ദശാംശ ലോഗരിതങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം. ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ബന്ധപ്പെട്ട്

നൽകിയിട്ടുള്ള മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിൽ നിന്ന് മൂന്ന് സംഖ്യകളിൽ ഏതെങ്കിലും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും. a ഉം N ഉം നൽകിയാൽ, അവ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തും. x ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എടുത്ത് (അല്ലെങ്കിൽ അതിനെ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തി) N ഉം a ഉം നൽകിയാൽ. ഇപ്പോൾ a, N എന്നിവ നൽകിയാൽ x കണ്ടെത്തേണ്ട സന്ദർഭം പരിഗണിക്കുക.

N എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ: a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവും ഒന്നിന് തുല്യവുമല്ല: .

നിർവ്വചനം. N സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം a അടിസ്ഥാനം ആണ്, N എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ a ഉയർത്തേണ്ട ഘാതം; ലോഗരിതം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്

അങ്ങനെ, തുല്യതയിൽ (26.1) ഘാതം a അടിസ്ഥാനം N യുടെ ലോഗരിതം ആയി കാണപ്പെടുന്നു. പോസ്റ്റുകൾ

ഒരേ അർത്ഥമുണ്ട്. സമത്വം (26.1) ചിലപ്പോൾ ലോഗരിതം സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ അത് ലോഗരിതം എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംലോഗരിതം a യുടെ അടിസ്ഥാനം എപ്പോഴും പോസിറ്റീവും ഏകത്വത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തവുമാണ്; ലോഗരിഥമിക് നമ്പർ N പോസിറ്റീവ് ആണ്. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും പൂജ്യത്തിനും ലോഗരിതം ഇല്ല. തന്നിരിക്കുന്ന അടിത്തറയുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയ്ക്കും നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. അതിനാൽ സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നു. x, y എന്നിവയുടെ ഏത് മൂല്യത്തിനും തുല്യത സത്യമായതിനാൽ, വ്യവസ്ഥ ഇവിടെ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക;

ഉദാഹരണം 1. കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഒരു സംഖ്യ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം 2 പവർ ആയി ഉയർത്തണം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൽ അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കുറിപ്പുകൾ ഉണ്ടാക്കാം:

ഉദാഹരണം 2. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്

ഉദാഹരണങ്ങൾ 1, 2 എന്നിവയിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബേസിൻ്റെ ശക്തിയായി ലോഗരിതം സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള ലോഗരിതം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്തി. IN പൊതുവായ കേസ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി, മുതലായവ, ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ലോഗരിതത്തിന് യുക്തിരഹിതമായ മൂല്യമുണ്ട്. ഈ പ്രസ്താവനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വിഷയം നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഖണ്ഡിക 12 ൽ, തന്നിരിക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ നൽകി. ലോഗരിതം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമായിരുന്നു, പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, അവിവേക സംഖ്യകളാകാം.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നോക്കാം.

പ്രോപ്പർട്ടി 1. സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ, ലോഗരിതം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യയും അടിത്തറയും തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഉണ്ട്, എവിടെ നിന്നാണ്

നേരെമറിച്ച്, നിർവചനം അനുസരിച്ച് എന്ന് അനുവദിക്കുക

പ്രോപ്പർട്ടി 2. ഒന്നിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും ബേസിൻ്റെ ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. ഒരു ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്നതിലൂടെ (ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് ബേസിൻ്റെ പൂജ്യം പവർ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കാണുക (10.1)). ഇവിടെ നിന്ന്

ക്യു.ഇ.ഡി.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്: എങ്കിൽ, N = 1. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് .

ലോഗരിതംസിൻ്റെ അടുത്ത പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, a, b എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകൾ c-നേക്കാൾ വലുതോ c-യിൽ കുറവോ ആണെങ്കിൽ, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ c യുടെ ഒരേ വശത്ത് കിടക്കുമെന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് c-നേക്കാൾ വലുതും മറ്റേത് c-നേക്കാൾ കുറവും ആണെങ്കിൽ, അവ c യുടെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നു എന്ന് നമ്മൾ പറയും.

പ്രോപ്പർട്ടി 3. സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പോസിറ്റീവ് ആണ്; സംഖ്യയും അടിത്തറയും ഒന്നിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ആധാരം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a യുടെ ശക്തി ഒന്നിൽ കൂടുതലാണ് എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പ്രോപ്പർട്ടി 3 ൻ്റെ തെളിവ്. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലും ഘാതം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ബേസ് ഒന്നിൽ കുറവും ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ ഒരു ശക്തി ഒന്നിൽ കുറവാണ്.

പരിഗണിക്കേണ്ട നാല് കേസുകൾ ഉണ്ട്:

അവയിൽ ആദ്യത്തേത് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തും; ബാക്കിയുള്ളവ വായനക്കാരൻ സ്വന്തമായി പരിഗണിക്കും.

അപ്പോൾ തുല്യതയിൽ ഘാതം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്, തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 3. ചുവടെയുള്ള ലോഗരിതങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ പോസിറ്റീവ് ആണെന്നും ഏതൊക്കെ നെഗറ്റീവ് ആണെന്നും കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം, a) സംഖ്യ 15 ഉം അടിസ്ഥാന 12 ഉം ഒന്നിൻ്റെ ഒരേ വശത്തായതിനാൽ;

ബി) 1000 ഉം 2 ഉം യൂണിറ്റിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനാൽ; ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനം ലോഗരിഥമിക് നമ്പറിനേക്കാൾ വലുതാണെന്നത് പ്രധാനമല്ല;

c) 3.1 ഉം 0.8 ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ എതിർവശങ്ങളിലായി കിടക്കുന്നതിനാൽ;

ജി) ; എന്തുകൊണ്ട്?

d) ; എന്തുകൊണ്ട്?

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4-6 നെ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമേഷൻ്റെ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: ചില സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം അറിയുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും അളവ്, അളവ് എന്നിവ കണ്ടെത്താൻ അവ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടി 4 (ഉൽപ്പന്ന ലോഗരിതം നിയമം). നിരവധി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ അടിസ്ഥാനം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഈ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതം ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക്.

തെളിവ്. തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കട്ടെ.

അവരുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുന്ന തുല്യത (26.1) ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തും

ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ തുല്യത ലഭിക്കും:

അവസ്ഥ അനിവാര്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക; രണ്ടിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾഅർത്ഥമുണ്ട്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

പൊതുവേ, നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണഫലം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ലോഗരിതം ഈ ഘടകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടി 5 (ഘടകങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം). പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും ലോഗരിതം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ അടിത്തറയിലേക്ക് എടുക്കുന്നു. തെളിവ്. ഞങ്ങൾ സ്ഥിരമായി കണ്ടെത്തുന്നു

ക്യു.ഇ.ഡി.

പ്രോപ്പർട്ടി 6 (പവർ ലോഗരിതം റൂൾ). ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെയും ശക്തിയുടെ ലോഗരിതം ആ സംഖ്യയുടെ ഘാതം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്. സംഖ്യയുടെ പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി (26.1) വീണ്ടും എഴുതാം:

ക്യു.ഇ.ഡി.

അനന്തരഫലം. ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം, മൂലത്തിൻ്റെ ഘാതം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ റാഡിക്കലിൻ്റെ ലോഗരിതം തുല്യമാണ്:

പ്രോപ്പർട്ടി 6 എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാമെന്നും ഉപയോഗിക്കാമെന്നും സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ ഈ അനന്തരഫലത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 4. a അടിസ്ഥാനമാക്കാൻ ലോഗരിതം എടുക്കുക:

a) (എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും b, c, d, e എന്നിവ പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു);

b) (അത് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു).

പരിഹാരം, a) ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറുകളിലേക്ക് പോകുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

സമത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (26.5)-(26.7) നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

സംഖ്യകളേക്കാൾ ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സംഖ്യകളുടെ ലോഗരിതങ്ങളിൽ നടക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു: സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ലോഗരിതം ചേർക്കുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു, മുതലായവ.

അതുകൊണ്ടാണ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നത് (ഖണ്ഡിക 29 കാണുക).

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനത്തെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്: ഒരു സംഖ്യയുടെ തന്നിരിക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രവർത്തനമാണ് പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ അല്ല പ്രത്യേക പ്രവർത്തനം: അടിസ്ഥാനം ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു (സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യം). "പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദം "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" എന്ന പദത്തിൻ്റെ പര്യായമായി കണക്കാക്കാം.

പൊട്ടൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ലോഗരിതമേഷൻ നിയമങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായി നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കണം: ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പ്രത്യേകിച്ചും, മുന്നിൽ ഒരു ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൻ്റെ, പിന്നെ പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ സമയത്ത് അത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഡിഗ്രികളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഉദാഹരണം 5. N എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഇപ്പോൾ പ്രസ്താവിച്ച പൊട്ടൻഷ്യേഷൻ നിയമവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന 2/3, 1/3 ഘടകങ്ങൾ ഈ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റും; നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തെ ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ഈ സമത്വ ശൃംഖലയിലെ അവസാന അംശം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഡിനോമിനേറ്ററിലെ യുക്തിരാഹിത്യത്തിൽ നിന്ന് മുമ്പത്തെ ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ മോചിപ്പിച്ചു (ക്ലോസ് 25).

പ്രോപ്പർട്ടി 7. അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, പിന്നെ വലിയ സംഖ്യഒരു വലിയ ലോഗരിതം ഉണ്ട് (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറുതും ഉണ്ട്), അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ, വലിയ സംഖ്യയ്ക്ക് ചെറിയ ലോഗരിതം ഉണ്ടായിരിക്കും (ചെറിയ സംഖ്യയ്ക്ക് വലുത്).

അസമത്വങ്ങളുടെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു നിയമമായും ഈ പ്രോപ്പർട്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇവയുടെ ഇരുവശങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആണ്:

അസമത്വങ്ങളെ ഒന്നിൽ കൂടുതലുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിഥിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യുമ്പോൾ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം വിപരീതമായി മാറുന്നു (ഖണ്ഡിക 80-ഉം കാണുക).

തെളിവ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ 5 ഉം 3 ഉം അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എങ്കിൽ , പിന്നെ, ലോഗരിതം എടുക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന കേസ് പരിഗണിക്കുക

(എയും N/M ഉം ഐക്യത്തിൻ്റെ ഒരേ വശത്താണ്). ഇവിടെ നിന്ന്

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, വായനക്കാരൻ അത് സ്വയം കണ്ടെത്തും.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പദപ്രയോഗങ്ങളെ ശക്തികൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതങ്ങൾ എപ്പോഴും കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു (a b *a c = a b+c). ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമം ആർക്കിമിഡീസ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്, പിന്നീട് എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വിരാസെൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക സൃഷ്ടിച്ചു. ലോഗരിതം കൂടുതൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സഹായിച്ചത് അവരാണ്. ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ സങ്കലനത്തിലൂടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണനം ലളിതമാക്കേണ്ട എല്ലായിടത്തും കണ്ടെത്താനാകും. ഈ ലേഖനം വായിക്കാൻ നിങ്ങൾ 10 മിനിറ്റ് ചെലവഴിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം എന്താണെന്നും അവയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളോട് വിശദീകരിക്കും. ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ ഭാഷയിൽ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ നിർവ്വചനം

ഒരു ലോഗരിതം എന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: ലോഗ് a b=c, അതായത്, ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ (അതായത്, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ്) “b” അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമായ “a” വരെയുള്ള ലോഗരിതം “c” ആയി കണക്കാക്കുന്നു ആത്യന്തികമായി "b" മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് "a" അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലോഗരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം, ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലോഗ് ഉണ്ടെന്ന് പറയാം 2 8. ഉത്തരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്, 2 മുതൽ ആവശ്യമുള്ള പവർ വരെ നിങ്ങൾക്ക് 8 ലഭിക്കുന്ന ഒരു പവർ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ചില കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ 3 ലഭിക്കും! അത് ശരിയാണ്, കാരണം 2 മുതൽ 3 വരെയുള്ള ശക്തി 8 ആയി ഉത്തരം നൽകുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, ഈ വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ ലോഗരിതം അത്ര ഭയാനകമല്ല, പ്രധാന കാര്യം അവയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം മനസിലാക്കുകയും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ചില നിയമങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. മൂന്ന് ഉണ്ട് വ്യക്തിഗത സ്പീഷീസ്ലോഗരിതമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ:

1. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ln a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം യൂലർ നമ്പറാണ് (e = 2.7).
2. ദശാംശം a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം 10 ആണ്.
3. a>1 എന്ന സംഖ്യയിലേക്കുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം.

ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരൊറ്റ ലോഗരിതം ലഘൂകരിക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, തുടർന്നുള്ള കുറയ്ക്കൽ എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ അവ ഓരോന്നും ഒരു സാധാരണ രീതിയിലാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ശരിയായ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഗുണങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.

നിയമങ്ങളും ചില നിയന്ത്രണങ്ങളും

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നിരവധി നിയമങ്ങൾ-നിയന്ത്രണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, അവ ചർച്ചയ്ക്ക് വിധേയമല്ല, സത്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കൂടാതെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതും അസാധ്യമാണ് ബിരുദം പോലുംനെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളിൽ നിന്ന്. ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് അവരുടേതായ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അത് പിന്തുടർന്ന് ദൈർഘ്യമേറിയതും ശേഷിയുള്ളതുമായ ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോലും നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും:

• അടിസ്ഥാനം "a" എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, കൂടാതെ 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, അല്ലാത്തപക്ഷം പദപ്രയോഗത്തിന് അതിൻ്റെ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടും, കാരണം "1" ഉം "0" ഉം എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്;
• a > 0 ആണെങ്കിൽ a b >0, "c" പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, 10 x = 100 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാണ് ചുമതല നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, നമുക്ക് 100 ലഭിക്കുന്ന പത്ത് എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തി നിങ്ങൾ ഒരു പവർ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് തീർച്ചയായും 10 2 = ആണ്. 100.

ഇനി നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗത്തെ ലോഗരിഥമിക് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് ലോഗ് 10 100 = 2 ലഭിക്കുന്നു. ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം നൽകുന്നതിന് ആവശ്യമായ ശക്തി കണ്ടെത്താൻ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും പ്രായോഗികമായി ഒത്തുചേരുന്നു.

ഒരു അജ്ഞാത ബിരുദത്തിൻ്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനപ്പട്ടികയെക്കുറിച്ചുള്ള സാങ്കേതിക മനസ്സും അറിവും ഉണ്ടെങ്കിൽ ചില ഘാതങ്ങൾ അവബോധപൂർവ്വം ഊഹിക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പവർ ടേബിൾ ആവശ്യമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിത വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒന്നുമറിയാത്തവർക്ക് പോലും ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഇടത് നിരയിൽ സംഖ്യകൾ (അടിസ്ഥാനം a) അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അക്കങ്ങളുടെ മുകളിലെ വരി a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തിയ പവർ c യുടെ മൂല്യമാണ്. കവലയിൽ, സെല്ലുകളിൽ ഉത്തരമായ സംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (a c =b). ഉദാഹരണത്തിന്, 10 എന്ന നമ്പറുള്ള ആദ്യത്തെ സെല്ലും ചതുരവും എടുക്കാം, നമുക്ക് മൂല്യം 100 ലഭിക്കും, അത് നമ്മുടെ രണ്ട് സെല്ലുകളുടെ കവലയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാം വളരെ ലളിതവും എളുപ്പവുമാണ്, ഏറ്റവും യഥാർത്ഥ മാനവികവാദി പോലും മനസ്സിലാക്കും!

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ എക്സ്പോണൻ്റ് ലോഗരിതം ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിനാൽ, ഏത് ഗണിത സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഒരു ലോഗരിഥമിക് തുല്യതയായി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 4 =81 എന്നത് നാലിന് തുല്യമായ 81 ൻ്റെ അടിസ്ഥാന 3 ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം (ലോഗ് 3 81 = 4). നെഗറ്റീവ് ശക്തികൾക്ക് നിയമങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്: 2 -5 = 1/32 ഞങ്ങൾ ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതുന്നു, നമുക്ക് ലോഗ് 2 (1/32) = -5 ലഭിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ആകർഷകമായ വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് "ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയം. ചുവടെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ പഠിച്ചതിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ നോക്കും. അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെയാണെന്നും അവയെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചറിയാമെന്നും ഇപ്പോൾ നോക്കാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം നൽകിയിരിക്കുന്നു: ലോഗ് 2 (x-1) > 3 - ഇത് ഒരു ലോഗരിഥമിക് അസമത്വമാണ്, കാരണം "x" എന്ന അജ്ഞാത മൂല്യം ലോഗരിഥമിക് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ്. കൂടാതെ പദപ്രയോഗത്തിൽ രണ്ട് അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു: അടിസ്ഥാന രണ്ടിലേക്ക് ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വ്യത്യാസം, ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം 2 x = √9) ഒന്നോ അതിലധികമോ നിർദ്ദിഷ്ട ഉത്തരങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ്. സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ, അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയും ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ബ്രേക്ക്‌പോയിൻ്റുകളും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അനന്തരഫലമായി, ഉത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഉത്തരത്തിലെന്നപോലെ വ്യക്തിഗത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ലളിതമായ കൂട്ടമല്ല, മറിച്ച് തുടർച്ചയായ പരമ്പരഅല്ലെങ്കിൽ ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾ.

ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ച അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രാകൃതമായ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ അറിയാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾ വരുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുകയും പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പിന്നീട് നോക്കാം;

1. പ്രധാന ഐഡൻ്റിറ്റി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a logaB =B. a 0-നേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്തതും B പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതുമായപ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് ബാധകമാകൂ.
2. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുൻവ്യവസ്ഥഇതാണ്: d, s 1, s 2 > 0; a≠1. ഈ ലോഗരിഥമിക് ഫോർമുലയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരവും സഹിതം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെളിവ് നൽകാം. a s 1 = f 1 ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, a s 2 = f 2, പിന്നെ a f1 = s 1, a f2 = s 2. നമുക്ക് s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഡിഗ്രികൾ ), തുടർന്ന് നിർവചനം അനുസരിച്ച്: ലോഗ് a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = ലോഗ് a s1 + ലോഗ് a s 2, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
3. ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിലുള്ള സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: ലോഗ് a q b n = n / q log a b.

ഈ ഫോർമുലയെ "ലോഗരിതം ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് സാധാരണ ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ളതാണ്, ഇത് അതിശയിക്കാനില്ല, കാരണം എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രവും സ്വാഭാവിക പോസ്റ്റുലേറ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. തെളിവ് നോക്കാം.

a b = t ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, അത് a t =b ആയി മാറുന്നു. നമ്മൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വൈദ്യുതിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ m: a tn = b n ;

എന്നാൽ a tn = (a q) nt/q = b n ആയതിനാൽ, a q b n = (n*t)/t ലോഗിൻ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് a q b n = n/q ലോഗ് എ ബി ലോഗ് ചെയ്യുക. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

പ്രശ്നങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ലോഗരിതത്തിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ. മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്ന പുസ്തകങ്ങളിലും അവ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷകളുടെ ആവശ്യമായ ഭാഗവുമാണ്. ഒരു സർവകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ വിജയിക്കുന്നതിനോ, അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, പരിഹരിക്കുന്നതിനും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുമായി ഒരൊറ്റ പദ്ധതിയോ പദ്ധതിയോ ഇല്ല അജ്ഞാത മൂല്യംഒരു ലോഗരിതം എന്നൊന്നില്ല, എന്നാൽ എല്ലാ ഗണിത അസമത്വത്തിനും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനും ചില നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഒന്നാമതായി, പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ അതോ നയിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം പൊതുവായ രൂപം. ദൈർഘ്യമേറിയ ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ശരിയായി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് അവരെ പെട്ടെന്ന് പരിചയപ്പെടാം.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഏത് തരം ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കണം: ഒരു ഉദാഹരണ പദപ്രയോഗത്തിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ദശാംശം അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ln100, ln1026. അടിസ്ഥാനം 10 യഥാക്രമം 100, 1026 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് അവരുടെ പരിഹാരം തിളച്ചുമറിയുന്നു. പരിഹാരങ്ങൾക്കായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംനിങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റികളോ അവയുടെ ഗുണങ്ങളോ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവിധ തരത്തിലുള്ള ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം: ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

1. ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം വിപുലീകരിക്കേണ്ട ചുമതലകളിൽ ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ് വലിയ പ്രാധാന്യംസംഖ്യകൾ ബി ലളിതമായ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 4 + ലോഗ് 2 128 = ലോഗ് 2 (4*128) = ലോഗ് 2 512. ഉത്തരം 9 ആണ്.
2. ലോഗ് 4 8 = ലോഗ് 2 2 2 3 = 3/2 ലോഗ് 2 2 = 1.5 - നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതം പവറിൻ്റെ നാലാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, സങ്കീർണ്ണവും പരിഹരിക്കാനാകാത്തതുമായ ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം ഫാക്റ്റർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുക.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള അസൈൻമെൻ്റുകൾ

പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ ലോഗരിതം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് യൂണിഫൈഡ് സ്റ്റേറ്റ് എക്സാമിലെ (എല്ലാ സ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾക്കുമുള്ള സംസ്ഥാന പരീക്ഷ) ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾ. സാധാരണഗതിയിൽ, ഈ ടാസ്‌ക്കുകൾ ഭാഗം എയിൽ (പരീക്ഷയുടെ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള ടെസ്റ്റ് ഭാഗം) മാത്രമല്ല, സി ഭാഗത്തിലും (ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും വലുതുമായ ജോലികൾ) ഉണ്ട്. പരീക്ഷയ്ക്ക് "നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് കൃത്യവും തികഞ്ഞതുമായ അറിവ് ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉദ്യോഗസ്ഥരിൽ നിന്ന് എടുക്കുന്നു ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ ഓപ്ഷനുകൾ. അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നോക്കാം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗ് 2 (2x-1) = 4. പരിഹാരം:
നമുക്ക് പദപ്രയോഗം വീണ്ടും എഴുതാം, അതിനെ ഒരു ചെറിയ ലോഗ് 2 (2x-1) = 2 2 ലളിതമാക്കി, ലോഗരിതം നിർവചിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് 2x-1 = 2 4 ലഭിക്കും, അതിനാൽ 2x = 17; x = 8.5.

• എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിനാൽ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതുമല്ല.
• ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളും പോസിറ്റീവ് ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു ഗുണിതമായി എടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അഭ്യർത്ഥന സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചത് സ്വകാര്യ വിവരംനിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഓഡിറ്റിംഗ്, ഡാറ്റ വിശകലനം, എന്നിങ്ങനെയുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം വിവിധ പഠനങ്ങൾഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും വേണ്ടി.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, നിയമ നടപടികൾ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകൾ അല്ലെങ്കിൽ അഭ്യർത്ഥനകൾ എന്നിവയ്ക്ക് അനുസൃതമായി സർക്കാർ ഏജൻസികൾറഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്ത് - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതുജനാരോഗ്യ ആവശ്യങ്ങൾക്കോ ​​ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം. പ്രധാനപ്പെട്ട കേസുകൾ.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിൻ്റെയും വ്യവകലനത്തിൻ്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിൻ്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിൻ്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിൻ്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പുരാതന മേശകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിൻ്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഇത് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ രൂപത്തിലുള്ള ശക്തികൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്കും പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. പുതിയത് സങ്കീർണ്ണമായ പട്ടികകൾസൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, അതുപോലെ സ്പർശനങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിന്. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അത് മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകളായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു. മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി പുതിയ പ്രവർത്തനംബീജഗണിതത്തിൽ അത് അതിൻ്റെ പൂർണ്ണ രൂപം കൈവരിച്ചു. ലോഗരിതം നിർവചിക്കുകയും അതിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, 13-ാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, അത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = ലോഗ് a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കുന്നുള്ളൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദം എന്ന നിലയിൽ ഉണ്ടാകും: ലോഗ് സി (ബി / പി) = ലോഗ് സി (ബി) - ലോഗ് സി (പി), ക്വട്ടേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: ലോഗ് എ (ബി പി) = പി * ലോഗ് എ (ബി).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ചെയ്യരുത് - ഒരു തുകയുടെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിച്ചു അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലപോളിനോമിയൽ വികാസത്തിൻ്റെ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തം:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1-ൽ കൂടുതൽ, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ചും സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചാണ് മറ്റ് ബേസുകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നത്.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, ഞങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് എല്ലാ ജോലികളും ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകം രൂപകൽപ്പന ചെയ്ത ലോഗരിതം ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ തിരയലിനെ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിൻ്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഒരു സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ ഉപയോഗിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ നീണ്ട കാലംഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് അവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിൻ്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും വരവ് മറ്റേതെങ്കിലും ഉപകരണങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷൻ്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷൻ അസമത്വത്തിൻ്റെ വലത്തും ഇടത്തും പ്രയോഗിച്ചാൽ, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെൻ്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംയഥാർത്ഥ ലോകത്തിലെ വസ്തുക്കളെ വിവരിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് വലിയ പ്രാധാന്യം നേടി. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്തുക പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ മാനുഷിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാപരമായ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾഗവേഷണവും അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഭാഷയിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. വിവരണങ്ങളുടെ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം ഭൗതിക നിയമങ്ങൾലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

റോക്കറ്റിൻ്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിൻ്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ - എഞ്ചിൻ്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണ.
• M 1 - റോക്കറ്റിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ രസതന്ത്രത്തിലെ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിൻ്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിൻ്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിൻ്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിൻ്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തന മേഖലകളിൽ അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.

ലോഗരിതം, ഏത് സംഖ്യകളെയും പോലെ, എല്ലാ വിധത്തിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും രൂപാന്തരപ്പെടുത്താനും കഴിയും. എന്നാൽ ലോഗരിതം കൃത്യമായി സാധാരണ സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ, ഇവിടെ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അവയെ വിളിക്കുന്നു പ്രധാന പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഈ നിയമങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - അവയില്ലാതെ, ഗുരുതരമായ ഒരു ലോഗരിഥമിക് പ്രശ്നം പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. കൂടാതെ, അവയിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ - നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദിവസം കൊണ്ട് എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് തുടങ്ങാം.

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും

ഒരേ അടിത്തറയുള്ള രണ്ട് ലോഗരിതം പരിഗണിക്കുക: ലോഗ് എ xഒപ്പം ലോഗ് എ വൈ. തുടർന്ന് അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം, കൂടാതെ:

1. ലോഗ് എ x+ ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x · വൈ);
2. ലോഗ് എ x- ലോഗ് എ വൈ=ലോഗ് എ (x : വൈ).

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്, വ്യത്യാസം ഘടകത്തിൻ്റെ ലോഗരിതത്തിന് തുല്യമാണ്. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം സമാനമായ ഗ്രൗണ്ടുകൾ. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കില്ല!

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത ഭാഗങ്ങൾ പരിഗണിക്കപ്പെടാത്തപ്പോൾ പോലും ഒരു ലോഗരിതം എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും ("എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം" എന്ന പാഠം കാണുക). ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് കാണുക:

ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9.

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ഒരേ അടിത്തറയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 6 4 + ലോഗ് 6 9 = ലോഗ് 6 (4 9) = ലോഗ് 6 36 = 2.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3.

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ലോഗ് 2 48 - ലോഗ് 2 3 = ലോഗ് 2 (48: 3) = ലോഗ് 2 16 = 4.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5.

വീണ്ടും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:
ലോഗ് 3 135 - ലോഗ് 3 5 = ലോഗ് 3 (135: 5) = ലോഗ് 3 27 = 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗങ്ങൾ "മോശം" ലോഗരിതങ്ങൾ കൊണ്ട് നിർമ്മിച്ചതാണ്, അവ പ്രത്യേകം കണക്കാക്കില്ല. എന്നാൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പൂർണ്ണമായും സാധാരണ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും. പലതും ഈ വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് ടെസ്റ്റ് പേപ്പറുകൾ. അതെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ എല്ലാ ഗൗരവത്തിലും (ചിലപ്പോൾ ഫലത്തിൽ മാറ്റങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ) ടെസ്റ്റ് പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

ലോഗരിതത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു

ഇനി നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനമോ വാദമോ ഒരു ശക്തി ആണെങ്കിലോ? ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഈ ബിരുദത്തിൻ്റെ ഘാതം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് അവസാന ഭരണംആദ്യ രണ്ടെണ്ണം പിന്തുടരുന്നു. എന്തായാലും ഇത് ഓർമ്മിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് - ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കും.

തീർച്ചയായും, ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ നിരീക്ഷിച്ചാൽ ഈ നിയമങ്ങളെല്ലാം അർത്ഥമാക്കുന്നു: എ > 0, എ ≠ 1, x> 0. ഒരു കാര്യം കൂടി: എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് മാത്രമല്ല, തിരിച്ചും പ്രയോഗിക്കാൻ പഠിക്കുക, അതായത്. ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പുള്ള അക്കങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം തന്നെ നൽകാം. ഇതാണ് മിക്കപ്പോഴും ആവശ്യമുള്ളത്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 7 49 6 .

ആദ്യത്തെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആർഗ്യുമെൻ്റിലെ ബിരുദം ഒഴിവാക്കാം:
ലോഗ് 7 49 6 = 6 ലോഗ് 7 49 = 6 2 = 12

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഒരു ലോഗരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെൻ്റും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അവസാനത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് കുറച്ച് വ്യക്തത ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. ലോഗരിതം എവിടെ പോയി? അവസാന നിമിഷം വരെ ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററുമായി മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ. ഞങ്ങൾ അവിടെ നിൽക്കുന്ന ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ഘാതകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കുകയും ചെയ്തു - ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു “മൂന്ന്-നില” ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിച്ചു.

ഇനി പ്രധാന ഭിന്നസംഖ്യ നോക്കാം. ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഒരേ നമ്പർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു: ലോഗ് 2 7. ലോഗ് 2 7 ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - 2/4 ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിലനിൽക്കും. ഗണിത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നാലെണ്ണം ന്യൂമറേറ്ററിലേക്ക് മാറ്റാം, അതാണ് ചെയ്തത്. ഫലം ഉത്തരം ആയിരുന്നു: 2.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്കുള്ള മാറ്റം

ലോഗരിതം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, അവ ഒരേ അടിത്തറയിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ എന്ന് ഞാൻ പ്രത്യേകം ഊന്നിപ്പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? അവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ കൃത്യമായ ശക്തികളല്ലെങ്കിലോ?

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. നമുക്ക് അവയെ ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

ലോഗരിതം ലോഗ് നൽകട്ടെ എ x. പിന്നെ ഏത് നമ്പറിനും സിഅത്തരം സി> 0 ഒപ്പം സി≠ 1, സമത്വം ശരിയാണ്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ ഇട്ടാൽ സി = x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയും വാദവും സ്വാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും "മറിഞ്ഞു", അതായത്. ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുന്നു.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ കാണപ്പെടുന്നുള്ളൂ. ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ അവ എത്രത്തോളം സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് വിലയിരുത്താൻ കഴിയൂ.

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതല്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. ഇവയിൽ രണ്ടെണ്ണം നോക്കാം:

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 5 16 ലോഗ് 2 25.

രണ്ട് ലോഗരിതങ്ങളുടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റുകളിൽ കൃത്യമായ ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് സൂചകങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കാം: ലോഗ് 5 16 = ലോഗ് 5 2 4 = 4ലോഗ് 5 2; ലോഗ് 2 25 = ലോഗ് 2 5 2 = 2ലോഗ് 2 5;

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ ലോഗരിതം "റിവേഴ്സ്" ചെയ്യാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം മാറാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി നാലിലും രണ്ടിലും ഗുണിച്ചു, തുടർന്ന് ലോഗരിതം കൈകാര്യം ചെയ്തു.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: ലോഗ് 9 100 lg 3.

ആദ്യത്തെ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനവും വാദവും കൃത്യമായ ശക്തികളാണ്. നമുക്ക് ഇത് എഴുതി സൂചകങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ഇപ്പോൾ ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് ദശാംശ ലോഗരിതം ഒഴിവാക്കാം:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി

പലപ്പോഴും പരിഹാര പ്രക്രിയയിൽ ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു നിശ്ചിത അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും:

ആദ്യ കേസിൽ, നമ്പർ എൻവാദത്തിൽ നിലകൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രിയുടെ സൂചകമായി മാറുന്നു. നമ്പർ എൻതികച്ചും എന്തും ആകാം, കാരണം ഇത് ഒരു ലോഗരിതം മൂല്യം മാത്രമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുല യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പാരാഫ്രേസ്ഡ് നിർവചനമാണ്. അതിനെയാണ് വിളിക്കുന്നത്: അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി.

വാസ്തവത്തിൽ, നമ്പർ ആണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ബിസംഖ്യയെ അത്തരം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക ബിഈ ശക്തിക്ക് നമ്പർ നൽകുന്നു എ? അത് ശരിയാണ്: നിങ്ങൾക്ക് ഇതേ നമ്പർ ലഭിക്കും എ. ഈ ഖണ്ഡിക വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക - പലരും അതിൽ കുടുങ്ങി.

ഒരു പുതിയ അടിത്തറയിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പോലെ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ചിലപ്പോൾ സാധ്യമായ ഒരേയൊരു പരിഹാരമാണ്.

ടാസ്ക്. പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ലോഗ് 25 64 = ലോഗ് 5 8 - ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിത്തറയിൽ നിന്നും ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ എടുത്തത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

[ചിത്രത്തിന് അടിക്കുറിപ്പ്]

ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു യഥാർത്ഥ ടാസ്ക്കായിരുന്നു :)

ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റും ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യവും

ഉപസംഹാരമായി, പ്രോപ്പർട്ടികൾ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയാത്ത രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ ഞാൻ നൽകും - പകരം, അവ ലോഗരിതത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലങ്ങളാണ്. അവർ നിരന്തരം പ്രശ്നങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, "വിപുലമായ" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പോലും പ്രശ്നങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു.

1. ലോഗ് എ എ= 1 ഒരു ലോഗരിഥമിക് യൂണിറ്റാണ്. ഒരിക്കൽ കൂടി ഓർക്കുക: ഏതെങ്കിലും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം എഇതിൽ നിന്ന് തന്നെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.
2. ലോഗ് എ 1 = 0 എന്നത് ലോഗരിഥമിക് പൂജ്യമാണ്. അടിസ്ഥാനം എഎന്തും ആകാം, എന്നാൽ ആർഗ്യുമെൻ്റിൽ ഒന്ന് അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ലോഗരിതം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! കാരണം എ 0 = 1 എന്നത് നിർവചനത്തിൻ്റെ നേരിട്ടുള്ള അനന്തരഫലമാണ്.

അത്രയേ ഉള്ളൂ. അവ പ്രായോഗികമാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക! പാഠത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ചീറ്റ് ഷീറ്റ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക, പ്രിൻ്റ് ഔട്ട് ചെയ്യുക, പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.