ഗാസ് രീതിലീനിയർ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അത്യുത്തമം ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ(SLAU). മറ്റ് രീതികളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇതിന് നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
- ഒന്നാമതായി, സ്ഥിരതയ്ക്കായി സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം ആദ്യം പരിശോധിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല;
- രണ്ടാമതായി, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒത്തുപോകുന്നതും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ലാത്തതുമായ SLAE-കൾ മാത്രമല്ല, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഗോസ് രീതിക്ക് കഴിയും. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്;
- മൂന്നാമതായി, ഗൗസിയൻ രീതി താരതമ്യേന കുറഞ്ഞ എണ്ണം കംപ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
ലേഖനത്തിൻ്റെ സംക്ഷിപ്ത അവലോകനം.
ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകുകയും നൊട്ടേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
അടുത്തതായി, ഏറ്റവും ലളിതമായ കേസിനായി, ഗാസ് രീതിയുടെ അൽഗോരിതം ഞങ്ങൾ വിവരിക്കും, അതായത്, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണവും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. അത്തരം സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഗാസ് രീതിയുടെ സാരാംശം വളരെ വ്യക്തമായി കാണാം, ഇത് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഉന്മൂലനം ആണ്. അതിനാൽ, ഗൗസിയൻ രീതിയെ അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.
ഉപസംഹാരമായി, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം പരിഗണിക്കും, ഇതിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരാകൃതിയിലോ ഏകവചനമോ ആണ്. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് ചില സവിശേഷതകൾ ഉണ്ട്, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കും.
പേജ് നാവിഗേഷൻ.
അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും നൊട്ടേഷനുകളും.
പിയുടെ ഒരു സംവിധാനം പരിഗണിക്കുക രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ n അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം (p n ന് തുല്യമാകാം):
അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ എവിടെയാണ്, സംഖ്യകൾ (യഥാർത്ഥമോ സങ്കീർണ്ണമോ) അവ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളാണ്.
എങ്കിൽ 
, അപ്പോൾ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ വ്യവസ്ഥയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അല്ലാത്തപക്ഷം - വൈവിധ്യമാർന്ന.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ വിളിക്കുന്നു SLAU യുടെ തീരുമാനം.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത, അല്ലാത്തപക്ഷം - നോൺ-ജോയിൻ്റ്.
ഒരു SLAE ന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്. ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു അനിശ്ചിതത്വം.
സിസ്റ്റം എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു കോർഡിനേറ്റ് ഫോം, അതിന് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ
.
ഈ സംവിധാനം മാട്രിക്സ് ഫോംറെക്കോർഡുകൾക്ക് ഫോം ഉണ്ട് 
- SLAE യുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, - അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ നിരയുടെ മാട്രിക്സ്, - സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്.
(n+1)മത്തെ നിരയായി മാട്രിക്സ് A-ലേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് കോളം ചേർത്താൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ്രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. സാധാരണഗതിയിൽ, ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് T എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ നിരയെ ശേഷിക്കുന്ന നിരകളിൽ നിന്ന് ഒരു ലംബ വരയാൽ വേർതിരിക്കുന്നു, അതായത്, 
സ്ക്വയർ മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കുന്നു അധഃപതിക്കുക, അതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ. എങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് എ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ജീർണ്ണതയില്ലാത്ത.
ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിൻ്റ് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രകടനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ
- രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക,
- ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും അനിയന്ത്രിതവും പൂജ്യമല്ലാത്തതുമായ യഥാർത്ഥ (അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണമായ) സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക,
- ഏതെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ ചേർക്കുക, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ,
അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ പരിഹാരങ്ങളുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥമായത് പോലെ, പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത) തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിനായി, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വരികൾക്കൊപ്പം പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്:
- രണ്ട് വരികൾ മാറ്റി,
- മാട്രിക്സ് T യുടെ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക,
- ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വരിയിലെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക് മറ്റൊരു വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഗാസ് രീതിയുടെ വിവരണത്തിലേക്ക് പോകാം.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമല്ല, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്.
സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല ഞങ്ങളെ ഏൽപ്പിച്ചാൽ ഞങ്ങൾ സ്കൂളിൽ എന്തുചെയ്യും? 
.
ചിലർ അത് ചെയ്യുമായിരുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ചേർക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ഇടത് വശംആദ്യം, വലതുവശത്ത് - വലത്, നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 2, x 3 എന്നിവ ഒഴിവാക്കാനും ഉടൻ x 1 കണ്ടെത്താനും കഴിയും: 
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം x 1 =1 സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അവയെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x 3 വേരിയബിൾ ഒഴിവാക്കി x 2 കണ്ടെത്താനാകും: 
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം x 2 = 2 മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു: 
മറ്റുള്ളവർ വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്യുമായിരുന്നു.
അജ്ഞാതമായ x 1 എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം നമുക്ക് പരിഹരിക്കാം, കൂടാതെ ഈ വേരിയബിളിനെ അവയിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നതിന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: 
ഇനി നമുക്ക് x 2-നുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് അതിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ x 2 വേരിയബിൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് ലഭിച്ച ഫലം മൂന്നാം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 3 =3 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.
പരിചിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ, അല്ലേ?
ഇവിടെ ഏറ്റവും രസകരമായ കാര്യം, രണ്ടാമത്തെ പരിഹാര രീതി പ്രധാനമായും അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതിയാണ്, അതായത്, ഗാസിയൻ രീതി. ഞങ്ങൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ (ആദ്യം x 1, അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ x 2) പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അവ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അവയെ ഒഴിവാക്കി. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിൾ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നത് വരെ ഞങ്ങൾ എലിമിനേഷൻ നടത്തി. അജ്ഞാതരെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേരിട്ടുള്ള ഗൗസിയൻ രീതി. പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം മുന്നോട്ട് സ്ട്രോക്ക്അവസാന സമവാക്യത്തിലെ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണക്കാക്കാനുള്ള അവസരം ഇപ്പോൾ നമുക്കുണ്ട്. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത അജ്ഞാത വേരിയബിൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേർ വിപരീതംഗാസ് രീതി.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ x 2, x 3 എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരേ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്:
വാസ്തവത്തിൽ, അത്തരമൊരു നടപടിക്രമം സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്തപ്പോൾ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന സൂക്ഷ്മതകൾ ഉണ്ടാകുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്, SLAU-ൽ 
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ x 1 എന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളില്ല (മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിൻ്റെ മുൻവശത്തുള്ള ഗുണകം പൂജ്യമാണ്). അതിനാൽ, ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിളിനെ ഇല്ലാതാക്കാൻ നമുക്ക് x 1-നുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാനുള്ള വഴി സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ മാറ്റുക എന്നതാണ്. പ്രധാന മെട്രിക്സുകളുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള വേരിയബിൾ ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്, ഈ സമവാക്യം നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള സ്ഥാനത്തേക്ക് പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്താൽ മതി 
, തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് x 1 നുള്ള ആദ്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനും സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് ഒഴിവാക്കാനും കഴിയും (രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x 1 ഇനി ഇല്ലെങ്കിലും).
നിങ്ങൾക്ക് സംഗ്രഹം ലഭിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
നമുക്ക് വിവരിക്കാം ഗൗസിയൻ രീതി അൽഗോരിതം.
n അജ്ഞാതമായ n ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക. രൂപത്തിൻ്റെ വേരിയബിളുകൾ 
, കൂടാതെ അതിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാകട്ടെ.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് നേടാനാകുമെന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഒഴിവാക്കാം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , അങ്ങനെ അങ്ങനെ, n-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ആദ്യത്തേത്, ഗുണിച്ച് . അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും 
എവിടെ ഒപ്പം 
.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലെ മറ്റ് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നെങ്കിൽ നമ്മൾ ഇതേ ഫലത്തിൽ എത്തുമായിരുന്നു. അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 1 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.
അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ സമാനമായ രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു, പക്ഷേ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രം, അത് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു 
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ , അങ്ങനെ അങ്ങനെ, nth സമവാക്യത്തിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തേത് ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ച് . അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും 
എവിടെ ഒപ്പം 
. അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 2 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ.
അടുത്തതായി, ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഭാഗവുമായി ഞങ്ങൾ സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, അജ്ഞാതമായ x 3 ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. 
അതിനാൽ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതി തുടരുന്നു 
ഈ നിമിഷം മുതൽ ഞങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം ആരംഭിക്കുന്നു: അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x n കണക്കാക്കുന്നു, x n ൻ്റെ ലഭിച്ച മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n-1 കണ്ടെത്തുന്നു, അങ്ങനെ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 1 കണ്ടെത്തുന്നു. .
ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് അൽഗോരിതം നോക്കാം.
ഉദാഹരണം.
ഗാസ് രീതി.
പരിഹാരം.
കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് a 11 പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഗാസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതിയിലേക്ക് പോകാം, അതായത്, ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാതമായ x 1 വേരിയബിളിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക്, യഥാക്രമം യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ ചേർക്കുക. 
ഒപ്പം : 
അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഇല്ലാതാക്കി, നമുക്ക് x 2 ഒഴിവാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ യഥാക്രമം ഗുണിച്ച് ചേർക്കുന്നു. 
ഒപ്പം 
:
ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ മുന്നോട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കാൻ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഇല്ലാതാക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതും വലതും യഥാക്രമം, ഇടത്, എന്നിവ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം വലത് വശംമൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഗുണിച്ചാൽ 
:
നിങ്ങൾക്ക് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം ആരംഭിക്കാം.
നമുക്കുള്ള അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 
,
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്,
രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന്,
ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന്.
പരിശോധിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഐഡൻ്റിറ്റികളായി മാറുന്നു, ഇത് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തിയെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഉത്തരം:
ഇപ്പോൾ മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിലെ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് അതേ ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പരിഹാരം നൽകാം.
ഉദാഹരണം.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക ഗാസ് രീതി.
പരിഹാരം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് 
. ഓരോ നിരയുടെയും മുകളിൽ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്.
ഇവിടെ ഗാസിയൻ രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള സമീപനം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു ട്രപസോയ്ഡൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ചെയ്ത അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ് ഈ പ്രക്രിയ. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇത് കാണും.
നമുക്ക് മാട്രിക്സ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം, അങ്ങനെ ആദ്യ നിരയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് പൂജ്യമാകും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു , അതനുസരിച്ച്: 
അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ രണ്ടാമത്തെ നിരയിൽ മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകും. ഇത് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 2 ഇല്ലാതാക്കുന്നതിന് സമാനമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ ഒപ്പം :
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 3 ഒഴിവാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ അവസാന വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ :
ഈ മാട്രിക്സ് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് 
ഒരു മുന്നേറ്റത്തിന് ശേഷം നേരത്തെ ലഭിച്ചതാണ്.
പിന്തിരിയാൻ സമയമായി. മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിൽ, ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിനെ ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന തരത്തിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. 
ഡയഗണൽ ആയി, അതായത്, രൂപം സ്വീകരിച്ചു 
ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്.
ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ്, എന്നാൽ ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് അവസാനത്തേയ്ക്കല്ല, അവസാനത്തേത് മുതൽ ആദ്യത്തേത് വരെ.
മൂന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യ വരികളിലെയും ഘടകങ്ങളിലേക്ക് അവസാന വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളെ ഗുണിച്ച് ചേർക്കുക 
, പിന്നെയും പിന്നെയും 
യഥാക്രമം: 
ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെയും ആദ്യ വരികളിലെയും ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ: 
റിവേഴ്സ് ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, ആദ്യ വരിയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ: 
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു 
, എവിടെ നിന്നാണ് നമ്മൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത്.
ഉത്തരം:
കുറിപ്പ്.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കണം, കാരണം ഇത് പൂർണ്ണമായും തെറ്റായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ദശാംശങ്ങൾ റൗണ്ട് ചെയ്യരുതെന്ന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. നിന്ന് നല്ലത് ദശാംശങ്ങൾസാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് നീങ്ങുക.
ഉദാഹരണം.
ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക 
.
പരിഹാരം.
ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു പദവി ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക (x 1, x 2, x 3 അല്ല, x, y, z). നമുക്ക് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് പോകാം: 
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ x ഒഴിവാക്കാം: 
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ y ഇല്ല, എന്നാൽ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ y ഉണ്ട്, അതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം: 
ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കുന്നു (ഈ അജ്ഞാത വേരിയബിൾ നിലവിലില്ലാത്തതിനാൽ, മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y ഒഴിവാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല).
നമുക്ക് വിപരീത നീക്കം ആരംഭിക്കാം.
അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
,
അവസാനഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് 
നമുക്കുള്ള ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 
ഉത്തരം:
X = 10, y = 5, z = -20.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഏകവചനമാണ്, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതോ ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതോ ആയ ഏകവചനമായ പ്രധാന മാട്രിക്സിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, ഒരൊറ്റ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.
ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊരുത്തമോ പൊരുത്തക്കേടോ സ്ഥാപിക്കാൻ ഗോസ് രീതി ഞങ്ങളെ എങ്ങനെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മനസ്സിലാകും, കൂടാതെ അതിൻ്റെ അനുയോജ്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും (അല്ലെങ്കിൽ ഒരൊറ്റ പരിഹാരം) നിർണ്ണയിക്കുക.
തത്വത്തിൽ, അത്തരം SLAE-കളുടെ കാര്യത്തിൽ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയ അതേപടി തുടരുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഉണ്ടാകാനിടയുള്ള ചില സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് വിശദമായി പരിശോധിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.
നമുക്ക് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം.
അതിനാൽ, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം, ഗാസ് രീതിയുടെ മുന്നോട്ടുള്ള പുരോഗതി പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, രൂപം എടുക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. 
ഒരു സമവാക്യം പോലും കുറച്ചില്ല (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റം അനുയോജ്യമല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും). ഒരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: "അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണം"?
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ആദ്യം വരുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ നമുക്ക് എഴുതാം: 
ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഇവ x 1, x 4, x 5 എന്നിവയാണ്. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത്, എഴുതിയ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 1, x 4, x 5 എന്നിവ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുന്നു: 
സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തുള്ള അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം, എവിടെ 
- അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ: 
ഇതിനുശേഷം, ഞങ്ങളുടെ SLAE യുടെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും വലതുവശത്ത് സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ഗോസിയൻ രീതിയുടെ വിപരീതത്തിലേക്ക് പോകാം.
നമുക്കുള്ള സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്ന അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് 
അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം 
നമ്പറുകൾ നൽകുന്നു വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് വ്യത്യസ്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും. അതായത്, നമ്മുടെ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.
ഉത്തരം:
എവിടെ - അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ.
മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും.
ഉദാഹരണം.
തീരുമാനിക്കുക ഏകതാനമായ സംവിധാനംരേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ 
ഗാസ് രീതി.
പരിഹാരം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക്, ഞങ്ങൾ യഥാക്രമം, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഇടത്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത് വശങ്ങൾ, ഗുണിച്ചാൽ: 
ഇപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y ഒഴിവാക്കാം: 
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന SLAE സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ് 
.
ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x, y എന്നിവ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം വിടുന്നു, കൂടാതെ z എന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുള്ള നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു: 
പരിഹരിക്കേണ്ട ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ (സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യത്തെയും ഒരു സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്ന അജ്ഞാതമായ xi യുടെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഇവ ചെയ്യാമെന്ന് നമുക്കറിയാം:
1) പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല (ആവുക നോൺ-ജോയിൻ്റ്).
2) അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.
3) ഒരൊറ്റ പരിഹാരം.
നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ക്രാമറിൻ്റെ ഭരണവും മാട്രിക്സ് രീതിസിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളതോ പൊരുത്തമില്ലാത്തതോ ആയ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനുയോജ്യമല്ല. ഗാസ് രീതി – രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏത് സിസ്റ്റത്തിനും പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ശക്തവും ബഹുമുഖവുമായ ഉപകരണം, ഏത് എല്ലാ സാഹചര്യത്തിലുംഉത്തരത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കും! എല്ലാത്തിലും രീതിയുടെ അൽഗോരിതം മൂന്ന് കേസുകൾഒരേപോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ക്രാമർ, മാട്രിക്സ് രീതികൾക്ക് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ, ഗാസ് രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾക്ക് അറിവ് മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ. ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഇത് പ്രൈമറി സ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതാക്കുന്നു.
ഓഗ്മെൻ്റഡ് മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങൾ ( ഇതാണ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് - അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ്, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം)ഗാസ് രീതിയിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ:
1) കൂടെ ട്രോക്കിമെട്രിക്സ് കഴിയും പുനഃക്രമീകരിക്കുകചില സ്ഥലങ്ങളിൽ.
2) മാട്രിക്സിൽ ആനുപാതികമായവ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടാൽ (അല്ലെങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്). പ്രത്യേക കേസ്- സമാന) വരികൾ, തുടർന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു ഇല്ലാതാക്കുകഈ വരികൾ ഒന്നൊഴികെ മാട്രിക്സിൽ നിന്നുള്ളതാണ്.
3) പരിവർത്തന സമയത്ത് മാട്രിക്സിൽ ഒരു പൂജ്യം വരി ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, അതും ആയിരിക്കണം ഇല്ലാതാക്കുക.
4) മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒരു വരി ആകാം ഗുണിക്കുക (വിഭജിക്കുക)പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള ഏത് സംഖ്യയിലേക്കും.
5) നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഒരു നിരയിലേക്ക് ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മറ്റൊരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുക, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.
ഗാസ് രീതിയിൽ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തെ മാറ്റില്ല.
ഗാസ് രീതി രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:
- "ഡയറക്ട് മൂവ്" - പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് ഒരു "ത്രികോണ" സ്റ്റെപ്പ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക: പ്രധാന ഡയഗണലിന് താഴെയുള്ള വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് നീങ്ങുക). ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ തരത്തിലേക്ക്:
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ ചെയ്യുക:
1) ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, കൂടാതെ x 1 ൻ്റെ ഗുണകം K ന് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് മുതലായവ. ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: ഞങ്ങൾ ഓരോ സമവാക്യത്തെയും (അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങൾ, സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ) അജ്ഞാതമായ x 1 ൻ്റെ ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, അത് ഓരോ സമവാക്യത്തിലും K കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേത് കുറയ്ക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം (അജ്ഞാതരുടെയും സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെയും ഗുണകങ്ങൾ). രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലെ x 1-ന് നമുക്ക് ഗുണകം 0 ലഭിക്കും. മൂന്നാമത് രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യ സമവാക്യം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും അജ്ഞാതമായ x 1-ന് ഒരു ഗുണകം 0 ഉണ്ടാകുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു.
2) നമുക്ക് അടുത്ത സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം. ഇത് M ന് തുല്യമായ x 2 ൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യവും ഗുണകവും ആയിരിക്കട്ടെ. മുകളിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ എല്ലാ "താഴ്ന്ന" സമവാക്യങ്ങളുമായി ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. അങ്ങനെ, അജ്ഞാതമായ x 2 ന് "കീഴിൽ" എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും പൂജ്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.
3) അവസാനമായി അറിയപ്പെടാത്തതും രൂപാന്തരപ്പെട്ട സ്വതന്ത്ര പദവും നിലനിൽക്കുന്നതുവരെ അടുത്ത സമവാക്യത്തിലേക്കും മറ്റും നീങ്ങുക.
- ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ("ബോട്ടം-അപ്പ്" മൂവ്) ഒരു സമ്പ്രദായത്തിന് പരിഹാരം നേടുക എന്നതാണ് ഗാസ് രീതിയുടെ "റിവേഴ്സ് മൂവ്". അവസാനത്തെ "താഴ്ന്ന" സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു ആദ്യ പരിഹാരം ലഭിക്കും - അജ്ഞാതമായ x n. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ A * x n = B എന്ന പ്രാഥമിക സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, x 3 = 4. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ "അപ്പർ" അടുത്ത സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, അടുത്ത അജ്ഞാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അത് പരിഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 - 4 = 1, അതായത്. x 2 = 5. അജ്ഞാതരെ കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ.
ഉദാഹരണം.
ചില രചയിതാക്കൾ ഉപദേശിക്കുന്നതുപോലെ, നമുക്ക് ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം:
നമുക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് എഴുതാം, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിനെ ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:
ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഇടത് "പടി" നോക്കുന്നു. നമുക്ക് അവിടെ ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കണം. ആദ്യത്തെ നിരയിൽ യൂണിറ്റുകളൊന്നും ഇല്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം, അതിനാൽ വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് ഒന്നും പരിഹരിക്കില്ല. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യൂണിറ്റ് ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് സംഘടിപ്പിക്കണം. ഇത് സാധാരണയായി പല തരത്തിൽ ചെയ്യാം. നമുക്കിത് ചെയ്യാം:
1 ഘട്ടം
. ആദ്യ വരിയിലേക്ക് നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ വരി ചേർക്കുന്നു, അത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയെ മാനസികമായി –1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഒന്നും രണ്ടും വരികൾ ചേർത്തു, രണ്ടാമത്തെ വരി മാറില്ല.
ഇപ്പോൾ മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "മൈനസ് വൺ" ഉണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾക്ക് നന്നായി യോജിക്കുന്നു. +1 നേടാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ആർക്കും ഒരു അധിക പ്രവർത്തനം നടത്താം: ആദ്യ വരി –1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (അതിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുക).
ഘട്ടം 2 . ആദ്യത്തെ വരി, 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ, 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാം വരിയിൽ ചേർത്തു.
ഘട്ടം 3 . ആദ്യ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു, തത്വത്തിൽ, ഇത് സൗന്ദര്യത്തിനാണ്. മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ അടയാളവും മാറ്റി, അത് രണ്ടാം സ്ഥാനത്തേക്ക് മാറ്റി, അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ "ഘട്ടത്തിൽ" ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായ യൂണിറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു.
ഘട്ടം 4 . രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ മൂന്നാമത്തെ വരി ചേർത്തു, 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചു.
ഘട്ടം 5 . മൂന്നാമത്തെ വരി 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചു.
കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ പിശക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു അടയാളം (പലപ്പോഴും ഒരു അക്ഷരത്തെറ്റ്) ഒരു "മോശം" അടിവരയാണ്. അതായത്, താഴെ (0 0 11 |23) പോലെ എന്തെങ്കിലും ലഭിച്ചാൽ, അതനുസരിച്ച്, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ഉയർന്ന തോതിലുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്രാഥമിക സമയത്ത് ഒരു പിശക് സംഭവിച്ചുവെന്ന് പറയാം. രൂപാന്തരങ്ങൾ.
ഉദാഹരണങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിൽ നമുക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാം, സിസ്റ്റം തന്നെ പലപ്പോഴും മാറ്റിയെഴുതില്ല, എന്നാൽ സമവാക്യങ്ങൾ "നൽകിയ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് എടുത്തതാണ്." റിവേഴ്സ് മൂവ്, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഫലം ഒരു സമ്മാനമായിരുന്നു:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, അതിനാൽ x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
ഉത്തരം:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
നിർദ്ദിഷ്ട അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അതേ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 5 കൊണ്ടും മൂന്നാമത്തേത് 3 കൊണ്ടും ഹരിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 0.64 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 0.4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരു "സ്റ്റെപ്പ്ഡ്" എക്സ്റ്റൻഡഡ് മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
അതിനാൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിഴവ് സംഭവിച്ചതിനാൽ, നമുക്ക് x 3 = 0.96 അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം 1 ലഭിക്കും.
x 2 = 3, x 1 = –1.
ഈ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾ ഒരിക്കലും കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകില്ല, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടൽ പിശകുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും നിങ്ങൾക്ക് ഫലം ലഭിക്കും.
ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി പ്രോഗ്രാം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്, അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾഅജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ, കാരണം പ്രായോഗികമായി (സാമ്പത്തികവും സാങ്കേതികവുമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ) ഒരാൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത ഗുണകങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
ഞാൻ നിങ്ങൾക്കു വിജയം നേരുന്നു! ക്ലാസ്സിൽ കാണാം! ട്യൂട്ടർ.
blog.site, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.
സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ, ∆≠0. (1)ഗാസ് രീതിഅജ്ഞാതങ്ങളെ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്.
ഗോസ് രീതിയുടെ സാരം (1) ഒരു ത്രികോണ മാട്രിക്സ് ഉള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക എന്നതാണ്, അതിൽ നിന്ന് എല്ലാ അജ്ഞാതരുടെയും മൂല്യങ്ങൾ തുടർച്ചയായി (വിപരീതമായി) ലഭിക്കും. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ സ്കീമുകളിലൊന്ന് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഈ സർക്യൂട്ടിനെ സിംഗിൾ ഡിവിഷൻ സർക്യൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഈ ഡയഗ്രം നോക്കാം. ഒരു 11 ≠0 (ലീഡിംഗ് എലമെൻ്റ്) ആദ്യ സമവാക്യത്തെ 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കട്ടെ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
(2)
സമവാക്യം (2) ഉപയോഗിച്ച്, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ x 1 ഇല്ലാതാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് (ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഓരോ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും സമവാക്യം (2) കുറച്ചാൽ മതി, മുമ്പ് x 1 ൻ്റെ അനുബന്ധ ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ). , അതായത്, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും
.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഘട്ടം 1-ൽ, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന തുടർന്നുള്ള വരികളിലെ ഓരോ ഘടകവും ആദ്യ നിരയിലേക്കും ആദ്യ (രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ) വരിയിലേക്കും യഥാർത്ഥ മൂലകവും അതിൻ്റെ “പ്രൊജക്ഷൻ്റെ” ഉൽപ്പന്നവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഇതിനെത്തുടർന്ന്, ആദ്യ സമവാക്യം മാത്രം ഉപേക്ഷിച്ച്, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ലഭിച്ച സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ സമാനമായ ഒരു പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു: അവയിൽ നിന്ന് മുൻനിര ഘടകവുമായുള്ള സമവാക്യം ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ശേഷിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് x 2 ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ (ഘട്ടം 2).
n ഘട്ടങ്ങൾക്ക് ശേഷം, (1) എന്നതിന് പകരം, നമുക്ക് തുല്യമായ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിക്കും 
(3)
അങ്ങനെ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു ത്രികോണ സംവിധാനം (3) ലഭിക്കും. ഈ ഘട്ടത്തെ ഫോർവേഡ് സ്ട്രോക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ (റിവേഴ്സ്), ഞങ്ങൾ (3) x n, x n -1, ..., x 1 മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നു.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം x 0 ആയി സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ വ്യത്യാസം ε=b-A x 0 അവശിഷ്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ε=0 ആണെങ്കിൽ, കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരം x 0 ശരിയാണ്.
ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടത്തുന്നത്:
- ആദ്യ ഘട്ടത്തെ ഫോർവേഡ് രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം ഒരു ത്രികോണ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.
- രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തെ റിവേഴ്സ് സ്ട്രോക്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായ ഒരു ത്രികോണ സംവിധാനം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, മുൻനിര ഘടകം പൂജ്യമല്ലെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു. ഇത് അങ്ങനെയല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതുപോലെ മറ്റേതെങ്കിലും മൂലകത്തെ മുൻനിര ഘടകമായി ഉപയോഗിക്കാം.
ഗാസ് രീതിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം
ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാണ് ഗാസ് രീതി രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത്. നേരിട്ടുള്ള പരിഹാര രീതികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ തരങ്ങൾ
- ക്ലാസിക്കൽ ഗൗസിയൻ രീതി;
- ഗാസ് രീതിയുടെ പരിഷ്കാരങ്ങൾ. ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ പരിഷ്ക്കരണങ്ങളിലൊന്ന് പ്രധാന ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഒരു സ്കീമാണ്. പ്രധാന ഘടകത്തിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം ഗാസ് രീതിയുടെ ഒരു സവിശേഷത സമവാക്യങ്ങളുടെ പുനഃക്രമീകരണമാണ്, അതിനാൽ kth ഘട്ടത്തിൽ മുൻനിര ഘടകം kth നിരയിലെ ഏറ്റവും വലിയ ഘടകമായി മാറുന്നു.
- ജോർഡാനോ-ഗൗസ് രീതി;
നമുക്ക് വ്യത്യാസം വിശദീകരിക്കാം ജോർഡാനോ-ഗാസ് രീതിഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ നിന്ന്.
ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം
നമുക്ക് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം: 
കണക്കുകൂട്ടൽ എളുപ്പത്തിനായി, നമുക്ക് വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാം: 
നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരി (2) കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. 3-ആം വരി 2-ലേക്ക് ചേർക്കുക 
രണ്ടാമത്തെ വരി (-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. 2-ആം വരി 1-ലേക്ക് ചേർക്കുക 
ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x 3 പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x 2 പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: 
ജോർഡാനോ-ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം
ജോർഡാനോ-ഗൗസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അതേ SLAE പരിഹരിക്കാം. 
മാട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന ഡയഗണലിലുള്ള RE സോൾവിംഗ് ഘടകം ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി തിരഞ്ഞെടുക്കും.
റെസലൂഷൻ ഘടകം (1) ന് തുല്യമാണ്.
NE = SE - (A*B)/RE
RE - പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം (1), A, B - മാട്രിക്സ് ഘടകങ്ങൾ STE, RE എന്നീ ഘടകങ്ങളുമായി ഒരു ദീർഘചതുരം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.
ഓരോ മൂലകത്തിൻ്റെയും കണക്കുകൂട്ടൽ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം:
| x 1 | x 2 | x 3 | ബി |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം (3) ന് തുല്യമാണ്.
പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് നമുക്ക് 1 ലഭിക്കും, കോളത്തിൽ തന്നെ പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
കോളം B യുടെ ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ മാട്രിക്സിൻ്റെ മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും ദീർഘചതുരം നിയമത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നാല് സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും എല്ലായ്പ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം RE ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
| x 1 | x 2 | x 3 | ബി |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
റെസലൂഷൻ ഘടകം (-4) ആണ്.
പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് നമുക്ക് 1 ലഭിക്കും, കോളത്തിൽ തന്നെ പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
കോളം B യുടെ ഘടകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെ മാട്രിക്സിൻ്റെ മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളും ദീർഘചതുരം നിയമത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങളിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നാല് സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും എല്ലായ്പ്പോഴും പരിഹരിക്കുന്ന ഘടകം RE ഉൾപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഓരോ മൂലകത്തിൻ്റെയും കണക്കുകൂട്ടൽ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാം:
| x 1 | x 2 | x 3 | ബി |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
ഉത്തരം: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
ഗാസിയൻ രീതി നടപ്പിലാക്കൽ
ഗൗസിയൻ രീതി പല പ്രോഗ്രാമിംഗ് ഭാഷകളിലും നടപ്പിലാക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും: പാസ്കൽ, സി++, പിഎച്ച്പി, ഡെൽഫി, കൂടാതെ ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ ഓൺലൈൻ നിർവ്വഹണവുമുണ്ട്.ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു
ഗെയിം സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഗാസ് രീതിയുടെ പ്രയോഗം
ഗെയിം തിയറിയിൽ, ഒരു കളിക്കാരൻ്റെ പരമാവധി ഒപ്റ്റിമൽ തന്ത്രം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സമാഹരിക്കുന്നു, അത് ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഗാസ് രീതിയുടെ പ്രയോഗം
ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, രേഖാമൂലമുള്ള ഭാഗിക പരിഹാരത്തിന് (y=f(A,B,C,D)) പകരം വയ്ക്കുന്ന ഉചിതമായ ഡിഗ്രിയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക. യഥാർത്ഥ സമവാക്യം. കണ്ടെത്താൻ അടുത്തത് വേരിയബിളുകൾ A,B,C,Dസമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമാഹരിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ ജോർഡാനോ-ഗാസ് രീതിയുടെ പ്രയോഗം
IN ലീനിയർ പ്രോഗ്രാമിംഗ്, പ്രത്യേകിച്ച്, സിംപ്ലക്സ് രീതിയിൽ, ഓരോ ആവർത്തനത്തിലും സിംപ്ലക്സ് ടേബിളിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന്, ജോർഡാനോ-ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിക്കുന്ന ദീർഘചതുരം നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു.കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസ്, ഏറ്റവും വലിയ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ദീർഘനാളായിതത്ത്വചിന്തയും ഗണിതവും തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മടിച്ചു. ലോക ശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരമൊരു ശ്രദ്ധേയമായ "പൈതൃകം" ഉണ്ടാക്കാൻ അദ്ദേഹത്തെ അനുവദിച്ചത് ഒരുപക്ഷേ ഈ മാനസികാവസ്ഥയാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, "ഗാസ് രീതി" സൃഷ്ടിച്ചുകൊണ്ട് ...
ഏകദേശം 4 വർഷമായി, ഈ സൈറ്റിലെ ലേഖനങ്ങൾ സ്കൂൾ വിദ്യാഭ്യാസവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, പ്രധാനമായും തത്ത്വചിന്തയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, കുട്ടികളുടെ മനസ്സിലേക്ക് (തെറ്റായ) ധാരണയുടെ തത്വങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചു. കൂടുതൽ പ്രത്യേകതകൾക്കും ഉദാഹരണങ്ങൾക്കും രീതികൾക്കുമുള്ള സമയം വരുന്നു... പരിചിതവും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതും പ്രധാനപ്പെട്ടത്ജീവിതത്തിൻ്റെ മേഖലകൾ മികച്ച ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു.
എത്ര സംസാരിച്ചാലും മതിവരാത്ത വിധത്തിലാണ് നമ്മൾ ആളുകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് അമൂർത്തമായ ചിന്ത, പക്ഷേ ധാരണ എപ്പോഴുംഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, തത്വങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുക അസാധ്യമാണ് ... ഒരു മലയുടെ മുകളിൽ നിന്ന് കാൽ ചരിവുകൾ മുഴുവൻ നടന്നാൽ അല്ലാതെ അത് അസാധ്യമാണ്.
സ്കൂളിൻ്റെ കാര്യത്തിലും അങ്ങനെ തന്നെ: ഇപ്പോൾ ജീവിക്കുന്ന കഥകൾകുട്ടികളെ മനസ്സിലാക്കാൻ പഠിപ്പിക്കുന്ന സ്ഥലമായി നാം സഹജമായി കണക്കാക്കുന്നത് പോരാ.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഗൗസിയൻ രീതി പഠിപ്പിക്കുന്നത്...
അഞ്ചാം ക്ലാസ് സ്കൂളിൽ ഗാസ് രീതി
ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ ഒരു റിസർവേഷൻ നടത്തട്ടെ: ഗാസിയൻ രീതിക്ക് കൂടുതൽ ഉണ്ട് വിശാലമായ ആപ്ലിക്കേഷൻ, ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹരിക്കുമ്പോൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ നടക്കുന്ന കാര്യമാണ്. ഈ തുടങ്ങി, അത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, കൂടുതൽ "വിപുലമായ ഓപ്ഷനുകൾ" മനസ്സിലാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് ഒരു ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഗോസിൻ്റെ രീതി (രീതി).
ഞാൻ സ്കൂളിൽ നിന്ന് കൊണ്ടുവന്ന ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ ഇളയ മകൻ, മോസ്കോ ജിംനേഷ്യത്തിൽ അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിക്കുന്നു.
ഗാസ് രീതിയുടെ സ്കൂൾ പ്രദർശനം
ഗണിത അധ്യാപകൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു സംവേദനാത്മക വൈറ്റ്ബോർഡ് (ആധുനിക രീതികൾപരിശീലനം) ചെറിയ ഗൗസിൻ്റെ "രീതിയുടെ സൃഷ്ടി" യുടെ ചരിത്രത്തിൻ്റെ ഒരു അവതരണം കുട്ടികൾക്ക് കാണിച്ചു.
സ്കൂൾ ടീച്ചർ ചെറിയ കാളിനെ (ഇക്കാലത്ത് സ്‌കൂളുകളിൽ ഉപയോഗിക്കാത്ത കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു രീതി) ചമ്മട്ടികൊണ്ട് അടിച്ചു
1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ തുടർച്ചയായി ചേർക്കുന്നതിനു പകരം അവയുടെ തുക കണ്ടെത്തുക ശ്രദ്ധിച്ചുഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അരികുകളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ജോഡി സംഖ്യകൾ ഒരേ സംഖ്യയിലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 100 ഉം 1, 99 ഉം 2 ഉം. അത്തരം ജോഡികളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കിയ ശേഷം, ചെറിയ ഗൗസ് അധ്യാപകൻ നിർദ്ദേശിച്ച പ്രശ്നം തൽക്ഷണം പരിഹരിച്ചു. അതിനായി അമ്പരന്ന ഒരു പൊതുജനത്തിന് മുന്നിൽ അദ്ദേഹം വധിക്കപ്പെട്ടു. അങ്ങനെ മറ്റുള്ളവർ ചിന്തിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തും.
ചെറിയ ഗൗസ് എന്താണ് ചെയ്തത്? വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു സംഖ്യാബോധം? ശ്രദ്ധിച്ചുചില സവിശേഷതഒരു സ്ഥിരമായ ഘട്ടമുള്ള സംഖ്യ ശ്രേണി (ഗണിത പുരോഗതി). ഒപ്പം കൃത്യമായി ഇത്പിന്നീട് അദ്ദേഹത്തെ ഒരു വലിയ ശാസ്ത്രജ്ഞനാക്കി. ശ്രദ്ധിക്കാൻ അറിയുന്നവർ, ഉള്ളത് തോന്നൽ, മനസ്സിലാക്കാനുള്ള സഹജാവബോധം.
അതുകൊണ്ടാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം മൂല്യവത്തായതും വികസിക്കുന്നതും കാണാനുള്ള കഴിവ്പൊതുവായി പ്രത്യേകിച്ച് - അമൂർത്തമായ ചിന്ത . അതിനാൽ, മിക്ക മാതാപിതാക്കളും തൊഴിലുടമകളും ഗണിതത്തെ ഒരു പ്രധാന വിഷയമായി സഹജമായി പരിഗണിക്കുക ...
“അപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം അത് നിങ്ങളുടെ മനസ്സിനെ ക്രമപ്പെടുത്തുന്നു.
എം.വി.ലോമോനോസോവ്".
എന്നിരുന്നാലും, ഭാവിയിലെ പ്രതിഭകളെ വടികൊണ്ട് അടിക്കുന്നവരുടെ അനുയായികൾ ഈ രീതിയെ വിപരീതമായി മാറ്റി. 35 വർഷം മുമ്പ് എൻ്റെ സുഹൃത്ത് പറഞ്ഞതുപോലെ ശാസ്ത്ര ഉപദേഷ്ടാവ്: "അവർ ചോദ്യം മനഃപാഠമാക്കിയിരിക്കുന്നു." അല്ലെങ്കിൽ എൻ്റെ ഇളയ മകൻ ഇന്നലെ ഗാസിൻ്റെ രീതിയെക്കുറിച്ച് പറഞ്ഞതുപോലെ: "ഒരുപക്ഷേ ഇതിൽ നിന്ന് ഒരു വലിയ ശാസ്ത്രം ഉണ്ടാക്കുന്നത് മൂല്യവത്തായിരിക്കില്ല, അല്ലേ?"
"ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ" സർഗ്ഗാത്മകതയുടെ അനന്തരഫലങ്ങൾ നിലവിലെ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ തലത്തിലും അതിൻ്റെ അധ്യാപന നിലവാരത്തിലും ഭൂരിഭാഗം പേരും "ശാസ്ത്ര രാജ്ഞിയെ" മനസ്സിലാക്കുന്നതിലും ദൃശ്യമാണ്.
എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് തുടരാം ...
അഞ്ചാം ക്ലാസ് സ്കൂളിൽ ഗൗസ് രീതി വിശദീകരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ
മോസ്കോ ജിംനേഷ്യത്തിലെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ, വില്ലെൻകിൻ അനുസരിച്ച് ഗാസ് രീതി വിശദീകരിച്ച്, ചുമതല സങ്കീർണ്ണമാക്കി.
ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം (ഘട്ടം) ഒന്നല്ല, മറ്റൊരു സംഖ്യ ആണെങ്കിലോ? ഉദാഹരണത്തിന്, 20.
അഞ്ചാം ക്ലാസുകാർക്ക് അദ്ദേഹം നൽകിയ പ്രശ്നം:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
ജിംനേഷ്യം രീതി പരിചയപ്പെടുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ഇൻ്റർനെറ്റ് നോക്കാം: സ്കൂൾ അധ്യാപകരും ഗണിത അധ്യാപകരും ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യും?..
ഗൗസിയൻ രീതി: വിശദീകരണം നമ്പർ 1
തൻ്റെ YOUTUBE ചാനലിലെ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു അധ്യാപകൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ന്യായവാദം നൽകുന്നു:
"1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ആദ്യം 1 മുതൽ 50 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പര, അതിനു താഴെ 50 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ മറ്റൊരു പരമ്പര, പക്ഷേ വിപരീത ക്രമത്തിൽ"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: മുകളിലും താഴെയുമുള്ള വരികളിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക ഒന്നുതന്നെയാണ്, അത് 101-ന് തുല്യമാണ്! നമുക്ക് ജോഡികളുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാം, അത് 50 ആണ്, കൂടാതെ ഒരു ജോഡിയുടെ ആകെത്തുക ജോഡികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക! Voila: The ഉത്തരം തയ്യാറാണ്!"
"നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അസ്വസ്ഥരാകരുത്!" വിശദീകരണത്തിനിടെ അധ്യാപകൻ മൂന്ന് തവണ ആവർത്തിച്ചു. "നിങ്ങൾ ഒമ്പതാം ക്ലാസ്സിൽ ഈ രീതി സ്വീകരിക്കും!"
ഗൗസിയൻ രീതി: വിശദീകരണ നമ്പർ 2
കൂടുതൽ അറിയപ്പെടാത്ത മറ്റൊരു അദ്ധ്യാപകൻ (കാഴ്ചകളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച്) കൂടുതൽ ശാസ്ത്രീയമായ സമീപനം സ്വീകരിക്കുന്നു, തുടർച്ചയായി പൂർത്തിയാക്കേണ്ട 5 പോയിൻ്റുകളുടെ ഒരു സൊല്യൂഷൻ അൽഗോരിതം വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.
പരിചയമില്ലാത്തവർക്ക്, പരമ്പരാഗതമായി മാന്ത്രികമായി കണക്കാക്കുന്ന ഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യകളിൽ ഒന്നാണ് 5. ഉദാഹരണത്തിന്, 6 ഘട്ടങ്ങളേക്കാൾ 5 ഘട്ട രീതി എല്ലായ്പ്പോഴും കൂടുതൽ ശാസ്ത്രീയമാണ്. ...ഇതൊരു അപകടമല്ല, മിക്കവാറും, ഗ്രന്ഥകാരൻ ഫിബൊനാച്ചി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പിന്തുണക്കാരനാണ്
ഡാന ഗണിത പുരോഗതി: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
അതേ സമയം, നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട് പ്ലസ് വൺ നിയമം : തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഘടകത്തിലേക്ക് നമ്മൾ ഒന്ന് ചേർക്കണം: അല്ലാത്തപക്ഷം യഥാർത്ഥ ജോഡികളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്നിൽ കുറവുള്ള ഒരു ഫലം നമുക്ക് ലഭിക്കും: 42 + 1 = 43.
6 ൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൽ 4 മുതൽ 256 വരെയുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആവശ്യമായ തുകയാണിത്!
ഗാസ് രീതി: ഒരു മോസ്കോ ജിംനേഷ്യത്തിൽ അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ വിശദീകരണം
ഒരു ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നത് ഇതാ:
20+40+60+ ... +460+480+500
മോസ്കോ ജിംനേഷ്യത്തിൻ്റെ അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ, വിലെൻകിൻ്റെ പാഠപുസ്തകം (എൻ്റെ മകൻ്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ).
അവതരണം കാണിച്ചതിന് ശേഷം, ഗണിതാധ്യാപകൻ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുകയും ഒരു ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 20 ൻ്റെ വർദ്ധനവിൽ കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല ക്ലാസിന് നൽകുകയും ചെയ്തു.
ഇതിന് ഇനിപ്പറയുന്നവ ആവശ്യമാണ്:
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇത് കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതും ഫലപ്രദമായ സാങ്കേതികത: നമ്പർ 3 ഫിബൊനാച്ചി സീക്വൻസിലും അംഗമാണ്
ഗൗസ് രീതിയുടെ സ്കൂൾ പതിപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള എൻ്റെ അഭിപ്രായങ്ങൾ
തൻ്റെ അനുയായികൾ തൻ്റെ "രീതി" എന്താക്കി മാറ്റുമെന്ന് മുൻകൂട്ടി കണ്ടിരുന്നെങ്കിൽ, മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തീർച്ചയായും തത്ത്വശാസ്ത്രം തിരഞ്ഞെടുക്കുമായിരുന്നു. ജർമ്മൻ അധ്യാപകൻ, കാളിനെ വടികൊണ്ട് അടിച്ചു. "അധ്യാപകരുടെ" പ്രതീകാത്മകതയും വൈരുദ്ധ്യാത്മക സർപ്പിളവും അവസാനിക്കാത്ത മണ്ടത്തരവും അദ്ദേഹം കാണുമായിരുന്നു. തെറ്റിദ്ധാരണയുടെ ബീജഗണിതം ഉപയോഗിച്ച് ജീവിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ചിന്തയുടെ പൊരുത്തം അളക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു ....
വഴിയിൽ: നിങ്ങൾക്കറിയാമോ. നമ്മുടെ വിദ്യാഭ്യാസ സമ്പ്രദായം 18, 19 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ ജർമ്മൻ സ്കൂളിൽ വേരൂന്നിയതാണോ?
എന്നാൽ ഗൗസ് തിരഞ്ഞെടുത്തത് ഗണിതമാണ്.
അവൻ്റെ രീതിയുടെ സാരാംശം എന്താണ്?
IN ലളിതവൽക്കരണം. IN നിരീക്ഷിക്കുകയും ഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുസംഖ്യകളുടെ ലളിതമായ പാറ്റേണുകൾ. IN ഡ്രൈ സ്കൂൾ കണക്ക് മാറ്റുന്നു രസകരവും ആവേശകരവുമായ പ്രവർത്തനം , ഉയർന്ന വിലയുള്ള മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളെ തടയുന്നതിനുപകരം, തുടരാനുള്ള ആഗ്രഹം തലച്ചോറിൽ സജീവമാക്കുന്നു.
ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏതാണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാൻ ഗോസിൻ്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന "രീതിയുടെ പരിഷ്ക്കരണങ്ങളിൽ" ഒന്ന് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുമോ? തൽക്ഷണം? "അൽഗരിതങ്ങൾ" അനുസരിച്ച്, ചെറിയ കാൾ അടിക്കാതിരിക്കാനും ഗണിതത്തോട് വെറുപ്പ് വളർത്താനും അവൻ്റെ സൃഷ്ടിപരമായ പ്രേരണകളെ മുകുളത്തിൽ അടിച്ചമർത്താനും ഉറപ്പുനൽകുന്നു.
9-ാം ക്ലാസ്സിൽ തന്നെ "അത്തരം" പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമെന്ന് അവരെ ബോധ്യപ്പെടുത്തി, ഈ രീതിയെക്കുറിച്ച് "തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുമെന്ന് ഭയപ്പെടരുത്" എന്ന് അദ്ധ്യാപകൻ അഞ്ചാം ക്ലാസുകാരോട് സ്ഥിരമായി ഉപദേശിച്ചത് എന്തുകൊണ്ട്? മനഃശാസ്ത്രപരമായി നിരക്ഷര പ്രവർത്തനം. ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട ഒരു നല്ല നീക്കമായിരുന്നു അത്: "കാണാം ഇതിനകം അഞ്ചാം ക്ലാസ്സിൽ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും 4 വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ പൂർത്തിയാക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക! നിങ്ങൾ എത്ര വലിയ മനുഷ്യനാണ്!
ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ക്ലാസ് 3 ലെ ഒരു ലെവൽ മതിയാകും, സാധാരണ കുട്ടികൾക്ക് 2-3 അക്ക സംഖ്യകൾ ചേർക്കാനും ഗുണിക്കാനും ഹരിക്കാനും ഇതിനകം അറിയാമെങ്കിൽ. സാധാരണ മനുഷ്യ ഭാഷയിൽ ലളിതമായ കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാൻ "സമ്പർക്കം ഇല്ലാത്ത" മുതിർന്ന അധ്യാപകർക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ച് പറയാതെ തന്നെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത് മൂലമാണ് പ്രശ്നങ്ങൾ ഉണ്ടാകുന്നത്. കഴിവുള്ള."
അല്ലെങ്കിൽ, എൻ്റെ മകൻ അഭിപ്രായപ്പെട്ടതുപോലെ: "അതിൽ നിന്ന് ഒരു വലിയ ശാസ്ത്രം ഉണ്ടാക്കുന്നു."
ഗാസ് രീതി, എൻ്റെ വിശദീകരണങ്ങൾ
ഞാനും എൻ്റെ ഭാര്യയും ഈ "രീതി" ഞങ്ങളുടെ കുട്ടിക്ക് വിശദീകരിച്ചു, തോന്നുന്നു, സ്കൂളിന് മുമ്പുതന്നെ ...
സങ്കീർണ്ണതയ്ക്ക് പകരം ലാളിത്യം അല്ലെങ്കിൽ ചോദ്യോത്തരങ്ങളുടെ കളി
"നോക്കൂ, 1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകൾ ഇതാ. നിങ്ങൾ എന്താണ് കാണുന്നത്?"
കുട്ടി കൃത്യമായി എന്താണ് കാണുന്നത് എന്നതല്ല കാര്യം. അവനെ നോക്കുക എന്നതാണ് തന്ത്രം.
"നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അവരെ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കാനാകും?" അത്തരം ചോദ്യങ്ങൾ "അങ്ങനെ തന്നെ" ചോദിക്കുന്നില്ലെന്ന് മകൻ മനസ്സിലാക്കി, "എങ്ങനെയെങ്കിലും വ്യത്യസ്തമായി, അവൻ സാധാരണ ചെയ്യുന്നതിനേക്കാൾ വ്യത്യസ്തമായി" എന്ന ചോദ്യം നിങ്ങൾ നോക്കേണ്ടതുണ്ട്.
കുട്ടി ഉടൻ തന്നെ പരിഹാരം കണ്ടാൽ കാര്യമില്ല, അതിന് സാധ്യതയില്ല. അവൻ എന്നത് പ്രധാനമാണ് നോക്കാൻ ഭയപ്പെടുന്നത് നിർത്തി, അല്ലെങ്കിൽ ഞാൻ പറയുന്നതുപോലെ: "ടാസ്ക് നീക്കി". മനസ്സിലാക്കാനുള്ള യാത്രയുടെ തുടക്കമാണിത്
"ഏതാണ് എളുപ്പമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, 5 ഉം 6 ഉം അല്ലെങ്കിൽ 5 ഉം 95 ഉം ചേർക്കുന്നത്?" ഒരു പ്രധാന ചോദ്യം... എന്നാൽ ഏതൊരു പരിശീലനവും ഒരു വ്യക്തിയെ "ഉത്തരത്തിലേക്ക്" നയിക്കുന്നതിലേക്കാണ് - അവന് സ്വീകാര്യമായ രീതിയിൽ.
ഈ ഘട്ടത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ എങ്ങനെ "സംരക്ഷിക്കാം" എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഊഹങ്ങൾ ഇതിനകം ഉയർന്നുവന്നേക്കാം.
ഞങ്ങൾ ചെയ്തത് ഒരു സൂചന മാത്രമാണ്: "ഫ്രണ്ടൽ, ലീനിയർ" കൗണ്ടിംഗ് രീതി മാത്രമല്ല സാധ്യമായത്. ഒരു കുട്ടി ഇത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, പിന്നീട് അവൻ അത്തരം നിരവധി മാർഗങ്ങൾ കൊണ്ടുവരും. കാരണം അത് രസകരമാണ്!!!അവൻ തീർച്ചയായും ഗണിതത്തെ "തെറ്റിദ്ധരിക്കുന്നത്" ഒഴിവാക്കും, അതിൽ വെറുപ്പ് തോന്നുകയുമില്ല. അവൻ വിജയം നേടി!
എങ്കിൽ കുട്ടിയെ കണ്ടെത്തിനൂറ് വരെ ചേർക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി ചേർക്കുന്നത് കേക്ക് കഷണമാണ്, അപ്പോൾ "വ്യത്യാസം 1 ഉള്ള ഗണിത പുരോഗതി"- ഒരു കുട്ടിക്ക് വളരെ മങ്ങിയതും താൽപ്പര്യമില്ലാത്തതുമായ കാര്യം - പെട്ടെന്ന് അവനുവേണ്ടി ജീവിതം കണ്ടെത്തി . ക്രമം അരാജകത്വത്തിൽ നിന്ന് ഉടലെടുത്തു, ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉത്സാഹത്തിന് കാരണമാകുന്നു: അങ്ങനെയാണ് നാം സൃഷ്ടിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്!
ഉത്തരം നൽകേണ്ട ഒരു ചോദ്യം: ഒരു കുട്ടിക്ക് ലഭിച്ച ഉൾക്കാഴ്ചയ്ക്ക് ശേഷം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പ്രവർത്തനപരമായി ഉപയോഗശൂന്യമായ ഡ്രൈ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ ചട്ടക്കൂടിലേക്ക് അവനെ വീണ്ടും നയിക്കേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ട്?!
എന്തിനാണ് മണ്ടൻ തിരുത്തിയെഴുതാൻ നിർബന്ധിക്കുന്നത്?ഒരു നോട്ട്ബുക്കിലെ ക്രമസംഖ്യകൾ: കഴിവുള്ളവർക്ക് പോലും മനസ്സിലാക്കാൻ ഒരു അവസരം പോലും ഇല്ലേ? സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കനുസരിച്ച്, തീർച്ചയായും, ബഹുജന വിദ്യാഭ്യാസം "സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ" ലക്ഷ്യമാക്കിയുള്ളതാണ്...
പൂജ്യം എവിടെ പോയി?
എന്നിട്ടും, 100 വരെ ചേർക്കുന്ന സംഖ്യകൾ 101 വരെ ചേർക്കുന്നതിനേക്കാൾ മനസ്സിന് സ്വീകാര്യമാണ്...
"ഗാസ് സ്കൂൾ രീതി" കൃത്യമായി ഇത് ആവശ്യമാണ്: മനസ്സില്ലാതെ മടക്കുകപുരോഗതിയുടെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ജോഡി സംഖ്യകൾ, എല്ലാം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും.
നോക്കിയാലോ?
എന്നിരുന്നാലും, പൂജ്യം മനുഷ്യരാശിയുടെ ഏറ്റവും വലിയ കണ്ടുപിടുത്തമാണ്, അത് 2,000 വർഷത്തിലേറെ പഴക്കമുണ്ട്. ഗണിത അധ്യാപകർ അദ്ദേഹത്തെ അവഗണിക്കുന്നത് തുടരുന്നു.
1-ൽ തുടങ്ങുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ 0-ൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. തുക മാറില്ല, അല്ലേ? നിങ്ങൾ "പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ ചിന്തിക്കുന്നത്" നിർത്തി നോക്കാൻ തുടങ്ങണം... 101 തുകയുള്ള ജോഡികളെ 100 തുകയുള്ള ജോഡികളാൽ പൂർണ്ണമായും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണുക!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
"പ്ലസ് 1 നിയമം" എങ്ങനെ നിർത്തലാക്കും?
സത്യം പറഞ്ഞാൽ, ആ യൂട്യൂബ് ട്യൂട്ടറിൽ നിന്നാണ് ഇത്തരമൊരു നിയമത്തെ കുറിച്ച് ഞാൻ ആദ്യം കേട്ടത്...
ഒരു പരമ്പരയിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടിവരുമ്പോൾ ഞാൻ ഇപ്പോഴും എന്തുചെയ്യണം?
ഞാൻ ക്രമം നോക്കുന്നു:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
നിങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും ക്ഷീണിതനാകുമ്പോൾ, ലളിതമായ ഒരു നിരയിലേക്ക് നീങ്ങുക:
1, 2, 3, 4, 5
ഞാൻ കണക്കാക്കുന്നു: നിങ്ങൾ 5 ൽ നിന്ന് ഒരെണ്ണം കുറച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് 4 ലഭിക്കും, പക്ഷേ എനിക്ക് തികച്ചും വ്യക്തമാണ് ഞാൻ മനസിലാക്കുന്നു 5 അക്കങ്ങൾ! അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒരെണ്ണം ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്! സംഖ്യാബോധം വികസിച്ചു പ്രാഥമിക വിദ്യാലയം, നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: സീരീസിലെ അംഗങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ഗൂഗിളും (10 മുതൽ നൂറാമത്തെ പവർ വരെ) ഉണ്ടെങ്കിൽപ്പോലും, പാറ്റേൺ അതേപടി നിലനിൽക്കും.
എന്താണ് നിയമങ്ങൾ?..
അങ്ങനെയെങ്കിൽ ഒന്നോ മൂന്നോ വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങളുടെ നെറ്റിക്കും തലയുടെ പിൻഭാഗത്തിനും ഇടയിലുള്ള എല്ലാ ഇടവും നിറച്ച് ചിന്തിക്കുന്നത് നിർത്താനാകുമോ? നിങ്ങളുടെ അപ്പവും വെണ്ണയും എങ്ങനെ സമ്പാദിക്കാം? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഞങ്ങൾ ഡിജിറ്റൽ സമ്പദ്‌വ്യവസ്ഥയുടെ യുഗത്തിലേക്ക് തുല്യ റാങ്കിലേക്ക് നീങ്ങുകയാണ്!
ഗൗസിൻ്റെ സ്കൂൾ രീതിയെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ: "എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതിൽ നിന്ന് ശാസ്ത്രം ഉണ്ടാക്കുന്നത്?.."
വെറുതെയല്ല ഞാൻ എൻ്റെ മകൻ്റെ നോട്ട്ബുക്കിൽ നിന്ന് ഒരു സ്ക്രീൻഷോട്ട് പോസ്റ്റ് ചെയ്തത്.
"ക്ലാസിൽ എന്താണ് സംഭവിച്ചത്?"
“ശരി, ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ എണ്ണി, എൻ്റെ കൈ ഉയർത്തി, പക്ഷേ അവൾ ചോദിച്ചില്ല, മറ്റുള്ളവർ എണ്ണിക്കൊണ്ടിരിക്കുമ്പോൾ, മറ്റുള്ളവർ എഴുതി പൂർത്തിയാക്കിയപ്പോൾ ഞാൻ റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ ഗൃഹപാഠം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങി. ??), അവൾ എന്നെ ബോർഡിലേക്ക് വിളിച്ചു, ഞാൻ ഉത്തരം പറഞ്ഞു.
“അത് ശരിയാണ്, നിങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ പരിഹരിച്ചുവെന്ന് എന്നെ കാണിക്കൂ,” ടീച്ചർ പറഞ്ഞു. ഞാനത് കാണിച്ചു. അവൾ പറഞ്ഞു: "തെറ്റാണ്, ഞാൻ കാണിച്ചതുപോലെ നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്!"
"അവൾ ഒരു മോശം ഗ്രേഡ് നൽകാത്തത് നല്ലതാണ്, മാത്രമല്ല അവൾ എന്നെ അവരുടെ നോട്ട്ബുക്കിൽ "പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഗതി" എന്ന് എഴുതുകയും ചെയ്തു.
ഒരു ഗണിത അധ്യാപകൻ്റെ പ്രധാന കുറ്റം
കഷ്ടിച്ച് കഴിഞ്ഞ് ആ സംഭവംകാൾ ഗൗസ് തൻ്റെ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകനോട് ഉയർന്ന ബഹുമാനം അനുഭവിച്ചു. എന്നാൽ എങ്ങനെയെന്ന് അവനറിയാമെങ്കിൽ ആ അധ്യാപകൻ്റെ അനുയായികൾ രീതിയുടെ സത്തയെ തന്നെ വികലമാക്കും...അദ്ദേഹം രോഷത്തോടെ ലോക സംഘടനയിലൂടെ അലറിവിളിക്കും ബൗദ്ധിക സ്വത്തവകാശം WIPO സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ അതിൻ്റെ ന്യായമായ പേര് ഉപയോഗിക്കുന്നത് നിരോധിച്ചു!..
എന്ത് പ്രധാന തെറ്റ്സ്കൂൾ സമീപനം? അതോ, ഞാൻ പറഞ്ഞതുപോലെ, കുട്ടികൾക്കെതിരെ സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകർ ചെയ്യുന്ന കുറ്റമാണോ?
തെറ്റിദ്ധാരണയുടെ അൽഗോരിതം
സ്കൂൾ രീതിശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്, അവരിൽ ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തിനും എങ്ങനെ ചിന്തിക്കണമെന്ന് അറിയില്ല?
അവർ രീതികളും അൽഗോരിതങ്ങളും സൃഷ്ടിക്കുന്നു (കാണുക). ഈ വിമർശനങ്ങളിൽ നിന്ന് അധ്യാപകരെയും ("എല്ലാം അനുസരിച്ചാണ് ചെയ്യുന്നത്...") കുട്ടികളെയും മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ നിന്നും സംരക്ഷിക്കുന്ന ഒരു പ്രതിരോധ പ്രതികരണം. അങ്ങനെ - അധ്യാപകരെ വിമർശിക്കാനുള്ള ആഗ്രഹത്തിൽ നിന്ന്!(ബ്യൂറോക്രാറ്റിക് "ജ്ഞാനം" എന്നതിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ്, പ്രശ്നത്തോടുള്ള ശാസ്ത്രീയ സമീപനം). അർത്ഥം ഗ്രഹിക്കാത്ത ഒരു വ്യക്തി സ്കൂൾ സമ്പ്രദായത്തിൻ്റെ മണ്ടത്തരത്തേക്കാൾ സ്വന്തം തെറ്റിദ്ധാരണയെ കുറ്റപ്പെടുത്തും.
ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്: മാതാപിതാക്കൾ അവരുടെ കുട്ടികളെയും അധ്യാപകരെയും കുറ്റപ്പെടുത്തുന്നു ... "ഗണിതം മനസ്സിലാകാത്ത" കുട്ടികൾക്കും ഇത് ചെയ്യുക.
നിങ്ങൾ മിടുക്കനാണോ?
ചെറിയ കാൾ എന്താണ് ചെയ്തത്?
ഒരു ഫോർമുലിക്കൽ ടാസ്ക്കിലേക്കുള്ള തികച്ചും പാരമ്പര്യേതര സമീപനം. ഇതാണ് അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ സമീപനത്തിൻ്റെ സാരാംശം. ഈ സ്കൂളിൽ പഠിപ്പിക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം പാഠപുസ്തകങ്ങൾ കൊണ്ടല്ല, തലകൊണ്ട് ചിന്തിക്കുക എന്നതാണ്. തീർച്ചയായും, തിരയലിൽ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന ഒരു ഉപകരണ ഘടകവുമുണ്ട് ലളിതവും ഫലപ്രദമായ രീതികൾഅക്കൗണ്ടുകൾ.
Vilenkin അനുസരിച്ച് ഗാസ് രീതി
സ്കൂളിൽ അവർ പഠിപ്പിക്കുന്നത് ഗൗസിൻ്റെ രീതിയാണ്
എന്ത്, ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം വിചിത്രമാണെങ്കിൽ, എൻ്റെ മകനെ ഏൽപ്പിച്ച പ്രശ്നത്തിലെന്നപോലെ?..
"പിടി" ഈ കേസിൽ ആണ് നിങ്ങൾ പരമ്പരയിൽ ഒരു "അധിക" നമ്പർ കണ്ടെത്തണംജോഡികളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് ചേർക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഈ സംഖ്യ 260 ആണ്.
എങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കാം? എല്ലാ ജോഡി നമ്പറുകളും ഒരു നോട്ട്ബുക്കിലേക്ക് പകർത്തുന്നു!(ഇതുകൊണ്ടാണ് ടീച്ചർ ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് "സർഗ്ഗാത്മകത" പഠിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്ന ഈ മണ്ടൻ ജോലി ചെയ്യാൻ കുട്ടികളെ പ്രേരിപ്പിച്ചത്... അതുകൊണ്ടാണ് അത്തരം ഒരു "രീതി" വലിയ ഡാറ്റാ സീരീസുകളിൽ പ്രായോഗികമായി അപ്രായോഗികമാകുന്നത്, അതുകൊണ്ടാണ് ഇത് ഗോസിയൻ രീതിയല്ല.)
സ്കൂൾ ദിനചര്യയിൽ ഒരു ചെറിയ സർഗ്ഗാത്മകത...
മകൻ വ്യത്യസ്തമായി അഭിനയിച്ചു.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, അല്ലേ?
എന്നാൽ പ്രായോഗികമായി ഇത് കൂടുതൽ എളുപ്പമാക്കുന്നു, ഇത് റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ റിമോട്ട് സെൻസിംഗിനായി 2-3 മിനിറ്റ് കൊത്തിയെടുക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ "എണ്ണുന്നു". കൂടാതെ, ഇത് രീതിയുടെ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം നിലനിർത്തുന്നു: 5, ഇത് സമീപനത്തെ അശാസ്ത്രീയമാണെന്ന് വിമർശിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നില്ല.
വ്യക്തമായും ഈ സമീപനം രീതിയുടെ ശൈലിയിൽ ലളിതവും വേഗതയേറിയതും കൂടുതൽ സാർവത്രികവുമാണ്. പക്ഷേ... ടീച്ചർ പ്രശംസിച്ചില്ല എന്ന് മാത്രമല്ല, "ശരിയായ രീതിയിൽ" അത് തിരുത്തിയെഴുതാൻ എന്നെ നിർബന്ധിക്കുകയും ചെയ്തു (സ്ക്രീൻഷോട്ട് കാണുക). അതായത്, സൃഷ്ടിപരമായ പ്രേരണയെയും ഗണിതത്തെ വേരോടെ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള കഴിവിനെയും അടിച്ചമർത്താൻ അവൾ തീവ്രശ്രമം നടത്തി! പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, അവളെ പിന്നീട് ഒരു അദ്ധ്യാപികയായി നിയമിക്കാൻ കഴിയും ... അവൾ തെറ്റായ വ്യക്തിയെ ആക്രമിച്ചു ...
ഞാൻ ഇത്രയും കാലം മടുപ്പോടെ വിവരിച്ചതെല്ലാം വിശദീകരിക്കാം ഒരു സാധാരണ കുട്ടിക്ക്പരമാവധി അരമണിക്കൂറിനുള്ളിൽ. ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം.
അവൻ ഒരിക്കലും മറക്കാത്ത വിധത്തിലും.
അത് ആയിരിക്കും മനസ്സിലാക്കുന്നതിലേക്കുള്ള ചുവടുവെപ്പ്... ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മാത്രമല്ല.
സമ്മതിക്കുക: നിങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിൽ എത്ര തവണ നിങ്ങൾ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ചേർത്തു? ഞാൻ ഒരിക്കലും ചെയ്തില്ല!
പക്ഷേ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള സഹജാവബോധം, അത് പഠന പ്രക്രിയയിൽ വികസിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ കെടുത്തിക്കളയുന്നു). ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾസ്കൂളിൽ... ഓ!.. ഇത് ശരിക്കും പകരം വെക്കാനില്ലാത്ത കാര്യമാണ്!
പ്രത്യേകിച്ചും പാർട്ടിയുടെയും ഗവൺമെൻ്റിൻ്റെയും കണിശമായ നേതൃത്വത്തിൽ നാം നിശബ്ദമായി പ്രവേശിച്ച സാർവത്രിക ഡിജിറ്റലൈസേഷൻ്റെ യുഗത്തിൽ.
അധ്യാപകരെ പ്രതിരോധിക്കാൻ ചില വാക്കുകൾ...
ഈ രീതിയിലുള്ള അധ്യാപനത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഉത്തരവാദിത്തവും സ്കൂൾ അധ്യാപകരെ മാത്രം ഏൽപ്പിക്കുന്നത് അന്യായവും തെറ്റുമാണ്. സംവിധാനം പ്രാബല്യത്തിലുണ്ട്.
ചിലത്എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്നതിൻ്റെ അസംബന്ധം അധ്യാപകർ മനസ്സിലാക്കുന്നു, പക്ഷേ എന്തുചെയ്യണം? വിദ്യാഭ്യാസ നിയമം, ഫെഡറൽ സംസ്ഥാന വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം, രീതികൾ, സാങ്കേതിക ഭൂപടങ്ങൾപാഠങ്ങൾ... എല്ലാം "അനുസരിച്ചും അടിസ്ഥാനത്തിലും" ചെയ്യണം, എല്ലാം രേഖപ്പെടുത്തണം. മാറി നിൽക്കുക - വെടിവയ്ക്കാൻ വരിയിൽ നിന്നു. നമ്മൾ കപടനാട്യക്കാരാകരുത്: മോസ്കോയിലെ അധ്യാപകരുടെ ശമ്പളം വളരെ നല്ലതാണ്... അവർ നിങ്ങളെ പിരിച്ചുവിട്ടാൽ എവിടെ പോകും?..
അതിനാൽ ഈ സൈറ്റ് വിദ്യാഭ്യാസത്തെക്കുറിച്ചല്ല. അവൻ ഏകദേശം വ്യക്തിഗത വിദ്യാഭ്യാസം, മാത്രം സാധ്യമായ വഴിആൾക്കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തുകടക്കുക തലമുറ Z ...
ഈ ലേഖനത്തിൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAEs) സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയായി ഈ രീതി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. രീതി വിശകലനാത്മകമാണ്, അതായത്, ഒരു പരിഹാര അൽഗോരിതം എഴുതാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ച, തുടർന്ന് നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ ക്രാമർ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളവയുമായി പ്രവർത്തിക്കാനും കഴിയും. അല്ലെങ്കിൽ അവർക്ക് അതൊന്നും ഇല്ല.
ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?
ആദ്യം, നമ്മൾ നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഇതുപോലെയാണ് എഴുതേണ്ടത്. സിസ്റ്റം എടുക്കുക:
ഗുണകങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്ത് ഒരു പ്രത്യേക നിരയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. സൌജന്യ നിബന്ധനകളുള്ള കോളം സൗകര്യാർത്ഥം വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, ഈ കോളം ഉൾപ്പെടുന്ന മാട്രിക്സ് വിപുലീകൃതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.
അടുത്തതായി, ഗുണകങ്ങളുള്ള പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഒരു മുകളിലെ ത്രികോണ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം. ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന പോയിൻ്റാണിത്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ചില കൃത്രിമത്വങ്ങൾക്ക് ശേഷം, മാട്രിക്സ് നോക്കണം, അങ്ങനെ അതിൻ്റെ താഴത്തെ ഇടത് ഭാഗത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ മാത്രം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
തുടർന്ന്, നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമായി വീണ്ടും പുതിയ മാട്രിക്സ് എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, അവസാന വരിയിൽ ഇതിനകം തന്നെ ഒരു വേരിൻ്റെ മൂല്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും, അത് മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, മറ്റൊരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നു, മുതലായവ.
ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ വിവരണമാണിത് പൊതുവായ രൂപരേഖ. പെട്ടെന്ന് സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരമില്ലെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അതോ അവയിൽ അനന്തമായി ധാരാളം ഉണ്ടോ? ഇവയ്ക്കും മറ്റ് നിരവധി ചോദ്യങ്ങൾക്കും ഉത്തരം നൽകുന്നതിന്, ഗാസിയൻ രീതി പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.
മെട്രിക്സ്, അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ
ഒന്നുമില്ല മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന അർത്ഥംമാട്രിക്സിൽ അല്ല. തുടർന്നുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി ഡാറ്റ റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു സൗകര്യപ്രദമായ മാർഗമാണിത്. സ്കൂൾ കുട്ടികൾ പോലും അവരെ ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല.
മാട്രിക്സ് എല്ലായ്പ്പോഴും ചതുരാകൃതിയിലാണ്, കാരണം ഇത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ പോലും, എല്ലാം ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു കാഴ്ചയിൽ ത്രികോണാകൃതി, എൻട്രിയിൽ ഒരു ദീർഘചതുരം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അക്കങ്ങളില്ലാത്ത സ്ഥലത്ത് പൂജ്യങ്ങൾ മാത്രം. പൂജ്യങ്ങൾ എഴുതപ്പെടണമെന്നില്ല, പക്ഷേ അവ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
മാട്രിക്സിന് ഒരു വലിപ്പമുണ്ട്. അതിൻ്റെ "വീതി" എന്നത് വരികളുടെ എണ്ണമാണ് (m), "നീളം" എന്നത് നിരകളുടെ എണ്ണമാണ് (n). അപ്പോൾ മാട്രിക്സ് A യുടെ വലിപ്പം (വലിയ അക്ഷരങ്ങൾ സാധാരണയായി അവയെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു) അക്ഷരങ്ങൾ) A m×n ആയി സൂചിപ്പിക്കും. m=n ആണെങ്കിൽ, ഈ മാട്രിക്സ് ചതുരവും m=n അതിൻ്റെ ക്രമവുമാണ്. അതനുസരിച്ച്, മാട്രിക്സ് A യുടെ ഏത് മൂലകത്തെയും അതിൻ്റെ വരിയും കോളവും ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും: a xy ; x - വരി നമ്പർ, മാറ്റങ്ങൾ, y - കോളം നമ്പർ, മാറ്റങ്ങൾ.
തീരുമാനത്തിൻ്റെ പ്രധാന പോയിൻ്റ് ബി അല്ല. തത്വത്തിൽ, എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട് നടത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ നൊട്ടേഷൻ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരിക്കും, അതിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് വളരെ എളുപ്പമായിരിക്കും.
ഡിറ്റർമിനൻ്റ്
മാട്രിക്സിന് ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റും ഉണ്ട്. ഇത് വളരെ പ്രധാന സ്വഭാവം. അതിൻ്റെ അർത്ഥം ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അത് എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നു എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണിക്കാം, തുടർന്ന് അത് നിർണ്ണയിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് എന്താണെന്ന് പറയുക. ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണ്ടെത്താനുള്ള എളുപ്പവഴി ഡയഗണലിലൂടെയാണ്. മാട്രിക്സിൽ സാങ്കൽപ്പിക ഡയഗണലുകൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു; അവയിൽ ഓരോന്നിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മൂലകങ്ങൾ ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു: വലതുവശത്തേക്ക് ചരിവുള്ള ഡയഗണലുകൾ - ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം, ഇടത്തേക്ക് ഒരു ചരിവ് - ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം.
ഒരു ചതുര മാട്രിക്സിനായി മാത്രമേ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മാട്രിക്സിനായി, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യാൻ കഴിയും: വരികളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്നും നിരകളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്നും ഏറ്റവും ചെറിയത് തിരഞ്ഞെടുക്കുക (അത് k ആയിരിക്കട്ടെ), തുടർന്ന് ക്രമരഹിതമായി മാട്രിക്സിൽ k നിരകളും k നിരകളും അടയാളപ്പെടുത്തുക. തിരഞ്ഞെടുത്ത നിരകളുടെയും വരികളുടെയും കവലയിലെ ഘടകങ്ങൾ ഒരു പുതിയ ചതുര മാട്രിക്സ് രൂപീകരിക്കും. അത്തരമൊരു മാട്രിക്സിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അതിനെ യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മെട്രിക്സിൻ്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നിങ്ങൾ ഗൗസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നത് ഉപദ്രവിക്കില്ല. ഇത് പൂജ്യമായി മാറുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന് ഒന്നുകിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്നോ അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല എന്നോ നമുക്ക് ഉടനടി പറയാൻ കഴിയും. അത്തരമൊരു സങ്കടകരമായ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോയി മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കിനെക്കുറിച്ച് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
സിസ്റ്റം വർഗ്ഗീകരണം
ഒരു മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് പോലെ ഒരു കാര്യമുണ്ട്. ഈ പരമാവധി ഓർഡർഅതിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് (അടിസ്ഥാന മൈനറിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് അടിസ്ഥാന മൈനറിൻ്റെ ക്രമമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം).
റാങ്കിലുള്ള സാഹചര്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, SLAE-യെ ഇങ്ങനെ തിരിക്കാം:
- ജോയിൻ്റ്. യുജോയിൻ്റ് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, മെയിൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് (ഗുണകങ്ങൾ മാത്രം അടങ്ങുന്ന) വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കുമായി (സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു നിരയോടൊപ്പം) യോജിക്കുന്നു. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, പക്ഷേ ഒന്നല്ല, അതിനാൽ സംയുക്ത സംവിധാനങ്ങളെ അധികമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:
- - ഉറപ്പാണ്- ഒരൊറ്റ പരിഹാരമുണ്ട്. ചില സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്കും അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണവും (അല്ലെങ്കിൽ നിരകളുടെ എണ്ണം, അത് സമാനമാണ്) തുല്യമാണ്;
- - നിർവചിക്കാത്തത് -അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾക്കൊപ്പം. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളിലെ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്ക് അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണ്.
- പൊരുത്തമില്ലാത്തത്. യുഅത്തരം സിസ്റ്റങ്ങളിൽ, പ്രധാനവും വിപുലീകൃതവുമായ മെട്രിക്സുകളുടെ റാങ്കുകൾ യോജിക്കുന്നില്ല. പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് പരിഹാരമില്ല.
ഗാസ് രീതി നല്ലതാണ്, കാരണം പരിഹാര സമയത്ത് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പൊരുത്തക്കേടിൻ്റെ വ്യക്തമായ തെളിവ് (വലിയ മെട്രിക്സുകളുടെ ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ കണക്കാക്കാതെ) അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ സൊല്യൂഷനുകളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം നേടാൻ ഇത് അനുവദിക്കുന്നു.
പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ
സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നേരിട്ട് മുന്നോട്ട് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദവുമാക്കാം. പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെയാണ് ഇത് കൈവരിക്കുന്നത് - അവയുടെ നടപ്പാക്കൽ അന്തിമ ഉത്തരത്തെ ഒരു തരത്തിലും മാറ്റില്ല. നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ മെട്രിക്സിന് മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, അതിൻ്റെ ഉറവിടം SLAE ആയിരുന്നു. ഈ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ലിസ്റ്റ് ഇതാ:
- വരികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം റെക്കോർഡിലെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്രമം മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു തരത്തിലും പരിഹാരത്തെ ബാധിക്കില്ല. തൽഫലമായി, ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സിലെ വരികളും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, തീർച്ചയായും, സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകളുടെ കോളം മറക്കരുത്.
- ഒരു സ്ട്രിംഗിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. വളരെ സഹായകരം! ഇത് ചുരുക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം വലിയ സംഖ്യകൾമെട്രിക്സിൽ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യുക. പല തീരുമാനങ്ങളും, പതിവുപോലെ, മാറില്ല, പക്ഷേ കൂടുതൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾഅത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാകും. പ്രധാന കാര്യം, ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല എന്നതാണ്.
- ആനുപാതിക ഘടകങ്ങളുള്ള വരികൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു. ഇത് മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്ന് ഭാഗികമായി പിന്തുടരുന്നു. ഒരു മാട്രിക്സിലെ രണ്ടോ അതിലധികമോ വരികൾക്ക് ആനുപാതിക ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു വരിയെ ആനുപാതിക ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക/ ഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ, വീണ്ടും, കൂടുതൽ) തികച്ചും സമാനമായ വരികൾ ലഭിക്കും, കൂടാതെ അധികമായവ നീക്കം ചെയ്യാനും കഴിയും. ഒന്ന് മാത്രം.
- ഒരു നൾ ലൈൻ നീക്കംചെയ്യുന്നു. പരിവർത്തന സമയത്ത്, സ്വതന്ത്ര പദമുൾപ്പെടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാകുന്ന ഒരു വരി എവിടെയെങ്കിലും ലഭിച്ചാൽ, അത്തരമൊരു വരിയെ പൂജ്യം എന്ന് വിളിക്കുകയും മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് പുറത്താക്കുകയും ചെയ്യാം.
- ഒരു വരിയുടെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് മറ്റൊന്നിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് (അനുബന്ധ നിരകളിൽ), ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ. എല്ലാറ്റിലും ഏറ്റവും അവ്യക്തവും പ്രധാനപ്പെട്ടതുമായ പരിവർത്തനം. അതിൽ കൂടുതൽ വിശദമായി വസിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.
ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഒരു സ്ട്രിംഗ് ചേർക്കുന്നു
മനസ്സിലാക്കാനുള്ള എളുപ്പത്തിനായി, ഈ പ്രക്രിയ ഘട്ടം ഘട്ടമായി തകർക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്. മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് രണ്ട് വരികൾ എടുത്തിട്ടുണ്ട്:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | ബി 2
"-2" എന്ന കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾ ആദ്യത്തേത് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് ചേർക്കണമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
മാട്രിക്സിലെ രണ്ടാമത്തെ വരി പുതിയൊരെണ്ണം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ആദ്യത്തേത് മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
രണ്ട് വരികൾ ചേർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, പുതിയ വരിയുടെ മൂലകങ്ങളിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്ന വിധത്തിൽ ഗുണന ഗുണകം തിരഞ്ഞെടുക്കാമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. തൽഫലമായി, ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു സമവാക്യം നേടാൻ കഴിയും, അവിടെ അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് ഉണ്ടായിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് അത്തരത്തിലുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം വീണ്ടും നടത്തുകയും രണ്ട് അജ്ഞാതർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യാം. ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾ ഒറിജിനലിന് താഴെയുള്ള എല്ലാ വരികളുടെയും ഒരു ഗുണകം പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പടികൾ പോലെ, മാട്രിക്സിൻ്റെ ഏറ്റവും അടിയിലേക്ക് ഇറങ്ങി അജ്ഞാതമായ ഒന്നുമായി ഒരു സമവാക്യം നേടാനാകും. ഇതിനെ ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം സോൾവിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
പൊതുവായി
ഒരു സംവിധാനം ഉണ്ടാകട്ടെ. ഇതിന് m സമവാക്യങ്ങളും n അജ്ഞാത വേരുകളും ഉണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:
പ്രധാന മാട്രിക്സ് സിസ്റ്റം ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്നാണ് സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്. വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിലേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം ചേർക്കുന്നു, സൗകര്യാർത്ഥം ഒരു വരി കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു.
- മാട്രിക്സിൻ്റെ ആദ്യ വരി k = (-a 21 /a 11) എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു;
- ആദ്യ പരിഷ്കരിച്ച വരിയും മാട്രിക്സിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയും ചേർത്തു;
- രണ്ടാമത്തെ വരിക്ക് പകരം, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നിന്നുള്ള കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഫലം മാട്രിക്സിൽ ചേർക്കുന്നു;
- ഇപ്പോൾ ആദ്യത്തെ ഗുണകം പുതിയ സെക്കൻ്റ്വരി 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ആണ്.
ഇപ്പോൾ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ അതേ ശ്രേണി നടപ്പിലാക്കുന്നു, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും വരികൾ മാത്രമേ ഉൾപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ. അതനുസരിച്ച്, അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, മൂലകം a 21-നെ 31 ആക്കി മാറ്റുന്നു. അപ്പോൾ എല്ലാം ഒരു 41, ... ഒരു m1 ന് ആവർത്തിക്കുന്നു. വരികളിലെ ആദ്യ ഘടകം പൂജ്യമാകുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ് ഫലം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒന്നാം വരി മറന്ന് അതേ അൽഗോരിതം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്, രണ്ട് വരിയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുക:
- ഗുണകം k = (-a 32 /a 22);
- രണ്ടാമത്തെ പരിഷ്കരിച്ച വരി "നിലവിലെ" വരിയിലേക്ക് ചേർത്തു;
- സങ്കലനത്തിൻ്റെ ഫലം മൂന്നാമത്തേത്, നാലാമത്തേത്, എന്നിങ്ങനെയുള്ള വരികളായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു;
- മാട്രിക്സിൻ്റെ വരികളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഇതിനകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
ഗുണകം k = (-a m,m-1 /a mm) ദൃശ്യമാകുന്നതുവരെ അൽഗോരിതം ആവർത്തിക്കണം. ഇതിനർത്ഥം ഇൻ അവസാന സമയംതാഴത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടി മാത്രമാണ് അൽഗോരിതം നടത്തിയത്. ഇപ്പോൾ മാട്രിക്സ് ഒരു ത്രികോണം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ആകൃതി ഉണ്ട്. താഴെയുള്ള വരിയിൽ a mn × x n = b m എന്ന തുല്യതയുണ്ട്. ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും അറിയപ്പെടുന്നു, അവയിലൂടെ റൂട്ട് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: x n = b m /a mn. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റൂട്ട് x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുകളിലെ വരിയിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നു. സാമ്യം അനുസരിച്ച്: ഓരോ അടുത്ത വരിയിലും ഒരു പുതിയ റൂട്ട് ഉണ്ട്, കൂടാതെ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ "മുകളിൽ" എത്തിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. അത് മാത്രമായിരിക്കും.
പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലാത്തപ്പോൾ
മാട്രിക്സ് വരികളിലൊന്നിൽ ഫ്രീ ടേം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ വരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യം 0 = b ആയി കാണപ്പെടുന്നു. അതിന് പരിഹാരമില്ല. അത്തരമൊരു സമവാക്യം സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, മുഴുവൻ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെയും പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടം ശൂന്യമാണ്, അതായത്, അത് അപചയമാണ്.
അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ
തന്നിരിക്കുന്ന ത്രികോണ മാട്രിക്സിൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഗുണക ഘടകവും ഒരു സ്വതന്ത്ര പദവും ഉള്ള വരികളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. വീണ്ടും എഴുതുമ്പോൾ രണ്ടോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം പോലെ തോന്നിക്കുന്ന വരികൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഉത്തരം ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ നൽകാം. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം?
മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ വേരിയബിളുകളും അടിസ്ഥാനപരവും സ്വതന്ത്രവുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. സ്റ്റെപ്പ് മാട്രിക്സിലെ വരികളുടെ "അരികിൽ" നിൽക്കുന്നവയാണ് അടിസ്ഥാനം. ബാക്കിയുള്ളവ സൗജന്യമാണ്. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമായവയിലൂടെയാണ് എഴുതുന്നത്.
സൗകര്യാർത്ഥം, മാട്രിക്സ് ആദ്യം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതുന്നു. അവയിൽ അവസാനത്തേതിൽ, കൃത്യമായി ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, അത് ഒരു വശത്ത് തുടരുന്നു, മറ്റെല്ലാം മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുള്ള എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഇത് ചെയ്യുന്നു. തുടർന്ന്, ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ, സാധ്യമാകുന്നിടത്ത്, അടിസ്ഥാന വേരിയബിളിന് പകരം അതിന് ലഭിച്ച പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഫലം വീണ്ടും ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ആണെങ്കിൽ, അത് അവിടെ നിന്ന് വീണ്ടും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അങ്ങനെ ഓരോ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമായി എഴുതുന്നതുവരെ. അതാണ് അത് പൊതുവായ തീരുമാനം SLAU.
നിങ്ങൾക്ക് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന പരിഹാരം കണ്ടെത്താനും കഴിയും - സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾക്ക് ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾ നൽകുക, തുടർന്ന് ഈ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിനായി അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക. നൽകാവുന്ന പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുടെ അനന്തമായ എണ്ണം ഉണ്ട്.
നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങളുള്ള പരിഹാരം
ഇവിടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം.
സൗകര്യാർത്ഥം, അതിൻ്റെ മാട്രിക്സ് ഉടനടി സൃഷ്ടിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്
ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുമ്പോൾ, ആദ്യ വരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യം പരിവർത്തനങ്ങളുടെ അവസാനം മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുമെന്ന് അറിയാം. അതിനാൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ മുകളിൽ ഇടത് മൂലകം ഏറ്റവും ചെറുതാണെങ്കിൽ അത് കൂടുതൽ ലാഭകരമായിരിക്കും - പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം ശേഷിക്കുന്ന വരികളുടെ ആദ്യ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമായി മാറും. ഇതിനർത്ഥം കംപൈൽ ചെയ്ത മാട്രിക്സിൽ ആദ്യ വരിയുടെ സ്ഥാനത്ത് രണ്ടാമത്തെ വരി ഇടുന്നത് പ്രയോജനകരമായിരിക്കും.
രണ്ടാമത്തെ വരി: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
മൂന്നാമത്തെ വരി: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
ഇപ്പോൾ, ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ, പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഫലങ്ങളുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് നിങ്ങൾ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്.
വ്യക്തമായും, അത്തരം ഒരു മാട്രിക്സ് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗർഭധാരണത്തിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോ ഘടകത്തെയും "-1" കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് എല്ലാ "മൈനസുകളും" നീക്കംചെയ്യാം.
മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും മൂന്നിൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഈ സംഖ്യകൊണ്ട് സ്ട്രിംഗ് ചെറുതാക്കാം, ഓരോ ഘടകവും "-1/3" കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (മൈനസ് - അതേ സമയം, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ നീക്കം ചെയ്യാൻ).
കൂടുതൽ മനോഹരമായി തോന്നുന്നു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ആദ്യ വരി മാത്രം ഉപേക്ഷിച്ച് രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു 32 എന്ന മൂലകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുന്ന തരത്തിൽ ഒരു ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ വരിയിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരി കൂട്ടിച്ചേർക്കുക എന്നതാണ് ചുമതല.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ചില പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഉത്തരം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത നിലനിർത്താൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. അത് "ഉള്ളതുപോലെ", രൂപത്തിൽ പൊതു അംശം, അതിനുശേഷം മാത്രമേ, ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കുമ്പോൾ, റൌണ്ട് ചെയ്ത് മറ്റൊരു റെക്കോർഡിംഗിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണമോ എന്ന് തീരുമാനിക്കുക)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
പുതിയ മൂല്യങ്ങളോടെ മാട്രിക്സ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന് ഇതിനകം ഒരു സ്റ്റെപ്പ് ഫോം ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഗാസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമില്ല. ഇവിടെ ചെയ്യാൻ കഴിയുന്നത് മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുക എന്നതാണ് മൊത്തത്തിലുള്ള ഗുണകം "-1/7".
ഇപ്പോൾ എല്ലാം മനോഹരമാണ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ മാട്രിക്സ് വീണ്ടും എഴുതുകയും വേരുകൾ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക മാത്രമാണ് ചെയ്യേണ്ടത്
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
ഇപ്പോൾ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന അൽഗോരിതത്തെ ഗൗസിയൻ രീതിയിൽ റിവേഴ്സ് മൂവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമവാക്യം (3) ൽ z മൂല്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
ആദ്യ സമവാക്യം x കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
അത്തരമൊരു സിസ്റ്റത്തെ ജോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കൂടാതെ കൃത്യമായും, അതായത്, ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
ഒരു അനിശ്ചിത സംവിധാനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം
ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള വകഭേദം ഇപ്പോൾ വിശകലനം ചെയ്തു, സിസ്റ്റം അനിശ്ചിതത്വത്തിലാണെങ്കിൽ അത് പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, അതിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രൂപം ഇതിനകം തന്നെ ഭയപ്പെടുത്തുന്നതാണ്, കാരണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണം n = 5 ആണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് ഇതിനകം ഈ സംഖ്യയേക്കാൾ കൃത്യമായി കുറവാണ്, കാരണം വരികളുടെ എണ്ണം m = 4 ആണ്, അതായത്, ഡിറ്റർമിനൻ്റ്-സ്ക്വയറിൻ്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമം 4 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ്, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപം നോക്കേണ്ടതുണ്ട്. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഗാസ് രീതി ഇത് ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
ആദ്യം, പതിവുപോലെ, ഒരു വിപുലീകൃത മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ വരി: ഗുണകം k = (-a 21 /a 11) = -3. മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ, ആദ്യ ഘടകം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് മുമ്പാണ്, അതിനാൽ നിങ്ങൾ ഒന്നും സ്പർശിക്കേണ്ടതില്ല, നിങ്ങൾ അത് അതേപടി ഉപേക്ഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നാലാമത്തെ വരി: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
ആദ്യ വരിയിലെ മൂലകങ്ങളെ അവയുടെ ഓരോ ഗുണകങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിച്ച് ആവശ്യമുള്ള വരികളിലേക്ക് ചേർക്കുന്നതിലൂടെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് നമുക്ക് ലഭിക്കും:
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികൾ പരസ്പരം ആനുപാതികമായ ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. രണ്ടാമത്തേതും നാലാമത്തേതും പൊതുവായി സമാനമാണ്, അതിനാൽ അവയിലൊന്ന് ഉടനടി നീക്കംചെയ്യാം, ശേഷിക്കുന്ന ഒന്ന് "-1" എന്ന ഗുണനത്താൽ ഗുണിച്ച് ലൈൻ നമ്പർ 3 നേടാം. വീണ്ടും, സമാനമായ രണ്ട് വരികളിൽ ഒന്ന് വിടുക.
ഫലം ഇതുപോലുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് ആണ്. സിസ്റ്റം ഇതുവരെ എഴുതിയിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഇവിടെ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 11 = 1, 22 = 1 എന്നീ ഗുണകങ്ങളിൽ നിൽക്കുന്നവ, കൂടാതെ സ്വതന്ത്രമായവ - ബാക്കിയുള്ളവ.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ മാത്രമേയുള്ളൂ - x 2. സ്വതന്ത്രമായ x 3 , x 4 , x 5 എന്നീ വേരിയബിളുകളിലൂടെ എഴുതുന്നതിലൂടെ അത് അവിടെ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.
ഫലം ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ ഒരേയൊരു അടിസ്ഥാന വേരിയബിൾ x 1 ആണ്. x 2-ലേത് പോലെ തന്നെ ചെയ്യാം.
എല്ലാ അടിസ്ഥാന വേരിയബിളുകളും, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം, മൂന്ന് സ്വതന്ത്രമായവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഉത്തരം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം.
സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമാക്കാനും കഴിയും. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പൂജ്യങ്ങൾ സാധാരണയായി സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങളായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും:
16, 23, 0, 0, 0.
ഒരു നിസ്സഹകരണ സംവിധാനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം
ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ പൊരുത്തമില്ലാത്ത സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഏറ്റവും വേഗതയേറിയതാണ്. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പരിഹാരമില്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചാലുടൻ അത് അവസാനിക്കുന്നു. അതായത്, വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്ന ഘട്ടം, വളരെ ദൈർഘ്യമേറിയതും മടുപ്പുളവാക്കുന്നതുമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നു:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
പതിവുപോലെ, മാട്രിക്സ് സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
ഇത് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
ആദ്യത്തെ പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം, മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു
ഒരു പരിഹാരം ഇല്ലാതെ. തൽഫലമായി, സിസ്റ്റം അസ്ഥിരമാണ്, ഉത്തരം ശൂന്യമായ സെറ്റ് ആയിരിക്കും.
രീതിയുടെ ഗുണങ്ങളും ദോഷങ്ങളും
പേന ഉപയോഗിച്ച് പേപ്പറിൽ SLAE കൾ പരിഹരിക്കേണ്ട രീതി നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത രീതി ഏറ്റവും ആകർഷകമായി തോന്നുന്നു. പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകുന്നത് നിങ്ങൾ സ്വയം ഒരു ഡിറ്റർമിനൻ്റിനായി അല്ലെങ്കിൽ ചില തന്ത്രപരമായ വിപരീത മാട്രിക്സിനായി തിരയുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത്തരത്തിലുള്ള ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങൾ പ്രോഗ്രാമുകൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റുകൾ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകളിൽ മെട്രിക്സിൻ്റെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ ഇതിനകം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു - ഡിറ്റർമിനൻ്റ്, മൈനറുകൾ, വിപരീതം മുതലായവ. മെഷീൻ ഈ മൂല്യങ്ങൾ സ്വയം കണക്കാക്കുമെന്നും തെറ്റുകൾ വരുത്തില്ലെന്നും നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് കൂടുതൽ ഉചിതം, കാരണം അവയുടെ ആപ്ലിക്കേഷൻ ആരംഭിക്കുന്നതും അവസാനിക്കുന്നതും ഡിറ്റർമിനൻ്റുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടലിലാണ്. വിപരീത മാട്രിക്സ്.
അപേക്ഷ
ഗൗസിയൻ പരിഹാരം ഒരു അൽഗോരിതം ആയതിനാൽ, മാട്രിക്സ് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു ദ്വിമാന അറേ ആയതിനാൽ, ഇത് പ്രോഗ്രാമിംഗിൽ ഉപയോഗിക്കാം. എന്നാൽ ലേഖനം "ഡമ്മികൾക്കുള്ള" ഒരു ഗൈഡായി സ്വയം സ്ഥാപിക്കുന്നതിനാൽ, ഈ രീതി സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള സ്ഥലം സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റുകളാണെന്ന് പറയണം, ഉദാഹരണത്തിന്, Excel. വീണ്ടും, ഒരു മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഒരു പട്ടികയിൽ നൽകിയിട്ടുള്ള ഏതൊരു SLAEയെയും Excel ഒരു ദ്വിമാന അറേ ആയി കണക്കാക്കും. അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് നിരവധി നല്ല കമാൻഡുകൾ ഉണ്ട്: കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ (നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ വലുപ്പത്തിലുള്ള മെട്രിക്സുകൾ മാത്രമേ ചേർക്കാൻ കഴിയൂ!), ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കൽ, മെട്രിക്സുകളുടെ ഗുണനം (ചില നിയന്ത്രണങ്ങളോടെ), വിപരീതവും ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്തതുമായ മെട്രിക്സുകൾ കണ്ടെത്തൽ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി , ഡിറ്റർമിനൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സമയമെടുക്കുന്ന ടാസ്‌ക്ക് ഒരൊറ്റ കമാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ റാങ്ക് വളരെ വേഗത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാനും അതിനാൽ, അതിൻ്റെ അനുയോജ്യത അല്ലെങ്കിൽ പൊരുത്തക്കേട് സ്ഥാപിക്കാനും കഴിയും.
