വീട് പ്രോസ്തെറ്റിക്സും ഇംപ്ലാൻ്റേഷനും ഓൺലൈനിൽ ഒരു നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ

പ്രോസ്തെറ്റിക്സും ഇംപ്ലാൻ്റേഷനും

ഓൺലൈനിൽ ഒരു നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ. ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയിലെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണം. ഒരു പോയിൻ്റിന് സമമിതിയിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക വിമാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്.

പരിഹാര പദ്ധതി.

1. തന്നിരിക്കുന്ന തലത്തിന് ലംബമായി പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക . ഒരു നേർരേഖ നൽകിയിരിക്കുന്ന തലത്തിന് ലംബമായതിനാൽ, വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ അതിൻ്റെ ദിശ വെക്‌ടറായി എടുക്കാം, അതായത്.

അതിനാൽ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ആയിരിക്കും

2. പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക ഒരു നേർരേഖയുടെ കവല വിമാനങ്ങളും (പ്രശ്നം 13 കാണുക).

3. പോയിൻ്റ് പോയിൻ്റ് ആയ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ് ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ബിന്ദു ആണ് , അതുകൊണ്ടാണ്

പ്രശ്നം 14. വിമാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റിന് സമമിതിയിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക.

ഒരു നിശ്ചിത തലത്തിലേക്ക് ലംബമായി ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഇതായിരിക്കും:

ലൈനിൻ്റെയും വിമാനത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

എവിടെ അതിനാൽ, ഒരു രേഖയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ്

ആ. .

ഏകതാനമായ തലം കോർഡിനേറ്റുകൾ. വിമാനത്തിലെ അഫൈൻ പരിവർത്തനങ്ങൾ.

അനുവദിക്കുക എം എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്

എം(എക്സ്, ചെയ്തത്മേ (എക്സ്, ചെയ്തത്, 1) ബഹിരാകാശത്ത് (ചിത്രം 8).

മേ (എക്സ്, ചെയ്തത്

മേ (എക്സ്, ചെയ്തത് ഹു.

(hx, hy, h), h  0,

അഭിപ്രായം

എച്ച്(ഉദാഹരണത്തിന്, എച്ച്

വാസ്തവത്തിൽ, പരിഗണിക്കുന്നു എച്ച്

അഭിപ്രായം

ഉദാഹരണം 1.

ബി) ഒരു കോണിലേക്ക് (ചിത്രം 9).

1st ഘട്ടം.

രണ്ടാം ഘട്ടം.കോണിലൂടെ തിരിക്കുക 

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

3-ആം ഘട്ടം.വെക്‌ടറിലേക്ക് മാറ്റുക A(a, b)

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

ഉദാഹരണം 3

 x-അക്ഷം സഹിതം ഒപ്പം

1st ഘട്ടം.

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം.

3-ആം ഘട്ടം.

അവസാനം നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

അഭിപ്രായം

[R],[D],[M],[T],

അനുവദിക്കുക എം- കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന റെക്റ്റിലീനിയർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ കണക്കാക്കുന്നു. ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളായ x, y എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരേസമയം പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ട്രിപ്പിൾ ആണ് ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏകാഗ്ര കോർഡിനേറ്റുകൾ:

കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ സാധാരണയായി ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകപ്പെടുന്നു: ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റിലേക്ക് എം(എക്സ്, ചെയ്തത്) വിമാനത്തിന് ഒരു പോയിൻ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്നു മേ (എക്സ്, ചെയ്തത്, 1) ബഹിരാകാശത്ത് (ചിത്രം 8).

പോയിൻ്റ് 0(0, 0, 0) എന്ന പോയിൻ്റുമായി ഉത്ഭവത്തെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരിയിലെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് ശ്രദ്ധിക്കുക മേ (എക്സ്, ചെയ്തത്, 1), ഫോമിൻ്റെ മൂന്നിരട്ടി സംഖ്യകൾ (hx, hy, h) നൽകാം.

0 (0, 0, 0) എന്നീ പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന നേർരേഖയുടെ ദിശ വെക്‌ടറാണ് hx, hy എന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്റർ. മേ (എക്സ്, ചെയ്തത്, 1). ഈ രേഖ z = 1 തലത്തെ പോയിൻ്റിൽ (x, y, 1) വിഭജിക്കുന്നു, ഇത് കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് (x, y) അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കുന്നു. ഹു.

അങ്ങനെ, കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള (x, y) അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റിനും ഫോമിൻ്റെ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിനും ഇടയിൽ

(hx, hy, h), h  0,

ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ പുതിയ കോർഡിനേറ്റുകളായി hx, hy, h സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു (ഒന്ന്-ടു-വൺ) കത്തിടപാടുകൾ സ്ഥാപിച്ചു.

അഭിപ്രായം

പ്രൊജക്റ്റീവ് ജ്യാമിതിയിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന, ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ അനുചിതമായ മൂലകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ ഫലപ്രദമായി വിവരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു (പ്രധാനമായും പ്രൊജക്റ്റീവ് തലം പരിചിതമായ യൂക്ലിഡിയൻ തലത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായവ). പരിചയപ്പെടുത്തിയ ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകുന്ന പുതിയ സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾ ഈ അധ്യായത്തിൻ്റെ നാലാം വിഭാഗത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു.

ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കായുള്ള പ്രൊജക്റ്റീവ് ജ്യാമിതിയിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ സ്വീകരിക്കുന്നു:

x:y:1, അല്ലെങ്കിൽ, പൊതുവേ, x1:x2:x3

(ഇവിടെ x 1, x 2, x 3 അക്കങ്ങൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിലേക്ക് തിരിയരുത് എന്നത് തികച്ചും ആവശ്യമാണെന്ന് ഓർക്കുക).

ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പോലും ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉപയോഗം സൗകര്യപ്രദമായി മാറുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, സ്കെയിലിലെ മാറ്റങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക. ഡിസ്പ്ലേ ഉപകരണം പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കണമെങ്കിൽ), ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യത്തിനായി എച്ച്(ഉദാഹരണത്തിന്, എച്ച്= 1) ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ്

സങ്കൽപ്പിക്കാൻ അസാധ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, h ൻ്റെ ന്യായമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും. പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിനായി h = 10

നമുക്ക് മറ്റൊരു കേസ് പരിഗണിക്കാം. ഗണിത ഓവർഫ്ലോയിലേക്ക് നയിക്കുന്ന രൂപാന്തര ഫലങ്ങൾ തടയാൻ, കോർഡിനേറ്റുകൾ (80000 40000 1000) ഉള്ള ഒരു പോയിൻ്റിനായി നിങ്ങൾക്ക് എടുക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, h=0.001. ഫലമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു (80 40 1).

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രയോജനം നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങളിലേക്കുള്ള പ്രയോഗത്തിൽ അവരുടെ നിസ്സംശയമായ സൗകര്യമാണ്.

ഏകതാനമായ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ട്രിപ്പിൾസും മൂന്നാം-ഓർഡർ മെട്രിക്സുകളും ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ ഏത് അഫൈൻ പരിവർത്തനവും വിവരിക്കാം.

വാസ്തവത്തിൽ, പരിഗണിക്കുന്നു എച്ച്= 1, രണ്ട് എൻട്രികൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക: ചിഹ്നം * ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തിയത് ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സ് ഒന്ന്:

അവസാന ബന്ധത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും (*) ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വവും 1=1 ലഭിക്കുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

അഭിപ്രായം

ചിലപ്പോൾ സാഹിത്യത്തിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു - കോളം നൊട്ടേഷൻ:

ഈ നൊട്ടേഷൻ മുകളിലെ വരി-ബൈ-ലൈൻ നൊട്ടേഷന് തുല്യമാണ് (ഇതിൽ നിന്ന് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കുന്നതാണ്).

അനിയന്ത്രിതമായ അഫൈൻ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമില്ല. അതിനാൽ, ഈ അല്ലെങ്കിൽ ആ മാപ്പിംഗ് നടപ്പിലാക്കുന്നതിന്, അതായത്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ വിവരണമനുസരിച്ച് അനുബന്ധ മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പ്രത്യേക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ആവശ്യമാണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഈ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിർമ്മാണം, പരിഗണനയിലുള്ള പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണതയ്ക്കും മുകളിൽ വിവരിച്ച പ്രത്യേക കേസുകൾക്കും അനുസൃതമായി, പല ഘട്ടങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഓരോ ഘട്ടത്തിലും, നന്നായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ജ്യാമിതീയ ഗുണങ്ങളുള്ള എ, ബി, സി അല്ലെങ്കിൽ ഡി എന്നിവയിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ കേസുകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു മാട്രിക്സ് തിരയുന്നു.

നമുക്ക് അനുബന്ധ മൂന്നാം ഓർഡർ മെട്രിക്സുകൾ എഴുതാം.

A. റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സ്

ബി. ഡിലേറ്റേഷൻ മാട്രിക്സ്

ബി. പ്രതിഫലന മാട്രിക്സ്

D. ട്രാൻസ്ഫർ മാട്രിക്സ് (വിവർത്തനം)

വിമാനത്തിൻ്റെ അഫൈൻ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

പോയിൻ്റ് A (a,) ചുറ്റും ഒരു റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുകബി) ഒരു കോണിലേക്ക് (ചിത്രം 9).

1st ഘട്ടം.വെക്‌ടറിലേക്ക് മാറ്റുക – എ (-a, -b) ഭ്രമണ കേന്ദ്രത്തെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി വിന്യസിക്കുക;

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം.കോണിലൂടെ തിരിക്കുക 

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

3-ആം ഘട്ടം.വെക്‌ടറിലേക്ക് മാറ്റുക A(a, b)ഭ്രമണ കേന്ദ്രത്തെ അതിൻ്റെ മുൻ സ്ഥാനത്തേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരാൻ;

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

മെട്രിക്സുകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്ന അതേ ക്രമത്തിൽ നമുക്ക് ഗുണിക്കാം:

ഫലമായി, ആവശ്യമായ പരിവർത്തനം (മാട്രിക്സ് നൊട്ടേഷനിൽ) ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ (പ്രത്യേകിച്ച് അവസാന വരിയിൽ) ഓർമ്മിക്കാൻ അത്ര എളുപ്പമല്ല. അതേ സമയം, മൂന്ന് ഗുണിത മെട്രിക്സുകളിൽ ഓരോന്നും അനുബന്ധ മാപ്പിംഗിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വിവരണത്തിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം 3

സ്ട്രെച്ച് കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളുള്ള ഒരു സ്ട്രെച്ച് മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കുക x-അക്ഷം സഹിതം ഒപ്പം ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിനൊപ്പം, A(a, b) എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള കേന്ദ്രത്തോടൊപ്പം.

1st ഘട്ടം.കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവവുമായി സ്ട്രെച്ചിംഗ് സെൻ്റർ വിന്യസിക്കാൻ വെക്റ്റർ -A (-a, -b) ലേക്ക് മാറ്റുക;

അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്.

രണ്ടാം ഘട്ടം.യഥാക്രമം ,  എന്നീ ഗുണകങ്ങളുള്ള കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം നീട്ടുന്നു; പരിവർത്തന മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

3-ആം ഘട്ടം.സ്ട്രെച്ച് സെൻ്റർ അതിൻ്റെ മുൻ സ്ഥാനത്തേക്ക് തിരികെ കൊണ്ടുവരാൻ വെക്റ്റർ എ (എ, ബി) ലേക്ക് മാറ്റുക; അനുബന്ധ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് -

മെട്രിക്സുകളെ ഒരേ ക്രമത്തിൽ ഗുണിക്കുക

അവസാനം നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

അഭിപ്രായം

സമാനമായ രീതിയിൽ ന്യായവാദം, അതായത്, മെട്രിക്സുകൾ പിന്തുണയ്‌ക്കുന്ന ഘട്ടങ്ങളായി നിർദ്ദിഷ്ട പരിവർത്തനത്തെ തകർക്കുന്നു[R],[D],[M],[T], ജ്യാമിതീയ വിവരണത്തിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും അഫൈൻ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാൻ ഒരാൾക്ക് കഴിയും.

ഷിഫ്റ്റ് സങ്കലനത്തിലൂടെയും സ്കെയിലിംഗും റൊട്ടേഷനും ഗുണനത്തിലൂടെയും നടപ്പിലാക്കുന്നു.

സ്കെയിലിംഗ് പരിവർത്തനം (ഡിലേറ്റേഷൻ) ഉത്ഭവവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ രൂപമുണ്ട്:

അല്ലെങ്കിൽ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ:

എവിടെ ഡിx,ഡിവൈഅക്ഷങ്ങൾക്കൊപ്പം സ്കെയിലിംഗ് ഘടകങ്ങളാണ്, കൂടാതെ

- സ്കെയിലിംഗ് മാട്രിക്സ്.

D > 1 ആകുമ്പോൾ, വികാസം സംഭവിക്കുന്നു, എപ്പോൾ 0<=D<1- сжатие

റൊട്ടേഷൻ പരിവർത്തനം ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

അല്ലെങ്കിൽ മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ:

ഇവിടെ φ എന്നത് ഭ്രമണത്തിൻ്റെ കോണാണ്, കൂടാതെ

- റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സ്.

അഭിപ്രായം:റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സിൻ്റെ നിരകളും വരികളും പരസ്പരം ഓർത്തോഗണൽ യൂണിറ്റ് വെക്റ്ററുകളാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, വരി വെക്റ്ററുകളുടെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരങ്ങൾ ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 ഒപ്പം (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

ഒപ്പം വരി വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നമാണ്

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം മുതൽ എ · ബി = |എ| ·| ബി| ·cosψ, എവിടെ | എ| - വെക്റ്റർ നീളം എ, |ബി| - വെക്റ്റർ നീളം ബി, കൂടാതെ ψ അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കോണാണ്, തുടർന്ന് 1 നീളമുള്ള രണ്ട് വരി വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ തുല്യത 0-ൽ നിന്ന് അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 90 ° ആണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത നേർരേഖയും അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളാൽ (x0, y0) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റും നമുക്ക് നൽകാം. തന്നിരിക്കുന്ന നേർരേഖയെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഈ നേർരേഖയിൽ തലം മാനസികമായി പകുതിയായി വളഞ്ഞാൽ അതുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും - തന്നിരിക്കുന്നതും ആവശ്യമുള്ളതും - ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കണം, ഈ വരി തന്നിരിക്കുന്ന ഒന്നിന് ലംബമായിരിക്കണം. അങ്ങനെ, ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണ് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗം, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില വരികൾക്ക് ലംബമായും അതേ സമയം ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകും.

2. ഒരു നേർരേഖയെ രണ്ട് തരത്തിൽ വ്യക്തമാക്കാം. ഒരു വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: Ax + By + C = 0, ഇവിടെ A, B, C എന്നിവ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. ഒരു ലീനിയർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേർരേഖ നിർണ്ണയിക്കാനും കഴിയും: y = kx + b, ഇവിടെ k എന്നത് കോണീയ ഘാതം, b എന്നത് ഈ രണ്ട് രീതികൾ പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നവയാണ്, കൂടാതെ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറാനും കഴിയും. Ax + By + C = 0 ആണെങ്കിൽ, y = – (Ax + C)/B. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു രേഖീയ ഫംഗ്ഷനിൽ y = kx + b, കോണീയ എക്സ്പോണൻ്റ് k = -A/B, സ്ഥാനചലനം b = -C/B. ചുമതലകൾക്കായി, നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

3. രണ്ട് വരികൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ, ആദ്യ വരിയുടെ സമവാക്യം Ax + By + C = 0 ആണെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സമവാക്യം Bx - Ay + D = 0 പോലെ ആയിരിക്കണം, ഇവിടെ D ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. D യുടെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ലംബ രേഖ ഏത് പോയിൻ്റിലൂടെയാണ് കടന്നുപോകുന്നതെന്ന് അധികമായി അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇതാണ് പോയിൻ്റ് (x0, y0) തൽഫലമായി, D തുല്യത പാലിക്കണം: Bx0 - Ay0 + D = 0, അതായത്, D = Ay0 - Bx0.

4. ലംബ രേഖ കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, തന്നിരിക്കുന്നതുമായി അതിൻ്റെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. അതിൻ്റെ പരിഹാരം കോർഡിനേറ്റുകളായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ (x1, y1) നൽകും. വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ്.

5. ആവശ്യമുള്ള പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തിയ വരിയിൽ കിടക്കണം, കൂടാതെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള അതിൻ്റെ ദൂരം ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം (x0, y0). സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് പോയിൻ്റിന് (x0, y0) സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും. പോയിൻ്റ് (x0, y0), (x, y) എന്നിവ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് (x1, y1) തുല്യ അകലത്തിലാണെങ്കിൽ, മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളും ഒരേ നേർരേഖയിലാണെങ്കിൽ: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 - y0, x = 2×1 - x0, y = 2y1 - y0. ഈ മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിലൂടെ, അതിൻ്റെ വലതുഭാഗം ഇടതുവശത്ത് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. കൂടാതെ, ആദ്യ സമവാക്യം കൂടുതൽ പരിഗണിക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, കാരണം പോയിൻ്റുകൾ (x0, y0), (x1, y1) എന്നിവ അതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്നും (x, y) പോയിൻ്റ് (x, y) വ്യക്തമായും ഒരേ വരിയിൽ കിടക്കുന്നുവെന്നും അറിയാം. .

നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ബിന്ദുവിനോട് സമമിതിയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല. . ഘട്ടങ്ങൾ സ്വയം നടപ്പിലാക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഫലങ്ങളുള്ള പരിഹാര അൽഗോരിതം ഞാൻ രൂപപ്പെടുത്തും:

1) വരയ്ക്ക് ലംബമായ ഒരു രേഖ കണ്ടെത്തുക.

2) വരികളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക: .

രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളും ഈ പാഠത്തിൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു.

3) പോയിൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യഭാഗമാണ്. മധ്യഭാഗത്തിൻ്റെയും അറ്റങ്ങളിലൊന്നിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്കറിയാം. എഴുതിയത് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യബിന്ദുവിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ദൂരവും 2.2 യൂണിറ്റാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും.

ഇവിടെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകാം, പക്ഷേ ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ടവറിൽ ഒരു വലിയ സഹായമാണ്, ഇത് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞാൻ നിങ്ങളെ പലതവണ ഉപദേശിച്ചു, വീണ്ടും ശുപാർശ ചെയ്യും.

രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഉദാഹരണം 9

രണ്ട് സമാന്തര വരകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം തീരുമാനിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ചെറിയ സൂചന തരാം: ഇത് പരിഹരിക്കാൻ അനന്തമായ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം വിശദീകരിക്കുന്നു, പക്ഷേ സ്വയം ഊഹിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, നിങ്ങളുടെ ചാതുര്യം നന്നായി വികസിപ്പിച്ചതായി ഞാൻ കരുതുന്നു.

രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

ഓരോ മൂലയും ഒരു ജാംബ് ആണ്:

ജ്യാമിതിയിൽ, രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോണിനെ ചെറിയ കോണായി കണക്കാക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് അത് സ്വയമേവ പിൻതുടരുന്നു. ചിത്രത്തിൽ, ചുവന്ന ആർക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്ന കോണിനെ വിഭജിക്കുന്ന വരികൾക്കിടയിലുള്ള കോണായി കണക്കാക്കില്ല. അവൻ്റെ "പച്ച" അയൽക്കാരൻ അല്ലെങ്കിൽ വിപരീത ദിശയിലുള്ള"റാസ്ബെറി" കോർണർ.

വരികൾ ലംബമാണെങ്കിൽ, 4 കോണുകളിൽ ഏതെങ്കിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണായി എടുക്കാം.

കോണുകൾ എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ഓറിയൻ്റേഷൻ. ഒന്നാമതായി, ആംഗിൾ "സ്ക്രോൾ" ചെയ്യുന്ന ദിശ അടിസ്ഥാനപരമായി പ്രധാനമാണ്. രണ്ടാമതായി, ഒരു നെഗറ്റീവ് ഓറിയൻ്റഡ് ആംഗിൾ ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് എങ്കിൽ .

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ ഇത് നിന്നോട് പറഞ്ഞത്? ഒരു ആംഗിൾ എന്ന പതിവ് ആശയം കൊണ്ട് നമുക്ക് പോകാമെന്ന് തോന്നുന്നു. ഞങ്ങൾ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ നെഗറ്റീവ് ഫലത്തിന് കാരണമാകും എന്നതാണ് വസ്തുത, ഇത് നിങ്ങളെ ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തേണ്ടതില്ല. മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള ഒരു ആംഗിൾ മോശമല്ല, കൂടാതെ വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട ജ്യാമിതീയ അർത്ഥവുമുണ്ട്. ഡ്രോയിംഗിൽ, ഒരു നെഗറ്റീവ് കോണിനായി, ഒരു അമ്പടയാളം (ഘടികാരദിശയിൽ) ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ഓറിയൻ്റേഷൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക.

രണ്ട് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?രണ്ട് പ്രവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്:

ഉദാഹരണം 10

വരികൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരംഒപ്പം രീതി ഒന്ന്

പൊതുവായ രൂപത്തിൽ സമവാക്യങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട രണ്ട് നേർരേഖകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

നേരെയാണെങ്കിൽ ലംബമല്ല, അത് ഓറിയൻ്റഡ്അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോൺ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

ഡിനോമിനേറ്ററിലേക്ക് നമുക്ക് ശ്രദ്ധ നൽകാം - ഇത് കൃത്യമായി സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നംനേർരേഖകളുടെ ദിശാസൂചന വെക്‌ടറുകൾ:

എങ്കിൽ, ഫോർമുലയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യമാകും, കൂടാതെ വെക്‌ടറുകൾ ഓർത്തോഗണലും വരികൾ ലംബവുമായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ് ഫോർമുലേഷനിൽ നേർരേഖകളുടെ ലംബമല്ലാത്തതിനെ കുറിച്ച് ഒരു റിസർവേഷൻ നടത്തിയത്.

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ പരിഹാരം ഔപചാരികമാക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

1) ലൈനുകളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:

2) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക:

വിപരീത പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച്, ആംഗിൾ തന്നെ കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആർക്റ്റഞ്ചൻ്റിൻ്റെ വിചിത്രത ഉപയോഗിക്കുന്നു (കാണുക. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും ഗുണങ്ങളും):

ഉത്തരം:

നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയ കൃത്യമായ മൂല്യവും ഒരു ഏകദേശ മൂല്യവും (ഡിഗ്രിയിലും റേഡിയനിലും വെയിലത്ത്) ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ശരി, മൈനസ്, മൈനസ്, വലിയ കാര്യമില്ല. ഒരു ജ്യാമിതീയ ചിത്രീകരണം ഇതാ:

ആംഗിൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് ഓറിയൻ്റേഷനായി മാറിയതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല, കാരണം പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ ആദ്യ സംഖ്യ ഒരു നേർരേഖയാണ്, കൂടാതെ കോണിൻ്റെ “അൺസ്ക്രൂയിംഗ്” കൃത്യമായി ആരംഭിക്കുകയും ചെയ്തു.

നിങ്ങൾക്ക് ശരിക്കും ഒരു പോസിറ്റീവ് ആംഗിൾ ലഭിക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വരികൾ സ്വാപ്പ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുക. , ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഗുണകങ്ങൾ എടുക്കുക. ചുരുക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ നേരിട്ട് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട് .

ഞാൻ അത് മറയ്ക്കില്ല, ക്രമത്തിൽ ഞാൻ നേർരേഖകൾ സ്വയം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ ആംഗിൾ പോസിറ്റീവ് ആയി മാറുന്നു. ഇത് കൂടുതൽ മനോഹരമാണ്, പക്ഷേ കൂടുതലൊന്നുമില്ല.

നിങ്ങളുടെ പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രൊട്ടക്റ്റർ എടുത്ത് ആംഗിൾ അളക്കാം.

രീതി രണ്ട്

ചരിവുള്ള സമവാക്യങ്ങളാൽ നേർരേഖകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഒപ്പം ലംബമല്ല, അത് ഓറിയൻ്റഡ്അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

വരികളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥ സമത്വത്താൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ നിന്ന്, ലംബരേഖകളുടെ കോണീയ ഗുണകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ബന്ധം പിന്തുടരുന്നു: , ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരിഹാര അൽഗോരിതം മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയ്ക്ക് സമാനമാണ്. എന്നാൽ ആദ്യം, ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിൽ നമ്മുടെ നേർരേഖകൾ മാറ്റിയെഴുതാം:

അതിനാൽ, ചരിവുകൾ ഇവയാണ്:

1) വരികൾ ലംബമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:
, അതായത് വരികൾ ലംബമല്ല.

2) ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

ഉത്തരം:

നേർരേഖകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ തുടക്കത്തിൽ ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്. കുറഞ്ഞത് ഒരു നേർരേഖയെങ്കിലും ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യം ബാധകമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, കാരണം അത്തരം നേർരേഖകൾക്ക് ചരിവ് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല (ലേഖനം കാണുക ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം).

മൂന്നാമതൊരു പരിഹാരമുണ്ട്. പാഠത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വരികളുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ആശയം വെക്റ്ററുകളുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം:

ഇവിടെ നമ്മൾ ഇനി സംസാരിക്കുന്നത് ഒരു ഓറിയൻ്റഡ് കോണിനെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് "ഒരു കോണിനെക്കുറിച്ച്", അതായത്, ഫലം തീർച്ചയായും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ക്യാച്ച് എന്തെന്നാൽ, നിങ്ങൾ ഒരു മങ്ങിയ കോണിൽ അവസാനിച്ചേക്കാം (നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളതല്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ ഒരു ചെറിയ കോണാണെന്ന് നിങ്ങൾ റിസർവേഷൻ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആർക്ക് കോസൈൻ "പൈ" റേഡിയനുകളിൽ നിന്ന് (180 ഡിഗ്രി) കുറയ്ക്കുക.

ആഗ്രഹമുള്ളവർക്ക് മൂന്നാമതൊരു രീതിയിൽ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. എന്നാൽ വ്യാപകമായതിനാൽ, ഓറിയൻ്റഡ് ആംഗിൾ ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ സമീപനത്തിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കാൻ ഞാൻ ഇപ്പോഴും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 11

വരികൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുക.

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇത് രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

വഴിയിൽ എങ്ങനെയോ ആ യക്ഷിക്കഥ നശിച്ചു... കാരണം അനശ്വരനായ കാഷ്ചെയ് ഇല്ല. ഞാനുണ്ട്, ഞാൻ പ്രത്യേകിച്ച് ആവിയിൽ വേവിച്ചിട്ടില്ല. സത്യം പറഞ്ഞാൽ, ലേഖനം കൂടുതൽ നീണ്ടുനിൽക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതി. പക്ഷേ, ഈയിടെ കിട്ടിയ തൊപ്പിയും കണ്ണടയും എടുത്ത് ഞാൻ സെപ്തംബറിലെ തടാകജലത്തിൽ നീന്താൻ പോകും. ക്ഷീണവും നെഗറ്റീവ് എനർജിയും തികച്ചും ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഉടൻ കാണാം!

ഓർക്കുക, ബാബ യാഗ റദ്ദാക്കിയിട്ടില്ല =)

പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഉദാഹരണം 3:പരിഹാരം : ലൈനിൻ്റെ ദിശ വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം :

പോയിൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സമവാക്യം രചിക്കാം ദിശ വെക്‌ടറും . ദിശ വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ ഒന്ന് പൂജ്യമായതിനാൽ, Eq. നമുക്ക് അത് ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതാം:

ഉത്തരം :

ഉദാഹരണം 5:പരിഹാരം :
1) ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാക്കാം :

2) ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യം നമുക്ക് രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാക്കാം :

3) വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങൾ ആനുപാതികമല്ല: , അതായത് വരികൾ വിഭജിക്കുന്നു.
4) പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക :

കുറിപ്പ് : ഇവിടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 2-ആമത്തേത് 1-ആം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പദം കൊണ്ട് കുറയ്ക്കുന്നു.
ഉത്തരം :

ബഹിരാകാശത്തെ ഒരു നേർരേഖയെ എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് സമാന്തരമല്ലാത്ത വിമാനങ്ങളുടെ വിഭജന രേഖയായി നിർവചിക്കാം. ഒരു തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തെ തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണെങ്കിൽ, രേഖയുടെ സമവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്

ഇവിടെ നോൺ-കോളിനിയർ
. ഈ സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ നേരെ ബഹിരാകാശത്ത്.

വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ

തന്നിരിക്കുന്ന രേഖയിലോ അതിന് സമാന്തരമായോ കിടക്കുന്ന പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌ടറിനെ ഈ രേഖയുടെ ദിശ വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കാര്യം അറിയാമെങ്കിൽ
നേർരേഖയും അതിൻ്റെ ദിശ വെക്‌ടറും
, അപ്പോൾ വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

. (9)

ഒരു വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ

വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ നൽകട്ടെ

ഇവിടെ നിന്ന്, വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

(10)

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു രേഖയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു രേഖയുടെ സമവാക്യം
ഒപ്പം
ഫോം ഉണ്ട്:

നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ

ഒപ്പം

അവയുടെ ദിശ വെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കാം:

സമാന്തര വരകൾക്കുള്ള വ്യവസ്ഥ:

വിമാനങ്ങൾ ലംബമായിരിക്കണം:

ഒരു വരിയിൽ നിന്ന് ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ ദൂരം

പി പോയിൻ്റ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയാം
നേരെയും

നേർരേഖയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പോയിൻ്റ് അറിയാം
, ഒരു വരിയിൽ പെട്ടതും അതിൻ്റെ ദിശ വെക്‌ടറും
. അപ്പോൾ പോയിൻ്റിൻ്റെ ദൂരം
ഒരു നേർരേഖയിൽ നിന്ന് വെക്റ്ററുകളിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു സമാന്തരരേഖയുടെ ഉയരത്തിന് തുല്യമാണ് ഒപ്പം
. അതിനാൽ,

വരികളുടെ വിഭജനത്തിനുള്ള വ്യവസ്ഥ

സമാന്തരമല്ലാത്ത രണ്ട് വരികൾ

എങ്കിൽ മാത്രം വിഭജിക്കുക

ഒരു നേർരേഖയുടെയും ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം.

നേർരേഖ നൽകട്ടെ
വിമാനവും. കോർണർ അവയ്ക്കിടയിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം

പ്രശ്നം 73.വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക

(11)

പരിഹാരം. വരിയുടെ (9) കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതിന്, വരിയുടെ ദിശയും ദിശ വെക്റ്ററും ഉൾപ്പെടുന്ന ഏതെങ്കിലും പോയിൻ്റ് അറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് വെക്റ്റർ കണ്ടെത്താം , ഈ വരിക്ക് സമാന്തരമായി. ഈ വിമാനങ്ങളുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾക്ക് ലംബമായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, അതായത്.

,
, അത്

നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ഉണ്ട്
,
. പിന്നെ

പോയിൻ്റ് മുതൽ
ഒരു വരിയിലെ ഏത് പോയിൻ്റും, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം, അവയിലൊന്ന് വ്യക്തമാക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്,
, സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് മറ്റ് രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (11):

ഇവിടെ നിന്ന്,
.

അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

അഥവാ
.

പ്രശ്നം 74.

ഒപ്പം
.

പരിഹാരം.ആദ്യ വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അറിയാം
വരിയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതും, ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും
. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും അറിയപ്പെടുന്നു
ദിശ വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും
.

സമാന്തര വരികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പോയിൻ്റിൻ്റെ ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്
രണ്ടാമത്തെ നേർരേഖയിൽ നിന്ന്. ഈ ദൂരം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

നമുക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താം
.

നമുക്ക് വെക്റ്റർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കാം
:

പ്രശ്നം 75.ഒരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക സമമിതി പോയിൻ്റ്
താരതമ്യേന നേരായ

പരിഹാരം. ഒരു നിശ്ചിത രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു തലത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് എഴുതാം . അതിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ പോലെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ ഡയറക്റ്റിംഗ് വെക്റ്റർ എടുക്കാം. പിന്നെ
. അതിനാൽ,

നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്താം
ഈ വരിയുടെയും തലത്തിൻ്റെയും വിഭജന പോയിൻ്റ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുന്നു (10), നമുക്ക് ലഭിക്കും

അതിനാൽ,
.

അനുവദിക്കുക
പോയിൻ്റിന് സമമിതി
ഈ വരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്. അപ്പോൾ പോയിൻ്റ്
മധ്യഭാഗം
. ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

,
,
.

അതിനാൽ,
.

പ്രശ്നം 76.ഒരു വരിയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക
ഒപ്പം

a) ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ
;

ബി) വിമാനത്തിന് ലംബമായി.

പരിഹാരം.ഈ വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ട് തുല്യതകൾ പരിഗണിക്കുക:

ഇതിനർത്ഥം, ആവശ്യമുള്ള തലം ജനറേറ്ററുകളുള്ള ഒരു കൂട്ടം വിമാനങ്ങളുടേതാണെന്നും അതിൻ്റെ സമവാക്യം (8) രൂപത്തിൽ എഴുതാമെന്നും അർത്ഥമാക്കുന്നു:

a) നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
ഒപ്പം പോയിൻ്റിലൂടെ വിമാനം കടന്നുപോകുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്
അതിനാൽ, അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം. പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം
ഒരു കൂട്ടം വിമാനങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക്:

മൂല്യം കണ്ടെത്തി
നമുക്ക് അതിനെ സമവാക്യമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (12). ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ബി) നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
ഒപ്പം ആവശ്യമുള്ള തലം വിമാനത്തിന് ലംബമായിരിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്. നൽകിയിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ
, ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സാധാരണ വെക്റ്റർ (ഒരു കൂട്ടം വിമാനങ്ങളുടെ സമവാക്യം കാണുക (12).

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ അവയുടെ ഡോട്ട് ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം ലംബമായിരിക്കും. അതിനാൽ,

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം
ഒരു കൂട്ടം വിമാനങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (12). ആവശ്യമുള്ള വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

പ്രശ്നം 77.വരികളുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക:

1)
2)

പ്രശ്നം 78.ഒരു വരിയുടെ പാരാമെട്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക
, എങ്കിൽ:

1)
,
; 2)
,
.

പ്രശ്നം 79. പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക
ഒരു നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി

പ്രശ്നം 80.ഒരു പോയിൻ്റ് കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക
വിമാനത്തിന് ലംബമായി.

പ്രശ്നം 81.നേർരേഖകൾക്കിടയിലുള്ള കോൺ കണ്ടെത്തുക:

1)
ഒപ്പം
;

2)
ഒപ്പം

പ്രശ്നം 82.സമാന്തര വരികൾ തെളിയിക്കുക:

ഒപ്പം
.

പ്രശ്നം 83.വരികളുടെ ലംബത തെളിയിക്കുക:

ഒപ്പം

പ്രശ്നം 84.പോയിൻ്റ് ദൂരം കണക്കാക്കുക
നേർരേഖയിൽ നിന്ന്:

1)
; 2)
.

പ്രശ്നം 85.സമാന്തര വരികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണക്കാക്കുക:

ഒപ്പം
.

പ്രശ്നം 86. വരിയുടെ സമവാക്യങ്ങളിൽ
പരാമീറ്റർ നിർവ്വചിക്കുക അങ്ങനെ ഈ വരി വരിയുമായി വിഭജിക്കുകയും അവയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.