സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഉപയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ക്രാമർ രീതി രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ. ഇത് പരിഹാര പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കുന്നു.
ഓരോ സമവാക്യത്തിലും അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉള്ളത്ര രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിൽ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിക്കാം, പക്ഷേ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന് കഴിയില്ല. കൂടാതെ, ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.
നിർവ്വചനം. അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ച ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റിനെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു (ഡെൽറ്റ).
ഡിറ്റർമിനൻ്റ്സ്
അനുബന്ധ അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും:
;
.
ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, കൂടാതെ അജ്ഞാതമായത് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഈ അജ്ഞാതത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഡിറ്റർമിനൻ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തം ഏത് ക്രമത്തിൻ്റെയും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്.
ഉദാഹരണം 1.രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:
ഇതനുസരിച്ച് ക്രാമർ സിദ്ധാന്തംനമുക്ക് ഉണ്ട്:
അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം (2):
ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ, നിർണ്ണായക രീതിക്രാമർ.
ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മൂന്ന് കേസുകൾ
എന്നതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ് ക്രാമർ സിദ്ധാന്തം, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, മൂന്ന് കേസുകൾ സംഭവിക്കാം:
ആദ്യ കേസ്: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്
(സംവിധാനം സ്ഥിരവും വ്യക്തവുമാണ്)
രണ്ടാമത്തെ കേസ്: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്
(സിസ്റ്റം സ്ഥിരവും അനിശ്ചിതത്വവുമാണ്)
** 
,
ആ. അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളും ആനുപാതികമാണ്.
മൂന്നാമത്തെ കേസ്: രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല
(സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്)
അതിനാൽ സിസ്റ്റം എംരേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എൻവേരിയബിളുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു നോൺ-ജോയിൻ്റ്, അവൾക്ക് ഒരൊറ്റ പരിഹാരം ഇല്ലെങ്കിൽ, ഒപ്പം സംയുക്ത, അതിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ. ഒരേസമയം ഒരേയൊരു പരിഹാരമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനത്തെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്, കൂടാതെ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ - അനിശ്ചിതത്വം.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ
സംവിധാനം നൽകട്ടെ
.
ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി
………….
,
എവിടെ 
-
സിസ്റ്റം ഡിറ്റർമിനൻ്റ്. സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അനുബന്ധ വേരിയബിളിൻ്റെ (അജ്ഞാതമായ) ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കോളം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ ശേഷിക്കുന്ന ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ നേടുന്നു:
ഉദാഹരണം 2.
.
അതിനാൽ, വ്യവസ്ഥിതി നിശ്ചയമാണ്. അതിൻ്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
അതിനാൽ, (1; 0; -1) മാത്രമാണ് സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഏക പരിഹാരം.
3 X 3, 4 X 4 എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് Cramer's solving method ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ സമവാക്യങ്ങളിൽ വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഡിറ്റർമിനൻ്റിൽ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! ഇതാണ് അടുത്ത ഉദാഹരണം.
ഉദാഹരണം 3.ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:
.
പരിഹാരം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റിലും ശ്രദ്ധാപൂർവം നോക്കുക, ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം ആവർത്തിക്കുക. അതിനാൽ, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ സിസ്റ്റം വ്യക്തമാണ്. അതിൻ്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം (2; -1; 1) ആണ്.
3 X 3, 4 X 4 എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് Cramer's solving method ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം.
പേജിൻ്റെ മുകളിൽ
ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് തുടരുന്നു
ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അജ്ഞാതരുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്, അതായത്, അതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം.
ഉദാഹരണം 6.ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:
പരിഹാരം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഒന്നുകിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തതും നിശ്ചിതവുമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണ്, അതായത്, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, അജ്ഞാതർക്കായി ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നു
അജ്ഞാതരുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ, സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്, അതായത്, അതിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
3 X 3, 4 X 4 എന്നീ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് Cramer's solving method ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കാം.
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന പ്രശ്നങ്ങളിൽ, വേരിയബിളുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, മറ്റ് അക്ഷരങ്ങളും ഉള്ളവയും ഉണ്ട്. ഈ അക്ഷരങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, മിക്കപ്പോഴും യഥാർത്ഥമാണ്. പ്രായോഗികമായി, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളും സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങളും ഏതെങ്കിലും പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയോ വസ്തുക്കളുടെയോ പൊതുവായ സവിശേഷതകൾക്കായി തിരയുന്നതിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളാൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു. അതായത്, നിങ്ങൾ എന്തെങ്കിലും കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടോ? പുതിയ മെറ്റീരിയൽഅല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഉപകരണം, ഒരു ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ വലുപ്പമോ എണ്ണമോ പരിഗണിക്കാതെ സാധാരണമായ അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ വിവരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അവിടെ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള ചില ഗുണകങ്ങൾക്ക് പകരം അക്ഷരങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കായി നിങ്ങൾ അധികം നോക്കേണ്ടതില്ല.
ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ളതാണ്, ഒരു നിശ്ചിത യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ, വേരിയബിളുകൾ, അക്ഷരങ്ങൾ എന്നിവയുടെ എണ്ണം മാത്രം വർദ്ധിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 8.ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:
പരിഹാരം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
അജ്ഞാതരുടെ നിർണ്ണായക ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ(SLAE), അതിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാതമായ വേരിയബിളുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്നും ഫോർമുലകൾ നേടാമെന്നും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. ഇതിനുശേഷം, നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് പോകാം, ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം വിശദമായി വിവരിക്കാം.
പേജ് നാവിഗേഷൻ.
ക്രാമർ രീതി - ഫോർമുലകളുടെ വ്യുൽപ്പന്നം.
ഫോമിൻ്റെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്
എവിടെ x 1, x 2, ..., x n എന്നിവ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളാണ്, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ, b 1, b 2, ..., b n - സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്ന x 1, x 2, ..., x n എന്നിങ്ങനെയുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് SLAE-യുടെ പരിഹാരം.
മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ, ഈ സിസ്റ്റം എ ⋅ X = B എന്ന് എഴുതാം 
- സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ഗുണകങ്ങളാണ്, - മാട്രിക്സ് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു നിരയാണ്, കൂടാതെ - മാട്രിക്സ് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു നിരയാണ്. x 1, x 2, ..., x n എന്നീ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിന് ഒരു പരിഹാരമായി മാറുന്നു, A ⋅ X = B എന്ന സമത്വം ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്നു.
മാട്രിക്സ് എ ഏകവചനമല്ല, അതായത്, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ക്രാമറിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. (ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സെക്ഷൻ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾക്കുള്ള രീതികൾ ചർച്ചചെയ്യുന്നു).
മാട്രിക്സ് ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ക്രാമർ രീതി:
അതിനാൽ, നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x 1 വേരിയബിൾ കണ്ടുപിടിക്കാൻ തുടങ്ങാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും A 1 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും A 2 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, അങ്ങനെ, nth സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും A n 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു (അതായത്, നമ്മൾ ആദ്യത്തെ മാട്രിക്സ് കോളം A യുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളെ ഗുണിക്കുക: 
നമുക്ക് സിസ്റ്റം സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഇടതുവശങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർത്ത്, അജ്ഞാതമായ x 1, x 2, ..., x n എന്നീ വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള പദങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക, കൂടാതെ ഈ തുക സമവാക്യങ്ങളുടെ എല്ലാ വലത് വശങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാക്കാം: 
ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ മുമ്പ് സൂചിപ്പിച്ച ഗുണങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഉണ്ട് 
മുമ്പത്തെ സമത്വം രൂപം പ്രാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു 
എവിടെ 
അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ x 2 കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മാട്രിക്സ് എ യുടെ രണ്ടാമത്തെ നിരയുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നു: 
ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 1, x 2, ..., x n എന്നിവയ്ക്കുള്ള നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുകയും ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: 
എവിടെ 
.
ശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ സമാനമായി കാണപ്പെടുന്നു.
ഞങ്ങൾ നിയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ
അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 
.
അഭിപ്രായം.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം ഏകതാനമാണെങ്കിൽ, അതായത് 
, അപ്പോൾ അതിന് നിസ്സാരമായ ഒരു പരിഹാരം മാത്രമേയുള്ളൂ (at ). തീർച്ചയായും, പൂജ്യം ഫ്രീ നിബന്ധനകൾക്ക്, എല്ലാ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും 
പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, കാരണം അവയിൽ പൂജ്യം മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു നിര അടങ്ങിയിരിക്കും. അതിനാൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കൊടുക്കും .
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.
നമുക്ക് അത് എഴുതാം ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.
നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു അസമമായ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം 
:
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോൺസീറോ ആയതിനാൽ, SLAE ന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, അത് ക്രാമർ രീതിയിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും. നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും എഴുതാം. ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ നിരയെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നേടുന്നു 
. അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിരയെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും .
ഈ നിർണ്ണായക ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 
ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് x 1, x 2 എന്നീ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുക 
:
നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ x 1, x 2 എന്നിവ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്നു, അതിനാൽ, പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.
ഉത്തരം:
.
SLAE-യുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ചില ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ബന്ധപ്പെട്ട അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അപ്രത്യക്ഷമാകും. നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം.
നമുക്ക് ഫോമിൽ സിസ്റ്റം മാറ്റിയെഴുതാം 
, അങ്ങനെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ദൃശ്യമാകും 
. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്താം 
നമുക്ക് ഉണ്ട് 
പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോൺസീറോ ആണ്, അതിനാൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ക്രാമറിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കാം 
:
അങ്ങനെ, 
ഉത്തരം:
സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിലെ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ പദവികൾ x 1, x 2, ..., x n എന്നിവയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഇത് തീരുമാന പ്രക്രിയയെ ബാധിക്കില്ല. പ്രധാന മാട്രിക്സും ക്രാമർ രീതിയുടെ ആവശ്യമായ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിലെ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ക്രമം വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമുക്ക് ഈ കാര്യം വ്യക്തമാക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ക്രാമറിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളിൽ മൂന്ന് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം.
ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് മറ്റൊരു നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട് (x, y, z എന്നിവയ്ക്ക് പകരം x 1, x 2, x 3). ഇത് പരിഹാരത്തെ ബാധിക്കില്ല, എന്നാൽ വേരിയബിൾ നൊട്ടേഷനുകളിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്‌സായി എടുക്കാൻ കഴിയില്ല 
. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ആദ്യം ഓർഡർ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതുന്നു 
. ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് വ്യക്തമായി കാണാം 
. നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം: 
പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോൺസീറോ ആണ്, അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ക്രാമറിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ എഴുതാം 
(നൊട്ടേഷൻ ശ്രദ്ധിക്കുക) അവ കണക്കാക്കുക: 
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു 
:
നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഗുണിക്കുക (ആവശ്യമെങ്കിൽ, വിഭാഗം കാണുക): 
തൽഫലമായി, സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു നിര ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു, അതിനാൽ പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.
ഉത്തരം:
x = 0, y = -2, z = 3.
ഉദാഹരണം.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക 
, ഇവിടെ a, b എന്നിവ ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.
പരിഹാരം.
ഉത്തരം:
ഉദാഹരണം.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക 
ക്രാമർ രീതി പ്രകാരം, - ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യ.
പരിഹാരം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: . എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ഇടവേളയാണ്, അതിനാൽ ഏത് യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്കും. തൽഫലമായി, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ട്. ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: 
ഈ ഖണ്ഡികയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് "രണ്ട് ബൈ ടു", "ത്രീ ബൈ ത്രീ" എന്നീ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ കഴിയണം. നിങ്ങൾ യോഗ്യതയുള്ളവരിൽ മോശമാണെങ്കിൽ, ദയവായി പാഠം പഠിക്കുക ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?
ആദ്യം, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളിലുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കും. എന്തിനുവേണ്ടി? - എല്ലാത്തിനുമുപരി ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനംപരിഹരിക്കാൻ കഴിയും സ്കൂൾ രീതി, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി പ്രകാരം!
ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായി രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ അത്തരമൊരു ചുമതല സംഭവിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. രണ്ടാമതായി, ക്രാമർ റൂൾ എങ്ങനെ കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും സങ്കീർണ്ണമായ കേസ്- മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ.
കൂടാതെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്, അവ ക്രാമർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമാണ്!
സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക
ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ്.
ഗാസ് രീതി.
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
ഒപ്പം
പ്രായോഗികമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞ യോഗ്യതകളും സൂചിപ്പിക്കാം ലാറ്റിൻ അക്ഷരം.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
,
ഉദാഹരണം 7
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക 
പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, വലതുവശത്ത് ഉണ്ട് ദശാംശങ്ങൾഒരു കോമ ഉപയോഗിച്ച്. കോമ ഒരു അപൂർവ അതിഥിയാണ് പ്രായോഗിക ജോലികൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ഇക്കണോമെട്രിക് പ്രശ്നത്തിൽ നിന്നാണ് ഞാൻ ഈ സിസ്റ്റം എടുത്തത്.
അത്തരമൊരു സംവിധാനം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തിക്കാൻ അങ്ങേയറ്റം അസൗകര്യമുള്ള ഭയാനകമായ ഫാൻസി ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകാം, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന ഭയങ്കരമായി കാണപ്പെടും. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് പദത്തെ ടേം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം, എന്നാൽ അതേ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇവിടെയും ഉണ്ടാകും.
എന്തുചെയ്യും? അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.
;
;
ഉത്തരം: ,
രണ്ട് വേരുകൾക്കും അനന്തമായ വാലുകളുണ്ട്, അവ ഏകദേശം കാണപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇക്കോണോമെട്രിക്സ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ് (സാധാരണമായത് പോലും).
ഇവിടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു മുന്നറിയിപ്പ് ഉണ്ട്. എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കണം ഈ രീതി, നിർബന്ധിതംടാസ്‌ക് ഡിസൈനിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ശകലമാണ്: "ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്നാണ്". അല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള അനാദരവിന് നിരൂപകൻ നിങ്ങളെ ശിക്ഷിച്ചേക്കാം.
പരിശോധിക്കുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല, ഇത് ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്: ഞങ്ങൾ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഇടത് വശംസിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യവും. തൽഫലമായി, ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറുകൾ ലഭിക്കണം.
ഉദാഹരണം 8
സാധാരണ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുക. ഒരു പരിശോധന നടത്തുക.
ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം(പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കുന്നതിൻ്റെയും ഉത്തരത്തിൻ്റെയും ഉദാഹരണം).
മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം പരിഗണിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: 
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അസ്ഥിരമാണ് (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്രാമർ റൂൾ സഹായിക്കില്ല, നിങ്ങൾ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം: 
, 
, 
അവസാനമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നു: 
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "മൂന്ന് മൂന്ന്" കേസ് അടിസ്ഥാനപരമായി "രണ്ട് ബൈ ടു" കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല;
ഉദാഹരണം 9
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. 
പരിഹാരം: നമുക്ക് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. 
, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.
ഉത്തരം: 
.
യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇവിടെ വീണ്ടും പ്രത്യേകമായി അഭിപ്രായം പറയാൻ ഒന്നുമില്ല, കാരണം പരിഹാരം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഒന്നുരണ്ടു കമൻ്റുകൾ ഉണ്ട്.
കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, "മോശം" കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
ഇനിപ്പറയുന്ന "ചികിത്സ" അൽഗോരിതം ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ചെയ്യുക:
1) കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശക് ഉണ്ടാകാം. നിങ്ങൾ ഒരു "മോശം" ഭിന്നസംഖ്യയെ കണ്ടുമുട്ടിയ ഉടൻ, നിങ്ങൾ ഉടൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് വ്യവസ്ഥ ശരിയായി തിരുത്തിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടോ?. പിശകുകളില്ലാതെ വ്യവസ്ഥ മാറ്റിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വരിയിലെ (നിര) വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2) പരിശോധനയുടെ ഫലമായി പിശകുകളൊന്നും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, മിക്കവാറും ടാസ്‌ക് വ്യവസ്ഥകളിൽ അക്ഷരത്തെറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവസാനം വരെ ശാന്തമായും ശ്രദ്ധയോടെയും ജോലി ചെയ്യുക പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുകതീരുമാനത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ക്ലീൻ ഷീറ്റിൽ വരയ്ക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് അസുഖകരമായ ഒരു ജോലിയാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോലെയുള്ള ഏത് ബുൾഷിറ്റിനും ഒരു മൈനസ് നൽകാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന അധ്യാപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് നിരായുധീകരണ വാദമായിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് ഉദാഹരണം 8-ൻ്റെ ഉത്തരത്തിൽ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.
നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക, അത് പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം. വഴിയിൽ, പ്രോഗ്രാം ഉടനടി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലാഭകരമാണ് (പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് പോലും നിങ്ങൾ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്ത ഇടത്തരം ഘട്ടം നിങ്ങൾ കാണും); അതേ കാൽക്കുലേറ്റർ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരം യാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്നു മാട്രിക്സ് രീതി.
രണ്ടാമത്തെ പരാമർശം. കാലാകാലങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്‌ടമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ സിസ്റ്റങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്: 
ഇവിടെ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിളില്ല, രണ്ടാമത്തേതിൽ വേരിയബിളില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ശരിയായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്: 
- കാണാതായ വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
വഴിയിൽ, പൂജ്യം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരി (നിര) അനുസരിച്ച് പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തുറക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ കുറവാണ്.
ഉദാഹരണം 10
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. 
ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തെ ഉത്തരവും).
4 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾക്കനുസൃതമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്ന പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തത്സമയ ഉദാഹരണം കാണാൻ കഴിയും. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നു - അഞ്ച് നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തികച്ചും പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. ഒരു ഭാഗ്യശാലിയായ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നെഞ്ചിലെ പ്രൊഫസറുടെ ഷൂവിനെ ഈ ചുമതല ഇതിനകം വളരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നതാണെങ്കിലും.
ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു
രീതി വിപരീത മാട്രിക്സ്- ഇത് അടിസ്ഥാനപരമായി പ്രത്യേക കേസ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം(നിർദ്ദിഷ്ട പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക).
ഈ വിഭാഗം പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്താനും മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താനും കഴിയണം. വിശദീകരണങ്ങൾ പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ പ്രസക്തമായ ലിങ്കുകൾ നൽകും.
ഉദാഹരണം 11
മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക 
പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
, എവിടെ 
സമവാക്യങ്ങളുടെയും മെട്രിക്സിൻ്റെയും സിസ്റ്റം നോക്കുക. മൂലകങ്ങളെ മെട്രിക്സുകളായി എഴുതുന്ന തത്വം എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലാകുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ഒരേയൊരു അഭിപ്രായം: സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിലെ അനുബന്ധ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു:
, ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ് ബീജഗണിത കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകൾഅനുബന്ധ മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ.
ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോക്കാം:
ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ശ്രദ്ധ! എങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല, മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി (Gauss രീതി) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 9 പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുകയും അവയെ മൈനേഴ്സ് മാട്രിക്സിൽ എഴുതുകയും വേണം 
റഫറൻസ്:ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകളുടെ അർത്ഥം അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയുടെ സംഖ്യയാണ് ആദ്യ അക്കം. രണ്ടാമത്തെ അക്കം മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരയുടെ സംഖ്യയാണ്: 
അതായത്, ഒരു ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഘടകം ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകം 3 വരിയിലും 2 കോളത്തിലുമാണ്.
പരിഹാര സമയത്ത്, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ വിശദമായി വിവരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, എന്നിരുന്നാലും കുറച്ച് അനുഭവം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് വാക്കാലുള്ള പിശകുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവരെ കണക്കാക്കാൻ കഴിയും.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ അളവുകൾക്കായി തിരയുന്ന ഒരു രീതിയാണ് ക്രാമർ രീതി അല്ലെങ്കിൽ ക്രാമർ റൂൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത്. ആവശ്യപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം സിസ്റ്റത്തിലെ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ, അതായത്, സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് രൂപം കൊള്ളുന്ന പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരവും പൂജ്യം വരികൾ ഉൾക്കൊള്ളാത്തതും ആയിരിക്കണം, കൂടാതെ അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നിർബന്ധമാണെങ്കിൽ. പൂജ്യമാകരുത്.
സിദ്ധാന്തം 1
ക്രാമർ സിദ്ധാന്തംസമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സമാഹരിച്ച പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന നിർണ്ണായകമായ $D$ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, അതിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരവുമുണ്ട്. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയിലൂടെയാണ് അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം കണക്കാക്കുന്നത്: $x_i = \frac(D_i)(D)$
എന്താണ് ക്രാമർ രീതി?
ക്രാമർ രീതിയുടെ സാരം ഇപ്രകാരമാണ്:
- ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ആദ്യം $D$ എന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു. പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്, ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായി മാറുമ്പോൾ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരൊറ്റ പരിഹാരമോ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളോ ഇല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് പൊതുവായതോ ചില അടിസ്ഥാനപരമായതോ ആയ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ, ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.
- തുടർന്ന് നിങ്ങൾ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏറ്റവും പുറത്തുള്ള കോളം സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും $D_1$ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുകയും വേണം.
- $D_1$ മുതൽ $D_n$ വരെയുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ നേടിക്കൊണ്ട്, എല്ലാ നിരകൾക്കും ഒരേപോലെ ആവർത്തിക്കുക, ഇവിടെ $n$ എന്നത് വലതുവശത്തെ കോളത്തിൻ്റെ സംഖ്യയാണ്.
- എല്ലാ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളും $D_1$...$D_n$ കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, $x_i = \frac(D_i)(D)$ എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണക്കാക്കാം.
ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ
2 ബൈ 2 ൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം:
- ത്രികോണങ്ങളുടെ ഭരണം, അല്ലെങ്കിൽ സാറസിൻ്റെ ഭരണം, അതേ നിയമത്തെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു. ത്രികോണ രീതിയുടെ സാരം, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, വലതുവശത്തുള്ള ചുവന്ന വര ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രത്തിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും ഇടതുവശത്തുള്ള ചിത്രത്തിൽ സമാനമായ രീതിയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. രണ്ട് നിയമങ്ങളും 3 x 3 വലുപ്പമുള്ള മെട്രിക്‌സിന് അനുയോജ്യമാണ്. സാറസ് റൂളിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് തന്നെ ആദ്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു, അതിനടുത്തായി അതിൻ്റെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നിരകൾ വീണ്ടും വീണ്ടും എഴുതുന്നു. ഡയഗണലുകൾ മെട്രിക്സിലൂടെ വരയ്ക്കുന്നു, പ്രധാന ഡയഗണലിലോ അതിന് സമാന്തരമായോ കിടക്കുന്ന ഈ അധിക നിരകൾ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്നു, കൂടാതെ ദ്വിതീയ ഡയഗണലിൽ കിടക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തരമായ ഘടകങ്ങൾ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്നു.
ചിത്രം 1. ക്രാമർ രീതിയുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ട്രയാംഗിൾ റൂൾ
- ഗൗസിയൻ രീതി എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഈ രീതിയെ ചിലപ്പോൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ക്രമം കുറയ്ക്കൽ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സ് രൂപാന്തരപ്പെടുകയും ചുരുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ത്രികോണ കാഴ്ച, തുടർന്ന് പ്രധാന ഡയഗണലിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഗുണിക്കുന്നു. ഈ രീതിയിൽ ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റിനായി തിരയുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് വരികളോ നിരകളോ ഒരു ഗുണിതമോ വിഭജനമോ ആയി എടുക്കാതെ അവയെ സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കുകയോ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്. ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റിനായി തിരയുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, വരികളും നിരകളും പരസ്പരം കുറയ്ക്കാനും ചേർക്കാനും മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ, മുമ്പ് കുറച്ച വരിയെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ. കൂടാതെ, നിങ്ങൾ മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളോ നിരകളോ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോഴെല്ലാം, മാട്രിക്സിൻ്റെ അവസാന ചിഹ്നം മാറ്റേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.
- ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് 4 അജ്ഞാതർ ഉള്ള ഒരു SLAE പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് തിരയാനും ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താനും അല്ലെങ്കിൽ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ തിരഞ്ഞ് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നിർണ്ണയിക്കാനും നല്ലതാണ്.
ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ
2 സമവാക്യങ്ങളുടെയും ആവശ്യമായ രണ്ട് അളവുകളുടെയും സിസ്റ്റത്തിനായി നമുക്ക് ക്രാമർ രീതി പ്രയോഗിക്കാം:
$\begin(cases) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \ end(cases)$
സൗകര്യാർത്ഥം നമുക്ക് ഇത് വിപുലീകരിച്ച രൂപത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കാം:
$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്ന പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്താം:
$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$
പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ലോ പരിഹരിക്കുന്നതിന് രണ്ട് മെട്രിക്സുകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$
$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ $x_1$, $x_2$ എന്നിവ കണ്ടെത്താം:
$x_1 = \frac (D_1)(D)$
$x_2 = \frac (D_2)(D)$
ഉദാഹരണം 1
3-ആം ഓർഡറിൻ്റെ (3 x 3) ഒരു പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് SLAE-കൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ രീതിയും മൂന്ന് ആവശ്യമുള്ളവയും.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:
$\begin(കേസുകൾ) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \ അവസാനം (കേസുകൾ)$
പോയിൻ്റ് നമ്പർ 1-ന് കീഴിൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന നിയമം ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാം:
$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \ cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$
ഇപ്പോൾ മറ്റ് മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ:
$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \ end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \ cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296
$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \ end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \ cdot (-1) – 2 \cdot 10 \ cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108
$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \ end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \ cdot 9 \ cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60
ആവശ്യമായ അളവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:
$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$
$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$
$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$
ആദ്യ ഭാഗത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ചില സൈദ്ധാന്തിക വസ്തുക്കൾ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി, അതുപോലെ തന്നെ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി എന്നിവ പരിശോധിച്ചു. ഈ പേജിലൂടെ സൈറ്റ് ആക്സസ് ചെയ്ത എല്ലാവരേയും ആദ്യ ഭാഗം വായിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരുപക്ഷേ ചില സന്ദർശകർ മെറ്റീരിയൽ വളരെ ലളിതമായി കണ്ടെത്തും, പക്ഷേ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, പൊതുവെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട നിരവധി അഭിപ്രായങ്ങളും നിഗമനങ്ങളും നടത്തി.
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം വിശകലനം ചെയ്യും, അതുപോലെ തന്നെ വിപരീത മാട്രിക്സ് (മാട്രിക്സ് രീതി) ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കും. എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ലളിതമായും വിശദമായും വ്യക്തമായും അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, മുകളിൽ പറഞ്ഞ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മിക്കവാറും എല്ലാ വായനക്കാർക്കും പഠിക്കാൻ കഴിയും.
ആദ്യം, രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളിലുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കും. എന്തിനുവേണ്ടി? - എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഏറ്റവും ലളിതമായ സംവിധാനം സ്കൂൾ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, ടേം-ബൈ-ടേം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി!
ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായി രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ അത്തരമൊരു ചുമതല സംഭവിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. രണ്ടാമതായി, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ കേസിനായി ക്രാമർ റൂൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും - മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം.
കൂടാതെ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്, അവ ക്രാമർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമാണ്!
സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക
ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ്.
ഗാസ് രീതി.
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം:
ഒപ്പം
പ്രായോഗികമായി, മുകളിൽ പറഞ്ഞ യോഗ്യതകൾ ഒരു ലാറ്റിൻ അക്ഷരം കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം.
സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
,
ഉദാഹരണം 7
രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക
പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു; വലതുവശത്ത് കോമയുള്ള ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ കോമ വളരെ അപൂർവമായ ഒരു അതിഥിയാണ്.
അത്തരമൊരു സംവിധാനം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിളിനെ മറ്റൊന്നിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രവർത്തിക്കാൻ അങ്ങേയറ്റം അസൗകര്യമുള്ള ഭയാനകമായ ഫാൻസി ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകാം, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപകൽപ്പന ഭയങ്കരമായി കാണപ്പെടും. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് പദത്തെ ടേം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കാം, എന്നാൽ അതേ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഇവിടെയും ഉണ്ടാകും.
എന്തുചെയ്യും? അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു.
;
;
ഉത്തരം: ,
രണ്ട് വേരുകൾക്കും അനന്തമായ വാലുകളുണ്ട്, അവ ഏകദേശം കാണപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇക്കോണോമെട്രിക്സ് പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ് (സാധാരണമായത് പോലും).
ഇവിടെ അഭിപ്രായങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല, കാരണം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു മുന്നറിയിപ്പ് ഉണ്ട്. ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, നിർബന്ധിതംടാസ്‌ക് ഡിസൈനിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം ഇനിപ്പറയുന്ന ശകലമാണ്: "ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ടെന്നാണ്". അല്ലെങ്കിൽ, ക്രാമർ സിദ്ധാന്തത്തോടുള്ള അനാദരവിന് നിരൂപകൻ നിങ്ങളെ ശിക്ഷിച്ചേക്കാം.
ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ സൗകര്യപ്രദമായി നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുന്ന പരിശോധിക്കുന്നത് അമിതമായിരിക്കില്ല: സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള നമ്പറുകൾ ലഭിക്കണം.
ഉദാഹരണം 8
സാധാരണ അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ ഉത്തരം അവതരിപ്പിക്കുക. ഒരു പരിശോധന നടത്തുക.
ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു ഉദാഹരണവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും).
മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ക്രാമറിൻ്റെ നിയമം പരിഗണിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: 
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ അസ്ഥിരമാണ് (പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്രാമർ റൂൾ സഹായിക്കില്ല, നിങ്ങൾ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന് അദ്വിതീയമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കൂടി കണക്കാക്കണം: 
, , 
അവസാനമായി, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണക്കാക്കുന്നു: 
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "മൂന്ന് മൂന്ന്" കേസ് അടിസ്ഥാനപരമായി "രണ്ട് ബൈ ടു" കേസിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല;
ഉദാഹരണം 9
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.
പരിഹാരം: നമുക്ക് ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. 
, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.
ഉത്തരം: 
.
യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇവിടെ വീണ്ടും പ്രത്യേകമായി അഭിപ്രായം പറയാൻ ഒന്നുമില്ല, കാരണം പരിഹാരം റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലകൾ പിന്തുടരുന്നു. എന്നാൽ ഒന്നുരണ്ടു കമൻ്റുകൾ ഉണ്ട്.
കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, "മോശം" കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകൾ ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
ഇനിപ്പറയുന്ന "ചികിത്സ" അൽഗോരിതം ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ചെയ്യുക:
1) കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശക് ഉണ്ടാകാം. നിങ്ങൾ ഒരു "മോശം" ഭിന്നസംഖ്യയെ കണ്ടുമുട്ടിയ ഉടൻ, നിങ്ങൾ ഉടൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് വ്യവസ്ഥ ശരിയായി തിരുത്തിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടോ?. പിശകുകളില്ലാതെ വ്യവസ്ഥ മാറ്റിയെഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റൊരു വരിയിലെ (നിര) വിപുലീകരണം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.
2) പരിശോധനയുടെ ഫലമായി പിശകുകളൊന്നും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിൽ, മിക്കവാറും ടാസ്‌ക് വ്യവസ്ഥകളിൽ അക്ഷരത്തെറ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവസാനം വരെ ശാന്തമായും ശ്രദ്ധയോടെയും ജോലി ചെയ്യുക പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുകതീരുമാനത്തിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ അത് ഒരു ക്ലീൻ ഷീറ്റിൽ വരയ്ക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുന്നത് അസുഖകരമായ ഒരു ജോലിയാണ്, എന്നാൽ ഇത് പോലെയുള്ള ഏത് ബുൾഷിറ്റിനും ഒരു മൈനസ് നൽകാൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്ന അധ്യാപകനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ഇത് നിരായുധീകരണ വാദമായിരിക്കും. ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യണമെന്ന് ഉദാഹരണം 8-ൻ്റെ ഉത്തരത്തിൽ വിശദമായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു.
നിങ്ങളുടെ കയ്യിൽ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ ഒരു ഓട്ടോമേറ്റഡ് പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക, അത് പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ സൗജന്യമായി ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യാം. വഴിയിൽ, പ്രോഗ്രാം ഉടനടി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലാഭകരമാണ് (പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് പോലും നിങ്ങൾ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്ത ഇടത്തരം ഘട്ടം നിങ്ങൾ കാണും); അതേ കാൽക്കുലേറ്റർ മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം യാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ പരാമർശം. കാലാകാലങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്‌ടമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ സിസ്റ്റങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്: 
ഇവിടെ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിളില്ല, രണ്ടാമത്തേതിൽ വേരിയബിളില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രധാന ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ശരിയായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്: 
- കാണാതായ വേരിയബിളുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു.
വഴിയിൽ, പൂജ്യം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരി (നിര) അനുസരിച്ച് പൂജ്യങ്ങളുള്ള ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തുറക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ കുറവാണ്.
ഉദാഹരണം 10
ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. 
ഇത് ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ് (അവസാന രൂപകൽപ്പനയുടെ ഒരു മാതൃകയും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തെ ഉത്തരവും).
4 അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള 4 സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ക്രാമറിൻ്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സമാനമായ തത്ത്വങ്ങൾക്കനുസൃതമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ എന്ന പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തത്സമയ ഉദാഹരണം കാണാൻ കഴിയും. ഡിറ്റർമിനൻ്റിൻ്റെ ക്രമം കുറയ്ക്കുന്നു - അഞ്ച് നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ തികച്ചും പരിഹരിക്കാവുന്നവയാണ്. ഒരു ഭാഗ്യശാലിയായ വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നെഞ്ചിലെ പ്രൊഫസറുടെ ഷൂവിനെ ഈ ചുമതല ഇതിനകം വളരെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നതാണെങ്കിലും.
ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നു
വിപരീത മാട്രിക്സ് രീതി പ്രധാനമായും ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് മാട്രിക്സ് സമവാക്യം(നിർദ്ദിഷ്ട പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 കാണുക).
ഈ വിഭാഗം പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കാനും മാട്രിക്സിൻ്റെ വിപരീതം കണ്ടെത്താനും മാട്രിക്സ് ഗുണനം നടത്താനും കഴിയണം. വിശദീകരണങ്ങൾ പുരോഗമിക്കുമ്പോൾ പ്രസക്തമായ ലിങ്കുകൾ നൽകും.
ഉദാഹരണം 11
മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക
പരിഹാരം: നമുക്ക് സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
, എവിടെ 
സമവാക്യങ്ങളുടെയും മെട്രിക്സിൻ്റെയും സിസ്റ്റം നോക്കുക. മൂലകങ്ങളെ മെട്രിക്സുകളായി എഴുതുന്ന തത്വം എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലാകുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ഒരേയൊരു അഭിപ്രായം: സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില വേരിയബിളുകൾ നഷ്ടപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിലെ അനുബന്ധ സ്ഥലങ്ങളിൽ പൂജ്യങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നു:
, മാട്രിക്സിൻ്റെ അനുബന്ധ മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സ് എവിടെയാണ്.
ആദ്യം, നമുക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് നോക്കാം:
ഇവിടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് ആദ്യ വരിയിൽ വികസിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
ശ്രദ്ധ! എങ്കിൽ, വിപരീത മാട്രിക്സ് നിലവിലില്ല, മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അജ്ഞാതരെ ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി (Gauss രീതി) വഴി സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 9 പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കുകയും അവയെ മൈനേഴ്സ് മാട്രിക്സിൽ എഴുതുകയും വേണം
റഫറൻസ്:ലീനിയർ ബീജഗണിതത്തിലെ ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌റ്റുകളുടെ അർത്ഥം അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന വരിയുടെ സംഖ്യയാണ് ആദ്യ അക്കം. രണ്ടാമത്തെ അക്കം മൂലകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന നിരയുടെ സംഖ്യയാണ്: 
അതായത്, ഒരു ഇരട്ട സബ്‌സ്‌ക്രിപ്റ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഘടകം ആദ്യ വരിയിലും മൂന്നാം നിരയിലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഘടകം 3 വരിയിലും 2 കോളത്തിലുമാണ്.
