ലെയിനിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്, ഇതിൽ ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക തന്ത്രങ്ങൾ , foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ വലിയ സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്.

നമുക്ക് ഫോക്കസുകളെ സൂചിപ്പിക്കാം എഫ് 1ഒപ്പം എഫ് 2, അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം 2 ആണ് സി, കൂടാതെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് foci വരെയുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക - 2 ൽ എ(ചിത്രം 49 കാണുക). നിർവചനം പ്രകാരം 2 എ > 2സി, അതായത്. എ > സി.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ ഫോസി എഫ് 1ഒപ്പം എഫ് 2അച്ചുതണ്ടിൽ കിടന്നു, ഉത്ഭവം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടു എഫ് 1 എഫ് 2. അപ്പോൾ foci ന് ഇനിപ്പറയുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും: ഒപ്പം .

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ, ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അതായത്.

ഇത് സാരാംശത്തിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യം (11.5) കൂടുതലായി മാറ്റാം ലളിതമായ കാഴ്ചഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:

കാരണം എ>കൂടെ, ആ . ഇടാം

(11.6)

അപ്പോൾ അവസാന സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും അല്ലെങ്കിൽ

(11.7)

സമവാക്യം (11.7) യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനെ വിളിക്കുന്നു കാനോനിക്കൽ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യം .

ഒരു ദീർഘവൃത്തം ഒരു രണ്ടാം ക്രമ വക്രമാണ്.

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി അതിൻ്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുക

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാം.

1. സമവാക്യത്തിൽ (11.7) x, y എന്നിവ ഇരട്ട ശക്തികളിൽ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, അതിനാൽ ഒരു ബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റേതാണെങ്കിൽ, ബിന്ദുക്കളും അതിൽ പെടുന്നു. ദീർഘവൃത്തം, അക്ഷങ്ങൾ എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, അതുപോലെ തന്നെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ബിന്ദുവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

2. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. ഇടുന്നത് , ഞങ്ങൾ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു കൂടാതെ , അച്ചുതണ്ട് ദീർഘവൃത്തത്തെ വിഭജിക്കുന്നു (ചിത്രം 50 കാണുക). സമവാക്യത്തിൽ (11.7) ഇടുമ്പോൾ, അച്ചുതണ്ടുമായി ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: കൂടാതെ . പോയിൻ്റുകൾ എ 1 , എ 2 , ബി 1, ബി 2വിളിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ. സെഗ്‌മെൻ്റുകൾ എ 1 എ 2ഒപ്പം ബി 1 ബി 2, അതുപോലെ അവയുടെ നീളം 2 എകൂടാതെ 2 ബിഅതനുസരിച്ച് വിളിക്കപ്പെടുന്നു വലുതും ചെറുതുമായ അക്ഷങ്ങൾദീർഘവൃത്തം. നമ്പറുകൾ എഒപ്പം ബിയഥാക്രമം വലുതും ചെറുതുമായ വിളിക്കുന്നു ആക്സിൽ ഷാഫ്റ്റുകൾദീർഘവൃത്തം.

3. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11.7) ഇടതുവശത്തുള്ള ഓരോ പദവും ഒന്നിൽ കവിയരുത്, അതായത്. അസമത്വങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിക്കുന്നതും. തൽഫലമായി, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും നേർരേഖകളാൽ രൂപപ്പെട്ട ദീർഘചതുരത്തിനുള്ളിൽ കിടക്കുന്നു.

4. സമവാക്യത്തിൽ (11.7), നോൺ-നെഗറ്റീവ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു പദം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, മറ്റൊന്ന് കുറയും, അതായത് വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് കുറയുന്നു, തിരിച്ചും.

മേൽപ്പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, ദീർഘവൃത്തത്തിന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ആകൃതിയുണ്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നു. 50 (ഓവൽ അടച്ച വക്രം).

ദീർഘവൃത്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതി അനുപാതത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമായി മാറുമ്പോൾ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം (11.7) രൂപമെടുക്കുന്നു. ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ ചിത്രീകരിക്കാൻ അനുപാതം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-മേജർ അച്ചുതണ്ടും ഫോസിസും തമ്മിലുള്ള പകുതി ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത എന്നും o6o യെ ε ("എപ്സിലോൺ") എന്ന അക്ഷരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

0 ഉപയോഗിച്ച്<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത ചെറുതാകുമ്പോൾ ദീർഘവൃത്തം പരന്നതായിരിക്കുമെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു; നമ്മൾ ε = 0 സജ്ജമാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമായി മാറുന്നു.

ഫോസി എഫ് 1, എഫ് 2 എന്നിവയുള്ള ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് M(x;y) ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 51 കാണുക). F 1 M = r 1, F 2 M = r 2 എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെ ദൈർഘ്യത്തെ എം പോയിൻ്റിൻ്റെ ഫോക്കൽ റേഡിയികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്പഷ്ടമായി,

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിലനിർത്തുന്നു

നേരിട്ടുള്ള ലൈനുകൾ വിളിക്കുന്നു

സിദ്ധാന്തം 11.1.ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ചില ഫോക്കസിലേക്കുള്ള ദൂരമാണെങ്കിൽ, d എന്നത് ഈ ഫോക്കസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അതേ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് ഡയറക്‌ട്രിക്സിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്, അപ്പോൾ അനുപാതം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യമായ സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്:

സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (11.6) അത് പിന്തുടരുന്നു. എങ്കിൽ, സമവാക്യം (11.7) ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷം Oy അക്ഷത്തിലും മൈനർ അക്ഷം ഓക്സ് അക്ഷത്തിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 52 കാണുക). അത്തരം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം ബിന്ദുകളിലാണ്, എവിടെയാണ് .

11.4 ഹൈപ്പർബോള

കാനോനിക്കൽ ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം

ഹൈപ്പർബോൾ വിമാനത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിൽ നിന്നും ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് തന്ത്രങ്ങൾ , foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ കുറവുള്ള സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്.

നമുക്ക് ഫോക്കസുകളെ സൂചിപ്പിക്കാം എഫ് 1ഒപ്പം എഫ് 2അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരം 2സെ, കൂടാതെ ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിൽ നിന്നും foci യിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് 2a. എ-പ്രിയറി 2a < 2സെ, അതായത്. എ < സി.

ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ foci എഫ് 1ഒപ്പം എഫ് 2അച്ചുതണ്ടിൽ കിടന്നു, ഉത്ഭവം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടു എഫ് 1 എഫ് 2(ചിത്രം 53 കാണുക). അപ്പോൾ ഫോസിക്ക് കോർഡിനേറ്റുകളും ഉണ്ടായിരിക്കും

ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. പിന്നെ, ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് അല്ലെങ്കിൽ, അതായത്, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഉരുത്തിരിയുമ്പോൾ ചെയ്തതുപോലെ, ലളിതവൽക്കരണത്തിന് ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കും കാനോനിക്കൽ ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം

(11.9)

(11.10)

ഒരു ഹൈപ്പർബോള എന്നത് രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ഒരു വരിയാണ്.

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ആകൃതി അതിൻ്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്നു

ഹൈപ്പർബോളയുടെ കാക്കോണിക്കൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അതിൻ്റെ രൂപം സ്ഥാപിക്കാം.

1. സമവാക്യം (11.9) ഇരട്ട ശക്തികളിൽ മാത്രം x, y എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഹൈപ്പർബോള അക്ഷങ്ങളെക്കുറിച്ചും , ബിന്ദുവിനെക്കുറിച്ചും സമമിതിയാണ്, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളയുടെ കേന്ദ്രം.

2. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഹൈപ്പർബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക. സമവാക്യത്തിൽ (11.9) ഇടുമ്പോൾ, ഹൈപ്പർബോളയെ അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: കൂടാതെ. (11.9) ഇടുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അത് ആകാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, ഹൈപ്പർബോള ഓയ് അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ല.

പോയിൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു കൊടുമുടികൾ ഹൈപ്പർബോളാസ്, സെഗ്മെൻ്റ്

യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ട് , ലൈൻ സെഗ്മെൻ്റ് - യഥാർത്ഥ അർദ്ധ അക്ഷം അതിഭാവുകത്വം.

പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സെഗ്മെൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു സാങ്കൽപ്പിക അക്ഷം , നമ്പർ ബി - സാങ്കൽപ്പിക അർദ്ധ അക്ഷം . വശങ്ങളുള്ള ദീർഘചതുരം 2aഒപ്പം 2ബിവിളിച്ചു ഹൈപ്പർബോളയുടെ അടിസ്ഥാന ദീർഘചതുരം .

3. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11.9) മൈനൻ്റ് ഒന്നിൽ കുറവല്ല, അതായത്, അത് അല്ലെങ്കിൽ . ഇതിനർത്ഥം ഹൈപ്പർബോളയുടെ പോയിൻ്റുകൾ ലൈനിൻ്റെ വലതുവശത്തും (ഹൈപ്പർബോളയുടെ വലത് ശാഖ) വരിയുടെ ഇടതുവശത്തും (ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഇടത് ശാഖ) സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്.

4. ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11.9) അത് വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ അത് വർദ്ധിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. വ്യത്യാസം ഒന്നിന് തുല്യമായ സ്ഥിരമായ മൂല്യം നിലനിർത്തുന്നു എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് ചിത്രം 54-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപം ഉണ്ട് (രണ്ട് പരിധിയില്ലാത്ത ശാഖകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു വക്രം).

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ലക്ഷണങ്ങൾ

L എന്ന നേർരേഖയെ അസിംപ്റ്റോട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അൺബൗണ്ടഡ് കർവ് K, കർവ് K യുടെ പോയിൻ്റ് M മുതൽ ഈ നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം d പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് K എന്ന വക്രത്തിനൊപ്പം പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ദൂരം പരിധിയില്ലാത്തതായിരിക്കുമ്പോൾ. ചിത്രം 55 ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ട് എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം നൽകുന്നു: നേർരേഖ L എന്നത് വക്രം K യുടെ ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടാണ്.

ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് രണ്ട് അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം:

(11.11)

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നേർരേഖകളും (11.11) ഹൈപ്പർബോളയും (11.9) സമമിതിയായതിനാൽ, ആദ്യ പാദത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സൂചിപ്പിച്ച വരികളുടെ പോയിൻ്റുകൾ മാത്രം പരിഗണിച്ചാൽ മതി.

ഹൈപ്പർബോളയിലെ പോയിൻ്റിന് സമാനമായ abscissa x ഉള്ള ഒരു നേർരേഖയിൽ N എന്ന ബിന്ദു എടുക്കാം. (ചിത്രം 56 കാണുക), കൂടാതെ നേർരേഖയുടെ ഓർഡിനേറ്റുകളും ഹൈപ്പർബോളയുടെ ശാഖയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ΜΝ കണ്ടെത്തുക:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, x വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ വർദ്ധിക്കുന്നു; ന്യൂമറേറ്റർ ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്. അതിനാൽ, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം ΜΝ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. MΝ പോയിൻ്റ് M-ൽ നിന്ന് രേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരം d-യെക്കാൾ കൂടുതലായതിനാൽ, d പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു. അതിനാൽ, ലൈനുകൾ ഹൈപ്പർബോളയുടെ (11.9) ലക്ഷണങ്ങളാണ്.

ഒരു ഹൈപ്പർബോള (11.9) നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ആദ്യം ഹൈപ്പർബോളയുടെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം നിർമ്മിക്കുന്നത് നല്ലതാണ് (ചിത്രം 57 കാണുക), ഈ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിപരീത ശിഖരങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകൾ വരയ്ക്കുക - ഹൈപ്പർബോളയുടെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കൂടാതെ ലംബങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുകയും , ഹൈപ്പർബോളയുടെ.

ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമവാക്യം.

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളാണ് ഇവയുടെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

ഹൈപ്പർബോളയെ (11.9) അതിൻ്റെ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ () ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ സമഭുജം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം

(11.12)

ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോളയുടെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾക്ക് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ദ്വിവിഭാഗങ്ങളാണ്.

ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഈ ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം (ചിത്രം 58 കാണുക), പഴയതിൽ നിന്ന് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഒരു കോണിലൂടെ തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ തിരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ x, y എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (11.12):

ഓക്‌സ്, ഓയ് അക്ഷങ്ങൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ആയ ഒരു ഇക്വിലേറ്ററൽ ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും.

അതിഭാവുകത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ

ഉത്കേന്ദ്രത ഹൈപ്പർബോള (11.9) എന്നത് ε കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഹൈപ്പർബോളയുടെ യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ മൂല്യത്തിലേക്കുള്ള foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതമാണ്:

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക്, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ്: . ഉത്കേന്ദ്രത ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ആകൃതിയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (11.10) അത് പിന്തുടരുന്നു, അതായത്. ഒപ്പം .

ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത ചെറുതാകുന്തോറും അതിൻ്റെ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുടെ അനുപാതം ചെറുതാണെന്നും അതിനാൽ അതിൻ്റെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം കൂടുതൽ നീളമേറിയതാണെന്നും ഇതിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

ഒരു സമഭുജ ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രതയാണ്. ശരിക്കും,

ഫോക്കൽ റേഡിയസ് ഒപ്പം വലത് ശാഖയിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് ഹൈപ്പർബോളകൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്, കൂടാതെ ഇടത് ശാഖയ്ക്ക് - ഒപ്പം .

നേരിട്ടുള്ള ലൈനുകളെ ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു ഹൈപ്പർബോള ε > 1 എന്നതിനാൽ, പിന്നെ . ഇതിനർത്ഥം വലത് ഡയറക്‌ട്രിക്സ് ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗത്തിനും വലത് ശീർഷത്തിനും ഇടയിലാണ്, ഇടത് - മധ്യത്തിനും ഇടത് ശീർഷത്തിനും ഇടയിലാണ്.

ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾക്ക് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകളുടെ അതേ ഗുണമുണ്ട്.

സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വക്രവും ഒരു ഹൈപ്പർബോളയാണ്, ഇതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ അക്ഷം 2b Oy അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ സാങ്കൽപ്പിക അക്ഷം 2 എ- ഓക്സ് അക്ഷത്തിൽ. ചിത്രം 59-ൽ ഇത് ഒരു ഡോട്ട് വരയായി കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഹൈപ്പർബോളുകൾക്ക് പൊതുവായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അത്തരം ഹൈപ്പർബോളുകളെ കൺജഗേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

11.5 പരവലയം

കാനോനിക്കൽ പരവലയ സമവാക്യം

ഒരു പരവലയം എന്നത് പ്ലെയിനിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണമാണ്, അവ ഓരോന്നും ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, ഫോക്കസ് എന്നും ഒരു നിശ്ചിത രേഖയെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഫോക്കസ് എഫിൽ നിന്ന് ഡയറക്‌ട്രിക്സിലേക്കുള്ള ദൂരത്തെ പരാബോളയുടെ പാരാമീറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് p (p > 0) കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പരവലയത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം Oxy തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ Ox അക്ഷം ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിൽ നിന്ന് F യിലേക്കുള്ള ദിശയിലുള്ള ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിന് ലംബമായി ഫോക്കസ് എഫ് വഴി കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവം O യുടെ മധ്യത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്‌സും (ചിത്രം 60 കാണുക). തിരഞ്ഞെടുത്ത സിസ്റ്റത്തിൽ, ഫോക്കസ് F-ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ .

1. സമവാക്യത്തിൽ (11.13) വേരിയബിൾ y ഇരട്ട ഡിഗ്രിയിൽ ദൃശ്യമാകുന്നു, അതായത് പരവലയം കാള അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ്; പരവലയത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷമാണ് ഓക്സ് അക്ഷം.

2. ρ > 0 മുതൽ, അത് (11.13) മുതൽ പിന്തുടരുന്നു. തൽഫലമായി, ഓയ് അക്ഷത്തിൻ്റെ വലതുവശത്താണ് പരവലയം സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

3. നമുക്ക് y = 0 ഉള്ളപ്പോൾ, പരവലയം ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു.

4. x അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, y എന്ന മൊഡ്യൂളും അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. പരവലയത്തിന് ചിത്രം 61-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപം (ആകൃതി) ഉണ്ട്. പോയിൻ്റ് O(0; 0) പരാബോളയുടെ ശീർഷകം എന്നും FM = r എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിനെ പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ,, ( p>0) പരാബോളകളും നിർവ്വചിക്കുന്നു, അവ ചിത്രം 62 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു

ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം, ബി, സി എന്നിവ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിൻ്റെ അർത്ഥത്തിൽ ഒരു പരവലയമാണ്.

11.6 രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈനുകളുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമായി സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളുള്ള രണ്ടാം-ക്രമ കർവുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ

ബിന്ദുവിൽ ഒരു കേന്ദ്രമുള്ള ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ആദ്യം കണ്ടെത്താം, ഇവയുടെ സമമിതി അക്ഷങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളായ Ox, Oy എന്നിവയ്ക്ക് സമാന്തരവും അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ യഥാക്രമം തുല്യവുമാണ്. എഒപ്പം ബി. നമുക്ക് O 1 ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആരംഭം സ്ഥാപിക്കാം, അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുകളും അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളും എഒപ്പം ബി(ചിത്രം 64 കാണുക):

അവസാനമായി, ചിത്രം 65 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന പരാബോളകൾക്ക് അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

സമവാക്യം

ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള എന്നിവയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ, പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം (ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക, സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുക, സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരിക, ഗുണകങ്ങൾക്കായി പുതിയ നൊട്ടേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുക) എന്നിവ ഒരൊറ്റ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം. രൂപം

എ, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഫോമിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും (11.14) രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ വക്രങ്ങളിൽ ഒന്ന് (വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള) നിർണ്ണയിക്കുന്നുണ്ടോ? ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 11.2. സമവാക്യം (11.14) എല്ലായ്പ്പോഴും നിർവചിക്കുന്നു: ഒന്നുകിൽ ഒരു വൃത്തം (A = C ന്), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തം (A C > 0 ന്), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഹൈപ്പർബോള (A C ന്)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

പൊതുവായ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യം

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം പൊതുവായ സമവാക്യംരണ്ട് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം രണ്ടാം ബിരുദം:

സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (11.14) കോർഡിനേറ്റുകളുടെ (B¹ 0) ഒരു പദത്തിൻ്റെ സാന്നിധ്യത്താൽ ഇത് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളെ ഒരു ആംഗിൾ കൊണ്ട് തിരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് സാധ്യമാണ്, അങ്ങനെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നവുമായുള്ള പദം ഇല്ലാതാകും.

ആക്സിസ് റൊട്ടേഷൻ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

പുതിയവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പഴയ കോർഡിനേറ്റുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

നമുക്ക് ആംഗിൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ x" · y" എന്നതിൻ്റെ ഗുണകം പൂജ്യമാകും, അതായത്, തുല്യത

അങ്ങനെ, അവസ്ഥ (11.17) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന a കോണിൽ അക്ഷങ്ങൾ തിരിക്കുമ്പോൾ, സമവാക്യം (11.15) സമവാക്യമായി (11.14) കുറയുന്നു.

ഉപസംഹാരം: പൊതു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യം (11.15) വിമാനത്തിൽ (ഡീജനറേഷൻ, ശോഷണം എന്നിവ ഒഴികെ) ഇനിപ്പറയുന്ന വളവുകൾ നിർവചിക്കുന്നു: വൃത്തം, ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള.

ശ്രദ്ധിക്കുക: A = C ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (11.17) അർത്ഥശൂന്യമാകും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, cos2α = 0 (കാണുക (11.16)), തുടർന്ന് 2α = 90°, അതായത് α = 45°. അതിനാൽ, A = C ആയിരിക്കുമ്പോൾ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം 45 ° കൊണ്ട് തിരിയണം.

ഒരു ദീർഘവൃത്തം എന്നത് ഒരു തലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിൽ നിന്നും നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക F_1, കൂടാതെ F_2 ഇവ തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ (2c) കൂടുതലുള്ള സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ് (2a) പോയിൻ്റുകൾ നൽകി(ചിത്രം 3.36, എ). ഈ ജ്യാമിതീയ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി

F_1, F_2 എന്നീ പോയിൻ്റുകളെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ foci എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ദൂരം 2c=F_1F_2 ഫോക്കൽ ലെങ്ത് ആണ്, F_1F_2 സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗം O ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമാണ്, സംഖ്യ 2a എന്നത് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷത്തിൻ്റെ നീളമാണ്. ദീർഘവൃത്തം (അതനുസരിച്ച്, a എന്ന സംഖ്യ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സെമി-മേജർ അക്ഷമാണ്). ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് M-നെ അതിൻ്റെ ഫോസിയുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന F_1M, F_2M എന്നീ സെഗ്‌മെൻ്റുകളെ പോയിൻ്റ് M-ൻ്റെ ഫോക്കൽ റേഡി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ട് ബിന്ദുക്കളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഭാഗത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കോർഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

e=\frac(c)(a) എന്ന അനുപാതത്തെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് (2a>2c) അത് പിന്തുടരുന്നത് 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം, അതിൻ്റെ ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്, അതിൻ്റെ വിശകലന നിർവചനത്തിന് തുല്യമാണ് - ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നൽകുന്ന രേഖ:

തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം (ചിത്രം 3.36c) അവതരിപ്പിക്കാം. കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉത്ഭവമായി ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗം O എടുക്കുന്നു; foci (ഫോക്കൽ അക്ഷം അല്ലെങ്കിൽ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ അക്ഷം) വഴി കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയെ abscissa അക്ഷമായി ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു (അതിലെ പോസിറ്റീവ് ദിശ പോയിൻ്റ് F_1 മുതൽ പോയിൻ്റ് F_2 വരെയാണ്); നമുക്ക് ഫോക്കൽ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖ എടുക്കാം, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിലൂടെ (ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ അക്ഷം) ഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടായി കടന്നുപോകാം (ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിലെ ദിശ തിരഞ്ഞെടുത്തിരിക്കുന്നതിനാൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഓക്സി ശരിയാണ്) .

ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച് ദീർഘവൃത്തത്തിന് ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാം. തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഞങ്ങൾ foci യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു F_1(-c,0),~F_2(c,0). ദീർഘവൃത്തത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് M(x,y) ന്, നമുക്കുള്ളത്:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

ഈ സമത്വം കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ റാഡിക്കലിനെ വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമചതുരമാക്കുകയും സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കുന്നു:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\ഇടതുപക്ഷത്താരോ~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

നിയുക്തമാക്കിയത് b=\sqrt(a^2-c^2)>0, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ഇരുവശങ്ങളെയും a^2b^2\ne0 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൽ നാം എത്തിച്ചേരുന്നു:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

അതിനാൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം കാനോനിക്കൽ ആണ്.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം ഒത്തുവന്നാൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാണ് (ചിത്രം 3.36,6), കാരണം a=b. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോയിൻ്റിൽ ഉത്ഭവമുള്ള ഏത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും കാനോനിക്കൽ ആയിരിക്കും O\equiv F_1\equiv F_2, കൂടാതെ x^2+y^2=a^2 എന്ന സമവാക്യം O പോയിൻ്റിൽ കേന്ദ്രവും a യ്ക്ക് തുല്യമായ ആരവും ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണ്.

ന്യായവാദം ചെയ്തുകൊണ്ട് റിവേഴ്സ് ഓർഡർ, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സമവാക്യം (3.49) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ഒരു ദീർഘവൃത്തം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനത്തിൻ്റേതാണെന്ന് കാണിക്കാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അനലിറ്റിക്കൽ നിർവചനം അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ നിർവചനത്തിന് തുല്യമാണ്, അത് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ടറിയൽ പ്രോപ്പർട്ടി

കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരേ അകലത്തിൽ \frac(a^2)(c) പ്രവർത്തിക്കുന്ന രണ്ട് നേർരേഖകളാണ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾ. c=0-ൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാകുമ്പോൾ, ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾ ഇല്ല (ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾ അനന്തതയിലാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം).

ഉത്കേന്ദ്രത 0 ഉള്ള ദീർഘവൃത്തം പ്ലെയിനിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം, ഓരോന്നിനും തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് എഫ് (ഫോക്കസ്) യിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതം, തന്നിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകാത്ത ഒരു നേർരേഖ d (ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ്) യിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ അനുപാതം സ്ഥിരവും ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യവുമാണ് ഇ ( ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ടറിയൽ പ്രോപ്പർട്ടി). ഇവിടെ F ഉം d ഉം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന അതിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകളിൽ ഒന്നാണ്, അതായത്. F_1,d_1 അല്ലെങ്കിൽ F_2,d_2 .

വാസ്തവത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോക്കസ് F_2, ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ് d_2 (ചിത്രം 3.37,6) എന്നിവയ്‌ക്ക് വ്യവസ്ഥ \frac(r_2)(\rho_2)=eകോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുകയും പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, ഞങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യത്തിൽ (3.49) എത്തിച്ചേരുന്നു. ഫോക്കസ് F_1-നും ഡയറക്‌ടറിനും സമാനമായ ന്യായവാദം നടത്താം d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ഒരു പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം

പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം F_1r\varphi (ചിത്രം 3.37, c, 3.37 (2)) രൂപമുണ്ട്

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

ഇവിടെ p=\frac(b^2)(a) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കൽ പരാമീറ്ററാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, ധ്രുവീയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ധ്രുവമായി ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഇടത് ഫോക്കസ് F_1 തിരഞ്ഞെടുക്കാം, കൂടാതെ റേ F_1F_2 ധ്രുവ അക്ഷമായും (ചിത്രം 3.37, c). ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ നിർവ്വചനം (ഫോക്കൽ പ്രോപ്പർട്ടി) അനുസരിച്ച് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിന് M(r,\varphi), നമുക്ക് r+MF_2=2a ഉണ്ട്. M(r,\varphi), F_2(2c,0) എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (2.8 അഭിപ്രായങ്ങളുടെ ഖണ്ഡിക 2 കാണുക):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(വിന്യസിച്ചു)

അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം F_1M+F_2M=2a രൂപമുണ്ട്

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലുമുള്ള റാഡിക്കൽ, ചതുരം വേർതിരിച്ച്, 4 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് സമാന പദങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\ right)\!\cdot r=a^2-c^2.

ധ്രുവീയ ആരം r പ്രകടിപ്പിക്കുകയും പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

ക്യു.ഇ.ഡി.

ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ (ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾ) ഉപയോഗിച്ച് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ (ചിത്രം 3.37 എ കാണുക) നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. സമവാക്യത്തിൽ y=0 പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ അബ്സിസ്സ അക്ഷവുമായി (ഫോക്കൽ അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം): x=\pm a. അതിനാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിനുള്ളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഫോക്കൽ അക്ഷത്തിൻ്റെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം 2a ന് തുല്യമാണ്. ഈ സെഗ്മെൻ്റിനെ, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ a എന്ന സംഖ്യ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-മേജർ അക്ഷമാണ്. x=0 ന് പകരമായി, നമുക്ക് y=\pm b ലഭിക്കും. അതിനാൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിനുള്ളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം 2b ന് തുല്യമാണ്. ഈ സെഗ്മെൻ്റിനെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മൈനർ അക്ഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ സംഖ്യ b എന്നത് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സെമിമൈനർ അക്ഷമാണ്.

ശരിക്കും, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, കൂടാതെ ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാകുമ്പോൾ c=0 എന്ന കേസിൽ മാത്രമേ b=a സമത്വം ലഭിക്കുകയുള്ളൂ. മനോഭാവം k=\frac(b)(a)\leqslant1എലിപ്സ് കംപ്രഷൻ റേഷ്യോ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കുറിപ്പുകൾ 3.9

1. x=\pm a,~y=\pm b എന്ന നേർരേഖകൾ കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലെ പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനുള്ളിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തമുണ്ട് (ചിത്രം 3.37, a കാണുക).

2. ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം ഒരു വൃത്തത്തെ അതിൻ്റെ വ്യാസത്തിലേക്ക് കംപ്രസ്സുചെയ്യുന്നതിലൂടെ ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനം.

തീർച്ചയായും, ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഓക്സിയിലെ ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം x^2+y^2=a^2 ആയിരിക്കട്ടെ. 0 ൻ്റെ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് x-ആക്സിസിലേക്ക് കംപ്രസ് ചെയ്യുമ്പോൾ

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

സമവാക്യത്തിലേക്ക് x=x", y=\frac(1)(k)y" എന്നീ സർക്കിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, M(x,y) എന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ M"(x",y") ചിത്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ) :

(x")^2+(\ഇടത്(\frac(1)(k)\cdot y"\വലത്)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

മുതൽ b=k\cdot a . ഇതാണ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം.

3. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ (കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളാണ് (ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു), അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ്.

തീർച്ചയായും, M(x,y) എന്ന ബിന്ദു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റേതാണെങ്കിൽ . കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ M ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള M"(x,-y), M""(-x,y) എന്നീ പോയിൻ്റുകളും ഒരേ ദീർഘവൃത്തത്തിൽ പെടുന്നു.

4. പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(ചിത്രം 3.37, സി കാണുക), അത് മാറുന്നു ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഫോക്കൽ പാരാമീറ്റർ ഫോക്കൽ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി ഫോക്കസിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കോർഡിൻ്റെ പകുതി നീളമാണ് (r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ഉത്കേന്ദ്രത e ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ, അതായത് ദീർഘവൃത്തവും വൃത്തവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം. വലിയ e, ദീർഘവൃത്തം കൂടുതൽ നീളമേറിയതും e പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുംതോറും ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തത്തോട് അടുക്കും (ചിത്രം 3.38a). തീർച്ചയായും, e=\frac(c)(a), c^2=a^2-b^2 എന്നിവ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\ഇടത്(\frac(a)(b)\വലത് )\^2=1-k^2, !}

ഇവിടെ k എന്നത് ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള കംപ്രഷൻ അനുപാതമാണ്, 0

6. സമവാക്യം \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1എയിൽ

7. സമവാക്യം \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b O"(x_0,y_0) ബിന്ദുവിലുള്ള ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ നിർവചിക്കുന്നു, അവയുടെ അക്ഷങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്ക് സമാന്തരമാണ് (ചിത്രം 3.38, c). ഈ സമവാക്യം സമാന്തര വിവർത്തനം (3.36) ഉപയോഗിച്ച് കാനോനിക്കൽ ഒന്നായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

സമവാക്യം a=b=R ആകുമ്പോൾ (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 O"(x_0,y_0) എന്ന ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ R ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തത്തെ വിവരിക്കുന്നു.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യം

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യംകാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു രൂപമുണ്ട്

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

തീർച്ചയായും, ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി (3.49), നമ്മൾ പ്രധാന ത്രികോണമിതി ഐഡൻ്റിറ്റി \cos^2t+\sin^2t=1 ലേക്ക് എത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 3.20.ഒരു ദീർഘവൃത്തം വരയ്ക്കുക \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റമായ ഓക്സിയിൽ. സെമി-അക്ഷങ്ങൾ, ഫോക്കൽ ലെങ്ത്, ഉത്കേന്ദ്രത, കംപ്രഷൻ അനുപാതം, ഫോക്കൽ പാരാമീറ്റർ, ഡയറക്ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ കാനോനിക്കൽ ഒന്നുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു: a=2 - സെമി-മേജർ അക്ഷം, b=1 - ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അർദ്ധ-മൈനർ അക്ഷം. ഞങ്ങൾ പ്രധാന ദീർഘചതുരം 2a=4,~2b=2 ഉപയോഗിച്ച് കേന്ദ്രം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് നിർമ്മിക്കുന്നു (ചിത്രം 3.39). ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതി കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ അതിനെ പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിലേക്ക് ഘടിപ്പിക്കുന്നു. ആവശ്യമെങ്കിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ചില പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x=1 പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ ക്വാഡ് y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

അതിനാൽ, കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ \ഇടത്(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\വലത്)\!,~\ഇടത്(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\വലത്ത്- ദീർഘവൃത്തത്തിൽ പെടുന്നു.

കംപ്രഷൻ അനുപാതം കണക്കാക്കുന്നു k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ഫോക്കൽ ദൂരം 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ഉത്കേന്ദ്രത e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ഫോക്കൽ പാരാമീറ്റർ p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ഞങ്ങൾ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുന്നു: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ Javascript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ, നിങ്ങൾ ActiveX നിയന്ത്രണങ്ങൾ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കണം!