ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ കെ വഴി എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഞങ്ങൾ വിഷയം പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു " സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" ഞങ്ങൾ ഇതിനകം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെട്ടു, പരിചയപ്പെടാൻ പോകുകയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

ആദ്യം നമ്മൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്നും അത് എങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നുവെന്നും നോക്കാം പൊതുവായ കാഴ്ച, ബന്ധപ്പെട്ട നിർവചനങ്ങൾ നൽകുക. ഇതിനുശേഷം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് വിശദമായി പരിശോധിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് പോകാം സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല നേടുകയും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനക്കാരനെ പരിചയപ്പെടുകയും സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും. അവസാനമായി, നമുക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധങ്ങൾ കണ്ടെത്താം.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം? അവയുടെ തരങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണെന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരു സംഭാഷണം ആരംഭിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം: കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതും, അതുപോലെ പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനവും ഉദാഹരണങ്ങളും

നിർവ്വചനം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംരൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് a x 2 +b x+c=0, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a പൂജ്യമല്ല.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പലപ്പോഴും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നുവെന്ന് ഉടൻ തന്നെ പറയാം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇതിന് കാരണം ബീജഗണിത സമവാക്യം രണ്ടാം ബിരുദം.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അതിനാൽ 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 മുതലായവ. ഇവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

നിർവ്വചനം.

നമ്പറുകൾ a, b, c എന്നിവ വിളിക്കപ്പെടുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ a·x 2 +b·x+c=0, കൂടാതെ a കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ x 2-ൻ്റെ ഗുണകം, b എന്നത് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ x-ൻ്റെ ഗുണകം, c എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദം .

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 5 x 2 -2 x -3=0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം, ഇവിടെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 5 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം -2 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം −3 ന് തുല്യമാണ്. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, ഗുണകങ്ങൾ b കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക ഹ്രസ്വ രൂപം 5 x 2 -2 x−3=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുന്നു, 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 അല്ല.

ഗുണകങ്ങൾ a കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ b 1 അല്ലെങ്കിൽ −1 ന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, അവ സാധാരണയായി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ വ്യക്തമായി കാണില്ല, ഇത് എഴുതുന്നതിൻ്റെ പ്രത്യേകതകൾ മൂലമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, y 2 -y+3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ മുൻനിര ഗുണകം ഒന്നാണ്, y യുടെ ഗുണകം -1 ന് തുല്യമാണ്.

കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

മുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം നൽകി. അല്ലെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം തൊട്ടുകൂടാത്ത.

ഇതനുസരിച്ച് ഈ നിർവചനം, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 −3·x+1=0, x 2 -x−2/3=0, മുതലായവ. - നൽകിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ആദ്യ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. A 5 x 2 -x−1=0 മുതലായവ. - കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ മുൻനിര ഗുണകങ്ങൾ 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

കുറയ്ക്കാത്ത ഏതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, രണ്ട് വശങ്ങളും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ചതിലേക്ക് പോകാം. ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു തുല്യമായ പരിവർത്തനമാണ്, അതായത്, ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ അതേ വേരുകളുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ, അത് പോലെ, വേരുകളില്ല.

കുറയാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറച്ചതിലേക്കുള്ള മാറ്റം എങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

3 x 2 +12 x−7=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, അനുബന്ധമായ കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുക.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട് യഥാർത്ഥ സമവാക്യംമുൻനിര ഘടകം 3 പ്രകാരം, ഇത് പൂജ്യമല്ല, അതിനാൽ നമുക്ക് ഈ പ്രവർത്തനം നടത്താം. നമുക്കുണ്ട് (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, അത് സമാനമാണ്, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, തുടർന്ന് (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, എവിടെ നിന്ന് . ഒറിജിനൽ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ഉത്തരം:

പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ a≠0 എന്ന അവസ്ഥ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. a x 2 + b x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആകുന്നതിന് ഈ അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, കാരണം a = 0 ആകുമ്പോൾ അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ b x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു.

ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അവ വ്യക്തിഗതമായും ഒന്നിച്ചും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.

a x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ, ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും b, c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

അതിൻ്റെ ഊഴത്തിൽ

നിർവ്വചനം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമവാക്യമാണ്.

അത്തരം പേരുകൾ യാദൃശ്ചികമായി നൽകിയതല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ചർച്ചകളിൽ നിന്ന് ഇത് വ്യക്തമാകും.

ഗുണകം b പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +0·x+c=0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു, അത് a·x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. c=0, അതായത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 +b·x+0=0 എന്ന രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ, അത് a·x 2 +b·x=0 എന്ന് പുനരാലേഖനം ചെയ്യാം. കൂടാതെ b=0, c=0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് a·x 2 =0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും അടങ്ങിയിട്ടില്ല. അതിനാൽ അവയുടെ പേര് - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

അതിനാൽ x 2 +x+1=0, -2 x 2 -5 x+0.2=0 എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്, കൂടാതെ x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 -5 x=0 അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മുൻ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു മൂന്ന് തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ:

• a·x 2 =0, ഗുണകങ്ങൾ b=0, c=0 എന്നിവ അതിനോട് യോജിക്കുന്നു;
• a x 2 +c=0 എപ്പോൾ b=0 ;
• കൂടാതെ a·x 2 +b·x=0 എപ്പോൾ c=0.

ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം.

ഒരു x 2 =0

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം, അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ b, c എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, a x 2 =0 രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. a·x 2 =0 എന്ന സമവാക്യം x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നതാണ്. വ്യക്തമായും, x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് പൂജ്യമാണ്, കാരണം 0 2 =0. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയ്ക്കും p അസമത്വം p 2 >0 നിലനിർത്തുന്നു എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു, അതായത് p≠0 ന് തുല്യത p 2 =0 ഒരിക്കലും കൈവരിക്കില്ല എന്നാണ്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് a·x 2 =0 എന്ന ഒറ്റമൂലി x=0 ഉണ്ട്.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം നൽകുന്നു -4 x 2 =0. ഇത് x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് x=0 ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് പൂജ്യം ഉണ്ട്.

ഈ കേസിൽ ഒരു ഹ്രസ്വ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0

a x 2 +c=0

കോ എഫിഷ്യൻ്റ് b പൂജ്യവും c≠0 ഉം ഉള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന് നോക്കാം, അതായത് a x 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദത്തെ മാറ്റുന്നതും അതുപോലെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതും തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നൽകുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. അതിനാൽ, x 2 +c=0 എന്ന അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നമുക്ക് നടപ്പിലാക്കാം:

• നിന്ന് നീക്കുക വലത് വശം, ഇത് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 =-c നൽകുന്നു,
• രണ്ട് വശങ്ങളും a കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും .

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം അതിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. a, c എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, a=1, c=2 എങ്കിൽ ) അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് (ഉദാഹരണത്തിന്, a=−2, c=6 എന്നിവയാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ ), ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, കാരണം c≠0 വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. കേസുകൾ പ്രത്യേകം നോക്കാം.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും വർഗ്ഗം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്നാണ് ഈ പ്രസ്താവന പിന്തുടരുന്നത്. എപ്പോൾ , പിന്നെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ p എന്നതിന് തുല്യത ശരിയാകാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുമായുള്ള സാഹചര്യം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഉടൻ തന്നെ വ്യക്തമാകും, കാരണം . ഈ സംഖ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും ആണെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, വൈരുദ്ധ്യത്താൽ കാണിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് ഇതുചെയ്യാം.

x 1, −x 1 എന്നിങ്ങനെ ഇപ്പോൾ പ്രഖ്യാപിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് x 2 കൂടി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. x ന് പകരം അതിൻ്റെ വേരുകൾ ഒരു സമവാക്യമാക്കി മാറ്റുന്നത് സമവാക്യത്തെ ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുമെന്ന് അറിയാം. x 1, −x 1 എന്നിവയ്‌ക്കായി നമുക്കുണ്ട്, x 2 ന് നമുക്കുണ്ട്. സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കുറയ്ക്കൽ നടത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, അതിനാൽ തുല്യതയുടെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നത് x 1 2 -x 2 2 =0 നൽകുന്നു. അക്കങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുല്യത (x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0 ആയി മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അവയിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. അതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1 -x 2 =0 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 1 +x 2 =0, x 2 =x 1 കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 =-x 1. x 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x 1, −x 1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് തുടക്കത്തിൽ പറഞ്ഞതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിൽ എത്തി. കൂടാതെ, കൂടാതെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

ഈ ഖണ്ഡികയിലെ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 +c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

• വേരുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ,
• രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്, എങ്കിൽ .

a·x 2 +c=0 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

9 x 2 +7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം നീക്കിയ ശേഷം, അത് 9 x 2 =−7 എന്ന ഫോം എടുക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 9 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ എത്തിച്ചേരുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായ 9 x 2 +7 = 0 ന് വേരുകളില്ല.

നമുക്ക് മറ്റൊരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം -x 2 +9=0. ഞങ്ങൾ ഒമ്പത് വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു: -x 2 =-9. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് x 2 =9 ലഭിക്കും. വലതുവശത്ത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഉത്തരം എഴുതുന്നു: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം -x 2 +9=0 ന് x=3 അല്ലെങ്കിൽ x=−3 എന്ന രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

a x 2 +b x=0

c=0 എന്നതിനായുള്ള അവസാന തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. a x 2 + b x = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി. വ്യക്തമായും, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യാം, ഇതിനായി ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x എന്ന പൊതു ഘടകം എടുത്താൽ മതിയാകും. യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു തുല്യ സമവാക്യംരൂപത്തിൻ്റെ x·(a·x+b)=0 . ഈ സമവാക്യം x=0, a·x+b=0 എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിൽ രണ്ടാമത്തേത് രേഖീയവും x=−b/a എന്ന മൂലവും ഉണ്ട്.

അതിനാൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a·x 2 +b·x=0 ന് x=0, x=−b/a എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുത്താൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഇത് x=0, എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: , കൂടാതെ മിക്സഡ് സംഖ്യയെ ഹരിക്കുക പൊതു അംശം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x=0 ഉം .

ആവശ്യമായ പരിശീലനം നേടിയ ശേഷം, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

ഉത്തരം:

x=0, .

വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം:, എവിടെ D=b 2 -4 a c- വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം. പ്രവേശനം പ്രധാനമായും അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

റൂട്ട് ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അത് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. നമുക്ക് ഇത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

നമുക്ക് a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് സമാനമായ ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

• ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും നമുക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ a കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.
• ഇപ്പോൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുകഅതിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്: . ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും.
• ഈ ഘട്ടത്തിൽ, അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് .
• വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: .

തൽഫലമായി, a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നാം എത്തിച്ചേരുന്നു.

ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിലെ രൂപത്തിൽ സമാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഹരിച്ചു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്, അതിനാൽ, അതിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ദൃശ്യമാണ്;
• എങ്കിൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ , അത് സമാനമാണ് അല്ലെങ്കിൽ , അതായത്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതാകട്ടെ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ അടയാളമാണ്, കാരണം ഡിനോമിനേറ്റർ 4·a 2 എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, b 2 −4·ac·c എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ. ഈ പദപ്രയോഗം b 2 -4 a c എന്ന് വിളിക്കപ്പെട്ടു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനംകത്തിൽ നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്തു ഡി. ഇവിടെ നിന്ന് വിവേചനത്തിൻ്റെ സാരാംശം വ്യക്തമാണ് - അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെയും അടയാളത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടോ എന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അവയുടെ നമ്പർ എന്താണ് - ഒന്നോ രണ്ടോ.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം, വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് അത് മാറ്റിയെഴുതാം: . കൂടാതെ ഞങ്ങൾ നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു:

• ഡി എങ്കിൽ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• D=0 ആണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
• അവസാനമായി, D>0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അത് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം അല്ലെങ്കിൽ, വികസിപ്പിച്ച് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നതിന് ശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞു, അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, ഇവിടെ D=b 2 −4·a·c എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഡി ഡിസ്ക്രിമിനൻ്റ് ഡി കണക്കാക്കുന്നു.

അവരുടെ സഹായത്തോടെ, പോസിറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരത്തിന് സമാനമായ റൂട്ടിൻ്റെ ഒരേ മൂല്യം നൽകുന്നു. ഒരു നിഷേധാത്മകമായ വിവേചനത്തോടെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ നേരിടേണ്ടിവരുന്നു. സ്ക്വയർ റൂട്ട്നിന്ന് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, അത് നമ്മെ അപ്പുറത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നു സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, പക്ഷേ ഒരു ജോടിയുണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജനംവേരുകൾ, നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

പ്രായോഗികമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ നമ്മൾ സാധാരണയായി സംസാരിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായതിനെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകളെക്കുറിച്ചാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ആദ്യം വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നത് നല്ലതാണ്, അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക (അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം), അതിനുശേഷം മാത്രമേ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കൂ.

മുകളിലെ ന്യായവാദം നമ്മെ എഴുതാൻ അനുവദിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഒരു x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:

• D=b 2 −4·a·c എന്ന വിവേചന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, അതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുക;
• D=0 ആണെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് കണക്കാക്കുക;
• വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്കും അത് തുല്യമായ മൂല്യം നൽകുമെന്ന് ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് പോകാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, സീറോ വിവേചനം ഉള്ള മൂന്ന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അവയുടെ പരിഹാരം കൈകാര്യം ചെയ്ത ശേഷം, സാമ്യം ഉപയോഗിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം.

x 2 +2·x−6=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ട്: a=1, b=2, c=−6. അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ ആദ്യം വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന a, b, c എന്നിവ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. 28>0 മുതൽ, അതായത്, വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാം ഗുണിതത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം നീക്കുന്നുഅംശം കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ:

ഉത്തരം:

നമുക്ക് അടുത്ത സാധാരണ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക -4 x 2 +28 x−49=0 .

പരിഹാരം.

വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്,

ഉത്തരം:

x=3.5.

ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം.

5·y 2 +6·y+2=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ ഇതാ: a=5, b=6, c=2. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ വിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട് D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ വ്യക്തമാക്കണമെങ്കിൽ, ഉപയോഗിക്കുക അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ, കൂടാതെ പ്രകടനം സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇവയാണ്: .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സ്കൂളിൽ അവർ സാധാരണയായി ഉടൻ തന്നെ ഒരു ഉത്തരം എഴുതുന്നു, അതിൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്നും സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താനായില്ലെന്നും നമുക്ക് ഒരിക്കൽ കൂടി ശ്രദ്ധിക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല, ഇവിടെ D=b 2 −4·a·c കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള ഒരു ഫോർമുല നേടുന്നതിന് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് x-നുള്ള ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഒരു 2·n എന്ന ഫോം ഉള്ള ഗുണകം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ 14· ln5=2·7·ln5 ). നമുക്ക് അവളെ പുറത്താക്കാം.

ഒരു x 2 +2 n x+c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. നമുക്കറിയാവുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

നമുക്ക് n 2 −a · c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കാം (ചിലപ്പോൾ ഇത് D " എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും) തുടർന്ന് പരിഗണിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 n ഉപയോഗിച്ച് രൂപം എടുക്കുന്നു. , ഇവിടെ D 1 =n 2 -a·c.

D=4·D 1, അല്ലെങ്കിൽ D 1 =D/4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗമാണ്. D 1 ൻ്റെ അടയാളം D യുടെ അടയാളം തന്നെയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതായത്, D 1 എന്ന ചിഹ്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം എന്നിവയുടെ സൂചകമാണ്.

അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2·n ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• D 1 =n 2 -a·c കണക്കാക്കുക;
• ഡി 1 ആണെങ്കിൽ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 =0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുക;
• D 1 >0 ആണെങ്കിൽ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ റൂട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.

ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നത് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 -6 x -32=0 പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തെ 2·(−3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ഇവിടെ a=5, n=−3, c=−32 എന്നിവയിൽ വീണ്ടും എഴുതാം, കൂടാതെ നാലാമത്തെ ഭാഗം കണക്കാക്കാം. വിവേചനം: D 1 =n 2 -a·c=(-3) 2 −5·(−32)=9+160=169. അതിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. ഉചിതമായ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലികൾ നടത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നു

ചിലപ്പോൾ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ചോദ്യം ചോദിക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല: "ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ?" കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ 1100 x 2 -400 x−600=0 എന്നതിനേക്കാൾ 11 x 2 -4 x−6=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാകുമെന്ന് സമ്മതിക്കുക.

സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നത് രണ്ട് വശങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ ഹരിച്ചോ ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ 1100 x 2 -400 x -600=0 എന്ന സമവാക്യം രണ്ട് വശങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ലളിതമാക്കാൻ സാധിച്ചു.

സമാനമായ പരിവർത്തനം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്, അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ അല്ല . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കാറുണ്ട് കേവല മൂല്യങ്ങൾഅതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 12 x 2 -42 x+48=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം. അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങൾ: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമ്മൾ 2 x 2 −7 x+8=0 എന്ന തുല്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നത് സാധാരണയായി ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗുണനം നടത്തുന്നത് അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും LCM(6, 3, 1)=6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് x 2 +4·x−18=0 എന്ന ലളിതമായ രൂപമെടുക്കും.

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഉപസംഹാരമായി, എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകത്തിലെ മൈനസ് അവർ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒഴിവാക്കുന്നു, ഇത് ഇരുവശങ്ങളെയും −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന് (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കുന്നതിന്) സമാനമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സാധാരണയായി ഒരാൾ −2 x 2 -3 x+7=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 2 x 2 +3 x−7=0 എന്ന പരിഹാരത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. റൂട്ട് ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് ബന്ധങ്ങൾ നേടാനാകും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും അറിയപ്പെടുന്നതും ബാധകവുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രൂപവും . പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 x 2 −7 x + 22 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം നോക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7/3 ന് തുല്യമാണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണനം 22 ന് തുല്യമാണെന്നും നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് പറയാൻ കഴിയും. /3.

ഇതിനകം എഴുതിയ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി കണക്ഷനുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മകാരിചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; ed. എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / A. G. Mordkovich. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

യാകുപോവ എം.ഐ. 1

സ്മിർനോവ യു.വി. 1

1 മുനിസിപ്പൽ ബജറ്ററി വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സമഗ്രമായ സ്കൂൾ № 11

ചിത്രങ്ങളും ഫോർമുലകളും ഇല്ലാതെയാണ് സൃഷ്ടിയുടെ വാചകം പോസ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.
പൂർണ്ണ പതിപ്പ് PDF ഫോർമാറ്റിലുള്ള "വർക്ക് ഫയലുകൾ" ടാബിൽ ജോലി ലഭ്യമാണ്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ചരിത്രം

ബാബിലോൺ

ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും വികാസത്തോടെ ഭൂമി പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയാണ് പുരാതന കാലത്ത് ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രിയുടെ മാത്രമല്ല, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ 2000 ബിസിയിൽ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു. ഇ. ബാബിലോണിയക്കാർ. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ, ബാബിലോണിയൻ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അടിസ്ഥാനപരമായി ആധുനികവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ ഈ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ആശയം ഇല്ല. പൊതു രീതികൾക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

പുരാതന ഗ്രീസ്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കലും നടത്തി പുരാതന ഗ്രീസ്ഡയോഫാൻ്റസ്, യൂക്ലിഡ്, ഹെറോൺ തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രജ്ഞർ. എഡി മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഒരു പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് അലക്സാണ്ട്രിയയിലെ ഡയോഫാൻ്റസ് ഡയോഫാൻ്റസ്. ഡയോഫാൻ്റസിൻ്റെ പ്രധാന കൃതി 13 പുസ്തകങ്ങളിൽ "അരിത്മെറ്റിക്" ആണ്. യൂക്ലിഡ്. യൂക്ലിഡ് ഒരു പുരാതന ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ സൈദ്ധാന്തിക ഗ്രന്ഥത്തിൻ്റെ രചയിതാവ്, ഹെറോൺ. ഹെറോൺ - ഗ്രീക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും എഡി ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗ്രീസിൽ എഞ്ചിനീയറും. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൂർണ്ണമായും ബീജഗണിത മാർഗം നൽകുന്നു

ഇന്ത്യ

ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ആര്യഭട്ടൻ 499-ൽ സമാഹരിച്ച "ആര്യഭട്ടിയം" എന്ന ജ്യോതിശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. മറ്റൊരു ഇന്ത്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ട്) വിവരിച്ചു പൊതു നിയമംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഒരൊറ്റ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു: ax2 + bx = c, a> 0. (1) സമവാക്യത്തിൽ (1) ഗുണകങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് ആകാം. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ്റെ ഭരണം അടിസ്ഥാനപരമായി നമ്മുടേതിന് തുല്യമാണ്. ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു മത്സരങ്ങൾ ഇന്ത്യയിൽ സാധാരണമായിരുന്നു. പഴയ ഇന്ത്യൻ പുസ്തകങ്ങളിലൊന്ന് അത്തരം മത്സരങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഇപ്രകാരം പറയുന്നു: "സൂര്യൻ അതിൻ്റെ തിളക്കം കൊണ്ട് നക്ഷത്രങ്ങളെ മറയ്ക്കുന്നത് പോലെ, പഠിച്ച മനുഷ്യൻമഹത്വത്തെ മറയ്ക്കും ജനങ്ങളുടെ സമ്മേളനങ്ങൾ, ബീജഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാവ്യരൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു.

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പ്രശസ്ത ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണിത്. ഭാസ്‌കർ.

“ഒരു കൂട്ടം കുരങ്ങുകൾ

ഒപ്പം വള്ളിച്ചെടികൾക്കൊപ്പമുള്ള പന്ത്രണ്ടുപേരും ഇഷ്ടംപോലെ കഴിച്ചു രസിച്ചു

അവർ തൂങ്ങി ചാടാൻ തുടങ്ങി

അവ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗമാണ്

എത്ര കുരങ്ങുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഞാൻ ക്ലിയറിങ്ങിൽ രസകരമായിരുന്നു

എന്നോട് പറയൂ, ഈ പാക്കിൽ?

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുള്ളതാണെന്ന് രചയിതാവിന് അറിയാമായിരുന്നുവെന്ന് ഭാസ്കരൻ്റെ പരിഹാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പ്രശ്‌നവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഭാസ്‌കറിൻ്റെ സമവാക്യം x2 - 64x = - 768 എന്നും അനുബന്ധമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഇടത് വശംഈ സമവാക്യം ചതുരത്തിലേക്ക് 322 ചേർക്കുന്നു, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്നത്: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024, (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48 .

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

1202-ൽ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോനാർഡോ ഫിബൊനാച്ചി എഴുതിയ ബുക്ക് ഓഫ് അബാക്കസിലാണ് യൂറോപ്പിലെ അൽ-ഖൊറെസ്മിയുടെ മാതൃകയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചത്. ഇസ്‌ലാം രാജ്യങ്ങളിൽ നിന്നും പുരാതന ഗ്രീസിൽ നിന്നുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സ്വാധീനം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഈ ബൃഹത്തായ കൃതി അതിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണതയും അവതരണത്തിൻ്റെ വ്യക്തതയും കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചില പുതിയ ബീജഗണിത ഉദാഹരണങ്ങൾ രചയിതാവ് സ്വതന്ത്രമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ആമുഖത്തെ സമീപിച്ച യൂറോപ്പിൽ ആദ്യത്തേത്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പുസ്തകം ഇറ്റലിയിൽ മാത്രമല്ല, ജർമ്മനി, ഫ്രാൻസ്, മറ്റ് യൂറോപ്യൻ രാജ്യങ്ങളിലും ബീജഗണിത വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ വ്യാപനത്തിന് കാരണമായി. 16-17 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ യൂറോപ്യൻ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും ബുക്ക് ഓഫ് അബാക്കസിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഭാഗികമായി XVIII. പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം Viète-ൽ നിന്ന് ലഭ്യമാണ്, എന്നാൽ Viète പോസിറ്റീവ് വേരുകൾ മാത്രമേ തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ. ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ടാർടാഗ്ലിയ, കാർഡാനോ, ബൊംബെല്ലി എന്നിവർ പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ആദ്യവരിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. പോസിറ്റീവ് കൂടാതെ, നെഗറ്റീവ് റൂട്ടുകളും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാത്രം. ജിറാർഡ്, ഡെസ്കാർട്ടസ്, ന്യൂട്ടൺ, മറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് നന്ദി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ഒരു ആധുനിക രൂപം കൈക്കൊള്ളുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം

ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ സംഖ്യകളാണ്, അതിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യ ഗുണകങ്ങൾ

സംഖ്യകൾ a, b, c എന്നത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ് (x² ന് മുമ്പ്), a ≠ 0 എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ് (x കൂടാതെ).

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ലാത്തത്??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

പേര്	സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം	സവിശേഷത (എന്തൊക്കെയാണ് ഗുണകങ്ങൾ)	സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
	കോടാലി 2 + bx + c = 0	a, b, c - 0 ഒഴികെയുള്ള സംഖ്യകൾ	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
അപൂർണ്ണം
			x 2 - 1/5x = 0
നൽകിയത്	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

റിഡ്യൂസ്ഡ് എന്നത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്, അതിൽ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. മുഴുവൻ പദപ്രയോഗത്തെയും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ അത്തരമൊരു സമവാക്യം ലഭിക്കും a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ അതിനെ സമ്പൂർണ്ണം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ലീഡിംഗ് (രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര പദം) ഒഴികെയുള്ള ഒരു ഗുണകമെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

രീതി I വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു സൂത്രവാക്യം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് കോടാലി 2 + ബി + സി = 0വി പൊതുവായ കേസ്നിങ്ങൾ താഴെയുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കണം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക: ഇതാണ് അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം D=ബി 2 - 4ac

ഫോർമുലയുടെ ഉത്ഭവം:

കുറിപ്പ്:മൾട്ടിപ്ലസിറ്റി 2 ൻ്റെ ഒരു റൂട്ടിൻ്റെ ഫോർമുല പൊതുവായ സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, അതിൽ തുല്യത D=0 പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നതാണ്, കൂടാതെ D0-ൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളുടെ അഭാവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനം, കൂടാതെ (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (sqrt ( -1))=i) = i.

അവതരിപ്പിച്ച രീതി സാർവത്രികമാണ്, പക്ഷേ ഇത് ഒരേയൊരുതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ സമീപിക്കാം, മുൻഗണനകൾ സാധാരണയായി സോൾവറിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, പലപ്പോഴും ഈ ആവശ്യത്തിനായി ചില രീതികൾ സ്റ്റാൻഡേർഡിനേക്കാൾ വളരെ ഗംഭീരവും ലളിതവും കുറഞ്ഞ അധ്വാനവും ആയി മാറുന്നു.

രീതി II. ഇരട്ട ഗുണകമുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾബി III രീതി. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

IV രീതി. ഗുണകങ്ങളുടെ ഭാഗിക അനുപാതങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രത്യേക കേസുകൾ ഉണ്ട്, അതിൽ ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാക്കുന്നു.

മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെയും സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ കോടാലി 2 + bx + c = 0ആദ്യത്തെ ഗുണകത്തിൻ്റെയും സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്: a+b=c, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വേരുകൾ -1 ആണ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് വിപരീതമായ സംഖ്യ ( -സി/എ).

അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഈ സിദ്ധാന്തം അതിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കണം: ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റിൻ്റെയും സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക.

എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക പൂജ്യമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 1 ഉം സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ അനുപാതവുമാണ് ( c/a).

അതിനാൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രീതികൾ, ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രയോഗക്ഷമത നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കണം: ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ചേർത്ത് ഈ തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലേ എന്ന് നോക്കുക.

വി രീതി. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു

ത്രിപദം രൂപമാണെങ്കിൽ (displaystyle ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)ലീനിയർ ഘടകങ്ങളുടെ (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n) ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി എങ്ങനെയെങ്കിലും പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അപ്പോൾ നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം കോടാലി 2 + bx + c = 0- അവ -m/k, n/l എന്നിവയായിരിക്കും, തീർച്ചയായും (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (kx+m)(lx+n)=0Longleftrightarrow kx+m=0cup lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, കൂടാതെ സൂചിപ്പിച്ചത് പരിഹരിച്ചു രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ, മുകളിൽ പറഞ്ഞവ നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതല്ല ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംഎല്ലായ്പ്പോഴും യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുള്ള രേഖീയ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിക്കുന്നില്ല: അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ ഇത് സാധ്യമാണ്.

നമുക്ക് ചില പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം

സ്ക്വയർ തുക (വ്യത്യാസം) ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിന് ഫോം (ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (കോടാലി)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 ഉണ്ടെങ്കിൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ച് നമുക്ക് അതിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാം. അതിനാൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

തുകയുടെ മുഴുവൻ ചതുരവും വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു (വ്യത്യാസം)

മുകളിലുള്ള ഫോർമുല "തുകയുടെ മുഴുവൻ ചതുരവും (വ്യത്യാസം) തിരഞ്ഞെടുക്കൽ" എന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ചും ഉപയോഗിക്കുന്നു. മുമ്പ് അവതരിപ്പിച്ച നൊട്ടേഷനുമായി മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഇതിനർത്ഥം ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

കുറിപ്പ്:നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ ഈ ഫോർമുല“കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ” എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അത് തുല്യത a=1 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ പൊതുവായ ഫോർമുല (1) ൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. ഈ വസ്തുത കേവലം യാദൃശ്ചികമല്ല: വിവരിച്ച രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ചില അധിക ന്യായവാദങ്ങളോടെയാണെങ്കിലും, അനുമാനിക്കാൻ കഴിയും പൊതു ഫോർമുല, കൂടാതെ വിവേചനക്കാരൻ്റെ ഗുണങ്ങളും തെളിയിക്കുക.

VI രീതി. നേരിട്ടുള്ളതും വിപരീതവുമായ വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു

വിയറ്റയുടെ നേരിട്ടുള്ള സിദ്ധാന്തവും (അതേ പേരിലുള്ള വിഭാഗത്തിൽ താഴെ കാണുക) അതിൻ്റെ വിപരീത സിദ്ധാന്തവും ഫോർമുല (1) ഉപയോഗിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താതെ, മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

സംഭാഷണ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഓരോ ജോടി സംഖ്യകളും (നമ്പർ) (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x_(1),x_(2))x 1, x 2, താഴെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, അതായത്, കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

ഈ സമവാക്യങ്ങളെ വാമൊഴിയായി തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്താൻ നേരിട്ടുള്ള സിദ്ധാന്തം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, വേരുകൾ സ്വയം അറിയാതെ തന്നെ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ നിയമം പാലിക്കണം:

1) സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ മോഡുലസിൽ ഏറ്റവും വലുത് ചിഹ്നമാണ് വിപരീത ചിഹ്നംസമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം;

2) സ്വതന്ത്ര പദം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾക്കും ഒരേ ചിഹ്നമുണ്ട്, ഇത് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് വിപരീതമായ ചിഹ്നമാണ്.

VII രീതി. കൈമാറ്റ രീതി

"കൈമാറ്റം" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രീതി, കുറയ്ക്കാത്തതും ഒഴിവാക്കാനാവാത്തതുമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുമായുള്ള കുറഞ്ഞ സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. അത് ഇപ്രകാരമാണ്:

അടുത്തതായി, മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതിയിൽ സമവാക്യം വാമൊഴിയായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് അവ യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുകയും സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(1)=ax_(1)) വൈ 1 = കോടാലി 1 ഒപ്പം വൈ 2 = കോടാലി 2 .(ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ y_(2)=ax_(2))

ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

പട്ടിക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനംഒരു പരവലയമാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ (വേരുകൾ) അബ്‌സിസ്സ അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സകളാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ വിവരിച്ച പരവലയം x-അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല. ഒരു പരവലയം x-ആക്സിസിനെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ (പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ) വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു യഥാർത്ഥ റൂട്ട് ഉണ്ട് (സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഏകീകൃത വേരുകൾ ഉണ്ടെന്നും പറയപ്പെടുന്നു). പരവലയം x-ആക്സിസിനെ രണ്ട് ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട് (വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രം കാണുക.)

ഗുണകം ആണെങ്കിൽ (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ a) എപോസിറ്റീവ്, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, തിരിച്ചും. ഗുണകം എങ്കിൽ (ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ ബി) bpositive (പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ (ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ a) എ, നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, തിരിച്ചും), പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം ഇടത് അർദ്ധ-തലത്തിലും തിരിച്ചും കിടക്കുന്നു.

ജീവിതത്തിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് നിരവധി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, ഘടനകൾ, സ്പോർട്സ്, കൂടാതെ നമുക്ക് ചുറ്റും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

കായികം. ഉയർന്ന ജമ്പുകൾ: ജമ്പറിൻ്റെ റൺ-അപ്പ് സമയത്ത്, ടേക്ക്-ഓഫ് ബാറിലും ഉയർന്ന ഫ്ലൈറ്റിലും സാധ്യമായ ഏറ്റവും വ്യക്തമായ ആഘാതം നേടുന്നതിന് പരവലയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കൂടാതെ, എറിയുന്നതിൽ സമാനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്. ഒരു വസ്തുവിൻ്റെ ഫ്ലൈറ്റ് റേഞ്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ജ്യോതിശാസ്ത്രം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രഹങ്ങളുടെ സഞ്ചാരപഥം കണ്ടെത്താം.

വിമാനം പറക്കൽ. വിമാനം പറന്നുയരുന്നതാണ് പറക്കലിൻ്റെ പ്രധാന ഘടകം. ടേക്ക്ഓഫിൻ്റെ കുറഞ്ഞ പ്രതിരോധത്തിനും ത്വരിതപ്പെടുത്തലിനും ഞങ്ങൾ ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടുന്നു.

ഓഡിയോ, വീഡിയോ, വെക്റ്റർ, റാസ്റ്റർ ഗ്രാഫിക്സ് എന്നിവ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള പ്രോഗ്രാമുകളിൽ വിവിധ സാമ്പത്തിക വിഭാഗങ്ങളിലും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉപസംഹാരം

ചെയ്‌ത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിച്ചപ്പോൾ, പുരാതന കാലത്ത്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ശാസ്ത്രജ്ഞരെ ആകർഷിച്ചു. പരിഗണിച്ച് വിവിധ വഴികൾക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയെല്ലാം ലളിതമല്ലെന്ന നിഗമനത്തിൽ ഞാൻ എത്തി. എൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ ഏറ്റവും ഏറ്റവും മികച്ച മാർഗ്ഗംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഫോർമുലകൾ വഴി പരിഹരിക്കുന്നു. സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, ഈ രീതി സാർവത്രികമാണ്. ജീവിതത്തിലും ഗണിതത്തിലും സമവാക്യങ്ങൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന അനുമാനം സ്ഥിരീകരിച്ചു. വിഷയം പഠിച്ചതിനു ശേഷം ഞാൻ പലതും പഠിച്ചു രസകരമായ വസ്തുതകൾക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, അവയുടെ ഉപയോഗം, പ്രയോഗം, തരങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ച്. അവരെ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നതിൽ എനിക്ക് സന്തോഷമുണ്ട്. ഇത് എൻ്റെ പരീക്ഷകളിൽ മികച്ച പ്രകടനം നടത്താൻ എന്നെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക

സൈറ്റ് മെറ്റീരിയലുകൾ:

വിക്കിപീഡിയ

പാഠം.rf തുറക്കുക

പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ കൈപ്പുസ്തകം വൈഗോഡ്സ്കി എം.യാ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം - പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്! *ഇനിമുതൽ "KU" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.സുഹൃത്തുക്കളേ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ലളിതമൊന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ പലർക്കും അവനുമായി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെന്ന് എന്തോ എന്നോട് പറഞ്ഞു. Yandex പ്രതിമാസം എത്ര ഓൺ-ഡിമാൻഡ് ഇംപ്രഷനുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് കാണാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് സംഭവിച്ചതെന്ന് ഇതാ, നോക്കൂ:

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം പ്രതിമാസം 70,000 പേർ തിരയുന്നുണ്ടെന്നാണ് ഈ വിവരം, ഈ വേനൽക്കാലത്ത് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ട്, ഇടയിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും അധ്യയനവർഷം- ഇരട്ടി അഭ്യർത്ഥനകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല, കാരണം വളരെക്കാലം മുമ്പ് സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയവരും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നവരുമായ ആൺകുട്ടികളും പെൺകുട്ടികളും ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, കൂടാതെ സ്കൂൾ കുട്ടികളും അവരുടെ മെമ്മറി പുതുക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയുന്ന ധാരാളം സൈറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, മെറ്റീരിയൽ സംഭാവന ചെയ്യാനും പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനും ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. ഒന്നാമതായി, ഈ അഭ്യർത്ഥനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സന്ദർശകർ എൻ്റെ സൈറ്റിലേക്ക് വരണമെന്ന് ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു; രണ്ടാമതായി, മറ്റ് ലേഖനങ്ങളിൽ, "KU" എന്ന വിഷയം വരുമ്പോൾ, ഈ ലേഖനത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ഞാൻ നൽകും; മൂന്നാമതായി, മറ്റ് സൈറ്റുകളിൽ സാധാരണയായി പ്രസ്താവിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കുറച്ചുകൂടി അവൻ്റെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം!ലേഖനത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:

എവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a,ബിc എന്നിവ a≠0 ഉള്ള അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളാണ്.

സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, മെറ്റീരിയൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. *ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ.

3. അവയ്ക്ക് വേരുകളില്ല. അവയ്ക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല എന്നത് ഇവിടെ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

വേരുകൾ എങ്ങനെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത്? വെറുതെ!

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു. ഈ "ഭയങ്കരമായ" വാക്കിന് കീഴിൽ വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ട്:

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

*ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി എഴുതി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം:

1. D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

3. ഡി എങ്കിൽ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

നമുക്ക് സമവാക്യം നോക്കാം:

എഴുതിയത് ഈ അവസരത്തിൽ, വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, സ്കൂൾ കോഴ്സ് ഫലം ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് പറയുന്നു, ഇവിടെ അത് ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്. എല്ലാം ശരിയാണ്, അങ്ങനെയാണ്, പക്ഷേ ...

ഈ ആശയം കുറച്ച് തെറ്റാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്. അതെ, അതെ, ആശ്ചര്യപ്പെടരുത്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് തുല്യ വേരുകൾ ലഭിക്കും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഉത്തരം രണ്ട് വേരുകൾ എഴുതണം:

x 1 = 3 x 2 = 3

എന്നാൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ് - ഒരു ചെറിയ വ്യതിചലനം. സ്‌കൂളിൽ അത് എഴുതിവെച്ച് ഒറ്റമൂലിയുണ്ടെന്ന് പറയാം.

ഇനി അടുത്ത ഉദാഹരണം:

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇല്ല.

അതാണ് മുഴുവൻ തീരുമാന പ്രക്രിയയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

പരിഹാരം ജ്യാമിതീയമായി എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. ഇത് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് (ഭാവിയിൽ, ഒരു ലേഖനത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും).

ഇത് ഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ്:

ഇവിടെ x, y എന്നിവ വേരിയബിളുകളാണ്

a, b, c - നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, ≠ 0

ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

അതായത്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ “y” ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, x അക്ഷവുമായി പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം (വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്), ഒന്ന് (വിവേചനം കാണിക്കുന്നയാൾ പൂജ്യം) ഒന്നുമില്ല (വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്). ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദാംശങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയുംഇന്ന ഫെൽഡ്മാൻ്റെ ലേഖനം.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1: പരിഹരിക്കുക 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

ഉത്തരം: x 1 = 8 x 2 = –12

*സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ ഉടനടി 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതായത് അത് ലളിതമാക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമാകും.

ഉദാഹരണം 2: തീരുമാനിക്കുക x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ഉം x 2 = 11 ഉം ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി

ഉത്തരത്തിൽ x = 11 എന്ന് എഴുതുന്നത് അനുവദനീയമാണ്.

ഉത്തരം: x = 11

ഉദാഹരണം 3: തീരുമാനിക്കുക x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ പരിഹാരമില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരമില്ല

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്!

കേസിൽ സമവാക്യം മാറുമ്പോൾ അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഇവിടെ സംസാരിക്കും നെഗറ്റീവ് വിവേചനം. നിനക്ക് എന്തെങ്കിലും അറിയാമോ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ? അവ എന്തിന്, എവിടെയാണ് ഉണ്ടായത്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവരുടെ പ്രത്യേക പങ്കും ആവശ്യകതയും എന്താണെന്നും ഞാൻ ഇവിടെ വിശദമായി പറയുന്നില്ല.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആശയം.

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z എന്നത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സംഖ്യയാണ്

z = a + bi

a, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, i സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

a+bi – ഇതൊരു സിംഗിൾ നമ്പറാണ്, ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കലല്ല.

സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് മൈനസ് ഒന്നിൻ്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്:

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ട് സംയോജിത വേരുകൾ ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

നമുക്ക് പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം, ഇത് "ബി" അല്ലെങ്കിൽ "സി" എന്ന ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). യാതൊരു വിവേചനവുമില്ലാതെ അവ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

കേസ് 1. ഗുണകം b = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:

ഉദാഹരണം:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

കേസ് 2. ഗുണകം c = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം:

*ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

കേസ് 3. ഗുണകങ്ങൾ b = 0, c = 0.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം എപ്പോഴും x = 0 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്.

ഗുണകങ്ങളുടെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഗുണങ്ങളും പാറ്റേണുകളും.

വലിയ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്.

എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ + ബി+ സി = 0,അത്

- സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്കാണെങ്കിൽ എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ+ എസ് =ബി, അത്

ഈ ഗുണങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക തരം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, അതായത്

ഉദാഹരണം 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എ+ എസ് =ബി, അർത്ഥമാക്കുന്നത്

ഗുണകങ്ങളുടെ ക്രമങ്ങൾ.

1. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, "c" എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

ഉദാഹരണം. 6x 2 + 37x + 6 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. കോടാലി 2 – bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, “c” എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 15x 2 –226x +15 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. സമനിലയിലാണെങ്കിൽ. ax 2 + bx - c = 0 ഗുണകം "b" തുല്യമാണ് (a 2 - 1), കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് "സി" സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 17x 2 +288x – 17 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. ax 2 – bx – c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 – 1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, c ഗുണകം “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

ഉദാഹരണം. 10x 2 – 99x –10 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്കോയിസ് വിയറ്റയുടെ പേരിലാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അറിയപ്പെടുന്നത്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ KU-യുടെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

മൊത്തത്തിൽ, 14 എന്ന സംഖ്യ 5 ഉം 9 ഉം മാത്രം നൽകുന്നു. ഇവ വേരുകളാണ്. ഒരു പ്രത്യേക വൈദഗ്ധ്യം ഉപയോഗിച്ച്, അവതരിപ്പിച്ച സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാമൊഴിയായി ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം, കൂടാതെ. സാധാരണ രീതിയിൽ (ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഗതാഗത രീതി

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, "എ" എന്ന കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് സ്വതന്ത്ര പദത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു, അതിലേക്ക് "എറിഞ്ഞത്" പോലെയാണ്, അതിനാലാണ് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത്. "കൈമാറ്റം" രീതി.വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമ്പോൾ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, വിവേചനം ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ എ± ബി+സി≠ 0, തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫർ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

2എക്സ് 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => എക്സ് 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

സമവാക്യത്തിൽ (2) വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് x 1 = 10 x 2 = 1 എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഫലമായ വേരുകൾ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കണം (രണ്ടും x 2 ൽ നിന്ന് "എറിഞ്ഞത്"), നമുക്ക് ലഭിക്കും

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

എന്താണ് യുക്തി? എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കൂ.

(1), (2) സമവാക്യങ്ങളുടെ വിവേചനങ്ങൾ തുല്യമാണ്:

നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ, ഫലം കൃത്യമായി x 2 ൻ്റെ ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തേതിന് (പരിഷ്കരിച്ചത്) 2 മടങ്ങ് വലിയ വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫലം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

*നമ്മൾ മൂന്ന് റീറോൾ ചെയ്താൽ, ഞങ്ങൾ ഫലം 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

ഉത്തരം: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ചതുരശ്ര. ur-ie, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ.

അതിൻ്റെ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് സംക്ഷിപ്തമായി പറയും - നിങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിലും ചിന്തിക്കാതെയും തീരുമാനിക്കാൻ കഴിയണം, വേരുകളുടെയും വിവേചനങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ജോലികളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പല പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു (ജ്യാമിതീയവും ഉൾപ്പെടുന്നു).

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം!

1. ഒരു സമവാക്യം എഴുതുന്നതിൻ്റെ രൂപം "വ്യക്തം" ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി സാധ്യമാണ്:

15+ 9x 2 - 45x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 15x+42+9x 2 - 45x=0 അല്ലെങ്കിൽ 15 -5x+10x 2 = 0.

നിങ്ങൾ അവനെ കൊണ്ടുവരണം സാധാരണ കാഴ്ച(തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ).

2. x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാത അളവാണെന്നും അത് മറ്റേതെങ്കിലും അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കാമെന്നും ഓർക്കുക - t, q, p, h എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ മറ്റുള്ളവരുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുമായി, അവയെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ax² + bx + c = 0 പോലെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ വേരിയബിൾ x ആണ്, സംഖ്യകൾ a, b, c ആണ്, ഇവിടെ a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഗുണകം (സി അല്ലെങ്കിൽ ബി) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി വർഗ്ഗീകരിക്കും.

വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇതുവരെ ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ എങ്കിൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾഅവ പരിഹരിക്കാനുള്ള ലളിതമായ വഴികളും.

a) കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് c 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഗുണകം b പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി ² + bx + 0 = 0 എന്നത് ax ² + bx = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറേറ്റുചെയ്യുന്നതിലും പിന്നീട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന വ്യവസ്ഥ ഉപയോഗിക്കുന്നതിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 5x² - 20x = 0. സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു: ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് സാധാരണ ഘടകം എടുക്കുന്നു

5x (x - 4) = 0

ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 0 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് 4 ആണ്.

b) b = 0, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി ² + 0x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ax ² + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. : എ) ഇടതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ ബഹുപദം ഫാക്‌ടർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ; b) ഗണിത സ്ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. അത്തരം ഒരു സമവാക്യം ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 5/2 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് തുല്യമാണ് - 5/2.

c) b എന്നത് 0-നും c എന്നത് 0-നും തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോടാലി ² + 0 + 0 = 0 എന്നത് കോടാലി ² = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. അത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൽ x 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വേരുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അപൂർണ്ണമായ ഒന്നാക്കി മാറ്റുന്നത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു (കേസിന് \(b=0\)):

\(c=0\) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, എല്ലാം സമാനമാണ്.

\(a\) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഒന്നാമതായി, ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇപ്പോഴും ഒരു ആണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിനാൽ ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (വഴി) പോലെ തന്നെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാണാതായ ഘടകം പൂജ്യം കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ചേർക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം : സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക \(3x^2-27=0\)
പരിഹാരം :

		ഗുണകം \(b=0\) ഉള്ള ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമുക്കുണ്ട്. അതായത്, നമുക്ക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		വാസ്തവത്തിൽ, ഇത് തുടക്കത്തിലെ അതേ സമവാക്യമാണ്, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഇത് ഒരു സാധാരണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		\(D=b^2-4ac\) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനം കണക്കാക്കാം
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) കൂടാതെ \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2എ)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		ഉത്തരം എഴുതുക

ഉത്തരം : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക \(-x^2+x=0\)
പരിഹാരം :

		വീണ്ടും ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഗുണകം \(c\) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പൂർണ്ണമായി എഴുതുന്നു.