എപ്പോൾ സമവാക്യ വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കാം. പാഠം "സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യത വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നു

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ വിഷയം ഒരു സ്കൂൾ പ്രഭാഷണത്തോടെ ആരംഭിക്കുന്നു, അത് ഒരു ഹ്യൂറിസ്റ്റിക് സംഭാഷണത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. പ്ലാൻ അനുസരിച്ച് എല്ലാ സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയലും ഉദാഹരണങ്ങളും പ്രഭാഷണം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു:

• ഏറ്റവും ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.
• ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ.
• ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇനിപ്പറയുന്ന പാഠങ്ങളിൽ, അധ്യാപകനും വിദ്യാർത്ഥിയും തമ്മിലുള്ള സംയുക്ത പ്രവർത്തന തത്വത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സ്വതന്ത്ര നൈപുണ്യ വികസനം ആരംഭിക്കുന്നു. ആദ്യം, വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ലക്ഷ്യങ്ങൾ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. സ്റ്റേറ്റ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് അനുസരിച്ച് ആവശ്യമുള്ളതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ അറിയാൻ ആർക്കാണ് താൽപ്പര്യമെന്നും കൂടുതൽ ചെയ്യാൻ തയ്യാറാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

"3" ഗ്രേഡ് ലഭിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അറിവ് ബോധപൂർവ്വം നിർണ്ണയിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ അനുവദിക്കുന്ന ലെവൽ വ്യത്യാസം കണക്കിലെടുത്താണ് അന്തിമ രോഗനിർണയം സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. ഇതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ മൾട്ടി ലെവൽ മെറ്റീരിയലുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ബോധപൂർവമായ പഠന പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഏവരും ഉൾപ്പെടെ, സ്വയം-ഓർഗനൈസേഷൻ, സ്വയം-പഠന കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കൽ, സജീവവും സ്വതന്ത്രവുമായ ചിന്തയിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ഉറപ്പാക്കൽ എന്നിവയടക്കം വിദ്യാർത്ഥികളോട് ഒരു വ്യക്തിഗത സമീപനം അത്തരം ജോലി അനുവദിക്കുന്നു.

ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന കഴിവുകൾ പരിശീലിച്ച ശേഷമാണ് സെമിനാർ നടത്തുന്നത്. സെമിനാറിന് മുമ്പ് നിരവധി പാഠങ്ങൾ, സെമിനാറിൽ ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് നൽകുന്നു.

സെമിനാറിൽ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളാണുള്ളത്.

1. സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആമുഖം ഉൾപ്പെടെ എല്ലാ സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കളും ആമുഖ ഭാഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

2. രണ്ടാം ഭാഗം ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ചർച്ച ചെയ്യുന്നു:

• ഒപ്പം cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ബിരുദം കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹരിക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ യൂണിവേഴ്സൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ, ഡിഗ്രി റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ, ഓക്സിലറി ആർഗ്യുമെൻ്റ് രീതി എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

3. മൂന്നാം ഭാഗം റൂട്ട് നഷ്ടം, ഏറ്റെടുക്കൽ പ്രശ്നങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു പുറമെയുള്ള വേരുകൾ. വേരുകൾ എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാമെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

വിദ്യാർത്ഥികൾ ഗ്രൂപ്പുകളായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മെറ്റീരിയൽ കാണിക്കാനും വിശദീകരിക്കാനും കഴിയുന്ന നന്നായി പരിശീലനം ലഭിച്ച ആൺകുട്ടികളെ വിളിക്കുന്നു.

നന്നായി തയ്യാറെടുക്കുന്ന ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് വേണ്ടിയാണ് സെമിനാർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, കാരണം... ഇത് പ്രോഗ്രാം മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പരിധിക്കപ്പുറമുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളെ അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നു. അതിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ നേരിടുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

10–11 ക്ലാസുകളിലെ വിദ്യാർഥികൾക്കായി സെമിനാർ നടത്തി. ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിക്കും ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് വികസിപ്പിക്കാനും ആഴത്തിലാക്കാനും അവരുടെ അറിവിൻ്റെ നിലവാരം ഒരു സ്കൂൾ ബിരുദധാരിയുടെ ആവശ്യകതകളുമായി മാത്രമല്ല, VUZ- ​​ൽ പ്രവേശിക്കുന്നവരുടെ ആവശ്യകതകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാനും അവസരമുണ്ട്.

സെമിനാർ

വിഷയം:"ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു"

ലക്ഷ്യങ്ങൾ:

• എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അറിവ് സാമാന്യവൽക്കരിക്കുക.
• പ്രശ്നങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക: വേരുകളുടെ നഷ്ടം; പുറമെയുള്ള വേരുകൾ; റൂട്ട് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ.

I. ആമുഖ ഭാഗം

1. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന രീതികൾ

• ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ.
• ഒരു പുതിയ വേരിയബിളിൻ്റെ ആമുഖം.
• ഫങ്ഷണൽ-ഗ്രാഫിക് രീതി.

2. ചില തരം ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ.

• cos x = t, sin x = t എന്നിവയ്ക്കുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

അസിൻ 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് അവ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

• ഒന്നും രണ്ടും ഡിഗ്രിയിലെ ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ

ഒന്നാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം: Asinx + Bcosx = 0 cos x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് Atg x + B = 0 ലഭിക്കും

രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യം: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 കോസ് 2 x കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് Atg 2 x + Btgx + C = 0 ലഭിക്കും

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ വഴിയും ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെയും അവ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

എല്ലാ രീതികളും ബാധകമാണ്.

• തരംതാഴ്ത്തുക:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിച്ചു.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

t = sinx + cosx എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ചതുരത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു; sin2x = t 2 - 1.

3. ഫോർമുലകൾ.

x + 2n; പരിശോധന ആവശ്യമാണ്!

• ഡിഗ്രി കുറയുന്നു: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• സഹായ വാദ രീതി.

നമുക്ക് Acosx + Bsinx പകരം Csin (x + ), ഇവിടെ sin = a/C; cos=v/c;

- സഹായ വാദം.

4. നിയമങ്ങൾ.

• നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം കാണുകയാണെങ്കിൽ, ഡിഗ്രി താഴ്ത്തുക.
• നിങ്ങൾ ഒരു കഷണം കണ്ടാൽ, ഒരു തുക ഉണ്ടാക്കുക.
• തുക കണ്ടാൽ പണി ചെയ്യുക.

5. വേരുകളുടെ നഷ്ടം, അധിക വേരുകൾ.

• വേരുകളുടെ നഷ്ടം: g(x) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക; അപകടകരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (സാർവത്രിക പകരക്കാരൻ). ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുക്കുന്നു.

• അധിക വേരുകൾ: ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി; g(x) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കുക). ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി വികസിപ്പിക്കുന്നു.

II. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. Asinx + Bcosx = C എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ

1) യൂണിവേഴ്സൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ.O.D.Z. x - ഏതെങ്കിലും.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = യു. x/2 + n;

u = – 1/3.

ടാൻ x = –1/3, x = ആർക്റ്റാൻ (–1/3) + k, k Z.

പരീക്ഷ: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആണ്.

ഉത്തരം: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) ഫങ്ഷണൽ-ഗ്രാഫിക് രീതി. ഒ.ഡി.ഇസഡ്. x - ഏതെങ്കിലും.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം: y = sinx, y = cosx + 1.

ഉത്തരം: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) ഒരു സഹായ വാദത്തിൻ്റെ ആമുഖം. O.D.Z.: x – ഏതെങ്കിലും.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, കാരണം (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, അപ്പോൾ പാപം = 8/17,

cos = 15/17, അതായത് sin cosx + sinx cos = 1; = ആർക്‌സിൻ 8/17.

ഉത്തരം: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നു: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x - ഏതെങ്കിലും.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x (cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

ഉത്തരം: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ചെയ്തത്

k = 1, m = 0 k = 4, m = 1.

പരമ്പരകൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

3. ഏകതാനതയിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x - ഏതെങ്കിലും.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) എന്നത് cos 2 x കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം നമുക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടും.
cos 2 x = 0 സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

ഉത്തരം: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – ഏതെങ്കിലും.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | ടി | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = എസ്. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k ആർക്‌സിൻ(1/2 O 2) + k, k Z.

ഉത്തരം: x = (–1) k ആർക്സിൻ(1/22) – /4 + k, k Z.

5. ഫാക്ടറൈസേഷൻ.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, വേരുകളില്ല.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

ഉത്തരം: x = ആർക്റ്റാൻ(1/2) + n, n Z.

III. ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ

1. വേരുകളുടെ നഷ്ടം: g(x) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക; ഞങ്ങൾ അപകടകരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

1) പിശക് കണ്ടെത്തുക.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 - cosx = 2sin 2 x/2 ഫോർമുല.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 2 sin 2 x/2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
നഷ്ടപ്പെട്ട വേരുകൾ sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

ശരിയായ പരിഹാരം: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

പാപം 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. ബാഹ്യമായ വേരുകൾ: ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കുന്നു; തുല്യ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx - 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 പാപം 2/3 = 3/2 തൃപ്തിപ്പെടുത്തരുത്. ഒ.ഡി.ഇസഡ്. 2. n = 1 പാപം 2= 0 O.D.Z തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക. 3. n = 2 പാപം 2/ 3 = –3 / 2 O.D.Z തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 പാപം 2/6 = 3/2 O.D.Z തൃപ്തിപ്പെടുത്തരുത്. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3/2 O.D.Z തൃപ്തിപ്പെടുത്തുക.

ഉത്തരം: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

അവസാന പാഠത്തിൽ, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.

ആദ്യ ഘട്ടം സാങ്കേതികമാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ശൃംഖല ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായ ഒന്നിലേക്ക് എത്തിച്ചേരുന്നു, അത് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം പരിഹാര വിശകലനമാണ്. ഞങ്ങൾ നടത്തിയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുകയും അവ തുല്യമാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

മൂന്നാം ഘട്ടം പരിശോധനയാണ്. ഒരു പരിണത സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാവുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ വേരുകളും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി അവയെ പരിശോധിക്കുന്നത് നിർബന്ധമാണ്.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും മൂന്ന് ഘട്ടങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നത് ആവശ്യമാണോ?

തീർച്ചയായും ഇല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ. IN ദൈനംദിന ജീവിതംഅവർ സാധാരണയായി ഒറ്റപ്പെട്ടവരല്ല. എന്നാൽ ഈ ഘട്ടങ്ങളെല്ലാം "മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കുകയും" ഒരു രൂപത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്നിൽ നടപ്പിലാക്കുകയും വേണം. പരിവർത്തനങ്ങളുടെ തുല്യത വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടത് അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്. ഒരു പരിശോധന നടത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് വിശകലനം കാണിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് നിർബന്ധമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യം ശരിയായി പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കാനാവില്ല.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ മാത്രം പരിശോധിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ?

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സ്ഥിരീകരണം ആവശ്യമില്ല. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ODZ (അനുവദനീയമായ മൂല്യ ശ്രേണി) പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു, ODZ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണെങ്കിൽ, അത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

വ്യായാമം 1

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക സ്ക്വയർ റൂട്ട്രണ്ട് x പ്ലസ് ത്രീ എന്നത് ഒന്ന് പ്ലസ് x ന് തുല്യമാണ്.

പരിഹാരം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്: രണ്ട് x പ്ലസ് ത്രീ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്, ഒന്ന് പ്ലസ് x പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്. പരിഹാരം മൈനസ് ഒന്നിനേക്കാൾ x വലുതോ തുല്യമോ ആണ്.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കാം, പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുക, സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരിക, നമുക്ക് ലഭിക്കും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x സമചതുരം രണ്ട്. അതിൻ്റെ വേരുകൾ

x ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് തുല്യമാണ്.

പരീക്ഷ

x ആദ്യത്തിൻ്റെ മൂല്യം രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടാണ്.
x സെക്കൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം മൈനസിന് തുല്യമാണ് രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ല, കാരണം ഇത് DZ-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
x എന്ന റൂട്ട് രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് പരിശോധിക്കാം, അത് യഥാർത്ഥ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

സമത്വം ശരിയാണ്, അതായത് x എന്നത് രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: രണ്ടിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം.

ടാസ്ക് 2

x മൈനസ് എട്ട്, അഞ്ച് മൈനസ് x ൻ്റെ സമവാക്യ വർഗ്ഗമൂല്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം

യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് രണ്ട് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്: x മൈനസ് എട്ട് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്, അഞ്ച് മൈനസ് x പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്. അത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ സംവിധാനത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളൊന്നും ആയിരിക്കരുത്.

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

ടാസ്ക് 3

x ക്യൂബ്ഡ് പ്ലസ് നാല് x മൈനസ് ഒന്ന് മൈനസ് എട്ട് എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം പരിഹരിക്കുക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരുകൾ x മുതൽ നാലാമത്തെ പവർ മൈനസ് x വരെയുള്ളത് x ക്യൂബ്ഡ് മൈനസ് വണ്ണിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് തുല്യമാണ്, x ൻ്റെ രണ്ട് വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും.

പരിഹാരം

ഈ സമവാക്യത്തിൽ ODZ കണ്ടെത്തുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

നമുക്ക് പരിവർത്തനം നടത്താം: ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുക,

എല്ലാ നിബന്ധനകളും നീക്കുക ഇടത് വശംസമവാക്യങ്ങളും സമാന പദങ്ങളും കൊണ്ടുവരിക, ഒന്നിന് കീഴിൽ രണ്ട് വേരുകൾ എഴുതുക, സമാനമായ റാഡിക്കലുകൾ നേടുക, സമാനമായവ കൊണ്ടുവരിക, മൈനസ് 12 എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, കൂടാതെ സമൂലമായ പദപ്രയോഗം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അത് പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

x ആദ്യത്തേത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, x സെക്കൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയതിനാൽ, വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നത് നിർബന്ധമാണ്.

പരീക്ഷ

x ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ

നമുക്ക് ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് x സമം ഒന്ന് എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

x പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, മൈനസ് ഒന്നിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല.

ഇതിനർത്ഥം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ x ഒരു അധിക മൂലമാണ്.

ഉത്തരം: ഒന്ന്.

ടാസ്ക് 4

എക്‌സ്‌പ്രഷൻ x സ്‌ക്വയർ പ്ലസ് ഫൈവ് x പ്ലസ് ടു ബേസ് രണ്ട് തുല്യമായ മൂന്ന് എന്നതിൻ്റെ സമവാക്യ ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം

നമുക്ക് ODZ സമവാക്യം കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു x സ്ക്വയർ പ്ലസ് അഞ്ച് x പ്ലസ് ടു പൂജ്യം.

ഇടവേള രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഇടത് വശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുന്നു, മുമ്പ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു, അസമത്വ ചിഹ്നം കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ODZ എന്നത് മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ മൈനസ് ഫ്രാക്ഷൻ അഞ്ച് വരെയുള്ള ഓപ്പൺ കിരണങ്ങളുടെ യൂണിയൻ പ്ലസ് പതിനേഴിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തെ രണ്ടായി ഹരിച്ചാൽ തുല്യമാണ്

ഇനി നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ തുടങ്ങാം. മൂന്ന് എന്നത് എട്ട് മുതൽ ബേസ് രണ്ട് വരെയുള്ള ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു: എക്സ്പ്രഷൻ x സ്ക്വയർ പ്ലസ് അഞ്ച് x പ്ലസ് ടു ബേസ് രണ്ട് വരെയുള്ള ലോഗരിതം എട്ട് മുതൽ അടിസ്ഥാന രണ്ട് വരെയുള്ള ലോഗരിതം തുല്യമാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യം ശക്തമാക്കാം, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാം, പരിഹരിക്കാം.

വിവേചനക്കാരൻ നാൽപ്പത്തി ഒമ്പത്.

വേരുകൾ കണക്കാക്കുക:

x ആദ്യത്തേത് മൈനസ് ആറിന് തുല്യമാണ്; x സെക്കൻഡ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

പരീക്ഷ

മൈനസ് ആറ് ODZ-ൻ്റേതാണ്, ഒന്ന് ODZ-ൻ്റേതാണ്, അതായത് രണ്ട് സംഖ്യകളും സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം: മൈനസ് ആറ്; ഒന്ന്.

അവസാന പാഠത്തിൽ, ബാഹ്യ വേരുകളുടെ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. പരിശോധനയിലൂടെ നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താനാകും. ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാൻ കഴിയുമോ, ഇത് എങ്ങനെ തടയാം?

ഒരു സമവാക്യത്തിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x-ൽ നിന്ന് ഒരേ എക്സ്പ്രഷൻ കോടാലി കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (x-ൽ നിന്നുള്ള കോടാലി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് ഉറപ്പായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഒഴികെ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ) ;

രണ്ടാമതായി, പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD ചുരുക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിന് ഇടയാക്കും.

ഓർക്കുക!

എന്നെഴുതിയ സമവാക്യം

x-ൽ നിന്ന് x-ൽ നിന്ന് ചാരം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ x-ൽ നിന്നുള്ള zhe-യ്ക്ക് തുല്യമാണ് x-ൽ നിന്നുള്ള ചാരം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ:

സാധാരണ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് മാറ്റി നിങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്;

തുടർന്ന്, ഓരോ ഘടകത്തെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക, അതുവഴി രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ഞങ്ങൾ അവയുടെ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നു.

വ്യായാമം 1

x ക്യൂബ് സമം x എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ആദ്യ വഴി

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് x ചതുരം തുല്യം ഒന്ന് ലഭിക്കും, വേരുകൾ x ആദ്യം തുല്യം ഒന്ന്,

x സെക്കൻഡ് മൈനസ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ വഴി

X ക്യൂബ് X തുല്യമാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് x നീക്കാം, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എടുക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x x കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ x മൈനസ് ഒന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം:

X ആദ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, x സെക്കൻഡ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, x മൂന്നാമത്തേത് മൈനസ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ട്.

ആദ്യ രീതി പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു റൂട്ട് നഷ്ടപ്പെട്ടു - x പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം: മൈനസ് ഒന്ന്; പൂജ്യം; ഒന്ന്.

ഓർക്കുക! അജ്ഞാതമായത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും കുറയ്ക്കുന്നത് വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിന് കാരണമാകും.

ടാസ്ക് 2

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x ചതുരത്തിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം രണ്ടിന് തുല്യമാണ്.

പരിഹാരം

ആദ്യ വഴി

ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x സ്ക്വയർ തുല്യമായ നൂറ് ലഭിക്കും.

അതിൻ്റെ വേരുകൾ: x ആദ്യം പത്തിന് തുല്യം; X സെക്കൻഡ് മൈനസ് പത്തിന് തുല്യമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ വഴി

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണനമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് രണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം x തുല്യമാണ്.

അതിൻ്റെ റൂട്ട് - x പത്തിന് തുല്യമാണ്

രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, റൂട്ട് x മൈനസ് പത്തിന് തുല്യമാണ്. കാരണം, അവർ തെറ്റായ ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചു, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി ചുരുക്കി. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ x ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ x നും x സ്ക്വയറിൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം പദപ്രയോഗം നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു. x ൻ്റെ ദശാംശ ലോഗരിതം എന്ന പദപ്രയോഗം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് x. ദശാംശ ലോഗരിതം x ചതുരത്തിൻ്റെ ശരിയായ ഫോർമുല രണ്ടിന് തുല്യമാണ് ദശാംശ ലോഗരിതംമൊഡ്യൂൾ x.

ഓർക്കുക! ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ലഭ്യമായ ഫോർമുലകൾ വിവേകത്തോടെ ഉപയോഗിക്കുക.

§ 1. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നഷ്ടപ്പെട്ടതും വേർതിരിച്ചതുമായ വേരുകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്)

റഫറൻസ് മെറ്റീരിയൽ

1. അദ്ധ്യായം VII ൻ്റെ § 3 ലെ രണ്ട് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളിലെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അവയുടെ തുല്യത ലംഘിക്കുന്നില്ല എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിച്ചു.

2. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു പുതിയ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലെ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം. പൊതുവായ പരിഗണനകൾക്ക് പകരം, നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും.

3. ഉദാഹരണം 1. ഒരു സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഈ സമവാക്യത്തിലെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക, എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത് വശത്തേക്ക് നീക്കി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. അതിൻ്റെ വേരുകൾ

നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു പൊതു ഘടകം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും, കാരണം അതിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ.

അങ്ങനെ, അജ്ഞാതമായത് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും കുറയ്ക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിന് ഇടയാക്കും.

4. ഉദാഹരണം 2. ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും.

പുതിയ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, രണ്ട് വശങ്ങളും സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടാണ് റൂട്ട്.

5. x ൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഈ ഘടകം അപ്രത്യക്ഷമാകുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും അജ്ഞാതമായ ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

ഉദാഹരണം 3. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ഒരു പുതിയ സമവാക്യം ലഭിക്കും, അത് പദത്തെ വലത് വശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുകയും അതിനെ ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്‌ത ശേഷം, ഒന്നിൽ നിന്നും ഒരു സമവാക്യം നൽകുന്നു.

ഒരു റൂട്ട് മാത്രമുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തെ റൂട്ട് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിക്കുമ്പോൾ (പൊതുവേ ഒരു ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക്), അതുപോലെ ഒരു അജ്ഞാത അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അജ്ഞാതമായതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുമ്പോൾ, ബാഹ്യമായ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ബാഹ്യമായ വേരുകളുടെ നഷ്‌ടത്തിൻ്റെയും രൂപത്തിൻ്റെയും പ്രശ്‌നത്തിൽ ഇവിടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന എല്ലാ പരിഗണനകളും ഏത് സമവാക്യങ്ങൾക്കും (ബീജഗണിതം, ത്രികോണമിതി മുതലായവ) തുല്യമായി ബാധകമാണ്.

6. ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ അജ്ഞാതമായവയിൽ മാത്രം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തെ ബീജഗണിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു - സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം (അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്).

അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യങ്ങൾ

ബീജഗണിതവും സമവാക്യങ്ങളുമാണ്

പല്ലുകൾ. കശേരുക്കളുടെ പല്ലുകൾ സ്രാവ് മത്സ്യത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ചർമ്മത്തെയും മൂടുന്ന പ്ലാക്കോയിഡ് സ്കെയിലുകൾക്ക് ഘടനയിലും വികാസത്തിലും പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്. കാരണം എല്ലാം പല്ലിലെ പോട്, ഭാഗികമായി ശ്വാസനാളത്തിലെ അറയിൽ എക്ടോഡെർമൽ എപിത്തീലിയം, സാധാരണ പ്ലാക്കോയിഡ്... ...

പൾമണറി ട്യൂബർക്കുലോസിസ്- പൾമണറി ട്യൂബർക്കുലോസിസ്. ഉള്ളടക്കം: I. പാത്തോളജിക്കൽ അനാട്ടമി...........110 II. പൾമണറി ട്യൂബർകുലോസിസിൻ്റെ വർഗ്ഗീകരണം.... 124 III. ക്ലിനിക്ക്................................128 IV. ഡയഗ്നോസ്റ്റിക്സ്................................160 V. രോഗനിർണയം.................... .......... 190 VI. ചികിത്സ… ഗ്രേറ്റ് മെഡിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

വിഷബാധ- വിഷബാധ. വിഷബാധ എന്നാൽ "മൃഗങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ തകരാറുകൾ" എന്നാണ്. ജൈവം, ബാഹ്യമായ അല്ലെങ്കിൽ എൻഡോജെനസ്, രാസപരമായി അല്ലെങ്കിൽ ശാരീരികമായി രാസപരമായി ഉണ്ടാകുന്നത് സജീവ ചേരുവകൾ, ഗുണനിലവാരം, അളവ് അല്ലെങ്കിൽ ഏകാഗ്രത എന്നിവയിൽ അന്യമാണ്... ... ഗ്രേറ്റ് മെഡിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

ലെഗ്യൂം നോഡ്യൂൾ ബാക്ടീരിയ- പാലിയൻ്റോളജിക്കൽ ഡാറ്റ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് നോഡ്യൂളുകളുള്ള ഏറ്റവും പുരാതനമായ പയർവർഗ്ഗങ്ങൾ Eucaesalpinioideae ഗ്രൂപ്പിൽ പെട്ട ചില സസ്യങ്ങളായിരുന്നു എന്നാണ്. യു ആധുനിക സ്പീഷീസ്പയർവർഗ്ഗ സസ്യ നോഡ്യൂളുകൾ കണ്ടെത്തി... ബയോളജിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

"Luntik" എന്ന ആനിമേറ്റഡ് പരമ്പരയുടെ എപ്പിസോഡുകളുടെ ലിസ്റ്റ്- ഈ ലേഖനത്തിൽ വിവര സ്രോതസ്സുകളിലേക്കുള്ള ലിങ്കുകൾ ഇല്ല. വിവരങ്ങൾ പരിശോധിക്കാവുന്നതായിരിക്കണം, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് ചോദ്യം ചെയ്യപ്പെടുകയും ഇല്ലാതാക്കുകയും ചെയ്തേക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും... വിക്കിപീഡിയ

സസ്യവും പരിസ്ഥിതിയും- ഒരു ചെടിയുടെ ജീവിതം, മറ്റേതൊരു ജീവജാലത്തെയും പോലെ, പരസ്പരബന്ധിതമായ പ്രക്രിയകളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു കൂട്ടമാണ്; അവയിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത്, അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, മെറ്റബോളിസമാണ് പരിസ്ഥിതി. പരിസ്ഥിതിയാണ് അതിൻ്റെ ഉറവിടം. ബയോളജിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

"Luntik" പരമ്പരയുടെ എപ്പിസോഡുകളുടെ ലിസ്റ്റ്- പ്രധാന ലേഖനം: ദി അഡ്വഞ്ചേഴ്സ് ഓഫ് ലുൻ്റിക്കിൻ്റെയും സുഹൃത്തുക്കളുടെയും ഉള്ളടക്കം 1 എപ്പിസോഡുകളുടെ എണ്ണം 2 ആനിമേറ്റഡ് സീരീസിൻ്റെ എപ്പിസോഡുകളുടെ ലിസ്റ്റ് ലുൻ്റിക്കും അവൻ്റെ സുഹൃത്തുക്കളും ... വിക്കിപീഡിയ

ഫലവൃക്ഷ രോഗങ്ങൾ- ഫലവൃക്ഷങ്ങൾ, നിരന്തരമായ മനുഷ്യ പരിചരണത്തിന് നന്ദി, സംസ്കാരത്തിൻ്റെ തന്നെ പല അവസ്ഥകളുടെയും, അതായത് നമ്മൾ ഉന്നയിച്ച ആവശ്യങ്ങൾക്ക് എതിരായ സ്വാധീനം ഇല്ലെങ്കിൽ, അവരുടെ കൃഷി ചെയ്യാത്ത ബന്ധുക്കളേക്കാൾ വളരെ പ്രായമാകണം.

കാടുവെട്ടൽ- വന വിളവെടുപ്പ്, അല്ലെങ്കിൽ മരത്തിൻ്റെയും പുറംതൊലിയുടെയും രൂപത്തിൽ വന വരുമാനം വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ, രണ്ട് തരത്തിൽ ചെയ്യാം: മരങ്ങൾ മുഴുവൻ കുഴിച്ചോ പിഴുതെറിഞ്ഞോ, അതായത്, വേരുകൾക്കൊപ്പം കടപുഴകി, അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേകം, ഭാഗങ്ങളായി, ആദ്യം വെട്ടിമാറ്റുകയോ നീക്കം ചെയ്യുകയോ ചെയ്യുക. നിന്ന്...... വിജ്ഞാനകോശ നിഘണ്ടുഎഫ്. ബ്രോക്ക്ഹോസും ഐ.എ. എഫ്രോൺ

ഗ്രോഷ്- (പോളീഷ് ഗ്രോസ്, ജർമ്മൻ ഗ്രോഷെനിൽ നിന്ന്, ലാറ്റിൻ ഗ്രോസസ് (dēnārius) "കട്ടിയുള്ള ഡെനാറിയസ്") വിവിധ രാജ്യങ്ങളുടെയും കാലങ്ങളുടെയും നാണയം. ഉള്ളടക്കം 1 ഒരു ചില്ലിക്കാശിൻ്റെ രൂപം ... വിക്കിപീഡിയ

യുഎസ് നാണയങ്ങൾ- 20 ഡോളർ സെൻ്റ് ഗൗഡൻസ് ആണ് ഏറ്റവും മനോഹരവും വിലകൂടിയ നാണയംയുഎസ്എ നാണയങ്ങൾ യുണൈറ്റഡ് സ്റ്റേറ്റ്സ് മിൻ്റ് പുറത്തിറക്കിയ യുഎസ്എ നാണയങ്ങൾ. 1792 മുതൽ നിർമ്മിച്ചത്... വിക്കിപീഡിയ

പുസ്തകങ്ങൾ

• സ്ത്രീകളിലെ മുടി കൊഴിച്ചിലിൻ്റെ പ്രധാന കാരണങ്ങൾ, അലക്സി മിച്ച്മാൻ, പത്തിൽ ആറ് സ്ത്രീകളും അവരുടെ ജീവിതത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ മുടി കൊഴിച്ചിൽ അനുഭവിക്കുന്നു. പാരമ്പര്യം, ഹോർമോൺ മാറ്റങ്ങൾ... വിഭാഗം:

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങൾ

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ അവതരിപ്പിച്ച പട്ടികയിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക, ലോഗരിതം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ശക്തമാക്കുക, രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക തുടങ്ങിയ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മനഃപൂർവം ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല. സമവാക്യം, സ്വതന്ത്രമാക്കൽ ബാഹ്യ പ്രവർത്തനംമറ്റുള്ളവരും. ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ അത്ര പൊതുവായതല്ല എന്നതാണ് വസ്തുത: മുകളിലുള്ള പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഇപ്പോൾ സൂചിപ്പിച്ച പരിവർത്തനങ്ങൾ ചില തരം സമവാക്യങ്ങൾ (യുക്തിരഹിതം, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിതം മുതലായവ) പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അനുബന്ധ തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അനുബന്ധ രീതികളുടെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ അവ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു. അവരുടെ വിശദമായ വിവരണങ്ങളിലേക്കുള്ള ലിങ്കുകൾ ഇതാ:

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.
• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം എടുക്കൽ.
• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ശക്തമാക്കുന്നു.
• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരേ ശക്തിയുടെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.
• യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ഭാഗത്ത് നിന്നുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലിങ്കുകളിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്ത പരിവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള സമഗ്രമായ വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇനി അവയിൽ വസിക്കില്ല. എല്ലാ തുടർന്നുള്ള വിവരങ്ങളും അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ബാധകമാണ്.

സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത്?

മുകളിലുള്ള എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും നടപ്പിലാക്കുന്നത് ഒന്നുകിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതേ വേരുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമവാക്യം നൽകാം, എന്നാൽ അതിന് മറ്റ് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം. രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും ഉൾപ്പെടുത്തുക. ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ, ഈ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏതാണ്, ഏത് സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഏത് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് അറിയേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ

തത്തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് കാരണമാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങളാണ് പ്രത്യേക താൽപ്പര്യം, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ വേരുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ, അനുബന്ധ നിർവചനം വ്യക്തമായി നൽകിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ സന്ദർഭത്തിൽ നിന്ന് വായിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

നിർവ്വചനം

സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾതുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളാണ്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ രസകരമാകുന്നത്? അവരുടെ സഹായത്തോടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വളരെ ലളിതമായ തുല്യമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് വരാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ആവശ്യമുള്ള പരിഹാരം നൽകും എന്നതാണ് വസ്തുത.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളിൽ, എല്ലാം എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമല്ല. ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ മാത്രം തുല്യമാണ്. ഏത് പരിവർത്തനങ്ങളും ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യ പരിവർത്തനങ്ങളെന്നും നിർണ്ണയിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് നമുക്ക് ഉണ്ടാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ മുകളിലുള്ള ലിസ്റ്റ് ഒരു അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കും, കൂടാതെ എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമല്ലാത്ത പരിവർത്തനങ്ങളിലേക്ക്, അവയ്ക്ക് തുല്യത നൽകുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ ചേർക്കും. പട്ടിക ഇതാ:

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം സമവാക്യത്തിനായുള്ള വേരിയബിളുകൾ മാറ്റാത്ത ഒരു പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്.

ഇത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, A(x)=B(x) എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു വേരിയബിൾ (പല വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ന്യായവാദം നടത്താം) ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ A( ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. യഥാക്രമം x), B(x), . C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം A(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-മായി യോജിക്കുന്നു. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യം C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഒരു തുല്യ പരിവർത്തനമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം, അതായത്, A(x)=B എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ തെളിയിക്കും. (x), C(x) =B(x) എന്നിവ തുല്യമാണ്.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടാണെന്നും C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് ഒരു റൂട്ടാണെന്നും കാണിച്ചാൽ മതി. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ.

ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ നിന്ന് തുടങ്ങാം. q എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമായിരിക്കട്ടെ, അത് x ന് പകരം നൽകുമ്പോൾ നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q)=B(q) ലഭിക്കും. A(x), C(x) എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരേപോലെ തുല്യമായതിനാൽ C(q) എന്ന പദപ്രയോഗം അർത്ഥവത്താണ് (C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള OD OD യുമായി ഒത്തുപോകുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ഇത് പിന്തുടരുന്നത്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യം), അപ്പോൾ സംഖ്യാ സമത്വം A(q)=C(q) ശരിയാണ്. അടുത്തതായി നമ്മൾ സംഖ്യാ തുല്യതയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമമിതി പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, A(q)=C(q) എന്ന സമത്വം C(q)=A(q) ആയി മാറ്റിയെഴുതാം. അപ്പോൾ, ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, C(q)=A(q), A(q)=B(q) എന്നീ തുല്യതകൾ C(q)=B(q) എന്ന സമത്വത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് q എന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

രണ്ടാം ഭാഗവും അതോടൊപ്പം മുഴുവൻ പ്രസ്താവനയും മൊത്തത്തിൽ തികച്ചും സാമ്യമുള്ള രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

വിശകലനം ചെയ്ത തുല്യമായ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്: സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വെവ്വേറെ പ്രവർത്തിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അവയെ വേരിയബിളുകളുടെ യഥാർത്ഥ ODZ-ൽ സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദാഹരണം: നമുക്ക് x=2+1 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അതിൻ്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഇത് x=3 എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ സമവാക്യത്തിന് കാരണമാകും. തീർച്ചയായും, ഞങ്ങൾ 2+1 എന്ന പദപ്രയോഗത്തെ ഒരേ തുല്യമായ പദപ്രയോഗം 3 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ മാറിയില്ല. മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്ത് – 3·x+ എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കും 6=5·x+ 3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം തീർച്ചയായും തുല്യമാണ്, കാരണം ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ ഒരേപോലെ തുല്യമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി, അതേ സമയം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് OD യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന OD ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചു.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ സംഖ്യ ചേർക്കുന്നത് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ സംഖ്യ c ചേർക്കുന്നത് A(x)+c=B(x)+c എന്ന തുല്യ സമവാക്യവും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും കുറയ്ക്കുന്നതും തുല്യമായ സമവാക്യവും നൽകുമെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഒരേ സംഖ്യയുടെ A(x) =B(x) A(x)−c=B(x)−c എന്നതിന് തുല്യമായ സമവാക്യം നൽകുന്നു.

q എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ A(q)=B(q) എന്ന സമത്വം ശരിയാണ്. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ചേർക്കാനോ അതിൻ്റെ ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കാനോ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ സംഖ്യയെ c ആയി സൂചിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ A(q)+c=B(q)+c, A(q)−c=B(q)−c എന്നീ തുല്യതകൾ സാധുവാണ്. ഈ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്ന് q എന്നത് A(x)+c=B(x)+c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെയും A(x)−c=B(x)−c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെയും മൂലമാണ്.

ഇപ്പോൾ തിരികെ. A(x)+c=B(x)+c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെയും A(x)−c=B(x)−c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെയും റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ, തുടർന്ന് A(q)+c=B(q) +c, A (q)−c=B(q)−c . ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വം ഉണ്ടാക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. രണ്ട് വശങ്ങളിലേക്കും ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ചേർക്കുന്നത് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം നൽകുമെന്നും നമുക്കറിയാം. ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായ A(q)+c=B(q)+c യുടെ ഇരുവശത്തുനിന്നും നമുക്ക് c സംഖ്യ കുറയ്ക്കാം, കൂടാതെ A(x)−c=B(x) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും c സംഖ്യ ചേർക്കാം. -സി. ഇത് നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യതകൾ A(q)+c−c=B(q)+c−c, A(q)−c+c=B(q)+c−c എന്നിവ നൽകും, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ A എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു (q) =B(q) . അവസാനത്തെ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് q എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

ഇത് യഥാർത്ഥ പ്രസ്താവനയെ മൊത്തത്തിൽ തെളിയിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് നൽകാം. നമുക്ക് x−3=1 എന്ന സമവാക്യം എടുത്ത്, 3 എന്ന സംഖ്യയെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ചേർത്ത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അതിന് ശേഷം നമുക്ക് x−3+3=1+3 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും, അത് യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമാണ്. ലിസ്റ്റിലെ മുൻ ഇനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തതുപോലെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താൻ കഴിയുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് x=4 എന്ന സമവാക്യം ഉണ്ട്. അതിനാൽ, തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി, ഞങ്ങൾ ആകസ്മികമായി x−3=1 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു, അതിൻ്റെ റൂട്ട് നമ്പർ 4 ആണ്. സമാനമായ സംഖ്യാ പദങ്ങളിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാൻ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു വിവിധ ഭാഗങ്ങൾസമവാക്യങ്ങൾ ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടത്തും അകത്തും വലത് ഭാഗങ്ങൾസമവാക്യം x 2 +1=x+1 ഒരേ പദമുണ്ട് 1, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും നമ്പർ 1 കുറയ്ക്കുന്നത് x 2 +1−1=x+1−1 എന്ന തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്കും തുടർന്ന് തുല്യമായ സമവാക്യം x 2 =x, അതിനാൽ ഈ സമാന പദങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുക.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലാത്ത ഒരു പദപ്രയോഗം തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്.

നമുക്ക് ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാം. അതായത്, A(x)=B(x), A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു, C(x എന്ന പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ODZ A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ എന്നതിനേക്കാൾ ) ഇതിനകം അല്ല.

ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഒരു സഹായ പോയിൻ്റ് തെളിയിക്കുന്നു. നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകളിൽ, പരിവർത്തനത്തിന് മുമ്പും ശേഷവും OD സമവാക്യങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. തീർച്ചയായും, A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ, A(x)=B(x), ODZ എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾക്കായുള്ള ODZ ൻ്റെ വിഭജനമായി കണക്കാക്കാം. C(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് . ഇതിൽ നിന്നും, C(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ODZ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച് ഇടുങ്ങിയതല്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നും, A(x)= എന്ന സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള ODZ എന്നത് പിന്തുടരുന്നു. B(x), A (x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്നിവ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ A(x)=B(x), A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കും, ഇവയ്ക്ക് സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണികൾ നൽകിയാൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്. A(x)=B(x), A(x)−C(x)=B(x)−C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ തെളിവ് ഞങ്ങൾ നൽകില്ല, കാരണം അത് സമാനമാണ്. .

q എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമായിരിക്കട്ടെ, അപ്പോൾ സംഖ്യാ സമത്വം A(q)=B(q) ശരിയാണ്. A(x)=B(x), A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ ODZ ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം x-ൽ അർത്ഥവത്താണ്. =q, അതായത് C(q) എന്നത് ചില സംഖ്യയാണ്. ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായ A(q)=B(q) യുടെ ഇരുവശങ്ങളിലും C(q) ചേർത്താൽ, ഇത് ശരിയായ സംഖ്യാ അസമത്വം A(q)+C(q)=B(q)+C(q) നൽകും. ), അതിൽ നിന്ന് q എന്നത് A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

തിരികെ. A(x)+C(x)=B(x)+C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ, തുടർന്ന് A(q)+C(q)=B(q)+C(q) a ആണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വം. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വം സൃഷ്ടിക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. A(q)+C(q)=B(q)+C(q) എന്ന തുല്യതയുടെ ഇരുവശത്തുനിന്നും C(q) കുറയ്ക്കുക, ഇത് നൽകുന്നു A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)കൂടാതെ A(q)=B(q) . അതിനാൽ, q എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

അങ്ങനെ, പ്രസ്തുത പ്രസ്താവന പൂർണ്ണമായും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഈ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. നമുക്ക് 2 x+1=5 x+2 എന്ന സമവാക്യം എടുക്കാം. നമുക്ക് രണ്ട് വശങ്ങളിലേക്കും ചേർക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, −x−1 എന്ന പദപ്രയോഗം. ഈ പദപ്രയോഗം ചേർക്കുന്നത് ODZ-നെ മാറ്റില്ല, അതായത് അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം തുല്യമാണ്. ഇതിൻ്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് തുല്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(-x−1). ഈ സമവാക്യം കൂടുതൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് അതിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിൽ സമാനമായ പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കുക (ലിസ്റ്റിലെ ആദ്യ ഇനം കാണുക). ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തിയ ശേഷം, നമുക്ക് x=4·x+1 എന്ന തുല്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും. പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം പലപ്പോഴും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്തും വലത്തും ഒരേസമയം ഉള്ള സമാന പദങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

• നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യത്തിലെ ഒരു പദത്തെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, ഈ പദത്തിൻ്റെ ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും.

ഈ പ്രസ്താവന മുമ്പത്തേതിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഈ തുല്യമായ പരിവർത്തനം എങ്ങനെയാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം. നമുക്ക് 3·x−1=2·x+3 എന്ന സമവാക്യം എടുക്കാം. നമുക്ക് പദം നീക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 x വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക്, അതിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുക. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് 3·x−1−2·x=3 എന്ന തുല്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് മൈനസ് ഒന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കാനും അടയാളം പ്ലസ് ആക്കി മാറ്റാനും കഴിയും: 3 x−2 x=3+1. അവസാനമായി, സമാന പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് x=4 എന്ന തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു തെളിവ് നൽകാം.

A(x)=B(x) ചില സമവാക്യങ്ങളും c പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ചില സംഖ്യകളും ആയിരിക്കട്ടെ. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും c എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, A(x)=B(x), A(x) c=B(x) c എന്നീ സമവാക്യങ്ങളും A(x)=B(x), A(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു. :c= B(x):c - തത്തുല്യം. ഇത് ഇങ്ങനെ ചെയ്യാവുന്നതാണ്: A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് A(x) c=B(x) c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും A(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു മൂലവും ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക. :c=B(x) :c , തുടർന്ന് A(x) c=B(x) c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് A(x):c=B(x):c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് പോലെ തെളിയിക്കുക , A(x) =B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ സംഖ്യാ സമത്വം A(q)=B(q) ശരിയാണ്. സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിച്ച ശേഷം, ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യം അല്ലാതെ അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി. A(q)=B(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും c കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q) c=B(q) c ലഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് q എന്നത് A( സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. x) c= B(x)·c . A(q)=B(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും c കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q):c=B(q):c ലഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് q എന്നത് ഇതിൻ്റെ മൂലമാണ്. സമവാക്യം A(x):c =B(x):c .

ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു ദിശയിൽ. A(x) c=B(x) c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ A(q)·c=B(q)·c എന്നത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. അതിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q)·c:c=B(q)·c:c കൂടാതെ A(q)=B(q) ലഭിക്കും. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് q എന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. q ആണെങ്കിൽ A(x):c=B(x):c എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. അപ്പോൾ A(q):c=B(q):c എന്നത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. അതിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q):c·c=B(q):c·c, കൂടുതൽ A(q)=B(q) ലഭിക്കും. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് q എന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

മൊഴി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഈ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിലെ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 12 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ സമവാക്യമാണ് ഫലം , അത് പിന്നീട് 7 x−3=10 എന്ന തുല്യ സമവാക്യമായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷനിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നത്, ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലാത്തതും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD വഴി അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതുമായ OD, തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്.

നമുക്ക് ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, C(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ODZ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ C(x) അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ലെന്നും ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു. A(x)=B( x) , തുടർന്ന് A(x)=B(x), A(x) C(x)=B(x) C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങളും A(x) എന്ന സമവാക്യങ്ങളും =B(x), A( x):C(x)=B(x):C(x) - തത്തുല്യം.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ A(q)=B(q) ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് C(x) എന്ന പദത്തിൻ്റെ ODZ ഒരേ ODZ അല്ല എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന്, x=q ആയിരിക്കുമ്പോൾ C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം C(q) എന്നത് ചില സംഖ്യകളാണെന്നാണ്. കൂടാതെ, C(q) പൂജ്യമല്ല, ഇത് C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. A(q)=B(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ C(q) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഇത് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , അതിൽ നിന്ന് q എന്നത് A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. A(q)=B(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയായ C(q) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, ഇത് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത A(q):C(q)=B(q): C(q) , അതിൽ നിന്ന് q എന്നത് A(x):C(x)=B(x):C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

തിരികെ. A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ A(q)·C(q)=B(q)·C(q) എന്നത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. A(x) C(x)=B(x) C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ പോലെയാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക (ഞങ്ങൾ ഇതിനെ ഒന്നിൽ ന്യായീകരിച്ചു മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകൾ നിലവിലെ പട്ടിക). A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം C(x) അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ, C(q) പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ്. A(q) C(q)=B(q) C(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ C(q) കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കും. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)കൂടാതെ A(q)=B(q) . A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് q എന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. q ആണെങ്കിൽ A(x):C(x)=B(x):C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. അപ്പോൾ A(q):C(q)=B(q):C(q) എന്നത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. A(q):C(q)=B(q):C(q) എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ C(q) കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കും. A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)കൂടാതെ A(q)=B(q) . A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് q എന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

മൊഴി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, വേർപെടുത്തിയ പരിവർത്തനം നടത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും x 2 +1 എന്ന പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള OD-യിൽ x 2 +1 എന്ന പദപ്രയോഗം അപ്രത്യക്ഷമാകാത്തതിനാൽ ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ OD യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ല. ഈ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് തുല്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), ഇത് x 3 =8 എന്ന തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കൂടുതൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം.

പരിണത സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഏതൊക്കെ പരിവർത്തനങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചത്, ഏത് സാഹചര്യങ്ങളിൽ തുല്യമാണ്. ഈ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏതാണ്, ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് കോറോളറി സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കാം, അതായത്, രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക്, എന്നാൽ അവയ്ക്ക് പുറമേ മറ്റ് വേരുകളും ഉണ്ടായിരിക്കാം - യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പുറമെയുള്ള വേരുകൾ.

അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് തത്തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളേക്കാൾ കുറവൊന്നുമില്ല. അവരുടെ സഹായത്തോടെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം നേടാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പരിഹാരവും ബാഹ്യമായ വേരുകളുടെ തുടർന്നുള്ള ഉന്മൂലനവും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നൽകും.

എല്ലാ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളും അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രത്യേക കേസുകളായി കണക്കാക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇത് മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ, കാരണം തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ട് പ്രത്യേക കേസ്അനന്തരഫല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്നാൽ ഒരു പ്രായോഗിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, പരിഗണനയിലുള്ള പരിവർത്തനം കൃത്യമായി തുല്യമാണെന്നും അത് ഒരു സഹജമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നില്ലെന്നും അറിയുന്നത് കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഇത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. പരിവർത്തനം തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാമെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പുറത്തുള്ള വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല. അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനം ബാഹ്യ വേരുകളുടെ രൂപത്തിന് കാരണമാകാം, ഇത് ഭാവിയിൽ ഒരു അധിക പ്രവർത്തനം നടത്താൻ നമ്മെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു - ബാഹ്യ വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. അതിനാൽ, ലേഖനത്തിൻ്റെ ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും, അതിൻ്റെ ഫലമായി യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. പുറമേയുള്ള വേരുകൾ ഫിൽട്ടർ ചെയ്യേണ്ടത് എപ്പോൾ ആവശ്യമാണെന്നും ഇത് ആവശ്യമില്ലാത്തപ്പോഴും വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാൻ അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളെ തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

പരിവർത്തനങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നതിനായി ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ മുഴുവൻ പട്ടികയും വിശകലനം ചെയ്യാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി ബാഹ്യമായ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരേപോലെ തുല്യമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഇത് നടപ്പിലാക്കുന്നത് OD-യെ മാറ്റുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. DL മാറിയാൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? ODZ ൻ്റെ ഇടുങ്ങിയത് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാൻ ഇടയാക്കും, ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുംഅടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ. ODZ ൻ്റെ വികാസത്തോടെ, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. ഇത് ന്യായീകരിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ ന്യായവാദം അവതരിപ്പിക്കാം.

C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം A(x) എന്ന പദത്തിന് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ, C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD, A(x)=B എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ വിശാലമാണ്. (x). C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യം A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണെന്നും C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കിടയിൽ ഉണ്ടാകാമെന്നും നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. A( x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് അന്യമായ വേരുകളാകുക.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ A(q)=B(q) ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ വിശാലമായതിനാൽ, C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം x=q-ൽ നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, C(x), A(x) എന്നീ പദങ്ങളുടെ സമാന സമത്വം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, C(q)=A(q) എന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. C(q)=A(q), A(q)=B(q) എന്നീ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്ന് ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, C(q)=B(q) തുല്യത പിന്തുടരുന്നു. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന്, q എന്നത് C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകളിൽ C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യം A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ വേരുകളുണ്ടാകുമെന്ന് തെളിയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ നിന്നുള്ള C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടുന്ന, C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ് പാത്ത് p. അപ്പോൾ C(p)=B(p) ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ൽ p ഉൾപ്പെടുന്നതിനാൽ, A(x) എന്ന പദപ്രയോഗം x=p ന് നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്നും A(x), C(x) എന്നീ പദങ്ങളുടെ സമാന സമത്വത്തിൽ നിന്നും A(p)=C(p) . A(p)=C(p), C(p)=B(p) എന്നീ തുല്യതകളിൽ നിന്ന്, ട്രാൻസിറ്റിവിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം, A(p)=B(p), അതായത് p എന്നത് മൂലമാണ് സമവാക്യം A(x)= B(x) . A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ നിന്നുള്ള C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും റൂട്ട് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, അവ A(x)=B( എന്ന സമവാക്യത്തിന് പുറമെയുള്ള വേരുകളാണ്. x). എന്നാൽ വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തേക്കാൾ വിശാലമാണ്. കൂടാതെ ഇത് C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ നിലനിൽപ്പിനെ അനുവദിക്കുന്നു, അത് മൂലമായ A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടില്ല. C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതായത്, C(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് അന്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം, അവയെല്ലാം A സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ ഏത് ഗണത്തിൽ പെടും. (x)=B അതിലെ A(x) എന്ന പദപ്രയോഗം C(x) എന്ന തുല്യമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ (x) വിപുലീകരിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ അവയ്ക്ക് തുല്യമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ODZ വികസിക്കുന്നു പൊതുവായ കേസ്ഒരു അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (അതായത്, ഇത് ബാഹ്യമായ വേരുകളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കും) ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രം തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പുറത്തുള്ള വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ).

പാഴ്‌സ് ചെയ്‌ത പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് നൽകാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x·(x−1) എന്ന പദപ്രയോഗം x·(x−1)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ODZ ൻ്റെ വികാസം സംഭവിക്കുന്നു - സംഖ്യ 0 അതിൽ ചേർക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് 0, 1 എന്നീ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, ഈ വേരുകളെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു അധിക മൂലമാണെന്നും 1 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്നും കാണിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമായ പദപ്രയോഗം നൽകുന്നു , പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ ഒന്ന് പകരം വയ്ക്കുന്നത് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത നൽകുന്നു , അത് 0=0 ന് തുല്യമാണ്.

സമാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ സമാനമായ പരിവർത്തനം ശ്രദ്ധിക്കുക (x−1)·(x−2)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക്, അതിൻ്റെ ഫലമായി ODZ വികസിക്കുന്നു, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിക്കുന്നില്ല. തീർച്ചയായും, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളും (x−1)·(x−2)=0 - സംഖ്യകൾ 1 ഉം 2 ഉം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്, പകരം വയ്ക്കുന്നത് പരിശോധിച്ച് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഈ ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്തോ വലത്തോ വശത്തുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം ODZ വികസിപ്പിക്കുന്ന സമാന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ബാഹ്യമായ വേരുകളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കേണ്ടതില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരിക്കൽ കൂടി ഊന്നിപ്പറയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് അവരുടെ രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കും. അതിനാൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലാണ് അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം സംഭവിച്ചതെങ്കിൽ, പുറമെയുള്ള വേരുകൾ തിരിച്ചറിയുന്നതിനും ഫിൽട്ടർ ചെയ്യുന്നതിനും ഒരു പരിശോധന നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, ODZ സമവാക്യം വികസിക്കുകയും പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയും ചെയ്യാം, കാരണം സമാന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ പൂജ്യം അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത അടയാളങ്ങൾ, ഒന്നോ അതിലധികമോ പൂജ്യം ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത്, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ കുറവ്, വേരുകൾ, ശക്തികൾ, ലോഗരിതം മുതലായവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ കാരണം.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ സംഖ്യ ചേർക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നു.

ഈ പരിവർത്തനം എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ കാണിച്ചു, അതായത്, തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. മുന്നോട്ടുപോകുക.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ പദപ്രയോഗം ചേർക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ പദപ്രയോഗം കുറയ്ക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ ഉള്ള ODZ, രൂപാന്തരപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതായിരിക്കരുത് എന്ന നിബന്ധന ഞങ്ങൾ ചേർത്തു. ഈ അവസ്ഥ ചോദ്യത്തിലെ പരിവർത്തനത്തെ തുല്യമാക്കി. തത്തുല്യ സമവാക്യം ഒരു അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണെന്നും ഒരു പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ തുല്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് അതേക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിനേക്കാൾ പ്രായോഗികമായി കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമാണെന്നും ലേഖനത്തിൻ്റെ ഈ ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയതിന് സമാനമായ വാദങ്ങൾ ഇവിടെയുണ്ട്. പരിവർത്തനം, പക്ഷേ അത് സഹാനുഭൂതി സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന വസ്തുതയുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്ന്.

ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ പദപ്രയോഗം ചേർക്കുന്നതിനോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരേ പദപ്രയോഗം കുറയ്ക്കുന്നതിനോ ഫലമായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകൾക്കും പുറമേ, മറ്റ് ചില വേരുകൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കാൻ കഴിയുമോ? ഇല്ല അവനു പറ്റില്ല. കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതോ കുറയ്ക്കുന്നതോ ആയ പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലെങ്കിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെയോ കുറയ്ക്കലിൻ്റെയോ ഫലമായി ഒരു തുല്യമായ സമവാക്യം ലഭിക്കും. കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതോ കുറയ്ക്കുന്നതോ ആയ പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണെങ്കിൽ, ഇത് വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിന് ഇടയാക്കും, അല്ലാതെ പുറമേയുള്ള വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിലേക്കല്ല. അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ നമ്മൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ സംസാരിക്കും.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു പദത്തെ എതിർവശത്തേക്ക് മാറ്റിയ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഈ പരിവർത്തനം എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ കാരണങ്ങളാൽ, ഒരു സമവാക്യ-പരിണതഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു പരിവർത്തനമായി ഇതിനെ കണക്കാക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ഗുണനമോ വിഭജനമോ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണ് നടത്തുന്നതെങ്കിൽ, ഇത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. അതിനാൽ, വീണ്ടും, ഒരു പരിണത സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന ഒരു പരിവർത്തനമായി അതിനെ കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.

എന്നാൽ ഇവിടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുകയോ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യുന്ന സംഖ്യയുടെ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സംവരണം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വിഭജനത്തിന് ഈ ക്ലോസ് വ്യക്തമാണ് - കൂടെ പ്രാഥമിക ക്ലാസുകൾഞങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കി നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല. എന്തിനാണ് ഗുണനത്തിനുള്ള ഈ നിബന്ധന? സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ എന്ത് ഫലമുണ്ടാകുമെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഒരു പ്രത്യേക സമവാക്യം എടുക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 x+1=x+5. ഇത് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്, അതിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് നമ്പർ 4 ആണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യം എഴുതാം: (2 x+1) 0=(x+5) 0. വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത 0=0 ലഭിക്കും. അതായത്, ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഒരു അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചു, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ എണ്ണം അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ കാരണമായി. മാത്രമല്ല, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ബാഹ്യമായ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള സാധാരണ രീതികൾ അവരുടെ ചുമതലയെ നേരിടുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നടത്തിയ പരിവർത്തനം ഉപയോഗശൂന്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. പരിഗണനയിലുള്ള പരിവർത്തനത്തിനുള്ള ഒരു സാധാരണ സാഹചര്യമാണിത്. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് പോലുള്ള ഒരു പരിവർത്തനം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാത്തത്. അവസാന ഖണ്ഡികയിലെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാത്ത ഈ പരിവർത്തനവും മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളും നമ്മൾ ഇനിയും നോക്കേണ്ടതുണ്ട്.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു. നമുക്ക് അവരെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം. ആദ്യ വ്യവസ്ഥ: ഈ പദപ്രയോഗത്തിനുള്ള OD യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതായിരിക്കരുത്. രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ: ഗുണനമോ വിഭജനമോ നടപ്പിലാക്കുന്ന പദപ്രയോഗം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ അപ്രത്യക്ഷമാകരുത്.

നമുക്ക് ആദ്യ വ്യവസ്ഥ മാറ്റാം, അതായത്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യാൻ ഉദ്ദേശിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ OD യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും, അതിനായി ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തേക്കാൾ ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതായിരിക്കും. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം;

സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി ODZ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ നീക്കം ചെയ്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും?

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഹരിച്ചാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള OD കൊണ്ട് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന ഒരു സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണ്. തീർച്ചയായും, അതിൽ നിന്ന് അക്കങ്ങൾ വീഴും, വിഭജനം നടത്തിയ പദപ്രയോഗത്തെ പൂജ്യമാക്കി മാറ്റും. ഇത് റൂട്ട് നഷ്ടത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ODZ-ൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്ന ഒരേ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നതിനെ കുറിച്ചെന്ത്? A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും C(x) എന്ന പദത്താൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തേക്കാൾ ODZ നെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലെന്നും അത് അപ്രത്യക്ഷമാകുമെന്നും കാണിക്കാം. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ, സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നത്, A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകൾക്കും പുറമേ, ഇതിന് മറ്റ് റൂട്ടുകളും ഉണ്ടാകാം. നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാം, പ്രത്യേകിച്ചും ലേഖനത്തിൻ്റെ ഈ ഖണ്ഡിക സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾക്കായി കൃത്യമായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ല C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം, അത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ അപ്രത്യക്ഷമാകും ) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്ന സമവാക്യം A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണെന്ന് തെളിയിക്കാം.

A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് q ആയിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ A(q)=B(q) ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ തുല്യതയാണ്. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ C(x) എന്ന പദത്തിൻ്റെ ODZ ഇടുങ്ങിയതല്ല എന്നതിനാൽ, C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം x=q-ൽ നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത് C(q) ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്. ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വം ലഭിക്കും, അതിനാൽ, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) എന്നത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വമാണ്. ഇതിനർത്ഥം q എന്നത് A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതൊരു മൂലവും A(x) C(x)=B(x) C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു, അതായത് A(x) എന്ന സമവാക്യം C (x)=B(x)·C(x) എന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ, A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിന് അന്യമായ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അവയെല്ലാം ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യകളാണ്, അത് C(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തെ പൂജ്യമാക്കി മാറ്റുന്നു (C(x) എന്ന പദപ്രയോഗത്തെ പൂജ്യമാക്കി മാറ്റുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളും A(x) C(x)=B എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്. (x) C(x) , കാരണം അവ സൂചിപ്പിച്ച സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത നൽകുന്നു 0=0 ), എന്നാൽ അവ A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളല്ല. A(x)=B(x), A(x)·C(x)=B(x)·C(x) എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ A(x) സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-ൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും തുല്യമായിരിക്കും. )=B (x) , C(x) എന്ന പദപ്രയോഗം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നത് A(x)=B(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിച്ചാൽ, ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലാത്ത ODZ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ODZ-നാൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നത്, പൊതുവേ, ഒരു അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ആണ്, അത് വിദേശ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ ഇടയാക്കും.

വ്യക്തമാക്കാൻ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. നമുക്ക് x+3=4 എന്ന സമവാക്യം എടുക്കാം. അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് നമ്പർ 1 ആണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കാം, അത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ കൊണ്ട് അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, x·(x−1) . ഈ പദപ്രയോഗം x=0, x=1 എന്നിവയിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: 1 ഉം 0 ഉം. പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ട യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു അധിക മൂലമാണ് നമ്പർ 0.

വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാവുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ

ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്നുള്ള ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാൻ ഇടയാക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, x·(x−2)=x−2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പദപ്രയോഗം x−2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ, റൂട്ട് നഷ്ടപ്പെടും. വാസ്തവത്തിൽ, അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, x=1 എന്ന സമവാക്യം ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ലഭിക്കും, അത് നമ്പർ 1 ആണ്, കൂടാതെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് 1 ഉം 2 ഉം രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ, പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുമ്പോൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഈ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതായി മാറുകയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കൂ.

ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാൻ, രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ സൂചിപ്പിച്ച പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ODZ ഇടുങ്ങിയതാണെങ്കിൽ, വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കാമെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. രണ്ടാമതായി, ഈ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണെന്ന് ന്യായീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണെങ്കിൽ, സ്വാഭാവികമായും, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിനായി ODZ ന് പുറത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് പോലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാകാൻ കഴിയില്ല. പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ചു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ ഈ എല്ലാ വേരുകളും നഷ്ടപ്പെടും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഇപ്പോൾ തിരികെ. ഈ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD യേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാണെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. വിപരീത രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഈ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടു, എന്നാൽ ODZ ഇടുങ്ങിയതല്ല എന്ന അനുമാനം, മുൻ ഖണ്ഡികകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവനകൾക്ക് വിരുദ്ധമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രസ്താവനകളിൽ നിന്ന്, സൂചിപ്പിച്ച പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ODZ ഇടുങ്ങിയില്ലെങ്കിൽ, തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങളോ അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളോ ലഭിക്കും, അതായത് വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കില്ല എന്നാണ്.

അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാനുള്ള കാരണം ODZ ൻ്റെ സങ്കോചമാണ്. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടരുതെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇവിടെ, സ്വാഭാവികമായും, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യണം?" അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ഉത്തരം നൽകും. വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാവുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശദമായി കാണുന്നതിന് സമവാക്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പട്ടികയിലൂടെ നമുക്ക് പോകാം.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങളിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരേപോലെ തുല്യമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്തോട്ടോ വലത്തോട്ടോ ഉള്ള പദപ്രയോഗത്തെ ഒരേപോലെ തുല്യമായ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ OD-യെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയ OD, ഇത് OD-യുടെ സങ്കോചത്തിലേക്ക് നയിക്കും, ഇക്കാരണത്താൽ, വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടേക്കാം. മിക്കപ്പോഴും, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് വശത്തുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരേപോലെ തുല്യമായ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഇത് വേരുകൾ, ശക്തികൾ, ലോഗരിതങ്ങൾ, ചിലത് എന്നിവയുടെ ചില സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നടത്തുന്നത്. ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം ഒരേ തുല്യമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ODZ നെ ചുരുക്കുകയും റൂട്ട് −16 നഷ്ടപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു. അതുപോലെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം ഒരേപോലെ തുല്യമായ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ-നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഇത് റൂട്ട് −3 നഷ്ടപ്പെടുന്നതിന് കാരണമാകുന്നു.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ സംഖ്യ ചേർക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരേ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നു.

ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, ഇത് നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാൻ കഴിയില്ല.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ഒരേ പദപ്രയോഗം ചേർക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരേ പദപ്രയോഗം കുറയ്ക്കുന്നു.

ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിന് OD നെക്കാൾ ഇടുങ്ങിയ OD ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾ ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് OD യുടെ സങ്കോചത്തിനും അനന്തരഫലമായി, വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നതിനും ഇടയാക്കും. ഇത് മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റെക്കോർഡിംഗിൽ നിലവിലുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾ ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ സാധാരണയായി അവലംബിക്കേണ്ടത് ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, ഇത് ODZ- ൽ ഒരു മാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കില്ല, വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല.

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു പദത്തെ എതിർവശത്തേക്ക് മാറ്റിയ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഈ പരിവർത്തനം തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, അത് നടപ്പിലാക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക.

ഈ പരിവർത്തനവും തുല്യമാണ്, അതുമൂലം വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കുന്നില്ല.

• ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്യുക.

ഈ പരിവർത്തനം രണ്ട് സന്ദർഭങ്ങളിൽ OD യുടെ സങ്കോചത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം: ഗുണനമോ വിഭജനമോ നടപ്പിലാക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ OD യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതാകുമ്പോൾ, വിഭജനം ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ നടപ്പിലാക്കുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് OD-ൽ പൂജ്യം. പ്രായോഗികമായി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഇടുങ്ങിയ VA ഉള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിനും ഹരിക്കുന്നതിനും സാധാരണയായി അവലംബിക്കേണ്ടതില്ല. എന്നാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് പൂജ്യമായി മാറുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ നിങ്ങൾ വിഭജനം കൈകാര്യം ചെയ്യണം. അത്തരം വിഭജന സമയത്ത് വേരുകളുടെ നഷ്ടം നേരിടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതിയുണ്ട്, ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ അടുത്ത ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും.

റൂട്ട് നഷ്ടം എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം?

സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് നിങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുകയും അതേ സമയം ODZ ൻ്റെ സങ്കോചം അനുവദിക്കാതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, വേരുകളുടെ നഷ്ടം സംഭവിക്കില്ല.

സമവാക്യങ്ങളുടെ മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളൊന്നും നടത്താൻ കഴിയില്ലെന്നാണോ ഇതിനർത്ഥം? ഇല്ല, അതിനർത്ഥമില്ല. നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മറ്റെന്തെങ്കിലും പരിവർത്തനം കൊണ്ടുവന്ന് അത് പൂർണ്ണമായി വിവരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, അത് എപ്പോൾ തുല്യ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, എപ്പോൾ അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക്, എപ്പോൾ വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിന് കാരണമാകുമെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുക, അത് നന്നായി സ്വീകരിക്കാവുന്നതാണ്.

ഡിപിഡിയെ ഇടുങ്ങിയതാക്കുന്ന പരിഷ്കാരങ്ങൾ നാം പൂർണ്ണമായും ഉപേക്ഷിക്കണമോ? അത് ചെയ്യാൻ പാടില്ല. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി ODZ-ൽ നിന്ന് പരിമിതമായ സംഖ്യകൾ വീഴുന്ന നിങ്ങളുടെ ആയുധ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ സൂക്ഷിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. എന്തുകൊണ്ട് അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കരുത്? കാരണം അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ റൂട്ട് നഷ്ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ ഒരു രീതിയുണ്ട്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അവയ്ക്കിടയിൽ ഉണ്ടോ എന്നറിയാൻ ODZ-ൽ നിന്ന് വീഴുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിശോധന ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഈ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം. അവയിൽ, പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം നൽകുന്നവയാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ. അവ ഉത്തരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു പരിശോധനയ്ക്ക് ശേഷം, നിങ്ങളുടെ വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടുമെന്ന ഭയമില്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി ആസൂത്രണം ചെയ്ത പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ നിരവധി സംഖ്യകളായി ചുരുക്കുന്ന ഒരു സാധാരണ പരിവർത്തനം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരേ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എന്നതാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി ODZ-ൽ നിന്ന് നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. ഈ പരിവർത്തനമാണ് പരിഹാര രീതിയുടെ അടിസ്ഥാനം പരസ്പര സമവാക്യങ്ങൾ. എന്നാൽ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം.

ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കാൻ, നിങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 1+x കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ അത്തരമൊരു വിഭജനത്തിൽ, റൂട്ടിൻ്റെ നഷ്ടം സംഭവിക്കാം, കാരണം 1+x എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ODZ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-നേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതല്ലെങ്കിലും, 1+x എന്ന പദപ്രയോഗം x=−1-ലും ഈ സംഖ്യയിലും പൂജ്യമായി മാറുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായുള്ള ODZ ൻ്റെതാണ്. ഇതിനർത്ഥം −1 എന്ന റൂട്ട് നഷ്ടപ്പെട്ടേക്കാം എന്നാണ്. ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ നഷ്ടം ഇല്ലാതാക്കാൻ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് −1 ആണോ എന്ന് നിങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിശോധിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് −1 പകരം വയ്ക്കുകയും നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് തുല്യതയാണ് ലഭിക്കുകയെന്ന് നോക്കുകയും ചെയ്യാം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പകരം വയ്ക്കുന്നത് തുല്യത നൽകുന്നു, അത് 4=0 ന് തുല്യമാണ്. ഈ സമത്വം തെറ്റാണ്, അതായത് −1 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമല്ല. അത്തരമൊരു പരിശോധനയ്ക്ക് ശേഷം, വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടുമെന്ന ഭയമില്ലാതെ, നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ഉദ്ദേശിച്ച വിഭജനം 1 + x കൊണ്ട് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും.

ഈ ഖണ്ഡികയുടെ അവസാനം, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി തിരിയാം. ഐഡൻ്റിറ്റികളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിവർത്തനം ODZ ൻ്റെ സങ്കോചത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, ഇത് വേരുകളുടെ നഷ്ടത്തിന് കാരണമാകുന്നു. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ വേരുകൾ നഷ്‌ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ, DZ നെ ചുരുക്കുന്ന പരിഷ്‌കാരങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. ഇതിനർത്ഥം ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടണം എന്നാണ്. എന്നാൽ നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ഐഡൻ്റിറ്റികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലല്ലാത്ത പരിവർത്തനങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കാൻ സാധിക്കും , അതുകൊണ്ടാണ് ODZ ഇടുങ്ങിയത്, കൂടാതെ ഐഡൻ്റിറ്റികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലും . നിന്നുള്ള പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി യഥാർത്ഥ സമവാക്യങ്ങൾഒപ്പം സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും ODZ ൻ്റെ സങ്കോചം ഇല്ല, അതിനർത്ഥം വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടില്ല എന്നാണ്.

എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഒരേപോലെ തുല്യമായ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഒരേപോലെ തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവം ഉറപ്പാക്കണമെന്ന് ഇവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, Eq ൽ. x+3 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് പകരം ഇടത് വശത്തെ രൂപഭാവം ലളിതമാക്കുന്നതിന് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. x+3 എന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഒരേപോലെ തുല്യമല്ലാത്തതിനാൽ, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ x+3-ൽ യോജിക്കുന്നില്ല<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

ഉപയോഗിക്കാൻ പാടില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ

ഈ ലേഖനത്തിൽ പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ സാധാരണയായി പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്ക് മതിയാകും. അതായത്, മറ്റെന്തെങ്കിലും പരിവർത്തനങ്ങളുമായി വരുന്നതിൽ നിങ്ങൾ വളരെയധികം വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല, ഇതിനകം തെളിയിക്കപ്പെട്ടവയുടെ ശരിയായ ഉപയോഗത്തിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

സാഹിത്യം

1. മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതവും ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. ഗ്രേഡ് 11. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഭാഗം 1. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം (പ്രൊഫൈൽ ലെവൽ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - രണ്ടാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. ബീജഗണിതംഗണിത വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. പത്താം ക്ലാസ്: പാഠപുസ്തകം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനവും പ്രൊഫൈലും. ലെവലുകൾ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; മാറ്റം വരുത്തിയത് A. B. Zhizhchenko. - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - എം.: എഡ്യൂക്കേഷൻ, 2010.- 368 പേജ്.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.